INECUACIONES

Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que sus dos

miembros aparecen ligados por uno de estos signos:

< menor que 2x − 1 < 7

≤ menor o igual que 2x − 1 ≤ 7

> mayor que 2x − 1 > 7

≥ mayor o igual que 2x − 1 ≥ 7

La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la

variable que verifica la inecuación.

Podemos expresar la solución de la inecuación mediante:

1. Una representación gráfica.

2. Un intervalo.

2x − 1 < 7

2x < 8 x < 4

(-∞, 4)

2x − 1 ≤ 7

2x ≤ 8 x ≤ 4

(-∞, 4]

2x − 1 > 7

2x > 8 x > 4

(4, ∞)

2x − 1 ≥ 7

2x ≥ 8 x ≥ 4

[4, ∞)

Criterios de equivalencia de inecuaciones

Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o se les

resta un mismo número, la inecuación resultante es equivalente a

la dada.

3x + 4 < 5 3x + 4 − 4 < 5 − 4 3x < 1

Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o

divide por un mismo número positivo, la inecuación resultante es

equivalente a la dada.

2x < 6 2x ÷ 2 < 6 ÷ 2 x < 3

Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o

divide por un mismo número negativo, la inecuación resultante

cambia de sentido y es equivalente a la dada.

−x < 5 (−x) x (−1) > 5 x (−1) x > −5

Inecuaciones de primer grado

Resolución de inecuaciones de primer grado

Consideremos la inecuación:

La resolveremos aplicando los siguientes pasos:

1º Quitar corchetes.

2º Quitar paréntesis.

3º Quitar denominadores.

4º Agrupar los términos en x a un lado de la desigualdad y los

términos independientes en el otro.

5º Efectuar las operaciones

6º Como el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por

−1, por lo que cambiará el sentido de la desigualdad.

7º Despejamos la incógnita.

Obtenemos la solución como una desigualdad, pero ésta

también podemos expresarla:

De forma gráfica:

Como un intervalo:

[3, +∞)

Inecuaciones de primer grado con dos incógnitas

Su solución es uno de los semiplanos que resulta de

representar la ecuación resultante, que se obtiene al transformar

la desigualdad en una igualdad.

2x + y ≤ 3

1º Transformamos la desigualdad en igualdad.

2x + y = 3

2º Damos a una de las dos variables dos valores, con lo que

obtenemos dos puntos.

x = 0; 2 · 0 + y = 3; y = 3; (0, 3)

x = 1; 2 · 1 + y = 3; y = 1; (1, 1)

3º Al representar y unir estos puntos obtenemos una recta.

4º Tomamos un punto, por ejemplo el (0, 0), los sustituimos en la

desigualdad. Si se cumple, la solución es el semiplano donde

se encuentra el punto, si no la solución será el otro semiplano.

2x + y ≤ 3

2 · 0 + 0 ≤ 3 0 ≤ 3 Sí

2x + y > 3

2 · 0 + 0 > 3 0 > 3 No

En este caso (mayor que, pero no igual) los puntos de la recta no

pertenecen a la solución.

Inecuaciones de segundo grado

Consideremos la inecuación:

x2− 6x + 8 > 0

La resolveremos aplicando los siguientes pasos:

1ºIgualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos

las raíces de la ecuación de segundo grado.

x2 − 6x + 8 = 0

2º Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto

de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:

P(0) = 02 − 6 · 0 + 8 > 0

P(3) = 32 − 6 · 3 + 8 = 17 − 18 < 0

P(5) = 52 − 6 · 5 + 8 = 33 − 30 > 0

3º La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que

tengan el mismo signo que el polinomio.

S = (-∞, 2) (4, ∞)

x2 + 2x +1 ≥ 0

x2 + 2x +1 = 0

(x + 1)2 ≥ 0

Como un número elevado al cuadrado es siempre positivo la

solución es

Solución

x2 + 2x +1 ≥ 0 (x + 1)2 ≥ 0

x2 + 2x +1 > 0 (x + 1)2 > 0

x2 + 2x +1 ≤ 0 (x + 1)2 ≤ 0 x = − 1

x2 + 2x +1 < 0 (x + 1)2 < 0

x2 + x +1 > 0

x2 + x +1 = 0

Cuando no tiene raíces reales, le damos al polinomio cualquier valor

si:

El signo obtenido coincide con el de la desigualdad, la solución es

.

El signo obtenido no coincide con el de la desigualdad, no tiene

solución.

Solución

x2 + x +1 ≥ 0

x2 + x +1 > 0

x2 + x +1 ≤ 0

x2 + x +1 < 0

Inecuaciones racionales

Las inecuaciones racionales se resuelven de un modo similar a

las de segundo grado, pero hay que tener presente que el

denominador no puede ser cero.

1º Hallamos las raíces del numerador y del denominador.

x − 2 = 0 x = 2

x − 4 = 0 x = 4

2º Representamos estos valores en la recta real, teniendo en

cuenta que las raíces del denominador, independientemente del

signo de la desigualdad, tienen que ser abiertas.

3ºTomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en

cada intervalo:

4º La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo)

que tengan el mismo signo que la fracción polinómica.

S = (-∞, 2] (4, ∞)

Pasamos el 2 al primer miembro y ponemos a común denominador.

Hallamos las raíces del numerador y del denominador.

−x + 7 = 0 x = 7

x − 2 = 0 x = 2

Evaluamos el signo:

S = (-∞, 2) (7, ∞)

Sistemas de inecuaciones con una incógnita

Resolución de sistemas de inecuaciones con una incógnita

Se resuelve cada inecuación por separado, siendo el conjunto

solución del sistema la intersección de los conjuntos

soluciones de ambas inecuaciones.

[−1, 3]

(3, ∞)

No tiene solución.

Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas

La solución a este sistema es la intersección de las regiones que

corresponden a la solución de cada inecuación.

1º Representamos la región solución de la primera inecuación.

Transformamos la desigualdad en igualdad.

2x + y = 3

Damos a una de las dos variables dos valores, con lo que

obtenemos dos puntos.

x = 0; 2 · 0 + y = 3; y = 3; (0, 3)

x = 1; 2 · 1 + y = 3; y = 1; (1, 1)

Al representar y unir estos puntos obtenemos una recta.

Tomamos un punto, por ejemplo el (0, 0), los sustituimos en la

desigualdad. Si se cumple, la solución es el semiplano donde

se encuentra el punto, si no la solución será el otro semiplano.

2x + y ≤ 3

2 · 0 + 0 ≤ 3 0 ≤ 3 Sí

2º Representamos la región solución de la segunda inecuación.

x + y = 1

x = 0; 0 + y = 1; y = 1; (0, 1)

x = 1; 1 + y = 1; y = 0; (1, 0)

;

x + y ≥ 1

0 + 0 ≥ 1 No

3º La solución es la intersección de las regiones soluciones.

TALLER 2 DE INECUACIONES

1 Resolver las siguientes inecuaciones

1

2

3

4

2 Resuelve el sistema:

3

4 Resuelve:

1

2x4 − 25x2 + 144 < 0

3x4 − 16x2 − 225 ≥ 0

5Resolver las inecuaciones:

1

2

6Resuelve:

4x2 − 4x + 1 ≤ 0

7 Resuelve:

8Halla los valores de k para los que las raíces de la ecuación x2 − 6x

+ k = 0 sean las dos reales y distintas.

9 Resolver los sistemas:

1

2

3