bezİer eĞrİlerİ ve yÜzeylerİ İle modern ve klasİk optİmİzasyon teknİklerİ...

T.C.SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

BEZİER EĞRİLERİ VE YÜZEYLERİ İLE MODERN VE KLASİK OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ VE UYGULAMALARI

Gülden KAPUSUZ

Danışman Prof. Dr. Ahmet ŞAHİNER

YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI

ISPARTA - 2017

i

İÇİNDEKİLER

Sayfa İÇİNDEKİLER ......................................................................................................................... i ÖZET ......................................................................................................................................... ii ABSTRACT .............................................................................................................................. iii TEŞEKKÜR .............................................................................................................................. iv ŞEKİLLER DİZİNİ ................................................................................................................. v ÇİZELGELER DİZİNİ ............................................................................................................ vi SİMGELER VE KISALTMALAR DİZİNİ .......................................................................... vii 1. GİRİŞ..................................................................................................................................... 1

1.1. Tezin Organizasyonu ............................................................................................ 3 2. KAYNAK ÖZETLERİ ........................................................................................................ 5 3. TREONİN MOLEKÜLÜNDE ENERJİ KONFORMASYON PROBLEMİ .............. 8

3.1. Ön Bilgiler ................................................................................................................. 9 3.1.1. Yoğunluk fonksiyon teorisi(DFT) ........................................................... 9 3.1.2. Gaussian 03W ................................................................................................ 11 3.1.3. Potansiyel enerji yüzeyi ............................................................................. 12

3.2. Uygulama .................................................................................................................. 14 4. BULANIK MANTIK İLE VERİLERİN SÜREKLİLİĞİ .............................................. 16

4.1. Ön Bilgiler ................................................................................................................. 16 4.1.1. Bulanık sayı ve üyelik fonksiyonları ..................................................... 16 4.1.2. Mamdani çıkarım metodu ......................................................................... 17

4.2. Uygulama .................................................................................................................. 18 5. BEZİER YÜZEYLERİ İLE DÜZGÜN LOKAL YÜZEYLERİN OLUŞTURULMASI 23

5.1. Ön Bilgiler ................................................................................................................. 23 5.1.1. Bezier eğrileri ................................................................................................ 23 5.1.2. Bezier yüzeyleri............................................................................................. 23

5.2. Uygulama .................................................................................................................. 24 6. LOKAL BEZİER YÜZEYLERİNİN DÜZGÜN BİRLEŞTİRİLMESİ ....................... 32

6.1. Ön Bilgiler ................................................................................................................. 32 6.1.1. Parçalı düzgün fonksiyonlar .................................................................... 33

6.2. Uygulama .................................................................................................................. 35 7. ENERJİ KONFORMASYON PROBLEMİNDE SMOOTH AND DESCENTMETODU İLE GLOBAL OPTİMİZASYON ...................................................................... 38

7.1. Ön Bilgiler ................................................................................................................. 39 7.1.1. Global konvekslik ......................................................................................... 39 7.1.2. Diferansiyellenebilir optimizasyon ....................................................... 40 7.1.3. Optimizasyonun sınıflandırılması .......................................................... 41 7.1.4. Smooth and descent metodu .................................................................... 42

7.2. Uygulama .................................................................................................................. 43 8. TARTIŞMA VE SONUÇLAR ........................................................................................... 45 KAYNAKLAR .......................................................................................................................... 47 ÖZGEÇMİŞ ............................................................................................................................... 52

ii

ÖZET

Yüksek Lisans Tezi

BEZİER EĞRİLERİ VE YÜZEYLERİ İLE MODERN VE KLASİK OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ VE UYGULAMALARI

Gülden KAPUSUZ

Süleyman Demirel Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü

Matematik Anabilim Dalı

Danışman: Prof. Dr. Ahmet ŞAHİNER

Günümüzde optimizasyon problemi, matematik ve bilgisayar bilimlerinde uygun olan tüm çözümler içinde en iyi çözümü bulma problemidir. Optimizasyondaki iki ana bileşen modelleme ve çözümlemedir. Modelleme problemin matematiksel ifade edilmesi, çözümleme ise bu modeli sağlayan en iyi çözümün elde edilmesidir.

Bu tez çalışmasında, mühendislik, fizik ve kimya gibi bilim dallarında etkili sonuçlar verebilen bir global optimizasyon tekniği takdim edilmiştir. Benzer düzgün olmayan global konveks fonksiyonları içeren problemlere uygulanabilen bu teknik özel olarak treonin molekülünün enerji konformasyon analizi problemlerinde bir uygulama ile değerlendirilmiştir. Uygulama için öncelikle Yoğunluk Fonksiyon Teorisi (DFT) kullanılarak veri değerleri elde edilmiştir. Sonlu sayıda olan veri değerleri Bulanık Mantık kullanılarak modellenmiş ve veriler belli oranda sürekli hale getirilmiştir. Sonraki aşamada ise Bulanık Mantık ile oluşturulan sürekli fakat düzgün olmayan model ilk önce öngörülen lokal minimum değerler civarında düzgün Bezier yüzeyleri ile temsil edilmiş ardından Bezier eğrileri kullanılarak lokal Bezier yüzeylerinin düzgün kaynaştırılması sağlanmıştır. Böylece elde edilen tek parça diferansiyellenebilir amaç fonksiyonuna global minimum bulma yöntemleri uygulanabilir hale gelmiştir. İşte bu aşamada da enerji yüzeyini temsil eden global konveks amaç fonksiyonuna Smooth and Descent Metodu adını verdiğimiz global minimum bulma tekniği uygulanarak ilgili molekülün minimum enerji değeri bulunmuştur. Başarılı bir uygulama ile benzer optimizasyon problemlerine uygulanabilirliği etkinleştirilmiştir.

Bu yeni teknik ile elde edilen verilerin analizi tartışma ve sonuçlar kısmında detaylı olarak verilmiştir.

Anahtar Kelimeler: Bulanık Mantık, Bezier Yüzeyleri, Kaynaştırma, DFT, Global Optimizasyon.

2017, 53 sayfa

iii

ABSTRACT

M.Sc. Thesis

MODERN AND CLASSICAL OPTIMIZATION TECHNIQUES WITH BEZIER SURFACES AND BEZIER CURVES AND THEIR APPLICATIONS

Gülden KAPUSUZ

Süleyman Demirel University Graduate School of Natural and Applied Sciences

Department of Mathematics

Supervisor: Prof. Dr. Ahmet ŞAHİNER

An optimization is a process of finding an alternative with the most cost effective or highest achievable performance under a certain condition. The two main constituents of optimization are modeling and analysis. Modeling is the mathematical expression of the problem and analysis is the best solution that is to be obtained from this model.

In this thesis, a global optimization technique has been introduced that can give effective results in science such as engineering, physics and chemistry. This technique, which can be applied to problems involving similar non-smooth global convex functions, has been specifically evaluated by an application in energy conformation analysis problems of the treonin molecule. Firstly for the application, data values were obtained by using Density Function Theory (DFT). Data values which are discrete are modeled by using Fuzzy Logic and the data is made continuous. In the latter stage, the continuous but non-smooth model constituted by Fuzzy Logic is firstly represented by smooth Bezier surfaces around the local minimum values and then local Bezier surfaces are smoothly blended by using Bezier curves. Thus, global minimum finding methods can be applied to the differentiable objective function. At this stage, the global convex objective function representing the energy surface is found by applying the global minimum finding technique called the Smooth and Descent Method to find the minimum energy value of the molecule. Applicability to similar optimization problems has been activated with the successful application.

The analysis of the data obtained by this new technique is given in detail in the discussion and conclusion sections.

Keywords: Fuzzy Logic, Bezier Surfaces, Blending, DFT, Global Optimization.

2017, 53 pages

iv

TEŞEKKÜR

Bu çalışma ve öncesinde; özverisi, sabrı ve ilmi ile çalışmalarımın her aşamasında desteğini esirgemeyen danışman hocam Prof. Dr. Ahmet ŞAHİNER’ e, çalışmalarım boyunca bilgi ve deneyimleri ile yol gösteren Araş. Gör. Nurullah YILMAZ’ a, ayrıca Fizik uygulaması için benimle araştırma sonuçlarını paylaşan Fizik Bölümü Öğretim Üyesi Prof. Dr. Fatih UCUN’ a desteğinden dolayı teşekkür ederim.

4733-YL1-16 No’lu Proje ile tezimi maddi olarak destekleyen Süleyman Demirel Üniversitesi Bilimsel Araştırma Projeleri Yönetim Birimi Başkanlığı’na teşekkür ederim.

Ayrıca eğitim hayatım ve özellikle tez çalışmalarım boyunca benden maddi ve manevi desteklerini eksik etmeyen her zaman yanımda olan sevgili babam Hacı Mehmet KAPUSUZ, değerli annem Zahide KAPUSUZ’ a ve kıymetli kardeşlerime teşekkürlerimi bir borç bilirim.

Gülden KAPUSUZ ISPARTA, 2017

v

ŞEKİLLER DİZİNİ

Sayfa Şekil 3.1. Treonin ‘in çeşitli isomerleri ........................................................................ 9 Şekil 3.2. Gauss View 03 programında (a) kullanıcı arayüzü

(b)Moleküllerin orbitallerinin görüntülenmesi ................................... 13 Şekil 3.3. Treonin molekülünün uyarlanmış yapısı ................................................ 14 Şekil 3.4. Treonin molekülünün iki bileşenli PES grafiği...................................... 15 Şekil 4.1. Mamdani metodunun basit bileşenleri .................................................... 18 Şekil 4.2. Modelin genel yapısı ........................................................................................ 19 Şekil 4.3. SC1 değerleri (o) için üyelik fonksiyonları .............................................. 19 Şekil 4.4. SC2 değerleri (o) için üyelik fonksiyonları .............................................. 20 Şekil 4.5 Enerji değerlerinin üyelik fonksiyonları. ................................................. 20 Şekil 4.6. DFT metodu ile elde edilen enerji ile model sonucu elde edilen enerji değerleri arasındaki kolerasyon .................................................... 22 Şekil 4.7. Açı çiftlerine bağlı olarak enerji fonksiyonu. ......................................... 22 Şekil 5.1. Kontrol noktalarının farklı açılardan gösterimi ................................... 27 Şekil 5.2. Kontrol noktaları ile elde edilen Bezier yüzeyi ..................................... 31 Şekil 6.1. Kontrol noktaları ile elde edilen Bezier yüzeyi ..................................... 36 Şekil 6.2. Tek parça düzgün diferansiyellenebilir 𝑓 𝑥 fonksiyonu ................. 36

vi

ÇİZELGELER DİZİNİ

Sayfa Çizelge 5.1. Bazı lokal bezier yüzeylerinin kartezyen fonksiyonları ............... 28 Çizelge 5.2. Veri değerleri ................................................................................................. 29 Çizelge 5.3. Veri değerleri ................................................................................................. 30 Çizelge 7.1. Sayısal sonuçlar ............................................................................................ 44

vii

SİMGELER VE KISALTMALAR DİZİNİ DFT Yoğunluk Fonksiyon Teorisi İMKB İstanbul Menkul Kıymetler Borsası PES Potansiyel Enerji Yüzeyi SC1 C2C1C4O7 SC2 C1C2O6H13 FLM Bulanık Mantık Modelleme CAGD Computer Aided Geometric Design

PEY Potansiyel Enerji Yüzeyi P-S Parçalı Düzgün Fonksiyonlar a.u Atomik Birim

http://www.journals.elsevier.com/computer-aided-geometric-design

1

1. GİRİŞ

Son zamanlarda, reel hayat problemlerinde gelişen teknoloji ile en iyi sonuçları

en az maliyetle bulmak esas çalışmalardan olmuştur. Fizik çalışmalarında da

optimizasyon problemleri benzer şekilde görülmektedir. Üzerine çalışılan enerji

konformasyon analizi ise bunlardan biridir. Analiz çalışmasındaki esas amaç

molekül oluşturulurken ortaya çıkan enerji değerini minimize etmektir. Bu ise

atomların bağlanma şekilleri, bağ açıları gibi çeşitli değişenlere bağlıdır.

Konformasyon analizi üzerine çalışmalar ilk olarak 1960’lı yıllarda Walter Kohn

ve çalışma arkadaşları tarafından geliştirilmiştir. Thomas ve Fermi’ye ait olan

Yoğunluk Fonksiyonel Teorisi, parçacık sisteminin toplam enerjisini,

Schrödinger denkleminde elektriksel yük yoğunluk fonksiyonu kullanarak

hesaplar. Bu çalışmada incelenen moleküller için hesaplamalar, Gaussian 03

paket program(Frisch vd, 2003) ve Gauss-View moleküler görüntüleme(Frish

vd, 2001) paket programları kullanılarak yapılmıştır. Pople ve çalışanları

tarafından 2003 yıllarında geliştirilen Gaussian 03W, moleküler mekanik, yarı

deneysel ve ab initio yöntemlerini içeren oldukça kapsamlı bir programdır. Her

üç yöntem için de çok sayıda teori ve temel set seçeneğine sahiptir. Gaussian

03W programı atom ve moleküllerin enerjileri, enerjiye bağlı olan titreşim

frekansları, kuvvet sabitleri ve dipol momentleri hesaplamada ve moleküllerin

geometrik optimizasyonlarını yapmada son derece etkilidir (Dawson vd, 1959).

Yoğunluk Fonksiyon Teorisi (DFT) kullanılarak farklı torsion açılarda enerjileri

hesaplanan molekül, treonin molekülü (HO2CCH(NH2)CH(OH)CH3)’dür. Amaç

uygun şartlarda minimum enerji değerini araştırmak olacaktır. Bunun için ise

literatürde var olan (Yılmaz ve Sahiner, 2016) tarafından önerilen global

minimum bulma teknikleri kullanılacaktır. Öncelikle Gaussian 03W ile elde

edilen veriler analiz edilmiştir.

Global minimum bulma yönteminin etkin kullanılabilmesi için modelin

diferansiyellenebilir olması gereklidir. Fakat ilk adımda verilerin sürekli

olmaması problem teşkil etmektedir. Bu problemin giderilmesi için Bu

çalışmada uygulamalı bilim dallarında yaygın olarak kullanılan Bulanık Mantık

kullanılarak belli aralıkta kesikli olan verilerin sürekli hale getirilmesi için ilk

adım atılmıştır. Bulanık mantığın temelleri Zadeh tarafından 1965 yıllarında

2

atılmıştır (Zadeh, 1965). Bulanık Mantık, akıl yürütme mantığıdır ve belirsizlik

ortamında değerlendirme yaparak yaklaşık sonuç elde etmeyi sağlar. Ayrıca

belirsizliklerin anlatımı ve belirsizliklerle çalışılabilmesi için kurulmuş bir

matematik düzenidir. Akıl yürütme mantığı olan Bulanık Mantık belirsizlik

durumlarında değerlendirme yaparak yaklaşık sonuç elde etmeyi sağlar.

Bulanık Mantık Modelleme çalışmaları İMKB’ye kayıtlı çimento işletmelerinin

finansal tablolarının Bulanık Mantık ile belirlenmesinde (Eleren, 2007), Bulanık

Mantık ile gazlı içeceklerin karbondioksit kontrolü yapılmasında (S. Abduljabar,

2011), çiğ sütün kalite değerlendirilmesinde (Akıllı vd, 2014), son zamanlarda

ise optimizasyon çalışmalarında da veri modellemelerinde bir basamak olarak

kullanılmıştır (Sahiner vd, 2013), (Sahiner vd, 2014), (Sahiner vd, 2015).

Sonraki aşama olarak ise Bulanık Mantık ile oluşturulan sürekli yüzeyin

minimimum enerji değerinin bulunduğu nokta civarında modelin

diferansiyellenebilir olmaması üzerinde durulacaktır. Bunun giderilmesi ise

Bezier yüzeyleri ile sağlanacaktır. Her bir lokal enerji değerinin civarında lokal

Bezier yüzeyleri oluşturulacaktır. Bezier yüzeylerini oluşturan Bezier eğrilerinin

temelleri 1950 yıllarında atılmaya başlanmış ve ilk olarak 1959 yılında Paul de

Faget de Casteljau isminde Citroën’ de çalışan bir Fransız otomotiv

mühendisi tarafından literatüre takdim edilmiştir (Thompson vd, 1998). Bu

kavram son zamanlarda yüzey tasarımı (veya CAGD) için de büyük önem

arzetmektedir.

Oluşturulan lokal Bezier yüzeylerinin birbirine kaynaştırılarak tek parça

diferansiyellenebilir sürekli bir yüzey olması ve düzgünleştirilmesi yine Bezier

eğrileri ile sağlanacaktır. Düzgünleştirme çalışmaları ilk olarak 1975 yılında

Bertsekas tarafından min-max problemlerinde ortaya çıkmıştır. Data

modellemede kurulan eğri veya yüzeyin birinci ve ikinci mertebeden düzgün

olması (birinci ve ikinci mertebe türevleri sürekli) büyük bir önem arz

etmektedir. Geometrik Eğri ve Yüzey Tasarımı (veya CAGD) için eğri ve

yüzeylerin düzgün birleştirilmesi önemli problemlerdendir. Yüzey veya eğri

birleştirme çalışması kesişen iki yüzey (veya eğri) arasında düzgün bir geçişin

sağlanması çalışmalarını içermektedir. Genellikle iki yüzey, kesişme eğirisinin

3

(noktasının) civarından kesilir ve oluşan boşluk uygun bir yüzey parçası ile

doldurulur (Hartman, 1995).

Sonuç olarak optimizasyon teorisinde her birisi ayrı bir öneme sahip

modelleme, düzgünleştirme, düzgün birleştirme ve global minimum bulma

teknikleri geliştirilerek bunların kullanılışı enerji konformasyon analizi

problemleri üzerine özel bir uygulama ile tanıtılacaktır. Kullanılacak yol ve

yöntemlerle ilgili gerekli ön bilgiler, uygulamalar ve sonuçlar sıra ile tez

çalışmasında başlık olarak verilecektir. Yapılan bu tez çalışması ile farklı

disiplinlerdeki benzer optimizasyon problemlerine çözüm için yeni bir

metodoloji geliştirilmiş olacaktır.

1.1. Tezin Organizasyonu

Çalışmanın ilk bölümü olan giriş bölümünde, tez çalışması için önemli olan

Bulanık Mantık, optimizasyon çalışmalarının günümüzdeki yeri ve DFT üzerine

kısa bilgiler verilmiştir. Bu bölümde ayrıca tezin organizasyonu bildirilmiştir.

Kaynak özetleri kısmında, tez konusu ile ilgili literatür taraması yapılarak bu

konu üzerine benzer çalışmalar, optimizasyon konusu üzerine günümüzde

gelinen son nokta ve kullanılan çeşitli yöntemlere kısaca değinilmiştir.

Çalışmanın üçüncü bölümünde, tezin bir parçası olan enerji konformasyon

problemlerinden bahsedilmiştir. Bu problemin çözümünde kullanılan

yöntemlerden biri olan DFT, Gaussian 03W programı ve Potansiyel Enerji

Yüzeyi hakkında gerekli ön bilgiler verilmiştir. Ardından bu yöntemlerin tez

çalışmasına uygulanması ele alınmıştır.

Dördüncü bölümde, tezin sonraki aşamasında kullanılacak Bulanık Mantık ile

ilgili ön bilgiler verilmiş kısaca Mamdani Çıkarım Metodu’ndan bahsedilmiştir.

Ayrıca DFT ile elde edilen verilerin sürekli hale getirilmesi için kullanılan

Bulanık Mantık Yönteminin nasıl uygulanacağından bahsedilmiştir.

Beşinci bölümde, Bezier yüzeyleri ile ilgili tanımlara yer verilirken lokal

minimum enerji değerlerinin civarında Bezier yüzeylerinin oluşturulması

sağlanmıştır.

4

Altıncı bölümde, oluşturulan lokal Bezier yüzeylerinin, Bezier eğrileri ve parçalı

düzgün (P-S) fonksiyonlar kullanılarak birbiri ile düzgün kaynaştırılması

sağlanmıştır.

Yedinci bölümde, Treonin molekülü için enerji konformasyon probleminde

Smooth and Descent metodu kullanılarak global optimizasyon çalışması

yapılmış ve alakalı bazı tanım ve teoremler verilmiş, literatürde var olan global

minimum metodu olan Smooth and Descent yönteminden bahsedilmiş ve bu

yöntem minimum enerji değerlerinin bulunması için uygulanmıştır.

Uygulanan yöntemler ve alınan sonuçlarla ilgili karşılaşılan sorunların

çözümleri ve diğer yorumlar tartışmalar ve sonuçlar kısmında ele alınmıştır.

Tezin hazırlanmasında kullanılan kaynaklar ise tezin en son kısmında

verilmiştir.

5

2. KAYNAK ÖZETLERİ

Özel ve Kılıçkap (2006) Bezier yüzeylerini tasarım ve imalatta, yüzeyler ve

onların tanımlanmasında ve daha birçok reel hayat problemlerinde veri

modellemesi ve modelin estetiği ile ilgili çalışmalarında kullanmıştır.

Hartman (1995), çalışmasında yüzeyleri kaynaştırmak için bölgeyi uygun

aralıklarda kesmek ve eğrilerle en azından birinci dereceden

diferansiyellenebilir şekilde kaynaştırma üzerine çalışmıştır.

Ye ve Liang (1996) ise çalışmasında eğrilerle Bezier yüzeylerinin benzer şekilde

diferansiyellenebilir bağlanması üzerine çalışmalar yapılmıştır.

Cheng ve Gao (2003) ise yine çalışmalarında Bezier yüzeylerinin

diferansiyellenebilir şekilde kaynaştırılmasını parametrik olarak çözebilen

metotlar geliştirmiştir.

Belkhatir ve Zidna (2009) tarafından yapılan çalışmada ise yine yüzeylerin

diferansiyellenebilir kaynaştırılmasında parametrik çözüm üzerine

durulmuştur.

Yılmaz ve Şahiner (2015) Bulanık Mantık ile modellenen verilerin optimizasyon

çalışmalarında, klasik tekniklerden Filled Fonksiyon ve Smooth and Descent

metodlarını günlük hayat problemlerinin çözümünde kullanılmıştır.

Düzgünleştirme çalışmalarından ilki Bertsekas (1975) tarafından min-maks

problemleri için 1975 yılında ortaya koyulmuştur.

Zang (1980) ile aynı optimizasyon problemleri için diğer çalışmalar 80’ li

yılların başında literatürdeki yerini almıştır.

Dantzig (2002), optimizasyon modellerinin çözümüne yönelik yöntemlerin

araştırılmasının ikinci dünya savaşı yıllarına dayandığını ifade etmiştir.

Pınar ve Zenios (1994) ile Lian (2012) kısıtlı optimizasyonda kullanılan ceza

fonksiyonu metodu için düzgünleştirme fonksiyonları inşa etmişlerdir.

6

Haklı (2014), gerçek hayat problemlerinin geleneksel yöntemlerle çözülmesinin

zorluğu ve etkin olarak çözülememelerinin ilgiyi modelleme çalışmalarına

kaydırdığından bahsetmiştir.

Kashan (2014), çalışmasında özellikle son yıllarda kompleks ve zor

optimizasyon problemlerinin çözümü için bir çok sezgisel algoritma

geliştirmiştir. Bu algoritmalar tabiattan topluma, kültürden politika ve insana

kadar çevremizde gördüğümüz hemen hemen her şeyin modellenmesi ile

geliştirilmesini ele almıştır.

Leontief (1933,1936) çalışmalarında optimizasyon teknolojisinin gelişiminde

araştırmacıların öncelikli olarak modelleme ile ilgilendiğinden bahsetmiş ve bu

alandaki ilk çalışmaların Leontief tarafından Amerika Birleşik Devletleri’nin dış

ticaretini ve ekonomik yapısını modellemek amacıyla yaptığı yayınlar olduğunu

belirtmiştir.

Rus matematikçi Kantorovich (1939), üretim planlamasında en sıklıkla

karşılaşılan problemlerin modellenmesi ve elde edilebilecek en iyi sonuçları

bulma metotlarını anlattığı makalesiyle modern üretim sistemlerinde

optimizasyona olan ihtiyacı ortaya koymuştur.

Kantorovich ve Gavurin (1940) öte yandan ulaşım sektörünün verimliliğini

arttırmaya yönelik modelleme çalışmaları da yapmışlardır.

Kantorovich (1960), üretim sistemlerinin performansının artırımına yönelik

dokuz farklı optimizasyon problemi tanımlamış ve bu problemlerin çözümüne

yönelik olarak her problem için farklı çözüm algoritması geliştirmiştir.

Ayrıca, ekonomi alanında optimum kapasite kullanımına yönelik özellikle

ulaştırma sistemlerinde modelleme çalışmaları yapılmıştır. (Koopmans

,1949;1951;1957), (Koopmans ve Reiter, 1951), (Koopmans ve Bausch, 1959).

Nobel (2006)’ in sitesindeki açıklamaların ışığında, bu modelleme çalışmaları

bilim dünyası tarafından kabul görmüş olduğu ve Leontief 1973 yılında Nobel

Ekonomi Ödülünü aldığı, Kantorovich ve Koopmans’ın ise 1975 yılında Nobel

Ekonomi Ödülü’nü paylaştıkları anlaşılmıştır.

7

Dantzig (1949a), optimizasyon modellemelerinde özellikle ekonomik

sistemlerde kullanılması ve üretim/dağıtım sistemlerinde karşılaşılan

problemlerin birçoğunun optimizasyon problemi olarak modellenmesine

rağmen optimizasyon modellerinin teorik özelliklerinin araştırılması ve genel

çözüm algoritmalarının geliştirilmesinin halen devam ettiğini gösteren

çalışmalar yapmıştır. Optimizasyon problemlerinin çözümüne yönelik olarak ilk

önemli çalışma Dantzig tarafından yapılmış ve simpleks algoritması

geliştirilmiştir.

Gass ve Assad (2004), “Annotated Timeline of Operations Research: An Informal

History” isimli çalışmalarında belirttikleri üzere; Nobel Ekonomi ödülünü 1975

yılında alan Koopmans, Dantzig’in çalışmalarının önemine inanmış ve Dantzig’in

bu ödüle ortak olması gerektiğini Nobel ödül komitesine belirtmiştir. Fakat bu

çağrısına cevap alamamış ve Nobel ödülünün üçte birlik kısmını Uluslararası

Uygulamalı Sistem Analizi Enstitüsü’nde (International Institute for Applied

Systems Analysis-ILASA) George Dantzig adına kurulan burs programına

bağışlamıştır.

8

3. TREONİN MOLEKÜLÜNDE ENERJİ KONFORMASYON PROBLEMİ

Tez çalışmasında geliştirilen metotların, fizik çalışmalarında önemli yere sahip

enerji konformasyon problemlerine bir uygulaması yapılacaktır. Bunun için

konformasyon problemlerini daha iyi anlamamız gerekecektir. Bir molekül de

sadece sigma bağ (tek bağ) etrafında dönmeler vardır. Sigma bağı etrafında

grupların dönmesinden meydana gelen geçici molekül şekillerine moleküllerin

konformasyonu denir. Grupların sigma bağı etrafında dönmeleri sonucu

moleküllerin uğradığı enerji değişiminin analizine ise konformasyon analizi

denir. Moleküllerin farklı konformasyonları onların farklı özellikler

göstermesine sebep olabilir. Örneğin bir biyomolekülün bir fonksiyonu için o

molekülün belirli bir konformasyonda bulunması gerekir. Buda genellikle düşük

enerjili konformasyonlarıdır. Büyük moleküllerin düşük enerjili

konformasyonlarını bulmak için korformasyonel analiz yapmak gerekir. Bu

analizi yaparken ise molekülün atomları birbirine bağlanırken bağlar arasında

itme çekme kuvveti oluşur. Molekülün enerjisinin hesaplanmasında ise tüm

değişkenler göz önüne alınmalıdır. Moleküllerin enerjilerinin hesabında etkili

olan bağların torsion yani bükme açısı da enerji değerine etki etmektedir.

Böylelikle molekülün en az enerjiye hangi torsion açıda sahip olduğu

araştırılacaktır. Moleküllerin bağ yaparken en az enerjiye sahip olması onun

daha kararlı bir yapıda olmasına etki edecektir. Bu ise moleküller için istenen

bir özelliktir. Moleküllerin bu özelliklere sahip olarak modellenmesi ise kinetik

hesaplamalar, malzeme dizaynı, ilaç tasarımı gibi çeşitli sektörlerde

kullanılmaktadır.

Konformasyon analizinde kullanılacak çok elektronlu sistemlerde sayısal

çözümlemeler için çeşitli yöntemler kullanılmaktadır. Bunlar, ab initio

yöntemleri, yarı-ampirik yöntemler, yoğunluk fonksiyonel yöntemleridir. Bu

yöntemlerle Schrödinger denklemi tutarlı sonuç elde edinceye kadar

tekrarlanarak çözümlenir. Bu hesaplamalar çok karmaşık ve çözümü zaman

aldığı için ticari paket yazılımlar tarafından yapılmaktadır. Bu yazılımlar fortran

programlama dili kullanılarak hazırlanır ve bu yazılımlardan bazıları Gaussian,

Gamess, Molpro, Cache’ dir. Bu çalışmada, yoğunluk fonksiyon yöntemi ve

Gaussian yazılım programı kullanılmıştır.

9

DFT kullanılarak farklı torsion açılarda enerjileri hesaplanan molekül, treonin

molekülü (HO2CCH(NH2)CH(OH)CH3)’dür. Treoninde iki optik merkez bulunur;

dolayısıyla 4 farklı Stereoizomeri olabilir, diğer bir deyişle L-treoninin iki

diastereoizomerinin olması mümkündür. Fakat L-treonin ismi yaygın olarak

sadece bir enentiomeri için kullanılmaktadır. (2R, 3R)-2-amino-3-

hidroksibütanoik asit doğada çok nadir olarak bulunan ikinci diastereoizomeri

(2S, 3S), L-allo-treonin olarak adlandırılmaktadır. Treonin’in çeşitli isomerleri

Şekil 3.1 ‘de gösterilmiştir.

Şekil 3.1. Treonin’in çeşitli isomerleri

3.1. Ön Bilgiler

3.1.1. Yoğunluk fonksiyon teorisi (DFT)

Parçacık sisteminin toplam enerjisini elektriksel yük yoğunluğunun bir

fonksiyonu olarak incelenen, Schrödinger denkleminin çözümünde kullanılan ve

orijinali Thomas ve Fermi’ye ait olan DFT, ilk olarak 1960’lı yıllarda Walter

Kohn ve çalışma arkadaşları tarafından geliştirilmiştir.

Elektronik, Kimya, Fizik gibi dallarda, N (çok) cisimli sistemlerin

fonksiyonlarının çözümünde, bir dalga fonksiyonun elektron yoğunluğunu

10

temel bir değişken alarak kullanılan bu teori aşağıda verilen farklı çalışmalara

uygulanmış ve daha kısa, daha kullanışlı, daha modern, sistemi tek tek değil de

tüm olarak ele aldığı sonucuna varılmıştır. Barth ve Williams (1983) tarafından

yapılan, atomlar, katılar ve moleküller için Yoğunluk Fonksiyonel Teorisi

uygulamaları konulu çalışma bu konudaki ilk çalışmalardan biri olmuştur. Barth

(1984) sonrasında bu konuya, katılar için DFT, çalışması ile devam etmiştir.

İlerleyen yıllarda Avery ve Dahl (1989) tarafından, Kuantum Kimyası ve Fizikte

Yerel Yoğunluk yaklaşımı konulu çalışma yapılmıştır. Son zamanlarda ise Napari

(2000) tarafından akışkan sistemlerde faz davranışları ve çekirdeklenme için

DFT üzerine çalışmalar sürdürülmüştür. 2002 yıllarında Yoğunluk Fonksiyonel

Kuramı ve uygulamaları, 2004 yılında ise yarı iletkenlerin atomik, elektronik ve

titreşim özelliklerinin Yoğunluk Fonksiyon Teorisi ile belirlenmesi üzerine

çalışmalar bulunmaktadır.

Moleküllerin veya katıların yapılarının anlaşılmasında, kuantum mekaniğinin

insanı hayrete düşürecek bir biçimde hızlı gelişimine karşın, elde edilmiş olan

denklemlerin analitik veya sayısal çözümlerinde bir çok zorluklarla

karşılaşılmıştır. İlkesel olarak, kuantum mekaniksel bir dalga fonksiyonu,

verilen bir fiziksel sistem hakkında bilginin tümünü kapsamaktadır. İki boyutlu

bir kare potansiyel veya bir hidrojen atomu hali için, sistemin dalga

fonksiyonunu elde etmek için Schrödinger denklemini kesin olarak

çözülebiliyor ve buradan sistemin izin verilen tüm enerji hallerini

saptanabilirdir. Ne yazık ki, Schrödinger denklemini N cisimli bir sistem için

çözmek, genellikle olanak dışı olarak kalmaktadır. Bu tür problemlerin

çözümüne ulaşılmasında, bazı yaklaşımlarda bulunmak zorunluluğu vardır.

1998 yılında kimya bilim alanında Nobel ödülünü kazanmış olan Walter Kohn,

1964 yılında P.Hohenberg ile yapmış olduğu bir çalışmada çok cisimli dalga

fonksiyonunun varyasyonel bir yaklaşıklık içerisinde temel bir değişken olarak

alınmasının problemi oldukça güçleştirdiğini öne sürerek onun yerine yer ve

zamanın bir fonksiyonu olan elektron yoğunluğunu temel bir değişken almıştır.

Böylece çok cisimli sistemin Schrödinger denkleminin yaklaşık bir çözümünün

elde edilmesinde Yoğunluk Fonksiyon Teorisi yararlanılan bir yöntem haline

gelmiştir.

11

DFT’ nin önemli özellikleri

Orijinal DFT, bir taban durum teorisidir.

DFT, açık durumlu sistemlere ve manyetik özellikli katılara da

uygulanabilmektedir.

DFT, uyarlanmış durumlara ve zamana bağlı potansiyellere de

uygulanabilmektedir.

Hybrid DFT/Hartree-Fock metotları bulunmaktadır.

DFT, lokalize ve delokalize fonksiyonların her ikisini de

kullanabilmektedir.

3.1.2. Gaussian 03W

Bu çalışmada incelenen moleküller için hesaplamalar Gaussian 03 paket

program (Frisch vd, 2003) ve Gauss-View moleküler görüntüleme (Frish vd,

2001) paket programları kullanılarak yapılmıştır. Programın günümüzde farklı

platformlarda da çalışabilen çeşitli sürümleri mevcuttur. Program, kullanıcıların

çeşitli kuantum kimyasal hesaplamaları üç boyutlu görseller ve animasyonlarla

birleştirerek oldukça gelişmiş bir molekül modelleme ortamında

gerçekleştirmelerine olanak sağlar.

Pople ve çalışanları tarafından 2003 yıllarında geliştirilen Gaussian 03W,

moleküler mekanik, yarı deneysel ve ab initio yöntemlerini içeren oldukça

kapsamlı bir programdır. Her üç yöntem için de çok sayıda teori ve temel set

seçeneğine sahiptir. Gaussian 03W programı ile atom ve moleküllerin enerjileri

hesaplanabilir, geometrik optimizasyonları farklı bağ yapılabilir ve enerjiye

bağlı olan titreşim frekansları, kuvvet sabitleri ve dipol momentleri

hesaplanabilir. Program, potansiyel enerji yüzeyinde dolaşarak minimumlar,

geçiş halleri ve tepkime güzergahını tarayabilmektedir. Ayrıca IR ve Raman

spektrumları, termokimyasal özellikleri, bağ ve tepkime enerjileri, molekül

orbitalleri, atom yükleri, çok kutuplu momentler, NMR ve manyetik duyarlılık

titreşimsel şiddetleri, elektron ilgisi ve iyonlaşma enerjileri, kutuplanabilirlik ve

hiperkutuplanma, elektrostatik potansiyel ve elektron yoğunluğu gibi pek çok

özelliğin atomlar ve moleküller için hesaplanmasına olanak tanımaktadır. Tüm

bu özellikler gaz fazında ve çözelti içinde hesaplanabilmektedir.

12

Hesaplamalarda atom veya molekülün temel hali ya da uyarılmış hali

kullanılabilmektedir.

Gauss View 3.0 Gaussian paket programları için giriş (input) dosyaları

hazırlamak ve gaussian çıktılarını görselleştirmek için hazırlanmış bir grafik

arayüzdür (Şekil 3.2). Gauss View molekülleri görsel hale getirir ve onları

istediğimiz gibi döndürmemize, hareket ettirmemize ve moleküllerde değişiklik

yapmamıza olanak sağlar. Ayrıca karmaşık hesaplamalar için dahi kolaylıkla

giriş dosyaları hazırlamamızı imkan verip Gaussian programı tarafından

hesaplanan sonuçları (output) grafiksel olarak incelememize olanak

sağlamaktadır. Bu sonuçlar optimize edilmiş molekül yapıları, molekül

orbitalleri, elektrostatik potansiyel yüzeyleri, atomik yükler, IR, Raman, NMR

spektrumları gibi sıralanabilir.

3.1.3. Potansiyel enerji yüzeyi Potansiyel Enerji Yüzeyi (PEY), bütün mümkün atomik düzenlenişler üzerinden

atomlar topluluğunun potansiyel enerji yoluyla belirlenen çok boyutlu

yüzeyidir. N atomdan oluşan bir sistemin potansiyel enerji yüzeyi 3N-6 tane

koordinat boyutuna sahip olacaktır. Bu boyut sayısı kartezyen uzayın üç boyutlu

olmasının bir sonucudur. PEY, bağ uzunlukları, açılar ve torsion açıları

cinsinden yani iç koordinatlar ile tanımlanabilir.

PEY üzerinde özellikle incelenen noktalar en uygun molekül yapılarına karşılık

gelen yerel minimumlar, tüm PEY üzerinde en düşük enerjili nokta olan global

minimumlar ve geçiş yapılarına karşılık gelen eyer noktalarıdır. Eyer noktaları

minimumları birleştiren yollar üzerindeki en düşük enerjili bariyerdir ve

dolayısıyla geçiş durumları ile doğrudan ilgilidirler.

13

(a)

(b)

Şekil 3.2. GaussView 03 programında: a. kullanıcı arayüzü, b. Moleküler orbitallerin görüntülenmesi

14

3.2. Uygulama

Treonin molekülünün optimize yapısı Yoğunluk Fonksiyon Teorisi (DFT)

metodu kullanılarak uygun hale getirilmiştir. Metot ile birbirine bağlı olan

atomlar kullanılarak Molekülün şekli ve numaralandırılmış hali, Şekil 3.3’ deki

gibidir. Tüm hesaplamalar Gaussian 03 paket program(Frisch vd, 2003) ve

Gauss-View moleküler görüntüleme programı(Frish vd, 2001) kullanılarak

bilgisayar yoluyla ile yapılmıştır. Hesaplamalarda, DFT-6-31 G(d) metodu ile bir

torsion açısı sabit tutulup diğer torsion açısı 360o ye kadar 20o ‘lik artışlar

yapılarak değiştirilmiştir. Potansiyel Enerji Yüzeyi (PES) ile molekülün

minimum enerji yapısı görüntülenmiştir. İki değişkenli PES ile görüntülenen açı

çifti (SC1=C2C1C4O7 ve SC2=C1C2O6H13) olan molekül Bulanık Mantık

yaklaşımı için girdi değişkenleri kabul edilmiştir. PES ile görüntülenen veriler

Şekil 3.4’ de verilmiştir.

Şekil 3.3. Treonin molekülünün optimize yapısı

15

Şekil 3.4. Treonin molekülünün iki değişkenli PES grafiği . E= Energy, SC1= C2C1C4O7 ve SC2=C1C2O6H13.

16

4. BULANIK MANTIK İLE VERİLERİN SÜREKLİLİĞİ Bulanık mantığın temeli bulanık küme ve alt kümelere dayanır. Bulanık küme

sınırı net olarak tanımlanmış bir kümedir. Klasik yaklaşımda bir varlık ya

kümenin elemanıdır ya da değildir. Yani varlığın doğruluk değeri ya "1" ya da

"0" dır (Zadeh, 1965). Bulanık Mantık klasik mantığın genişletilmiş biçimidir.

Bir bulanık kümede her varlığın bir üyelik derecesi vardır ve bu üyelik derecesi

0 ile 1 arasında herhangi bir değer alabilir. Bununla ilgili gerekli açıklamalar ve

bazı tanımlara önbilgilerde yer verilmiştir.

4.1. Ön Bilgiler 4.1.1. Bulanık sayı ve üyelik fonksiyonları Tanım 4.1.1. Elemanları 𝑥 lerden oluşan herhangi bir 𝑋 kümesi verilmiş olsun.

𝐴 ⊂ 𝑋 alt kümesi 𝜇𝐴(𝑥) üyelik fonksiyonu ile karakterize edilir, 𝜇𝐴:𝑋 → [0,1]

karakteristik fonksiyonu da 𝑥’in A’ daki üyelik derecesi olur. A aşağıdaki gibi

ikili kümeler,

𝐴 = (𝑥, 𝜇𝐴(𝑥)) 𝑥 ∈ 𝑋, 𝜇𝐴 𝑥 ∈ [0,1]

ile gösterilir.

Bir problemin Bulanık Mantık ile modellenmesinde girdi ve çıktı değişkenleri

rol oynar. Her bir girdi ve çıktı değişkeni için farklı üyelik fonksiyonları

oluşturulur. Bu değişkenlerin üyelik fonksiyonları "az, orta, çok, düşük, yüksek"

gibi dilsel değişkenlerle de ifade edilir.

Tanım 4.1.2. 𝜇𝐴:ℝ → 0,1 üyelik fonksiyonları olmak üzere A bulanık kümesi

aşağıdaki özellikleri sağladığında bulanık sayı olarak isimlendirilir. (Savas,

2008):

A kümesi normal olmalı yani 𝜇𝐴 𝑥0 = 1, olacak şekilde

∃ 𝑥0 ∈ ℝ𝑛 ,

A bulanık konveks olmalı yani şu şartı sağlamalıdır:

𝜇𝐴 𝜆𝑥 + 1 − 𝜆 𝑦 ≥ 𝑚𝑖𝑛 𝜇𝐴 𝑥 ,𝜇𝐴 𝑦 ;

∀ 𝑥,𝑦 ∈ ℝ𝑛 ve 0 ≤ 𝜆 ≤ 1,

𝜇𝐴 üst yarı sürekli olmalıdır;

17

suppA sınırlı yani; 𝑥 ∈ ℝ𝑛 : 𝜇𝐴 𝑥 > 0 olmalıdır.

Bir bulanık sayı üçgen veya yamuk üyelik fonksiyonları ile tanımlanabilir.

Tanım 4.1.3. Üçgensel üyelik fonksiyonu a alt sınır, b üst sınır ve 𝑎 < 𝑚 < 𝑏

olmak üzere aşağıdaki gibidir:

𝜇 𝑥;𝑎, 𝑏,𝑚 =

0, 𝑥 ≤ 𝑎𝑥 − 𝑎

𝑚 − 𝑎, 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑚

𝑏 − 𝑥

𝑏 −𝑚, 𝑚 < 𝑥 ≤ 𝑏

0, 𝑥 > 𝑏.

Tanım 4.1.4. Yamuk üyelik fonksiyonu a alt sınır, d üst sınır, 𝑎 < 𝑏 < 𝑐 < 𝑑

olmak üzere aşağıdaki gibi ifade edilir.

𝜇 𝑥;𝑎, 𝑏,𝑚 =

0, 𝑥 < 𝑎 𝑥 − 𝑎

𝑏 − 𝑎, 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏

1, 𝑏 ≤ 𝑥 ≤ 𝑐𝑑 − 𝑥

𝑑 − 𝑐, 𝑐 ≤ 𝑥 ≤ 𝑑

0, 𝑥 > 𝑑.

4.1.2. Mamdani çıkarım metodu

Mamdani çıkarım metodu uygulamalarda en çok kullanılan yöntemdir. Mamdani

metodunda bir problemin modellenmesi ve çözümünde bulanıklaştırma

(fuzzification), kural tabanı (rule base), çıkarım metodu (inference) ve

durulaştırma (defuzzification) olmak üzere dört basit bileşen vardır. Bu

bileşenlerin çalışma şekli Şekil 4.1’ de gösterilmiştir.

18

Şekil 4.1. Mamdani metodunun basit bileşenleri

Bulanıklaştırma (Fuzzification): Sistem girdilerini, gerçek değerlerden

bulanık değerlere dönüştürme işlemidir.

Kural Tabanı (Rule Base): Uzman tarafından karar verilen "eğer-ise"

şeklindeki kurallardan oluşur.

Çıkarım metodu (Inference): Girdiler ve kurallar üzerinde bulanık

çıkarımla insan akıl yürütme sürecini simule eder.

Durulaştırma (Defuzzification): Çıkarım sonucu elde edilen bulanık

sayıları kesin sayılara dönüştürme işlemidir ( E. H. Mamdani, 1975), (E.

H. Mamdani, 1974), ( Sugeno veTagaki, 1983), (Tagaki ve Sugeno, 1985).

4.2. Uygulama

Atomları birbirine bağlanması esnasında ortaya çıkan enerjinin minimum

olması, oluşan molekülün kararlılığı açısından önemlidir. Bu çalışmada, farklı

açılarda bağlanan atomlar ve ortaya çıkan enerjilerden yararlanılarak bir

Bulanık Mantık modeli inşa edilmiştir. Çalışmada girdi değişkenleri sırasıyla

SC1(=C2C1C4O7) ve SC2(=C1C2O6H13) olarak alınmıştır. Çıktı değişkeni ise

SC1 ve SC2’nin değişen değerlerinde ortaya çıkan enerji değerlerinden

oluşturulmuştur. Modelin genel hali Şekil 4.2’ de verilmiştir. Bulanık Mantık

yaklaşımı kullanılarak sürekli olmayan veriler sürekli hale getirilmiştir. Böylece

ölçüm yapılmayan değerlerde de bir sonuca varılmıştır. Farklı açı çiftlerine

19

bağlı olarak molekülün enerjisinin tahmini için Mamdani modeli kullanılarak

Bulanık Mantık yaklaşımı oluşturulmuştur.

Şekil 4.2. Modelin genel yapısı

Birinci açı değeri 19o ile 359o arasında 20o’ lik açılarla arttırılırken, ikinci açı

değeri 6,78o ile 346,78o arasında yine 20o’ lik açılarla arttırılmıştır.

Şekil 4.3. SC1 değerleri (o) için üyelik fonksiyonları

Girdi değişkenleri olan birinci açı değerleri SC1 ve ikinci açı değerleri SC2 için

üyelik fonksiyonları sırasıyla (a1, a2,…, a18) ve (b1, b2,...,b18) olarak; çıktı

20

değişkeni olan molekülün enerji değerleri için üyelik fonksiyonları (e1,e2,...,e19)

olarak oluşturulmuştur. Her bir değişken için üyelik fonksiyonları sırasıyla Şekil

4.3, Şekil 4.4, Şekil 4.5’de gösterilmiştir. Enerji değerlerinin üyelik fonksiyonları

için enerji değerlerindeki 438 tamsayı kısmı çıkartılarak yerine 0 kullanılmıştır.

Şekil 4.4. SC2 değerleri (o) için üyelik fonksiyonları

Şekil 4.5. Enerji değerlerinin üyelik fonksiyonları

21

Üyelik fonksiyonları oluşturulduktan sonra sistemin kural tabanı

oluşturulmuştur. Kurallar ‘eğer-ise’ şeklindedir. Girilen bazı kurallar aşağıdaki

gibidir;

Eğer (Açı1 a1) ve (Açı2 b9) ise (Enerji e4)







⋮

Tüm bu işlemlerden sonra bir kural tabanı oluşmuş ve sonuç olarak ℝ² den ℝ’

ye bir fonksiyon elde edilmiştir. Bu fonksiyon Mamdani metodunun

durulaştırma (defuzzification) aşaması için kullanılmıştır.

Böylelikle FLM ile süreksiz olan veriler sürekli hale getirilmiş, test edilmemiş açı

çiftlerinde de enerji değerlerini öğrenmek mümkün hale getirilmiştir. Kurulan

model sonucunda elde edilen değerler ile gerçek değerler arasındaki ilişki

regresyon analizi ile karşılaştırılmış ve R² değeri %98 olarak bulunmuştur.

Gerçek veri değerleri ile tahmin değerleri arasındaki korelasyon Şekil 4.6’da

verilmiştir.

22

Şekil 4.6. DFT metodu ile elde edilen enerji ile FLM sonucu elde edilen enerji

değerleri arasındaki kolerasyon

Şekil 4.7. Açı çiftlerine bağlı olarak enerji fonksiyonu

y = 1,0162x + 7,1189R² = 0,9801

-438,28

-438,27

-438,26

-438,25

-438,24

-438,23

-438,22

-438,28 -438,27 -438,26 -438,25 -438,24 -438,23 -438,22

FLM

ile

hes

apla

nan

ver

iler

(Har

tree

/par

t)

DFT ile hesaplanan veriler (Hartree/part.)

23

5. BEZİER YÜZEYLERİ İLE DÜZGÜN LOKAL YÜZEYLERİN OLUŞTURULMASI

Bu bölümde optimizasyon sürecimizin ilk aşamasında Bulanık Mantık ile elde

ettiğimiz verilerin diferasiyellenebilir bir yüzey ile temsil edilmesi

sağlanacaktır. Bu amaçla ilk önce lokal bölgeler civarında Bezier yüzeyleri

oluşturulacak, daha sonraki bölümlerde de bu yüzeylerin birbirine düzgün

bağlanması yapılarak düzgün bir amaç fonksiyonu elde edilmesi ile sürece

devam edilecektir.

5.1. Ön Bilgiler 5.1.1. Bezier yüzeyleri

Tanım 5.1.1. Kuadratik Bezier yüzeyi yamaları 9 tane kontrol noktaları

kullanılan ızgara ile oluşturulur. (u,v) değişkenlerine bağlı olarak verilen

kuadratik Bezier yüzeyi, 𝑝𝑖𝑗 kontrol noktaları ve bilinen Bernstein polinomları

kullanılarak,

𝑝 𝑢, 𝑣 = 𝐵𝑖 𝑢 2𝑗=0 𝐵𝑗 (𝑣)𝑝𝑖𝑗

2𝑖=0

şekilde tanımlanır (Mortensen, 1985). Bezier yüzeyi ve eğrilerinin yüzey

modellemelerinde tercih edilmesinin pek çok nedeni bulunmaktadır.

Modellenmek istenen yüzeyin geometrik olarak daha estetik olması,

matematiksel anlamda diferansiyellenebilir olması Bezier eğrileri ile rahat bir

şekilde inşa edilebilmektedir. Bu inşada Bezier eğri ve yüzeylerinin şekilleri

kontrol noktaları tarafından belirlenir. Bu ise bu zamana kadar olan

çalışmalarda model oluşturulurken istenen şeklin inşa edilmesinde kullanılan

önemli özellik olmuştur. Bu tez çalışmasında ise oluşturulacak olan Bezier

yüzeyleri öngörülen lokal minimumlar civarlarında inşa edilecektir.

5.1.2. Bezier eğrileri

Bezier eğrisi 1950 yıllarında geliştirilmeye başlanmıştır. Fikrin temelleri ilk

olarak 1959 yılında Paul de Faget de Casteljau isminde Citroën’ de çalışan

bir Fransız otomotiv mühendisi tarafından atılmıştır. Aynı yıllarda, Renault'da

silindir parçalarının kesişimi üzerinde incelemeler yapan bir başka

Fransız otomotiv mühendisi Pierre Bézier’ de benzer bir yaklaşımla

araştırmalarını sürdürmüştür (Thompson vd, 1998). İki çalışan da

24

birbirlerinden ayrı olarak aynı sonuçları elde etmesine karşın, konu hakkında

yayınlanan ilk makale Bezier tarafından yazıldığından günümüzde bu eğri

Bezier eğrisi olarak bilinmektedir. Bu eğri özellikle bilgisayar grafikleri ve ilgili

alanlarda sıklıkla kullanılan parametrik eğri biçimidir. Eğri, seçilen kontrol

noktaları esas alınarak oluşturulur. İlk ve son noktalar eğri ile kesişirken,

seçilen diğer noktalar genellikle eğrinin üzerinde yer almaz(Farin, 1993).

Tanım 5.1.2. Bezier eğrisi matematiksel olarak genellikle Bernstein

polinomu baz alınarak ifade edilir. Buna göre, n' inci dereceden temel

fonksiyon, kontrol noktaları i ile parametrize edilmek üzere Bezier eğrisi

aşağıdaki şekilde gösterilir (Farin, 1984).

𝐵𝑖,𝑛 = 𝑛

𝑖 𝑢𝑖(1 − 𝑢)𝑛−𝑖

𝑛

𝑖 =

𝑛!

𝑖! 𝑛− 𝑖 !

5.2. Uygulama

Optimizasyon problemlerinde hedef fonksiyonunun bir lokal minimum

noktasını bulmak çok önemli; global minimum noktasını bulmak ise en önemli

konudur. Özellikle minimum noktalarda fonksiyonun diferansiyellenebilmesi

aranan özelliklerdendir. Bulanık Mantık modeli ile sürekli olmayan veriler

sürekli hale getirilmiş ve enerji değerlerini temsil eden bir yüzey elde edilmiştir.

Fakat oluşan yüzey bir analitik fonksiyonun açık bir kuralı ile temsil

edilememekte olup lokal-global minimumlaştırıcı noktalar civarında

diferansiyellenemeyen bir fonksiyondur. Bu problemin çözümü adına bu lokal

minimum enerjilerin olduğu bölgelerde kuadratik Bezier yüzeyleri

oluşturulmuştur. Bezier yüzeylerinin bu modeli oluşturmak için kullanılmasının

amaçlarından biri oluşturulan yüzeylerin düzgün olmasıdır. Bir diğer özelliği ise

kontrol noktalarının değişmesi ile yüzey üzerinde istenilen değişikliklerin

yapılabilmesi ve analizin kolay olmasıdır. Şekil 4.7 de görüldüğü üzere 9 tane

lokal bölge bulunmaktadır. Veri değerleri Fizik uygulamasından elde edilen

25

sonuçlar ve Bulanık Mantık ile elde edilen sürekli yüzeyden alınarak

oluşturulmuştur. Bezier yüzeyleri oluşturulurken veri değerleri ile kontrol

noktaları arasında ciddi fark olduğu gözlemlenmiştir. Fakat Bezier yüzeylerinin

oluşumunda her ikisi de etkin rol oynamaktadır. Veri değerleri Bezier

yüzeylerinin üzerlerinden geçmesini istediğimiz değerleri oluştururken kontrol

noktaları ise Bezier yüzeylerinin şeklinin belirlenmesinde kullanılan

noktalardır. Tez çalışmasında önemli olan hususlardan bir diğeri ise veri

değerlerinden geçmesini istediğimiz Bezier Yüzeylerinin gerekli kontrol

noktasını bulmak olacaktır. Çalışmanın özgün değerlerinden birisi ise bu

problemi çözen gerekli algoritmayı yazmak ve her bir lokal bölge için Bezier

Yüzeylerinin elde etmek olacaktır. Bezier eğrisinin bir başka özelliği ise eğriyi

oluşturan ilk ve son kontrol noktaları eğri üzerinde iken diğer noktalar eğri ile

kesişmez. Dolayısıyla bu bilgi bize eğrinin başlangıç ve bitiş noktalarının

dolayısı ile bu kontrol noktaları ile veri değerlerinin birbirlerine eşit olacağını

söylemektedir. Bu durum Bezier Yüzeyleri içinde değişmemektedir. Örneğin bu

çalışmada oluşturulacak olan her bir lokal bölge için kullanılacak 9 veri

değerinden 4 tanesi kontrol noktası ile çakışmaktadır. Yani her bir lokal yüzeyi

oluşturan köşenin kontrol noktası değeri ile veri değerleri aynıdır.

Çalışmamızda global minimum enerji değerinin bulunduğu; SC1 açısı için

[149,78o;206,78o] ve SC2 açısı için [159o;219o] açı çiftleri arasında değişen

enerji değerlerini ve global minimum enerji değerini bulunduran bölge ve [0o;

360o] arasında değişen diğer 8 lokal bölgeler belirlenmiştir. Her bir lokal bölge

için 9 tane kontrol noktası ele alınmıştır. Kontrol noktaları Bulanık Mantık ile

oluşturulan sürekli yüzeyden elde edilen değerler ve orijinal veri değerleri ile

oluşturulmuştur. Kontrol noktalarının elde edilmesi ve Bezier yüzeylerinin inşa

edilmesi için gerekli Algoritma 1 oluşturulmuş ve algoritma ile ilgili gerekli bazı

açıklamalar aşağıdaki şekilde verilmiştir.

Algoritma 1 (Lokal Bezier Yüzeylerinin Oluşturulması):

Adım 0: Lokal değerlerin bulunduğu bölge için tanım ve değer aralıkları belirlenir.

26

Adım 1: Kullanılacak olan parametreler (u,v) ve parametrelerin tanım aralıkları

[0,1] olarak belirlenir. Bezier yüzeylerine taban oluşturulan n. derece Bernstein

polinomları tanıtılır. Çalışmada Bernstein polinomlarının derecesi n=3 olarak

alınır.

Adım 2: Kuadratik Bezier yüzeyi için kullanılacak Bernstein polinomlarının

katsayılar matrisi C oluşturulur.

Adım 3: Bulanık Mantık ve DFT ile elde edilen veri değerleri girilir.

Adım 4: [0,1] aralığında ½ adım uzunlukları ile değişen u,v değerlerinin C

matrisinde yerine yazılması ve veri değerlerinin kullanılması ile veri

değerlerinden geçecek şekilde oluşturulacak kuadratik Bezier yüzeyinin kontrol

noktaları bulunur.

Adım 5: Kontrol noktaları ve C matrisinin çarpılması ile istenilen parametrik

yüzey denklemi S bulunur.

Adım 6: u, v cinsinden elde edilen yüzey yerine gerekli sadeleştirmeler yapılarak

karteyzen Bezier yüzey denklemi elde edilir.

Adım 7: Bezier yüzeyinin veri değerleri ile birlikte görüntüsü elde edilir.

Bu algoritma lokal minimumların bulunduğu 9 bölgede belirlenen aralıklar için

tekrar edilir ve Kuadratik Bezier yüzeyleri elde edilir.

27

Şekil 5.1. Kontrol noktalarının farklı açılardan gösterimi

9 tane olan her bir lokal bölge için Bezier yüzeyleri parametrik olarak verilen

algoritma ile oluşturulmuştur. Oluşturulan her bir bölge parametrik olarak

ifade edilmiş ve Bezier yüzeylerinin parametrik fonksiyonlar elde edilmiştir.

Elde edilen bu parametrik fonksiyonlar kullanılarak Şekil. 5.1’ de verilen

yüzeyler matlab programında çizdirilmiştir. Her bir lokal Bezier yüzeyinin

parametrik fonksiyonları hem daha anlaşılır bir denklem olarak ifade edilmesi

açısından hem de daha sonraki yapılacak olan modelleme çalışmalarda

kullanılması amacıyla kartezyen koordinatlardaki fonksiyonlar haline

dönüştürülmüştür. Lokal bölgeler için yüzey fonksiyonları tanım aralıkları baz

alınarak numaralandırılmıştır. Şekil. 5.1’ de tanım aralıklarına göre oluşturulan

lokal Bezier yüzeyleri verilmiş ve aralıklara göre yüzeyler numaralandırılmıştır.

Numaralandırma işlemi sonrasında yine aynı sıra ile fonksiyonlar karteyzen

28

hale dönüştürülmüştür. Her bir lokal bölge için bu fonksiyonlar 𝑓1 𝑥,𝑦 ,

𝑓2 𝑥,𝑦 , 𝑓3 𝑥, 𝑦 , 𝑓4 𝑥,𝑦 , 𝑓5 𝑥,𝑦 , 𝑓6 𝑥,𝑦 , 𝑓7 𝑥,𝑦 , 𝑓8 𝑥,𝑦 , 𝑓9 𝑥,𝑦 olarak ifade

edilmiştir. Bunlardan bazıları kartezyen formda Çizelge 5.1’ de gösterilmiştir.

Çizelge 5.1 Bazı lokal Bezier yüzeylerinin kartezyen formdaki fonksiyonları

𝑓1 𝑥,𝑦 =𝑥2𝑦2

5120000000−

23𝑥2𝑦

128000000+

31𝑥2

800000−

9𝑥𝑦2

64000000+

203𝑥𝑦

1600000−

27𝑥

1000+

3𝑦2

128000−

1703𝑦

80000+

4243

1000

𝑓2 𝑥,𝑦 =29𝑥2𝑦2

10240000000−

489𝑥2𝑦

256000000+

103𝑥2

320000−

109𝑥𝑦2

102400000+

9173𝑥𝑦

12800000−

9653𝑥

80000+

9761𝑦2

102400000−

164909𝑦

2560000+

34087

3200

𝑓4 𝑥,𝑦 = −𝑥2𝑦2

2048000000+

13𝑥2𝑦

64000000−

19𝑥2

102400+

83𝑥𝑦2

256000000−

27𝑥𝑦

200000+

7909𝑥

640000−

151𝑦2

3200000+

399𝑦

20000−

3341

1600

𝑓5 𝑥,𝑦 =−7𝑥2𝑦2

5120000000+

33𝑥2𝑦

64000000−

113𝑥2

2560000+

133𝑥𝑦2

256000000−

627𝑥𝑦

3200000+

10783𝑥

640000−

2063𝑥2

51200000+

9737𝑦

640000−

199213

128000

Elde edilen noktalar kullanılarak kuadratik Bezier yüzeyleri elde edilmiştir.

Şekil 5.2’ de Algoritma 1 kullanılarak Matlab programında oluşturulan yüzeyler

gösterilmiştir.

Bezier yüzeyleri oluşturulurken kullanılan veri değerlerinin tablosu Çizelge 5.2

ve Çizelge 5.3’ de verilmiştir.

29

Çizelge 5.2. Veri değerleri

𝑓1 𝑥,𝑦

SC1 280 280 280 320 320 320 360 360 360

SC2 280 320 360 280 320 360 280 320 360

Enerji

değeri

-

0.236

-

0.245

-

0.256

-

0.246

-

0.247

-

0.253

-

0.244

-

0.245

-

0.252

𝑓2 𝑥,𝑦

SC1 150 150 150 190 190 190 230 230 230

SC2 280 320 360 280 320 360 280 320 360

Enerji

değeri

-

0.226

-

0.237

-

0.250

-

0.241

-

0.242

-

0.258

-

0.227

-

0.245

-

0.262

𝑓3 𝑥,𝑦

SC1 0 0 0 40 40 40 80 80 80

SC2 280 320 360 280 320 360 280 320 360

Enerji

değeri

-

0.236

-

0.242

-

0.252

-

0.244

-

0.245

-

0.260

-

0.230

-

0.254

-

0.264

𝑓4 𝑥,𝑦

SC1 280 280 280 320 320 320 360 360 360

SC2 140 180 220 140 180 220 140 180 220

Enerji

değeri

-

0.248

-

0.257

-

0.249

-

0.248

-

0.262

-

0.255

-

0.247

-

0.260

-

0.253

𝑓5 𝑥,𝑦

SC1 150 150 150 190 190 190 230 230 230

SC2 140 180 220 140 180 220 140 180 220

Enerji

değeri

-

0.248

-

0.263

-

0.256

-

0.247

-

0.267

-

0.258

-

0.242

-

0.257

-

0.250

30

Çizelge 5.3. Veri değerleri

𝑓6 𝑥,𝑦

SC1 0 0 0 40 40 40 80 80 80

SC2 140 180 220 140 180 220 140 180 220

Enerji

değeri

-

0.250

-

0.257

-

0.251

-

0.253

-

0.261

-

0.254

-

0.250

-

0.263

-

0.255

𝑓7 𝑥,𝑦

SC1 280 280 280 320 320 320 360 360 360

SC2 0 40 80 0 40 80 0 40 80

Enerji

değeri

-

0.263

-

0.257

-

0.237

-

0.266

-

0.259

-

0.241

-

0.260

-

0.253

-

0.237

𝑓8 𝑥,𝑦

SC1 150 150 150 190 190 190 230 230 230

SC2 0 40 80 0 40 80 0 40 80

Enerji

değeri

-

0.256

-

0.249

-

0.227

-

0.261

-

0.255

-

0.238

-

0.257

-

0.249

-

0.231

𝑓9 𝑥,𝑦

SC1 0 0 0 40 40 40 80 80 80

SC2 0 40 80 0 40 80 0 40 80

Enerji

değeri

-

0.249

-

0.245

-

0.234

-

0.255

-

0.248

-

0.241

-

0.261

-

0.255

-

0.243

31

Şekil 5.2 Kontrol noktaları ile elde edilen Bezier yüzeyleri

32

6. LOKAL BEZİER YÜZEYLERİNİN DÜZGÜN BİRLEŞTİRİLMESİ

Bu bölümde lokal olarak örülen Bezier eğrilerinin birbirine düzgün

kaynaştırılması sağlanacaktır. Bu kaynaştırma için Bezier eğrileri ve parçalı

düzgün fonksiyonlar kullanılacaktır. Takip eden başlıklarda ilgili konuyla alakalı

gerekli tanım verilmiş ve uygulama kısmında nasıl uygulandığı ile ilgili bilgilere

yer verilmiştir.

6.1. Ön Bilgiler

Bu bölümde literatürde önemli yere sahip kaynaştırma tekniklerine bir yenisi

eklenecektir. Bu işlem parçalı düzgün fonksiyonlar ve Bezier eğrileri

kullanılarak yapılacaktır.

Yapılacak olan bu çalışma ile Bezier eğrilerinin ve yüzeylerinin optimizasyon

tekniklerinde farklı bir amaca hizmet edecek şekilde kullanılması sağlanacaktır.

Bir önceki bölümde lokal olarak oluşturulan bu yüzeylerin birbirine düzgün

olarak kaynaştırılması çalışmanın başka bir önemli değeri olacaktır. Yüzeylerin

tek parça diferansiyellenebilir şekilde birbiri ile kaynaştırılması Bezier eğrileri

ile oluşturulacaktır. Yüzeylerin birleştirilmesi, özellikle Bezier yüzeylerinin

birleştirilmesi CAGD(Computer Aided Geometric Design) olarak bilinen

bilgisayar destekli tasarım çalışmaları için önemli çalışmalardandır. Yüzeyleri

kaynaştırmak için literatürdeki en bilinen yol, yüzeyleri uygun yerlerinden

kesmek ve eğrilerle en azından birinci dereceden diferansiyellenebilir şekilde

kaynaştırmaktır(Ye ve Liang, 1996), (Hartman, 1995). Bu problemin çözümünde

ise literatürde parametrik olarak önerilen çeşitli metotlar mevcuttur (Cheng ve

Gao, 2003),(Belkhatir ve Zidna, 2009). Bu çalışmada ise parametrik olarak elde

edilen lokal Bezier yüzeylerinin kartezyen şekilde ifade edilmesi ile de çeşitli

metotların kullanılabilirliği sağlanacaktır. Bir sonraki başlığımızda bu aşamada

kullanılacak olan parçalı düzgün fonksiyonlar ve alakalı tanımlara yer

verildikten sonra tez çalışmasındaki uygulama üzerine durulacaktır.

http://www.journals.elsevier.com/computer-aided-geometric-design

33

6.1.1. Parçalı düzgün fonksiyonlar

Parçalı düzgün (P-S) fonksiyonlar düzgün olmayan fonksiyonlar kümesinin

önemli alt sınıflarından birini oluşturmaktadır. Optimizasyon, veri modelleme,

geometrik tasarım ve birçok alanda kullanılmaktadır. P-S fonksiyonlar birçok

uygulama alanına sahip olsa da bu fonksiyonların en önemli dezavantajları

tanım kümeleri üzerinde tamamen düzgün olmamalarıdır. Bu durum

optimizasyon alanında etkili deterministik yaklaşımların çoğunu P-S

fonksiyonlar içeren problemlerin çözümü için kullanılmaz hale getirmiştir. Bu

ve benzeri dezavantajları ortadan kaldırmak amacıyla, düzgünleştirme

teknikleri P-S fonksiyonların bazı alt sınıfları için önerilmiştir.

Tanım 6.1.2. Ω ⊂ ℝn üzerinde tanımlı reel değerli 𝑓 fonksiyonu sürekli ve

𝑓(𝑥) ∈ 𝑓𝑖 (𝑥): 𝑖 ∈ 1,2,… ,𝑚 ,∀𝑥 ∈ 𝛺

olacak şekilde 𝑓𝑖 , 𝑖 ∈ 1,2,… , m türevlenebilir fonksiyonları varsa 𝑓

fonksiyonuna parçalı Ω üzerinde düzgün fonksiyon denir (Qi ve Tseng, 2007).

Tanım 6.1.3. Boştan farklı Ω ⊂ ℝn üzerinde tanımlı reel değerli 𝑓 fonksiyonu Ω

üzerinde sürekli ve

𝑖 = 1,2,… ,𝑚 için 𝑓𝑖 : Ω → ℝ fonksiyonları türevlenebilir,

∪𝑖=1𝑚 𝐴𝑖 = Ω ve 𝑖 ≠ 𝑗 için 𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 = ∅ olmak üzere 𝑓 𝑥 = 𝑓𝑖 𝑥 ,∀𝑥 ∈ 𝐴𝑖

olacak şekilde varsa 𝐴𝑖 ⊂ Ω kümeleri var

ise 𝑓 fonksiyonuna Ω üzerinde parçalı düzgün fonksiyon denir.

Yukarıdaki parçalı düzgün fonksiyon tanımına göre

𝑓 𝑥 = 𝑓𝑖

𝑚

𝑖=1

𝑥 𝜒𝐴𝑖 𝑥 = 𝑓

𝑚

𝑖=1

𝑥 𝜒𝐴𝑖 𝑥

şeklinde ifade edilebilir. Burada 𝜒𝐴𝑖 𝑥 , 𝐴𝑖 kümesinin karakteristik fonksiyonunu

ifade etmektedir ve

𝜒𝐴𝑖 𝑥 = 1, 𝑥 ∈ 𝐴𝑖0, 𝑥 ∉ 𝐴𝑖

olarak gösterilmektedir.

34

Lokal olarak oluşturulan 𝑓𝑖 , 𝑖 = 1,2,… fonksiyonları sürekli türevlere sahip

olmasına rağmen bu fonksiyonların kaynaştırılması ile oluşturulan 𝑓 fonksiyonu

Ω üzerinde türevlenebilir değildir. Esasında 𝑓 fonksiyonunun türevlenebilir

olmamasının nedeni karakteristik fonksiyonların düzgün olmamasından

kaynaklanmaktadır. Bu yüzden karakteristik fonksiyonların düzgünleştirilmesi

ile 𝑓 fonksiyonu türevlenebilir olmuştur.

Lokal yüzeylerin düzgün olarak birleştirilmesi bu tez çalışmasında önemli bir

yer tutmaktadır. Atılacak olan bu adım bir sonraki aşama olan global

minimizasyon çalışmasının temelini oluşturacaktır. Bu bağlamda yüzeylerin

düzgün birleştirilmesi için (Yılmaz ve Sahiner, 2016) tarafından önerilen

metodun Bezier eğrileri kullanılarak yeniden inşa edilmesi ile sağlanır. Yeni

önerilecek metot aşağıdaki şekilde inşa edilmiştir:

𝑎1,𝑎2,𝑎3,𝑎4 reel sayıları 𝑎1 < 𝑎2 < 𝑎3 < 𝑎4 şartını sağlıyor ve 𝑓: ℝ2 → ℝ

𝑓 =

𝑓1 𝑥 , 𝑥 ∈ [𝑎1,𝑎2] × [𝑎1,𝑎2]

𝑓2 𝑥 , 𝑥 ∈ [𝑎1,𝑎2] × [𝑎3,𝑎4]

𝑓4 𝑥 , 𝑥 ∈ [𝑎3,𝑎4] × [𝑎1,𝑎2]

𝑓5 𝑥 , 𝑥 ∈ [𝑎3,𝑎4] × [𝑎3,𝑎4]

şeklinde tanımlanan bir fonksiyon olsun. Bu durumda 𝑓 fonksiyonu

karakteristik fonksiyonlar kullanılarak yeniden şu şekilde yazılabilir:

𝑓 𝑥 = 𝑓1 𝑥 𝜒 𝑎1 ,𝑎2 𝑥1 𝜒 𝑎1 ,𝑎2

𝑥2 + 𝑓2 𝑥 𝜒 𝑎1 ,𝑎2 𝑥1 𝜒[𝑎3 ,𝑎4] 𝑥2

+ 𝑓4 𝑥 𝜒[𝑎3 ,𝑎4] 𝑥1 𝜒 𝑎1 ,𝑎2 𝑥2 + 𝑓5 𝑥 𝜒[𝑎3 ,𝑎4] 𝑥1 𝜒[𝑎3 ,𝑎4] 𝑥2 .

Böylece, düzgün diferansiyellenebilir 𝑓 fonksiyonu aşağıdaki şekilde elde

edilebilir:

𝑓 𝑥 = 𝑓1 𝑥 𝜒 𝑎1 ,𝑎2 𝑥1 𝜒 𝑎1 ,𝑎2

𝑥2 + 𝑓2 𝑥 𝜒 𝑎1 ,𝑎2 𝑥1 𝜒 [𝑎3 ,𝑎4] 𝑥2

+ 𝑓4 𝑥 𝜒 [𝑎3 ,𝑎4] 𝑥1 𝜒 𝑎1 ,𝑎2 𝑥2 + 𝑓5 𝑥 𝜒 [𝑎3 ,𝑎4] 𝑥1 𝜒 [𝑎3 ,𝑎4] 𝑥2 .

𝑓 𝑥 fonksiyonunun yukarıdaki tanımındaki 𝜒 𝑎1 ,𝑎2 𝑥,𝛽 fonksiyonunun tanımı

35

𝜒 𝑎1 ,𝑎2 𝑥,𝛽 =

1, 𝑥 ∈ [𝑎1,𝑎2] 𝑞(𝑡,𝛽), 𝑥 ∈ [𝑎2,𝑎3]

0, 𝑥 ∈ [𝑎3,𝑎4]

ile verilir. Benzer şekilde 𝜒 𝑎3 ,𝑎4 𝑥,𝛽 fonksiyonu da

𝜒 𝑎3 ,𝑎4 𝑥,𝛽 =

1, 𝑥 ∈ [𝑎3,𝑎4]

𝑞 −𝑡,𝛽 , 𝑥 ∈ [𝑎2,𝑎3]

0, 𝑥 ∈ 𝑎1,𝑎2

şeklinde de tanımlanabilir.

Burada fonksiyonların düzgün bağlanmasında Bezier eğrileri kullanılarak

oluşturulan parçalı sürekli fonksiyonlar yukarıdaki denklemlerde 𝜒 𝑎1 ,𝑎2 𝑥,𝛽

, 𝜒 𝑎3 ,𝑎4 𝑥,𝛽 ile ifade edilmiştir. Oluşturulan Bezier eğrisi 𝑞(𝑡,𝛽) ’nin

parametrik denklemi ise şu şekildedir:

𝑥 𝑡 = −(2𝑡3 + 3𝑡2 − 3𝑡 + 1)𝛽

𝑦 𝑡 = − 2𝑡 + 1 (𝑡 − 1)𝛽

𝑡 = 𝑥 − 𝑎,𝛽 =𝑎3−𝑎2

2,𝛼 =

𝑎2+𝑎3

2 ‘dir.

6.2. Uygulama Elde edilen bu yeni düzgün diferansiyellenebilir metot lokal olarak oluşturulan

Bezier yüzeylerine uygulanmıştır. Minimum enerji değerini içinde bulunduran

bir ana bölge ve belli 4 lokal bölge göz önüne alınmıştır. Bu bölgeler

D = 150,360 × [140,360] ana bölgesi ve D1 = 280,360 × [280,360 ],

D2 = 150,230 × [280,36 , D4 = 280,360 × [140,220] , D5 = 150,230 ×

[140,220] dikdörtgensel alt bölgeleri olarak seçilmiştir. Her bir lokal bölge için 9

tane kontrol noktası ile oluşturulan yüzeyler Şekil 6.1’ de verilmiştir. Bazı

bölgelerin için kartezyen formdaki fonksiyonları Çizelge 5.1’ de verilmiştir. Yine

bu bölgeler için veri değerleri ise her bir bölge için sırasıyla

𝑓1 x, y ,𝑓2 x, y ,𝑓4 x, y ,𝑓5 x, y fonksiyonları aracılığıyla Çizelge 5.2’ de

verilmiştir. Verilen bu fonksiyonlara ise Bezier eğrileri ile oluşturulan yeni

36

kaynaştırma tekniği uygulanmıştır. Böylece tek parça diferansiyellenebilir 𝑓 (x)

model fonksiyonu elde edilmiştir. 𝑓 (x) fonksiyonu ise Şekil 6.2’ de

gösterilmiştir.

Şekil 6.1 Kontrol noktaları ile elde edilen Bezier yüzeyi

Şekil 6.2 Tek parça düzgün diferansiyellenebilir 𝑓 𝑥 fonksiyonu

Böylece optimizasyon, data modelleme, eğri ve yüzey birleştirme

problemlerinde ortaya çıkan parçalı sürekli veya parçalı diferansiyellenebilir

fonksiyonları tamamıyla diferansiyellenebilir hale getirecek özgün bir

37

düzgünleştirme yöntemi Bezier eğrileri kullanılarak üretilmiştir. Bu yeni

düzgünleştirme yaklaşımları Lipschitz sürekli olan fonksiyonların yanı sıra

Lipschitz sürekli olmayan fonksiyonlar için de kullanılabilmektedir.

38

7. ENERJİ KONFORMASYON PROBLEMİNE SMOOTH AND DESCENT METHODU İLE GLOBAL OPTİMİZASYON

Optimizasyon temel bir tanımlama ile verilen kısıtlar altında en iyi çözümün

bulunması işidir. Optimizasyon problemlerinin çözümü belirli sınırlamaları

sağlayacak şekilde matematiksel ifadelere veya kurallara dayanan

algoritmalarla mümkün olmaktadır. Tüm optimizasyon problemlerinin

çözümünde etkin bir metot yoktur ve kullanılan metotlar gerçek çözümü

bulmayı garanti etmezler. Ancak kabul edilebilir hızda kabul edilebilir ölçüde en

iyi çözümün bulunmasında genel olarak başarılıdırlar.

Geçtiğimiz yüzyılın son çeyreğinde bilgisayar teknolojisinde yaşanan büyük

gelişim sonucu, optimizasyon yöntemlerinin fen, sosyal ve sağlık bilimlerinin

uygulamalarındaki kullanımı giderek artmış ve günümüzün mühendisleri

zamanlarının pek çoğunu bilgisayarlar başında, sayısal modellemeler ve

çözümler için harcamaya başlamışlardır. Tasarlanan bir makinenin optimum

boyutlarının bulunması, bir işletmenin karının maksimum yapılması veya

üretilen bir ürünün minimum maliyetle üretimi, bir kişinin maksimum kar elde

edebilmesi için elindeki parayı hangi yatırım araçlarına ne miktarda yatırması

gerektiği, maksimum çekim alanı oluşturulacak şekilde sensor yerleşimi,

elektrik yük akışının optimize edilmesi, bir robotun engellere çarpmadan

minimum yolu takip etmesi problemleri birer optimizasyon problemidir. Mesela

modellenen sistemdeki elektrik yük akışının optimize edilmesi probleminde 𝑓

fonksiyonu yük akışını temsil ederken bir robotun engellere çarpmadan

minimum yolu takip etmesi problemleminde ise robotun yolunu temsil

edecektir. Bu tür problemlerde "A kümesi" genellikle bir takım daraltıcı kısıtlar,

eşitlikler ve eşitsizlikler ile yerine verilecek (denenecek) değerleri sağlayan ℝ𝑛

öklidyen uzayının bir alt kümesidir. 𝑓 fonksiyonundaki A' nın tanım aralığına

"arama uzayı", A' nın alacağı değerlerin kümesine ise çözüm adayları ya da olası

çözümler denir.

𝑓 fonksiyonuna objektif(nesnel) ya da paha(maliyet) fonksiyonu denir.

İstenilen objeyi minimize ya da maksimize eden(amaca göre) olası A çözümüne

ise "optimal çözüm" denir.

39

Genellikle, problemin olası çözümü ve objektif fonksiyonu konvekslik

göstermez. Yani; birden çok yerel minimum ve maksimum noktalarına

rastlanabilir.

Dışbükey (konveks) olmayan problemlerin çözümünde pek çok algoritma

kullanılmasına rağmen (çoğunlukla ticari amaca yönelik çözüm üreten

algoritmalar) yerel optimal noktalar ve mutlak optimal noktalar arasındaki

farkların ayırt ve tespit edilmesinde yetersiz kalınmakta ve orijinal probleme bir

adım geriden yaklaşılmaktadır. Konvekslik çoğu problemin doğasında

bulunmayan bir özellik olsa da optimizasyon teorisinin temel taşı olarak

düşünülebilir.

7.1. Ön Bilgiler

Literatürde global minimum bulma teknikleri üzerine çeşitli çalışmalar yapılmış

her bir teknik global minimum değere daha yakın sonuç elde etmek için birçok

yöntem geliştirmiştir. Tez çalışmasında ise genel olarak tüm global konveks

fonksiyonlarına uygulanabilecek Smooth and Descent Metodu özel olarak belli

bir molekülün enerji konformasyon problemi çalışması için oluşturulan global

konveks fonksiyonun global minimum değerini bulmak için kullanılmıştır.

İlerleyen bölümlerde ise bu aşamada kullanılacak olan gerekli tanımlar ve

açıklamalara yer verilmiştir.

7.1.1. Global konvekslik

Tanım 7.1.1. 𝑓:ℝⁿ → ℝ fonksiyon olsun. Eğer

‖𝑥‖ → +∞ ⇒ 𝑓(𝑥) → −∞

ise f ‘ye global konkav denir

Tanım 7.1.2. 𝑓:ℝⁿ → ℝ bir fonksiyon olsun. Eğer

‖𝑥‖ → +∞ ⇒ 𝑓(𝑥) → +∞

ise f ‘ye zorlayıcı fonksiyon (global konveks) denir.

Açıkça eğer 𝑓(𝑥) global konkav ise -𝑓(𝑥) global konvekstir. Terside doğrudur.

Global konkav bir fonksiyon ∞′ da bir global minimuma sahipken, global

40

konveks bir fonksiyon belirli bir yerde 𝑥∗global minimumuna sahiptir (Ge ve

Qin, 1987).

Global konvekslik, öyle kapalı ve sınırlı bir 𝛺 ⊂ ℝⁿ kümesi vardır ki Ω , f(x)’ in

bütün lokal minimumlarını içerir ve bütün bu f(x) ‘in mimimumları ( lokal ve

global) Ω in iç noktasıdır demektir. Aynı zamanda global konvekslik f(x)’in hiçbir

minimizasyon dizisinin sonsuza ıraksayamayacağını garantiler (Xu vd, 2001).

Tanım 7.1.3. 𝑥𝑘∗ , 𝑓 𝑥 fonksiyonunun bir izole minimum noktası olsun. 𝑥𝑘

∗ ’ i

içeren ve kendisinden alınan her 𝑥 noktasına uygulanan lokal minimum

metodunda 𝑥𝑘∗ ’a yakınsayan, kendisinden olmayan herhangi bir 𝑥 noktasına

uygulanan lokal minimum metodunda 𝑥𝑘∗ ’a yakınsamayan, açık ve bağlantılı

kümeye 𝑥𝑘∗ ’ nın yuvası denir ve bu yuva 𝐵𝑘

∗ ile gösterilir (Han ve Han, 2001; Xu

vd.,2001; Liu, 2002).

Tanım 7.1.4. Eğer 𝑥𝑘∗ noktasında 𝑓 𝑥 fonksiyonunun maksimumu var ise 𝑓 𝑥

fonksiyonunun 𝑥𝑘∗ daki tepesi, −𝑓 𝑥 fonksiyonunun 𝑥𝑘

∗ daki yuvasıdır (Han ve

Han, 2001; Xu vd., 2001; Liu, 2002).

Tanım 7.1.5. Eğer

𝑓 𝑥𝑘+1∗ < 𝑓 𝑥𝑘

∗ , ( 𝑓 𝑥𝑘+1∗ > 𝑓 𝑥𝑘

∗ )

ise 𝑓 𝑥 fonksiyonunun 𝑥𝑘∗ ’ dan daha düşük (yüksek) 𝑥𝑘+1

∗ minimumlaştırıcısı

vardır ve bu durumda 𝑓 𝑥 fonksiyonunun 𝑥𝑘+1∗ daki 𝐵𝑘+1

∗ yuvası 𝐵𝑘∗ dan daha

düşüktür (yüksektir) denir (Han ve Han, 2001; Xu vd., 2001; Liu, 2002).

Tanım 7.1.6. 𝐵𝑘∗ ı içeren ve kendisinden alınan her 𝑥 ≠ 𝑥𝑘

∗ için (𝑥 − 𝑥𝑘∗). 𝑓 𝑥

fonksiyonunun güçlü artan parçası olan açık ve bağlantılı kümeye 𝑥𝑘∗ izole

minimum noktasının basit yuvası denir ve 𝑆𝑘∗ ile gösterilir.

7.1.2. Diferansiyellenebilir optimizasyon

Klasik optimizasyon teknikleri sürekli ve türevi alınabilir fonksiyonların

optimum değerlerini bulmak için diferansiyel analiz tekniklerini kullanır. Bu

41

teknik ayrıca daha gelişmiş tekniklere de alt yapı oluşturmaktadır. Bir amaç

fonksiyonu olan bazı problemler süreksiz ve diferansiyellenebilir

olmadıklarından, klasik optimizasyon teknikleri bu tip problemlerin çözümünde

sınırlı bir kapsama sahiptir. Fakat optimizasyonun analiz yöntemleri, birçok

nümerik tekniğin gelişmesi için bir taban oluşturur. Diferansiyellenebilir

fonksiyonlarla ilgili önemli kavram aşağıda verilmiştir.

Tanım 7.1.7. 𝑓:ℝⁿ → ℝ bir fonksiyon olsun.

𝑙𝑖𝑚ℎ→0

𝑓 𝑥0 + ℎ − 𝑓 𝑥0 − 𝐿(ℎ)

ℎ = 0

olacak şekilde bir 𝐿 lineer fonksiyoneli varsa 𝑓 fonksiyonu 𝑥0 noktasında

diferansiyellenebilirdir denir.

7.1.3. Optimizasyon problemlerinin bazı sınıflandırılmaları

Optimizasyon problemlerinin çeşitli sınıflandırılmaları yapılmıştır. Ancak genel

kabul gören sınıflandırmaya göre (Karaboğa, 2004);

Amaç fonksiyonunun, parametrelerle ilgili herhangi bir sınırlama

olmaksızın minimizasyonu veya maksimizasyonu sınırlamasız

optimizasyon,

Parametrelerle ilgili sınırlamanın veya sınırlamaların olduğu

optimizasyon problemi sınırlamalı optimizasyon,

Amaç fonksiyonu ve parametreler lineer ise optimizasyon problemi

lineer optimizasyon,

Amaç fonksiyonu veya parametreler lineer değil ise lineer olmayan

optimizasyon,

Ayrık niceliklerin optimal olarak düzenlenmesi, gruplanması veya

seçilmesi problemi ayrık optimizasyon,

42

Tasarım değişkenlerinin alacağı değerlerin sürekli olduğu problemler

sürekli optimizasyon

problemi adını alır.

Klasik optimizasyon;

Fonksiyonlar sürekli ve türevlenebilir olmalıdır,

Çok küçük pozitif ve negatif bütün h değerleri için f ( x0 ) ≤ f ( x0 + h ) ise

f(x) fonksiyonu x0 ’da yerel minimuma sahiptir. f ( x0 ) ≥ f ( x0 + h ) ise f (x)

fonksiyonu x0 ’da yerel maksimuma sahiptir,

f ( x ) fonksiyonu tanımlı olduğu bölgede bütün x’ ler için f ( x0 ) ≤ f ( x )

ise f ( x ) fonksiyonu x0’ da veya tanımlı olduğu bölgede mutlak

minimuma ; f ( x0 ) ≥ f ( x ) ise, f ( x ) fonksiyonu x0’ da mutlak veya

bölgesel maksimuma sahiptir,

olarak tanımlanabilmektedir.

7.1.4. Smooth and descent metodu

Tez çalışmasının en son bölümünde aşamalı süreçlerden geçerek oluşturulan

diferansiyellenebilir yüzey üzerinde global minimizasyon çalışması yapılacaktır.

Bunun için Ω, ℝ𝒏′ nin dikdörtgensel bir alt kümesi ve 𝑓 , Ω üzerinde

diferansiyellenebilir global konveks bir fonksiyon olmak üzere

𝑃 minΩ⊂ℝ𝑛

𝑓(𝑥)

problemi göz önüne alınacaktır. Probleminin çözümü için Yılmaz tarafından

önerilmiş (Yılmaz ve Sahiner, 2016) olan Smooth and Descent Global

minimizasyon algoritması göz önüne alınmıştır. 𝑥𝑘∗ k-ıncı lokal minimum

noktası, 𝛼,𝛽 > 0 parametreler ve 𝜑(𝑡) (Yılmaz ve Sahiner, 2016)

çalışmalarındaki gibi olmak üzere çözüm için önerilen fonksiyon

𝜙 𝛽𝛼(𝑥, 𝑥𝑘

∗)= 𝑓 𝑥𝑘∗ − 𝛽 − 𝑞 𝑓 𝑥𝑘

∗ − 𝑓 𝑥 − 𝛽,𝛽 + 𝛼𝜑 ‖𝑥 − 𝑥𝑘∗‖ 2

43

fonksiyonudur. Yine aynı çalışmada önerilen algoritma şu şekilde ifade

edilebilir:

Algoritma 2 (Global Minimumun Bulunması):

Adım 0: 𝑘 = 1,𝛽 = 10−4,𝛼 = 0.1, 𝜖 = 10−2 olarak alınır, N yönlerin maksimum

sayısı ve yönler 𝑑𝑖 , i=1,2,…, N’ dir.

Adım 1: Herhangi rastgele 𝑥0 başlangıç noktasından başlayarak 𝑓(𝑥) amaç

fonksiyonunun 𝑥𝑘∗ lokal minimumlaştırıcısını bul.

Adım 2: Smooth and Descent Function olan 𝜙 𝛽𝛼(𝑥, 𝑥𝑘

∗) fonksiyonunu oluştur.

Adım 3: i=1 için 𝑥0 = 𝑥𝑘∗ + 𝜖𝑑𝑖 olarak bir başlangıç yönü kullan ve 𝑥𝑠 olarak

ifade edilen 𝜙 𝛽𝛼(𝑥, 𝑥𝑘

∗) fonksiyonunun minimumlaştırıcısını bul.

Adım 4: Eğer 𝑥𝑠 ∈ Ω ise Adım 6‘ya, değilse Adım 5’e git.

Adım 5: Eğer 𝑖 < 𝑁 ise, Adım 3’e git ve 𝑖 = 𝑖 + 1 al, değilse algoritmayı durdur

ve global minimumlaştırıcıyı 𝑥∗ = 𝑥𝑘∗ al.

Adım 6: 𝑥0 = 𝑥𝑠 al ve Adım 1 git.

7.2. Uygulama

6.2 ve 7.1.4’ deki bilgiler ışığında aşağıdaki optimizasyon problemi oluşturulur.

(𝑃 ) min𝑥∈ 150,360 ×[140,360]

𝑓 (𝑥)

olmak üzere

𝑓 𝑥 = 𝑓1𝜒 𝐷1+ 𝑓2𝜒 𝐷2

+ 𝑓4𝜒 𝐷4+ 𝑓5𝜒 𝐷5

‘dir. Böylece düzgün diferansiyellenebilir bir fonksiyon elde edilmiştir.

Ardından (𝑃 ) problemini çözmek için Yılmaz ve Sahiner, (2015) tarafından

önerilen Smooth and Descent Metodu uygulanmıştır. Böylece fonksiyonun global

minimumlaştırıcısı 𝑥𝑘∗ =(181,6167;187,5836) ve global minimum değeri ise

𝑓 𝑥∗ = −438,2678 olarak bulunmuştur. Ayrıntılı sonuçlar Çizelge 7.1’ de

verilmiştir.

44

Çizelge 7.1. Sayısal sonuçlar

𝑘 𝛼 𝛽 𝑥0 𝑥𝑘∗ 𝑓𝑘

∗

1 0.5 1 160,0000; 280,0000 190,2613; 277,4205 -438,2412

2 0.5 1 190,2613; 277,4205 329,0062; 186,9678 -438,2625

3 0.5 1 329,0062; 186,9678 (181,6167;187,5836) -438,2678

Başlangıç noktası 160,0000; 280,0000 noktası alınarak uygulanan Smooth and

Descent metodu ile 3 adım sonrasında fonksiyonun global minimum değeri (-

438,2678 a.u.) olarak bulunmuştur. Bulunan bu değer ile sigma bağları

arasındaki açı değerleri (181,6167;187,5836) olduğu zaman molekülün

minimum enerjiye sahip olacağı belirlenmiştir. Bu ise Treonin molekülünün en

kararlı halini hangi derecelerdeki sigma bağları ile ne büyüklükte enerji

değerine sahip olduğunda alacağını ifade etmiştir. DFT metodu ile yapılan

ölçüm sonucu elde edilen sigma bağlar arasındaki açı değerleri (180;190) ve bu

açı değerlerindeki enerji değeri (-438,267 a.u.) olarak ölçülmüştür. Bulunan

değerlerin gerçek veri değerlerine yakınlığı böylelikle açıkça ortaya

konulmuştur.

45

8. TARTIŞMA VE SONUÇLAR

Bu çalışmada ilk önce DFT metodu kullanılarak Treonin molekülü için

konformasyon analizi yapılmıştır. Bulanık Mantık yaklaşımı kullanılarak test

edilmemiş açılarda değerler elde edilmiş süreksiz olan veriler sürekli hale

getirilmiştir. Bu çalışma ise Sahiner vd., (2016) tarafından yayınlanan makalede

daha detaylı şekilde anlatılmıştır. Belli bölgelerde lokal-global minimum noktası

olan, düzgün olmayan, FLM ile oluşturulan sürekli yüzeyden test edilmemiş bazı

açılarda enerji değerleri durulaştırma ile elde edilip kuadratik Bezier yüzeyi

örerek düzgünleştirilmesi sağlanmıştır. Ardından örülen ayrı lokal Bezier

yüzeylerinin birbirine düzgün olarak bağlanması yine Bezier eğrileri

kullanılarak oluşturulmuştur. Böylece global minimumu bulmak için uygulanan

modern, klasik ve güncel optimizasyon teknikleri uygulanabilir hale

getirilmiştir. Özellikle bu tez çalışmasında enerji konformasyon problemlerine

literatürde var olan global minimum bulma yöntemi uygulanmıştır. Bu yöntem

ile ilgili molekülün global minimumlaştırıcısı 𝑥𝑘∗ =(181,6167;187,5836) ve

global minimum enerji değeri ise 𝑓 𝑥∗ = −438,2678 olarak bulunmuştur. Bu

değerler ile DFT elde edilen sonuçlar hemen hemen benzer çıkmıştır. Bu sonuç

ile çözüm için geliştirilen tüm bu yöntemlerin başarısından bahsetmek mümkün

olmuştur.

İleriki çalışmalarda Bulanık Mantık modellemesinde kullanılan enerji değerleri

için veri sayısı azaltılıp yeni bir model kurulup ölçülen enerji değerleri ile FLM

ile bulunan veri değerleri karşılaştırılabilir. Ayrıca global minimum bulma

çalışması için kontrol noktaları ile örülen Bezier yüzeyinde kullanılan kontrol

noktaları değiştirilip bu noktaları daha iyi temsil eden Bezier yüzeyleri

oluşturulabilir. Global minimum bulma çalışmasında literatürde önerilen

teknikler haricinde yine Bezier eğrileri kullanılarak oluşturulan yeni

düzgünleştirme teknikleri geliştirilerek literatüre yeni bir global minimum

bulma tekniği kazandırılabilir. Ayrıca geliştirilecek yeni metodun sadece enerji

konformasyon problemlerine uygulanması ile kalınmayıp, literatürde var olan

test problemlerine de uygulamaları yapılabilir. Hatta metot ile elde edilen

sonuçların daha önce önerilen metotların aynı test problemlerine uygulanması

46

ile ortaya çıkan sonuçlar karşılaştırılarak metodun kullanılabilirliği ve global

minimumu bulmadaki başarısı test edilebilir.

Bu tez çalışması ayrıca, disiplinlerarası çalışmalara örnek teşkil edecektir. Gerek

diğer fen ve sosyal bilim dalları (Mühendislik, Ekonomi, Sosyoloji, vb.) gerekse

de matematiğin farklı dalları (Geometri, Uygulamalı Matematik, vb.) arasındaki

çalışmalara da öncülük edecektir.

47

KAYNAKLAR

Akıllı, A., Atıl, H., Kesenkaş, H. 2014. Çiğ Sütün Kalite Değerlendirilmesinde Bulanık Mantık Yaklaşımı, Kafkas Univ. Vet. Fak . Derg., 20(2): 223-229, DOI: 10.9775/kvfd.2013.9894.

Atkins, P.W., Friedman, R. S. 1997. Molecular Quantum Mechanics, 3rd edition,

Oxford University Press, 545p. Avery, D., Dahl K., Savage M., Brengelmann G. 1989. Phase-Typing Of Seosonal

Affective Disorder Using A Constant Routine. Annual Meeting of the Society for Light Treatment and Bioligical Rhythms 14(abstract).

Barth, U.Von. 1984. Density Functional Theory for Solids in The Electronic

Structure of complex Systems edited by P.Phariseeau and W. Temmerman, NATO ASI Series B: Physics, 113. P.67. Plenum, New York.

Bazaraa, M.S. , Sherali, H.D. , Shetty, C.M. , 2006. Nonlinear Programming: Theory

and Algorithms, New Jersey. Becke, A.D. 1993. Density-Functional Thermochemistry. III. The Role Of Exact

Exchange. Journal Of Chemical Physics, 98(7), 5648-5652. Belkhatir, B., Zidna, A. 2009. Construction Of Flexible Blending Parametric

Surfaces Via Curves, Math. Comput. Simulat. 79, 3599-3608. Bertsekas, D., 1975. Nondifferentiable optimization via approximation, Math.

Program. Stud. 31–25. Center, B., Verma, B. P. 1992. A Fuzzy Photosynthesis Model For Tomato.

Transactions of the ASABE, 40(3), 815-821.

Cheng, J., Gao, X.S. 2003. Constructing Blending Surfaces For Two Arbitrary Surfaces, MM Research Preprints 22, 14-28.

Dantzig, G.B. 2002. Linear Programming, Operations Research 50 (1), 42-47.

Dantzig, G. B., Wood, M. 1949. Programming of Inter-Dependent Activities I, General Discussion, Econometrica, 17, 3-4, 193-199. (Aynı makale ayrıca Dantzig, G.B. ve Wood, M. (1951), Activity Analysis of Production and Allocation içinde Koopmans, T. C. editör, John Wiley& Sons, NY, 15-18 yayınlanmıştır).

Dantzig, G.B. 2002. "Linear Programming," Operations Research, Vol. 50, No. 1,

pp. 42-47. Dawson, R.M.C., et al., 1959. Data for Biochemical Research, Oxford, Clarendon

Press.

https://www.amazon.com/s/ref=dp_byline_sr_book_1?ie=UTF8&text=Mokhtar+S.+Bazaraa&search-alias=books&field-author=Mokhtar+S.+Bazaraa&sort=relevancerank

https://www.amazon.com/s/ref=dp_byline_sr_book_2?ie=UTF8&text=Hanif+D.+Sherali&search-alias=books&field-author=Hanif+D.+Sherali&sort=relevancerank

https://www.amazon.com/s/ref=dp_byline_sr_book_3?ie=UTF8&text=C.+M.+Shetty&search-alias=books&field-author=C.+M.+Shetty&sort=relevancerank

48

Eleren, A. 2007. İMKB’ye Kayıtlı Çimento İşletmelerinin Finansal Tablolarının Bulanık Mantık ile Giderilmesi, Afyon Kocatepe Üniversitesi İ.İ.B.F Dergisi.

Farin, G. 1984. A Survey of Curves and Surfaces Methods in CAGD, Computer

Aided Geometric Desing, 1-60. Farin, G. 1993. Curves and Surfaces for Computer Aided Geometric Desing , A

practical guide, Acad. Press, 119-121. Frish, A., Nielsen, A. B., Holder, A. J., 2001. Gauss View User Manual, Gaussian

Inc. Pittsburg, PA. Frisch, M. J., Trucks, G. W., Schlegel, H.B., Scuseria, G. E., Robb, M. A., Cheeseman,

J. R. , Montgomery Jr., J. A., Vreven, T., Kudin, K. N., Burant, J. C., Millam, J. M., Iyengar, S. S., Tomasi J., Barone, V., Mennucci, B., Cossi, M., Scalmani, G., Rega, N., Petersson, G. A., Nakatsuji, H. M., Hada, M., Ehara, K., Toyota, R., Fukuda, J., Hasegawa, M., Ishida, T., Nakajima, Y., Honda, O., Kitao, H., Nakai, M., Klene, X., Li, J. E., Knox, H. P., Hratchian, J. B., Cross, C., Adamo, J., Jaramillo, R., Gomperts, R. E., Stratmann, O., Yazyev, A. J., Austin, R., Cammi, C., Pomelli, J., W. Ochterski, P. Y., Ayala, K., Morokuma, G. A., Voth, P., Salvador, J. J., Dannenberg, V. G., Zakrzewski, S., Dapprich, A. D., Daniels, M. C., Strain, O., Farkas, D., K. Malick, A. D., Rabuck, K., Raghavachari, J. B., Foresman, J. V., Ortiz, Q., Cui, A. G., Baboul, S., Clifford, J., Cioslowski, B. B., Stefanov, G., Liu, A., Liashenko, P., Piskorz, I., Komaromi, R. L., Martin, D. J., Fox, T., Keith, M. A., Al-Laham, C. Y., Peng, A., Nanayakkara, M., Challacombe, P. M. W., Gill, B., Johnson, Chen, W., Wong, M.,Gonzalez, W., Pople, C., GAUSSIAN 03, Revision C.02, 2003. Gaussian Inc., Pittsburgh, PA.

Gass, S.I. ve Assad, A.A. 2004. Annotated Timeline of Operations Research: An

Informal History, Springer-Verlag New York, NY. Ge, R.P., Qin, Y.F., 1987. A Class of Filled Functions for Finding Global Minimizer

of a Functşon of Several Variables. Journal of Optimization Theory and Applications, 54(2), 241-252.

Haklı, H., Uğuz, H. 2014. A Novel Particle Swarm Optimization Algorithm With

Levy Flight, Applied Soft Computing, 23, 333-345. Han, Q., Han, J., 2001. Revised Filled Function Methods for Unconstrained Global

Optimization. Applied Mathematics and Computation, 119, 217-228. Hartman, E. 1995. Blending An İmplicit With A Parametric Surface, Comput.

Aided Goem. D. 12, 825-835. Kantorovich, L. V. 1939. “Mathematical Methods in the Organization and

Planning of Production”, Publication House of the Leningrad State University, Leningrad, U.S.S.R., 68.

49

Kantorovich, L. V. 1960. “Mathematical Methods in the Organization and Planning of Production”, Management Sci. 6 ,366–422.

Kantorovich, L. V., Gavurin M. K. 1949. Primenenie matematicheskikh metodov v

voprosakh analiza gruzopotokov, in Problemy povysheniia effektivnosti raboty transporta (The Use of Mathematical Methods in Analyzing Problems of Goods Transport, in Problems of Increasing the Efficiency in the Transport Industry, pp. 110-138). Academy of Sciences, U.S.S.R.

Karaboğa, D. 2004. Yapay Zeka Optimizasyon Algoritmaları, Atlas Yayınevi, İst.,

75-112. Kashan, A.H. 2014. League Championship Algorithm (LCA): An Algorithm For

Global Optimization İnspired By Sport Championships, Applied Soft Computing, 16,171-200.

Kashan, A. H. 2014. Leaguechampionship Algorithm (LCA):An Algorıthm For

Global Optimization İnspried By Sport Championships, Applied Soft Copmputing, 16, 171-200.

Koopmans, T. C. 1949. Optimum Utilization of the Transportation System,

Proceedings of the International Statistical Conferences, 5, 136-145. Koopmans, T. C. 1951a. Activity Analysis of Production and Allocation, New

York, Wiley. Koopmans, T. C. ve Reiter, S. 1951. A Model of Transportation, Koopmans, T. C.,

editör, Activity Analysis of Production and Allocation, 222-259, New York, Wiley.

Koopmans, T. C. 1957, Three Essays on the State of Economic Science, New York,

McGraw-Hill. Koopmans, T. C. ve Bausch, A.F. 1959, Selected Topics in Economics Involving

Mathematical Reasoning, SIAM Review, 1, 2, 79-148. Lee, C., Yang W., Parr R.G. 1988. Development Of The Colle-Salvetti Correlation-

Energy Formula İnto A Functional Of The Electron Density, Phys, Rev. 37(785).

Leontief, W.W. 1933. The Use of Indifference Curves in the Analysis of Foreign

Trade, The Quarterly Journal of Economics, 47, 493-503. Leontief, W. W. 1936. Quantitative Input and Output Relations in the Economic

System of the United States, Review of Econ. Statistics, 18, 3, 105-125. Lian, S. J., 2012. Smoothing approximation to l1 exact penalty for inequality

constrained optimization, Appl. Math. Comput., 219, 3113–3121.

50

Liu, X., 2002. A Computable Filled Function Used for Global Minimization. Applied Mathematics and Computation, 126, 21-278.

Mamdani, E. H. 1974. Application Of Fuzzy Algorithms For Control Of Simple

Dynamic Plant. Proceedings of the IEEE, 121(12), 1585-1588. Mamdani, E. H., Assilian, S. 1975. An Experiment İn Linguistic Synthesis With A

Fuzzy Logic Controller. International Journal of Man-Machine Studies, 7(1), 1-13.

Mortensen, M.E. 1985. Geometric Modelling, Wiley. Napari, I., Laaksonen, A., Strey, R. 2000. J. Chem. Phys. 113(7013).

Nobel Ödülü web sitesi, http://nobelprize.org/economics/laureates/, son erişim tarihi: 5 Şubat 2006.

Pinar, M.C., Zenios, S., 1994. On smoothing exact penalty functions for convex

constrained optimization, SIAM J. Optimiz., 4 , 468–511. Qi, L., Tseng, P., 2007. On Almost Smooth Functions and Piecewise Smooth

Functions, Nonlinear Anal., 67: 773--794. Rao, S. S. 2009. Engineering Optimization Theory and Practice, 4th Edition,

Wiley, New Jerseyi. S. Abduljabar, J. 2011. Bulanık Mantık Yöntemleri Kullanılarak Gazlı İçeceklerin

Karbondioksit Kontrolü, Ankara Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü. Sahiner, A. . Gokkaya, H., Ucar, N. 2013. Journal of the Balkan Tribological

Association, 19(4), 537-548,. Sahiner, A. .Ucar, N., Yilmaz, N. 2015. Oxidation Communications, 38 (1), 166. Sahiner, A., Ucun, F., Kapusuz, G., Yilmaz, N. 2016. Completed Optimized

Structure of Threonine Molecule by Fuzzy Logic Modeling, Z Naturforsch A, 71( 4), Pages 381–386.

Sahiner, A., Yilmaz, N., Demirozer, O. 2014. Mathematical Modeling and an

Application of the Filled Function Method in Entomology, Int. J. Pest Manage., 60 (3), 232-237.

Savas, E. 2008. J. Inequal. Appl., Article ID 147827, 6. Sugeno, M., Takagi, T. 1983. Multi-dimensional Fuzzy Reasoning, Fuzzy Sets and

Systems 9(2), 313-325.

http://pbs.sdu.edu.tr/api/api/yayin/AbstractGetir?yayinid=145193



51

Takagi, T., Sugeno, M. 1985. Fuzzy İdentification Of Systems And İts Applications To Modeling And Control. IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, 15, 116-132.

Thompson, J.F., Soni, B.K., Weattherill, N. P. 1988. Handbook of Grid. Generation, London, 28-1

Vosko, S.H., Wilk, L., Nusair, M. 1980. Accurate Spin- Dependent Electron Liquid Correlation Energies For Local Spin Density Calculations: A Critical Analysis, Canadian Journal of Physics, 58(8), 1200-1211.

Wiiliams, R., Barth, U.von. 1983. Applications of Density- Functional Theory to Atoms, Molecules and Solid in Theory of the Inhomegenous Electron Gas, edited by S. Lundqvist and N. H. March, Physics of Solids and Liquids Series, Plenum, New York.

Xu, Z., Huang, H., Pardolos, P., Xu, C., 2001. Filled Function for Unconstrained Global Optimization. Journal of Global Optimization, 20, 49-65.

Ye. X., Liang, Y., Nowachi, H. 1996. Geometric Contunnuity Between Adjacent Bezier Patchesand Their Constructions, Comput. Aided Goem. D. 13, 521-548.

Yılmaz, N., Sahiner, A. 2015. Smoothing Approach for Non-Lipschitz Optimization, Submitted.

Yılmaz, N., Sahiner, A. 2016. A New Smoothing Approximation to Piecewise Smooth Functions and Applications, ICAA 2016, Kırşehir, Abstract Book Page 226.

Yılmaz, N., Sahiner, A. 2015. A New Global Optimization Technique For Non-Smooth And Non-Convex Optimization, Joint ORSC/EURO Int. Conference 2015 on Cont. Opt., Shanghai-China, Abstract Book, pp 15.

Zadeh, L. A. 1965. Fuzzy Sets. lnformation and Control, 8, 338-353.

Zadeh, L. A. 1973. Outline Of A New Approach To The Analysis Of Complex Systems And Decision Processes. IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics, 3, 28-44

Zadeh, L. A. 1975. The Concept Of A Linguistic Variable And İts Application To Approximate Reasoning: part 1. Information Sciences, 8(1), 199-249.

Zadeh, L. A. 1976. The Concept Of A Linguistic Variable And İts Application To Approximate Reasoning: part 3. Information Sciences, 9(2), 43-80.

Zang, I., 1980. A smooting out technique for min-max optimization, Math. Programm. 19, 61–77.




52

ÖZGEÇMİŞ

Adı Soyadı : Gülden KAPUSUZ

Doğum Yeri ve Yılı : Ankara, 1992

Medeni Hali : Bekar

Yabancı Dili : İngilizce

E-posta : [email protected]

Eğitim Durumu

Lise : Abidinpaşa Anadolu Lisesi

Lisans : SDÜ, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü

Yayınları

SCI, SSCI ve AHCI tarafından taranan dergilerde yayımlanan teknik not, editöre mektup, tartışma, vaka takdimi ve özet türünden yayınlar dışındaki makale

Sahiner, A., Ucun, F., Kapusuz, G., Yilmaz, N. 2016. Completed Optimized Structure of Threonine Molecule by Fuzzy Logic Modeling, Z Naturforsch A, 71( 4), Pages 381–386.

SCI, SSCI ve AHCI dışındaki indeks ve özler tarafından taranan dergilerde yayımlanan teknik not, editöre mektup, tartışma, vaka takdimi ve özet türünden yayınlar dışındaki makale

Sahiner, A., Kapusuz, G., Yilmaz, N. 2016, A New Smoothing Approach to Exact Penalty Functions for Inequality Constrained Optimization Problems, Numer. Algebra Cont. Optim., 6(2), Pages 161–173.

SCI, SSCI ve AHCI tarafından taranan dergilerde yayımlanan teknik not, editöre mektup, tartışma, vaka takdimi ve özet türünden yayın

Sahiner, A., Kapusuz, G., Yilmaz, N. 2016. A New Mathematical Modeling Approach for the Energy of Thronine Molecule, AIP Conference Proceedings.

Uluslararası toplantıda sunularak özet metin olarak yayımlanan bildiri




53

Sahiner, A., Öztop, M., Kapusuz, G., Demirozer, O. 2014. Application of Filled Function Method for Non-smooth Problems, Int. Cong. Hon. R.P. Agarwal, page 202, Bursa-Turkey.

Sahiner, A., Kapusuz, G., Yılmaz, N. 2015. A New Smoothing Approach to Exact Penalty Functions for İnequality Constrained Optimization Problems, ICAAMM-2015, Abstract Book, 128pp, İstanbul-Turkey

Sahiner, A., Ucun, F., Kapusuz, G., Yilmaz N. 2015. Completed Optimized Structure of Threonine Molecule by Fuzzy Logic Modeling, Int. Conf. Adv. Math. Sci, page 136, Antalya-Turkey

Sahiner, A., Kapusuz, G., Yilmaz, N. 2016. A New Smoothing Method via Bezier Curve for Non-smooth Functions, ICAA 2016, Kırşehir, Abstract Book Page 130, Kırşehir-Turkey

bezİer eĞrİlerİ ve yÜzeylerİ İle modern ve klasİk optİmİzasyon teknİklerİ...

Documents