BEVISER TIL KAPITEL 3 Alle beviserne i dette afsnit bruger følgende algoritme fra side 88 i bogen.

Algoritme: Fremgangsmåde til udledning af forskellige regneregler for differentiation af forskellige funktionstyper 1. Opskriv formlen for sekanthældningen 2. Indsæt den konkrete funktionstype i formlen 3. Reducer dvs. flyt rundt med de enkelte led, indtil det bliver ”pænt” 4. Tag grænseværdien af sekanthældningen, dvs. lad 0x→Δ 5. Beviset er færdigt og afsluttes med et QED

Afsnit 3.5 den lineære funktion

Lad bax)x(f +=

Da er a)x('f =

Beviset følger fuldstændigt den før nævnte algoritme. Lad os prøve. Først skulle vi bruge formlen for sekantens hældning -

1. x

xfxxfΔ

−Δ+ )()(

Så skulle vi sætte den konkrete funktionstype ind. Her er baxxf +=)( og bxxaxxf +Δ+=Δ+ )()( . Det sidste led kan godt volde problemer, men husk, at det der står inde i

parentesen efter f, er det x der skal sættes ind på x’s plads i regneforskriften for f. Ved )( xxf Δ+hedder x’et altså .xx Δ+ Det skal så ganges med a og derefter lægger vi b til, altså bxxa +Δ+ )(

2. x

baxbxxax

xfxxfΔ

+−+Δ+=

Δ

−Δ+ )()()()(

Så skulle vi reducere lidt. I det her tilfælde ganger vi a ind i den første parentes og hæver den anden minus parentes.

3. x

baxbxaaxx

baxbxxaΔ

−−+Δ+=

Δ

+−+Δ+ )()(

Nu kan vi reducere yderligere, så vi er stadigvæk i gang med punkt 3. i algoritmen

4. axxa

xbaxbxaax

=Δ

Δ=

Δ

−−+Δ+

Til sidst dividerede vi xΔ ud i tæller og nævner. Vi har nu fundet ud af at x

xfxxfΔ

−Δ+ )()( = a,

hvis f(x) er en funktion af typen f(x) = ax + b. Nu er vi kommet til det afgørende punkt. Vi skal lade xΔ gå imod nul og se hvad der så sker.

0xfor ? →Δ→a Men dette er jo meget simpelt, fordi xΔ slet ikke indgår i udtrykket. Derfor er grænseværdien af sekantens hældning i dette tilfælde blot a. Dvs.

5. ax

xfxxfx

xf =Δ

−Δ+→Δ

=)()(

0lim

)(' , når f(x) = ax + b. Og det var lige præcis det vi ville

vise, og vi kan skrive QED. Afsnit 3.6 andengradsfunktionen

Lad cbxax)x(f 2 ++=

Da er bax2)x('f +=

BEVIS  Beviset forløber ligesom beviset for differentiation af den lineære funktion. Vi kan referere til vores algoritme igen! Først skulle vi bruge formlen for sekantens hældning-

1. x

xfxxfΔ

−Δ+ )()(

Så skulle vi sætte den konkrete funktionstype ind. Her er cbxaxxf ++= 2)( og cxxbxxaxxf +Δ++Δ+=Δ+ )()()( 2 . Det sidste led er præcis som før. Ved )( xxf Δ+ hedder

x’et altså igen .xx Δ+ .xx Δ+ skal så sættes i anden og ganges med a. og derefter lægger vi b gange .xx Δ+ til og til sidst lægger vi c til.

2. x

cbxaxcxxbxxax

xfxxfΔ

++−+Δ++Δ+=

Δ

−Δ+ )()()()()( 22

Så skal der reduceres og først udregnes kvadratet på den to-leddede størrelse, b ganges ind i parentesen og så hæves minusparentesen.

3. x

cbxaxcxbbxxxxxax

xfxxfΔ

−−−+Δ++Δ+Δ+=

Δ

−Δ+ 222 )2)(()()(

Vi reducerer videre. a ganges ind i den store parentes og flere led kan forkortes ud – de går ud med

Hjælp  til  beviset  

I  beviset  skal  vi  bruge  kvadratet  på  en  to-­‐leddet  størrelse.  

(a  +  b)2  =  a2  +  b2  +2ab  

Eller  hvis  den  hedder  

(x  +  ∆x)2  =  x2  +  (∆x)2  +  2x∆x  

hinanden.

4. x

xbxaxxax

xfxxfΔ

Δ+Δ+Δ=

Δ

−Δ+ 2)()()( 2

Vi bemærker nu, at der står xΔ på alle led på i tæller og nævner, så det kan forkortes ud.

5. baxxax

xbxaxxax

xfxxf++Δ=

Δ

Δ+Δ+Δ=

Δ

−Δ+ 22)()()( 2

Så er vi klar til at lade xΔ gå imod nul, altså til at tage grænseværdien af sekanthældningen, så det bliver til den afledte funktion.

6. 0xfor 2202 →Δ+=++→++Δ baxbaxbaxxa Det første led xaΔ er det eneste der afhænger af xΔ . Men det går imod nul da xΔ jo nærmer sig nul. Så tilbage bliver kun 2ax+b.

Dvs baxx

xfxxfx

xf +=Δ

−Δ+→Δ

= 2)()(0

lim)(' , når f(x)=ax2+bx+c.

Så QED  Afsnit 3.8 polynomier Sum og differens Lad f og g være to differentiable funktioner, så differentieres deres sum h(x) = f(x) + g(x) og deres differens k(x) = f(x) - g(x) på følgende måde:

)x('g)x('f)x('h += )x('g)x('f)x('k −=

Bevis. Vi beviser kun sum altså hvor h(x) = f(x) + g(x) Først skulle vi bruge formlen for sekantens hældning-

1. x

xhxxhΔ

−Δ+ )()(

Så skulle vi sætte den konkrete funktionstype ind. Her indser vi, at når )()()( xgxfxh += så er )()()( xxgxxfxxh Δ++Δ+=Δ+ Dvs. at

2. x

xgxfxxgxxfx

xhxxhΔ

+−Δ++Δ+=

Δ−Δ+ ))()(())()(()()(

Nu skal vi reducere, dette svarer her til at hæve parenteserne. Den første er en plus parentes og kan hæves uden videre, men den anden er en minus parentes, og så skal vi huske at skifte fortegn på leddene i parentesen!

UnknownField Code Changed

3. x

xgxfxxgxxfx

xhxxhΔ

−−Δ++Δ+=

Δ−Δ+ )()()()()()(

Nu samler vi f for sig og g for sig

4. x

xgxxgxfxxfx

xhxxhΔ

−Δ++−Δ+=

Δ−Δ+ ))()(())()(()()(

Den sidste brøk er egentlig summen af to brøker med en fællesnævner. Nu går vi så modsat af hvad vi plejer at gøre. Vi deler simpelthen op i den to brøker.

5. x

xgxxgx

xfxxfx

xhxxhΔ

−Δ++

Δ−Δ+

=Δ

−Δ+ )()()()()()(

Vi ved, at hvis vi nu lader 0→Δx bliver venstresiden til )(' xh . Lad os se hvad der sker med højre siden når 0→Δx

6. 0xnår ?)()()()(→Δ→

Δ

−Δ++

Δ

−Δ+

xxgxxg

xxfxxf

Første brøk er sekanthældningen for funktionen f. Så det bliver til 'f når 0→Δx . Anden brøk er sekanthældningen for g, så det bliver til '.g Alt i alt får vi altså at

7. )(')(')(' xgxfxh += Hvilket var det ønskede resultat så QED Beviset for differens kører fuldstændig på samme vis. Den eneste forskel er at der dukker nogle minusser frem her og der. Differentiation af funktion gange konstant

Lad f være en differentiabel funktion og k et vilkårligt tal, så er

)(')('er så

)()(

xfkxh

xfkxh

⋅=

⋅=

Bevis

Beviset følger fuldstændig samme fremgangsmåde som de tidligere beviser for regnereglerne. Bevis Først skulle vi bruge formlen for sekantens hældning -

1. x

xhxxhΔ

−Δ+ )()(

Så skulle vi sætte den konkrete funktionstype ind. Her indser vi, at når )()( xfkxh ⋅= så er )()( xxfkxxh Δ+⋅=Δ+ Dvs. at

2. x

xfkxxfkx

xhxxhΔ

⋅−Δ+⋅=

Δ−Δ+ )(()()(

Nu skal vi reducere, her kan vi sætte k udenfor en parentes, fordi k er ganget på begge f leddene.

3. x

xfxxfkx

xhxxhΔ

−Δ+⋅=

Δ−Δ+ ))()(()()(

Nu sætter vi k ud foran brøken

4. x

xfxxfkx

xhxxhΔ

−Δ+⋅=

Δ−Δ+ ))()(()()(

Så er vi klar til at tage grænseværdien, så vi får den afledte funktion. Vi ved, at hvis vi nu lader 0→Δx bliver venstresiden til )(' xh . Lad os se hvad der sker med højre siden når 0→Δx

5. 0xnår ?))()((→Δ→

Δ

−Δ+⋅

xxfxxfk

k afhænger ikke af xΔ , så k bliver blot ganget på grænseværdien af brøken. Brøken er sekanthældningen for f(x). Så det bliver til 'f når 0→Δx . Alt i alt får vi altså at

6. )(')(' xfkxh ⋅= Hvilket var det ønskede resultat så QED