Chuyên đề: MỘT SỐ KỸ THUẬT CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Biên soạn: HUỲNH CHÍ HÀO

Kỹ thuật 1: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI. Kết hợp thủ thuật : Tách, ghép và phân nhóm Bài 1: Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện a b c 3+ + = Chứng minh rằng:

( )( ) ( )( ) ( )( )

3 3 3a b c 3 (1)a b a c b c b a c a c b 4

+ + ≥+ + + + + +

Hướng dẫn: + Dự đoán dấu "=" xảy ra. + Sử dụng giả thiết biến đổi bđt về bđt đồng bậc. + Sử dụng kỹ thuật tách ghép và phân nhóm. Bổ sung thêm một số số hạng để sau khi sử dụng bđt Cô-si ta khử được mẫu số của biểu thức phân thức. Bài giải: Sử dụng giả thiết a b c 3+ + = để đưa bđt về bđt đồng bậc 1 ở hai vế

( )( ) ( )( ) ( )( )

( )3 3 3 a b ca b c(1)a b a c b c b a c a c b 4

+ +⇔ + + ≥

+ + + + + +

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

( )( ) ( )( )

3 3

3a a a b a c 3a3

a b a c a b a c 8 88a

4b a c

8

⎛ ⎞⎛ ⎞+ +⎛ ⎞⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜⎟+ + ≥ =⎜ ⎟ ⎟⎟⎜ ⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎟⎜+ + + ++ +

⎝ ⎠

Chứng minh tương tự ta cũng được:

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

3 3

3

3 3

3

b b c b a b b c b a 3b3b c b a 8 8 b c b a 8 8 4

c c a c b c c a c b 3c3c a c b 8 8 c a c b 8 8 4

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞+ + + +⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜⎟+ + ≥ =⎜ ⎟ ⎟⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎟⎜+ + + +⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + +⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜⎟+ + ≥ =⎜ ⎟⎟⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎟⎜⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎟⎜+ + + +⎝ ⎠

Cộng vế với vế các bđt trên và biến đổi ta được bđt:

( )( ) ( )( ) ( )( )

3 3 3a b c a b c 3a b a c b c b a c a c b 4 4

+ ++ + ≥ =

+ + + + + + (đpcm)

Đẳng thức xảy ra a b c 1⇔ = = =

Bài tập tương tự: Bài 1: Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện abc 1= Chứng minh rằng:

( )( ) ( )( ) ( )( )

3 3 3a b c 3 1 b 1 c 1 c 1 a 1 a 1 b 4

+ + ≥+ + + + + +

Bài 2: Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện ab bc ca abc+ + = Chứng minh rằng:

2 2 2a b c a b c

a bc b ca c ab 4+ +

+ + ≥+ + +

Bài 3: Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện abc 1= Chứng minh rằng:

2 2 2a b c 3

b c c a a b 2+ + ≥

+ + +

Bài toán có liên quan: Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện abc 1= Chứng minh rằng:

( ) ( ) ( )3 3 3

1 1 1 3a b c b c a c a b 2

+ + ≥+ + +

Bài 4: Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện a b c 1+ + = Chứng minh rằng:

( ) ( ) ( )

3 3 3

2 2

a b c 1c a a b 4b c

+ + ≥+ ++

Bài 2: Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện a b c 3+ + = Chứng minh rằng:

( ) ( ) ( )

3 3 3a b c 1 (1)b 2c a c 2a b a 2b c

+ + ≥+ + +

Hướng dẫn: + Dự đoán dấu "=" xảy ra. + Sử dụng giả thiết biến đổi bđt về bđt đồng bậc. + Sử dụng kỹ thuật tách ghép và phân nhóm. Bổ sung thêm một số số hạng để sau khi sử dụng bđt Cô-si ta khử được mẫu số của biểu thức phân thức. Bài giải: Sử dụng giả thiết a b c 3+ + = để đưa bđt về bđt đồng bậc 1 ở hai vế

( ) ( ) ( )

3 3 3a b c a b c(1)b 2c a c 2a b a 2b c 3

+ +⇔ + + ≥

+ + +

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

( )( )

( )( )( )

3 3

3a a3 3b 2c a 9a

b 2c a b9

2c a3 a 9b 2c

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟+ ≥ + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜+ +⎝ ⎠+ +

Chứng minh tương tự ta cũng được:

( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )( )

3 3

3

3 3

3

9 9

9

b b3c 2a b 3 3c 2a b 9bc 2a b c 2a b

c c3a 2b c 3 3a 2b c 9ca 2b c a 2b c

9

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟+ + + ≥ + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜+ +⎝ ⎠

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟+ + + ≥ + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜+ +⎝ ⎠

Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

3 3 3

3 3 3

a b c9 6 a b c 9 a b cb 2c a c 2a b a 2b c

a b c a b c 1b 2c a c 2a b a 2b c 3

⎡ ⎤⎢ ⎥+ + + + + ≥ + +⎢ ⎥+ + +⎣ ⎦

+ +⇒ + + ≥ =

+ + +

Đẳng thức xảy ra a b c 1⇔ = = = Bài 3: Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện 2 2 2a b c 1+ + = Chứng minh rằng:

3 3 3a b c 1

b 2c c 2a a 2b 3+ + ≥

+ + +

Bài giải: Sử dụng giả thiết 2 2 2a b c 1+ + = để đưa bđt về bđt đồng bậc 2 ở hai vế

( )3 3 3 2 2 2a b c a b c1

b 2c c 2a a 2b 3+ +

⇔ + + ≥+ + +

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

( )

( ) ( )3 3

2a 9a2 .a b 2c 6ab 2c b

a b 292

cc

+ ≥ + =+ +

+

Chứng minh tương tự ta cũng được:

( )

( ) ( )

( )( )

( )( )

3 32

3 32

9

9

b 9bb c 2a 2 .b c 2a 6bc 2a c 2a

c 9cc a 2b 2 .c a 2ab 6ca 2b a 2b

+ + ≥ + =+ +

+ + ≥ + =+ +

Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

3 3 32 2 2

3 3 32 2 2 2 2 2

3 3 3 2 2 2

a b c9 3 ab bc ca 6 a b cb 2c c 2a a 2b

a b c9 6 a b c 3 ab bc ca 3 a b cb 2c c 2a a 2b

a b c a b c 1b 2c c 2a a 2b 3 3

⎛ ⎞⎟⎜ + + + + + ≥ + +⎟⎜ ⎟⎟⎜ + + +⎝ ⎠⎛ ⎞⎟⎜⇒ + + ≥ + + − + + ≥ + +⎟⎜ ⎟⎟⎜ + + +⎝ ⎠

+ +⇒ + + ≥ =

+ + +

Đẳng thức xảy ra 3a b c3

⇔ = = =

Bài tập tương tự Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện 2 2 2a b c 1+ + = Chứng minh rằng:

3 3 3a b c 1

a b b c c a 2+ + ≥

+ + +

Bài 4: Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện ab bc ca 1+ + = Chứng minh rằng:

2 2 2

a b c 3 (1)21 a 1 b 1 c

+ + ≤+ + +

Hướng dẫn: + Sử dụng giả thiết biến đổi bđt về bđt đồng bậc. + Sử dụng kỹ thuật đánh giá biểu thức đại diện Bài giải: Sử dụng giả thiết ab bc ca 1+ + = để đưa bđt về bđt đồng bậc 0 ở hai vế Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

2 2

a a a a 1 a a.a b a c 2 a b a c1 a ab ca b ca

⎛ ⎞⎟⎜= = ≤ + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠+ + + ++ + + +

Chứng minh tương tự ta cũng được:

2

2

b 1 b b2 b c b a1 b

c 1 c c2 c a a b1 c

⎛ ⎞⎟⎜≤ + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠+ ++⎛ ⎞⎟⎜≤ + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠+ ++

Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt:

2 2 2

a b c 1 a b b c c a 32 a b b c c a 21 a 1 b 1 c

⎛ ⎞+ + + ⎟⎜+ + ≤ + + =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠+ + ++ + +

Đẳng thức xảy ra 3a b c3

⇔ = = =

Bài 5: Cho ba số dương a, b,c thỏa mãn a b c 2+ + = Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

ab bc acS2c ab 2a bc 2b ac

= + ++ + +

Bài giải: Ta lần lượt có:

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )

ab ab ab ab 1 12c ab 2 c a c bc ab c a c b

bc bc bc bc 1 12a bc 2 a b a ca a b c bc a b a c

ca ca ca ca 1 12b ac 2 b c b ab a b c ca b c b a

bc ca bc ab cS2 a b

b

2 c a

a c

⎧⎪ ⎛ ⎞⎪ ⎟⎜⎪ = = ≤ + ⎟⎜⎪ ⎟⎜⎝ ⎠+ + +⎪ + + +⎪⎪⎪ ⎛ ⎞⎪⎪ ⎟⎜= = ≤ +⎨ ⎟⎜ ⎟⎜⎪ ⎝ ⎠+ + ++ + + + +⎪⎪⎪⎪ ⎛ ⎞⎪ ⎟⎜= = ≤ +⎪ ⎟⎜ ⎟⎪ ⎜⎝ ⎠+ + ++ + + + +⎪⎪⎩+ +

⇒ ≤ + ++

+

+

+

( )a ab a b c 1

2 c b 2+ + +

= =+

Đẳng thức xảy ra ⇔ 2a b c3

= = =

Vậy Max S 1= . Bài tập tương tự Cho ba số dương a, b,c thỏa mãn a b c 2+ + = Chứng minh rằng:

ab bc ac 1c ab a bc b ac 2

+ + ≤+ + +

Kỹ thuật 2: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỒNG BẬC DẠNG CỘNG MẪU SỐ. Dạng 1: 1) x, y 0∀ > ta luôn có:

( )1 1x y 4x y

⎛ ⎞⎟⎜+ + ≥⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Đẳng thức xảy ra ⇔ x y= 2) x, y, y 0∀ > ta luôn có:

( )1 1 1x y x 9x y y

⎛ ⎞⎟⎜+ + + + ≥⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Đẳng thức xảy ra ⇔ x y z= =

Dạng 2: 1) x, y 0∀ > ta luôn có:

1 1 4x y x y+ ≥

+

Đẳng thức xảy ra ⇔ x y= 2) x, y, z 0∀ > ta luôn có:

1 1 1 9x y z x y z+ + ≥

+ +

Đẳng thức xảy ra ⇔ x y z= = Bài 1: Cho a,b,c là các số dương.Chứng minh rằng:

ab bc ca a b ca b 2c b c 2a c a 2b 4

+ ++ + ≤

+ + + + + +

Bài giải Biến đổi và áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số ta được:

( ) ( )

ab 1 1 1 1ab. ab.a b 2c 4a c a c b cb c

⎛ ⎞⎟⎜= ≤ + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠+ + + ++ + +

Tương tự ta cũng được:

( ) ( )

( ) ( )

bc 1 1 1 1bc. bc.b c 2a b a c a 4 b a c a

ca 1 1 1 1ca. ca.c a 2b c b a b 4 c b a b

⎛ ⎞⎟⎜= ≤ + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠+ + + + + + +

⎛ ⎞⎟⎜= ≤ + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠+ + + + + + +

Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt

ab bc ca 1 bc ca ca ab ab bc a b ca b 2c b c 2a c a 2b 4 a b b c a c 4

⎛ ⎞+ + + + +⎟⎜+ + ≤ + + =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠+ + + + + + + + +

Dấu đẳng thức xảy ra a b c 0⇔ = = > Bài 2: Cho a,b,c là các số dương.Chứng minh rằng:

ab bc ca a b ca 3b 2c b 3c 2a c 3a 2b 6

+ ++ + ≤

+ + + + + +

Bài giải Biến đổi và áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số ta được:

( ) ( )

ab 1 1 1 1 1ab. ab.a 3b 2c 9 a c b c 2ba c b c 2b

⎛ ⎞⎟⎜= ≤ + + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠+ + + ++ + + +

Tương tự ta cũng được:

( ) ( )

( ) ( )

bc 1 1 1 1 1bc. bc.b 3c 2a b a c a 2c 9 b a c a 2c

ca 1 1 1 1 1ca. ca.c 3a 2b c b a b 2a 9 c b a b 2a

⎛ ⎞⎟⎜= ≤ + + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠+ + + + + + + +

⎛ ⎞⎟⎜= ≤ + + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠+ + + + + + + +

Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt

ab bc ca 1 a b c bc ca ca ab ab bc a b ca 3b 2c b 3c 2a c 3a 2b 9 2 a b b c a c 6

⎛ ⎞+ + + + + + +⎟⎜+ + ≤ + + + =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠+ + + + + + + + + Dấu đẳng thức xảy ra a b c 0⇔ = = > Bài 3:

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn 1 1 1 4a b c+ + = .Chứng minh rằng:

1 1 1 12a b 2c a 2b c a b 2c

+ + ≤+ + + + + +

Bài giải: Biến đổi và áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số ta được:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 1 1 1 1 1 2 1 12a b c 4 a b a c 16 a b c

1 1 1 1 1 1 1 2 1a 2b c a b b c 4 a b b c 16 a b c

1 1 1 1 1 1 1 1 2a b 2c a c b c 4 a c b c 16 a

a b a c

b c

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜= ≤ + ≤ + +⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎜⎟⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠+ + + +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜= ≤ + ≤ + +⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎜⎟⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠+ + + + + + +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜= ≤ + ≤ + +⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎜⎟⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠+ + + + + +

+

+

+ +

Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt 1 1 1 1 1 1 1 1 .4 1

2a b 2c a 2b c a b 2c 4 a b c 4⎛ ⎞⎟⎜+ + ≤ + + = =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠+ + + + + +

Dấu đẳng thức xảy ra 3a b4

⇔ = =

Bài 4: Cho a,b là các số dương thỏa mãn a b 1+ < .Chứng minh rằng:

1 1 1 91 a 1 b a b 2

+ + ≥− − +

Nhận xét : ( ) ( ) ( )1 a 1 b a b 2− + − + + = Áp dụng bất đẳng thức dạng 2 ta được:

( ) ( ) ( )

1 1 1 9 21 a 1 b a b 1 a 1 b a b 9

+ + ≥ =− − + − + − + +

(đpcm)

Dấu đẳng thức xảy ra 1a b3

⇔ = =

Bài toán có liên quan: Cho a,b là các số dương thỏa mãn a b 1+ < . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2a b 1S a b

1 a 1 b a b= + + + +

− − +

Kết quả: 5minS2

=

Bài 5: Cho a, b, C là các số dương thỏa mãn a b c 1+ + = .Chứng minh rằng:

1 1 1 91 a 1 b 1 c 4

+ + ≥+ + +

Nhận xét : ( ) ( ) ( )1 a 1 b 1 c 4+ + + + + = Áp dụng bất đẳng thức dạng 2 ta được:

( ) ( ) ( )

1 1 1 9 91 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 4

+ + ≥ =+ + + + + + + +

(đpcm)

Dấu đẳng thức xảy ra 1a b3

⇔ = = .

Bài toán có liên quan: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a b c 1+ + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

a b cSa 1 b 1 c 1

= + ++ + +

Kết quả: 3Max S4

=

Kỹ thuật 3: SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG DÃY BẤT ĐẲNG THỨC BẬC BA Dãy bất đẳng thức đồng bậc bậc ba:

( ) ( )( ) ( )( )

32 2 2 23 3 3

3

a b a ab b a bab a b a b a b2 2 6 2 a b

+ + + ++ ⎛ ⎞+ +⎟⎜≤ ≤ ≤ ≥⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ + (1)

Dấu bằng xảy ra a b⇔ = Bài 1: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

( ) ( ) ( )3 3 3 3 3 33 3 3

b c c a a b 2a 4 b c b 4 c a c 4 a b

+ + ++ + ≤

+ + + + + +

Bài giải: Sử dụng bất đẳng thức (1) ta có ( )3 33 4 b c b c+ ≥ + Do đó:

( ) ( )

( ) ( )

3 3 3 33 3

3 3 3 33 3

4 b c b c a 4 b c a b c

1 1 b c b ca b c a b ca 4 b c a 4 b c

+ ≥ + ⇒ + + ≥ + +

+ +⇒ ≤ ⇒ ≤

+ + + ++ + + +

Chứng minh tương tự ta cũng được:

( )

( )

3 33

3 33

c a c aa b cb 4 c a

a b a ba b cc 4 a b

+ +≤

+ ++ +

+ +≤

+ ++ +

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt

( ) ( ) ( )

( )3 3 3 3 3 33 3 3

2 a b cb c c a a b 2a b ca 4 b c b 4 c a c 4 a b

+ ++ + ++ + ≤ =

+ ++ + + + + +

Dấu đẳng thức xảy ra a b c 0⇔ = = > Bài 2: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

3 3 3 3 3 3

1 1 1 1a b abc b c abc c a abc abc

+ + ≤+ + + + + +

Bài giải Sử dụng bất đẳng thức (1) ta có ( )3 3a b ab a b+ ≥ + Do đó:

( )( )

3 33 3

1 1a b abc ab a b ca b abc ab a b c

+ + ≥ + + ⇒ ≤+ + + +

Chứng minh tương tự ta cũng được:

( )

( )

3 3

3 3

1 1b c abc bc a b c

1 1c a abc ca a b c

≤+ + + +

≤+ + + +

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt

3 3 3 3 3 3

1 1 1 1 1 1 1 1a b abc b c abc c a abc a b c ab bc ca abc

⎛ ⎞⎟⎜+ + ≤ + + =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠+ + + + + + + +

Dấu đẳng thức xảy ra a b c 0⇔ = = > Bài toán có liên quan: Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện abc 1= Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

3 3 3 2 3 3

1 1 1Sa b 1 b c 1 c a 1

= + ++ + + + + +

Kết quả: Max S 1= Bài 4: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc 1= . Chứng minh rằng:

3 3 3 3 3 3

2 2 2 2 2 2

a b b c c a 2a ab b b bc c c ca a

+ + ++ + ≥

+ + + + + +

Bài giải:

Sử dụng bất đẳng thức (1) ta có 2 2

2 2

a b a ba ab b 3

+ +≥

+ +

Suy ra:

( )3 3 3 3 3 3

32 2 2 2 2 2

a b b c c a a b b c c a 2 2a b c 3. abc 2a ab b b bc c c ca a 3 3 3 3 3

+ + + + + ++ + ≥ + + = + + ≥ =

+ + + + + + Dấu đẳng thức xảy ra a b c 1⇔ = = = Bài toán có liên quan: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz 1= . Chứng minh rằng:

9 9 9 9 9 9

6 3 3 9 6 3 3 6 6 3 3 6

x y y z z x 2x x y y y y z z z z x x

+ + ++ + ≥

+ + + + + +

Kỹ thuật 4: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ TRỢ Bài 1: Cho các số dương a, b,c thỏa mãn điều kiện abc 1= Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 21 a b 1 b c 1 c a 3 3

ab bc ca+ + + + + +

+ + ≥

Bài giải: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: 3 3 3 331 a b 3 1.a .b 3ab+ + ≥ = (Tạm gọi là bđt phụ trợ)

Suy ra: 3 3

3 3 3 33 1 a b 31 a b 3 1.a .b 3abab ab

+ ++ + ≥ = ⇒ ≥

Chứng minh tương tự ta cũng được:

3 3

3 3

1 b c 3bc bc

1 c a 3ca ca

+ +≥

+ +≥

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt 2 2 2 2 2 2

31 a b 1 b c 1 c a 3 3 3 3 3 33 . . 3 3

ab bc ca ab bc ca ab bc ca+ + + + + +

+ + ≥ + + ≥ =

Dấu đẳng thức xảy ra a b c 1⇔ = = = Bài 2: Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức:

3 2 3 2 3 2 2 2 2

2 a 2 b 2 c 1 1 1a b b c c a a b c

+ + ≤ + ++ + +

Bài giải Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: 3 2 3 2a b 2 a b 2ab b+ ≥ =

Suy ra: 3 2 3 23 2

2 a 1a b 2 a b 2ab ba b ab

+ ≥ = ⇒ ≤+

Chứng minh tương tự ta cũng được:

3 2

3 2

2 b 1b c bc2 c 1

c a ca

≤+

≤+

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt

3 2 3 2 3 2 2 2 2

2 a 2 b 2 c 1 1 1 1 1 1a b b c c a ab bc ca a b c

+ + ≤ + + ≤ + ++ + +

Dấu đẳng thức xảy ra a b c 0⇔ = = > Bài 3: Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức:

2 2 2

2 2 2

a b c 1a 2bc b 2ca c 2ab

+ + ≥+ + +

Bài giải: Áp dụng bất đẳng thức : 2 2b c 2bc+ ≥ Ta có :

2 22 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 a ab c 2bc a 2bc a b ca 2bc a b c a 2bc a b c

+ ≥ ⇒ + ≤ + + ⇒ ≥ ⇒ ≥+ + + + + +

Chứng minh tương tự ta cũng được:

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

b bb 2ca a b c

c bc 2ab a b c

≥+ + +

≥+ + +

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

a b c a b c 1a 2bc b 2ca c 2ab a b c a b c a b c

+ + ≥ + + =+ + + + + + + + +

Dấu đẳng thức xảy ra a b c 0⇔ = = > Bài 4:

Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện 3a b c4

+ + = . Chứng minh bất đẳng thức:

3 3 3a 3b b 3c c 3a 3+ + + + + ≤ Bài giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có : ( )3 3a 3b 1 1 a 3b 2a 3b a 3b .1.1

3 3+ + + + +

+ = + ≤ =

Chứng minh tương tự ta cũng được:

3

3

b 3c 2b 3c3

c 3a 2c 3a3

+ ++ ≤

+ ++ ≤

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt

( )3 3 3 4 a b c 6a 3b b 3c c 3a 3

3+ + +

+ + + + + ≤ =

Dấu đẳng thức xảy ra 1a b c4

⇔ = = =

Bài 5: Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức:

ab bc ca a b ca b b c c a 2

+ ++ + ≤

+ + +

Bài giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có : ( )2ab a ba b 2 ab a b 4ab

a b 4+

+ ≥ ⇒ + ≥ ⇒ ≥+

Chứng minh tương tự ta cũng được:

bc b cb c 4ca c a

c a 4

+≥

++

≥+

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt

ab bc ca a b b c c a a b ca b b c c a 4 4 4 2

+ + + + ++ + ≤ + + =

+ + +

Dấu đẳng thức xảy ra a b c 0⇔ = = > Bài toán có liên quan: Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a b c 3+ + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

ab bc caSa b b c c a

= + ++ + +

Kết quả: 3Max S2

=

Bài 6: Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức:

( ) ( ) ( )

3 3 3

3 33 33 3

a b c 1b c aa b c c a b

+ + ≥+ ++ + + +

Bài giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có : ( )( )2 2

3 2 1 x 1 x x x1 x 1 x 1 x x 12 2

+ + − −+ ≥ + − + ≤ = +

Vận dụng bđt trên ta sẽ được:

( )

3 2

3 2 2 2 2 2 23 3

2

a 1 1 1 ab c a b c1 b ca b c b c 111 a2 aa

= ≥ ≥ =+⎛ ⎞ + +++ + ⎛ ⎞+ ⎟⎜ ++⎟⎜ ⎟+ ⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎜⎝ ⎠

Chứng minh tương tự ta cũng được:

( )

( )

3 2

3 2 2 23

3 2

3 2 2 23

b bb c a a b c

c ca b cc a b

≥+ + + +

≥+ ++ +

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt:

( ) ( ) ( )

3 3 3 2 2 2

3 33 2 2 2 2 2 2 2 2 233 3

a b c a b c 1b c a a b c a b c a b ca b c c a b

+ + ≥ + + =+ + + + + + + ++ + + +

Ngày soạn 30/04/2009.

-------------------Hết------------------