biostatistica (secs-s/02 ) statistica per la ricerca sperimentale e tecnologica incontro 5 21...
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Biostatistica(SECS-S/02 )
STATISTICA PER LA RICERCA SPERIMENTALE E
TECNOLOGICAIncontro 5
21 Ottobre 2011
Università degli Studi di Pisa Facoltà di Scienze matematiche fisiche e naturali Anno Accademico 2011-12
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Esempio(Distribuzione campionaria)
• Si considerano 2 popolazione costituite dalle v.c :
81.13.223
1.01.02.02.04.0
54321:
2.02.02.02.02.0
54321:
22
BBAA
B
A
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Distribuzione campionariaPossibili campioni
per n=2Prob.
Estrazione AProb.
Estrazione BMedie Varianze
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
…
…
(5,5)
0.20*0.20=0.04
0.04
0.04
0.04
0.04
0.04
0.04
0.04
0.04
0.04
….
….
0.04
0.4*0.4=0.16
0.4*0.2=0.08
0.08
0.04
0.04
0.08
0.04
0.04
0.02
0.04
….
….
0.01
(1+1)/2=1
(1+2)/2=1.5
2
2.5
3
1.5
2
2.5
3
3.5
…..
…..
5
[(1-1)2+(1-1)2]/2=0
0.25
1
2.25
4
0.25
0
0.25
1
2.25
….
….
0
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Distribuzione campionaria
08.012.024.030.026.0
425.2125.00
08.016.024.032.020.0
425.2125.00
01.002.005.008.016.016.020.016.016.0
55.445.335.225.11
04.008.012.016.020.016.012.008.004.0
55.445.335.225.11
B
A
B
A
Var
Var
x
x
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Medie e varianze delle distribuzioni campionarie
81.1905.0)(
21)(
3.2)(
3)(
2
2
BB
AA
BB
AA
VarE
VarE
xE
xE
Le varianze campionarie non coincidono con quelle di popolazione ,ma sono ad esse funzionalmente legate:valgono esattamente la metà !
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Media e varianza campionaria
nxVar
nn
nxVar
nn
xVarxVar
nn
xEnn
xExE
xx
n
ii
n
ii
XX
n
ii
n
ii
)(
)(1
)(
1)(
1)(
2
2
2
12
1
1
1
La media campionaria è uno stimatore non distorto della media di una popolazione.Si noti che tale risultato vale se le osservazioni sono tra loro indipendenti,come nel caso del campione casuale semplice.
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Varianza campionaria corretta s2
)1()(}){()(
)()(2)()(
)()(
:
)(1
1
1
)()(;
1
)(
22
2
1
222
1
2
1 1 1
22
1
2
1
22
2
1
21
2
21
2
2
nn
nnxxExnEnxxE
xxxxxxE
xxxExEn
Infatti
xxEnn
xxEsE
n
xxs
n
ii
n
ii
n
i
n
i
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
La varianza campionaria corretta è quindi uno stimatore corretto della varianza di popolazione
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Campionamento da una popolazione binomiale o di Bernoulli
• Estrazione casuale semplice da popolazione infinita con eventi indipendenti(il verificarsi dell’evento non modifica quindi la probabilità degli eventi successivi ,ovvero campionamento con reimissione dell’elemento campionato).
• Esempio: Se in un’urna sono contenute 50 palline nere e 50 bianche– P(nero)=0.5
– P(bianco)=0.5
Se alla prima estrazione si verifica l’evento bianco (e la pallina non viene reinserita ),la probabilità di ottenere nero alla seconda estrazione è 50/99 ,quella del bianco 49/99.
Se ,al contrario, dopo essere stata estratta ,la pallina viene reinserita allora alle successive estrazioni la probabilità di ottenere bianco o nero sarà sempre pari a 50/100.
• Sia π la proporzione di elementi con la caratteristica ‘Nero’ e (1- π) quella di elementi con caratteristica ‘Bianco’ .
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Campionamento da una popolazione binomiale o di Bernoulli(2)
• Se da una popolazione dicotomica si estraggono campioni di dimensione n ,l’evento favorevole(Bianco per esempio) potrà presentarsi 0,1,2,3,4,….n volte.
• Il numero delle volte con cui l’evento si verifica (il numero di successi) è una variabile casuale discreta (a ciascun valore della variabile è associata una probabilità).
• Esempio :2 estrazioni (con reimissione )dall’urna dell’esempio precedente B=successo
Possibili campioni
n=2
X P(x)
(B,B)
(B,N)
(N,B)
(N,N)
2
1
1
0
π2
π(1- π)
(1- π) π
(1- π) 2
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Campionamento da una popolazione binomiale o di Bernoulli(3)
• Esempio :3 estrazioni (con reimissione )dall’urna dell’esempio precedente B=successo
Possibili campioni
n=3
X P(x)
(B,B,B)
(B,B,N)
(B,N,B)
(N,B,B)
(N,N,B)
(N,B,N)
(B,N,N)
(N,N,N)
3
2
2
2
1
1
1
0
π3
π2(1- π) π2(1-π) π2(1-π) π(1-π)2
π(1-π)2
π(1-π)2
π(1-π)2
(1-π)3
• Le probabilità associate ai diversi tipi di estrazione sono espresse dai termini dello sviluppo del polinomio [π+(1- π)]n dove π e (1- π) sono le probabilità degli eventi semplici ‘Bianco’ e ‘Nero’ ed n e l’ampiezza del campione .
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Campionamento da una popolazione binomiale o di Bernoulli(4)
• In generale per un campione di dimensione n la probabilità che x volte si verifichi il successo è data dalla funzione:
......,2,1,0
)1()(
nx
con
x
nxP xnx
nnnn
nn
nn
n
nnP
nn
P
nP
)1()(
............
)1()1(1
)1(
)1()1(0
)0(
111
00
• Il coefficiente binomiale ci informa su quante sono le sequenze tra loro esclusive con cui gli x e gli n-x elementi possono presentarsi, la parte restante della funzione binomiale esprime la probabilità che si verifichi x volte l’evento successo. La sequenza dei coefficienti binomiale può essere ottenuta dal triangolo di Tartaglia
• Il valor medio della variabile binomiale è – nπ ,
mentre la sua varianza è
– n π(1- π)
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Esempio(Distribuzione Prob. Binomiale)
452
9*10
!8!2
!10
2
10
0439.0)5.01()5.0(2
10)2( 2102
xP
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Esempio(Binomiale)
0 1 2 3 4 5
0.0
50
.10
0.1
50
.20
0.2
50
.30
Distribuzione binomiale n=5 p=0.5
Successi
Pro
ba
bilità
•Costruire la densità di frequenza di una variabile aleatoria binomiale n=5 ; p=0.5 .
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Esempio(Binomiale)
• Riportare su un grafico la funzione di ripartizione binomiale con p=0.5 ed n=5.
0 1 2 3 4 5
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Distribuzione binomiale p=0.5 ; n=5
Successi
Pro
ba
bilità
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Campionamento da una popolazione di Poisson
• La distribuzione di Poisson è adatta alla descrizione di eventi che si verificano con una frequenza molto bassa in uno spazio o in un tempo molto grande (‘Eventi Rari’).
• ESEMPIO: il numero di piante di una data specie presente in un areale, il numero di microrganismi in un certo volume di sospensione, il numero di mutanti antibiotico-resistenti in una popolazione di cellule batteriche o anche il numero di pezzi difettosi in una produzione di serie.
• La distribuzione di Poisson è il limite della binomiale per n→∞ e π→0 tale che nπ sia una costante finita:
e
xx
n xxnx
n !)1(lim
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Campionamento da una popolazione di Poisson(2)• Infatti,poiché λ=nπ,allora π = λ/n e considerando che x è
molto piccolo rispetto a n:
en
e
n
xn
poichè
exnx
nnxn
xn
n
n
n
n
nnnx
knnn
nnx
n
n
n
n
xn
n
x
nxx
n
xn
x
x
n
xnx
n
1
1)1(
!1
!
11!
)1(......
)1(
11!
)1)...(1(
1
lim
lim
lim
lim
lim
limI valori della media e della varianza di una distribuzione di Poisson sono pari a λ.
La distribuzione è tipicamente asimmetrica , ma all’aumentare del numero di osservazioni essa tende alla Normale (distribuzione tipicamente simmetrica)
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Campionamento da una popolazione di Poisson(3)
en
nP
jPj
jP
eeP
eeP
eeP
eeP
n
!)(
........
)1()(
..........6!3
)3(
2!2)2(
!1)1(
!0)0(
33
22
1
0
Si noti come sia possibile trovare le probabilità in modo ricorrente,ovvero moltiplicando il valore al punto precedente P(j-1) per λ/j .
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Distribuzione di Poisson λ1=3; λ2=10
0 5 10 15 20
0.0
00
.05
0.1
00
.15
0.2
0
Poisson Distribution lambda=3
Numero di eventi
Fre
qu
en
za
0 5 10 15 20
0.0
00
.02
0.0
40
.06
0.0
80
.10
0.1
2
Poisson Distribution lambda=10
Numero di eventi
Fre
qu
en
za
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Variabili Casuali Continue : la distribuzione Normale (di Gauss)
• I parametri media e varianza descrivono l’intera popolazione Normale.
• La curva è asintotica all’asse delle ascisse per x che tende a + ∞ e - ∞.
• La curva è simmetrica : media,moda e mediana coincidono.• La probabilità si distribuisce quasi completamente in un intorno di 3
volte la deviazione standard .
),(
)(
2
1exp
2
1)(
2
2
2
x
xxXP
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Esempio(Distribuzione normale)
5 10 15
0.0
00
.05
0.1
00
.15
0.2
0
Curve normali
Variabile
Fre
qu
en
za
• Disegnare due curve normali con media pari a 10 e sd pari a 2 e 4
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Esempio(Distribuzione normale)• Disegnare due curve normali con media pari a 8 e 4 e sd
pari a 3
-5 0 5 10 15 20
0.0
00
.02
0.0
40
.06
0.0
80
.10
0.1
2
Curve normali
Variabile
Fre
qu
en
za
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Standardizzazione di una variabile
• Sia X una variabile casuale di cui si conosce la media μ e lo standard error σ .
X
XXZ
• Z è la trasformazione che standardizza X .• Se X si distribuisce come una Normale di media μ e standard error σ, la
variabile Z si distribuisce ancora come una Normale con media 0 e standard error pari a 1
10)(
)(
0)(
)(
2
2
2
2
X
X
XX
X
XX
XZ
X
XX
X
X
X
XZ
XVV
XV
XVZV
XEXEZE
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Esempio(Contenuto di cloro nell’acqua)
• Qual è la probabilità che, da un pozzo con un contenuto medio di cloro pari a 1 meq (milli-equivalente ) l-1, eseguendo l’analisi con uno strumento caratterizzato da un coefficiente di variabilità pari al 4%, si ottenga una misura pari o superiore a 1.1 meq l-1?
• E’ possibile che questa misura sia stata ottenuta casualmente, oppure è successo qualcosa di strano (errore nell’analisi o inquinamento del pozzo)?
• Questo problema può essere risolto immaginando che se è vero che il pozzo ha un contenuto medio di 1 meq l-1 i contenuti di cloro dei campioni estratti da questo pozzo dovrebbero essere distribuiti normalmente, con media pari ad 1 e deviazione standard pari a 0.04 (si ricordi la definizione di coefficiente di variabilità). Qual è la probabilità di estrarre da questa popolazione una misura pari superiore a 1.1 meq l-1?
006209.0)1.1(1)1.1(
)04.0,1(
XPXP
NX
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Esempio(Distribuzione Normale)
• Nello stesso strumento dell’esercizio precedente e considerando lo stesso tipo di analisi, calcolare: 1 - la probabilità di ottenere una misura inferiore a 0.75 2 - la probabilità di ottenere una misura superiore a 1.5 3 - la probabilità di ottenere una misura compresa tra 0.95 e 1.05
• Stabilire inoltre: – 1 - la misura che è superiore al 90% di quelle possibili – 2 - la misura che è inferiore al 70% di quelle possibili – 3 - le misure entro le quali si trova il 95% delle misure possibili
0.788)05.195.0Pr(
36-e*3.73)5.1Pr(
10-e*2.05)75.0Pr(
X
X
X
1.078399(0.975)2
0.9216014(0.025)1
95.0)Pr(
(0.30)0.97902470.0)Pr(
(0.90)1.05126290.0)Pr(
21
x
x
xXx
xxX
xxX
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Esempio : Indagine su neonati(Distribuzione Normale)• Da un’indagine svolta su un campione di neonati ,il peso alla nascita è risultato avere media
pari a 3.2 kg con σ di 0.6 kg.• Ciò significa che nella popolazione il 68% circa dei neonati ha un peso tra 2.6 e 3.8 kg ,il
95% ha un peso tra 2 e 4.4 kg e meno dell’1% ha peso maggiore di 5 o minore di 1.4 kg.• Ci si chiede:
– In un campione di 1000 nati ,quanti sono attesi avere un peso compreso tra 3.5 e 3.7 kg?– Considerando i pesi medi rilevati su 20 nati in 1000 ospedali ,in quanti casi è attesa una
media compresa tra 3.5 e 3.7?
3.1051053.0*1000
.1053.02032.03085.0
)5.0()82.0(82.05.0
6.0
2.37.3
6.0
2.35.3
7.35.3
)7.35.3(
ZPZPZP
XP
XP
XP
7.120127.0*1000
0127.00001.00128.0
)2361.2()7268.3(7268.32361.2
1342.0
2.37.3
1342.0
2.35.3
7.35.3
)7.35.3(
1342.020
6.0
2.3
ZPZPZP
ZP
XP
XP
n
x
x
x
x
x
x
x
x
![Page 26: Biostatistica (SECS-S/02 ) STATISTICA PER LA RICERCA SPERIMENTALE E TECNOLOGICA Incontro 5 21 Ottobre 2011 Università degli Studi di Pisa Facoltà di Scienze](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062701/5542eb65497959361e8cf7d7/html5/thumbnails/26.jpg)
Altre distribuzioni collegate alla normale• Le distribuzione dei quadrati di variabili casuali Normali Standard è detta
distribuzione χ2 (chi-quadrato) con 1 grado di libertà.
• z2~χ21
• La somma dei quadrati di n VC normali standard indipendenti è distribuita come una χ2 con n gradi di libertà.
221 ~ nz
Questa distribuzione è continua e può assumere valori soltanto positivi: se il numero dei gradi di libertà è piccolo la distribuzione è molto asimmetrica mentre tende alla simmetria in modo proporzionale all’aumento dei gradi di libertà. La media e la varianza della VC di χ2 sono rispettivamente pari al numero dei gradi di libertà ν e al doppio dello stesso numero 2 ν.
211)()(
)(
)()(
11)(
)(
)(
2
2
22
2
212
2
2
22
2
212
221
21
222
221
212
2
2
xxEE
xx
xEE
x
![Page 27: Biostatistica (SECS-S/02 ) STATISTICA PER LA RICERCA SPERIMENTALE E TECNOLOGICA Incontro 5 21 Ottobre 2011 Università degli Studi di Pisa Facoltà di Scienze](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062701/5542eb65497959361e8cf7d7/html5/thumbnails/27.jpg)
Distribuzione χ2 con v gdl
• Per un campione di v osservazioni :
.~)(
z
),N( ~
)(1)(
21
2
i
2
222
22
i
i
ii
v
x
x
dove
xx
![Page 28: Biostatistica (SECS-S/02 ) STATISTICA PER LA RICERCA SPERIMENTALE E TECNOLOGICA Incontro 5 21 Ottobre 2011 Università degli Studi di Pisa Facoltà di Scienze](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062701/5542eb65497959361e8cf7d7/html5/thumbnails/28.jpg)
Distribuzione χ2 con v gdl(2)• Allora :
n
ijii
n
ii
n
ii
n
i
n
ii
n
ii
zzzn
znn
zz
dove
zzzzEzzEzzEii
1
2
2
2
12
2
12
1
22
1
2
1
2
211
)2()()(
• Essendo E(zizj)=0 per l’indipendenza degli xi,segue che :
nn
n
n
zEzE i 1
)()(22
22
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Distribuzione χ2 con v gdl(3)• Per lo stesso motivo :
212
2
2
2
22
2
)1()()()(
1)21
1()(
1
ni
i
i
i
snxxxSSzz
nnn
zzE
Quindi
nn
zzEzzE
ii
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Distribuzione χ2
0 5 10 15 20
0.0
00
.05
0.1
00
.15
0.2
00
.25
Distribuzione chi-quadrato gradi di libertà=c(3,10,20)
Variabile
Fre
qu
en
za
![Page 31: Biostatistica (SECS-S/02 ) STATISTICA PER LA RICERCA SPERIMENTALE E TECNOLOGICA Incontro 5 21 Ottobre 2011 Università degli Studi di Pisa Facoltà di Scienze](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062701/5542eb65497959361e8cf7d7/html5/thumbnails/31.jpg)
Distribuzione di Fisher
• Rapporto di 2 funzioni determinate su campioni indipendenti
)2,1(2
1
2
12
122
21
222
221
222
221
vvFv
v
v
vv
v
v
v
v
v
v
v
• La funzione è asimmetrica ,al tendere di v2 all’infinito la distribuzione converge a
1,121
2
1
21
22
21
221
21
2
11
1
1
nn
n
n
v
Fn
ns
s
Inoltrev
![Page 32: Biostatistica (SECS-S/02 ) STATISTICA PER LA RICERCA SPERIMENTALE E TECNOLOGICA Incontro 5 21 Ottobre 2011 Università degli Studi di Pisa Facoltà di Scienze](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062701/5542eb65497959361e8cf7d7/html5/thumbnails/32.jpg)
Distribuzione Fisher gdl=(3,4) red line
gdl=(10,20) blue line
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Distribuzione Fisher
Variabile
Fre
qu
en
za
![Page 33: Biostatistica (SECS-S/02 ) STATISTICA PER LA RICERCA SPERIMENTALE E TECNOLOGICA Incontro 5 21 Ottobre 2011 Università degli Studi di Pisa Facoltà di Scienze](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062701/5542eb65497959361e8cf7d7/html5/thumbnails/33.jpg)
Distribuzione t di student (Fisher con v1=1)
211,12
2
2
2
212
22
12
2
222
21
222
221
222
221
)(
)(
1
1
)(
)()(
:
)2,1(2
1
2
12
12
nni
ni
vvvv
v
tFs
xn
xx
nxn
allora
xne
xx
zaIndipenden
tvFvv
v
![Page 34: Biostatistica (SECS-S/02 ) STATISTICA PER LA RICERCA SPERIMENTALE E TECNOLOGICA Incontro 5 21 Ottobre 2011 Università degli Studi di Pisa Facoltà di Scienze](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062701/5542eb65497959361e8cf7d7/html5/thumbnails/34.jpg)
t-student (gdl 2(red),10(blue),40(green))
-10 -5 0 5 10
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Distribuzione t-student
Variabile
Fre
qu
en
za
![Page 35: Biostatistica (SECS-S/02 ) STATISTICA PER LA RICERCA SPERIMENTALE E TECNOLOGICA Incontro 5 21 Ottobre 2011 Università degli Studi di Pisa Facoltà di Scienze](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062701/5542eb65497959361e8cf7d7/html5/thumbnails/35.jpg)
Distribuzione degli scarti standardizzati
1
)(
)1,0()(
nt
n
sx
N
n
xz
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Grazie per l’attenzione