DISSERTATIO

DE

MOTU APPARENTI STELLARUM FIXARUM,EX ABERRATIONE ET PARALLAXl ANNUA

CONJUNCTIM ORIUNDO.

CUJUS PARTEM TERTIAM

CONSENSU AMPL. FAC. PHILOS. UPSAL.

p. p.

ISRAEL BERGMANphil. jviag» medelpado • jemtlandus

RESPONDEN TE

ANDREA MAGNO KJELLDAHLS TiP » guthermuth,, GESTR. welsing.

in audit. gustav. die xiv ©CTOBRIS MDCCCXVIII.

fH. P. M. S.

ü P S A L I JE

Excudebant Zeipel & Palmblad.

5 «7 C

vel elevstur fupra llellae lo c um verum pro våris longitu-dire ftellae, fic inveniuntur. Sir FR (vjde fig. 4.) parsparallel i ecliprictr, ftellae locum verum S rransetiniis, fitqueFE diameter circuii eberrationis per S du£fca, quae oun'cetiam e il axi rninori orbirse reiluris -parallel». Tun "c erftangulus BSR, quem format diameter FE cum paralleloFR vei eius tangents in £, drfferenriae longittidinum ftel-

Sc perihelii, qine vocetur d, arqualis. Si enim circuluslarirudlnis ftellae edipticam in puncto o (vide tigg. 3 Sc 4.)fecare concipiatur, radius parallell FR , pun£tum 5 trans-iens, in piano h 11 j-us circuii jacer, eftque radio eclipticseUo p-.raileJa; quare FR, tångens vel arcus parallel i in S",oft ot % tangenti eclipticae in o, parallelus, quod ex Eucl.XI. 10. fscne dediicitur. Eft etiam BE axi rninori orbi-tss celloris vel eius parallelse In parållela, ur ex anteceden-tibus paret, quare angukis RSB = to I (Eucl. XI. 10.)■zz;oUk sr: d. Si porr.o linea BE orthographica p-rojeftio-oe' projicitur ad IVEl in piano RSO, ad radium vifionis-ftellae redo, Sc fumun tur Sc, Sb, SO aequales, iisque utradiis defcribuntur arcus bc, bO, cO, oritur tviangulumfpharricurn bcO, cujus latus bcz=sd, angulus cbO -ss comp!,latit-uéinis Sc angulus bOc re£lus; unde folutio exhibetfängbÖ rr cosObc. tangbc = fmLat. tangd, finbO =

fin Lat. fang d, ßncO rr cosLat. find, SB' =

V(i A-fil- Lat.tavg2 d)SB \/{i - cos2Lat. ßn2d), CS = CS F(i - cos2Lat. ßn2d)

i - cos2 Lat. ßn2 dSc CG— CS. ßnbO — beßnLat. tangd ,J J

1 -\-fin2 Lat. lang2 dquae expreslio exponit, quantam mutationem latitudo cen-£ri circuii aberrauonis mutatione longitudinis fubierit.

3 §. XII.

i ra c

§. XILSequitur, ur quaeramus-, quannrm fiel Fa in circufo

aberrarionis ante tecram in. orbita fua promota appareat.Sit PMaN (vide ftgg. 2 & 3) orbita teliuris elliptica^V locus ejus pro cerro tempote, F unus focus & locusfolis, FF radius vector, Fl rangens in puncto F, curdmatur Fp per F paraiiela. Tu.dc patet, quoniam GFffeu re£ta jungens ft.ellas locum verum St apparenrem,fem.per eft FIy tangenti orbitae teliuris, p-arallela, Si (iper ftellae locum verum S ducatur re£b LS radio vccloriFF parallela, esfe angulum p F F zz G SL. Järn ut in-ven-i ar-ur h-ic angulus pariser ac quantiras abfoFura aberra¬rionis pro certa teliuris anomalia vera VFXy ponaturorbirae teliuris femiaxis major aU-z=cr, minor MU:zzm^re£ta FX, du£ta per F ad aP perpendicuiaris, —y!*Jj X zzx, ratio excentricftatis ad dimidium axeos rnajo*ris zze Si anomalia vera FFX z= v; ducarurque per al¬terum focum T re£ta TZ ad FI perpendicularis, qua re¬vel0 c ita tern teliuris in puncto D Si rotam igitur aberratio-mem pro hoc pun£k> determinar. Tu<oc quoniam trian-gula VXI Si TIZ rtint fimilia, eft IX: FX: : IZ: Z T;ex theoria vero eliipfeos conltat analogia UX: Ua U.a.i UI> ergo UT zz — Si XI ~ . Eft porroX' x~ ■

ni . a (a - ex"}<vx = - VC«1 - x*y, ti = m - ur = -a

x•

t a* (a - ex)2& IZ* = TU - TZ* ~ —_ TZ* > quarex1 -1-

a2 - x%: ni r: _ y{ci* - x*) : : - V[«2 0~ ex)2 - xz TZ*JX O X

: TZ „

) *9 (.a3 m2 Ca - ex}* m2 Ca - ex}*

t rz, unde rz* ~ K v JflA2 a2 - x2) -f- m2 .x2 o2 - e2ez ä

o2 (r - f2,) (a - ex} (\ - e2) (a -& rz = a V[:~ — 1

n H~ ex n -4- f..v

Ur vero in veniatur ZZ in -fimdtiöne ipfius v adhibeauirfl (i - e-)

expre-siio notisnma rad. vedi. {ZF) ss , unde>i — e cos v

a (i - e2) a (r.os v - e):x rr cos v - ae —

i — e cos v i - e cos v

a (i - 2 e cos v -f- p2) a (i e*}a - e* rr — — a -i- cx ~ — -

I — •<? ror v i — g cos v

a - ex i - 2 e cos v -f- e2""—-

= * TZcn fl|/ i — 2 g cos v -f ).fl-f- I - ,£2 b 1

a (a - £*)Si porro expresfio - ■ (= TI) etiam reducatur.X

, r n. • r /: vy-r « (» ~ 2 « fOJ V + **)ad ru actio ne m iplius v, fit TI = —

cos v - t

Eft vero TZ—TI. ßn I& fmJ — ^ —n V( I -2BC0S U-J-02).o-»-« ' COS V - t

quare IFF= VFp= i |o -1; -or* (^ == \VC1"

5. xiitStellam quamdam påiallaxeos causfa in piano, eclipti-

cae

) 20 (

esc parallele, orbitae telftiris fimilem ellipfin defcribere*cujus alrerum focum tenet fteliae locus veius, cujusqueaxis major eft axi majori orbitae telluris parallela, Ted con¬trario modo verfa, ira ut aphelion vergat eodem a cea»tro orbiios telluris, ac Hellte locus verus a ccntro par.ellipfeos, inter alia patet ex Lecuns Elemer.taires d'Aßrona-mie par De La Caille, Chap. 2. Art. 1axes vero Sc excen-rriciras hu jus ellipfeos, seque ac inclinatio axeos ejus ma-joris ad arcum parallell ecFipticae, fteliae locum Verumtranseuntis, projedtione orthographica in planum, ad ra-dium vifionis ftellae rectum, pto varia longitudine Heisevarias fubeunt mutariones. Si axis major o-rbitae teilurfsin piano circuli latitudinis eft firus, axis ,major par. cl-lipfeos in eodem piano jacet, minorque cum arcu paral¬lell eclipticae, centrum hujus ellipfeos transeuntis, congru-it. Itaque cum linea interfectionis paralleli Sc plani pro-je&ionis hic axis minor quoque congruit, quare per pro-je&ionern nec (itu, nec magnitudine mutarur. Fit quo¬que axis novae ellipfeos, liquidern ejus ordinarae etiampoft projectionem ad eandem perpendiculares manenr;fiatne vero major, an minor, pendet ex latitudine ftellee.Si p nempe dimidium axem majorem ellipfeos anre pro¬jeclionem denotat, patet, eurrdern proje&ione fieri =pfinLat,, manente dirnidio minore p 1 - e2), eexprimente rationem excentricitatis Sc axeos majori*, qua-re, ubi finLat. = VC1 ~ eZJ> Par* ellipfis projeClione fitcirculus, alias elliplis, in cujus femiaxem vel majorem,,vel minorem femiaxis p projicirur, prour eft finLat. velmajor, vei minor quam y(t - e2). Si vero axis minororbitce telluris in piano circuli latitudinis jacet, erit etiamaxis minor par. ellipfeos in eodem & major cum paral¬lelo eclipticae ftellam transeunte congruet; quare major*aec' fitu nec magnmidine proje&ione turbatus, fit major

■p VC1 "* Laf- ndnor femiaxis ellipseos no vas. SIjacet axis major orbitae telluris inter plana fyzygiorumSc quadraturorum, axis msjor par. ellipfeos neque cumparallelo eclipficae fiel lam transeunte congruere, neque adeundem perpendicularis esfe poteft, fed inclinat angulocr: fm Lat. tang. dsfferentiae iongitudinum ftellae Sc perihe-lii, ur patec ex §. XI. Ut in hoc cafu inveniatur, quan-tum proje&ione roucentur oxes Sc excentricitas ellipfeos,quam ftella in piano, eclipticsc parallelo, motu apparen-ti per paralhxin defcribit, lir ABBE (vide fig. 5.) haecellipfis, cujus femiaxis major eft BC (p), minor CD (h) rFG diameter, cum parallele eclipricae punctum C transe¬unte congruens, KS ejus diameter conjugata Sc LM ordi¬nära pro quocunque puncto L. Cognita inclinatione axe-os major is AB ad FGy quae ne-mpe eft = compl. difF-long, ftellae Sc peräh. (§. XI.), quae differentia, ut antea,vocetur i, dimidia diameter CG, quae ponatur = m, irx.fundione ipfornm p, bScdhc. invenitur. Pofitis COzzzxSc GO = y} dueta GO per G ad AB perpendiculari, erit

bx = m cos y = m ßn d =ä — j/\pz - x2), unde

P

m2p2Jin2d a» b2p2 - b2x2 = b2p2 - b2m2cos2d Sc{ b p

vi = —7*—_ „ , 7- 7. Pofiro ansulo KCG, qnetfcV{p-fin2d Hh b2cos2 d) ■. . . ? \

intercipiunt diametri conjugatae KS Sc FG, = q, ericpz - m2

cot d a=s —;— tang q, ut ex ellipfeos theoria conftar^Sc,lp dp ^(fin2d-f- r2 cos2 d)

cognito »/jdabitur r.sa —— h. e^s»» ?a mßnq mrcosdqua-

3 22 C

qmtenus

. /Equatio, ex-

primeps räti-onem coordmaranim diameiri FG, e(l z2 ~

mz '- he - pofitis ordinatis LM =.3, abfcisfis CM=.»11 , ... : .

«Sc angulo coordinatarum CML =* g;, hic vero fi ponere-tur rectus, manehte fitu diametrorum conjiigararum, & fivocarenrur novae a Wc is fas CAT, inde .oriuid^, «' & or-

-dsnataé LN z , ficret u — « 4- 2 ro/ -q Si z *= z fin q,unde u = u - s' ro/ qf % n=s 2' cosec q Si(n7 cof.ec* a -+- m7 cot7 q ) z'£ — 2m-cotq . wV -f- m7u2

acquatio novarum coordinatarum. Si projicitur ellipfisprojedtione orthographiea in planum, ad lineam redlam,centra ellipfeos & foiis jungentem, rectum, non mutan-tur abfcisfae u\ tamquam ante in hoc piano ficae, paral-lelus enim eclipticae, pundtum C traofieos, ~eft ad circu-Jum latirudinis redtus, ergo FG, ad lineam interfechonisredta, redta etiam ad circulum latirudinis erit, ficque adlineam redlam, pundta C & centrum folis jungentem.Ord inat» vero z in novas ordinatas z° proj.ciuutiir fe-cundum analogiam z' : z : : 1 : fiuLatquare z" =

//

zz fin Lat. Si z' = Itaque, iVfinLat. vocarur no-

vx ellipfeos aequano iit ~ •

m*n*

) 23 C

{i7cosec2q m'coi- q)z'1— 1 m2stot q .

- m2n2s2 = o.

Uc inveniarur murario excentrrcicatis & sxium, ob-fervatur, quoniarn abfcisf® non muiantur öl ordrnarae L N~,KQ, Ölc. proje&ipne niiauumur in eadem ratione i :ßnLat.rn&vae ordinäre MR, CPy Sic., ad- quas LM, CK,«See. projiciuorur, äquales cum diametro FG faciant an-gulos, n-ecesfe esfe, ßc etiam arcus ellipfeos infinite par-vus ad G, qui pro ordinara hujus puniti haberi poteßjhujus vero arcus inclinafio eadem eit, ac tangentis. in G,quare lineae M /?, CP, See. Hin c tangenti in G oarallelaeh e- ordinatcC ÖL 'CP femiconjugäta diameiri" FG. Escporro K Q : P Q:: i : ßn Lat. :: fang q : iang P C Q = langq. ßn Lat., C Q = n cos q, P Q — C Q . tang PCQ= n ßn q

ßm Lat ; quare ii PC ponatur n, er i t ri — n\f(eQsz qßn2 q ßn2 Lat.). Cognins di a me tr is conjugatis m,ii öl

anguio,quein intercipiunt,. PCQ =arc\tang==■tang qß;i Lat.)\,qui ponatur = q , dantur eriam ti o v» temtaxeSy quorumvocetur major p öl minor b'; ita nempe7 ut fit p=2 kV(»'2 Hr 1*'2 ■+■ 2 m iißnq') -f- u , ■ 1° . ' v ' kIV' m 2 -h nz - 2 mnßh q ) ÖL b' — ~\/pu 1 -f-ii 2 -+ ymnßn q) - i,1%/im2 -f nz - 2 m ri fin q ), un de da tur excenmcitas no-vae ellipfeos c = \J pz - b'zß Quae omnia etiam fe-quenri modo in venit i po<fuiirv Cogniro, quaenam diame¬trorum ellipfeos, in planum ad radium vifionis ftellae re¬klam, orrhographica projtftione projecforum, fit maximaÖL quaenam minima, ur.riquo exes ÖL inde excentricitasrrova? ellipfeos eriam da nr ur. Sit iraqtie BE AD ellipfis,quam ffélla in piano, ocjiptjcm paralleio, motu epparentidefcribir, cujusque axis major, ur fupr;a," lir p öl minor btE locus flelice, vifus e perihelio, öc A locus] ejusdem,

vi-

) 2 4 i

vifus ex aphelio orbitte telluris. Sit CH femidiameter ut-cunque data, quae ponatur = is, angulus ACFf=v, HT,

bdu£ta per H ad AC perpendicularis, *— VT2 ~

b3BC=x=sZcow. Tunc fits4 =#2-+?/a == Hb—(v2- *2)

P3& p2z2 t= p2z2 eos2v -+- /;4p4 - b2z2cos2v, unde

diameter z, cujus proje&io bC fit vel maxima, vel mini¬ma; datur haec bC, dato angulo ACU. Angulus BCG, ufeex antecedentifius pater, ett complemenro diff. long, ftel-lae & perih. tequahs, cujus fuppsementurn ACG ponatur= m, unde Z7CC? z=. v - m Defcribant-ur radio quanto-cunque «C arcus circuli ac, a6, bc in planis aCc, aCb 6cbCc, unde oritur triangulum Iphaericum abc, cujus angu¬lus 3 ett re&us, c = compl. Lat. 6c latus ac — v - m;itaque I : Un {v - m) :: cosLat. : fin ab r= fin (v-m} cosLat.;Sc quoniam bC, quae ponatur = s', ett = z cus ab, erit

g* ; — (eu^{P2 ~(P2 - b2) cos2 v)' '

i — e2tricitate = e, z = y —

>.vr I — CT COi

bpfeu, pofito p rz i 6c excen-

Sit CU illa . femi-i — eT ens2 v

%' =: z v(! ~ fin2 (v ~ m) cos2Lat.')t _ g2) [i - fin2 Cv ~ *0 cos% Lat.]

feu3 pofito

i - t2cos2 v

i - k2fin2 'v - t/1)

Jam