TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH-MARKETING

KHOA CƠ BẢN

BỘ MÔN TOÁN – THỐNG KÊ

BÀI GIẢNG XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Chƣơng 4

ƢỚC LƢỢNG CÁC THAM SỐ CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN

Bài 3

ƢỚC LƢỢNG KHOẢNG CHO TRUNG BÌNH TỔNG THỂ

Giảng viên

Ths Lê Trƣờng Giang

Bài 3. Ước lượng khoảng tham số trung bình tổng thể

Bài toán: Giả sử trung bình tổng thể chưa biết, hãy tìm

khoảng (1;2) chứa sao cho với là độ tin

cậy cho trước.

1 2P

Cho tổng thể X có tham số trung bình .

Một mẫu lấy ra từ tổng thể có trung bình mẫu là . 1 2, ,X X Xn

E X

X

Ước lượng khoảng của trung bình tổng thể

Trƣờng hợp 1: Phƣơng sai tổng thể đã biết và kích thƣớc mẫu

(hoặc kích thƣớc mẫu và X có phân phối chuẩn)

2 30n

30n

Xây dựng khoảng ƣớc lƣợng

0,1X

Z N

n

Theo định lý giới hạn trung tâm, ta có

Ta đi tìm z thỏa 1P z Z z

HƢỚNG DẪN XÂY DỰNG KHOẢNG ƢỚC LƢỢNG

Ta có Đặt . Khi đó ta suy ra thỏa Vậy từ (1) ta có

2

2

0 0 0 0

0

0 0 1.

1 1 2 2

z x

P z Z z

z zz z e dx

2

2

0

0

1

2

z x

z e dx

22 22

P X z X z

n

z

n

XP z

n

2

z z 0

2

.2

z

Ước lượng khoảng của trung bình tổng thể

Trƣờng hợp 1: Phƣơng sai tổng thể đã biết và kích thƣớc mẫu

(hoặc kích thƣớc mẫu và X có phân phối chuẩn)

2 30n

f(x)=1

2πe

- x2

2

o z

γ

2

-Z γ

2

Z γ

2

2

; .,

z

nX X

30n

Khoảng ước lượng của với độ tin cậy

Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855)

3.2. Khoảng ước lượng một phía

1

2

.x zn

Khoảng tin cậy tối đa của với độ tin cậy

1

2

.x zn

Khoảng tin cậy tối thiểu của với độ tin cậy

Giả sử chiều cao của các bạn nữ sinh viên Trường Đại học Tài Chính –Marketing tuân theo luật phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn là 5 cm. Chọn ngẫu nhiên 64 bạn sinh viên nữ, người ta tính được chiều cao trung bình là 160 cm. Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng chiều cao trung bình của các bạn sinh viên nữ UFM.

Ví dụ 1

5 cm

95%

160 cm

64

Hướng dẫn tra bảng 2

X .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2.0

2,1

0.0000

0389

0793

1179

1554

1915

2257

2580

2881

3159

3413

3643

3849

4032

1492

4332

4452

4554

4641

4713

4772

4821

0.0040

0438

0832

1217

1591

1950

2291

2611

2910

3186

3438

3665

3869

4049

4207

4345

4463

4564

4649

4719

4778

4826

0.0080

0478

0871

1255

1628

1985

2324

2642

2939

3212

3461

3686

3888

4066

4222

4357

4474

4573

4656

4726

4783

4830

0.0120

0517

0910

1293

1664

2019

2357

2673

2967

3238

3485

3708

3907

4082

4236

4370

4484

4582

4664

4732

4788

4834

0.0160

0557

0948

1331

1700

2054

2389

2703

2995

3264

3508

3729

3925

4099

4251

4382

4495

4591

4671

4738

4793

4838

0.0199

0396

0987

1368

1736

2088

2422

2734

3023

3289

3531

3749

3944

4115

4265

4394

4505

4599

4678

4744

4793

4838

0.0239

0636

1026

1406

1772

2123

2454

2764

3051

3315

3554

3770

3962

4131

4279

4406

4515

4608

4686

4750

4803

4846

0.0279

0675

1064

1443

1808

2157

2486

2794

3078

3340

3577

3790

3980

4147

4292

4418

4525

4616

4693

4756

4808

4850

0.0319

0714

1103

1480

1844

2190

2517

2823

3106

3365

3599

3810

3997

4162

4306

4429

4535

4625

4699

4761

4812

4854

0.0359

0753

1141

1517

1879

2224

2549

2852

3133

3389

3621

3830

4015

4177

4319

4441

4545

4633

4706

4767

4817

4857

Bảng 2 : Bảng giá trị tích phân Laplace (hàm phân phối xs Gauss)

2

0

0

1exp

22

x

tx dt

4750

0.95 0,475

2

1,96 z z0

2

0,4752

z

1.9

.06

160 ; 5x cm cm

Bước 2: Trên mẫu cụ thể ta có

Bước 3: Độ chính xác của ước lượng

0,95

2

5. 1,96. 1, 225

64z cm

n

Bước 4: Khoảng tin cậy 95% cho chiều cao trung bình

; 158,775 ;161, 225x x cm cm

Ví dụ 1

Bƣớc 1. Bài toán thuộc trường hợp 1 ( và biết ) 30n 2

Hƣớng dẫn

Ước lượng khoảng của trung bình tổng thể

Trƣờng hợp 2: Kích thƣớc mẫu phƣơng sai tổng thể chƣa biết 230,n

2

; ., s

zn

X X

Khoảng ước lượng của với độ tin cậy

3.2. Khoảng ước lượng một phía

1

2

.s

x zn

Khoảng tin cậy tối đa của với độ tin cậy

1

2

.s

x zn

Khoảng tin cậy tối thiểu của với độ tin cậy

Trong một đợt khảo sát về chiều cao (đơn vị m) của các bạn nữ sinh viên Trường Đại học Tài Chính – Marketing (UFM). Người ta chọn ngẫu nhiên 100 bạn sinh viên và nhận được kết quả cho trong bảng sau:

Ví dụ 2A

Chiều cao (1,4; 1,5] (1,5;1,6] (1,6;1,7] (1,7;1,8] (1,8;1,9]

Số SV 10 25 40 15 10

Hãy ƣớc lƣợng chiều cao trung bình của các bạn sinh

viên UFM với độ tin cậy 95%?

1,64 ; 0,1096x m s m

Bước 2: Trên mẫu cụ thể ta có

Bước 3: Độ chính xác của ước lượng

0,95

2

0,1096. 1,96. 0,0215

100

sz m

n

Bước 4: Khoảng tin cậy 95% cho chiều cao trung bình

; 1,6185 ;1,6615 x x m m

Ví dụ 2A

Bƣớc 1. Bài toán thuộc trường hợp 2 ( và chưa biết ) 30n 2

Hƣớng dẫn

Theo dõi doanh thu của một đại lý bán xăng dầu qua một số ngày thu được kết quả:

Ví dụ 2B

Doanh thu(triệu đồng) 11 12 13 14 15

Số ngày 3 7 10 7 4

Ƣớc lƣợng doanh thu trung bình tối thiểu của đại lý trên

với độ tin cậy 95%?

Ước lượng khoảng của trung bình tổng thể

ot

γ

1-γ

2

1-γ

2

-t 1-γ

2

(n-1) t 1-γ

2

(n-1)

1

2

( 1; )., s

t nn

X X

Khoảng ước lượng của với độ tin cậy

Trƣờng hợp 3: tổng thể X có phân phối chuẩn với chƣa biết 230,n

3.2. Khoảng ước lượng một phía

1 1 .s

x t nn

Khoảng tin cậy tối đa của với độ tin cậy

1 1 .s

x t nn

Khoảng tin cậy tối thiểu của với độ tin cậy

Một hãng sản xuất bóng đèn đã đưa vào thử nghiệm để xác định tuổi thọ trung bình. Chọn một mẫu 20 bóng đèn cùng loại để thực nghiệm. Tuổi thọ của 20 bóng đèn được cho trong bảng sau (đơn vị nghìn giờ):

Giả sử tuổi thọ bóng đèn tuân theo luật phân phối chuẩn, hãy ước lượng tuổi thọ trung bình của bóng đèn với độ tin cậy 95%?

Tuổi thọ (5 ;5,5] (5,5 ; 6] (6 ; 6,5] (6,5 ; 7]

Số bóng đèn 3 6 7 4

Ví dụ 3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

n-1 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001

3.078

1.886

1.638

1.533

1.476

1.440

1.415

1.397

1.383

1.372

1.363

1.356

1.350

1.345

1.341

1.337

1.333

1.330

1.328

1.325

1.323

1.321

1.319

1.318

1.316

1.315

1.314

1.313

1.311

1.310

6.314

2.920

2.353

2.132

2.015

1.943

1.895

1.860

1.833

1.812

1.796

1.782

1.771

1.761

1.753

1.746

1.740

1.734

1.719

1.725

1.721

1.717

1.714

1.711

1.708

1.706

1.703

1.701

1.699

1.697

12.706

4.303

3.182

2.776

2.571

2.447

2.365

2.306

2.262

2.228

2.201

2.179

2.160

2.145

2.131

2.120

2.110

2.101

2.093

2.086

2.080

2.074

2.069

2.064

2.060

2.056

2.052

2.048

2.045

2.042

31.821

6.965

4.541

3.747

3.365

3.143

2.998

2.896

2.821

2.764

2.718

2.861

2.650

2.624

2.602

2.583

2.567

2.552

2.539

2.528

2.518

2.508

2.500

2.492

2.485

2.479

2.473

2.467

2.462

2.457

63.675

9.925

5.841

4.604

4.032

3.707

3.499

3.355

3.250

3.169

3.106

3.055

3.012

2.977

2.947

2.921

2.898

2.878

2.861

2.845

2.831

2.819

2.807

2.797

2.787

2.779

2.771

2.763

2.756

2.750

66.619

22.326

10.213

7.173

5.893

5.208

4.785

4.501

4.297

4.144

4.025

3.930

3.852

3.787

3.733

3.686

3.646

3.610

3.579

3.552

3.527

3.505

3.485

3.467

3.450

3.435

3.421

3.408

3.396

3.385

( 1) P T t n

Hướng dẫn tra bảng 4

Bảng 4 Bảng phân vị Student n bậc tự do

95%; 1 19 n

1 0,025

2

(19) (19) t t

0,025(19) 2,093.t

0,025(19) 0,025 P T t 19

0,025

2,093

Ví dụ 3

Bƣớc 1.

Bƣớc 2.

Thuộc trường hợp 3 ( , chưa biết và có pp chuẩn) 30n 2 X

Từ mẫu tính các giá trị

6,05; 0,497. x s

1

2

0,497( 1). 2,093. 0,233

20

st n

n

Bƣớc 3. Độ chính xác

Bƣớc 4. Khoảng ước lượng cho trung bình với độ tin cậy 95%

; 5,817;6,283 .x x Nghìn giờ

Hƣớng dẫn

Các bƣớc tìm khoảng ƣớc lƣợng cho trung bình tổng thể

Bước 1: Nhận dạng bài toán.

x s

Bước 2: Tính toán dựa trên mẫu

, tính nếu chưa biết phương sai.

Bước 3: Tính độ chính xác

.

Bước 4: Kết luận khoảng tin cậy cho trung bình

,x x

Bƣớc 1

Trƣờng hợp 1

Biết và

Hoặc

Biết , và X pp chuẩn

Trƣờng hợp 2

Chƣa biết 2

và n 30

Trƣờng hợp 3

Chƣa biết 2,

n < 30

và X pp chuẩn

Bƣớc 2

Bƣớc 3

Bƣớc 4

Bảng tóm tắt kiến thức

zn

2

x

2

sz

n

,x s

1

2

( 1)s

t nn

;x x

,x s

30n

2 30n

2

T.H Điều kiện Bài toán ước

lượng

Khoảng ước lượng Giá trị

Biết

30n Hai phía

Tối thiểu (pp)

Tối đa (pt)

;

,

;

x x

x

x

2

1

2

1

2

zn

zn

zn

2

30

;

n

X N

Chưa

biết

30n

Hai phía

Tối thiểu

Tối đa

;

,

;

x x

x

x

2

1

2

1

2

sz

n

sz

n

sz

n

2

30

;

n

X N

Hai phía

Tối thiểu

Tối đa

;

,

;

x x

x

x

1

2

1

1

1

1

1

st n

n

st n

n

st n

n

Đề bài: Điều tra năng suất lúa (tấn/ha) trên diện tích 90 hecta trồng lúa của một vùng, người ta thu được bảng số liệu sau:

Hãy ước lượng năng suất lúa trung bình ở vùng đó với độ tin cậy 97%?

Năng suất 5,5 5,7 5,8 6,0 6,2 6,4 6,5

Số hecta 8 17 25 12 13 10 5

XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN!