bÀi 3 Ứng dỤng cỦa ĐẠohÀm trong toÁn hỌc vÀ …eldata3.neu.topica.vn/txtocb01/giao...

Bài 3: Ứng dụng của đạo hàm trong toán học và trong phân tích kinh tế

30 TXTOCB01_Bai3_v1.0014105205

BÀI 3 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG TOÁN HỌC VÀ TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ

Hướng dẫn học

Để học tốt bài này, sinh viên cần tham khảo các phương pháp học sau:

Học đúng lịch trình của môn học theo tuần, làm các bài luyện tập đầy đủ và tham gia thảo luận trên diễn đàn.

Đọc tài liệu:

1. BỘ MÔN TOÁN CƠ BẢN, 2009, Bài tập toán cao cấp cho các nhà kinh tế, NXB Thống kê.

2. NGUYỄN ĐÌNH TRÍ, TẠ VĂN ĐĨNH, NGUYỄN HỒ QUỲNH, 2008, Toán cao cấp 2, NXB Giáo dục.

3. NGUYỄN ĐÌNH TRÍ, TẠ VĂN ĐĨNH, NGUYỄN HỒ QUỲNH, 2008, Toán cao cấp 3, NXB Giáo dục.

4. ALPHA C. CHIANG,1995, Fundamental Methods of Mathematical Economics, Third edition, Mc. Graw–Hill, Inc.

5. MICHAEL HOY,JOHN LIVERNOIS, CHRIS MC KENNA, RAY REES, THANASIS STENGOS, 2001, Mathematics for Economics, The MIT Press Cambrige, Massachusetts, London, England.

Sinh viên làm việc theo nhóm và trao đổi với giảng viên trực tiếp tại lớp học hoặcqua email.

Tham khảo các thông tin từ trang Web môn học.

Nội dung

Đạo hàm và xu hướng biến thiên của hàm số;

Tìm các điểm cực trị của hàm số;

Ý nghĩa của đạo hàm trong kinh tế;

Tính hệ số co dãn của cung và cầu theo giá;

Sự lựa chọn tối ưu trong kinh tế.

Mục tiêu

Trình bày ứng dụng của đạo hàm để tìm các khoảng tăng, giảm và cực trị của hàm số;

Đưa ra phương án tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [a, b];

Tính và nêu được ý nghĩa kinh tế của y’(x0);

Tính và nêu được ý nghĩa kinh tế của hệ số co dãn của cung, cầu theo giá;

Giải quyết được bài toán tối ưu lợi nhuận (theo mức sản lượng tối ưu hoặc sử dụng mức lao động tối ưu).


TXTOCB01_Bai3_v1.0014105205 31

Tình huống dẫn nhập

Cho biết hàm lợi nhuận của nhà sản xuất như sau:

3 21Q 14Q 60Q 54

3

Trong đó:

là lợi nhuận của nhà sản xuất

Q là mức sản lượng cho lợi nhuận

Hãy chọn mức sản lượng cho lợi nhuận tối đa?


32 TXTOCB01_Bai3_v1.0014105205

3.1. Đạo hàm và xu hướng biến thiên của hàm số

3.1.1. Liên hệ giữa đạo hàm và xu hướng biến thiên của hàm số

Xin nhắc lại rằng hàm số y = f(x) được gọi là đơn điệu tăng (đơn điệu giảm) trên một khoảng X nếu với mọi cặp điểm x1, x2 thuộc X, hiệu số f(x2) – f(x1) luôn cùng dấu (trái dấu) với x2 – x1. Nói cách khác, hàm số f(x) đơn điệu tăng (đơn điệu giảm) trong khoảng X khi và chỉ khi

1 2 1 2 1 2 1 2x x f (x ) f (x ) [f (x ) f (x )], ( x , x X)

Định lý sau đây cho biết điều kiện cần để hàm số f(x) đơn điệu tăng (đơn điệu giảm) trong một khoảng.

Định lý 1: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm tại mọi điểm thuộc khoảng (a; b). Nếu f(x) đơn điệu tăng (đơn điệu giảm) trong khoảng (a; b) thì

f '(x) 0 [f '(x) 0], x (a;b)

Điều kiện đủ để hàm số f(x) đơn điệu tăng (đơn điệu giảm) trong một khoảng có nội dung như sau:

Định lý 2: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trong khoảng (a; b). Khi đó:

Nếu f’(x) > 0 [f’(x) < 0] tại mọi điểm x (a;b) thì hàm số f(x) đơn điệu tăng (đơn

điệu giảm) trong khoảng (a; b).

Nếu f’(x) = 0 tại mọi điểm x (a;b) thì hàm số f(x) nhận giá trị không đổi trong

khoảng (a; b).

Định lý 2 có thể mở rộng như sau:

Định lý 3: Nếu hàm số f(x) liên tục trên khoảng X và

f '(x) 0 [f '(x) 0]

Với mọi x X \ A , trong đó A là một tập con rời rạc của khoảng X, thì hàm số f(x) đơn điệu tăng (đơn điệu giảm) trên toàn bộ khoảng X.

3.1.2. Xác định các khoảng tăng, giảm của hàm số

Để xác định các khoảng tăng, giảm của hàm số y = f(x) ta lần lượt thực hiện các bước sau:

Tìm miền xác định của hàm số

Tính đạo hàm y’ = f’(x)

Xét dấu của đạo hàm y’ theo x

Căn cứ vào các định lý về điều kiện đủ nên trên để xác định các khoảng tăng, giảm của hàm số y = f(x).

Ví dụ 1: Xác định các khoảng tăng, giảm của hàm số f(x) = x.e–x

Giải: Hàm số đã cho xác định và liên tục tại mọi điểm x R và

x x xf’ x e – x.e 1 – x .e , x R

Dấu của f’(x) như dấu của nhị thức (1 – x), do đó

f '(x) 0 x ( ;1), f '(x) 0 x (1; )

Theo định lý 2, hàm số f(x) tăng trong khoảng (–∞; 1) và giảm trong khoảng (1; +∞)

Ví dụ 2: Xác định các khoảng tăng, giảm của hàm số

2 3xf x x .e


TXTOCB01_Bai3_v1.0014105205 33

Giải: Hàm số đã cho xác định và liên tục tại mọi điểm x R và 3x 2 x 2 xf '(x) 2xe x ( 3e ) (2x 3x ).e , x R

Dấu của f(x) như dấu của tam thức bậc hai (2x – 3x2), do đó

f’(x) > 0 trong khoảng (0; 3/2)

f’(x) < 0 trong các khoảng (–∞; 0), (3/2; +∞)

Ví dụ 3: Xác định các khoảng tăng, giảm của hàm số: 3y x. x 1

Giải: Hàm số đã cho xác định và liên tục tại mọi điểm x R và

1/3 1/3 2/3

3

2 2 23 3 3

1y ' [x(x 1) ]' (x 1) x (x 1)

3x 3(x 1) x 4x 3

x 1 , x 13 x 1 3 x 1 x 1

Đạo hàm y’ là một phân thức có mẫu số dương với mọi x ≠ 1, do đó dấu của nó như dấu của tử số. Theo quy tắc dấu của nhị thức bậc nhất ta dễ dàng xác định được dấu của y’ như sau:

y ' 0 với mọi 3x ;

4

y ' 0 với mọi 3x ;

4

, trừ một điểm x = 1

Theo định lý 2, hàm số f(x) giảm trong khoảng 3;4

và, theo định lý 3, hàm số

tăng trong khoảng 3;

4

3.2. Tìm các điểm cực trị của hàm số

3.2.1. Khái niệm cực trị địa phương

Giả sử hàm số f(x) xác định và liên tục trong khoảng (a; b)

Định nghĩa: Ta nói rằng hàm số đạt giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) tại điểm

0x (a;b) nếu tồn tại số δ > 0 đủ nhỏ sao cho bất đẳng thức

0 0f x f x f x f x

luôn luôn được thỏa mãn khi 0 < |x – x0| < δ

Điểm x0 mà tại đó hàm số f(x) nhận giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) cuả nó. Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số.

0 x1 x2 x3 x

y

y = f(x)


34 TXTOCB01_Bai3_v1.0014105205

Việc hạn chế 0 < |x – x0| < δ, với δ đủ nhỏ có nghĩa là khái niệm cực trị (giá trị cực đại hoặc giá trị cực tiểu) được hiểu theo nghĩa cực trị địa phương (còn gọi là cực trị tương đối): giá trị f(x0) là giá trị cực đại (cực tiểu) nếu nó lớn hơn (nhỏ hơn) tất cả các giá trị khác tại những điểm x gần x0. Nhìn trên đồ thị thì thứ tự cực đại (cực tiểu) là các đỉnh nhô lên (đỉnh thụt xuống) của đường cong y = f(x). Trên hình vẽ, x1 và x3 là các điểm cực đại, còn x2 là điểm cực tiểu của hàm số y = f(x).

3.2.2. Điều kiện cần của cực trị

Định lý về điều kiện cần có nội dung như sau:

Định lý: Nếu hàm số f(x) đạt giá trị cực đại hoặc cực tiểu tại điểm 0x (a;b) và tại

điểm đó hàm số có đạo hàm thì f’(x0) = 0.

Định lý cho biết hàm số f(x) chỉ có thể đạt cực trị tại các điểm thuộc một trong hai loại sau đây:

Điểm mà tại đó đạo hàm triệt tiêu (gọi là điểm dừng);

Điểm mà tại đó hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm;

Các điểm thuộc cả hai loại nói trên được gọi là điểm tới hạn của hàm số f(x).

Để tìm các điểm cực trị của một hàm số, trước hết ta phải tìm tất cả các điểm tới hạn của nó. Tuy nhiên, các điểm tới hạn mới chỉ là những điểm thỏa mãn điều kiện cần. Muốn có kết luận cuối cùng về các điểm tới hạn ta phải tiếp tục xét điều kiện đủ.

3.2.3. Điều kiện đủ

Định lý sau đây dùng để xét một điểm tới hạn bất kỳ dựa vào dấu của đạo hàm cấp 1:

Định lý 1: Giả sử điểm x0 là một điểm tới hạn của hàm số f(x) và giả sử hàm số có đạo hàm f’(x) mang dấu xác định trong mỗi khoảng (x0; x0 – δ) và (x0; x0 + δ). Khi đó:

Nếu qua điểm x0 đạo hàm f’(x) đổi dấu thì hàm số f(x) đạt cực trị tại điểm đó:

o x0 là điểm cực đại nếu f’(x) đổi dấu từ + sang –

o x0 là điểm cực tiểu nếu f’(x) đổi dấu từ – sang +

Nếu qua điểm x0 đạo hàm f’(x) không đổi dấu thì hàm số không đạt cực trị tại điểm đó.

Để xét điều kiện đủ đối với các điểm dừng, ta còn có thể sử dụng đạo hàm cấp cao:

Định lý 2: Giả sử tồn tại số tự nhiên n ≥ 2 sao cho (n 1) (n)

0 0 0 0f (x ) f (x ) f (x ) 0; f (x ) 0

Khi đó:

Nếu n là số chẵn thì x0 là một điểm cực trị của hàm số f(x): x0 là điểm cực đại nếu f(n)(x0) < 0; x0 là điểm cực tiểu nếu f(n)(x0) > 0.

Nếu n lẻ thì x0 không phải là điểm cực trị của hàm số f(x).

Trường hợp n = 2 ta có quy tắc sau:

o Nếu f’(x0) = 0 và f”(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại của hàm số f(x).

o Nếu f’(x0) = 0 và f”(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số f(x).

3.2.4. Tìm các điểm cực trị của hàm số

Để tìm các điểm cực trị địa phương của một hàm số y = f(x) ta thực hiện lần lượt các bước như sau:


TXTOCB01_Bai3_v1.0014105205 35

Tìm miền xác định của hàm số

Tính đạo hàm y’ = f’(x)

Giải điều kiện cần để tìm các điểm tới hạn:

o Giải phương trình f(x) = 0 để tìm các điểm dừng

o Chỉ ra những điểm thuộc miền xác định mà tại đó hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm

Xét điều kiện đủ đối với từng điểm tới hạn và kết luận.

Ví dụ 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số

23y x. x 1

Giải: Hàm số này xác định và liên tục trên toàn bộ trục số. Ta có:

23

2 2 23 3 3

2x 3(x 1) 2x 5x 3y ' x 1 ( x 1)

3. x 1 3. x 1 3. x 1

Hàm số đã cho có 2 điểm tới hạn: y’ = 0 khi 3

x5

và y’ không tồn tại khi x = 1.

Dấu của đạo hàm y’ như dấu của biểu thức (5x – 3)(x – 1):

x – 3/5 1 +

y’ + 0 – ║ +

Sử dụng định lý 1 về điều kiện đủ ta đi đến kết luận: x = 3/5 là điểm cực đại và x = 1 là điểm cực tiểu.

Ví dụ 2: Tìm các điểm cực trị của hàm số xf (x) (1 x)e

Giải: Hàm số đã cho xác định trên toàn bộ trục số và có đạo hàm như sau x x xf '(x) e (1 x)( e ) (x 2)e , x R

Hàm số có đạo hàm tại mọi điểm và phương trình f’(x) = 0 chỉ có một nghiệm x = 2. Đó là điểm dừng và là điểm tới hạn duy nhất. Để xét điều kiện đủ ta sử dụng đạo hàm cấp 2:

x x xf "(x) e (x 2)( e ) (3 x)e

Tại điểm dừng x = 2 ta có f”(2) = e–2 > 0. Theo định lý 2 thì x = 2 là điểm cực tiểu và đó là điểm cực trị duy nhất của hàm số đã cho.

Ví dụ 3: Tìm các điểm cực trị của hàm số

ln xg(x)

x

Giải: Hàm số xác định trong khoảng (0; +) và

2

1 ln xg '(x)

x

và

3

2 ln x 3g"(x) ( x 0)

x

Ta thấy g’(x) = 0 x = e, đồng thời 3

1g” e 0

e . Vậy hàm số đã cho đạt cực đại

tại điểm x = e và đó là điểm cực trị duy nhất của nó.


36 TXTOCB01_Bai3_v1.0014105205

3.2.5. Bài toán cực trị toàn thể

Như ta đã biết, nếu hàm số f(x) liên tục trên khoảng đóng [a; b] thì trên khoảng đó hàm số có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. Nếu hàm số đạt giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) tại một điểm x0 bên trong khoảng (a; b) thì f(x0) là một giá trị cực đại (giá trị cực tiểu). Ngoài ra, các giá trị tại đầu mút a và b cũng có thể là giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số. Như vậy, để tìm giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của hàm số f(x), trước hết ta phải tìm tất cả các giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) địa phương, sau đó so sánh các giá trị đó cùng với các giá trị f(a) và f(b) để chọn ra số lớn nhất (số nhỏ nhất).

Ta cũng có thể tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên khoảng [a; b] bằng cách tính giá trị của nó tại tất cả các điểm tới hạn và tại hai đầu mút, sau đó chọn ra số lớn nhất và số nhỏ nhất.

Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 4 3 2f (x) 3x 8x 6x 24x 1

Trên đoạn [–2; 3]

Giải: Ta có 3 2 2f '(x) 12x 24x 12x 24 12(x 1)(x 2)

f’(x) = 0 tại các điểm x = –1, x = 1 và x = 2

So sánh các giá trị f(–2) = 41, f(–1) = –18, f(1) = 14, f(2) = 9, f(3) = 46 ta tìm được:

Giá trị lớn nhất: max f(x) = 46 tại điểm x = 3

Giá trị nhỏ nhất: min f(x) = –18 tại điểm x = –1

Trong thực hành ta thường gặp trường hợp hàm số f(x) liên tục trong khoảng (a; b) và

chỉ có một điểm cực trị duy nhất x0 (a; b). Khi đó nếu điểm x0 là điểm cực đại (điểm cực tiểu) thì f(x0) chính là giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của hàm số f(x) trong khoảng (a; b).

Ví dụ: Dựa theo kết quả tìm các điểm cực trị ở ví dụ 2 và ví dụ 3 trên đây ta có thể kết luận

Giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = (1 – x)e–x trên R là: 2

x Rmin f (x) f (2) e

Giá trị lớn nhất của hàm số ln xg x

x trong khoảng (0; +) là

1

x 0m ax g(x) g(e) e

3.3. Ý nghĩa của đạo hàm trong kinh tế

3.3.1. Đạo hàm và giá trị cận biên trong kinh tế

Xét mô hình hàm số: y = f(x)

Trong đó x và y là các biến số kinh tế (ta coi biến độc lập x là biến số đầu vào và biến phụ thuộc y là biến số đầu ra). Trong kinh tế học người ta quan tâm đến xu hướng biến thiên của biến phụ thuộc y tại một điểm x0 khi biến độc lập x thay đổi một lượng


TXTOCB01_Bai3_v1.0014105205 37

nhỏ. Chẳng hạn, khi xét mô hình hàm sản xuất Q = f(L) người ta thường quan tâm đến số lượng sản phẩm hiện vật tăng thêm khi sử dụng thêm một đơn vị lao động.

Theo định nghĩa đạo hàm:

0 00

x 0 x 0

f (x x) f (x )yf '(x ) lim lim

x x

Khi x có giá trị tuyệt đối đủ nhỏ ta có:

0 00

f (x x) f (x )yf '(x )

x x

0 0 0y f (x x) f (x ) f '(x ) x

Khi x = 1 ta có y f’(x). Như vậy, đạo hàm f’(x0) biểu diễn xấp xỉ lượng thay đổi giá trị của biến phụ thuộc y khi biến độc lập x tăng thêm một đơn vị.

Khi xét mô hình y = f(x) biểu diễn ảnh thưởng của biến số kinh tế x đối vói biến số kinh tế y, các nhà kinh tế gọi f’(x0) là giá trị y – cận biên của x tại điểm x0.

Đối với mỗi hàm kinh tế, giá trị cận biên có tên gọi cụ thể như sau:

Đối với mô hình hàm sản xuất Q = f(L) thì f’(L0) được gọi là sản phẩm hiện vật cận biên của lao động tại điểm L0. Sản phẩm hiện vật cận biên của lao động được ký hiệu là MPPL (Marginal physical product of labor):

MPPL = f’(L)

Tại mỗi điểm L, MPPL cho biết xấp xỉ lượng sản phẩm hiện vật gia tăng khi sử dụng thêm một đơn vị lao động.

Đối với mô hình hàm doanh thu TR = TR(Q) thì TR’(Q0) được gọi là doanh thu cận biên tại điểm Q0. Doanh thu cận biên được ký hiệu là MR (Marginal Revenue):

MR = TR’(Q)

Tại mỗi mức sản lượng Q, MR cho biết xấp xỉ lượng doanh thu tăng thêm khi sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm. Đối với doanh nghiệp cạnh tranh, ta có:

TR = pQ MR = p (p là giá sản phẩm trên thị trường)

Đối với mô hình hàm chi phí TC = TC(Q) thì TC’(Q0) được gọi là chi phí cận biên tại điểm Q0. Chi phí cận biên được ký hiệu là MC (Marginal Cost):

MC = TC’(Q)

Tại mỗi mức sả lượng Q, MC cho biết xấp xỉ lượng chi phí tăng thêm khi sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm.

Đối với hàm tiêu dùng C = C(Y) thì C’(Y) được gọi là xu hướng tiêu dùng cận biên và được ký hiệu là MPC (Marginal Propensity to Consume):

MPC = C’(Y)

Tại mỗi mức thu nhập Y, MPC là số đo xấp xỉ lượng tiêu dùng gia tăng khi người ta có thêm $1 thu nhập.

Đối với hàm tiết kiệm S = S(Y) thì S’(Y) được gọi là xu hướng tiết kiệm cận biên và được ký hiệu là MPS (Marginal Propensity to Save):

MPS = S’(Y)

Tại mỗi mức thu nhập Y, MPS là số đo xấp xỉ lượng tiết kiệm gia tăng khi người ta có thêm $1 thu nhập.


38 TXTOCB01_Bai3_v1.0014105205

Ví dụ: Giả sử hàm sản xuất của một doanh nghiệp là Q 5 L . Ở mức sử dụng L = 100

đơn vị lao động (chẳng hạn, 100 giờ lao động một tuần), mức sản lượng tương ứng là Q = 50 sản phẩm. Sản phẩm cận biên của lao động tại điểm L = 100 là

L

5MPP Q' 0,25

2 L (khi L = 100)

Điều này có nghĩa là khi tăng mức sử dụng lao động hàng tuần từ 100 lên 101 thì sản lượng hàng tuân sẽ tăng thêm khoảng 0,25 đơn vị hiện vật.

3.3.2. Đạo hàm cấp hai và quy luật lợi ích cận biên giảm dần

Xét mô hình y = f(x), trong đó y là biến số biểu diễn lợi ích (chẳng hạn như thu nhập, doanh thu, lợi nhuận…) và x là biến số mô tả yếu tố đem lại lợi ích y. Quy luật lợi ích cận biên giảm dần (the Law of deminishing returns) nói rằng khi x càng lớn thì giá trị y– cận biên càng nhỏ, tức là My = f’(x) là hàm số đơn điệu giảm (ít nhất theo nghĩa rộng). Dưới giác độ toán học, điều kiện để My giảm dần theo x là:

(My)’ = f”(x) ≤ 0

Ví dụ: Nếu hàm sản xuất ngắn hạn được ước lượng dưới dạng Q = AL (A và là các hằng số dương) thì quy luật lợi ích cận biên giảm dần đòi hỏi:

Q” = ( – 1)A.L–2 ≤ 0 ≤ 1

3.4. Tính hệ số co dãn của cung và cầu theo giá

Một vấn đề được quan tâm trong kinh tế là phản ứng của cung và cầu đối với sự biến động giá cả trên thị trường. Với giả thiết các yếu tố khác không thay đổi, sự phụ thuộc của lượng cầu Qd vào giá p được biểu diễn bằng hàm cầu:

Qd = D(p)

Trong mô hình hàm cầu biến số p được đo bằng đơn vị tiền tệ, còn biến số Q được đo

bằng đơn vị hiện vật. Nếu gọi Qd là mức thay đổi lượng cầu khi giá thay đổi một đơn vị thì ý nghĩa của con số đó còn phụ thuộc vào đơn vị đo. Hơn nữa, đối với các hàng hóa khác nhau thì sự thay đổi giá thêm $1 mang ý nghĩa khác nhau. Chẳng hạn, nếu giá một chiếc ô tô tăng $1 thì có thể xem như giá ô tô không thay đổi. Trong khi đó nếu giá 1 kg cà phê tăng $1 thì chắc hẳn đó làm một biến động lớn trên thị trường cà phê. Để đánh giá độ nhạy cảm của cầu hàng hóa đối với sự biến động giá cả, các nhà kinh tế sử dụng khái niệm hệ số co dãn.

Hệ số co dãn của cầu theo giá (tính ở mỗi mức giá) là số đo mức thay đổi tính bằng phần trăm của lượng cầu khi giá tăng 1%.

Tại mức giá p, nếu giá thay đổi một lượng p thì lượng cầu thay đổi tương ứng một lượng Qd. Mức phần trăm thay đổi của lượng cầu tính bình quân cho 1% thay đổi giá là:

d d d

d

( Q / Q ).100 Q p D(p) p

( p / p).100 p Q p D(p)

Chuyển qua giới hạn khi p 0 ta được công thức tín hệ số co dãn của cầu theo giá tại điểm p:

d

d

dQ p dD(p) p pD'(p)

dp Q dp D(p) D(p)


TXTOCB01_Bai3_v1.0014105205 39

Tương tự: Hệ số co dãn của cung theo giá là số đo mức thay đổi tính bằng phần trăm của lượng cung khi giá tăng 1%. Nếu biết hàm cung Qs = S(p) thì hệ số co dãn của cung theo giá tại điểm p được tính theo công thức

2s

s

dQ p dS(p) p p b b 4acS'(p)

dp Q dp S(p) S(p) 2a

Ví dụ 1: Nếu hàm cầu là Q = 1400 – p2 thì hệ số co dãn tại điểm p là

'2 2

2 2

1400 p pp 2pD '(p)

D(p) 1400 p 1400 p

Tại điểm p = 20 ta có ε = –0,8. Điều này có nghĩa là, tại mức giá p = 20, nếu giá tăng 1% thì cầu sẽ giảm khoảng 0,8%.

Ví dụ 2: Nếu hàm cầu có dạng bậc nhất

Q a bp (a,b 0)

Thì hệ số co dãn tại điểm p là

bp

a bp

3.5. Sự lựa chọn tối ưu trong kinh tế

Trong lĩnh vực hoạt động kinh tế việc ra quyết định gắn liền với việc tối ưu hóa một hàm mục tiêu y = f(x). Bài toán đặt ra là: lựa chọn x để y đạt giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất. Đối với một doanh nghiệp sản xuất, mục tiêu thường được đặt ra là tối đa hóa lợi nhuận.

3.5.1. Chọn mức sản lượng tối ưu

Giả sử doanh nghiệp có hàm tổng chi phí TC(Q) và hàm tổng doanh thu TR(Q). Tổng lợi nhuận của doanh nghiệp là hàm số của biến số Q:

= TR(Q) – TC(Q)

Bài toán đặt ra là: chọn mức sản lượng Q0 để thu lợi nhuận tối đa. Điều kiện cần để đạt cực đại tại điểm Q0 là:

’ = TR’(Q0) – TC’(Q0) = 0 TR’(Q0) = TC’(Q0) MR = MC

Bằng ngôn ngữ của kinh tế học, điều kiện cần để đạt lợi nhuận tối đa là: doanh thu cận biên bằng chi phí cận biên.

Tại điểm mà MR = MC, điều kiện đủ để đạt cực đại là:

” = TR” – TC” < 0 TR” < TC”

Ví dụ: Một nhà sản xuất có hàm doanh thu và hàm chi phí như sau

TR = 1400Q – 7,5Q2 và TC = Q3 – 6Q2 + 140Q + 750

Hãy xác định mức sản lượng tối ưu.

Giải: Ta có MR = 1400 – 15Q, MC = 3Q2 – 12Q + 140

Điều kiện cần để đạt lợi nhuận tối đa là:

MR = MC 400 – 15Q = 3Q2 – 12Q + 140

3Q2 + 3Q – 1260 = 0 Q2 + Q – 420 = 0


40 TXTOCB01_Bai3_v1.0014105205

Từ phương trình này ta xác định được Q = 20 (loại Q = – 21 do Q > 0).

Tại điểm Q = 20 ta có :

TR” = (MR)’ = –15, TC” = (MC)’ = 6Q –12 =108

Điều kiện đủ TR” < TC” thỏa mãn, do đó Q = 20 là điểm cực đại.

Chú ý rằng trong khoảng (0; ) hàm lợi nhuận chỉ có một điểm cực trị duy nhất, do đó mức sản lượng tối ưu là Q = 20 và lợi nhuận tối đa là:

= –(20)3 –1,5(20)2 + 1260(20) – 750 = 15850

3.5.2. Lựa chọn tối ưu mức sử dụng yếu tố đầu vào

Xét trường hợp doanh nghiệp cạnh tranh tiến hành sản xuất với hàm sản xuất ngắn hạn Q = f(L), trong điều kiện giá sản phẩm trên thị trường là p và giá lao động (tiền công) là w. Khi đó tổng lợi nhuận là hàm số của biến số L (lượng lao động được sử dụng):

= pf(L) – wL

Bài toán đặt ra là: chọn L để đạt cực đại. Điều kiện cần để thu lợi nhuận tối đa là:

’ = pf’(L) – w = 0 p.MPPL = w

Như vậy, điều kiện cần để đạt lợi nhuận tối đa là: giá trị bằng tiền của sản phẩm hiện vật cận biên của lao động bằng giá lao động.

Tại điểm L0 mà điều kiện cần đã được thỏa mãn, điều kiện đủ để đạt lợi nhuận tối đa là:

” = pf”(L0) < 0 f”(L0) < 0

Theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần thì sản phẩm hiện vật cận biên của lao động giảm dần khi L tăng, do đó Q” = f”(L) < 0, tức là điều kiện đủ được đảm bảo.

Ví dụ: Giả sử doanh nghiệp cạnh tranh có hàm sản xuất ngắn hạn Q 5 L, giá sản

phẩm là $4 và giá lao động là $5. Hãy xác định mức sử dụng lao động tối ưu.

Giải: Sản phẩm cận biên của lao động là:

L

25MPP Q"L

L

Điều kiện cần để đạt lợi nhuận tối đa là:

L

254MPP 5 4 5 L 400

L

Điều kiện đủ luôn thỏa mãn: 125

Q" .L L

Để đạt lợi nhuận tối đa, doanh nghiệp phải

sử dụng 400 đơn vị lao động.


TXTOCB01_Bai3_v1.0014105205 41

Tóm lược cuối bài

Trên một miền:

Nếu đạo hàm y’ > 0 thì hàm số đó đơn điệu tăng

Nếu y’ < 0 thì hàm số đơn điệu giảm

Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại các điểm tới hạn. Tới hạn là 1 trong 2 loại điểm:

Điểm dừng

Điểm mà tại đó hàm liên tục nhưng không có đạo hàm

Tại 1 điểm tới hạn, nếu qua đó đạo hàm đổi dấu thì điểm tới hạn đó là điểm cực trị

+ → – điểm cực đại

– → + điểm cực tiểu

Nếu qua điểm tới hạn, hàm số y’ không đổi dấu không là cực trị.

y’(x0) là giá trị y – cận biên của x tại x

0.

Hệ số co dãn của cung, cầu theo giá:

0 0S 0 0 D 0 0

0 0

p p(p ) S'(p ) ; (p ) D '(p )

S(p ) D(p )

Bài toán tối ưu trong kinh tế: = TR – TC → max.


42 TXTOCB01_Bai3_v1.0014105205

Câu hỏi ôn tập

1. Nêu điều kiện để hàm số y = f(x) đơn điệu tăng, đơn điệu giảm trên (a; b);

2. Nêu điều kiện đủ (theo đạo hàm cấp 1) để điểm tới hạn x0 là điểm cực trị;

3. Nêu công thức tính hệ số co dãn của cung, cầu theo giá?

4. Tìm các khoảng tăng, giảm và cực trị của hàm số: 2 3x 1y 2x 4x 1 .e

5. Tìm các khoảng tăng, giảm và cực trị của hàm số: 2 3xe

y5x 3

6. Tìm các khoảng tăng, giảm và cực trị của hàm số: 102y 5x 3x 2

7. Tìm các khoảng tăng, giảm và cực trị của hàm số: 3y 3x 2 . 2 x

8. Tìm các khoảng tăng, giảm và cực trị của hàm số: 2 3y 2x 1 . 4 5x

9. Cho hàm cung 2sQ 2p p 10 . Tính hệ số co dãn của cung tại mức giá p = 20 và nêu ý

nghĩa kinh tế của kết quả đó.

bÀi 3 Ứng dỤng cỦa ĐẠohÀm trong toÁn hỌc vÀ …eldata3.neu.topica.vn/txtocb01/giao...

Documents