bil kompleks
TRANSCRIPT
1. Bilangan Kompleks
1. BILANGAN KOMPLEKS
Sistem bilangan yang sudah dikenal sebelumnya yaitu sistem
bilangan real, tetapi sistem bilangan real ternyata masih belum cukup
untuk menyelesaikan semua bentuk persamaan. Oleh karena itu, perlu
suatu jenis bilangan baru yang disebut bilangan kompleks. Pengertian
bilangan kompleks, bidang kompleks dan sifat aljabar bilangan kompleks
yang diuraikan dalam bab ini diharapkan dapat menjadi dasar untuk
mempelajari bab-bab selanjutnya. Oleh karena itu, setelah membaca Bab
I, mahasiswa diharapkan dapat
mengerti definisi bilangan kompleks.
mengerti sifat aljabar dan tafsiran geometri bilangan
kompleks.
menuliskan bilangan kompleks dalam bentuk kutub,
eksponen, pangkat dan akar.
1.1 Pengertian Bilangan Kompleks
Mengapa perlu bilangan kompleks ?
mempunyai penyelesaian dengan .
tidak mempunyai penyelesaian jika .
1
1. Bilangan Kompleks
Sehingga perlu mengidentifikasi suatu bilangan sehingga
mempunyai penyelesaian. Selanjutnya perlu dikembangkan suatu sistem
bilangan yaitu bilangan kompleks.
Definisi Bilangan Kompleks
Bilangan kompleks z : merupakan pasangan berurut dengan
. Ditulis : . merupakan bilangan yang berbentuk dengan
dan . Ditulis : .
Jika maka
= bagian riil z,
= bagian imajiner z,
= satuan imajiner dan .
Ada beberapa hal yang perlu diperhatikan dalam bilangan kompleks yaitu
1. = himpunan bilangan kompleks
= .
2. Jika dan maka z dinamakan bilangan imajiner
murni.
3. Jika dan maka z merupakan bilangan riil.
4. Kesamaan bilangan kompleks.
Misalkan dan .
jika dan hanya jika dan .
Contoh 1 a.
dan .
b.
dan . □□
1.2 Bidang Kompleks
Bilangan kompleks merupakan pasangan berurut , sehingga
secara geometri dapat disajikan sebagai titik pada bidang kompleks
(bidang xy), dengan sumbu x (sumbu riil) dan sumbu y (sumbu imajinair).
2
1. Bilangan Kompleks
Selain itu, bilangan kompleks juga dapat disajikan sebagai
vektor dalam bidang kompleks dengan titik pangkal pada titik asal dan
ujung vektor merupakan titik .
y (sumbu imajinair)
•
O x (sumbu riil)
Gambar 1. Bidang kompleks
1.3 Operasi Aljabar
Operasi aljabar pada bilangan kompleks sesuai dengan operasi aljabar pada
bilangan riil.
Operasi Aljabar pada bilangan kompleks
Misalkan dan .
a. Penjumlahan :
b. Pengurangan : c. Perkalian :
d. Pembagian :
Perlu diperhatikan :
1. ( negatif z ).
Jika maka .
2. ( kebalikan z )
Jika maka .
Sifat Operasi Aljabar
a. Hukum komutatif
b. Hukum asosiatif
3
1. Bilangan Kompleks
c. Hukum distributif
d. Elemen netral dalam penjumlahan ( )
e. Elemen netral dalam perkalian ( )
1.4 Modulus dan Bilangan Kompleks Sekawan
Penyajian bilangan kompleks sebagai vektor dapat digunakan untuk
mengembangkan konsep nilai mutlak bilangan riil pada bilangan kompleks.
Definisi modulus (nilai mutlak)
Modulus (nilai mutlak) didefinisikan sebagai
bilangan riil non negatif dan ditulis sebagai
Modulus z = = .
Secara geometri, menyatakan jarak antara titik dan titik asal.
Misalkan dan . Jarak antara dan didefinisikan
dengan
.
Selanjutnya, persamaan menyatakan bilangan kompleks z yang
bersesuaian dengan titik-titik pada lingkaran dengan pusat dan jari-jari
R.
Definisi bilangan kompleks sekawan
Bilangan kompleks sekawan dari
didefinisikan sebagai bilangan kompleks .
Secara geometri, bilangan kompleks sekawan dinyatakan dengan
titik dan merupakan pencerminan titik terhadap sumbu riil.
Contoh 2 a. .
b. menyatakan lingkaran dengan pusat
dan jari-jari .
4
1. Bilangan Kompleks
c. Jika maka . □□
Sifat Modulus dan Bilangan Kompleks Sekawan
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
k. ,
l.
m. Pertidaksamaan Segitiga :
n.
o.
p. .
1.5 Bentuk Kutub
Bentuk kutub bilangan kompleks
Bilangan kompleks dapat disajikan dalam koordinat kutub . Misalkan dan maka dapat dinyatakan dalam bentuk kutub
dengan
r = modulus (nilai mutlak) = = . = argumen dari z =
= .
5
1. Bilangan Kompleks
y • z = x+ iy r θ x
Nilai argumen dari z (arg z) tidak tunggal tetapi merupakan kelipatan (sesuai
dengan kuadran dimana titik z berada). Sedangkan, nilai utama (principal value) dari
ditulis dengan adalah tunggal.
Jelas, . Perlu diperhatikan bahwa :
Operasi aljabar bentuk kutub dan sifat argumen
Misalkan dan
dengan .a. Perkalian
.
b. Pembagian
.
.
c. Invers sebarang bilangan kompleks yaitu
.
.
Contoh
3
Diketahui . Tentukan bentuk kutub dari z dan .
Penyelesaian :
Menggunakan sifat argumen diperoleh :
.
6
1. Bilangan Kompleks
. □□
Selain dalam bentuk umum dan bentuk kutub , bilangan
kompleks juga dapat dinyatakan dalam bentuk eksponen.
Bentuk eksponen
Bentuk eksponen bilangan kompleks yaitu
dengan dinamakan rumus Euler.
Operasi aljabar bentuk eksponen
Misalkan dan .
a. Perkalian
b. Pembagian
c. Invers sebarang bilangan kompleks yaitu
Bentuk pangkat
Misalkan , maka menggunakan aturan pangkat seperti pada
bilangan riil diperoleh
,
Rumus Moivre
Jika , maka bentuk pangkat di atas menjadi , atau
, . Selanjutnya dapat ditulis dalam bentuk
yang disebut Rumus Moivre .
1.6 Bentuk Akar
Bentuk akar
Misalkan , akar pangkat n dari bilangan kompleks ditulis
atau . Jika diberikan bilangan kompleks dan n bilangan bulat
positif, maka diperoleh n buah akar untuk yaitu
7
1. Bilangan Kompleks
, .
Secara geometri, n buah akar tersebut merupakan titik-titik sudut segi n
beraturan pada suatu lingkaran dengan pusat titik O dan jari-jari .
Contoh 4
Tentukan semua akar dari dan gambarkan akar-akar tersebut
dalam bidang kompleks.
Penyelesaian :
Misalkan , maka dan ,
,
Sehingga diperoleh
.
.
.
y 2
x . □□
Ringkasan
Bilangan kompleks mempunyai bentuk kutub , dan bentuk eksponen , dengan .
8
1. Bilangan Kompleks
Soal-soal
1. Tentukan , , dan untuk
a. b.
2. Tuliskan bilangan kompleks berikut dalam bentuk kutub, tentukan juga .
a. c.
b. d.
3. Buktikan .
4. Tentukan semua akar dari dan gambarkan akar-akar tersebut
dalam bidang kompleks.
9