binom_modelis_08

Rūta Kropienė1

Binominis modelis

Rūta Kropienė2

Klausimai

Vieno žingsnio binominis modelis Rizikos pusiausvyros prielaida

Rūta Kropienė3

Vieno žingsnio binominis modelis

John C. CoxJohn C. CoxNomura Professor of Nomura Professor of FinanceFinance

Mark RubinsteinMark RubinsteinPaul Stephens Professor ofPaul Stephens Professor ofApplied Investment AnalysisApplied Investment Analysis

Stephen A. RossStephen A. RossFranko Modigliani Professor ofFranko Modigliani Professor ofFinancial EconomicsFinancial Economics

Rūta Kropienė4

Vieno žingsnio binominis modelis

Binominis medis – tai diagrama vaizduojanti Binominis medis – tai diagrama vaizduojanti skirtingas galimas trajektorijas, kuriomis gali judėti skirtingas galimas trajektorijas, kuriomis gali judėti akcijos kaina per pasirinkimo sandorio galiojimo akcijos kaina per pasirinkimo sandorio galiojimo terminą. terminą. [[J.C.Cox, S.A. Ross, M.Rubinstein (1979)J.C.Cox, S.A. Ross, M.Rubinstein (1979)]]

Rūta Kropienė5

Vieno žingsnio binominis modelis (Call)

SakykimeSakykime::

– Vyriausybės vertybinių popierių pajamos kitais Vyriausybės vertybinių popierių pajamos kitais metais - metais - 10%10%

– XXYZ YZ šiuo metu parduodamas pošiuo metu parduodamas po $75 $75 už akcijąuž akciją– Nėra jokių mokesčių už operacijasNėra jokių mokesčių už operacijas– Po metų galimos dvi akcijų kainosPo metų galimos dvi akcijų kainos

Rūta Kropienė6


Galimos dvi padėtysGalimos dvi padėtys::

$75

$50

$100

Šiandien Po metų

Rūta Kropienė7


XYZ XYZ akcijų call pasirinkimo sandoris suteikia jo akcijų call pasirinkimo sandoris suteikia jo pirkėjui teisę po metų pirktipirkėjui teisę po metų pirkti XYZ XYZ akcijas poakcijas po $75 $75– Jei akcijų kaina po metų bus lygiJei akcijų kaina po metų bus lygi $100, $100, tai sandorio tai sandorio

pirkėjas turėspirkėjas turės $25 $25 pelno pelno– Jei akcijų kaina po metų bus lygiJei akcijų kaina po metų bus lygi $50, t $50, tai sandorio ai sandorio

pirkėjas turėspirkėjas turės $0 $0 pelno pelno

Kokia turėtų būti pasirinkimo sandorio kainaKokia turėtų būti pasirinkimo sandorio kaina??

Rūta Kropienė8


Mes galime sudaryti tokį akcijų ir pasirinkimo Mes galime sudaryti tokį akcijų ir pasirinkimo sandorių portfelį, kad po metų jo vertė sandorių portfelį, kad po metų jo vertė nepriklausytų nuo akcijų kainos rinkoje. nepriklausytų nuo akcijų kainos rinkoje.

Perkam akciją ir pasirašom N call pasirinkimo Perkam akciją ir pasirašom N call pasirinkimo sandorių.sandorių.

Rūta Kropienė9


Galimi portfelio kaštaiGalimi portfelio kaštai::

$75 – (N)($C)

$50

$100 - $25N

ŠiandienŠiandien Po metųPo metų

Rūta Kropienė10


Mes galime pasirinkti tokįMes galime pasirinkti tokį N N skaičių, kadskaičių, kad po metų po metų portfelio kaštai būtųportfelio kaštai būtų lygūs lygūs $50:$50:

2

50$25$100$

N

N

Rūta Kropienė11


Jei šiandien mes perkame vieną akcijąJei šiandien mes perkame vieną akciją ir pasirašom ir pasirašom du call pasirinkimo sandorius, tai po metų šio du call pasirinkimo sandorius, tai po metų šio portfelio kaštai bus lygūs portfelio kaštai bus lygūs $50$50..

– Jeigu būsimoji vertė, duodanti be rizikos Jeigu būsimoji vertė, duodanti be rizikos 10%10% palūkanas palūkanas yra žinoma, tuomet šiandien portfelis turi būti įvertintasyra žinoma, tuomet šiandien portfelis turi būti įvertintas $45.45 $45.45

Rūta Kropienė12


Sakykim, kad nėra arbitražo galimybiųSakykim, kad nėra arbitražo galimybių::

Pasirinkimo sandoris turi būti parduodamas poPasirinkimo sandoris turi būti parduodamas po $14.77!$14.77!

77.14$

45.45$275$

C

C

Rūta Kropienė13


Pasirinkimo sandorio vertė (kaina) nepriklauso nuo ateityje galimų akcijų kainų

Pasirinkimo sandorio vertė nepriklauso nuo laukiamų akcijų pajamų

Rūta Kropienė14

Vieno žingsnio binominis modelis (Put)

Kaina nustatoma Kaina nustatoma analoganalogiškai, kaip iriškai, kaip ir call call pasirinkimo sandoriuipasirinkimo sandoriui

Galima sujungti pGalima sujungti putut pasirinkimo sandorius su pasirinkimo sandorius su akcijomis taip, kad būsimi portfelio kaštai būtų akcijomis taip, kad būsimi portfelio kaštai būtų žinomižinomi– Sakykime, kad vertė lygiSakykime, kad vertė lygi $100 $100

Rūta Kropienė15


Galimi portfelio kaštaiGalimi portfelio kaštai::

$75 + 2($P)

$50 + N($75 - $50)

$100

ŠiandienŠiandien Po metųPo metų

Rūta Kropienė16


Portfelis sudarytas iš akcijos ir dviejų put Portfelis sudarytas iš akcijos ir dviejų put pasirinkimo sandorių be rizikos po metų turėspasirinkimo sandorių be rizikos po metų turės $100 $100 vertęvertę

95.7$

91.90$275$

P

P

Rūta Kropienė17

Sakykime, pasirinkimo sandorio galiojimo laike (T) Sakykime, pasirinkimo sandorio galiojimo laike (T) akcijos kaina gali judėti aukštyn (up) ir žemyn akcijos kaina gali judėti aukštyn (up) ir žemyn (down).(down).

Rizikos pusiausvyros prielaida

S u Cu

S d Cd

SC

Rūta Kropienė18


Portfelis, kurį sudaroPortfelis, kurį sudaro ΔΔ akcijų irakcijų ir 1 1 short short callcall

pozicija:pozicija:

ΔS - C

Be rizikos pBe rizikos portfortfeliselis yra , kaiyra , kai ΔΔ ( (S u)S u) – C – Cu u = = ΔΔ ( (S d)S d) – C – Cdd arbaarba

du

du

SS

C

C

Δ Su – Cu

Δ Sd – Cd

Rūta Kropienė19


Be rizikos pBe rizikos portfortfeeliolio kaštai laike kaštai laike TT yra:yra:

ΔΔ (S u) (S u) – C – Cu u arbaarba ΔΔ (S d) (S d) – C – Cdd

Šiandien šio portfelioŠiandien šio portfelio kaštai yra:kaštai yra:

Kita šio portfelio kaštų išraiška Kita šio portfelio kaštų išraiška šiandien gali būti: šiandien gali būti: ΔΔ S S – C – C

Taigi, tuomet, Call kaina yraTaigi, tuomet, Call kaina yra : :

rTuu eCS )(

rTuu eCSSC )(

Rūta Kropienė20


Pakeitus Pakeitus ΔΔ iš 18 skaidrės iš 18 skaidrės formulės ir aformulės ir atlikus tam tikrus tlikus tam tikrus pertvarkymus, Call kaina gali pertvarkymus, Call kaina gali būti skaičiuojama taip:būti skaičiuojama taip:

C = [ p Cu + (1 – p )Cd ]e–rT

kurkur p

e d

u d

rT

Rūta Kropienė21


C = [ p Cu + (1 – p )Cd ]e-rT

Kintamųjų tikimybėsKintamųjų tikimybės pp irir (1 – (1 – pp ) ) atitinka kainų atitinka kainų augimą ir mažėjimąaugimą ir mažėjimą

Su

Cu

Sd

Cd

SC

Rūta Kropienė22

Naudojame 20 skaidr. formulę, kai r=12%, o laikas T= 3 mėn.

pd

u d

rT

e e0.12 0.25 0911 09

06523.

. ..

S u = 22 Cu = 1

Sd = 18 Cd = 0

SC

p

(1– p )

Rūta Kropienė23


Su = 22 Cu = 1

Sd = 18 Cd = 0

SC

0.6523

0.3477

633.003477,016523,025,012,0 e

binom_modelis_08

Documents