XXXIII. Band I963 W. Schumann u. M. Soldini: Reehtfertigung einer linearen Approximation 109

Beitrag zur Rechtfertigung einer linearen Approximation zweiter Ordnung fiir die L6sung yon Einsenkungsproblemen

Von W. Schumann und M. Soldini

1. Einleitung. Die Berechnung der Durchbiegung und der Beanspruchung eines vertikal be- lasteten B a l k e n s auf n a c h g i e b i g e r U n t e r l a g e stellt ein wichtiges Problem des Ingenieur- wesens dar, weshalb schon zahlreiche Arbeiten dariiber erschienen sind (Abb. 1). Das Problem wird dadurch erschwert, dab die Unterlage in den praktischen Anwendungen oft einem kompli- zierten nicht-elastischen Stoffgesetz gehorcht, und dab attch nicht immer ihr Verhalten in grSBerer Tiefe bekannt ist. Wird die Unterlage zur Vereinfachung als e l a s t i s c h oder v i s k o e l a s t i s c h angenommen, so wird man zwar nicht in allen Fallen genau der Wirklichkeit gerecht; man hat aber den groBen u der L i n e a r i t a t der Theorie, den man wegen des Superpositionsgesetzes nicht so gerne aufgibt. Wir wollen deshalb im folgenden die Unterlage als elastisch (bzw. visko- elastisch) voraussetzen.

._z

Abb. 1

Das Problem der Durchbiegungsermittlung eines Balkens auf elastischer Unterlage ist ander- seits prinzipiell gelSst; denn man kann zeigen, dab es auf die LSsung einer s i n g u l a r e n I n t e g r o - d i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g hinauslauft 1. Die Ausf/ihrung der Rechnungen in konkreten Bela- stungsfallen ist zwar m6glich, aber relativ miihsam ~, weshalb sich die Frage nach verein- fachenden, hand!ichen Approximationen stellt. Schon friih hat IVinkler das elastische Kontinuum der Unterlage durch ein einfaches ,,Modell" ersetzt, dessert Stoffgesetz bekanntlich durch den Ansatz

p = k w (1)

beschriebeii wirdL Dabei bedeuten p den Druck des Balkens auf die Unterlage, w die vertikale Einsenkung und k eine Konstante, die sogenannte B e t t u n g s z i f f e r . Da dieses Gesetz die Ein- senkung nur yon dem direkt darfiber wirkenden Druck des Balkens, nicht aber yon seiner Nach- barschaft abhangig macht, so kann es sich hierbei nur um eine erste Approximation handeln.

Eine verbesserte Approximation (zweiter Ordnung) erhMt man auf folgende Weise. Wir be- trachten fiir den Augenblick nicht einen schmalen Balken, sondern einen unendlichen Platten- streifen der Breite l, der ebenfalls auf einer nachgiebigen Unterlage ruhen soil (Abb. 2). Die Be-

1 Siehe z.B.G. Raymondi, Atti Ist. Seienza Costr., Univ. Pisa, BIo. 60, 1958. 2 d. G. Lekkerkerker, Proc. Koninkl. Nederl. Akademie van Wetenschappen, Series B, 63, Amsterdam (1960)

S. 484. E. Winkler, Die Lehre yon der Elastizitat und Festigkeit, S. 182, Prag 1867.

l l 0 W. Schumann u. M. Soldini: Rechtfertigung einer linearen Approximation Ingenieur-Archiv

lastung sei in der Streifenrichtung gleichfSrmig, so dab also der Spezialfall des ebenen Form- /inderungszustandes vorliegt. Wir fiihren cartesische Koordinaten x, y, z horizontal quer, hori- zontal l~ings und vertikal zum Streifen ein. Da die Einsenkung an jeder Stelle v o n d e r gesamten Druckverteilung abh~ingt, so kSnnen wit uns umgekehrt eine Beziehung zwischen dem Bettungs- druck an einer best immten Stelle und der gesamten Einsenkungsverteilung denken. Man erh/ilt dann gegeniiber der Approximation (1) eine Verbesserung, wenn man nach Favre im Sinne einer Taylorentwicklung p(x) auch noch mit den Ableitungen yon w(x) verknfipft, wobei allerdings

Abb. 2

vorl~iufig Konvergenz vorausgesetzt ist 1. Auf diese Weise ergibt sich als Ap p r o x i m a t i o n z w e i t e r O r d n u n g der Ansatz

d2w p = a w - - ~ , (2)

in welchem a und/~ zwei neue (positive) Bettungsziffern bedeuten, und der Bettungsdruck also nicht nur yon der Einsenkung, sondern auch yon der Kri immung abh~ingt.

DaB dieser Ansatz, wie auch derjenige yon Winkler, bequem fiir die Anwendungen ist, ersieht man aus der unmittelbar daraus folgenden Differentialgleichung fiir die Dnrchbiegung des Platten- streifens in der x-Richtung, die bei gegebener Belastung q(x) und der Biegesteifigkeit D

D w .... - - f l w " + ~ w = q (3)

lautet. Diese Gleichung wurde iibrigens auch schon yon lVieghardt auf anderem Wege gefunden 2. Sic enth/ilt nur gew6hnliche Ableitungen und konstante Koeffizienten und kann daher in jedem konkreten Fall leicht integriert werden. Fiir den Ansatz (1) muB in ihr einfach ~ dutch k und dureh 0 ersetzt werden. Bevor nun aber eine Ubertragung auf das analoge Problem des Balkens gemacht und zu den Anwendungen wie bei Het6nyi 8 iibergegangen werden kann, sollten folgende ]~emerkungen beachtet werden:

1) Was die Giiltigkeit der Approximation (2) - - und fibrigens aueh (1) - - anbetrifft, so kann man leieht sehen~ dab in gewissen F/illen Widerspriiehe entstehen4; es miissen also Einschr~in- kungen aufgestellt werden. Betrachtet man etwa den Spezialfall des an seiner gesamten Oberfl~iche gleichfSrmig belasteten (l = cxD) unendlichen Halbraumes~ so ist leieht ersichtlich~ dab eine un- endliche vertikale Verschiebung dieser Oberfl/iche entsteht, wenn die Poissonsche Zahlv ver- schieden yon 0,5 ist; es wiirde daraus also a z 0 folgen. Da ferner die Einsenkung sogar bei einer Streifenlast der endlichen Breite 1 ebenfalls unendlich wird, wahrend die Kriimmung endlich bleibt ~, so w/ire auch hier a = 0. Die Approximation kann also, wenn der Haupt te rm a w fiber-

1 H. Favre, Comptes rendus des sfiances de l'Acad, des sciences Paris, 251 (1960) S. 2653. 2 K. Wieghardt, Z. angew. Math. Mech. 2, (1922) H. 3 S. 165.

M. Het6nyi, Beams on Elastic FOundation, Oxford 1946. 4 C. Raymondi, Atti Ist. Scienza Costr., Univ. Pisa, ~qo. 82, 1961. 5 S. Timoshenko and I. 2V. Goodier, Theory of Elasticity, S. 96, New York, 1951.

XXXlII. B,.d 1963 W. Schumann u. M. Soldini: Rechtfertigung einer linearen Approximation 111

baupt vorkommen soll, bei homogener Unterlage nur ffir einen B oden e n d l i c h e r T i e f e richtig sein, der auf einem starren Massiv ruht. Die endliche Tiefe kommt nebenbei bemerkt auch schon in dem auf etwas andere Art aufgestellten Ansatz yon Reissner vor, der ebenfalls zwei Bettungs- ziffern aufweist 1. Die erste Hauptaufgabe dieser Arbeit i s t die geeignete Bestimmung tier Bet- tungsziffern a und .B ffir gegebene elastische Konstanten und gegebene Bodentiefe H. Dabei wird sich eine untere Schranke ffir das Verh/iltnis # = 1/2 H ergeben, damit die Approximation noch mit guter N/iherung erffillt ist. l~eben der elastizittitstheoretischen Begrfindung werden wit auch noch einen Vergleich mit experimentellen Resultaten geben.

Die fiber die gesamte Oberfl/iche verteilte gleichfSrmige Last liefert bei v = 0,5 und endlicher Tiefe wegen der Inkompressibilitiit keine vertikale Verschiebung, so dab dann a ~ co ware. Diesen ausgearteten Fall sollen wit daher im folgenden ausschlieBen.

2) Bei der Integration der Differentialgleichung (3) miissen an den Kanten des Plattenstreifens je zwei Randbedingungen berficksichtigt werden, die auch als i3bergangsbedingungen zwischen der inneren, belasteten und der iiuBeren, unbelasteten Bodenfliiche interpretiert werden kfinnen. Neben der Stetigkeit der Einsenkung fordert man z. B. bei einem freien Ende das Verschwinden des Biegemomentes bzw. das u der Krfimmung. Man darf also nicht auch noch eine Forderung ffir die Tangente stellen und erhalt daher im allgemeine~ eine U n s t e t i g k e i t der ersten Ableitung der Einsenkung. Diese Unstetigkeit liefert im Rahmen der Approximation zweiter Ordnung an den P l a t t e n k a n t e n z u s / i t z l i c h e k o n z e n t r i e r t e K r l i f t e K je Langeneinheit, d.h. Linienlasten ~, 8; denn der Ansatz (2) gibt ffir

1 l

K = l i m f pdx~--lim f ( ~ w - - / 7 ~ " ) d x = - - / ~ [ ( ~ ' ) ~ - ( ~ ' ) , ] (4) ~=0 I s = 0 l x ~ + 0 x = T - - 0

einen endlichen Wert an einer Sprungstelle. Nach der unter 1) gegebenen Bemerkung gilt die Theorie zwar nicht fiir konzentrierte Krafte, da deren Lastausdehnung unendlich klein gegenfiber der Tiefe wiire. Wenn solche Kriifte aber zusammen mit verteilten Lasten wirken und im Ver- gleich zur totalen Last nicht zu groB sind, so erhalt man doch eine zul~ssige Approximation, wie wit in der zwelten Hauptaufgabe zeigen werden.

3) Bei der Aufstellung der Approximation (2), die man als e i n d i m e n s i o n a l bezeichnen kann, da nur eine unabh/ingige Ver/inderliche vorkommt, haben wir uns auf den Spezialfall des ebenen Form/inderungszustandes beschrankt. Im allgemeinen Fall muB aber auch noch eine Abh~ngigkeit yon der Kriimmung in der y-Richtung vorkommen. Man kann dann mit der Einsenkungsfunktion w = w ( x , y ) wegen der vorausgesetzten Isotropie des Bodens die beztiglich x und y gleichartige z w e i d i m e n s i o n a l e A p p r o x i m a t i o n

" _ (5) p(x, y) = ~ ~ ,~ ~ a~ + ~y~/

ansetzen ~. Dieser Ansatz daft ffir die Berechnung der Durchbiegung yon beliebigen Platten auf nachgiebiger elastischer Unterlage verwendet werden. An Stelle der gewShnlichen Differential- gleichung (3) tr i t t jetzt die partielle Gleichung

D A A w -- [3 A w ~- a w -~ q(x, y) , (6)

wo 3 --~ ~2/~x2 ~ ~2/~y2 der Laplacesche Operator bedeutet 5. Im Fall eines s c h m a l e n Balkens der Breite b und der L/inge l (Abb. 1), der etwa parallel zur x-Achse liegt, interessiert uns aber in erster Linie nut die Einsenkung direkt unter seiner Achse, und man mSchte gerne diese Einsenkung dutch eil~en eindimensionalen Ansatz wie (2) bescbrieben haben, weil alsdann n u t g e w 6 h n l i c h e s t a t t p a r t i e l l e A b l e i t u n g e n vorkommen. Die dritte Hauptaufgabe wird darin bestehen, eine m o d i f i z i e r t e e i n d i m e n s i o n a l e Approximation zweiter Ordnung

/ ~w \

\ ax 2/y=o (7)

E. Reissner, J. Applied Mech. 25 (1958) S. 144. 2 K. Wieghardt, a. a. O. 8 W. Schumann et M. Soldini, Comptes rendus des s~ances de l'Acad, des sciences Paris, 255 (1962) S. 1853. 4 H. Favre, Cornptes rendus des s~ances de l'Acad, des sciences Paris, 252 (1961) S. 2988.

Siehe auch E. Reissner, a.a.O.

112 W. Schumann u. M. Soldini: l~echtfertigung einer linearen Approximation Ingenieur-Archlv

aufzustellen, wobei p~ den Druck pro Liingeneinheit des Balkens auf die (dreidimensionale) Unter- lage bedentet und die neuen Bettungsziffern a*,/3" wegen des Lateraleinflusses verschiedert yon a,/~ sind. Wir werden zeigen, wie sich a*,15" bei gegebenem Verhiiltnis yon Balkeubreite b zu Bodentiefe H a u s den alten Konstanten a, /~ berechneu lassen. Anschaulich anBert sich der LateraleinfluB iu zusiitzlicheu Linienlasten entlang der beiden L~ingsseiten des Balkens, da die Ableitung der Einsenkung naeh y uach der unter 2) gemachten Bemerkung am Rand eineu Sprung erf~hrt. An Stelle der partielleu Differentialgleichung (6) erhiilt man jetzt mit (~w/~x2)y=o = w"

folgende gewShnliche Differentialgleichuug ffir eineu Balken auf elastischer Unterlage (E der Elastizitiitsmodul des Balkens, J das Triigheitsmoment und qb die gegebene Last je Langen- einheit) :

E J w .. . . - 15" w " + ~ * w = qb(x) . (8)

Da diese Gleichung leicht zu integrieren ist, so scheint sic uns fiir die Auweadungen yon Bedeutung zn sein. Das Hauptziel der Arbeit ist eiu u znr Rechtfertigung yon (8).

Die in all diesen Bemerkungen formulierten Forderungeu bedeuten dabei fiir die praktischen Anwendungeu keine wesentliche Einschrtiukung wie sp/iter noch genaner ersichtlich sein wird.

4) Will man dieselben Uberleguuge~ fiir ein lineares v i s k o e l a s t i s c h e s Material ausffihren, so h/itte man etwa an Stelle yon (2) die Approximation

p = a(D) w -- 15(0) w" (9)

auzusetzeu, w o a nnd 15 rationale Funktionen in D bedeuten und D der Operator ~/~t der zeit- lichen Ableitung darstellt 1, 3. Dies eutspricht einem viskoelastischen Stoffgesetz fiir einen K6rper, den man sich in bekannter Weise durck elne Kombination yon Federn und 01dfimpfern aufgebaut deukeu kann.

Die theoretisehen nnd experimentellen Untersnehungen, deren Resultate bier beschrieben werden, shad am Photoelastischen Laboratorium der EidgenSssischen Teehnischen Itochsehule in Ziirich ansgefiihrt worden. Die Verfasser danken dem Leiter dieses Laboratorinms, Herrn Prof. Dr. H. Favre fiir seine zahlreichen Ratsehl~ge und Hinweise.

2. Die Bestimmung der Einsenkung~ der Kriimmung and der Bettungsziffern im Fall des ebenen Form~inderungszustandes mit ttilfe der klassisehen Elastizit~itstheorie. Zur theoretischen Ermittlung der Bettungsziffern a und fl in Funktion der Bodentiefe H und der elastischen Konstanten beim ebenen Form/indernngszustand [entspreehende der Bemerkung 1) in der Einleitung] muB znerst das prinzipiell schon gelSste Problem der ebenen Verformung einer dutch zwei parallele Ebenen begrenzten, anf einem starren Massiv ruhenden Schicht passend dargestellt werden. Fiir die Dis- kussiou des Ansatzes (2) geniigt es, wenn wit uns an Stelle des yore Platteustreifen auf die Unter- lage wirkenden uubekannten Druckes eine b e l i e b i g e , g e g e b e n e Last p(x) denkeu, welche direkt auf dem Streifen - - I/2 ~ x ~ 1/2 dieser Uuterlage wirkt. Damit liegt aber nur eine Aufgabe mit sogenannten u n w e s e n t l i c h g e m i s c h t e n l~andbedingungen vor, die mit elementaren Mitteln gelSst werdeu kann; denn auf dem gesamten oberen Rand sind die Spannungen, auf dem untereu dagegen iiberall die Verschiebungen gegeben. Der LSsungsgang entspricht etwa den Untersuchungen yon Blot in eiuer verwandten Fragestellung und sei hier nut kurz skizziert 3.

Die Airysche Spannungsfunktion F(x, z) erfiillt die partielle Differentialgleichung ~ / I F = 0 und kann hier zweckmiiBig ia der Form eiaes Fourierscheu Integrals

F ( x , z ) = ~ ( A e ' ~ 2 4 7 B e n z e ' ~ § C e - ~ 2 4 7 Dooze-~176 (10) - - ( X )

angeschrieben werden, woraus sich sofort die vertikale Einseukuug w an der oberen Randebene ableiten laBt. Sie lautet

CO

W(X, z)l~=0 -- 1 -{- v f E O) [ C - - A § ( 1 - - 2v) (B § D)] e z ~ ~do), (11)

- - O O

wo E der Elastizit/itsmodul und v die Poissonsche Zahl des Bodens bedeuten. Die Bestimmung tier vier Funktionen A(r B(og), C(co) und D(~o) erfolgt aus den zwei Randbedingungen fiir die

1 E. Reissner, a. a. O. 2 K. S. Pister and M. L. Williams, Engg. Mech. Div. 86(1960) S. 31ff. a M . _4. Blot, J. Applied Mech. 4 (1937) S. A-1.

xxxIII. Band 1963 W. Schumann u. M. Soldini: Rechtfertigung einer linearen Approximation 113

Normalspannung a~ und die Schubspannung %~ am oberen Rand, sowie den zwei Bedingungen der verschwindenden Verschiebungen u und w am unteren Rand

1 - - p , fiir Ix! ~ y

0, fiir Ix[ > ~-

T=,t==0 = 0 ,

wobei fiir die gegebene Last p(x) die Fouriertransformierte 1

T

eingesetzt werden mug. Einfiihrung der d i m e n s i o n s l o s e n g a r i a b e l n

! ul,-=z = 0 , [

/ wb=z = 0,

(12)

if l

2

Naeh Aufl6sung des entspreehenden linearen Gleiehungssystems und

X ~ = ~ , ),=ooH

erh/tlt man ffir die Einsenkung die Darstellung

[(3_4v) ShZZ_Z~]p(~)ei~ ~ w(~)-- 2 ( 1 - - v 2)

d~. (13) ]

-co o 4v) Ch2~ + y + ~- + 2).2]) I E [(3 -- - - ..... 1 - .... (3 ~ 4v) ~ - -

Zur Best immung der Bettungsziffern kSnnten wir nun den Ansatz (2) der Approximat ion ebenfalls dureh ein Fourierintegral ansehreiben und einen entspreehenden u der Kerne anstellen. Fiir diesen Yersueh sei (2) zuniichst in die Form

E (~o w -- ~o ~) 04)

gebracht, wo der Punk t Ableitung nach ~ bedeutet und neue dimensionslose Bettungsziffern

~o = ~ a , 8o = (15)

eingefiihrt wurden. Die Fouriertransformation liefert dann aus (14)

= rV ~- (~o § ~ ) , P (14')

wo W die Transformierte yon w bezeichnet. Die Rticktransformation gibt nns also die Formel

P e ~

,~,(~) = ~1 j ! So T ~7s d~. (16) - - o o

Nehmen wir nun zuerst an, dab nut die niederen , ,Frequenzen" 2 im , ,Spekt rum" PO,/H) eine Rolle spielen, und probieren wir eine Reihenentwicklung des , ,Diimpfungsfaktors" im Kern des In tegranden yon (13) wie folgt:

2 ( 1 - v 2 ) [ ( 3 - 4 v ) S h 2 " ~ - 2 , ~ ] 1 [ 1 (3 4v)2 2[ ~-~ X - v v(X-- 4v) (17) (3 -- 4v) Ch2 2 + - ~ - [ 2 + 2 ) . X (l_2v)(l+v)+3(l_.~v)2-(]-+v))3+(...)),~

Der Vergleich mit (16) liefert uns dann die beiden Bettungsziffern

1 -- v v (1 -- 4v) (18) a ~ ( 1 - - 2 v ) ( l + v ) ' /~o= 3 ( 1 - - 2 v ) z ( l + v ) "

114 W. Schumann u. M. Soldini: Rechtfertigung einer linearen Approximation Ingenieur-Archiv

Der Ausdruck yon ao kSnnte fibrigens auch direkt am Spezialfall der fiber die ganze Bodenflache gleichfSrmig verteil ten Last abgeleitet werden. Obwohl diese Bettungsziffern allgemein erscheinen, so ist ihre Verwendung bei naherer Betrachtung der Konvergenz der Reihenentwicklung in (17) doch starken Einschrankungen unterworfen. FaBt man den reziproken , ,Dampfungsfaktor" (17) als analytische Funkt ion der komplexen Variabeln2 auf, so ergibt sich der Konvergenzradius r dutch Aufsuchen der Singularitaten (das sind die Nullstellen des , ,Dampfungsfaktors" selbst) in der komplexen Ebene. Dieser Radius hangt yon der Poissonschen Zahl ab; und zwar gibt die numerische Auswertung folgenden Zusammenhang:

v 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

r 1,14 1,08 1,00 0,88 0,68 0

Ffir kleine v und s e h r g l a t t e Lastverteflungen m~igen also die Formeln (18) richtig sein. Ffir v > 0,25 erhalt man hingegen keine passenden Werte ffir/~0, da diese Konstante dann im Wider- spruch mit einer lokalen ~ber legung yon Favre 1 negativ ausfallen wfirde. Aul3erdem ware, ent- gegen der Erwartung, a0 in allea Fallen gleich der Bettungsziffer der Approximat ion von Winkler.

Wir versuchen daher je tz t am Fall der g l e i c h f ( i r m i g e n s y m m e t r i s c h e n Last endlicher Lange l, wo p zwei Sprungstellen an den Enden aufweist, und groBe 2 eine Rolle spielen, auf andere Art und Weise a0, a0 zu gewinnen und wollen dabei gleichzeitig eine quant i ta t ive Abschatzung geben.

3. Die Ermittlung der giinstigen Bettungsziffern und die Abseh~itzung der Genauigkeit der Appro- ximation im Fall der gleichf6rmigen Last endlieher L~inge. Wir bet rachten nun also den Spezialfall der gleichfiirmigen Last p = P0 auf dem Streifen - - I/2 ~ x ~ 1/2. Mit dem die Lastausdehnung charakterisierenden Paramete r

1 ~ t - - 2 H

wird dana die Formel (13) ffir die Einsenkung

w(~, #) - - 2 Po (1 - v 2) H f [(3 -- 4 v) Sh 2 2 -- 2 2] [sin 2 (~t q- ~) § sin 2 (~ -- ~)] d2 (19)

0

Dieses Integral kann bei gegebenen # und ~ auf verschiedene Art und Weise numerisch aufgeliist werden. Ffir das folgende ist es zweckm~Big, mfiglichst lange mit geschlossenen Ausdriicken zu operieren. Da sich der , ,Dampfungsfaktor" im In tegranden yon (19) ffir sehr kleine 2 wie (1 - - 2v)/2 (1 - - v) 2 X and ffir sehr groBe ,~ wie 1/~ 2 verhiilt, so k/innen etwa fiir 0 < v < 0,33 die bis auf wenige Prozente genaue Naherungen

4v) C h 2 ) _ ] _ l q _ ( 3 2 4 v ) 2 }_2)~21~ ~ ' 3 (3 -

1 - 2v .ffir 0 < 2 ~ 1 , ] 2 (1 -- v) ~ 2 ' /

" ) / ( l _ v ) ~ ] 4 X - - y 3 ( l _ v ) 2 , f i i r l N ; t ~ 3 ,

1 fiir 3 ~ 2 ~ o o , J

(20)

angesetzt werden. In den sparer zu besprechenden Exper imenten betrug v = 0,324. 51ach diesem Ersatz kann die Integrat ion durch die e lementaren Transzendenten 2

oo

s i ~ = - Z - d e , Ci ~ = - - @

0

ausgedrfickt werden, und man erhalt mi t der Abkfirzung ~ = ~2/(1 - - v)2 ffir die Einsenkang

1 H. Favre, a.a.O. Jahnke-Emde, Tafeln hSherer Funktionen, S. 3, Leipzig 1960.

XXXIII. Band 1963 Wo Schumann u. M. Soldini: Reehtfertigung einer linearen Approximation 115

2 -- -- ~ [ S i ( # + ~ ) - ~ - S i ( # - - ~ ) ]

@ ( 7 3@ [Si 3 ( # - 4 - 8 ) + SiS (# -- ~)]

4 [sin 3 (,u @ ~) ~- sin 3 (# -- 8)]

-- 4 (# @ ~) Ci3 (#-f- ~) -- 4 ( # - - ~) Ci 3 ( # - - ~)t' (21)

wShrend die Kriimmung den Weft

~2w(~,#) po(1--v2)H { ( 1 ) [ s in(#+~) s i n ( # ~ ) ]

os3(# ,, @ 2 -- z (/~ + ~)~ ~- (~ _ ~)a (22)

annimmt. Eine Bestimmung der Bettungsziffern aus diesen Ausdriicken zusammen mit dem Ansatz (14) ergibt nun an StelIe der Abh~ngigkeit yon der ,,Frequenz" wie vorher eine solche yon # und ~, d.h. yon der L a s t a u s d e h n u n g und vom E i n s e n k u n g s o r t . ~an kann nun aber ge- wisse Forderungen aufstellen, welche die Festlegung dieser Konstanten weitgehend unabhangig yon/z und ~ ermtiglichen. Wit fordern etwa, dab die Approximation (14) fiir die L as t v e r t e i l u n g p zwar nicht iiberalI, also nicht mehr im Sinn einer gleichm~iBigen Approximation gilt, wohl aber in einem mSglichst grogen Bereich yon # und 8 eine gute N / ihe rung der g e g e b e n e n L a s t P0 im Innern !~1 ~ # gibt (w~ihrend sie augen bei I~l > # vernachl~ssigbar klein sein soll), wenn man ri iekw~irts in (14) die elastizit~itstheoretisehe LSsung einsetzt. Wir w~hlen diesen Weg der Ab- seh~itzung gegeniiber p und nieht gegeniiber w, weil in den Anwendungen im Fall des Balkens auf naehgiebiger Unterlage p die tleaktion des Bodens darstellt, die mit der vierten Ableitung yon w verkniipft ist. Diese vierte Ableitung reagiert tats~iehlieh gegeniiber den niedrigeren Derivierten auf Fehler am empfindliehsten.

Um diese AbsehStzung zu gewinnen, bemerken wit zuerst, dai3 die Ausdriieke (21) und (22) nicht direkt yon # und }, sondern nur yon/z @ 8 und # -- $ abh/ingen. Die Approximation (14) erscheint somit (wegen der Symmetric) als g e r a d e Funktion in ~ in der Form

wof(~) die u n g e r a d e Funktion

4 + ~- sin

_ _ ( i - - v 2) o[-I 1,

P = P0 [ f (# @ 8) @ f ( # -- ~)], (23)

cos3

3 ~ - - 4 ~ C i 3 ~ ]

(1)co 3 co (24)

darstellt. Wir wahlen jetzt eine h S c h s t zu la s s ige r e l a t i v e A b w e i c h u n g r > 0 der Approxi- mation gegeniiber der gegebenen Lastverteilung P0 im Innern und gegeniiber Null auBen, fiir einen die Singularit~t ~ = 0 in (24) ausschlieBenden Bereich der Argumente # ~- ~ und ft -- ~. Es soll also

etwa im Bereich

P - - 1 = rf (ft + ~) @ f (lz -- ~) -- l[ < I

!p i ~ = l f ( # + $) -t- f ( # -- 8)l < ~,

{ l~ + a [ _< o~

~enn 181 < ~ , [

/ wenn r$1 > f t , (25)

(261

116 W. Schumann u. M. Soldini: Rechtfertigung einer linearen Approximation Ingenieur-Arclfiv

erfiillt sein. Natiil'lich ist es mSglich, dab bei zu klein gewiihltem/z~ gar keine zulassigen Bettungs- ziffern gefunden werden k6nnen. Im Sinne einer optimalen Ausnfitzung suchen wir daher aul3er- dem noch das M i n i m u m der Schranke #~, ffir welches es gerade noch ein Paar Bettungsziffern a0",/~0 gibt, mit denen die Ungleichungen (25) fiir die Argumente im gesamten Bereich (26) richtig sind.

Wir nehmen jetzt ffir den Augenblick an, wir h/itten dieses E x t r e m a l p r o b l e m gelSst, und rechtfertigen zuerst auf anschauliche Weise die Einffihrung des Bereiches (26). Ersetzt man n~im- lich in (26) $ durch -- $, so vertauschen sich die beiden Ungleichungen und sic sind daher iiquivalent mit #~ ~ ]# • I~[[ ~ cx3. Hierbei ist das negative Zeichen allein ma6gebeud und es ergeben sich daher die beiden Ungleichungen

,u, + ~ ~ I~l ~.~ cx~, } (26') I~I - ~ - ~,

wobei die zweite nur vorkommt, wenn/z~ ~ #. Man ersieht nun aus Abb. 3, dab durch den Bereich (26), bzw. (26') zwei U m g e b u n g e n der L a s t s p r u n g s t e l l e n ~ = • # ausgeschlossen werden.

,P/P~

[ I t.-t ....

"" II ....... ~oz///

' i i

Abb. 3. Ann~iherung der gegebenen glelchf5rmigen Lastp0 endlieher Ausdetmung l dutch Anwendung I. der Approximation zweiter Ordnung, II. der Approximation erster Ordnung auf die theoretisch bestlmmte Einsenkung

and III. durch Anwendung cler Approximation zweiter Ordnung auf die experimentell gefundene :Einsenkung.

Ist/~ < / ~ , d.h. die gegebene Lastl/inge l = 2 # H kleiner als die k r i t i s c h e Las t l / i nge l~= 2/z~H, so iiberlappen sich diese Umgebungen und es gibt keine Punkte unter der Last, in denen die Appro- ximation giiltig ist. Ist dagegen # >/z~, d.h. l > l~, so gibt es ein Gebiet im Innern, wo die Approxi- mation richtig ist, und zwar wird dieses Gebiet um so gr6Ber, je gr6Ber/~ gegenfiber/~ gewahlt wird, w/ihrend das zul~issige Gebiet auch yon auBen nahe an I~] = # heranriickt.

3~achdem wit damit die durch die elastizit~tstheoretische L6sung aufgedriingte Einfiihrung des Bereiches (26) auch praktisch gerechtfertigt haben, kehren wit zum Extremalproblem zuriick. Wir befreien uns zun~chst yon der Yariabeln $, damit nut noch eine Betrachtnng fiber # angestellt werden muB. Die erste Ungleichung (25) gilt im Fall u >/z~ notwendigerweise auch im Ursprung ~ : O, d.h.

f(#) -- 2 < ~2" (27)

Wir behaupten aber, dab umgekehrt (27) auch genf igend ffir das Zutreffen der b e i d e n Unglei- chungen (25) ist, sofern sic ffir alle/~ im Bereich

/~ < ~ < ~ " (28)

gefordert wird. Ersetzt man n/imlich/z zuerst dutch/z q- ~ bzw./~ -- ~ (wenn ]~1 < u) und nachher durch # ~- [~t bzw. [~[ - - /z (wenn I~[ > #) und beachtet man, dab f eine ungerade Funktion ist, so erha!t man

f (# ~ } d- ~) - - 1 ] < 2 ' (29) weun 1~[ < / z ,

f (# 1 e - ~ ) - < y ,

XXXII I . Band 1963 W. Schumann u. M. Soldini: Rechtfertigung einer linearen Approximation 117

f ( # q- I~1) - - < ~ , wenn I~1 > / z , (30)

f ( # 1 6 - I~l) + < ~ ,

Mit Hilfe der ,,Dreiecksnngleichung" [c] q- ldt ~> Ic § d[, die ffir beliebige Zahlen c und d gilt, gewinnt man abet aus (29) die erste Ungleichung (25) und aus (30) die zweite Ungleichung (25), was zu beweisen war. Wit diirfen uns also jetzt auf den Ursprung beschr~inken.

Im weiteren verfolgen wir einen zwar wenig elegantert, abet elnfachen Weg des Probierens. Wit wiihlen zwei beliebige Werte/zl,/z2 und fordern zur Festlegung der Bettungsziffern die (Jber- einstimmung yon Approximation (14) urtd gegebener Last P0 fiir diese Werte. Dies liefert die beiden linearen Gleichungen

Po H ~0 w ( ~ ) - / ~ 0 / ~ ( ~ ) - E ' (31)

P0 H ~o w ( ~ ) - - ~o ~( ,u~) - - E ,

aus denen sich ~o und ~o bestimmen lassen. Die dazugeh~rende Approximation ist natfirlich nur je in einer Umgebung von #I und #2 giihig. Wit k6nnen aber durch Probieren aus der beziiglich /z 1,/z 2 zweiparametrigen Schar dieje~ige Approximation linden, bei der sich die beiden Umgebungen beriihren und zusammen einen mSglichst groBen Bereich/z~ < / f i < #2 < o~ iiberdecken, woraus sich/z~ ergibt. Geometrisch ausgedriickt sucht man aus einer zweiparametrigert Schar eine Kurve P/Po = 2f(#) , die auf einem miiglichst langen Streifen der Breite 2 s in der ~Niihe der Horizontalen P/Po = 1 bleibt (Abb. 4).

o;5

e=$O$S ~ Off

"" I -- -- -- ~ gg63

t S /

/ t

i

t ' ! i I r t I I I [ /2= ~/2H

Abb. 4. Approximation der gegebenen Last im Nullponkt ~ = 0 durch Anwendung I. der Approximation zweltcr Ordnung, II . der Approximation erster Ordnung auf die theoretisch bestimmte Einsenkung.

Ffihrt mart die Rechnungen z.B. fiir v = 0,324 und ~ = 0,06 aus, so erh~ilt man die Werte

/z~ : 0,1, % = 1,398, /~o : 0,0535,

und die in Abb. 4 lest eingezeichnete Kurve I ffir p/po. Die analoge Rechnung fiir die erste Approxi- mation (Wi~Tkler) liefert # ~ -~ 0,4 und die dimensionslose Bcttungsziffcr k HIE : 1,495, w~ihrend die punktierte Kurve I I in Abb. 4 die dazugehtirende Verteilung yon P[Po wiedergibt. Die beiden

118 W. Schumann u. M. Soldini: Rechtfertigung einer linearen Approximation Ingenie~-Archiv

Kurven zeigen, dab die Approximation zweiter Ordnung kleinere Lastl~ingen zulfil3t, d.h. einen grfBeren Anwendungsbereich besitzt, als die Approximation erster Ordnung.

Abb. 3 gibt die entsprechende Darstellung yon P/Po in Fanktion von ~ bei fest gew~ihltem (zu- l~issigem) # -~ 0,5. Da die elastizit~itstheoretische LClsung bei den Lastsprungstellen eine vertikale Tangente in der Einsenkungskurve gibt, wie aus (21) leicht zu ersehen ist, so erf/ihrt die nach der zwciten Approximation rfickw~irts berechnete Lastverteilung I eine S ingu la r i t~ i t an diesen Stellen. Diese Sprungstellen sind also - - jedenfalls zu einem Tell -- die Ursache fiir das Versagen der Approximation in ihren Umgebungen. In Abb. 3 finder man auch noch das Resultat yon sp/iter zu besprechenden Experimenten in Form der gestrichelten Kurve I I I . Diese Kurve zeigt wohl eine Abweichung in der Umgebung der Sprungstelle, besitzt aber keine Singularit~it. Wit schliegen daraus, dab die Belastung im Experiment an diesen Stellen jedenfalls keine ausgeprfigte Unstetig- keit enthalten hat. Tats~ichlich zeigt die Abb. 5 an Hand der entsprechenden Einsenkungskurven, dab sowohl die zweite Approximation wie auch die MeBresultate bei ~ = ~: 0,5 einen ausgegliche- nen Obergang liefern. Die Abb. 3 und 5 best/itigen analog zu Abb. 4, dab die zweite Appro- ximation (I) auf einem gr~Beren Bereich yon ~ als die erste Approximation (II) eine gute Nahe- rung der Theorie nnd der Messungen (III) gibt.

Abb. 5. Einsenkungsverteilung bei gleichs Last L nach der Approximation zweiter Ordnung,

I I . nach tier Approximation erster Ordnung, I I I . auf Grund yon Versuchen und IV. nactx der ElastizitKtstheorie.

Abb. 6

Obwohl alle Resultate am Spezialfall der gleichffrmigen Last abgeleitet wurden, gelten ~ihnliche Oberlegungen auch fiir etwas allgemeinere Lastverteilungen, da diese in gleichfSrmige Lasten zerlegt werden ki~nnen, wie z.B. in Abb. 6. Man fordert etwa, dab dann die kiirzeste Teillastl~inge #r~r noch grSf~er als die kritische Lastl/inge sein soll.

4. Die Approximation zweiter Ordnung fiir konzentrierte Kr/ifte (je L~ingeneinheit) d.h. Linien- lasten. Im vorigen Abschnitt haben wir gesehen, daf3 fiir den Ansatz (2) zur Bereehnung yon Ein- senkungsproblemen tats~ichlieh Bettungsziffern ,x und fi gefunden werden k6nnen, so dab die Appro- ximation mit einer gewiinschten Genauigkeit die Wirklichkeit in gewissen Bereichen wiedergibt. Neben der Voraussetzung einer endlichen Bodentiefe betraf dabei die Haupteinschr/inkung das Verh/iltnis der Lastausdehnung zur Bodentiefe, welches oberhalb eines kritischen Wertes liegen muB. Da wir abet anderseits schon in der Einleitung darauf hingewiesen haben, dab bei der An- wendung auf Probleme der Durchbiegung yon Platten und Balken anf nachgiebiger Unterlage auch k o n z e n t r i e r t e K r / i f t e K (je L/ingeneinheit), d.h. Linienlasten an den R~indern vorkommen, so stellt sich die Frage, wie die Approximation in diesen Ffillen zu beurteilen ist.

Wit k6nnen eine solche (etwa in der y-Richtung gleichf6rmige) Kraft K als G r e n z f a l l einer groBen verteilten Last k 0 = K / I auf einem sehr schmalen Strcifen der Breite t-(in der y-Richtung) auffassen und erhalten daher mi t /7 = 7/2 H i m Grenzwert die Approximation

XXXIII. Band 1963 W. Schumann u. M. Soldini: Rechtfertigmag einer linearen Approximation 119

k 1 = lira k o [ f ( ~ + ~) + f ( f i -- ~)]

K ,. f ( ~ - l - f i ) - - f ( ~ - - f i ) K , = ~- J im = H- f (~). (32) 2~

#--+0

Wahrend die konzentrierte K r a f t als eine Last aufgefaBt werden kann, die iiberall Null ist nfit Aus- nahme bei ~ = 0, wo sie einen unendlich grol3en Wer t ann immt (Diracsche Funktion), liefert die Approximat ion (32) eine um ~ ~- 0 herum abklingende Verteilung.

Wit w/ihlen je tz t analog zu Abschnit t 3 eine hfichst zul/issige Abweichung e > 0, so dab fiir die g e r a d e Funkt ion f '

If'(~)[ < -~ - (33)

in einem gewissen Bereich /~ ~< l~l ~ cx~ (34)

gilt. Dabei ist ~ die minimale Distanz vom Ursprung, yon wo an k I unter den Y-ten Tell yon K / H abgeklungen ist. Der Zweck dieser t3berlegungen wird nun aber erst an folgendem Beispiel deutlich, wo zwei konzentrierte Kraf te zusammen mit einer vertei l ten Last auftreten, wie es bei einem Plat tenstreifen auf nachgiebiger Unterlage vo rkommt [vgl. die Bemerkung 2) in der Einleitung.]

Die Bodenfl/iche werde also etwa sowohl durch eine auf dem Streifen - - I/2 <~ x <~ I/2 wirkende (der Einfachheit halber gleichfSrmig angenommene) Last P0 als auch durch zwei Linienlasten K bei x = :~ 1/2 beansprucht. Wir denken uns wiederum wie vorher die Einsenkungsvertei lung mit der Elastizitatstheorie berechnet und bes t immen daraus riickwarts mit der zweiten Approximat ion die dazugehSrende Lastvertei lung p, um ihre Abweichung yon den gegebenen Lasten P0 und K ab- sch~itzen zu k6nnen. Sie betr~gt auf Grund yon (23) und (32)

P P0 [ f ( # + $) ~ - f ( # $)] ~_ K [f ,(# + ~) , , . = - - T f (# -- ~)] (35)

Fiir die erste eckige K lammer in (35) gilt natiirlich immer noch die Abschatzung (25) im Bereich (26) bzw. (26'), w~hrend die zweite eckige K lammer die Ungleichung

I If'(# d- ~:) -~ f ' ( # -- ~)i < ~ ~J~I ~ } t - / z ~ , (36)

befriedigt, die analog zu friiher mit Hilfe der I)reiecksungleiehung aus den beiden aus (33) folgenden Abschatzungen

! f ' (# d- ~)[ < ~ - , [ /z~ ~ [/z q- ~[,

l (37)

hergeleitet werden kann. Dami t ergibt sich sehlieBlich, unter nochmaliger Verwendung der Drei- ecksungleichung,

a) im Innern ffir ]sel ~ # - - m a x (bt~, bG):

P - - 1 _ ~ [ f ( l z d - ~ ) q - f ( # - - ~ ) - - l l d - - - K - K H poKH ' (38)

b) im Xul3ern fiir I~[ > ~ + max (/z~,/z~):

P0 K _ _ _ P ~ l f ( # ~ - ~ ) + f ( # - ~ ) l + p ~ ] f ' ( # + ~ ) ~ - f ' ( # - $ ) i < e + ~ K (39) -- Po H '

Wir erhahen somit folgendes 1Resnltat. Sind s und ~ so gew~ihlt, dab #~ und #~ nicht wesentlich verschieden voneinander ausfallen, so gibt die Approximat ion zweiter Ordnung eine Genauigkeit derselben Ordnung m i t o d e r o h n e k o n z e n t r i e r t e K r a f t e , wenn g K i p o H v o n derselben GrSBen- ordnung wie e ist.

Da die Ableitung yon f (#) starker schwankt a l s f (#) selbst, so muB g im allgemeinen wesentlich gr6Ber als s gewahlt werden. In diesem Fall sollte also die konzentrierte Kraf t K wesentlich kleiner als Po H sein. Fiir v = 0,324 und e = 0,36 findet man / z ; = 0,17, wie durch Einzeichnen der Tan- gente t der Neigung 0,36 an der Kurve 2 f (# ) in Abb. 4 abgelesen werden kann. Anderseits zeigten Rechnungen am Beispiel des starren Plat tenstreifens auf nachgiebiger Unterlage, daf~ bei ~u = 0,5,

120 W. Schumann u. M. Soldini: Rechtfertigung einer linearen Approximation Ingenieur-Archiv

d.h. l : H, die Randkr~ifte K = 0,14 P0 H betragen. Man e rMh also ~ Kip o H = 0,05 und somit, da e : 0,06 ist, einen zul~issigen Fall. Tats~ichlich zeigt hier Abb. 7 eine relativ gute l~bereinstim- mung der zweiten Approximation (Kurve I) mit den Resuhaten aus einem ebenfalls noch nachher zu beschreibenden u w~ihrend die erste Approximation (II) wiederum st~irkere Abweichungen gibt.

\ \ =~,0

Dd i

i J [//4 /

0,5 z\ - - - --~:r- - - - - o - - - ~ ~ - - ~ 0,e ~ !

Abb. 7. Einsenkungsverteilung helm starren Plattenstreifen

I, nach der Approximation zweiter Ordnung, II. nach der Approximation erster Ordnung und I IL auf Grund yon u

5. Kleine Lastausdehnungen. Die vorigen Betrachtungen zeigten, dab die Approximation bei sehr kleinen Lastausdehnungen fi ~ / ~ unmittelbar unter der Last nnd in ihrer Umgebung nicht anehr richtig ist. Wit wollen jetzt abet doch wegen der Anwendung auf schmale Balken versuchen, d4ese Stellen der Approximation zuganglich zu machen, wobei wir zwar kleine, abet nicht beliebig kleine Lastausdehnungen betrachten. Zu diesem Zweck probieren wir den Bereich (26) mehr nach dem Nullpunkt hin zu verschieben. Fiihren wir neben einer unteren Schranke #~ etwa noch eine ebenfalls zu bestimmende o b e r e S c h r a n k e #0 ein, so w~iren also neue Werte yon s 0,/3 o so zu suchen, dab die Ungleichungen (25) in dem neuen Bereich

) (40)

richtig sind, wo #~ < #~ zu erwarten ist. Befindet sich die gegebene Lastl/inge zwischen den beiden Schranken l~, l ~ der oberen und der unteren kritischen Lastl/inge, d.h. ist #~ ~/~ _< #~,0 so gibt die Umschreibung yon (40)

+ ~ < [~[ < ~o _ ~ , ~ (403 I~l < # - ~ . /

Es wird also jetzt abgesehen yon den beiden Umgebungen der Lastsprungstellen auch noch eine Umgebung im Unendlichen ausgeschlossen. Is t die gegebene Lastl~inge einerseits w e s e n t l i c h grfiBer als die u n t e r e k r i t i s c h e L a s t l / i n g e und anderseits w e s e n t l i c h k l e i n e r als die o b e r e k r i t i s c h e Las t l~ inge , so sind erstens wie vorher die auszuschlieBenden Umgebungen der Lastsprungstellen klein und zweitens die auszuschlieBenden Umgebungen des Unendlichen ge- niigend welt yon dem uns interessierenden Einsenkungsgebiet entfernt. Diese Situation setzt aber voraus, dab die beiden Schranken selbst geniigend auseinander liegen. Wie praktische Berechnungen zeigen, riicken diese Schranken einander um so n~iher, je kleiner sic sind; daher daft die gegebene Lastlange nicht beliebig klein gew~ihh werden.

6. Die zweidimensionale Approximation und der Lateraleinflufl bei einem Balken auf nachgiebiger Unterlage. Die Herleitung der Berechnung dcr Bettungsziffern c~, /3 geschah im Fall des ebencn Form~nderungszustandes fiir den eindimensionalcn Ansatz (2). Dieselben Konstanten slnd auch im allgemeinen fiir die zweidimensionale Approximation (5) verwendbar, da diese ja in obigem Spezialfall in (2) iibergeht.

XXXIII. Band 1963 W. Schumann u. M. Soldini: Rechtfertigung einer linearen Approximation 121

Entsprechend der unter 3) in der Einleitung gegebenen Bemerkung wollen wir jetzt aber nicht direkt den Ansatz (5) beniitzen, sondern aus ihm die m o d i f i z i e r t e e i n d i m e n s i o n a l e Approxi- mation (7) herleiten, welche ffir Einsenkungsprobleme eines schmalen Balkens auf dreidimensionaler Unterlage niitzlich ist. Zu diesem Zweck betrachten wit wiederum analog zu friiher an Stelle des vom Balken auf die Unterlage wirkenden unbekannten Druckes eine gegebene verteilte Last p die hier auf dem schmalen Streifen der Lfinge l und der kleinen Breite b auf -- I/2 ~ x _< I/2, - -b/2 ~ y ~ b/2 wirkt. Wir haben friiher gesehen, dab beim ebenen Formfinderungszustand a und fl nur in einem gewissen Bereich #~ ~ # ~< cx~ des Verh~ltnisses yon Lastausdehnung zur, Bodentiefe definierbar sind. Wit wollen im Augenblick diese strenge Forderung p r o v i s o r i s c h auch fiir die Lateralrichtung y aufrecht erhalten, so dab also#~ ~ttb gcx~, wopt b = b/2 H. Bei kleiner Streifenbreite b bedeutet dies natiirlich die Bedingung einer gegeniiber l kleinen Bodentiefe, was nachher im Interesse der Anwendungen entsprechend der Ausfiihrungen yon Abschnitt 5 verbessert werden muB (siehe Abschnitt 7). Da die Theorie sp/iter fiir schmale Balken auf nachgiebiger Unterlage verwendet werden soll, so wollen wir uns ffir das Folgende die Last p fiber ein idealisiertes System yon starren Pl/ittchen der Breite b und der (kleinen) L~nge 1 auf den Boden fibertragen denken. Dadurch entstehen als Reaktionen vom Boden auf jedes Plfittchen erstens die verteilte Last ~ und zweitens wegen der Unstetigkeit der Tangenten in der y-Richtung an den Lateralr/indern je zwei konzentrierte Kr/ifte pro L~ngeneinheit vom Weft

~v (41) Kb = -- fi ~y y= b ' 2

wo v(x,y) die Einsenkung an einer beliebigen Stelle auBerhalb des Streifens bedeutet. Eine Gleich- gewichtsbedingung liefert uns an jedem Pl~ttchen ffir die S t r e i f e n l a s t pro L ~ n g e n e i n h e i t Pb

P b = - - P b = ~ b q - 2 K ~ . (42)

Anderseits wird fiir die Last/6 und die Einsenkung w des Streifens die Approximation zweiter Ordnung

[ ~2w- ' ~2w \ d2w (43)

da wegen der Starrheit der P1/ittchen w nur yon x abhangt. Wit erhahen also folgendes Gesetz fiir die Streifenlast :

av (44) Pb = a b w - - f i b w " - - 2fi ~ j y = ~

wodurch eine gewShnliche Differentialgleichung ffir w(x) gewonnen ist, in welcher die laterale Neigung des Bodens auBerhalb des Streifens auftritt. Zur Bestimmung des letzten Terms muB zuerst die partielle Differentialgleichung

v -- fi zJv -= 0 (45)

gelSst werden, welche die Einsenkung des Bodens auBerhalb des Streifens beschreibt. Zu diesem Zweck iiben wir auf v(x,y) eine Fouriertransformation

v ( ~ , y) = ~ - ~(x, y) ~ - ~ ~ ~ dx (46) - - o o

aus, womit aus (45) die gew6hnliehe Differentialgleiehung

fi d2V -- (~q-f io2) V = 0 (47)

fiir die Spektralfunktion V(og, y) entsteht. Da Vly=~ -~ 0 ist und V I ~ = W die Fouriertransfor- y = y

marion der Einsenkung w im Innern gibt, so lautet ihre L6sung z. B. fiiry > 0

. / a ~ f b _ y ) v ( ~ , y ) = w(~o) eV~ + ~ [~ , (48)

mithin wird die Einsenkung auBerhalb des Streifens

? v(x, y ) = W(co) e ~ + i ~ dx . (49) + eo~ ( b -- y)

-- oo

122 W. Schumann u. M. Soldini: Rechtfertigung eiuer linearen Approximation Ingenieur-Archiv

W(co) wird nun durch den Zusammenhang des JkuBern mit dem Innern des Streifens bestimmt. Ist Pb(co) die Fourier transformier te der gegebenen Last, so erhiilt man aus der Gleichung (44) zusammen mit (48) die ,,Spektralfunktion ~

Vb(~) (50)

oder mit (15) dimensionslos geschrieben

W = Pb , (51) t~0 Z~t

2 a0 1(1 § ~0 Z')~tb § V ~ VX § ~- ~ ] E

wo wiederum Z ~ ~ H gesetzt ist. Damit ist die LSsung des Einsenkungsproblems zwar formal gefunden; wit wollen abet nicht diese Darstellung, sondern vielmehr die modifizierte Approxima- tion (7), die wiederum zweckmiiBig mit neuen dimensionslosen Bettungsziffern

~,~ = n ~,*/E b, ~* = ~*/E n b

in der zu (14) analogen Form E b

Pb = ~ - (a~ w - - / ~ /b) (52)

geschrieben werden kann. Die neuen Konstanten a~' u n d / ~ ermitteln wir, analog zu Abschnitt 2, durch einen Vergleich mit der obigen L(isung fiir w(x). Zu diesem Zweck iiben wir auch hier eine Fourier t rans format ion auf alle vorkommenden Funktionen aus und erhalten so aus (52) mit b / H = 2/,tb

W = Pb (53) 2/~b a* (1-]-fl*~2)E"

Die Ausdriicke (51) und (53) haben zwar nicht die gleiche Form, wir kSnnen aber bei den n i e d r i g e n , , F r e q u e n z e n " , die ja bei relativ ,,glatten" Verteilungen den Hauptanteil ausmachen, die Wurzel

in (51) in eine Reihe entwiekeln. Die Reihe konvergiert flirt. < ~-o~ 5,11, also besser als bei der analogen Betraehtung in Absehnitt 2. Dies liefert uns

W,~ , Pb , (54)

ao b § j

so dab der Vergleich mit (53) die modifizierten Konstanten

1 t /N] /3~'----/3 o 1+2~t bV %/

gibt.

7. Die Approximation zweiter Ordnung bei kleiner Streifenbreite gegeniiber der Tiefe. Im vorigen Abschnitt haben wir geschen, dab eine Streifenlast mit der eindimensionalen modifizierten Appro- ximation behandelt werden kann, wobei allerdings eine Einschr~nkung ffir das Verhfiltnis der Streifenbreite zur Tiefe in Kauf genommen werden mugte.. Jetut werden wit diese Einschr/inkung durch Verwendung einer anisotropen Approximation zweiter Ordnung abschw/ichen.

Es sei also jetzt fib kleiner als ~t~, aber nicht beliebig klein. Dann sollten wir fiir die Lateral- richtung andere Konstanten a,/~ als fiir die Longitudinalrichtung w~ihlen. Wir probieren daher fiir die zweidimensionale Approximation zweiter Ordnung folgenden a ni s o t r o pen Ansatz fiir e in be- liebiges w(x, y) : �9

_/~ a2w :4 a'w (56) p~ - aw t-~Sx 2 - ~ y ~ y ~ �9

Die Bestimmung der drei Konstanten kann an sich dutch verschiedene Forderungen geschehen. Es scheint abet zweckmiiBig zu sein, diese Forderungeir so zu formulieren, dab der Ansatz auch im Fall des ebenen Form~nderungszustandes richtig bleibt. In den drei Spezialfifllen 1. der fiberall gleich-

XXXlii. Band 1963 W. Schumann u. M. Soldini: Rechtfertigung einer linearen Approximation 123

fSrmig belasteten Oberfl/iche, 2. des in Richtung y unendlichen Streifens der Breite I und 3. des in l~ichtung x unendlichen Streifens der Breite bmit gleichffrmig verteilter Belastung wird die Appro- ximation (56) sukzessive

d 2 w 2

I p~ = ~ w~ - / J ~ ~ , (57)

- __/5 dZwa Pa = a w a y dy z .

Die erste Gleichung (57) liefert also ~ --~ a, w/ihrend wegen # > / ~ aus der zweiten fi~ = /5 folgt. In der dritten Gleichung setzen wir fly =/56 und verstehen darunter eine yon b, aber nicht yon l abhiingige Konstante, die m i t a zu dem betreffenden ebenen Form~inderungszustand gehbrt. Sic kfnnte aus der elastizit/itstheoretischen LSsung des ebenen Formiinderungszustandes bei gegebenen /z~ und a nach einem iihnlichen Verfahren, wie das in den Abschnitten 3 und 5 beschriebene, gefunden v~erden.

Nunmehr kSnnen wit die in Abschnitt 6 aufgestelhe modifizierte Approximation zweiter Ord- nung entsprechend ab/indern. Hierzu mtissen wir einfach im Ausdruck (41) ffir die ]aterale konzen- trierte Kraft K b die Konstante/5 durch/sb ersetzen. Im fibrigen bleiben sich alle Rechnungen gleich, so dab wit einfach an Stelle der Ausdrficke (55) fiir die modifizierten Konstanten folgendes linden:

a* = % 1 +/-~ ~ = 30 (1 + ~ . (58)

8. Beschreibung tier Experimente. An zwei verschiedenen Stellen dieser Arbeit wurden die der Theorie entnommenen numerischen Resultate mit MeBwerten verglichen. Die betreffenden Expe- rimente mSgen nachtr/iglich hier beschrieben sein. Die Versuche wurden an Modellen aus A r a l d i t B bei Verwendung der in der Spannungsoptik unter dem Namen Erstarrungsverfahren bekannten M[ethode zur Fixierung der Deformationen ausgefiihrt. Bei diesem Verfahren wird bekanntlich das Kunststoffmodell bei erhShter Temperatur im weichen Zustand belastet und unter Beibehaltung der Last langsam abgekiihlt, wodurch die Formanderungen ,,eingefroren" werden. Wir haben diese Methode deshalb gew/ihlt, well erstens wegen der bleibenden Verformungen nach Wegnahme der Lasten auch an den Lastangriffsstellen die Einsenkung einwandfrei gemessen wcrden kann und zweitens im weichen gummielastischen Bereich verh~tltnismiiBig grolle Verschiebungen entstehen, die leicht mit einer PriizisionsmeBuhr bestimmt werden kSnnen. Hierbei wurde die Uhr lest mon- tiert und das Modell auf einer ebenen Fl~iche unter ihr durchgezogen, womit sich die gesamte Ein- senkungskurve ergab. Der Modellkunststoff Araldit B, der yon der Firma Ciba A.G. hergestellt wird, hat sich dabei ffir diese Versuche sehr gut bew/ihrt.

Da es sich bei den beiden Problemen um einen ebenen Formiinderungszustand handelte, haben wir die Versuche der Einfachheit halber nicht an einem dreidimensionalen Modell, sondern an einer dfinnen Scheibe ausgeffihrt, wodurch ein ebener Spannungszustand bestlmmt worden ist. Bekannt- lich entsprechen aber die Resuhate eines solchen ebenen Spannungszustandes denen eines ebenen Form~inderungszustandes, sofern die P o i s s o n s c h e Zahl ~ durch v = ~/(1 q- ~) ersetzt und ffir w(~:, #) ein Faktor 1 -- v 2 dazu geffigt wird. Da beim Erstarrungsverfahren mit Araldit ~ = 0,48 betr/igt, so entspricht dieser Versuch daher einem ebenen Form~inderungszustand mit v --~ 0,324.

Die Modelle hatten eine L/inge yon 36,4 cm, eine Tiefe yon 8 bzw. 9,1 cm und eine Dicke yon 2,7 cm. Die gleichmaBige Verteilung der Last (Abb. 5) wurde durch eine Aufteilung einer konzen- trierten Kraft fiber ein Hebelsystem bewirkt, wobei noch lokale Unregelmiif~igkeiten mit Hilfe eines zwischen Modell und Last eingelegten Aralditstreifens ausgeglichen wurden. Beim zweiten Versuch (Abb. 7) mit einem starren Balken durfte diese Last nicht zu grog sein, damit keine plastische Ver- formung an den 1R~indern entstand.

Die Theorie des Lateraleinflusses konnten wit mit dem Erstarrungsverfahren nicht verifizieren, da ja im dreidimensionalen Fall nicht ~, sondern v = 0,48 betragt. Dieser Weft liegt zu nahe am kritischen Wert 0,5.

.(Eingegangen am 15. M/irz 1963)

Anschrift der Verfasser : Professor Dr. IV. Schumann und Dipl.-Bauingeniem" M. Soldini, Ziirich, Eidgen5ssische Technische Hochschule, Chaire de M@anique (Prof. Favre).

9*