BT NG THC SCHUR V PHNG PHP I BIN P,Q,R

*LI M U:Nh cc bn bit,bt ng thc Schur l mt bt ng thc mnh v c nhiu ng dng,tuy nhin n vn cn kh xa l vi nhiu bn hc sinh THCS cng nh THPT.Qua bi vit ny,ti mun cng cp thm cho cc bn mt k thut s dng tt BDT Schur, l kt hp vi phng php i bin .Trc ht ti xin nhc li v bt ng thc Schur v phng php i bin .I-BT NG THC SCHUR:Vi cc s thc dng a,b,c v bt k ta lun c

Hai trng hp quen thuc c s dng nhiu l k=1 v k=2:

II-PHNG PHP I BIN P,Q,R:i vi mt s bi bt ng thc thun nht i xng c cc bin khng m th ta c th i bin li nh sau:t Ta c mt s ng thc sau:.

t Khi

C th thy ngay li ch ca phng php ny l mi rng buc gia cc bin p,q,r m cc bin a,b,c ban u khng c nh:

Nhng kt qu trn y chc chn l cha ,cc bn c th pht trin thm nhiu ng thc,bt ng thc lin h gia 3 bin p,q,r.V iu quan trng m ti mun ni n l t bt ng thc v ,ta c:(t )(t )Tuy nhin trong mt s trng hp th c th cc i lng c th nhn gi tr m ln gi tr dng nn ta thng s dng.

C l n y cc bn hiu c phn no v bt ng thc Schur v phng php i bin p,q,r.Sau y l mt s v d minh ha,nhng trc ht,cc bn hy tp lm th ri xem p n sau:III-V D MINH HA3.1:Bt ng thc Schur:V d 1:V Thnh Vn:Cho a,b,c l cc s thc khng m.Chng minh rng:

Li gii:t

p dng BDT Holder,ta c:

Ta cn chng minh:

(ng theo BDT Schur)Vy ta c pcm.V d 2:APMO 2004:Cho 3 s thc dng .Chng minh rng:

Li gii 1:Khai trin bt ng thc trn,ta cn chng minh:

Ta c:

(theo BDT Schur)p dng cc BDT trn,ta c:

Li gii 2:S dng bt ng thc AM-GM,ta c:

Bt ng thc cui rt quen thuc,ta c pcm. V d 3:VMO 2002-Trn Nam DngChng minh rng vi mi ,ta c:

Li gii:S dng bt ng thc AM-GM,ta c:

Mt khc s dng bt ng thc Schur,

Do

Bt ng thc c chng minh.V d 4:ArqadyCho a,b,c l cc s khng m,trong khng c 2 s no ng thi bng 0.Chng minh rng:

Li gii:Bt ng thc cn chng minh tng ng vi

p dng bt ng thc Cauchy-Schwarz,ta c:

p dng 2 bt ng thc trn,ta c:

Gi s v t . Ta cn chng minh

Bt ng thc cui d dng chng minh bng cch xt 2 trng hp: v ng thc xy ra khi v . V d 5:Moldova TST 2005:Chng minh rng nu a,b,c l cc s thc dng v th:

Li gii:Quy ng mu s ri khai trin,ta cn chng minh:

p dng bt ng thc Schur v gi thit ,ta c:

p dng BDT AM-GM,ta c:

Mt khc ta li c:Vy ta c pcm.V d 6:Vasile Cirtoaje:Cho l cc s thc khng m tha mn .Chng minh rng:Li gii:p dng BDT Schur,ta c:

v Ta cn chng minh:

Bt ng thc cui hin nhin ng nn ta c pcm.ng thc xy ra khi .V d 7:V Thnh Vn:Cho .Chng minh rng:

Li gii:i bin theo p,q,r,bt ng thc cn chng minh c vit li nh sau:()Mt khc,theo BDT Schur,ta c:

Vy ta c pcm V d 8: Phm Kim HngCho a,b,c l cc s thc dng tha mn .Chng minh rng:

Li gii:Quy ng,rt gn v i bin theo p,q,r,bt ng thc cn chng minh tng ng vi

p dng BDT Schur,ta c:

T gi thit Thay 2 iu trn vo bt ng thc cn chng minh,ta c:

Bt ng thc cui ng nn ta c pcm.V d 9:CRUXCho a,b,c l cc s thc khng m tha mn .Chng minh rng:

* Bi ny c anh Hng s dng cho phn BDT TR-b-sp trong cun Sng to BDT,tuy nhin by gi cc bn s c thy mt li gii vi BDT Schur v phng php i bin p,q,r rt t nhin.Li gii:Bin i bt ng thc cn chng minh v chuyn v dng ,ta c:

Theo BDT AM-GM th Theo BDT Schur,ta c:

Nn ta cn chng minh:

Vy BDT c chng minh. 3.2: Phng php i bin p,q,r:V d 10: Phm Kim HngCho a,b,c l cc s thc khng m tha mn a+b+c=3.Chng minh rng:

Li gii:Quy ng mu s ri khai trin,ta cn chng minh:

S dng bt ng thc quen bit ,ta c:

Tip tc s dng bt ng thc trn,ta cn chng minh:

hay vi . p dng BDT AM-GM,ta c nn cn chng minh:

Bt ng thc cui hin nhin ng nn ta c pcm. ng thc xy ra khi hoc v cc hon v.V d 11: Dng c LmCho a,b,c > 0.Chng minh rng

Li gii:V Quc B Cnt bt ng thc cn chng minh tng ng vi

p dng BDT Cauchy-Schwarz,ta c

n y ta cn chng minh

Gi s chuyn v dng ,BDT tr thnh

T ta c:

V d 12: V Quc B CnCho tha mn .Chng minh rng

Li gii:Nguyn Thc V HongQuy ng,rt gn,i bin BDT thnh v xt hm theo ,ta cn chng minh

p dng BDT Schur,ta c

.TH1:,khi .TH2:,khi vi ng thc xy ra khi .V d 13:VascCho a,b,c l cc s thc khng m.Chng minh rng:

Li gii:Chun ha ,ta c bt ng thc:

n y ta s dng mt th thut khi dng bt ng thc Schur , l chia trng hp gii quyt:Nu th ta c v (dpcm)Nu ta a bt ng thc cn chng minh thnh mt hm theo : Xt V nn suy ra Vy bt ng thc c chng minh.ng thc xy ra khi v cc hon v _*Vi k thut xt trng hp gii ,chng ta c th d dng gii quyt cc bi ton sau:Bi ton 1:Xt 3 s thc khng m tha mn .Chng minh rng:

Gi :Nhn vo ri rt gn,chuyn BDT v dng p,q,r,ta cn chng minh

n y chng ta xt 2 TH v Bi ton 2:Cho a,b,c l cc s thc khng m tha mn abc=1.Chng minh rng

Gi :a BDT v 1 hm theo :

n y chng ta chia thnh 2 TH:TH1: TH2: V d 14: Nguyn Phi Hng:Cho l cc s thc khng m tha mn .Chng minh rng:

Li gii:Theo gi thit ta c Mt khc theo bt ng thc Schur bc 4 ta c:

V vy ta cn chng minh

(pcm)ng thc xy ra v cc hon v.V d 15:Cho v .Chng minh rngLi gii:i bin thnh ,ta c b :p dng BDT Cauchy-Schwarz,ta c:Ta c:Nn cn chng minh

S dng b ,ta c:V d 16:V Thnh VnCho cc s thc dng a,b,c tha mn .Chng minh rng:

Li gii:p dng bt ng thc Schur,ta c:

Bt ng thc cn chng minh tng ng vi:

Bt ng thc trn hin nhin ng theo BDT AM-GM nn ta c pcm.V d 17:Nguyn Mnh DngCho . Chng minh rng:

Li gii:Ta c:

t Bt ng thc cn chng minh tr thnh

p dng BDT Schur,ta c:

Ta cn chng minh:

Bt ng thc cui hin nhin ng v v Ta c pcmng thc xy a khi v ch khi v cc hon v