bibliografia recomendada -...
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Bibliografia Recomendada
• Barros Neto, B.; Scarminio, I. S.; Bruns, R. E. Como Fazer
Experimentos.
• Montgomery, D. C. Design and Analysis of Experiments.
• Box, G. E. P.; Hunter, J. S.; Hunter, W. G. Statistics for
Experimenters.
• Cornell, J. A. Experiments with mixtures.
• Portal de periódicos da CAPES
• http://paginapessoal.utfpr.edu.br/ebona
Análise de Regressão
• Nos planejamentos fatoriais os fatores são estudados em dois níveis.
Modelo Linear
MAIS
INFORMAÇÕES!!!
Planejamentos Fatoriais
com dois níveis são uma
etapa inicial!!!
Níveis Intermediários
Análise de Regressão
• Exemplo de análise de regressão
• 1ª Tentativa: modelo linear
• Na forma matricial
Análise de Regressão
• Qual a melhor reta?
• A melhor reta é aquela que passa o mais perto possível de todos os pontos.
• Para a melhor reta a soma dos quadrados dos resíduos deve ser a menor possível MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
Análise de Regressão
• O exame dos resíduos é fundamental para avaliar a qualidade do ajuste de qualquer modelo.
• A avaliação numérica dos resíduos é feita através da ANÁLISE DE VARIÂNCIA (ANOVA).
• A análise de variância é baseada na decomposição algébrica dos desvios das respostas observadas em relação à média.
Análise de Regressão
• ANÁLISE DE VARIÂNCIA (ANOVA):
– Para cada soma quadrática está associado um grau de liberdade (GL): • SQT (n – 1)
• SQR (p – 1)
• SQr (n – p)
– SQ/GL = MQ
– MQr é uma estimativa da variância dos pontos em torno do modelo
– MQr pode ser interpretada como uma medida do erro médio quadrático da equação de regressão
Análise de Regressão
• ANÁLISE DE VARIÂNCIA (ANOVA):
– As MQ são utilizadas para avaliar se a equação
de regressão é estatisticamente significativa.
– Para o teste de significância é usada uma
distribuição F.
O MODELO DE REGRESSÃO É
ESTATISTICAMENTE SIGINIFICATIVO
Análise de Regressão
• Acréscimo do termo quadrático
• Ajuste dos coeficientes pelo método dos
mínimos quadrados.
MODELO
QUADRÁTICO
ajustedefaltapuroerroresíduo SQSQSQ
Falta de Ajuste – Lack of Fit
• Um exame cuidadoso dos gráficos dos resíduos
deve ser considerado obrigatório.
• Se o experimento for realizada em duplicata, é
possível usar essa informação para a estimativa
do erro aleatório.
Desvio dos dados em
torno da média
Desvio do modelo em
torno da média
Análise de Regressão
• Expansão da faixa de trabalho com experimentos duplicados.
• Analisar a falta de ajuste do modelo linear.
• Fazer o ajuste para o modelo quadrático e analisar a falta de ajuste.
Metodologia da Superfície de Resposta
• As principais aplicações da MSR são: – Mapeamento de uma superfície dentro da região explorada;
– Escolha das condições operacionais para obtenção de uma resposta especificada;
– Busca das condições ótimas ou, pelo menos, das melhores condições na região de interesse.
• A estratégia para otimização pode ser resumida em duas etapas: – Experimentos de varredura para selecionar as variáveis
(delineamentos fatoriais).
– Localizar/certificar a sub-região ótima usando análise da superfície de resposta para modelagem, refinamento e otimização.
Delineamentos Centrais Compostos
• São os mais indicados para a obtenção de modelos quadráticos.
2
0
1 1 1
k k k k
i i ij i j ii i
i i j i i
y x x x x
Quantidade de
Fatores (k)
Planejamentos Experimentais
3k DCC
2 9 9
3 27 15
4 81 25
5 243 43
Delineamentos Centrais Compostos
• Um planejamento central composto
para k fatores é formado de três
partes:
– Uma parte chamada de fatorial
(ou cúbica), contendo um total
de nf pontos de coordenadas -1
ou +1.
– Uma parte axial (ou em estrela),
formada por 2k pontos com todas
as coordenadas nulas exceto
uma, que é igual a um certo valor
a (ou –a).
– Um total de nc ensaios realizados
no ponto central, onde todas as
coordenadas são 0.
Delineamentos Centrais Compostos
• Para realizar um planejamento composto central, precisamos definir
como será cada uma dessas três partes.
• Os pontos cúbicos são idênticos aos de um planejamento fatorial
completo ou, dependendo do número de fatores, fracionário.
• Do ponto de vista da resolução, é recomendável usar um fatorial
fracionário de resolução V.
• A escolha de resoluções menores não é muito trivial e dificulta a
análise dos resultados.
Escolha de a
• Planejamento esférico
– Para o estudo de regiões esféricas a melhor escolha seria
• Planejamento Rotacional
– A rotacionalidade permite uma homogeneidade da variância em todas as
direções. Para ser rotacional um planejamento cuja porção cúbica seja
um fatorial completo ou um fatorial fracionário de resolução V deve ter
• Planejamento Box-Behnken
– É um planejamento esférico e no mínimo aproximadamente rotacional,
porém são necessários apenas três níveis para as variáveis.
4fna
ka
Quantidade de Pontos Centrais
• As repetições no ponto central têm duas finalidades:
– Fornecer uma medida do erro puro;
– Estabilizar a variância da resposta prevista.
• Para estabilizar a variância é ideal fazer de 3 a 5 ensaios repetidos se o planejamento for esférico ou 2 a 3 se for cúbico.
Delineamentos Centrais Compostos
• Uma outra vantagem dos planejamentos centrais compostos é que,
por serem formados por partes distintas, podemos construí-los
seqüencialmente.
• Para evitar a existência de erro sistemático em relação as respostas
dos diferentes blocos é necessário que a blocagem seja ortogonal. A
blocagem será ortogonal se
• Quando fazemos o planejamento em blocos ortogonais estamos
sacrificando a rotacionalidade, porém, existem exceções
2
f a ca
f cf
n n n
n na
Exemplo 1
• Planejamento central composto
rotacional para três fatores:
Desidratação osmótica de abacaxi
(Barros Neto et al., 2001).
• Fatores: (A) tempo de contato; (B)
temperatura do processo; (C)
concentração da solução osmótica.
• Resposta: perda de peso relativa.
Regr. Coefficients; Var.:%PP; R-sqr=,75191; Adj:,70229 (2**(3) central composite, nc=8 ns=6 n0=2 Runs=16 (Spreadsheet16 in MSR01) in MSR01)
3 factors, 1 Blocks, 19 Runs; MS Residual=3,50942
DV: %PP
Factor
Regressn
Coeff.
Std.Err. t(15) p -95,%
Cnf.Limt
+95,%
Cnf.Limt
Mean/Interc.
(1)A (L)
(2)B (L)
(3)C (L)
54,12842 0,429775 125,9460 0,000000 53,21238 55,04446
1,24252 0,506923 2,4511 0,026983 0,16204 2,32300
2,55285 0,506923 5,0360 0,000148 1,47236 3,63333
1,90296 0,506923 3,7539 0,001915 0,82248 2,98344
ANOVA; Var.:%PP; R-sqr=,75191; Adj:,70229 (2**(3) central composite, nc=8 ns=6 n0=2 Runs=16 (Spreadsheet16 in MSR01) in MSR01)
3 factors, 1 Blocks, 19 Runs; MS Pure Error=,56473
DV: %PP
Factor SS df MS F p
(1)A (L)
(2)B (L)
(3)C (L)
Lack of Fit
Pure Error
Total SS
21,0843 1 21,08431 37,3352 0,003632
89,0020 1 89,00202 157,6010 0,000232
49,4550 1 49,45502 87,5729 0,000726
50,382411 4,58022 8,1105 0,028910
2,2589 4 0,56473
212,182718
C = 0
56
54
52
50
48
46
44
42
40
C = 0
56
54
52
50
48
46
44
42
40 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0
A
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
B
Critical values; Variable: %PP (2**(3) central composite, nc=8 ns=6 n0=2 Runs=16 (Spreadsheet16 in MSR01) in MSR01)
Solution: maximum
Predicted value at solution: 58,42687
Factor
Observed
Minimum
Critical
Values
Observed
Maximum
A
B
C
-1,68179 0,868892 1,681793
-1,68179 0,640952 1,681793
-1,68179 0,788969 1,681793
Predicted Value; Var.:%PP; R-sqr=,95699; Adj:,92962 (2**(3) central composite, nc=8 ns=6 n0=2 Runs=16 (Spreadsheet16 in MSR01) in MSR01)
3 factors, 1 Blocks, 19 Runs; MS Residual=,8296007
DV: %PP
Factor
Regressn
Coeff.
Value Coeff. *
Value
Constant
(1)A (L)
A (Q)
(2)B (L)
B (Q)
(3)C (L)
C (Q)
2L by 3L
Predicted
-95,% Conf.
+95,% Conf.
-95,% Pred.
+95,% Pred.
56,31824
1,24252 0,868900 1,07963
-0,71500 0,754987 -0,53982
2,55285 0,641000 1,63637
-1,46984 0,410881 -0,60393
1,90296 0,789000 1,50144
-0,86173 0,622521 -0,53644
-0,84750 0,505749 -0,42862
58,42687
57,47891
59,37482
56,20933
60,64440
1
2100,8689 53 210 256,05
53
tempox tempo
2
400,6410 6 40 43,85
6
temperaturax temperatura
3
650,7890 3 65 67,38
3
concetraçãox concentração
Exemplo 2
• Planejamento Box-Behnken para três fatores: Preparo de pudins com introdução de proteína solúvel de soja e soro de queijo (Castro, 1991).
• Fatores: (x1) proteína de soja; (x2) leite integral; (x3) soro.
• Resposta: aceitabilidade obtida através de escala hedônica.