BENZETBENZETİİMMProf.Dr.Prof.Dr.BernaBerna Dengiz Dengiz

7. Ders

BENZETİM BENZETİM

İSTATİSTİK TEKRARIİSTATİSTİK TEKRARI Olasılık ve istatistik bilgisine;Olasılık ve istatistik bilgisine;

• Giriş olasılık dağılımının belirlenmesinde Giriş olasılık dağılımının belirlenmesinde

• Bu dağılımlardan rassal değişken üretiminde Bu dağılımlardan rassal değişken üretiminde

• Benzetim modelinin geçerliliğinde Benzetim modelinin geçerliliğinde

• Benzetim çıktısının istatistiksel analizinde ve Benzetim çıktısının istatistiksel analizinde ve

• Benzetim deney tasarımındaBenzetim deney tasarımında

ihtiyaç duyulmaktadırihtiyaç duyulmaktadır..

Bu nedenle kullanılacak istatistik bilgileri ve notasyonlar Bu nedenle kullanılacak istatistik bilgileri ve notasyonlar burada kısaca hatırlatılacaktır.burada kısaca hatırlatılacaktır.

BENZETİM BENZETİM

1.1. Bir deney çıktısı rassal değişken olarak tanımlanır.Bir deney çıktısı rassal değişken olarak tanımlanır.

2.2. Bir deney sonucu çıktı olarak adlandırılır.Bir deney sonucu çıktı olarak adlandırılır.

3.3. Bir deneyin mümkün tüm çıktıları örnek uzayı ( ) olarak Bir deneyin mümkün tüm çıktıları örnek uzayı ( ) olarak tanımlanır.tanımlanır.

4.4. Bir olay (örnek uzayının) alt setidir.Bir olay (örnek uzayının) alt setidir.

5.5. A A B = ( w B = ( w € € : ( w : ( w €€ A veya w A veya w €€ B ) B )

6.6. A A B = ( w B = ( w € € : ( w : ( w €€ A veya w A veya w € € B )B )

7.7. A A B = 0 ise A ve B ayrık ( birlikte ortaya çıkmayan) B = 0 ise A ve B ayrık ( birlikte ortaya çıkmayan)

olaylardır.olaylardır.

BENZETİM BENZETİM

8. 8.

• A herhangi bir olay olduğunda 0A herhangi bir olay olduğunda 0 P(A) P(A) 11• P( ) = 1P( ) = 1• A1,A2,……. ayrık olaylar seti için;A1,A2,……. ayrık olaylar seti için;

P(A1 P(A1 A2 A2 …..) = P(A1) + P(A2)+ …….. …..) = P(A1) + P(A2)+ ……..

Yazılabiliyorsa P fonksiyonu olasılık ölçüsüdür.Yazılabiliyorsa P fonksiyonu olasılık ölçüsüdür.

BENZETİM BENZETİM

9.9. Kesikli bir rassal değişken; sonlu ya da (sayılabilir sonsuz)Kesikli bir rassal değişken; sonlu ya da (sayılabilir sonsuz)

değerler alır. değerler alır.

Sürekli bir rassal değişken; bir aralık boyunca değerler Sürekli bir rassal değişken; bir aralık boyunca değerler alabilir.alabilir.

(a,b) aralığı gibi(a,b) aralığı gibi

10.10. Kesikli bir rassal değişken X’in olasılık fonksiyonuKesikli bir rassal değişken X’in olasılık fonksiyonu

BENZETİM BENZETİM

Sürekli bir rassal değişken X’in olasılık yoğunluk fonksiyonu Sürekli bir rassal değişken X’in olasılık yoğunluk fonksiyonu

f(x)f(x) dir; dir;

Sürekli rassal değişken için X, Sürekli rassal değişken için X,

BENZETİM BENZETİM

11.11. Kümülatif dağılımKümülatif dağılım fonksiyonudur.fonksiyonudur.

Kesikli değişkenler için K.D.F ;Kesikli değişkenler için K.D.F ;

Sürekli değişkenler için K.D.F ;Sürekli değişkenler için K.D.F ;

BENZETİM BENZETİM

12.12.

13.13.

BENZETİM BENZETİM

TEOREM:TEOREM: XX11 ,X,X22 ,……,X,……,Xnn rassal değişkenler ise; rassal değişkenler ise;

EE (X(X11 + X + X22 +……+ X +……+ Xnn ) = E) = E (X(X11 ) + E) + E (X(X22 ) +…….+ E) +…….+ E (X(Xnn )’)’ dir. dir.

14.14. PP (( x x a, y a, y b b )) = = P P (( x x a a ) P) P (( y y b b ))

(( x ve y bağımsız olduğunda…)x ve y bağımsız olduğunda…)

15.15. VarVar (ax) =(ax) = aa22 varvar (x)(x)

Var (a) = 0 Var (a) = 0 (a sabit)(a sabit)

E (ax) E (ax) = a E(x) = a E(x)

E(a) = aE(a) = a

BENZETİM BENZETİM

16.16. Cov (x, y) = E [ ( x - E(x)) ( y - E(y)) ]Cov (x, y) = E [ ( x - E(x)) ( y - E(y)) ]

Cov (x, y) = E (x y) – E (x) E (y)Cov (x, y) = E (x y) – E (x) E (y)

(Kovaryans iki rassal değişken arasındaki bağımlılığın (Kovaryans iki rassal değişken arasındaki bağımlılığın ölçüsüdür.)ölçüsüdür.)

TEOREM:TEOREM: x ve y herhangi iki rassal değişken olsun ; x ve y herhangi iki rassal değişken olsun ;

Var (x + y) = var (x) + var (y) + 2.cov (x,y) dir.Var (x + y) = var (x) + var (y) + 2.cov (x,y) dir.

BENZETİM BENZETİM

TEOREM:TEOREM: y= (x+a) / b , y ve x değişkenleri y= (x+a) / b , y ve x değişkenleri

parametreleri farklı aynı dağılıma sahiptirler.parametreleri farklı aynı dağılıma sahiptirler.

TEOREM:TEOREM:

ZZ ; standart normal dağılım denir.; standart normal dağılım denir.

BENZETİM BENZETİM

BENZETİM BENZETİM TEOREM:TEOREM:

yy11, y, y22,……,y,……,ynn ~ N ( ~ N ( µµ , ) ( y , ) ( yii‘ler bağımsız değişkenlerdir.)‘ler bağımsız değişkenlerdir.)

BENZETİM BENZETİM İSPAT:İSPAT:

BENZETİM BENZETİM TEOREM:TEOREM: MERKEZİ LİMİT TEOREMİMERKEZİ LİMİT TEOREMİ

y1, y2…..,yn ortalaması y1, y2…..,yn ortalaması µµ ve varyansı ve varyansı olan herhangi bir olan herhangi bir

dağılımdan gelen rassal değişkenler olsun;dağılımdan gelen rassal değişkenler olsun;

BENZETİM BENZETİM TANIM:TANIM:

μμkk = E(x = E(xkk ) x rassal değişkeninin orijine göre momentidir. ) x rassal değişkeninin orijine göre momentidir.

μμkk = E(x-E(x)) = E(x-E(x))kk ortalama etrafında k. moment ortalama etrafında k. moment

1)1) μμ11'' = E(x) dağılımın ortalaması= E(x) dağılımın ortalaması

2)2) μμ22 = E(x-E(x)) = E(x-E(x))22 = μ = μ22'' - (μ - (μ11')')22 dağılımın varyansı dağılımın varyansı

3)3) μμ33 = E(x-E(x)) = E(x-E(x))33 = μ = μ33‘ - 3.μ‘ - 3.μ22'. μ'. μ11‘ + 2(μ‘ + 2(μ11')')33

BENZETİM BENZETİM A herhangi bir olay olduğunda A herhangi bir olay olduğunda 00 P(A) P(A) 11

P( ) = 1P( ) = 1

A1,A2,……. ayrık olaylar seti için;A1,A2,……. ayrık olaylar seti için;

P(AP(A11 A A22 …..) = P(A…..) = P(A11) + P(A) + P(A22) + …….. ) + ……..

Yazılabiliyorsa P fonksiyonu olasılık ölçüsüdür.Yazılabiliyorsa P fonksiyonu olasılık ölçüsüdür.

BENZETİM BENZETİM

Çarpıklık (Asimetri) ÖlçüsüÇarpıklık (Asimetri) Ölçüsü

(skewness)(skewness)

BENZETİM BENZETİM

Basıklık Ölçüsü (Kurtosis);Basıklık Ölçüsü (Kurtosis);

4)4) μμ44 = E(x-E(x)) = E(x-E(x))44 = μ = μ44' - 4μ' - 4μ33' μ' μ11' + 6μ' + 6μ22' (μ' (μ11')')22 - 3(μ - 3(μ11')')44

BENZETİM BENZETİM

44 standart basıklık katsayısıdır. standart basıklık katsayısıdır.

( dağılımın yatay eksene göre görünümünün bir ölçüsüdür.)( dağılımın yatay eksene göre görünümünün bir ölçüsüdür.)

normalnormal dağılımda dağılımda 44 = 3 = 3

uniformuniform dağılımda dağılımda 44 = 1,8 = 1,8

mmkk' = 1/n ( ' = 1/n ( xxiikk ) , ) , moment tahmin edicisi moment tahmin edicisi

( ( kk' 'nın tahmin edicisi )' 'nın tahmin edicisi )

BENZETİM BENZETİM

TANIM:TANIM:

xxii ve x ve xjj değişkenleri arasındaki değişkenleri arasındaki kovaryans kovaryans ,,

ccijij = E[(x = E[(xii - - ii ) [(x ) [(xjj - - jj )] )] E(xE(xii ) = ) = ii E(x E(xjj ) = ) = jj

xxii ve x ve xjj bağımsız değişkenler ise bağımsız değişkenler ise

ccijij = 0 dır. = 0 dır.

BENZETİM BENZETİM

TANIM: TANIM: Korelasyon KatsayısıKorelasyon Katsayısı

BENZETİM BENZETİM TANIM: TANIM: Teorik tanımlar 3 tür parametre ile tanımlanırlar. Teorik tanımlar 3 tür parametre ile tanımlanırlar.

1) YERLEŞİM (LOCATİON ) PARAMETRESİ : 1) YERLEŞİM (LOCATİON ) PARAMETRESİ : Dağılımın apsis üzerindeki açıklığını belirler.Dağılımın apsis üzerindeki açıklığını belirler.

BENZETİM BENZETİM

Aynı dağılım , Yerleşim farklıAynı dağılım , Yerleşim farklı

BENZETİM BENZETİM 2) ÖLÇEK (SCALE) PARAMETRESİ : 2) ÖLÇEK (SCALE) PARAMETRESİ :

Dağılımın yüksekliğini belirler. Aşağıdaki normal dağılımlarda Dağılımın yüksekliğini belirler. Aşağıdaki normal dağılımlarda yerleşim parametresi (yerleşim parametresi () sabitken , yükseklik parametreleri () sabitken , yükseklik parametreleri ()birbirinden )birbirinden

farklıdır.farklıdır.

Normal dağılımda ; yerleşim parametresi , yükseklik parametresi

BENZETİM BENZETİM

3) ŞEKİL (SHAPE) PARAMETRESİ : 3) ŞEKİL (SHAPE) PARAMETRESİ :

Dağılımın şeklini belirler. Üstel dağılım şekil parametresine sahip değildir. Dağılımın şeklini belirler. Üstel dağılım şekil parametresine sahip değildir.

Gamma dağılımının şekli Gamma dağılımının şekli değerine göre değişir. değerine göre değişir. > 0 , > 0 , > 0 > 0

BENZETİM BENZETİM