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Octubre 2002 • 2002 Urria 87

Belleza Irracional

BELLEZA IRRACIONAL

Félix Elejoste (*)

PRESENTACIÓN

Con qué comenzamos

El desarrollo que sigue se planteó como actividad complementaria a un curso de Geometría,a nivel de primer curso de un módulo de grado superior en proyecto y dirección de obras. Losalumnos que acceden a este módulo proceden bien de bachillerato artístico, bien de otrosbachilleres vía prueba de acceso. Sea como fuere la Matemática no forma parte de sus intere-ses, más bien al contrario.

Objetivos

• Mostrar el aspecto lúdico del conocimiento, en particular de la Geometría.

• Mostrar también el aspecto práctico, el contenido matemático en el mundo que nos rodea.

• Mostrar, contrarrestando el objetivo anterior, la potencia del razonamiento abstracto, y de lademostración en matemáticas.

Contenido

La unidad didáctica se acerca desde la historia al triunfo primero, y colapso más tarde de lageometría pitagórica, y de este colapso renace una geometría aun más potente, eso sí desli-gada de sus elementos empíricos. Se recorren después toda una serie de construcciones geo-métricas y proporciones sacadas de todo tipo de monumentos y objetos de culto, resueltastodas con regla y compás, a la manera griega de resolver inicialmente problemas de geome-tría.

Desarrollo

Depuse de discutir en clase la introducción, se trata de “meterse en harina” realizando primerolas construcciones propuestas, tratando de buscar en ellas nuevas relaciones y proporcionesmás allá de las señaladas. Para esto los alumnos se agrupaban en parejas.

Estas mismas parejas desarrollaron trabajos de ampliación, siempre relacionados con la geo-metría, cuyo interés se les hubiera despertado a partir del trabajo en clase. Así se estudiaron:

(*) Profesor de Matemática e Informática en el Centro de Artes Gráficas y Diseño “GAIA” de Donostia

• La geometría práctica de Aristóteles.• Geometría fractal (aquí nos apoyamos en diversos programas informáticos de dominio

público para la generación de fractales).• Resumen y comentario del texto Punto Recta y Plano de Kandinski.• Visualización y discusión de la película: PI: Fe en el caos.• Resumen y comentario del texto: El Modulor de Le Corbusier.• Análisis de los mosaicos y teselaciones de Roma a Escher pasando por el mosaico musulmán.

Dedicamos a esto dos horas semanales a lo largo de un cuatrimestre.

En algunos temas, quizás en todos, pecamos de ambiciosos y el resultado no fue bueno, sobretodo el mosaico musulmán merece más de 2 horas de trabajo. También algunas propiedadesquedaron cojas con comentarios puramente verbales. Conscientes de ello para el próximocurso contaremos con programas tipo Cabri para ilustrar estos extremos.

La evaluación tanto por parte de los alumnos como mía y del resto de profesores en cuyasasignaturas inciden los conocimientos matemáticos de los alumnos fue muy buena, y loscomentarios negativos no se debieron a la realización de la actividad sino a no haber reco-gido en ella otros elementos. Así que el próximo curso repetiremos corrigiendo y ampliandodonde se pueda.

INTRODUCCIÓN

Aunque hasta tiempos muy recientes era costumbre remon-tarse a los griegos como origen de la Matemática, hoy pode-mos afirmar que los indicios de actividad Matemática estánpresentes en todas las culturas y en todos los tiempos de losque hay registro. Tanto en Europa como en África se hanencontrado trozos dehuesos con muescas, amás antigua de hace35.000 años. Utilizadosalgunos como simples

registros de recuento, otros parecen haber tenido usos máscomplejos, a modo de reglas de cálculo, además de estoshallazgos directos, otros registros megalíticos implican unosconocimientos tanto astronómicos como matemáticos hastaahora insospechados.

Más modernamente disponemos de testimonios de Mate-mática en Mesopotamia (3500 a.c.), y de los babilonios enla misma zona (2000 a.c.). Se han encontrado tablillas cunei-formes con desarrollos matemáticos sobre todo en Álgebra yGeometría, si bien no hay pruebas de que conocieran los

SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA88

Félix Elejoste

Fig. 1

Fig. 2

números irracionales si conocemos una tablilla donde se obtiene una aproximación a =2 con5 posiciones decimales. Es más, la denominada como tablilla Plimton 322 (Fig. 1) (1500 a.c.)incluye lo que nosotros llamamos teorema de Pitágoras, 1000 años antes del propio Pitágoras.

En cuanto a Egipto la precisión de su arquitectura, los problemas de la administración de unimperio que, lógicamente con altibajos, se prolongó durante 4000 años, implican unaMatemática avanzada: Administración del estado y de los templos, cálculo de salarios a tra-bajadores, reservas de grano etc.. Sin embargo, al ser su principal soporte de la información,el papiro, un material perecedero, tenemos pocos registros de esta actividad, por decirlo cla-ramente sólo disponemos de dos papiros el llamado Papiro Rhind (Fig. 2) en honor de su des-cubridor: Un anticuario escocés llamado A. Henry Rhind, mas raramente pero con mas pro-piedad se le conoce como papiro Ahmes por el nombre de su autor, comienza así: “Cálculoexacto para Entrar en Conocimiento de Todas las Cosas existentes y de Todos los OscurosSecretos y Misterios”.

El papiro Ahmes contiene 87 problemas con sus soluciones, está en escritura hierática en lugarde jeroglífica. Los problemas versan sobre el reparto de hogazas de pan entre un númerodeterminado de personas, así como de la determinación de las áreas de superficies rectangu-lares (geometría).

El otro registro conocido como Papiro de Moscú (Fig. 3) porque se conserva en Moscú, es bas-tante parecido si bien añade cálculos de volúmenes de pirámides truncadas y del cilindro,aunque incluye tan sólo 25 problemas y sus soluciones.

Datan de 1700 a.C. y en ambos casos no hacen ninguna separación entre Aritmética yGeometría. Sorprendentemente su cálculo del área del círculo utiliza una fórmula equivalente

a: A = ( )2

que equivaldría a utilizar un valor de pi = 3.16049

Naturalmente no utilizaban la notación moderna sino que son descripciones verbales a modode un recetario de cocina. Por ejemplo el volumen del tronco de pirámide es descrito así: “Site dicen una pirámide truncada de 6 como altura vertical por 4 en la base y 2 en el extremosuperior. Tienes que cuadrar este 4, resultado 16. Tienes que doblarlo, resultado 8. Tienes quecuadrar 2, resultado 4. Tienes que sumar el 16, el 8, y el 4, resultado 28. Tienes que tomar untercio 6, resultado 2. Tienes que tomar dos veces 28, resultado 56. Ves es 56. Lo has hechocorrectamente”.

Por otras referencias no estrictamente Matemáticas sabe-mos de la importancia de la Geometría para los antiguasegipcios. La inundación anual provocada por el desborda-miento del Nilo borraba el trazado de parcelas y lindes delas zonas de cultivo, recalcular estos márgenes cuando lasaguas se retiraban era considerado como el restableci-miento del orden y de la ley sobre la tierra y el nombre deese trabajo nos ha llegado a través de los griegos comoGeometría (= medida de la tierra)(1).


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Fig. 3

También disponemos de datos sobre actividad Matemática tanto en China, como en laAmérica precolombina y el subcontinente Hindú.

Así pues podemos afirmar que el origen de la Matemática se disuelve en el origen del resto delas actividades intelectuales humanas, arte, religión, filosofía etc. Forma parte pues del pro-ceso de la Hominización.

Sin embargo el desarrollo de la Matemática no se asemeja a un discurso plácido y continuo,muy al contrario ha sufrido altibajos y crisis. Al menos cuatro de estas crisis han tenido unaimportancia decisiva en su desarrollo:

1. 450 A.C.: descubrimiento de los segmentos inconmensurables (números irracionales)2. Siglo XVIII: Cálculo infinitesimal3. 1830: Geometría no Euclídea4. 1900: Inconsistencia de la teoría de conjuntos.

La 1ª y la 4ª hacen referencia a las bases mismas de la Matemática y podemos referirnos aellas como Crisis de Fundamentación. De la primera que sucede en Grecia vamos a ocupar-nos con más detalle.

PITÁGORAS

“Educad a los niños y no será necesario castigar al hombre”

Pitágoras de Samos

Antes del 670 A.C. Egipunto era un país cerrado,como recientemente lo han sido Japón y el Tibet.Tras abrirse sus fronteras uno de sus primeros visi-tantes fue Pitágoras (580-500 a.C.) natural de una delas islas del Dodecaneso, la isla de Samos ubicada alsureste de Grecia, en el mar Egeo, cercana a la costa deTurquía, y a la ciudad de Mileto, de hecho algunas his-torias presentan a Pitágoras como discipulo de Tales.Samos estaba gobernada en esa época por el tiranoPolícrates. Se cuenta que fue el desacuerdo con estasitución lo que le obligó a abandonar Samos y recorrermundo. Permaneció mas de 20 años en Egipunto retor-nando no sólo con los conocimientos matemáticosegipcios sino también las tradiciones mistericas egip-cias sobre Osiris el dios-hombre nacido de virgen mor-tal en el solsticio de invierno (entre 25 diciembre y 6de Enero) que moría, bajaba a los infiernos para final-


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mente triunfar sobre la muerte y resucitar, señalando así el camino de la salvación para el restode la humanidad. Esta tradición tomaría forma en Grecia en el dios Dionisios conduciendo alos misterios de Eleusis para quizás degenerar después en el Cristianismo.

Sea como fuere sus contemporáneos lo tenían por un sabio extravagante capaz de calmar losvientos y resucitar a los muertos. Se afirmaba que era hijo de Apolo(2). Jámblico en su Vida dePitágoras señala entre otros prodigios que era capaz de “apaciguar las olas de los ríos y losmares para que sus discípulos pudieran pasar por encima de ellas fácilmente”.

Fue contemporáneo de Buddha, Confucio, Mahavira(3), Lao-Zi, y Zoroastro. Estamos pues enuna época bastante fundacional.

No tenemos escritos de Pitágoras, bueno en realidad ni de Pitágoras ni de nadie, no nos hallegado ningún manuscrito original de ningún matemático griego de esa época. Al igual quelos egipcios utilizaban papiros que es un material frágil, pero de los egipcios algo nos ha lle-gado, y estamos en una época posterior en 1000 años a la redacción de sus papiros matemá-ticos. La diferencia la establece la persecución de la cultura pagana grecorromana y la quemasistemática de las bibliotecas a manos cristianas(4). Así pues sólo disponemos de referenciasparciales posteriores.

Fundó una especie de escuela filosófica en Crotona, población al sur de Italia, interesada ade-más del misticismo en temas de Matemáticas y de Astronomía, fueron los primeros en darsecuenta que el lucero del alba (Phosphorus) y el vespertino (Hesperus) eran la misma estrella,en realidad planeta, que llamaron Afrodita para posteriormente trasformase en nuestro Venus.Afirmaron también que la Tierra era esférica. Incluso se dice que acuñaron los términos deFilosofía (amor por la sabiduría) y Matemática (aquello que se aprende).

La escuela tenía connotaciones sectarias; los conocimientos no estaban disponibles para todoel mundo sino sólo a los iniciados que vivían en común bajo un estrecho código moral y deconducta (por ejemplo, eran estrictamente vegetarianos). Creían en la trasmigración de lasalmas (Metempsicosis)(5), y tenían la prohibición de publicar sus trabajos y reflexiones. Ademásde esta tradición puramente oral estaban también obligados a atribuir todos los conocimientosal jerarca de la escuela. La escuela-secta pitagórica no permaneció activa mas allá de un siglotras la muerte del fundador, aunque la influencia de sus ideas ha llegado hasta nuestros días.

No es fácil, desde una perspectiva moderna, hacerse una idea del elitismo de esta gentepuesto que junto con las características que hemos visto hay que señalar que, por ejemplo,entre sus miembros no tenían ningún problema en incluir mujeres, genero éste que no eraaceptado en ninguna otra escuela. Por no recordar las deleznables opiniones misóginas deAristóteles(6).

El teorema de Pitágoras:A pesar de que como ya hemos visto no le pertenece, el teorema de Pitágoras es el best seller delos teoremas matemáticos, por encima incluso del de Thales, contamos ya con más de 1000demostraciones. En palabras del autor de los libros de Alicia LEWIS CARROL, en A New Theoryof Parallels:

El teorema de Pitágoras que dice que “el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo esigual a la suma de los cuadrados de los catetos” sigue siendo tan bonito hoy día como lo eracuando lo descubrió Pitágoras por primera vez, celebrándolo, según se dice, mediante el sacrifi-cio de un centenar de bueyes —una hecatombe—, un método de honrar a la ciencia que siempre

me ha parecido ligeramente exagerado y poco adecuado. Uno se imagina a sí mismo, incluso enaquellos días degenerados, celebrando el momento de algún brillante descubrimiento científico,invitando a un buen amigo o dos a compartir una buena carne y una botella de vino. Pero, ¡unahecatombe de bueyes! Produciría tal cantidad de carne que no sabría qué hacer con ella.

La leyenda de la hecatombe que recoge Carrol esta en flagrante contradicción con las costumbresvegetarianas de los pitagóricos, no es esta la única, en otra parte he leído que tenían prohibidocomer judías, las judías no serían importadas de América hasta la época posterior a Colon, quizásalguien tradujo judías donde debía poner lentejas. De otra manera recuerda el chiste del indivi-duo que le pide al camarero un té sin limón a lo que éste le responde que tendrá que ser sin lechepuesto que no les queda limón.

c2 = a2 + b2 ó c = =a2 + b2

Demostración: (una de las más antiguas)

A partir de cuatro triángulos rectángulos iguales y girándolos90, 180 y 270 grados formamos el cuadrado de la figura delado a+b, obteniendo dentro otro cuadrado de lado c

Áreas:

cuadrado grande = (a + b)2

cada triángulo = como hay 4 = 2·a·b

cuadrado interno = c2

Con todo:

(a + b)2 = c2 + 2a·b

a2 + b2 + 2·a·b = c2 + 2·a·b

Simplificando: a2 + b2 = c2

Al parecer y debido a la influencia política que alcan-zaron, basada en ideas contrarias a la tendencias democráticas de su época; Se produjo unarevuelta popular contra ellos, siendo incendiadas sus casas y muriendo abrasados.

Por ejemplo afirmaban “No conviene revelar todo a todos”, “No pongas tu pie en la danza delpueblo”,” los hombres pueden ser catalogados en dos grupos. El primero es el de los filóso-fos. El otro es el del pueblo o masa dominada por los instintos”. Pero también decían “Nodebemos utilizar el mito para esconder la verdad y mantener así al pueblo ignorante vene-rando Sagradas leyes cuya interpretación desconocen. Es mejor instruir a los hombres en vezde engañarlos”.

No hay acuerdo sobre la muerte del propio Pitágoras, algunos sostienen que murió abrasadoen esta revuelta en Crotona, otros que huyó a Tarento también en el sur de la península Itálica,los más afirman que huyó a Metaponto siendo asesinado un año después en otra revueltapopular en esta última ciudad.


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a·b2

El primer avance importante de la Matemática en el camino hacia la abstracción que encon-tramos en Grecia, inicialmente en manos de Tales de Mileto, y mas tarde de los pitagóticos:es la instauración del método basado en la demostración. Hasta entonces toda la Matemáticaera puramente empírica. Sencillamente se inducen teoremas de los que se ofrecen ejemplospero no se va mas allá, de hecho algunos eran erróneos en general aunque funcionaban biencon ciertos valores particulares. Modernamente a esto los matemáticos lo llamarían conjetu-ras y no son elevadas a la categoría de teorema hasta que se encuentre una demostración desu validez bajo un cierto conjunto de especificaciones que también han de encontrarse.

Se añade así un nivel de abstracción por encima de la matemática instrumental anterior. Comoya hemos dicho este avance es anterior a Pitágoras aunque creemos que se debe a él, o mejor,a su escuela la aplicación sistemática de estos principios a la geometría dándole un carácteresencialmente deductivo basado en el encadenamiento lógico de sus proposiciones. Todo estoen esencia se ha conservado hasta nuestros días.

A pesar de estos avances la Geometría seguía siendo una ciencia experimental, es decir tras-teaban con triángulos, rectas y puntos reales tratando de obtener sus propiedades. Las demos-traciones al igual que las de hoy partían de unos supuestos básicos cuya verdad era evidentey no necesitaban ser demostrados (axiomas), y mediante las leyes de la lógica se manipulabanhasta llegar a la afirmación a demostrar (teorema).

Uno de estos axiomas autoevidentes afirmaba que dados dos segmentos cualesquiera; sonconmensurables. Es decir siempre se puede encontrar un tercer segmento mas pequeño quecabe un numero exacto de veces en ambos. Bueno, dicho así parece aceptable.

A = 4C B = 5C Esto implica que : = =

¿Se cumple esto siempre?.

Vamos a formularlo de modo general: Para cualquierpareja de segmentos (A y B) podemos encontrar unapareja de números (m y n) tales que:

=

Tomemos un cuadrado de lado unidad y veamos si sudiagonal (d) es conmensurable con su lado.


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4C5C

45

AB

mn

AB

= ðd =

supongamos que la fracción esta simplificada al máximo de modo que m y n son los meno-res números naturales que cumplen la condición de que su cociente es igual a d.

Por el teorema del maestro sabemos que: d = =12 + 12 = =2

Con todo, buscamos dos números naturales m y n tales que :

= =2 ’ m = n =2 ’ m2 = 2n2

Ahora vamos a examinar cada uno de los miembros de esta última ecuación:


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mn

mn

d1

mn

Primer miembro m2

El número m puede acabar en cualquier dígito0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Su cuadrado m2 ha de terminar en:

02 = 012 = 122 = 432 termina en 942 termina en 652 termina en 562 termina en 672 termina en 982 termina en 492 termina en 1

Resumiendo m2 ha de terminar en:

0,1,4,9,6,5,6,9,4,1

Eliminando duplicidades y ordenando, obte-nemos que el último dígito de m2 tiene que seruno de éstos:

0,1,4,5,6,9

Segundo miembro 2n2

Igualmente n puede acabar en cualquier dígito0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Su cuadrado n2 ha de terminar en:

02 = 012 = 122 = 432 termina en 942 termina en 652 termina en 562 termina en 672 termina en 982 termina en 492 termina en 1

Eliminando duplicidades y ordenando elúltimo dígito de n2:

0,1,4,5,6,9

y 2n2 termina en:

2x0 = 02x1 = 22x4 = 8 2x5 termina en 02x6 termina en 22x9 termina en 8

Eliminando duplicidades y ordenando de nue-vo, el último dígito de 2n2 tiene que ser uno deéstos:

0,2,8

Si ambos miembros son iguales deben tener idénticos todos sus dígitos, en particular elúltimo, y el único dígito común a ambos miembros es el cero. Pero si ambos, m y n, termi-nan en 0 es porque los dos son divisibles por 10 lo que contradice la hipótesis de partida.Esto se conoce como reducción al absurdo, hemos partido de unas condiciones (hipótesis) y

El axioma es por tanto falso y al fallar los cimientos todo el edificio de la geometría, laborio-samente construido, se viene abajo. Y lo que es peor el resultado es inexpresable, ellos pen-saban que todos los números eran de dos tipos: los que ahora llamamos naturales (1,2,3,....)

o bien los fraccionarios (1/2,7/8,.... formados por cocientesde naturales).

A los números recién encontrados les dieron el nombre dearrheton que significa: inexpresable como una razón, el tér-mino actual es irracional que significa lo mismo.

Hay una característica adicional de los números irraciona-les que los separan del resto, de los conocidos por los grie-gos, como hemos dicho ya los números naturales (repre-sentados por N) son N = 1,2,3,........, los racionales (repre-sentados por Q) obtenidos por el cociente de naturales son

de la forma: (m/n). Podemos decir que los racionales incluyen a los naturales como caso par-ticular cuando n = 1. No ocurre así con los irracionales (I) que forman un conjunto comple-tamente separado del resto de los números.

El resultado anterior se puede generalizar. Si n es un número natural y no es un cuadrado per-fecto (22 = 4, 32 = 9, 42 = 16, 52 = 25, 62 = 36, 72 = 49,....) raíz de n es irracional(7). Entoncesson también irracionales raiz de tres, de cinco, de siete etc(8).

Así pues no sólo el axioma es falso sino que hemos descubierto la existencia de un nuevo tipode número de características muy diferentes a los ya conocidos, de hecho estos nuevos núme-ros no pueden ser completamente conocidos, nadie sabe cuanto vale exactamente raíz de 2,hoy diríamos que tiene infinitos decimales, no periódicos(9) (=2 ≈ 1.414213562 .......), lospitagóricos no sabían esto pero si sabían que la geometría no podía medirlos. Señala la tradi-ción que cuando los pitagóricos encontraron esto lo mantuvieron en secreto, hasta que unmiembro de la hermandad Hipasos cometió el pecado de violar el secreto revelando esta terri-ble verdad, y fue ahogado por ello. Diógenes da una versión distinta atribuyendo el descubri-miento de la irracionalidad de dos al mismo Hipaso de Metaponto, motivo por el cual suscolegas lo arrojaron al mar.

Para los pitagóricos lo números lo eran todo: “Las cosas, todas las cosas, no son más que lasapariencias de los números”, nada se puede concebir o conocer sin éstos. Especialmentevenerados eran:

1 Nous. Punto sin dimensiones, generador de las otras dimensionesde Universo

2. Psiche. Dos puntos generan la recta de dimensión 1

3. Eidolon. Eidolon. Tres puntos generan el triangulo de dimensión 2

4. Soma Soma. Cuatro puntos generan el tetraedro de dimensión 3


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al desarrollarlas nos conducen a una contradicción, por tanto las condiciones de partida nopueden ser ciertas. En particular no hay dos números m y n cuyo cociente sea raíz de dos.

Pero raíz de dos existe, ya que tanto el rectángulo como su diagonal existen.

Acabamos de encontrar un objeto geométrico al que no podemos asignar un número (medida).

Sobre estos concepuntos edificaron toda una teología, El Nous (1) representaba la mente supe-rior intuitiva, la Psiche (2) el alma individual. Eidolon (3) era el cuerpo astral por último Soma(4) el cuerpo físico. El número especialmente venerado era el 10 = 1 + 2 + 3 + 4, llamadoNúmero Paradigma, suma de todos ellos “Fuente de todo lo Manifestado y principio de la

vida” lo representaban por su símbolo mas querido queresume lo que hemos expuesto, La Tetractys(10). Si estoscuatro números los ligamos con los cuatro elementosagua, tierra, fuego, aire podemos hacernos una idea delas alturas estratosfericas que alcanzaron las especula-ciones de numerólogos y gnósticos.

Otro éxito de las ideas pitagóricas fue su análisis de lamúsica, donde descubrieron que los diferentes tonosque se obtienen al pulsar una cuerda están relacionadoscon proporciones sencillas de las longitudes de lacuerda. Por ejemplo una cuerda cuya longitud es el

doble de otra produce un sonido una octava mas grave. Si las relacion es de 3 a 2 se obtieneun intervalo musical llamado un quinto. Parecía que nada en el universo estaba fuera delalcance de los números (naturales) y de sus proporciones (números racionales).

Uno de los discípulos de Pitágoras afirmaba “y, en verdad, todas las cosas que se conocenposeen número, pues ninguna cosa podría ser percibida ni conocida sin éste”.

Podemos imaginar la conmoción que supuso para gente que pensaba así la incapacidad paraasignar un número a algo tan simple sencillo y bien conocido como la diagonal de un cua-drado.

Platón concluiría: “No es digno de llamarse hombre aquél que desconoce el hecho de que ladiagonal de un cuadrado es inconmesurable con su lado”.

Otra cuestón importante puesta de manifiesto por las cantidades inconmensurables, de la quefueron plenamente conscientes los griegos, es la relación entre lo discreto y lo continuo.Formuladas por otro pitagórico al menos en sus comienzos, Zenón (480- ?) discípulo deParménides que propuso cuatro paradojas sobre el movimiento. La más famosa de las cualeses la de Aquiles y la tortuga, aunque ya la primera cuestiona el concepunto de continuo:señala la paradoja que el movimiento es imposible ya que para moverse de un punto a otroha de pasarse primero por el punto medio entre los dos, ahora bien para alcanzar éste puntomedio hemos de pasar primero por el punto medio entre el de partida y el primer punto medioy así indefinidamente. Obtenemos una sucesión infinita de puntos que no puede ser cubiertaen ningún tiempo finito.

Al fallar la relación entre los objetos y los números, se corta con los primeros, se renuncia todapretensión de aplicabilidad de los hallazgos matemáticos, es decir, se da un paso de tuercamás en la abstracción Matemática y se mantienen sus elementos más formalistas.

Desde ahora las verdades saldrán unas de otras, sin buscar conexiones con la realidad, postulandoun número mínimo de axiomas que deben de ser lo mas sencillos posibles, no vaya a repetirse lahistoria. Más claramente, si la realidad no satisface la teoría es la realidad la que esta equivocada.Este es un salto en el vacío que, entre las ciencias, sólo la Matemática puede darlo y lo da.


Félix Elejoste

Las demás ciencias tienen a menudo esta tentación: se dice que cuando comunicaron aEinstein el éxito de sus predicciones sobre la relatividad general comento: “en caso contrariolo habría sentido por el buen dios, la teoría es correcta” en boca de Einstein es una broma, losmatemáticos lo dicen en serio. La primera vez, que sepamos, lo hicieron en Grecia: al fallarla conexión entre realidad y teoría se desentendieron de esta última(11) y se quedaron con suteoría, consideraron todo objeto real como el pálido reflejo de una verdad mayor interior deobjetos ideales.

Pero después de todo ¿tan espantosos son los números irracionales?. Vamos a ver como algu-nos son la base de muchos de los cánones de belleza. Empecemos por el primero.

=2, el primer número irracional

Los griegos eran muy aficionados a problemas geométricos que debían resolverse únicamentecon una regla de borde recto y un compás:

1.- Dado el segmento AB trazar la perpendicular por un extremo:

1. Con centro en A se traza un arco de radio arbitrario,este corta al recta en el punto C

2. Con centro en C y con el mismo radio anterior setraza un segundo arco que corta al primero en D

3. Con centro en D un tercer arco con el mismo radioque corta al primero en E

4. Con centro en E un ultimo arco con el mismo radioque corta al anterior en F

La recta r que pasa por A y F es perpendicular al segmentoAB.

2.- A partir de la construcción anterior obtener un cuadrado de lado AB:

1. Con centro en A y radio AB se traza un arco que corta a larecta r en C, que es el tercer vértice del cuadrado

2. Con centro en C y radio CA se traza un arco

3. Con centro en B y radio BA se traza otro arco

4. La intersección de los dos arcos se produce en D que es elCuarto vértice

5. Unir C con D y D con B

Resolvamos un problema propuesto por Platón (427-347 a.C.).

3.- Dado el cuadrado ABCD hallar otro cuya área sea el doblede la del original:

1. Con centro en C y radio CD trazamos un arco

2. La prolongación de CB intersecta el arco en E

3. La prolongación de AC intersecta el arco en F


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El cuadrado ADFE tiene es el buscado. Su diagonal es 2AB.

Si suponemos que el primer cuadrado ere de lado unidad (AB = 1), su diagonal AD = =2 ,que es el lado del nuevo cuya diagonal es 2, la proporción lado/diagonal es:

=

El proceso es autogenerador y puede repetirse indefinidamente, tanto hacia rectángulos másgrandes, como más pequeños manteniendo siempre el mismo aspecto relativo a cualquierescala. Esta característica va a repetirse más adelante.

Las relaciones lado/digonal forman ahora la sucesión:

; ; ; ; ; ; ...........

Si tomamos sólo los numeradores:

1; =2; 2; 2=2; 4=2 ....... Forman una sucesión donde cada tér-mino es igual al anterior multiplicado por un factor constante, eneste caso =2. Esto se conoce como progresión geométrica, al factorconstante se le denomina razón de la progresión. Lo mismo ocurre con los denominadores, forman a su vez una pro-gresión geométrica con la misma razón pero difieren en el terminoinicial: los numeradores comienzan en 1 y los denominadores en=2.

Esta figura es una versión de laanterior pero hacia abajo, partimosahora del rectángulo mayor y lovamos subdividiendo. Las razonesy progresiones se mantienen.Manteniendo siempre el mismoaspecto relativo a cualquier escala.

Análisis geométrico del Partenón debido a Tons Brunés.Cada Uno de los cuadrados esta en proporción de 1:1.25con el mayor que lo contiene. Naturalmente las diagonalesestán en =2 : 1 con sus lados. Así pues todo el sistema sebasa en las proporciones =2 y 1.25. Más adelante veros unatercera proporción involucrada en el diseño del Partenón.

La relación =2 también se manifiesta en las proporciones de laabeja.


Félix Elejoste

1= 2

= 22

1= 2

22=2

44=2

= 22

2=24

4=28

=3 y La Vesica Piscis

Otro número irracional =3

Tomamos un cubo de arista unidad, el triangulo de la base ABCes rectángulo luego su diagonal es =2. Si ahora nos fijamos enel triangulo ACD, también es rectángulo, y cuyos catetosmiden 1 y =2. Aplicando el th. de Pitágoras:

hip = =12 + (=2)2 = =1 + 2 = =3

Tenemos que la diagonal del cubo vale raíz de tres, que es tam-bién irracional(12).

La Vesica Piscis

1. Trazar un círculo de radio arbitrario con centro en A.2. Con el mismo radio trazar otro círculo desde un punto B situado en la circunferencia

del círculo inicial.

La zona central se conoce como Vesica Piscis.Recuerda la forma de un pez y ha sido y esampliamente utilizado como símbolo cristiano.Los gnósticos le asignan una mayor antigüedadcomo símbolo pagano: los círculos representan elespíritu y la materia respectivamente y se unen enmatrimonio, cuando la circunferencia de unoalcanza el centro del otro y forman la Vesica Piscis.

Relación entre la Vesica Piscis y =3

Suponemos que AB = 1. Determinar laaltura de la Vesica Piscis CD.

Trazar 1. CD2. CA3. AD4. DB5. BC6. Prolongar CB hasta que corte al círculo

obteniendo E7. Prolongar CA hasta el círculo obteniendo F

El triángulo sombreado DEC es rectángulo su hipotenusa (EC) es un diámetro EC = 2, el catetoED es igual a AB = 1

Otra vez el th de Pitágoras: CD = =EC2 - ED2 = =22 - 1 = =3

La relación entre la anchura y altura de la Vesica Piscis es 1/ =3

Entonces tenemos que la Vesica Piscis es a raíz de tres lo que el cuadrado es a raíz de dos.


Belleza Irracional

El rectángulo =3

El rectángulo HIJK tiene el lado HI = AB y el otro ladoHK = CD. Sus proporciones son las mismas que laVesica que contiene: 1/ =3 . Además su área vale =3

Hexágono regular

1. Con centro en C y radio CB trazar un arco obtenemos E

2. Lo mismo concentro en D obtenemos G

3. Prolongar BA obtenemos F

4. Unir BCEFGD

Estrella de David, también Sello de Salomón, o Sello deVisnú

A partir del hexágono regular anterior, se unen los vérti-ces alternos:

1. ACE forma un triangulo equilátero.

2. BDF el otro triángulo equilátero.

Esta figura es conocida de antiguo tanto en la tradiciónoriental como occidental.

Para los antiguos hindúes, era elSello de Visnú que representala unión total y perfecta entre elespíritu y la materia, entre loactivo y lo pasivo, lo masculinoy lo femenino, lo celeste y loterrestre.

Aquí pueden construirse dos Tetractys, una invertida con respecto ala otra. Lo que ha provocado todo tipo de especulaciones gnósticas.

El Sriyantra

Construcción geométrica utilizada para la medita-ción en diversos lugares de la tradición tártricahindú. Hay referencia a ellos en escritos védicosdel siglo XII a.C. El problema matemático aquíconsiste en construir el sistema de triángulos cen-tral, y que se conoce como sello. Casi todos lossellos conocidos tienen la misma estructura consólo pequeñas modificaciones.


Félix Elejoste

Punto medio de un segmento (AB)

Antes de construir el sello del Sriyantra, necesitamos resolver otroproblema de construcción con regla y compás.

1. Con centro en A trazar un arco de radio AB2. Con centro en B y el mismo radio trazar otro arco

Ambos arcos se intersecan en dos puntos. C y D

Tazar el segmento CD.

3. El punto E donde intersectan CD y AB, es el punto Medio delsegmento AB

El Sriyantra

Armados con la solución anterior, y con el Hexágono regu-lar ya conocido.

1. Hallar H, punto medio del segmento AC

2. Hallar I, punto medio del segmento BD

3. Hallar J, punto medio del segmento CE

4. Hallar K, punto medio del segmento DF

5. Hallar L, punto medio del segmento EA

6. Hallar G, punto medio del segmento FB

7. GI, IK, KG, forman un triangulo equilátero.

8. HJ, JL, LH, forman otro triangulo equilátero.

Ya tenemos otra estrella de David dentro de la primera, y otra dentro de esta etc...

Ya debería sernos familiar este proceso autogenerador que puede repetirse indefinidamentetanto hacia estrellas mas grandes como mas pequeñas manteniendo siempre el mismo aspectorelativo a cualquier escala.

Una variación de lo anterior más sencilla sin necesidad dedeterminar puntos medios.

Una Vesica Piscis dentro de otra....

Los ejes mayor y menos de las sucesivas básicas, están en lasiguiente proporción:

1/ =3; =3 / 3; 3/ 3=3

Al igual que en la cons-trucción anterior con raíz de dos, tanto los denominado-res por un lado como los numeradores por otro formansendas progresiones geométricas de razón raíz de tres,empezando los numeradores por 1, y los denominadorespor raíz de tres.


Belleza Irracional

Cristo dentro de la Vesica

=5 y la proporción Áurea

“La Geometría tiene dos grandes tesoros uno es el teorema de Pitágoras, el otro es la divi-sión de un segmento en media y extrema razón”.

Johannes Kepler (1571-1630 d.C.)Sección Áurea y Razón Áurea

Queremos dividir el segmento AB en dos AC y CB, de modo tal que la longitud del segmentomenor (a) sea al segmento mayor (b) como éste al total (a+b):

el número: f = , se denomina razón Áurea,

número de oro. f ' 1,61803398875....

La sección Áurea se conoce también como: DivinaProportione.

En el vértice de la figura el ángulo interno mide137,5º y el externo 222,5º (360-137,5), si hallamos elcociente encontraremos 1,618181, próximo alnúmero áureo. EL ángulo 137,5º se conoce comoángulo áureo.

El número áureo no sólo es irracional sino que es el peor de ellos, en el sentido que es el quemás lejos queda de cualquier fracción que se le aproxime.

La razón Áurea tiene una serie de propiedades curiosas que llamaron la atención de los anti-guos:

• Multiplicarla por si misma equivale a sumarle la unidad f2 = 1 + f

• Si le restamos la unidad obtenemos su inverso = f -1 ó, si se quiere, su inverso tienela misma parte decimal.


Félix Elejoste

1f

1+=52

b = = = aba+b

ab

= ’ a · (a+b) = b2 ’ b2 - a·b - a2 = 01+=5

2a+=5·a

2a+=a2 + 4a2

2

Hacia 1202 Leonardo de Pisa, mas tarde conocido como Fibonacci (hijo de Bonaccio) ana-lizó un problema de cría de conejos.

• Partimos de un par de conejos.

• Cada pareja cría una vez por estación, cada camada se compone de 2 conejos.

• Cada pareja nueva necesita una estación para madurar.

• Los conejos son inmortales.

¿Cuántos pares de conejos habrá al cabo de un número dado de estaciones?

Podemos afirmar que:

• El total de este año es el número de pares maduros del próximo año, puesto que losmaduros de este año seguirán vivos, y los nacidos esta estación maduraran.

• El número de pares maduros de esta estación se convertirá en el de inmaduros de lasiguiente, puesto que cada par maduro genera un par inmaduro.

Estación Inmaduros Maduros Total

1 1 0 1

2 0 1 1

3 1 1 2

4 1 2 3

5 2 3 5

6 3 5 8

7 5 8 13

8 8 13 21

9 13 21 34

10 21 34 55

Resumiendo: El total de este año es la suma del total del último año y del anterior:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ......

La pregunta ahora es la tasa de crecimiento, cociente entre un año y el anterior:

1/1=1

2/1=2

3/2=1,5

5/3=1,6666

8/5=1,60

13/8=1,625

21/13=1,615

34/21=1,619

55/34=1,617

89/55=1,6181818


Belleza Irracional

Las razones sucesivas van acercándose a la razón Áurea f ' 1,61803398875..... Aunque estono es exacto como lo fue en los casos de raíz de dos y raíz de tres, la sucesión de Fibonaccise aproxima a una sucesión geométrica de razón f y cuyo primer término es:

Dividir AB en media y extrema razón

1. Trazar la recta r perpendicular a AB por el extremo B

2. Hallar C, punto Medio de AB

3. Con centro en B y radio BC, trazar un arco. Suintersección con r nos da D

4. Unir A con D

5. Con centro en D y radio DB trazar un arco. Laintersección con AB nos proporciona E

6. Con centro en A y radio AE trazar un último arco.La intersección de éste último con AB nos da F

AF es la sección Áurea de AB

Dado el segmento AB hallar el segmento AF cuya sección Áurea es AB

1. Trazar la recta r perpendicular a AB por el extremo B

2. Hallar C, punto medio de AB

3. Con centro en B y radio BC, trazar unarco su intersección con r nos da D

4. Unir A con D, nos da la recta “s”

5. Con centro en D y radio DB trazar unarco, la intersección con AB nos propor-ciona E

6. Con centro en A y radio AE trazar unúltimo arco, la intersección de ésteúltimo con AB nos da F

AF es el segmento cuya sección áurea es AB

La pirámide de Keops

Según Herodoto es a2 = b·c

Por otro lado el triángulo SHJ es rectángulo, luego es c2 = a2 + b2

Con todo:

luego el triángulo SHJ además de ser rectángulo, tiene su hipote-nusa y cateto en proporción áurea.


Félix Elejoste

1= 5

bc

cc + b

c2 = b·c + b2 ’ c·c = b(c + b) ’ =

Pentágono regular

Esta figura también era muy cara a los Pitagóricos, sólo des-pués de la Tetractys. Podemos ver que la estrella de cinco pun-tas esta en proporción Áurea con respecto al lado del pentá-gono regular. Si el lado del pentágono vale 1, entonces AB = f

Rectángulo áureo

Tomanos el segmento AB, don de AC, es su secciónÁurea. Si construimos el rectángulo ABEG, la relaciónentre sus dimensiones es precisamente la razón áurea.

Estos rectángulos están presentes en las tarjetas de cré-dito, algunos billetes bancarios, y en el DNI.

La espiral de Durero

Si el rectángulo áureo anterior lo dividimos en dos, uncuadrado de lado AC, y el otro un rectángulo de ladosCB y BE, resulta que éste último (CBEF) es a su vez unrectángulo áureo. Otra vez esta construcción puederepetirse indefinidamente.

Durero, en su libro sobre geometría práctica se apoyaen esto para construir la espiral que lleva su nombre.

Las hilanderas de Velázquez

Se aprecian tanto =2, como F

El Partenón

Hemos visto ya que algunos elementos del partenonestán en proporción =2, podemos observar ahora queotros están en proprción aúrea.


Belleza Irracional

Ejemplos del uso de proporciones áureas en objetos cotidianos

Los números metálicos

puede definirse como solución de la ecuación: x2 - x - 1 = 0 que podemos escribir:

x2 = 1 + x o mejor:

expresión(13) ésta última que apunta claramente hacia la recursión implícita en todas las cons-truciones.

Pueden inducirse una familia completa de números con propiedades similares a las de Fcomo soluciones a ecuaciones del tipo:

x2 - mx - 1 = 0

ó mejor donde m es un número natural.

Naturalmente para m = 1 tendríamos el número aureo, para m = 2 se denomina número deplata Fag, m = 3 sería de bronce Fbr

(14).

Todos ellos son límites de sucesiones de Fibonacci generalizadas:

Gn+2 = p·Gn + q·Gn+1 con p,q e N2 por ejemplo el numero de plata Fag procede de:

An+2 = 2An + An+1


Félix Elejoste

1x

x = 1 +

1x

x = m +

La silla fue diseñada en1946 por Charles y RayEames. Su anchura y alturaestán en proporción Áurea.

Dos ejemplos más:

En 1954, Fritz Eichlerdiseñó esta radio.

La jarra es de 1920 di-señada por el noruegoJohan Rohde.

Diseño de 1934 de unacafetera atendiendo a lasproporcione áureas.

Aunque el frasco de Chaneles de 1921 y ha sufrido 15actualizaciones desde en-tonces siempre ha mante-nido las proporciones áu-reas.

‚

‚

Conclusión

“De todo lo creado sólo, me interesa lo bello; de lo bello, las formas; de las formas, lasproporciones; de las proporciones, los números”

Agustin de Hipona

A lo largo de las historia, conscientemente o no,todas las culturas han seguido algún tipo depatrón en las proporciones de sus objetos másqueridos. Este uso de sistemas de proporcionesno siempre es evidente, sino que en sus mejoresexpresiones forma parte de la tramoya, oculta aprimera vista pero que contribuye a la sensaciónde belleza de los monumentos.

Los egipcios utilizaron masivamente la propor-ción 4:3, (1.3), basándose en el triángulo de docenudos, uno de los métodos más antiguos paralevantar paredes perpendiculares.

La terna 3, 4, 5, cierra un triángulo rectángulo (estas ternas se conocen como ternas pitagóri-cas). No se detuvieron aquí sino que en monumentos más complejos utilizaron proporcionesbasadas en números irracionales y en particular F.

Los griegos manejaron muchos más sistemas, tanto conjuntamente en el mismo monumentoscomo por separado añadiendo, varios ordenes de magnitud a la complejidad egipcia.

Los romanos utilizaron fundamentalmente proporciones basadas en =2.

Una proporción interesante usada más tardíamente es laSesquialtero o “medida cierta”, definida por san Agustincomo la relación entre un número natural y su siguiente, aun-que luego el uso consagró este nombre solamente para la rela-ción 3/2.

Notar que estas son las proporciones de los primeros miem-bros de la sucesión de Fibonacci cuyo límite es F.

El renacimiento retomó la afición griega por las proporciones, en particular por la áurea.Vitruvio primero, y Leonardo y Durero siguiéndole, buscaron relacionarlas con las medidasdel cuerpo humano.

El arquitecto suizo, Le Corbusier, aprincipios de este siglo, señaló queLa Revolución Francesa al instituircomo unidad de medida el metro,una abstracción, una unidad simbó-lica, había dislocado la Arquitecturapor su falta de relación con elcuerpo humano. Creó su Modulor apartir de subdivisiones de la medidafundamental que para él era el hom-bre con el brazo levantado, paracrear estas subdivisiones utilizó laproporcion áurea.


Belleza Irracional

˘

Resumiendo las proporciones mas utilizadas han sido: El cuadrado, la 4:3 egipcia, raíz de 2,raíz de 3, sesquialtero, y el número áureo.

¿Por qué unas proporciones son másbellas y equilibradas que otras?

En la lista anterior vemos que todas obien son irracionales o bien aproxima-ciones a ellas. Las irracionales salvoF, son todas de la forma =n, y com-parten una propiedad que puede arro-jar luz sobre su interés en la creaciónde monumentos. Los rectángulos deproporción 1/=n son todos rectángu-los dinámicos, es decir se pueden divi-dir en “n” rectángulos cada uno de loscuales mantiene la misma proporción1/=n.

En la figura esta representada =2.

Partimos de un cuadrado ABCD trazamos su diagonal BD y con centro en B y radio BD tra-zamos el arco el punto E se obtiene del corte de este arco con la prolongación de BF, el rec-tángulo ABEF está en proporción =2.

Dividimos ahora este rectángulo por la mitad mediante GH, ambas mitades mantienen la pro-porción =2, este proceso puede repetirse indefinidamente. De hecho esta construcción per-mite obtener los populares formatos DIN partiendo del inicial A0 de 841 x 1189 y subdivi-diéndolo obtenemos los sucesivos A1, A2, A3, A4...

En cuanto a F aunque no da lugar a un rectángulo dinámico, si que genera una estructuraautosemejante parecida donde cada rectángulo áureo es dividido en un cuadrado y un rec-tángulo que a su vez es áureo, construccion esta última que también puede repetirse indefi-nidamente.

Esta capacidad de recursión, de poder repetir un mismo procedimiento variando las condi-ciones iniciales, es la que permite generar estructuras complejas por acumulación de proce-dimientos sencillos. Por otro lado permite repetir sin cansar, si en una construcción todos loselementos son distintos se produce generalmente una sensación de caos, si, por el contrarioson todos iguales la sensación es tediosa ahora. Es por tanto posible que en las proporcionesque hemos estudiado se produzca el equilibrio entre cambio y éxtasis.

Por otro lado las proporciones basadas en números irracionales comparten muchas propieda-des con los fractales (autosimilitud a cualquier escala, bifurcación infinita, recursión etc). Delos fractales sabemos que están íntimamente relacionados con muchas formas y procesos dela naturaleza, quizás no sea descabellado pensar que los monumentos basados en proporcio-nes irracionales nos ponen en contacto con los ritmos íntimos de nuestra propia naturaleza.Hacia esto apuntaba la arquitectura cisterciense, muchas de cuyas abadías estaban concebi-das como resonadores acústicos que transformaban un coro humano en música celestial.Según el inspirador de esta arquitectura; San Bernardo de Claravall: “No debe haber decora-ción, sólo proporción”.


Félix Elejoste

NOTAS

1 El historiador griego Herodoto (485-425 a. C.) describe como el rey Sesostris: “ ... dividió la tierra entre todos los egipcios a finde dar a cada uno un cuadrángulo de igual tamaño, con la intención de cobrar de cada cual la respectiva renta por medio deun impuesto”.

2 Ésto también se dirá de Platón tras su muerte.

3 Fundador del Jainismo. Religión Hindú.

4 No sólo perseguía los escritos, en los disturbios que terminaron con la Biblioteca de Alejandría la Matemática Hipatia fue muertapor los exaltados monjes cristianos.

5 Estas creencias pueden estar relacionadas. Si crees que los muertos pueden reencarnarse en animales, no debe ser agradablecomerse por ejemplo un lechón, pensando que puede ser un pariente recién enterrado. por otro lado uno se pregunta qué tie-nen en contra de los vegetales: por qué no puede uno reencarnarse en un geranio y volver a florecer.

6 El Maestro de aquellos que saben.

7 Posteriormente Euclides dedicará el libro X de sus Elementos al análisis detallado de varias longitudes irracionales.

8 No todos los irracionales son raíz de un entero por ejemplo p no lo es.

9 No se producen repeticiones sistemáticas entre sus decimales.

10 El otro símbolo querido de los pitagóricos; el pentágono estrellado saldrá más adelante con la proporción áurea.

11 Por esta época Parménides (510-470 s.C.), del que se dice fué inicialmente un pitagórico, venía a decir que nuestros sentidosnos engañan, y las cosas que vemos no son reales y que lo real es lo que no vemos.

12 Para demostrarlo se puede proceder exactamente igual que como hicimos en el caso de raíz de dos.


Belleza Irracional

Pierre-Simon Laplace (1749-1827)

belleza irracional - euskadi.eus · el desarrollo que sigue se planteó como actividad...

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