biẾn ngẪu nhiÊn mỘt chiỀu - nguyenvantien0405 · biẾn ngẪu nhiÊn mỘt chiỀu 1 bài...
TRANSCRIPT
7/18/2016
1
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Chương 2
BIẾN NGẪU NHIÊN
MỘT CHIỀU
1 Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Định nghĩa
• Biến ngẫu nhiên X là đại lượng nhận giá trị nàođó phụ thuộc vào các yếu tố ngẫu nhiên.
• Ký hiệu: chữ hoa X, Y, Z …
• Giá trị của bnn: chữ thường x, y, z, …
• Với mọi số thực x ta có {X<x} là một biến cốngẫu nhiên.
2
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ 1
• X: Lượng khách vào một cửa hàng trong ngày
• Y: Tuổi thọ của iphone 6
• Trả ngẫu nhiên 3 mũ bảo hiểm cho 3 người. GọiZ: số mũ bảo hiểm được trả đúng người
• T: Số sản phẩm hỏng trong 100 sản phẩm mớinhập về
• U: Chiều cao của một sinh viên gọi ngẫu nhiêntrong lớp này
3 Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ 2
• Hộp có 6 viên bi gồm 4 trắng và 2 vàng. Lấyngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp. Đặt Y là số viên bivàng có trong 2 viên lấy ra.
• Khi đó Y cũng là biến ngẫu nhiên.
• Ta có:
• “Y=0”, “Y=1”, “Y<2” là các biến cố nào???
4
0 1 2; ;Y
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Phân loại bnn
5
Rời rạc
Có hữu hạn giá trị
Có vô hạn đếmđược giá trị
Bnn X
Liên tục
Giá trị lấp đầy mộthay vài khoảng hữuhạn hoặc vô hạn
P(X=a)=0 với mọi a
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Hai biến ngẫu nhiên độc lập
• Hai biến ngẫu nhiên X, Y độc lập nếu hai biếncố:
• Độc lập nhau với mọi giá trị của x, y.
• Nói cách khác các biến cố liên quan đến haibiến ngẫu nhiên X, Y luôn độc lập nhau.
6
X x Y y
7/18/2016
2
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Luật phân phối xác suất
• Biểu diễn quan hệ giữa các giá trị của biếnngẫu nhiên và xác suất tương ứng.
–Xác suất để bnn nhận một giá trị bất kì
–Xác suất để bnn nhận giá trị trong mộtkhoảng bất kì
• Dạng thường gặp: hàm phân phối xácsuất, công thức, bảng ppxs, hàm mật độxác suất
7 Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Hàm phân phối xác suất (ppxs)
• Hàm phân phối xác suất hay hàm phân bố, kýhiệu F(x), định nghĩa như sau:
• Hay
8
( ) xF x P X
( ) tF t P X
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
• Là xác suất để X nhận giá trị nhỏ hơn x, x là mộtgiá trị bất kì.
• Cho biết tỉ lệ phần trăm giá trị của X nằm bêntrái số x.
• Xác suất X thuộc [a,b)
9
)( ( ) ( )b F aP b Fa X
Hàm ppxs
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Tính chất
10
i) 0 1,F x x R
ii) F x là hàm tăng, liên tục bên trái. Nếu X là biến
ngẫu nhiên liên tục thì F x là hàm liên tục trên R.
iii) lim 0x
F F x
lim 1x
F F x
iv) P a X b F b F a .
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Hàm ppxs
11 Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Công thức ppxs
Ví dụ. Một người nhắm bắn một mục tiêu chođến khi nào bắn trúng một phát thì thôi (sốphát bắn không hạn chế). Xác suất bắn trúngcủa mỗi phát đều bằng p. Tìm qui luật ppxs củasố viên đạn được sử dụng.
Đ/S:
12
1
1 2 1
..................................................................
1 , 1,2,3...k
P X p P X p p
P X k p p k
7/18/2016
3
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Bảng ppxs
• Ví dụ. Một hộp có 10 sản phẩm trong đó có 6sản phẩm đạt loại A. Lấy ngẫu nhiên 2 sảnphẩm. Lập bảng phân phối xác suất của số sảnphẩm loại A lấy ra?
13 Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Bảng ppxs
• Bảng phân phối xác suất của X.
• xi : giá trị có thể có của bnn X
• pi : xác suất tương ứng; pi=P(X=xi).
• Chú ý:
14
X x1 …. x2 …. xn
P p1 …. p2 …. pn
1
1n
i
i
p
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ 3 (sv tự giải)
Có 2 kiện hàng. Kiện 1 có 4 sản phẩm tốt, 3 sảnphẩm xấu. Kiện 2 có 6 sản phẩm tốt, 4 sản phẩmxấu. Lấy ngẫu nhiên từ kiện 1 ra 2 sản phẩm vàtừ kiện 2 ra 1 sản phẩm.
a) Lập bảng phân phối xác suất của số sản phẩmtốt trong 3 sản phẩm lấy ra?
b) Xác định hàm ppxs tương ứng
15 Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Hàm ppxs
• Cho X là bnn rời rạc có tập giá trị được sắp
• Khi đó:
16
1 2 3 ....x x x i iP X x p và
1
1 1 2
1 2 2 3
1 1 1
0 ,
,
,
...............................
... ,k k k
x x
p x x x
F x p p x x x
p p x x x
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Biến ngẫu nhiên liên tục
• Cho X là bnn liên tục
• Ta có:
• Để thể hiện xác suất ta sử dụng hàm số.
• Hàm mật độ xác suất hay mật độ xác suất
17
0)
)
( ) ,X a a
ii P a X b P a X b P X b P a X b
i P
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Hàm mật độ xác suất
• Giả sử bnn liên tục X có hàm ppxs F(x). Nếu tồntại hàm f(x) sao cho:
• Thì f(x) gọi là hàm mật độ của bnn X
• Viết tắt là: PDF (prob. density function)
18
,
x
F x f t dt x R
7/18/2016
4
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Hàm mật độ xác suất
• Nếu X liên tục thì:
19
f x
x
F x
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Tính chất
iv) Tại những điểm mà f(x) liên tục ta có:
20
) 0
) 1
)
b
a
i f x x R
ii f x dx
iii P a X b f x dx
'F x f x
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Hàm mật độ xác suất
Hàm mật độ xác suấtf(x) thỏa mãn 2 điềukiện:
21
) 0 ,
) 1
i f x x R
ii f x dx
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Hàm mật độ xác suất
22
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ 4
• Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất
• A) Tìm k để f(x) là hàm mật độ xác suất
• B) Tính xác suất P(1<X<1,25)
23
2
,1 23
0 , 1,2
kxx
f x
x
2
; 1 23
kxf x x
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ 5
• Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất
• A) Xác định hàm F(x)
• B) Tính xác suất P(0<X<1)
24
2
1 23
xf x x
7/18/2016
5
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG
• Kỳ vọng (Expected Value) E(X)
• Phương sai (Variance) V(X), Var(X)
• Độ lệch chuẩn (Standard Error)
• Trung vị (Median) me
• Mốt (Mode) m0
• Hệ số biến thiên (Coefficient of Variation) CV
• Hệ số bất đối xứng (Skewness)
• Hệ số nhọn (Kurtosis)
• Giá trị tới hạn
25 Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Kỳ vọng (Expected Value)
• Ký hiệu: E(X)
• Định nghĩa:
• E(X) là trung bình theo xác suất của X
• Có cùng đơn vị với X
26
-
, voi X roi rac
. ( ) , voi X lien tuc
i i
i
x p
E X
x f x dx
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ 6
• Một nhân viên bán hàng có 2 cuộc hẹn trong 1ngày. Với cuộc hẹn thứ nhất, khả năng thànhcông (ký được hợp đồng) là 0,7 và lợi nhuận dựkiến là 1000$. Với cuộc hẹn thứ 2, khả năngthành công là 0,4 và lợi nhuận là 1500$. Giả sửkết quả các cuộc hẹn độc lập nhau. Lợi nhuậnkỳ vọng của nhân viên bán hàng là bao nhiêu?
27 Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ 7• Nhu cầu hàng ngày của một loại thực phẩm tươi sống ở
1 khu vực là bnn rời rạc có ppxs:
• Giả sử khu vực này chỉ có 1 cửa hàng và cửa hàng nàynhập mỗi ngày 100kg thực phẩm.
• Giá nhập là 40 ngàn/kg; bán ra là 60 ngàn/kg. Nếu thựcphẩm không bán được trong ngày thì phải bán với giá20/kg ngàn mới hết hàng.
• Muốn có lãi trung bình cao hơn thì cửa hàng có nênnhập thêm 20kg mỗi ngày hay không
28
X 80 100 120 150
P 0,2 0,4 0,3 0,1
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ 8
• X là tuổi thọ của một loại thiết bị điện tử
• Tìm tuổi thọ trung bình của loại thiết bị này.
29
3
20.000100f x x
x
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Hàm của bnn
• Cho bnn X có ppxs:
• Đặt (X)=X2 Phân phối xác suất của (X)
Hướng dẫn
• Giá trị của (X)
• Xác suất nhận các giá trị đó
30
X -1 0 1 2
P 0,2 0,1 0,3 0,4
7/18/2016
6
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Kỳ vọng (tt)
• Cho bnn X
• Kỳ vọng toán học của hàm (X):
31
i i
i
x p neu X roi rac
E X
x f x dx neu X lientuc
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Tính chất
32
1)Tính chat 1: E(C)=C voi C la hang so
2)Tính chat 2: E(C+X)=C+E(X)
3)Tính chat 3: E(C.X)=C.E(X)
4)Tính chat 4: E(X Y)=E(X) E(Y)
5)Tính chat 5: E(X.Y)=E(X).E(Y) neu X va Y doc lap
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ 9
• Cho X1, X2, X3 là các biến ngẫu nhiên độc lập saocho:
• Đặt:
• A) Tìm E(G)
• B) Tìm 𝛼, 𝛽 sao cho 𝐸 𝐺 = 𝜇
33
1 2 3E X E X E X
1 2 3
1
4G X X X
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ 10• Xét hai bnn sau:
• So sánh E(X) và E(Y)
• Vẽ đồ thị và nhận xét về mức độ biến thiên củaX, Y
34
X 3 4 5
P 0,3 0,4 0,3
Y 1 2 6 8
P 0,4 0,1 0,3 0,2
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Đáp án
• Ta có: E(X)=4; E(Y)=4
• Đồ thị:
• Nhận xét: mức độ phân tán của các giá trị khácnhau
35
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
1 2 3 4 5 6 7 8
Freq
uen
cy
Giá trị
Histogram 1
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
1 2 3 4 5 6 7 8
Freq
uen
cy
Giá trị
Histogram 2
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Phương sai (Variance)
• Ký hiệu: V(X); Var(X)
• Định nghĩa:
36
2
2 2Var X E X E X E X
2 2
2 2
, neu X roi rac
,neu X lien tuc.
i i
i
E X x p
E X x f x dx
7/18/2016
7
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Phương sai (Variance)
• Là kỳ vọng của bình phương sai lệch của bnn sovới kỳ vọng toán của nó.
• Đơn vị của phương sai trùng với đơn vị của X2
• Phương sai đặc trưng cho mức độ rủi ro của cácquyết định.
37
22
22
, neu X roi rac.
, neu X lien tuc.
i i
i
x p E X
Var X
x f x dx E X
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Phương sai của hàm bnn
38
2
XV X E X
2
2
Xx
X
V X x P X x
V X x f x dx
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Tính chất của phương sai
39
2
i
1 1
1)Tính chat 1: V(C)=0 voi C la hang so
2)Tính chat 2: V(C+X)=V(X)
3)Tính chat 3: V(C.X)=C .V(X)
4) neu X va Y doc lap
neu cac X doc lap toan ph
V(X Y)=V(X)
a
V(Y)
V n= n n
i i
i i
X V X
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ 11
• Tiền lãi khi đầu tư 1 tỷ đồng vào các ngành A, B làcác bnn độc lập X, Y:
a) Muốn lãi trung bình cao hơn thì đầu tư vào ngànhnào?
b) Muốn rủi ro thấp hơn thì đầu tư vào ngành nào?
c) Muốn rủi ro thấp nhất thì chia vốn đầu tư theo tỷlệ nào?
40
X 0 15 30
P 0,3 0,5 0,2
Y -2 15 35
P 0,2 0,45 0,35
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ 11
d) Đầu tư a tỷ vào ngành A và b tỷ vào ngành B trong1 tháng. Tìm trung bình và phương sai của tổngtiền lãi trong 1 tháng?
e) Đầu tư 2 tỷ vào ngành A trong một tháng. Tìmtrung bình và phương sai của tiền lãi thu được.
f) Mỗi tháng đầu tư vào ngành A 1 tỷ, độc lập nhau.Tìm trung bình và phương sai của tổng tiền lãitrong 2 tháng. Tính xác suất tổng tiền lãi khôngdưới 50 triệu.
g) Tìm xác suất đầu tư vào A được lãi cao hơn B?
41
X 0 15 30
P 0,3 0,5 0,2
Y -2 15 35
P 0,2 0,45 0,35
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Độ lệch chuẩn
• V(X) đo độ dao động, phân tán, đồng đều, tậptrung của X.
• V(X) có đơn vị là bình phương đơn vị của X
• (X) có đơn vị là đơn vị của X
42
X Var X
7/18/2016
8
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Biến ngẫu nhiên chuẩn hóa
• Cho X là bnn có kỳ vọng và độ lệch chuẩn>0.
• Đặt:
• Ta có:
• Biến Z gọi là bnn chuẩn hóa của bnn X.
43
XZ
0 1E Z V Z
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Tuổi thọ của một loại côn trùng M là biến ngẫunhiên X (đơn vị: tháng) với hàm mật độ nhưsau:
• Tìm hằng số k?
• Xác định hàm ppxs?
• Tính tuổi thọ trung bình của loại côn trùng trên.
44
2 4 , 0,4f x kx x x
Ví dụ 12
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Hệ số biến thiên
• Kí hiệu: CVx.
• Đo mức độ thuần nhất của bnn. CVx càng nhỏbnn càng thuần nhất.
• So sánh độ phân tán của các bnn không có cùngđơn vị, không có cùng kỳ vọng.
45
0X
XCV E XE X
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Median (Trung vị)
• Ký hiệu MedX, me là giá trị chia đôi hàm phânphối.
• Hay
46
0,5
0,5
e
e
P X m
P X m
0,5e eP X m P X m
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Median (Trung vị)
• Nếu X liên tục thì:
47
0,5em
f x dx
1 0,5S
em
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
ModXKý hiệu:
Nếu X rời rạc:
Nếu X liên tục:
48
0x R
f m max f x
0 ii
P X m max P x x
0ModX m
7/18/2016
9
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ 13Cho bnn X
Ta có:
Vậy
49
X 1 2 3 4 5
P 0,1 0,2 0,15 0,3 0,25
X 1 2 3 4 5
F(X) 0 0,1 0,3 0,45 0,75
4Med X Mod X
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ 14
• Cho bnn X có hàm mật độ xác suất
• Tìm MedX và ModX?
50
32 ,0 2
4
0 , 0,2
x x xf x
x
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Điểm (giá trị) tới hạn
• Cho bnn X có luật phân phối xác định
• Giá trị tới hạn mức α là số thực, ký hiệu là Xα
sao cho:
51
P X X
X
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ 15
Tuổi thọ một loại côn trùng là X (tháng) có hàmmật độ
a) Tìm hằng số k
b) Tìm Mod(X)
c) Tìm xác suất côn trùng chết trước khi nó được1 tháng tuổi
52
2 4 , 0;4f x kx x x
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ 16
• Giả sử một cửa hàng sách định nhập về một sốcuốn truyện trinh thám. Nhu cầu hàng năm vềloại sách này như sau:
• Cửa hàng mua sách với giá 7USD một cuốn, bánra với giá 10USD một cuốn nhưng đến cuối nămphải hạ giá với giá 5USD một cuốn.
53
Nhu cầu (cuốn) 30 31 32 33
P 0,3 0,15 0,3 0,25
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ 16
• Nếu nhập về 32 cuốn thì lợi nhuận bán đượctrung bình là bao nhiêu?
• Xác định số lượng nhập sao cho lợi nhuận kìvọng là lớn nhất.
54
Nhu cầu (cuốn) 30 31 32 33
P 0,3 0,15 0,3 0,25
7/18/2016
10
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ 17
Cho bnn X có hàm mật độ:
a) Tìm MedX, ModX.
b) Tìm E(X), Var(X) nếu có.
55
1sin , 0,
2
0 , 0,
x xf x
x
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Đề đợt 1 năm 2013• Cho Xi (i=1,2…,8) là các biến ngẫu nhiên độc lập
có cùng kỳ vọng µ và phương sai 𝜎2.
• Xét các biến ngẫu nhiên sau:
• a. Tính kỳ vọng toán của Y1, Y2.
• b. Chứng minh rằng V(Y1)<V(Y2)
56
81 2 8
1
1
5
2 6 7 8
1
... 1
8 8
12 3 4
14
i
i
i
i
X X XY X
Y X X X X
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Đề 5/2015
• Cho X1, X2, X3 là các biến ngẫu nhiên độc lập saocho:
• Đặt:
• A) Tìm 𝛼, 𝛽 sao cho 𝐸 𝐺 = 𝜇
• B) Tìm 𝛼, 𝛽 sao cho 𝑉 𝐺 nhỏ nhất
57
2;i iE X V X
1 2 3
1
4G X X X
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Đề 11/2015
• Cho lợi nhuận của một công ty (%/ngày) là mộtbiến ngẫu nhiên X liên tục có đồ thị của hàmmật độ 𝑦 = 𝑓 𝑥 đối xứng qua trục tung nhưhình bên.
58
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Đề 11/2015
• a) Cho 𝛼 = 5%. Hãy tính giá trị tới hạn Xα
và nêu ý nghĩa của giá trị tới hạn này (có
nghĩa 𝑃 𝑋 > 𝑋𝛼 = 𝛼).
• b) VaR1-α là một giá trị được định nghĩa là
mức chịu đựng lỗ của công ty, có nghĩa là
xác suất công ty sẽ lỗ một khoản lớn hơn
hay bằng VaR1-α là 𝛼.
• Hãy tính VaR95%?
59