bÀi 4 ĐỊnh thỨc - eldata3.neu.topica.vneldata3.neu.topica.vn/txtocb02/giao trinh/05_neu... ·...

Bài 4: Định thức

40 TXTOCB02_Bai4_v1.0014104226

Hướng dẫn học

Để học tốt bài này, sinh viên cần tham khảo các phương pháp học sau:

Học đúng lịch trình của môn học theo tuần, làm các bài luyện tập đầy đủ và tham gia thảo luận trên diễn đàn.

Đọc tài liệu:

1. Giáo trình Toán cao cấp cho các nhà kinh tế, phần I: Đại số tuyến tính, NXB Đại học KTQD, 2012.

2. Bộ môn toán cơ bản, 2009, Bài tập toán cao cấp cho các nhà kinh tế, NXB Thống kê.

3. Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, 2008, Toán cao cấp 1, NXB Giáo dục.

4. Alpha C.Chiang, 1995, Fundamental Methods of Mathematical Economics, Thirdedition, Mc. Graw-Hill, Inc.

5. Michael Hoy, John Livernois, Chris Mc Kenna, Ray Rees, Thanasis Stengo S, 2001, Mathematics for Economics, The MIT Press Cambrige, Massachusetts,London, England.

Sinh viên làm việc theo nhóm và trao đổi với giảng viên trực tiếp tại lớp học hoặc qua email.

Tham khảo các thông tin từ trang Web môn học.

Nội dung

Khái niệm định thức và kí hiệu;

Tính các định thức cấp 1, cấp 2 và cấp 3;

Các tính chất cơ bản của định thức;

Các phương pháp tính định thức.

Mục tiêu

Sinh viên nắm được định nghĩa và các tính chất của định thức.

Biết cách tính định thức theo các phương pháp được nêu trong bài.

Biết cách áp dụng các tính chất của định thức vào bài tập.

BÀI 4 ĐỊNH THỨC


TXTOCB02_Bai4_v1.0014104226 41

Tình huống dẫn nhập

Mở rộng khái niệm định thức đã biết

Trong chương trình toán phổ thông, ta đã biết ký hiệu và cách tính định thức của ma trận vuông cấp 2:

Có các ma trận vuông cấp 3 và cấp 4 sau:

Định thức của các ma trận trên được tính như thế nào?

1 21 5 2 3 5 6 11

3 5

3 2 1 12 3 1

2 3 0 3A 2 4 1 , B

2 4 2 13 1 2

3 1 2 2


42 TXTOCB02_Bai4_v1.0014104226

4.1. Khái niệm định thức và ký hiệu

Cho A là một ma trận vuông cấp n, ta gán cho A một số thực cố định gọi là định thức

của A, ký hiệu là det(A) hoặc A được định nghĩa theo n như sau:

n = 1, A là ma trận vuông cấp 1: A = (a) thì det(A) = a

n = 2, 11 12 11 1211 22 12 21

21 22 21 22

a a a aA det(A) a a a a

a a a a

Tổng quát A là ma trận vuông cấp n . Xóa đi dòng thứ i và cột thứ j của A, ta được một ma trận vuông cấp n – 1, định thức của ma trận đó ký hiệu là Mij. Ký hiệu:

Aij = (–1)i+j Mij

Khi đó:

11 11 12 12 1j 1j 1n 1ndet(A) a A a A a A a A

Aij được định nghĩa ở trên gọi là phần bù đại số của phần tử aij của ma trận A hoặc

phần bù đại số của phần tử aij của A .

Nếu không đặt tên ma trận thì ta viết định thức cấp n dưới dạng một bảng số có n dòng và n cột đặt giữa hai dấu gạch đứng:

11 12 ln

21 22 2n

n1 n2 nn

a a ... a

a a ... a

... ... ... ...

a a ... a

Chú ý rằng mỗi định thức là một số xác định, còn ma trận chỉ là một bảng số. Dấu gạch đứng được sử dụng thay cho dấu ngoặc để phân biệt định thức với ma trận vuông.

4.2. Tính các định thức cấp 1, cấp 2 và cấp 3

4.2.1. Định thức cấp 1

Ma trận vuông cấp 1 chỉ có một phần tử duy nhất là một số a. Định thức của ma trận vuông cấp 1 chính là phần tử duy nhất của nó.

det([a]1×1) = a.

4.2.2. Định thức cấp 2

Định thức cấp 2 bằng tích hai phần tử thuộc đường chéo chính trừ đi tích hai phần tử thuộc đường chéo phụ:

11 1211 22 12 21

21 21

a aa a a a .

a a

Ví dụ:

x ybx ay

a b

1 21.3 ( 2).5 13

5 3


TXTOCB02_Bai4_v1.0014104226 43

4.2.3. Định thức cấp ba

Định thức cấp 3 được tính theo công thức:

11 12 13

21 22 23 1 2 3 4 5 6

31 32 33

a a a

a a a T T T (T T T )

a a a

Trong đó mỗi số hạng Tk (k = 1, 2, ..., 6) là tích của ba phần tử mà ta có thể xác định theo quy tắc đường chéo như sau:

T1 là tích 3 phần tử thuộc đường chéo chính; mỗi tích T2 và T3 là tích của hai phần tử trên đường song song với đường chéo chính (phía trên và phía dưới) và phần tử ở góc đối diện.

Các tích T4, T5, T6 (đặt sau dấu −) được xác định hoàn toàn giống như T1, T2, T3, nhưng theo đường chéo phụ.

Quy tắc đường chéo được biểu diễn trên sơ đồ sau (các dấu chấm đen với nhau là các thừa số của một tích Tk):

2 3 1T T T

• • •

• • •

• • •

4 6 5T T T

• • •

• • •

• • •

(Gán dấu +) (Gán dấu –)

Ví dụ 1: Tính định thức

1 2 3

1 5 2

4 3 2

Giải: Theo quy tắc đường chéo

T1 là tích của ba số thuộc đường chéo chính (số 1, số 5 và số 2):

T1 = 1.5.2 = 10

T2 là tích của hai số trên đường song song phía dưới đường chéo chính (số 2 và số −2) và số ở góc đối diện số (số 4):

T2 = 2.(−2).4 = −16

T3 là tích của hai số trên đường song song phía dưới đường chéo chính (số −1 và số −3) và số ở góc đối diện (số 3):

T3 = (−1).(−3).3 = 9

T4 là tích ba số thuộc đường chéo phụ (số 3, số 5 và số 4):

T4 = 3.5.4 = 60

T5 là tích hai số trên đường song song phía trên đường chéo phụ (số 2 và số −1) và số ở góc đối diện (số 2):

T5 = 2.(−1).2 = −4


44 TXTOCB02_Bai4_v1.0014104226

T6 là tích hai số trên đường song song phía dưới đường chéo phụ (số −2 và số −3) và số ở góc đối diện (số 1):

T6 = (−2).(−3).1 = 6

Vậy, ta có:

1 2 3

1 5 2 = 10 16 + 9 (60 4 + 6) = 3 62= 59

4 3 2


3 1 2

d = 2 4 9

6 1 8

Giải: Theo quy tắc nói trên ta dễ dàng tính được

3 1 2

2 4 9 = 96 54 + 4 (48 16 + 27) = 46 59= 13

6 1 8

4.3. Các tính chất cơ bản của định thức

Đối với các định thức cấp cao việc tính định thức trực tiếp theo định nghĩa trở nên cồng kềnh, bởi định thức cấp cao thì số lượng các thành phần càng lớn và số lượng phép toán phải thực hiện càng đồ sộ. Do đó, chúng ta cần đến các phương pháp khác để tính định thức. Trước khi đề cập đến các phương pháp tính định thức, chúng ta hãy xem xét các tính chất cơ bản của định thức để sử dụng khi tính toán.

Định lý 1: Định thức của một ma trận vuông bằng định thức của ma trận chuyển vị của nó, tức là:

|A’| = |A|

với mọi ma trận vuông A.

Định lý 1 cho thấy các dòng và các cột trong định thức có vai trò như nhau, do đó tất cả tính chất đúng với các dòng đều đúng với các cột. Trong các định lý dưới đây về tính chất của định thức ta chỉ nói đến các dòng. Các định lý đó vẫn giữ nguyên giá trị khi ta thay chữ “dòng” bằng chữ “cột”.

Định lý 2: Nếu trong các định thức ta đổi chỗ hai dòng và giữ nguyên vị trí của các dòng còn lại thì định thức đổi dấu.

Ví dụ: Ta có

1 2 3

1 5 2 = 59

4 3 2


TXTOCB02_Bai4_v1.0014104226 45

Sau khi đổi chỗ dòng thứ nhất và dòng thứ hai ta được:

1 5 2

1 2 3 = 59

4 3 2

Định lý 3: Nếu nhân một dòng nào đó của định thức với một số α (tức là nhân mỗi phân tử của dòng đó với số α) thì định thức mới nhận được bằng định thức cũ nhân với α

11 12 1n 11 12 1n

i1 i2 in i1 i2 in

n1 n2 nn n1 n2 nn

a a ... a a a ... a

... ... ... ... ... ... ... ...

= ααa αa ... αa a a ... a

... ... ... ... ... ... ... ...

a a ... a a a ... a

Nói cách khác: Thừa số chung của các phân tử của một dòng của định thức có thể đưa ra ngoài dấu định thức.

Ví dụ: Ta có

10 20 30 1 2 3

1 5 2 = 10 1 5 2 = 10.( 59) = 590

4 3 2 4 3 2

(Đưa thừa số chung của các phần tử ở dòng thứ nhất ra ngoài dấu định thức).

Chú ý: Nếu A là ma trận vuông cấp n thì ma trận αA nhận được từ A sau khi nhân cả n dòng của nó với α. Sử dụng định lý 3 ta có:

|αA| = αn|A|

Định lý 4: Nếu ta cộng vào một dòng của định thức tích của một dòng khác với một số k tùy chọn thì định thức không thay đổi.

Ví dụ: Ta có

1 2 3

1 5 2 = 59

4 3 2

Nếu cộng dòng thứ hai và dòng thứ ba, theo thứ tự, dòng thứ nhất và tích của dòng thứ nhất (−4) thì định thức không thay đổi:

1 2 3

0 7 1 = 59

0 11 10

Định lý 5: Định thức bằng 0 trong các trường hợp sau đây:

Có một dòng với tất cả các phần tử bằng 0;

Có hai dòng giống nhau;

Có hai dòng tỷ lệ.


46 TXTOCB02_Bai4_v1.0014104226

Ví dụ: Định thức

3 1 2

59 47 95 = 0

9 3 6

Do có dòng thứ nhất và dòng thứ ba tỷ lệ.

Định lý sau đây được áp dụng khi chúng ta xem mỗi dòng (cột) của định thức cấp n như một vectơ n chiều.

Định lý 6: Hệ vectơ dòng của định thức phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi định thức đó bằng 0.

Sử dụng định lý 6 ta có thể xét sự phụ thuộc tuyến tính của một hệ vectơ n chiều có số vectơ đúng bằng n (hệ 2 vectơ 2 chiều, hệ 3 vectơ 3 chiều,...) thông qua việc tính định thức.

Hệ quả: Hệ vectơ dòng của định thức độc lập tuyến tính khi và chỉ khi định thức đó khác 0.

Ví dụ 1: Xét sự phụ thuộc tuyến tính của hệ 3 vectơ:

X1 = (5, 3, 4), X2 = (3, −1, 7), X3 = (1, 9, −13). Giải: Hệ 3 vectơ đã cho là hệ vectơ dòng của định thức

5 3 4

d = 3 1 7

1 9 13

Dễ dàng tính được d = 0, do đó hệ 3 vectơ đã cho phụ thuộc tuyến tính.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng hệ 3 vectơ

P1 = (3, −2, 4), P2 = (4, 5, −3), P3 = (2, 1, 6)

là một cơ sở của không gian R3.

Giải: Tính định thức có các dạng theo thứ tự là các vectơ P1, P2, P3

3 2 4

4 5 3 = 90 + 12 + 16 (40 48 9) = 135 0

2 1 6

Theo định lý 6 thì hệ vectơ P1, P2, P3 độc lập tuyến tính, và do đó nó là một cơ sở của không gian R3.

4.4. Các phương pháp tính định thức

4.4.1. Phương pháp khai triển

4.4.1.1. Nhắc lại khái niệm phần bù đại số

Cho định thức cấp n:

11 1j 1n

i1 ij in

n1 nj nn

a ... a ... a

... ... ... ... ...

a ... a ... ad

... ... ... ... ...

a ... a ... a


TXTOCB02_Bai4_v1.0014104226 47

Xóa đi dòng thứ i và cột thứ j (dòng và cột chứa phân tử aij) của định thức d ta được một định thức cấp n –1, ký hiệu Mij.

Định nghĩa: Định thức Mij được gọi là phần bù và Aij = (−1)i+j Mij được gọi là phần bù đại số của phần tử aij của định thức d.

Chú ý rằng phần bù đại số của một phần tử aij là phần bù Mij được gán dấu (+) nếu (i+j) là số chẵn, và được gán dấu (−) nếu (i + j) là số lẻ:

ij

ijij

M n u i j ch na

M n u i j l

Õ ½

Õ Î

Ví dụ: Cho định thức

2 3 5

d = 1 4 2 .

3 1 2

Phần bù đại số của các phần tử thuộc dòng thứ nhất của định thức đã cho là:

1+111 11

4 2A = ( 1) M = + = 10;

1 2

1+212 12

1 2A = ( 1) M = = 4;

3 2

1+313 13

1 4A = ( 1) M = + = 13.

3 1

4.4.1.2. Quy tắc khai triển định thức

Ta công nhận định lý sau đây:

Định lý: Định thức cấp n bằng tổng của n số hạng, mỗi số hạng là tích của một phần tử trên một dòng (hoặc cột) bất kỳ với phần bù đại số của phần tử đó.

Ta luôn có:

d = ai1Ai1 + ai2Ai2 + … + ainAin (4.2)

d = a1jA1j + a2jA2j + … + anjAnj (4.3)

Công thức (4.2) được gọi là công thức khai triển định thức theo dòng i và công thức (4.3) được gọi là công thức khai triển định thức theo cột j.

Các công thức khai triển (4.3) và (4.4) cho phép ta tính một định thức cấp n thông qua các định thức cấp n – 1.


1

1 1 2 2

3 1 5 1d =

2 5 0 0

2 1 3 1


48 TXTOCB02_Bai4_v1.0014104226

Khai triển định thức d1 theo dòng thứ ba ta được:

1 31 32 33 34

31 32

d = ( 2)A + 5.A + 0.A + 0.A

1 2 2 1 2 2

= ( 2)M + 5.( M ) = 2 1 5 1 5 3 5 1

1 3 1 2 3 1

= 2.8 5.( 48) = 224

Nhận xét: Trên đây ta có chọn dòng thứ ba để khai triển định thức d1 bởi vì sự có mặt các phần tử bằng 0 trên dòng này là giảm hẳn khối lượng tính toán. Để việc tính toán khỏi cồng kềnh, bạn nên biến đổi sao cho một dòng (hoặc một cột) nào đó chỉ còn lại một phần tử khác 0, sau đó khai triển theo dòng (hoặc cột) đó. Bằng cách như vậy ta có thể tính một định thức cấp n thông qua một định thức cấp n – 1.


2

3 1 4 3

2 2 11 4d =

2 1 7 8

5 3 3 2

Giải: Trước hết ta biến đổi sao cho cột thứ hai chỉ còn lại một phần tử duy nhất khác 0 là a12 = 1. Để thực hiện điều đó ta cộng lần lượt vào dòng thứ hai, dòng thứ ba và dòng thứ tư tích của dòng thứ năm, theo thứ tự, với (–2),(–1) và 3. Theo tính chất của định thức (định lý 4) thì định thức không thay đổi qua ba phép biến đổi đó, do đó

2

3 1 4 3

4 0 3 2d =

1 0 3 5

14 0 9 7

Khai triển định thức theo cột thứ hai ta được:

2 12

4 3 2

d = 1.A = 1 3 5 = 429

14 9 7

4.4.2. Phương pháp biến đổi về dạng tam giác

Xét định thức của ma trận dạng tam giác:

11 12 1n

22 2n11 22 nn

nn

b b ... b

0 b ... bd b b b

... ... ... ...

0 0 ... b

(bij = 0 khi i < j)

Sử dụng liên tiếp công thức khai triển định thức theo cột thứ nhất ta dễ dàng có được công thức sau:

d = b11 b22… bnn

Như vậy, định thức dạng tam giác bằng tích các phần tử thuộc đường chéo chính. Điều này gợi ý cho ta một phương pháp khác để tính định thức là biến đổi định thức


TXTOCB02_Bai4_v1.0014104226 49

về dạng tam giác. Việc biến đổi được thực hiện tương tự như phương pháp khử ẩn liên tiếp trong ma trận hệ số để giải phương trình tuyến tính thuần nhất, song bạn cần lưu ý sử dụng chính xác các tính chất của định thức mỗi lần biến đổi.


3

2 3 5 3

3 4 1 5d =

4 5 4 6

6 6 7 2

Giải: Giống như thủ tục biến đổi khử ẩn đối với hệ phương trình tuyến tính, trước hết ta biến đổi sao cho các số đứng đầu của các dòng từ dòng thứ hai trở xuống bằng 0. Để khỏi phải tính phân số trong quá trình trung gian ta nhân dòng thứ hai với 2. Theo tính chất của định thức thì định thức sau khi biến đổi bằng 2d3, do đó

3

2 3 5 3

6 8 2 101d =

4 5 4 62

6 6 7 2

Cộng lần lượt vào dòng thứ hai, thứ ba và thứ tư, theo thứ tự, tích của dòng thứ nhất với (−3), (−2) và (−3) ta được:

3

2 3 5 3

0 1 13 191d =

0 1 14 122

0 15 8 11

Tiếp theo, cộng lần lượt vào các dòng thứ ba và thứ tư, theo thứ tự, tích của dòng thứ hai với (–1) và (–15) ta được:

3

2 3 5 3

0 1 13 191d = .

0 0 1 72

0 0 187 274

Cuối cùng, cộng vào dòng thứ tư tích của dòng thứ ba với 187, ta được:

3

2 3 5 3

0 1 13 191d = .

0 0 1 42

0 0 0 1583

Theo quy tắc tính định thức dạng tam giác ta được:

1d = .2.( 1).( 1).( 1583) = 1583

2


50 TXTOCB02_Bai4_v1.0014104226


1 2 3 2 5

2 1 2 1 3

d = 1 4 2 0 1

3 5 2 3 3

1 4 3 0 3

Giải: Để biến đổi về dạng tam giác, trước hết ta cộng vào dòng thứ hai, dòng thứ ba, dòng thứ tư và dòng thứ năm tích của dòng thứ nhất, theo thứ tự, với (−2), (−1), (−3),

và (−1). Sau các phép biến đổi đó ta được:

1 2 3 2 5

0 5 4 5 13

d = 0 6 1 2 6

0 11 7 3 18

0 6 0 2 2

Tiếp theo để tránh phải tính phân số ta cộng vào dòng thứ hai, dòng thứ tư và dòng thứ

năm, theo thứ tự, tích của dòng thứ ba với (−1), (−2) và (−1). Kết quả là:

1 2 3 2 5

0 1 3 3 7

d = 0 6 1 2 6

0 1 5 1 6

0 0 1 0 4

Bây giờ cộng vào dòng thứ ba và dòng thứ tư theo thứ tự, tích của dòng thứ hai với 6

và (–1) ta được:

1 2 3 2 5

0 1 3 3 7

d = .0 0 19 20 48

0 0 2 4 1

0 0 1 0 4

Tiếp theo, cộng vào dòng thứ ba và dòng thứ tư tích của dòng thư năm, theo thứ tự,

với 19 và với 2, sau đó đổi chỗ dòng thứ ba và dòng thứ năm ta được:

1 2 3 2 5

0 1 3 3 7

d = 0 0 1 0 4

0 0 0 4 9

0 0 0 20 28


TXTOCB02_Bai4_v1.0014104226 51

Cuối cùng, cộng vào dòng thứ năm tích của dòng thứ tư với 5, ta được định thức dạng

tam giác:

1 2 3 2 5

0 1 3 3 7

d = 0 0 1 0 4

0 0 0 4 9

0 0 0 0 73

Theo quy tắc tính định thức dạng tam giác ta được:

d = 1.( 1).1.4.( 73) = 292


52 TXTOCB02_Bai4_v1.0014104226

Tóm lược cuối bài Định thức của ma trận vuông A được ký hiệu |A|, hoặc det(A).

Mỗi định thức là một số xác định.

Định thức của ma trận vuông cấp 1 chính là phần tử duy nhất của nó.

Định thức cấp 2 bằng tích hai phần tử thuộc đường chéo chính trừ di tích hai phần tử thuộc đường chéo phụ.

Định thức cấp ba:

11 12 13

21 22 23 1 2 3 4 5 6

31 32 33

a a a

a a a T T T (T T T )

a a a

Định thức của một ma trận vuông bằng định thức của ma trận chuyển vị của nó.

Nếu trong các định thức ta đổi chỗ hai dòng và giữ nguyên vị trí của các dòng còn lại thì định thức đổi dấu.

Nếu nhân một dòng nào đó của định thức với một số α (tức là nhân mỗi phân tử của dòng đó với số α thì định thức mới nhận được bằng định thức cũ nhân với α.

Nếu ta cộng vào một dòng của định thức tích của một dòng khác với một số k tùy chọn thì định thức không thay đổi.

Định thức bằng 0 trong các trường hợp sau đây:

Có một dòng với tất cả các phần tử bằng 0;

Có hai dòng giống nhau;

Có hai dòng tỷ lệ.

Hệ vectơ dòng của định thức phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi định thức đó bằng 0.

Cho d là định thức của ma trận vuông A cấp n. Xóa đi dòng thứ i và cột thứ j (dòng và cột chứa phần tử aij) của định thức d ta được một định thức cấp n –1, ký hiệu Mij: gọi là phần bù của aij.

Aij = (−1)i+j Mij được gọi là phần bù đại số của phần tử aij

Phương pháp khai triển: Áp dụng định lý sau để tính định thức

Định thức cấp n bằng tổng của n số hạng, mỗi số hạng là tích của một phần tử trên một dòng (hoặc cột) bất kỳ với phần bù đại số của phần tử đó.

Phương pháp biến đổi định thức về dạng tam giác: Biến đổi định thức về dạng tam giác và áp dụng kết quả sau:

11 12 1n

22 2n11 22 nn

nn

b b ... b

0 b ... bd b b b

... ... ... ...

0 0 ... b


TXTOCB02_Bai4_v1.0014104226 53

Câu hỏi ôn tập

1. Nêu định nghĩa định thức cấp 1, 2, 3.

2. Nêu khái niệm phần bù của một phần tử của ma trận.

3. Nêu định nghĩa và công thức tính phần bù đại số của một phần tử của ma trận.

4. Phần bù đại số của một phần tử của ma trận có phụ thuộc vào giá trị của ma trận đó hay không?

5. Nêu các tính chất cơ bản của định thức.

6. Nhân một dòng của định thức với một số có làm thay đổi định thức không?

7. Khi tính định thức, ta lấy một dòng trừ đi một dòng khác thì định thức có thay đổi hay không?

8. Nêu quy tắc khai triển định thức theo một dòng.

9. Nêu quy tắc khai triển định thức theo một cột.

10. Nêu nội dung của phương pháp biến đổi định thức về dạng tam giác.

bÀi 4 ĐỊnh thỨc - eldata3.neu.topica.vneldata3.neu.topica.vn/txtocb02/giao trinh/05_neu... ·...

Documents