basic mathematics for economics mathematics for economics.pdf · 6.1.3...

คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร

BASIC MATHEMATICS FOR ECONOMICS

รฐวชญญ จวสวสด

คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร

BASIC MATHEMATICS FOR ECONOMICS


รองศาสตราจารย

สาขาวชาเศรษฐศาสตร มหาวทยาลยสโขทยธรรมาธราช

พ.ศ. 2557

หนงสอคณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตรเลมน ไดนาเสนอคณตศาสตรพนฐานทสาคญพรอมตวอยาง ไดแก เซต ฟงกชน เมทรกซ ดเทอรมแนนต อนพนธของฟงกชนหนงตวแปรอสระและมากกวา การแกระบบสมการเชงเสนโดยใชเมทรกซดวยวธการตางๆ ซงคณตศาสตรพนฐานเหลานเปนเครองมอสาคญในการวเคราะหทางเศรษฐศาสตร นอกจากนยงไดอธบายและเสนอตวอยางเมอนาไปประยกตเปนเครองมอในการวเคราะหดลยภาพเชงสถต และดลยภาพเชงสถตเปรยบเทยบของแบบจาลองทางเศรษฐศาสตร รวมถงการวเคราะหฟงกชนสวนเพมและความยดหยนประเภทตางๆ

(2)

คานา คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตรเลมนไดเรยบเรยง เพอใชเปนหนงสอประกอบการเรยนการสอนตามหลกสตรระดบปรญญาตรทางดานเศรษฐศาสตร ซงผทศกษาทางดานเศรษฐศาสตรควรมพนฐานทางคณตศาสตรทด เนองจากทฤษฎเศรษฐศาสตรสวนใหญในปจจบนไดใชคณตศาสตรในการอธบายหรอการพสจน ทาใหการเรยนรทางเศรษฐศาสตรในปจจบนจาเปนตองมพนฐานคณตศาสตรทด หนงสอเลมนยงสามารถนาไปใชประกอบการศกษาทางดานบรหารธรกจและสงคมศาสตรอนๆ ในระดบปรญญาตรทตองศกษาวชาคณตศาสตรเปนวชาพนฐาน นอกจากนแลวยงเหมาะสาหรบใชเปนหนงสอประกอบการศกษาวชาคณตเศรษฐศาสตรหรอการวเคราะหเชงปรมาณสาหรบนกศกษาเศรษฐศาสตรระดบบณฑตศกษา โดยเฉพาะอยางยงนกศกษาระดบบณฑตศกษาทไมไดสาเรจการศกษาระดบปรญญาตรทางดานเศรษฐศาสตรโดยตรงเพอชวยในการทบทวนความร และปรบพนฐานการใชคณตศาสตรสาหรบการวเคราะหทางดานเศรษฐศาสตร ซงจะเปนประโยชนตอการศกษาเศรษฐศาสตรในระดบทสงขนตอไป

เนอหาในหนงสอเลมนจะแบงออกเปน 2 ลกษณะ คอ ความรเกยวกบคณตศาสตรและการนาคณตศาสตรไปประยกตใชในการวเคราะหทางเศรษฐศาสตร เนอหาประกอบดวยบทแรกเปนบทนาทกลาวถงการวเคราะหทางเศรษฐศาสตรโดยใชคณตศาสตรและแบบจาลองทางเศรษฐศาสตร บทตอไปเปนเซต ความสมพนธและฟงกชน เมทรกซ ดเทอรมแนนต การประยกตฟงกชนเมทรกซและการแกระบบสมการในการวเคราะหทางเศรษฐศาสตร ลมตและอนพนธ อนพนธของฟงกชนทมตวแปรอสระมากกวา 1 ตวแปร และการประยกตอนพนธในการวเคราะหทางเศรษฐศาสตร รวมทงหมด 8 บท ขอขอบคณผเขยนทกทานทอางถงในบรรณานกรมของหนงสอเลมน ทไดชวยใหผเขยนไดแนวทางการเรยบเรยงหนงสอเลมนจนสาเรจดวยด โดยเฉพาะอยางยง Alpha Chiang และ Kevin Wainwright ทเขยนหนงสอ Fundamental Method of Mathematical Economics ซงนามาใชเปนหนงสออางองหลก ตองขอขอบพระคณเปนอยางสงมา ณ โอกาสนดวย และสดทายนขอขอบคณ คณศรลกษณ ตาลลกษณ ทไดชวยพมพตนฉบบหนงสอเลมนใหสาเรจลลวงดวยด ดวยความมานะอดทนยง หวงวาหนงสอเลมนจะเปนประโยชนตอนกศกษาและผทสนใจทวไป


(3)

สารบญ หนา

บทท 1 บทน า 1 1.1 การวเคราะหทางเศรษฐศาสตรโดยใชคณตศาสตร 1 1.2 แบบจ าลองทางเศรษฐศาสตร 3 1.2.1 ตวแปร คาคงท และพารามเตอร 4 1.2.2 สมการในแบบจ าลอง 5 1.3 การวเคราะหดลยภาพทางเศรษฐศาสตร 6 แบบฝกหดบทท 1 8 บทท 2 เซต ความสมพนธและฟงกชน 9 2.1 เซต 9 2.1.1 แนวคดเกยวกบเซต 9 2.1.2 ความสมพนธระหวางเซต 11 2.1.3 แผนภาพเวนน 13 2.1.4 การด าเนนการของเซต 15 2.2 ความสมพนธและฟงกชน 21 2.2.1 คอนดบ 21 2.2.2 ผลคณคารทเซยน 23 2.2.3 ความสมพนธ 25 2.2.4 โดเมนและเรนจของความสมพนธ 29 2.2.5 ฟงกชน 33 2.2.6 คาของฟงกชน 39 2.2.7 โดเมนและเรนจของฟงกชน 41 2.3 ชนดของฟงกชน 44 2.3.1 ฟงกชนพหนาม 44 2.3.2 ฟงกชนตรรกยะ 48 2.3.3 ฟงกชนเอกซโปเนนเชยล 49

(4)

หนา 2.3.4 ฟงกชนลอการทม 51 2.4 ฟงกชนทมตวแปรอสระ 2 ตวแปรหรอมากกวา 57 แบบฝกหดบทท 2 60 บทท 3 เมทรกซ 63 3.1 ความหมายของเมทรกซ 63 3.2 ประเภทของเมทรกซ 64 3.3 การเทากนของเมทรกซ 69 3.4 พชคณตของเมทรกซ 69 3.5 การปฏบตการของเมทรกซ 82 3.6 การปฏบตการของเวกเตอร 87 3.7 เมทรกซสลบเปลยนและสมบตของเมทรกซสลบเปลยน 96 3.8 เมทรกซผกผนและสมบตของเมทรกซผกผน 101 3.9 เงอนไขการเปนเมทรกซไมใชเอกฐาน 104 3.10 คาล าดบชนของเมทรกซ 110 แบบฝกหดบทท 3 114 บทท 4 ดเทอรมแนนต 116 4.1 ความหมายของดเทอรมแนนต 116 4.2 ขอก าหนดของดเทอรมแนนต 116 4.3 การหาดเทอรมแนนตดวยวธการกระจายของลาปลาส 121 4.4 สมบตของดเทอรมแนนต 126 4.5 การใชดเทอรมแนนตของเมทรกซตรวจสอบเมทรกซไมใชเอกฐาน 136 4.6 การใชดเทอรมแนนตของเมทรกซหาเมทรกซผกผน 139 4.7 การแกระบบสมการเชงเสนโดยใชเมทรกซ 143 4.7.1 การแกระบบสมการเชงเสนโดยวธของเกาส-จอรดอง 144 4.7.2 การแกระบบสมการเชงเสนโดยใชเมทรกซผกผน 148 4.7.3 การแกระบบสมการเชงเสนโดยใชกฎของคราเมอร 152

(5)

หนา 4.8 ผลเฉลยกรณตางๆ ของการแกระบบสมการเชงเสน 158 แบบฝกหดบทท 4 166 บทท 5 การประยกตฟงกชน เมทรกซและการแกระบบสมการในการวเคราะหทางเศรษฐศาสตร 169 5.1 ดลยภาพสวนยอยของตลาด 169 5.1.1 กรณแบบจ าลองเชงเสน 169 5.1.2 กรณแบบจ าลองไมใชเชงเสน 177 5.2 ดลยภาพทวไปของตลาดสนคา 182 5.2.1 แบบจ าลองตลาดสนคา 2 ชนด 183 5.2.2 แบบจ าลองตลาดสนคา n ชนด 186 5.2.3 ผลเฉลยของระบบสมการทวไป 187 5.3 ดลยภาพของรายไดประชาชาต 189 5.4 การประยกตใชเมทรกซในการวเคราะหทางเศรษฐศาสตร 192 5.4.1 แบบจ าลองตลาดทวไป 192 5.4.2 แบบจ าลองรายไดประชาชาต 193 5.4.3 แบบจ าลอง IS-LM: ระบบเศรษฐกจแบบปด 195 5.4.4 แบบจ าลองปจจย-ผลผลตของลอองเทยฟ 197 แบบฝกหดบทท 5 208 บทท 6 ลมตและอนพนธ 210 6.1 ลมตและความตอเนอง 210 6.1.1 ความหมายของลมต 210 6.1.2 ทฤษฎของลมต 212 6.1.3 ลมตเกยวกบอนฟนต 212 6.1.4 ความตอเนองและความไมตอเนอง 214 6.2 อนพนธของฟงกชน 227 6.2.1 ความหมายของอนพนธ 227 6.2.2 อนพนธและความชนของเสนสมผส 230

(6)

หนา 6.2.3 กฎของอนพนธส าหรบฟงกชน 1 ตวแปรอสระ 233 6.2.4 อนพนธอนดบสงกวาอนดบหนง 261 6.2.5 คาเชงอนพนธ 263 แบบฝกหดบทท 6 267 บทท 7 อนพนธของฟงกชนทมตวแปรอสระมากกวา 1 ตวแปร 271 7.1 อนพนธยอยของฟงกชนทมตวแปรอสระมากกวา 1 ตวแปร 271 7.1.1 อนพนธยอย 271 7.1.2 อนพนธยอยอนดบทสอง 274 7.2 คาเชงอนพนธรวม 277 7.2.1 แนวคดการหาคาเชงอนพนธรวม 277 7.2.2 กฎของการหาคาเชงอนพนธ 279 7.3 อนพนธรวม 283 7.4 อนพนธของฟงกชนโดยปรยาย 290 7.5 จาโคเบยนดเทอรมแนนต 298 7.6 การวเคราะหกรณสมการเกยวเนอง 300 แบบฝกหดบทท 7 306 บทท 8 การประยกตอนพนธในการวเคราะหทางเศรษฐศาสตร 309 8.1 การวเคราะหเชงสถตยเปรยบเทยบของแบบจ าลองโดยวธการหาอนพนธจากสมการลดรป 309 8.1.1 แบบจ าลองตลาด 309 8.1.2 แบบจ าลองรายไดประชาชาต 313 8.1.3 แบบจ าลองปจจย-ผลผลต 314 8.2 การวเคราะหเชงสถตยเปรยบเทยบของแบบจ าลองฟงกชนทวไป 316 8.2.1 แบบจ าลองตลาด 317 8.2.2 แบบจ าลองรายไดประชาชาต (IS-LM) 322 8.2.3 แบบจ าลองรายไดประชาชาต: ระบบเศรษฐกจเปด 326

(7)

หนา 8.3 แนวคดเกยวกบสวนเพม 332 8.3.1 การหาฟงกชนรายรบสวนเพมจากฟงกชนรายรบเฉลย 333 8.3.2 การประยกตใชอนพนธเกยวกบตนทน ตนทนเฉลยและตนทนสวนเพม 336 8.3.3 ความสมพนธระหวางผลผลตทงหมด ผลผลตเฉลย และผลผลตสวนเพม 339 8.4 การวเคราะหความยดหยน 341 8.4.1 การวเคราะหความยดหยนแบบจด 341 8.4.2 การค านวณหาความยดหยนของอปสงคตอรายได 349 8.4.3 การค านวณหาความยดหยนไขวของอปสงค 350 8.4.4 การวเคราะหความยดหยนยอย 352 8.5 ผลผลตทางกายภาพสวนเพมของปจจยการผลต 356 8.6 ฟงกชนเอกพนธและทฤษฎออยเลอร 358 แบบฝกหดบทท 8 363 บรรณานกรม 367 อกษรกรก 369 ดรรชน 370 เฉลยแบบฝกหด 374

คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 1

บทท 1 บทนา 1.1 การวเคราะหทางเศรษฐศาสตรโดยใชคณตศาสตร การใชคณตศาสตรสาหรบการวเคราะหทางเศรษฐศาสตรเปนการใชสญลกษณทางคณตศาสตรแทนการกาหนดเปนขอความของปญหาทางเศรษฐศาสตรแลวนาความรทางทฤษฎ หลกเกณฑ และวธการคณตศาสตรตางๆ มาใชในการวเคราะหอยางมเหตผล ซงจะเหมอนกบการวเคราะหเศรษฐศาสตรเชงพรรณนา (literary economics) ทตองใชเหตผลอางองเพอใหไดมาซงขอสรปและพฒนาตอไปเปนทฤษฎ การวเคราะหเชงพรรณนานนเปนการอธบายดวยเหตผลซงอาจจะไมสามารถอธบายไดครอบคลมทงหมดหรออธบายแลวเขาใจยากเพราะปญหาทางเศรษฐกจทเปนจรงนนจะสลบซบซอน มปจจยตางๆ ทมผลกระทบมากเกนกวาทตงอยบนขอสมมตทกาหนดไวไดทงหมด จงมการนาคณตศาสตรมาใชเปนเครองมอสาหรบการอธบายความสมพนธของตวแปรตางๆ โดยใชเหตผลเชงคณตศาสตรมาทาการวเคราะหทฤษฎเศรษฐศาสตรอยางกวางขวางทงเศรษฐศาสตรจลภาคและเศรษฐศาสตร มหภาค ปจจบนมการใชคณตศาสตรอธบายในหนงสอหรอตาราเศรษฐศาสตรทวๆ ไปหรอบทความวชาการดานเศรษฐศาสตร โดยใชคณตศาสตรทนอกเหนอจากเรขาคณตอยางงาย เชน พชคณตเมทรกซ (matrix algebra) อนพนธ (derivative) ปรพนธ (integration) หรอ อนทกรลแคลคลส (integral calculus) เปนตน การวเคราะหทางเศรษฐศาสตร โดยใชคณตศาสตรหรอวเคราะหในเชงพรรณนาจะไมแตกตางกน เพราะจดประสงคของการวเคราะหทางทฤษฎใดๆ กตาม ถาไมคานงถงวธการหรอเครองมอทใชแลว ผลสรปทไดหรอทฤษฎทไดจากการกาหนดขอสมมตหรอหลกฐานตางๆ ทใชอางองโดยผานขนตอนของการใชเหตผล ยอมไมแตกตางกน แตขอแตกตางทสาคญทสดระหวางการใชคณตศาสตรกบไมใชคณตศาสตรในการวเคราะหทางเศรษฐศาสตร กคอขอสมมต และผลสรป อยในลกษณะของการใชสญลกษณทางคณตศาสตรมากกวาคาอธบายและใชสมการคณตศาสตรมากกวาการอธบายเชงพรรณนา สาหรบขนตอนของการใชเหตผล ทงสญลกษณและคาอธบายกไมไดมความแตกตางกนเพราะสญลกษณนนกคอความหมายของคาอธบายนนเอง เพยงแตสญลกษณมความสะดวกมากกวาทจะใชในการใหเหตผลเชงนรนย (deductive reasoning) ซงเปนการสรปจากหลกเกณฑทกาหนดขน และยอมมความรดกม แมนยามากกวาคาอธบาย ทางเลอกระหวางการใชตรรกเชงพรรณนา (literary logic) กบตรรกเชงคณตศาสตร (mathematical logic) นน การใชตรรกเชงคณตศาสตรจะใหประโยชนกบนกวเคราะหทจะกาหนดขอสมมตทชดเจนในทกขนตอนของการใหเหตผล ซงทฤษฎทางคณตศาสตรมกจะใช ถา... แลว... (if… then…) ขอความเชงคณตศาสตรหลงคาวาแลว (then) นกคอผลลพธซงเปนสวนหนงของทฤษฎทจะนามาใช จงตองทาใหแนใจวาเงอนไขของคาวาถา (if) นนตรง

2 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร

กบขอสมมตทพฒนาขนมาอยางรดกมชดเจน ถอไดวาเปนการหลกเลยงการใชขอสมมตทไมมความชดเจนไดเพราะภาษาคณตศาสตรเปนภาษาทมความรดกมและชดเจน จดสาคญอกเรองหนงกคอ มกจะมคาถามอยเสมอวาทาไมจงมความจาเปนทตองใชวธการทนอกเหนอจากเรขาคณตอยางงาย คาตอบกคอการวเคราะหดวยเรขาคณตอยางงายจะมขอจากดในเรองของมต เชน ใชกราฟอธบายเสนความพอใจเทากน (indifference curve) ซงมขอสมมตสาคญกคอ ผบรโภคบรโภคสนคาเพยง 2 ชนดเทานน ไมสามารถทจะใชกบขอสมมตทผบรโภคบรโภคสนคามากกวา 2 ชนด เปนตนวาบรโภคสนคา 3, 4, ..., n ชนด เพราะเปนการยากทจะเขยนอธบายดวยกราฟ 3 มตหรอมากกวา ดงนนจงมการใชสมการแทนการอธบายดวยกราฟกรณทมตวแปรหลายตวแปร ซงถอวาเปนเครองมอทมความคลองตวในการอธบายมากกวา รวมถงมทฤษฎทางคณตศาสตรทสามารถนามาประยกตกบการวเคราะหทางเศรษฐศาสตรได ทาใหตองศกษาถงวธการทางคณตศาสตรทนอกเหนอจากเรขาคณตอยางงาย สาหรบขอเสยของการใชวธการทางคณตศาสตร กคอ มกจะมขอวจารณวาการใชวธการทางคณตศาสตรเพอสรางทฤษฎทางเศรษฐศาสตร จะทาใหทฤษฎเศรษฐศาสตรนนไมเหมอนจรง (unrealistic) อยางไรกตามขอวจารณนกไมมความตรง (not valid) ในเชงของความเปนเหตเปนผลนก เพราะความเปนจรงนน คาวา “ไมเหมอนจรง” ไมควรนามาใชกบขอวจารณเกยวกบทฤษฎเศรษฐศาสตรโดยทวๆ ไป เพราะทฤษฎเศรษฐศาสตรจะเหมอนจรงหรอไมเหมอนจรงไมไดขนอยกบการใชวธการทางคณตศาสตรหรอไมใชวธการทางคณตศาสตร เชน ทฤษฎเกยวกบโครงสรางตลาดทมการแขงขนสมบรณ อาจจะไมเหมอนจรงในสภาพการณทเปนจรง เพราะโครงสรางตลาดโดยทวไปจะเปนตลาดทมการแขงขนไมสมบรณ ดงน นการไมเหมอนจรงจงไมไดขนอยกบวาทฤษฎน ถกสรางขนมาโดยใชวธการทางคณตศาสตรเขาไปเกยวของหรอไมใชวธการทางคณตศาสตร แตเปนการสรางทฤษฎโดยพจารณาถงปจจยตางๆ และความสมพนธของปจจยทมความสาคญเหลานน เพราะในสภาพการณทเปนจรงจะมความซบซอนของปญหารวมถงความเกยวของกนของปจจยตางๆ เปนจานวนมาก ทาใหไมสามารถนาปจจยทงหมดมาวเคราะหรวมกนได ดงนนการทกลาววาวธการทางคณตศาสตรทาใหทฤษฎเศรษฐศาสตรขาดความเหมอนจรง จงขาดความเปนเหตเปนผล โดยสรปกคอ การใชวธการทางคณตศาสตรเปนเสมอนตวกลางทนาขอมลตางๆ (mode of transportation) ไปสผลสรปทตองการ เพยงแตอาจจะใชเวลาไปสจดหมายปลายทางทรวดเรวกวา เปรยบเสมอนกบการเดนทางไปจดหมายปลายทางทอยไกลออกไป การเดนทางอาจใชวธการขบรถไปยงจดหมายหรอใชวธการเดน ตางกถงจดหมายเหมอนกน แตใชเวลาแตกตางกน ทานองเดยวกนนกเศรษฐศาสตรทตองการผลสรปทรวดเรวกจะตองรวธการตางๆ และเลอกใชตรงกบความตองการเหมอนกบการเลอกวธการขบรถมากกวาทจะเดน ซงในทนกคอการใชเทคนควธทางคณตศาสตรเพอนาไปสเปาหมายทตองการ แตสงทสาคญกคอ เมอเลอกวธการขบรถ ในขนแรกกจะตองรถงวธการขบรถ ซงเปนทกษะทจะตองมการฝกฝน จงจะทาใหสามารถขบรถไดดและมประสทธภาพ


เชนเดยวกบการใชวธการทางคณตศาสตรกจะตองมการเรยนรถงเครองมอทางคณตศาสตรซงกเปนทฤษฎคณตศาสตรตางๆ ทเกยวของกบการทจะนามาใชในการวเคราะหทางเศรษฐศาสตร จงจะทาใหนกเศรษฐศาสตรมเครองมอทจะนาไปใชและเลอกใชเครองมอทเหมาะสมกบปญหาทางเศรษฐศาสตรนนๆ ดงนนวธการวเคราะหโดยใชวธการทางคณตศาสตรจงเปนอกวธการหนงทจะนาไปสการพฒนาทฤษฎเศรษฐศาสตรเชนเดยวกบการวเคราะหทไมใชคณตศาสตรนนเอง 1.2 แบบจาลองทางเศรษฐศาสตร แบบจาลองทางเศรษฐศาสตรเปนกรอบทางทฤษฎทจะนาไปสการวเคราะหโดยใชวธการทางคณตศาสตรถาแบบจาลองน นถกกาหนดในลกษณะเชงปรมาณ ซงประกอบดวยชดของสมการคณตศาสตรทอธบายถงโครงสรางของแบบจาลอง ทงนสมการจะมความเกยวของกบตวแปร ซงอาจจะมหลายตวแปร สมการทเขยนในรปคณตศาสตรเหลานจะอยบนพนฐานของขอสมมตของการวเคราะหทกาหนดขนมาใหสอดคลองกบปญหาทางเศรษฐศาสตรทตองการวเคราะห ดงนนจงตองมการประยกตใชคณตศาสตรทเกยวของกบสมการทกาหนดขนมา เพอใหไดชดของผลสรปซงเปนไปตามเหตและผลทสอดคลองกบขอสมมตเหลานน ตวอยางเชน แบบจาลองรายไดประชาชาต กรณมรฐบาลเขามาเกยวของและเปนเศรษฐกจระบบปดทยงไมมการตดตอคาขายระหวางประเทศ อปสงครวมจะประกอบดวยการใชจาย 3 ประเภท คอ รายจายในการบรโภค รายจายในการลงทน และรายจายของรฐบาล ระดบรายไดดลยภาพจะอยทผลรวมของรายจายทงหมด 3 ประเภทน จะเทากบผลรวมของมลคาผลผลตทงหมดทผลตไดในระบบเศรษฐกจ เขยนในรปสมการไดดงน

Y = C + I + G เมอ Y หมายถง รายไดประชาชาต

C หมายถง รายจายในการบรโภค I หมายถง รายจายในการลงทน G หมายถง รายจายของรฐบาล

รายจายประเภทตางๆ เขยนอยในรปแบบของสมการ ดงน สมการบรโภค C = a + bYd สมการการลงทน I = I0 สมการการใชจายของรฐบาล G = G0 สมการรายไดหลงหกภาษ Yd = Y - T สมการภาษ T = T0 + tY


เมอ a หมายถง คาพารามเตอร ทแสดงถงคาใชจายคงทเมอไมมรายได แตจะมคาใชจายในการบรโภคสวนหนง (a > 0)

b หมายถง คาพารามเตอร ทแสดงถงคาใชจายทเพมขนเมอรายไดเพมขน 1 หนวย (0 < b < 1) I0 หมายถง การลงทนโดยอสระทไมขนอยกบปจจยใดๆ ถอวาเปนตวแปรภายนอก G0 หมายถง การใชจายของรฐบาลโดยอสระทไมขนอยกบปจจยใดๆ ถอวาเปนตวแปรภายนอก Yd หมายถง รายไดหลงหกภาษ T หมายถง ภาษ T0 หมายถง ภาษแบบเหมาจายทไมขนกบรายได ถอวาเปนตวแปรภายนอก t หมายถง อตราภาษทใชเกบจากรายได

1.2.1 ตวแปร คาคงท และพารามเตอร

1) ตวแปร (variable) หมายถง ตวอกษรหรอเครองหมายสญลกษณทกาหนดขนมาใหเปนสงทมคาแปรเปลยนไปไดไมคงท ตวอยางของตวแปรทางเศรษฐศาสตรทพบบอยๆ เชน ราคา กาไร รายรบ ตนทน รายไดประชาชาต การบรโภค การลงทน การสงออก การนาเขา เปนตน ตวแปรเหลานตางกมคาทแปรเปลยนไปได ทาใหมการกาหนดสญลกษณทใชแทนคาเฉพาะของตวแปรเหลาน เชน P แทนราคา แทนกาไร R แทนรายรบ C แทนตนทน Y แทนรายไดประชาชาต เปนตน ดงนน ถาตองการใหตวแปรมคาเฉพาะทคาใดคาหนง กจะเขยนโดยกาหนดคาทตองการกากบในสญลกษณแทนตวแปรนนดวย เชน เขยนวา P = 3 หนวยหรอ C = 18 หนวย เปนตน สาหรบโครงสรางของแบบจาลองทางเศรษฐศาสตร บางครงสามารถแกสมการทกาหนดเปนแบบจาลองโดยหาคาของตวแปรหรอสญลกษณในแบบจาลองนนได เชน ระดบราคาตลาด หรอระดบผลผลตทใหกาไรสงสด เปนตน ถาตวแปรเหลานสามารถหาคาไดจากการแกสมการในแบบจาลอง จะเรยกวา ตวแปรภายใน (endogenous variables) บางครงแบบจาลอง อาจจะประกอบดวยตวแปรทคาของตวแปรนจะถกกาหนดขนจากภายนอกแบบจาลองหรอถกกาหนดคาจากขอมลกอนทจะมการแกสมการในแบบจาลอง ตวแปรนเรยกวา ตวแปรภายนอก (exogenous variables) สาหรบตวแปรทเปนตวแปรภายใน ของแบบจาลองหนงอาจจะเปนตวแปรภายนอกของอกแบบจาลองหนงกได เชน การวเคราะหตลาดสนคาชนดใดชนดหนงเพอหาราคาดลยภาพของสนคาชนดนนในกรณนกาหนดให P เปนราคาสนคา P กจะเปนตวแปรภายใน แตสาหรบกรอบทางทฤษฎของคาใชจายของผบรโภค P จะถกกาหนดจากขอมลของผบรโภคแตละคน ตวแปร P ในลกษณะดงกลาวกจะเปนตวแปรภายนอก 2) คาคงทและพารามเตอร (constant and parameter) นอกจากตวแปรแลวจะพบวามจานวนคาคงทแนนอนทประกอบอยในตวแปรนน เชน 10P หรอ 0.8R เปนตน คาคงททเปนตวเลขเหลานจะไมเปลยนแปลง และเรยกคาคงทเหลานวา สมประสทธ (coefficient) ของ


ตวแปรนน อยางไรกตาม สมประสทธอาจจะเขยนอยในรปของสญลกษณแทนตวเลขได โดยเฉพาะในแบบจาลองทางเศรษฐศาสตรมกไมนยมกาหนดเปนคาตวเลขเฉพาะใดๆ เชน สญลกษณ a แทนคาคงท 10 ใน 10P จงเขยนเปน aP เปนตน และเรยกคาคงททเปนคาสมประสทธของตวแปรทถกกาหนดเปนสญลกษณในแบบจาลองวาคาคงทพารามเตอร หรอพารามเตอร (parameter) โดยทวไปใชสญลกษณเปนตวอกษรภาษาองกฤษตวตาม เชน a, b, c ฯลฯ หรอใชตวอกษรกรก เชน (alpha) (beta) (gamma) เปนตน สาหรบตวแปรภายนอก มกจะกาหนดใหใชสญลกษณทแสดงความแตกตางไปจากตวแปรภายในโดยมกจะใหตวเลข 0 หอยทายตวแปรนน ตวเลขทหอยทายเรยกวาดชนลาง (subscript) เชน P เปนตวแปรแทนราคา ถาราคาเปนตวแปรภายนอก จะใชสญลกษณวา P0 เปนตน

1.2.2 สมการในแบบจาลอง (equations) เมอทราบวาในแบบจาลองน นประกอบดวยตวแปรอะไรบางแลว การกาหนดแบบจาลองจะเปนการกาหนดลกษณะของสมการในแบบจาลองนน ซงสมการนนกจะแสดงถงความสมพนธของตวแปรตางๆ ในเชงคณตศาสตร ณ ทนจะกลาวถงสมการ 3 ประเภท คอ 1) สมการนยาม หรอสมการเอกลกษณ (definitional or identity equations) 2) สมการพฤตกรรม (behavioral equations) 3) สมการเงอนไขดลยภาพ (equilibrium condition equations) 1) สมการนยาม หรอสมการเอกลกษณ เปนสมการทแสดงวาสญลกษณทางดานซายและดานขวาของสมการมความหมายอยางเดยวกน แตโดยทวไปมกจะใหสญลกษณทางดานขวามอของสมการเปนตวแปรทแสดงถงนยามของตวแปรทางดานซายของสมการ และใชเครองหมายทแสดงถงความเทากน คอ (อานวา “เทากนทกประการ” หรอ “is identically equal to”) แตโดยทวไปกใชเครองหมาย = แสดงความเทากนทกประการแทนได ตวอยางเชน กาไรทงหมด หมายถง รายไดสวนเกนทงหมดทมากกวาตนทนทงหมด ซงอาจจะเขยนไดวา

R – C ซงจากคานยามในรปของสมการกคอ กาไร () เทากบ รายรบ (R) ลบดวยตนทน (C) 2) สมการพฤตกรรม เปนสมการทแสดงถงพฤตกรรมของตวแปรหนงมการเปลยนแปลงไปอยางไร เมอตวแปรอนเปลยนแปลง สมการลกษณะนมกจะเกยวของกบพฤตกรรมของมนษย เชน การบรโภคมวลรวมในแบบจาลองรายไดประชาชาตเขยนเปนสมการไดวา Ct = 120 + 0.8Yt (หนวยเปนลานบาท) หมายความวา ถารายไดเปนศนยหรอไมมรายไดเลย การบรโภคจะเทากบ 120 ลานบาทเมอรายไดเพมขน 1 ลานบาท การบรโภคจะเพมขน 0.8 ลานบาท หรอกลาวไดวาความโนมเอยงสวนเพมในการบรโภค หรอ


MPC (marginal propensity to consume) เทากบ 0.8 หรอในกรณทไมเกยวของกบพฤตกรรมของมนษย เชน ตนทนทงหมดของหนวยธรกจจะเปนอยางไร เมอผลผลตมการเปลยนแปลง เปนตน สมการพฤตกรรมสามารถใชอธบายโครงสรางโดยทวไปของแบบจาลองได ประกอบดวยสมการทแสดงถงเทคโนโลย เชน ฟงกชนการผลต เปนตน หรอทางกฎหมาย เชน ภาษและโครงสรางภาษ เปนตน กอนทจะมการกาหนดสมการพฤตกรรมออกมาเปนสมการนน ควรจะตองมการกาหนดขอสมมตใหชดเจนทเกยวของกบ แบบแผนพฤตกรรมของตวแปร ตวอยางเชน สมการท 1 C = 80 + 15Q สมการท 2 C = 120 + Q2 เมอ Q คอ ปรมาณผลผลต (หนวย) C คอ ตนทนการผลต (บาท) ทง 2 สมการมความหมายตางกนตามเงอนไขของการผลตทตางกน ในสมการท 1 ตนทนคงท คอ 80 หมายความวาเมอไมมการผลต ผลผลตเปนศนย แตในสมการท 2 ตนทนคงทเทากบ 120 (เมอไมมการผลต Q = 0) ตนทนทแตกตางกนในสมการท 1 หมายถงทกๆ หนวยทเพมขนใน Q จะมตนทนเพมขนคงทเทากบ 15 บาท แตในสมการท 2 ขณะท Q เพมขน หนวยตอหนวย แลว C จะเพมขนในจานวนทมากกวาในอตรากาวหนา ดงนนการกาหนดสมการพฤตกรรมในเชงคณตศาสตรควรจะตองมการกาหนดขอสมมตของแบบจาลองใหชดเจนเหมาะสมกบปญหาทตองการวเคราะหดวย 3) สมการเงอนไขดลยภาพ เปนรปแบบของสมการประเภทท 3 ทเกยวของเฉพาะแบบจาลองทเกยวของกบภาวะดลยภาพ เงอนไขดลยภาพนจะเปนสมการทอธบายถงสภาวะกอนทจะเขาสภาวะดลยภาพ โดยเงอนไขนนจะตองเปนจรง เชน เงอนไขดลยภาพทางเศรษฐกจ 2 เงอนไข ดงน Od = Qs (ปรมาณอปสงค = ปรมาณอปทาน) S = I (การออมทตงใจไว = การลงทนทตงใจไว) ในเงอนไขแรกเปนเงอนไขดลยภาพของแบบจาลองของตลาด และเงอนไขท 2 เปนเงอนไขดลยภาพของแบบจาลองรายไดประชาชาต ทง 2 เงอนไขดลยภาพเปนเงอนไขทเขยนในรปแบบทงายทสด โดยทวไปการเขยนเงอนไข ดลยภาพอาจจะกาหนดใหอยในรปแบบใดรปแบบหนงอาจเปนสมการนยาม หรอไมกเปนสมการพฤตกรรม 1.3 การวเคราะหดลยภาพทางเศรษฐศาสตร การวเคราะหดลยภาพทางเศรษฐศาสตรโดยใชแบบจาลองทางเศรษฐศาสตรจาแนกออกเปน 3 ประเภท คอ การวเคราะหเชงสถตย (static analysis) การวเคราะหเชงสถตยเปรยบเทยบ (comparative static analysis) และ การวเคราะหเชงพลวต (dynamic analysis)


1.3.1 การวเคราะหเชงสถตย หรอการวเคราะหแบบสภาพนง เปนการวเคราะหดลยภาพในขณะใดขณะหนง โดยไมสนใจเรองของเวลาทเปลยนแปลงไปถอวาในชวงของการวเคราะหตวแปรทกตวในแบบจาลองไมมการเปลยนแปลงไปตามระยะเวลา ซงทาใหเกดดลยภาพในคาของตวแปรตางๆ ในแบบจาลอง เชน การวเคราะหดลยภาพของตลาดสนคา ทตองการทราบวาราคาดลยภาพและปรมาณอปสงค ปรมาณอปทาน ทเปนปรมาณดลยภาพ มจานวนเทาใด โดยวเคราะหจากสมการตางๆ ในแบบจาลองของตลาดสนคาทกาหนด 1.3.2 การวเคราะหเชงสถตยเปรยบเทยบ เปนการวเคราะหดลยภาพในขณะใดขณะหนง เพอเปรยบเทยบคาดลยภาพเดม และคาดลยภาพใหม เมอตวแปรในแบบจาลองมการเปลยนแปลง โดยถอวาในชวงของการวเคราะหดลยภาพ ตวแปรทกตวในแบบจาลองไมมการเปลยนแปลงไปตามระยะเวลา เชน การวเคราะหดลยภาพของตลาดสนคา ถารายไดของผบรโภคเพมขนแลว ราคาดลยภาพและปรมาณดลยภาพจะเปลยนแปลงไปอยางไร มการเพมขนหรอลดลง หรอการวเคราะหในแบบจาลองรายไดประชาชาต ถารฐบาลเพมคาใชจายเขามาในระบบเศรษฐกจ จะทาใหรายไดประชาชาตเปลยนแปลงไปอยางไร 1.3.3 การวเคราะหเชงพลวต หรอการวเคราะหแบบสภาพเคลอนไหว เปนการวเคราะหดลยภาพเมอตวแปรทกตวในแบบจาลองมการเปลยนแปลงไปตามระยะเวลาหรอเมอระยะเวลาเปลยนแปลงไปแลว คาของตวแปรจะมการเปลยนแปลงไปอยางไร ทงนตวแปรในแบบจาลองจะขนอยกบระยะเวลา การวเคราะหในลกษณะนจงนาเอาเวลาเปนตวแปรอกตวหนงในการวเคราะห เชน การวเคราะหดลยภาพในตลาดสนคา เพอหาวาราคาดลยภาพและปรมาณอปสงค ปรมาณอปทานดลยภาพเปนอยางไรในชวงเวลานน และเมอราคาเปลยนแปลงไปจากราคาดลยภาพแลว ราคาจะมการปรบตวเขาสราคาดลยภาพอกครงหรอไมถาใชระยะเวลาทนานพอ ทาใหการวเคราะหจาเปนตองมขอสมมตเพมเตมไปจากการวเคราะหเชงสถตยเปรยบเทยบ เปนตน


แบบฝกหดบทท 1 1. จงอธบายความหมายของการวเคราะหทางเศรษฐศาสตรโดยใชคณตศาสตร 2. จงอธบายความหมายของตวแปร พรอมยกตวอยางตวแปรทางเศรษฐศาสตรมา 5 ตวอยาง 3. จงอธบายตวแปรภายนอก แตกตางจากตวแปรภายในอยางไร 4. กาหนดให แบบจาลองรายไดประชาชาต เปนดงน

Y = C + I0 + G0 …….. (1) C = 200 + 0.84Y …….. (2)

4.1 ตวเลข 0.84 ทเปนคาสมประสทธของตวแปร Y ในสมการท 2 หมายถงอะไร 4.2 ถาเปลยนสมการท 2 เปน C = a + bY โดยท (a > 0, 0 < b < 1) สญลกษณ b ในสมการน หมายถงอะไร


บทท 2 เซต ความสมพนธและฟงกชน 2.1 เซต (Sets) เซตเปนเรองทสาคญเรองหนงของการศกษาคณตศาสตร และเปนความรพนฐานทเกยวของกบการศกษาคณตศาสตรเกอบทกเรอง เชน ระบบจานวน ความสมพนธและฟงกชน ความนาจะเปน เปนตน ดงนนจงจาเปนตองทาความเขาใจเกยวกบทฤษฎของเซตพอเปนพนฐานเพอการศกษาคณตศาสตรแขนงอนๆ ตอไป

2.1.1 แนวคดเกยวกบเซต (The concept of sets) เซต หมายถงสงทอยรวมกนหรอกลมของสงของตางๆ ทมคณสมบตหรอเปนไปตามเงอนไขอยางใดอยาง

หนงทชดเจน โดยสามารถบอกไดวา สงใดสงหนงอยในเซตหรอไม ซงสงทอยในเซตนนเรยกวา สมาชก (element) เชน เซตของจานวนเตมบวก เซตของจานวนนกศกษาใหม สาขาวชาเศรษฐศาสตรปการศกษา 2555 เซตของจานวนจรงทนอยกวา 7 และมากกวา -2 เปนตน การเขยนเซตสามารถเขยนได 2 แบบคอ เขยนแบบแจกแจงสมาชก (enumeration) และเขยนแบบบอกเงอนไขของสมาชกในเซต (description) โดยนยมใชอกษรภาษาองกฤษตวนา เชน A, B, C, … แทนชอเซต และอกษรภาษาองกฤษตวตาม เชน a, b, c, … แทนสมาชกของเซต และใชสญลกษณ แทนคาวา “เปนสมาชกของ” หรอ “is an element of” เชน 1 เปนสมาชกของเซต S เขยนในรปสญลกษณไดวา 1 S หรอ a เปนสมาชกของเซต S เขยนไดวา a S และใชสญลกษณ แทนคาวา “ไมเปนสมาชกของ” หรอ “is not an element of” เชน 1 ไมเปนสมาชกของเซต T เขยนไดวา 1 T

เมอกลาวถงเซตใดเซตหนง จะตองมเซตทครอบคลมเซตนนเสมอ เซตทครอบคลมนเรยกวา เอกภพสมพทธ (universal)

ระบบจานวนจรง (the real number system) หรอระบบจานวนทนามาใชเปนเซตของเอกภพสมพทธ เชน N แทนเซตของจานวนนบ หรอจานวนธรรมชาต I แทนเซตของจานวนเตม I+ แทนเซตของจานวนเตมบวก I- แทนเซตของจานวนเตมลบ Q แทนเซตของจานวนตรรกยะ R แทนเซตของจานวนจรง


1) การเขยนเซตแบบแจกแจงสมาชก เปนการเขยนเซตทระบสมาชกทงหมดของเซตนน อยภายใตเครองหมายวงเลบปกกา และคนสมาชกแตละสมาชกดวยเครองหมายจลภาค “,” การเขยนวธนเหมาะสาหรบเซตทมจานวนสมาชกไมมาก แตถามสมาชกจานวนมาก อาจเขยนโดยระบสมาชกตวตนๆ แลวละดวยเครองหมายจด ... และเขยนบอกสมาชกตวสดทาย (ถาทราบวามจานวนสมาชกทงหมดเทาไร) หรอไมตองเขยนบอกสมาชกตวสดทาย (ถาไมทราบวามจานวนสมาชกทงหมดเทาไร) เชน A เปนเซตของจานวนนบ ตงแต 4 ถง 8 เขยนไดดงน A = 4, 5, 6, 7, 8 B เปนเซตของจานวนนบทนอยกวา 120 และมากกวา 10 เขยนไดดงน B = 11, 12, …, 119 C เปนเซตของจานวนนบทเปนจานวนค เขยนไดดงน C = 1, 3, 5, … 2) การเขยนเซตแบบบอกเงอนไขของสมาชกในเซต เปนการเขยนเซตทใชตวแปรแทนสมาชกโดยระบวาตวแปรเปนสมาชกของเอกภพสมพทธใด และอธบายลกษณะของสมาชกทเปนเงอนไขในเซตนน เชน D เปนเซตของจานวนเตมบวก เขยนไดดงน D = x I x เปนจานวนเตมบวก อานวา D เปนเซตของจานวนเตม x โดยท x เปนจานวนเตมบวก A = 4, 5, 6, 7, 8 เขยนแบบบอกเงอนไขของสมาชกในเซตไดดงน A = x N 4 x 8 อานวา A เปนเซตของจานวนนบ x โดยท x นอยกวาหรอเทากบ 8 และ x มากกวาหรอเทากบ 4 B = 11, 12, 13, …, 119 เขยนแบบบอกเงอนไขของสมาชกในเซตไดดงน B = {x N 10 x 120 C = 1, 3, 5 … เขยนแบบบอกเงอนไขของสมาชกในเซตไดดงน C = x N x เปนจานวนค E = x R 3 x 5 อานวา E เปนเซตของจานวนจรง x โดยท x นอยกวา 5 และมากกวา 3 ซงเซต E เขยนแจกแจงสมาชกไมได เพราะจานวนจรงทนอยกวา 5 และมากกวา 3 มมากมายนบไมไดเนองจากจานวนจรงประกอบดวยจานวนตรรกยะ และอตรรกยะ (irrational numbers) ใหพจารณาเซตตอไปน G = x I 4 x 5 จะเหนวา G เปนเซตจานวนเตม x โดยท x นอยกวา 5 และมากกวา 4 ซงไมมจานวนเตมทอยระหวาง 4 และ 5 ดงนน จงเปนเซตทไมมสมาชก เรยก G วาเปนเซตวาง (empty set หรอ null set) ดงนน เซตวาง จงเปนเซตทไมมสมาชก ใชสญลกษณ หรอ แทนเซตวาง


จากตวอยางการเขยนเซต จะพบวา เซตบางเซตเขยนแจกแจงจานวนสมาชกไดและนบจานวนสมาชกได เชน เซต A เซต B และเซต G แตบางเซตไมสามารถนบจานวนสมาชกไดวามทงหมดจานวนเทาใด เชน เซต C เซต D และเซต E ถาแบงเซตออกตามจานวนสมาชกทสามารถนบได และไมสามารถนบไดแลว จะแบงเซตออกเปน 2 ประเภท คอ เซตจากด และเซตอนนต เซตจากด (finite set) คอ เซตทมจานวนสมาชกทงหมดเทากบศนยหรอเทากบจานวนเตมบวก เซตอนนต (infinity set) คอ เซตทไมใชเซตจากด ซงเซตอนนตนจะแบงเปนเซตอนนตแบบนบได เชน เซตของจานวนธรรมชาต ไดแก เซต C และเซต D และเซตอนนตแบบนบไมได เชน เซตของจานวนจรง ไดแก เซต E

2.1.2 ความสมพนธระหวางเซต (Relationships between sets) เมอมเซต 2 เซต นามาเปรยบเทยบกน ความสมพนธระหวางเซตอาจจะเปนไปไดหลายลกษณะซงสามารถ

สงเกตได ดงน 1) เซตทเทากน (equal set) ถาเซตสองเซต มสมาชกเหมอนกนทกตว เรยกวา เซตทเทากน เชน H = 1, 7, b, c L = b, 7, 1, c จะพบวาสมาชกทกตวของเซต H เปนสมาชกของเซต L ดวย และสมาชกทกตวของเซต L กเปนสมาชกของเซต H ดวยเชนกน ดงนน L = H หรออานวาเซต L เทากบเซต H แมวาจะเขยนสมาชกสลบทกน ลาดบทของสมาชกในเซตทงสองไมมความสาคญ แตถามสมาชกเพยง 1 ตว ทไมเหมอนกน เซตทงสองกไมเทากน 2) เซตยอย (subset) ถาเซตสองเซต เซตหนงมสมาชกทกตวเปนสมาชกของอกเซตหนง เรยกวา เปนเซตยอยของอกเซตหนง เชน S = 3, 5, 7, 9 T = 5, 7 ดงนน T เปนเซตยอยของ S เพราะวาสมาชกทกตวของเซต T เปนสมาชกของเซต S ดวย เขยนไดเปน T S แทนขอความ T เปนเซตยอยของ S กาหนดให M= 1, 3, 5

M เปนเซตทมสมาชกบางตวไมเปนสมาชกของเซต S ดงนน M ไมเปนเซตยอยของ S เขยนไดเปน M S จากนยามของการเทากนของเซต และเซตยอย จะสรปไดวา


(1) ถา T เปนเซตยอยของ S กตอเมอสมาชกทกตวของ T เปนสมาชกของ S และ S เปนเซตยอยของ T กตอเมอสมาชกทกตวของ S เปนสมาชกของ T หรอเขยนไดเปน T S และ S T หรอเซตทงสองเซตตางกเปนเซตยอยของกนและกน แสดงวาเซตทงสองตองเทากน หรอ T = S ดงนน T = S กตอเมอ S T และ T S

(2) นอกจากน ยงมสมบตของเซตยอย คอ - เซตทกเซตเปนเซตยอยของตวมนเอง เชน T T เมอ T เปนเซตใดๆ - เซตวางเปนเซตยอยของทกเซต เชน T เมอ T เปนเซตใดๆ

3) เซตยอยแท (proper subset) ถาเซตสองเซต เซตหนงมสมาชกทกตวเปนสมาชกของอกเซตหนง หรอเปนเซตยอยของอกเซตหนง และเซตทงสองนนไมเทากน เรยกวา เปนเซตยอยแทของอกเซตหนง เชน A = -2, 0, 4, 5 B = -2, 0 C = 4 เพราะวา B เปนเซตยอยของ A และ B A C เปนเซตยอยของ A และ C A ดงนน B เปนเซตยอยแทของ A เขยนไดเปน B A และ C เปนเซตยอยแทของ A เขยนไดเปน C A จากทกลาวมาจะสงเกตไดวา เปนสญลกษณแทนการเปนสมาชกของเซต และ เปนสญลกษณแทนการเปนเซตยอยของเซต ดงนนเมอนาไปใชกบระบบจานวนจะไดวาเซตของจานวนเตมเปนเซตยอยของเซตจานวนตรรกยะ ในทานองเดยวกน เซตของจานวนตรรกยะเปนเซตยอยของจานวนจรง ถาตองการหาวามจานวนเซตยอยอยมากนอยเทาใด ถา S เปนเซตจากดทมสมาชกเปน 1, 2 และ 3 สงแรก คอ เซตของสมาชกแตละตวเปนเซตยอยของ S คอ 1, 2, 3 ตอมา เปนเซตของสมาชกทละ 2 ตวเปนเซตยอยของ S คอ 1,2, 1,3, 2,3 ตอมา เปนเซตของสมาชกทละ 3 ตว เปนเซตยอยของ S คอ 1, 2, 3, ซงกเปนเซตของตวมนเอง ถอวาเปนเซตยอยทมขนาดใหญทสดทเปนไปได

และสดทายเปนเซตยอยทมขนาดเลกทสดทเปนไปได กคอเปนเซตยอยทไมมสมาชกของเซตหรอเรยกวาเซตวางนนเอง หรอ หรอ การทบอกวาเซตวางเปนเซตยอยของ S นนกเพราะวา ถาเซตวางไมเปนเซตยอยของ S ดงนนเซตวางตองมสมาชกอยางนอย 1 สมาชก เชน x และ x S แตจากคานยามของเซตวางทหมายถงเซตทไมมจานวนสมาชก จงไมสามารถบอกไดวาเซตวางไมเปนเซตยอยของ S ดงนน เซตวางจงเปนเซตยอยของ S


สรป เมอนบจานวนเซตยอยทงหมดของ S จงตองนบเซตของตวมนเองและเซตวางเขาเปนเซตยอยดวย ประกอบดวยจานวนเซตยอยทงหมด 23 หรอ 8 เซตยอย ดงนนถาเซตหนงประกอบดวย n สมาชก จานวนเซตยอยทงหมดของเซตนจะมจานวน 2n เซตยอย

สาหรบเซตวาง หรอ หรอ กบเซต 0 นนแตกตางกน เพราะเซตวางคอเซตทไมมสมาชกแตเซต 0 คอเซตทมสมาชก 1 ตว คอศนย (0) 4) เซตกาลง (power sets) ถามเซตอยเซตหนงคอ S เปนเซตจากด จานวนเซตยอยทงหมดของเซตนน (2n) เปนสมาชกของอกเซตหนงเรยกเซตนวาเซตกาลงของ S หรอ P(S) เชน S = 1, 2, 3 มจานวนเซตยอยทงหมด 8 เซตยอย ดงนนเซตกาลงของ S หรอ P(S) = , 1, 2, 3, 1,2, 1,3, 2,3, 1,2,3 5) เซตทไมมสมาชกรวมกน (disjoint set) ถาเซตสองเซตไมมสมาชกทเหมอนกนเลยแมแตตวเดยว เรยกเซตทง 2 เซตนวาเปนเซตทไมมสมาชกรวมกน เชน A เปนเซตของจานวนเตมบวก หรอ A = 1, 2, 3, … B เปนเซตของจานวนเตมลบ หรอ B = -1, -2, -3, … ดงนน A และ B เปนเซตทไมมสมาชกรวมกน

2.1.3 แผนภาพเวนน (Venn diagram) แผนภาพเวนน เปนการเขยนแผนภาพแทนเซต ทชวยใหเขาใจความสมพนธระหวางเซตชดเจนมากขน

การเขยนแผนภาพเวนน นยมใชสเหลยมมมฉากแทนเอกภพสมพทธหรอ U และใชวงกลมหรอวงรแทนเซตตางๆ ทเปนเซตยอยของ U

เซตสองเซตใดๆ จะมความสมพนธในลกษณะใดลกษณะหนง ดงแสดงดวยแผนภาพเวนนตามภาพท 2.1 ดงน

1. ไมมสมาชกซ ากนเลย ดงภาพ (ก) 2. มสมาชกบางสมาชกซ ากน แตไมเปนเซตยอยกน ดงภาพ (ข) 3. เซตหนงเปนเซตยอยแทของอกเซตหนง ดงภาพ (ค) 4. เซตทง 2 เทากน ดงภาพ (ง)


ภาพท 2.1 การเขยนแผนภาพเวนนแสดงความสมพนธระหวางเซตในลกษณะตางๆ

ตวอยางท 2.1 ใหเอกภพสมพทธ U = -2, -1, 0, 1, 2, …, 8 A = 0, 1, 2, 3 B = -2, -1, 4, 5 C = 4, 5 D = -1, 0, 1 จงเขยนแผนภาพเวนนแสดงความสมพนธระหวางเซตตางๆ ตามทกาหนดให วธทา

A B U

(ก)

A

B

(ข)

U B

A U

B A

(ค) (ง)

U

0

1 -1

4 5

-2

C

B

8

D

6 A

3

2 7

U


2.1.4 การดาเนนการของเซต (Operations on sets) การดาเนนการของเซตทสาคญททาใหไดเซตใหมจากเซตทมอยเดมทจะนาเสนอในทนคอยเนยน อนเตอร

เซกชน ผลตาง และสวนเตมเตม 1) ยเนยน (union) ยเนยนของเซตสองเซตเปนการสรางเซตใหมทมสมาชกของเซตทงสองมารวมไวในเซตเดยว เชน A = 1, 3, 5 B = 1, 2, 3, 4 ดงนน A B = 1, 2, 3, 4, 5 อานวา A ยเนยน B เปนเซตทประกอบดวยสมาชก 1, 2, 3, 4 และ 5 (ถาสมาชกตวเดยวกนซ ากน จะเขยนสมาชกเพยงตวเดยว ในกรณนจงเขยนสมาชก 1 และ 3 เพยงอยางละ 1 ตว) จะเหนวา A เปนเซตยอยของ A B หรอ A A B B เปนเซตยอยของ A B หรอ B A B เขยนเปนแผนภาพเวนนตามภาพท 2.2 ไดดงน

สวนทแรเงาหมายถง A B ภาพท 2.2 A ยเนยน B

สรปไดวา ถา A และ B เปนเซตยอยของเอกภพสมพทธ U A ยเนยน B คอเซตทประกอบดวยสมาชกของ A หรอของ B และใชสญลกษณ A B แทน A ยเนยน B x เปนสมาชกของ A B กตอเมอ x เปนสมาชกของ A หรอ x เปนสมาชกของ B ดงนน A B = x

U x A หรอ x B

1 3

5

2

4

A B U


ตวอยางท 2.2 ให A เปนเซตของจานวนเตม B เปนเซตของเศษสวน A B = C

ดงนน C เปนเซตของจานวนตรรกยะ ตวอยางท 2.3 ให C เปนเซตของจานวนตรรกยะ D เปนเซตของจานวนอตรรกยะ C D = E

ดงนน E เปนเซตของจานวนจรง 2) อนเตอรเซกชน (intersection) อนเตอรเซกชนของเซตสองเซตเปนการสรางเซตใหมทมสมาชกของเซตเปนสมาชกรวมของเซตทงสอง เชน A = 1, 3, 5 B = 1, 2, 3, 4 ดงนน A B = 1, 3 อานวา A อนเตอรเซกชน B เปนเซตทประกอบดวยสมาชก 1 และ 3 เขยนเปนแผนภาพเวนนตามภาพท 2.3 ดงน

สวนทแรเงาหมายถง A B ภาพท 2.3 A อนเตอรเซกชน B

1 3

5

2

4

A B U


สรปไดวา ถา A และ B เปนเซตยอยของเอกภพสมพทธ U A อนเตอรเซกชน B คอเซตทประกอบดวยสมาชกทอยท งใน A และ B ใชสญลกษณ A B แทน A

อนเตอรเซกชน B x เปนสมาชกของ A B กตอเมอ x เปนสมาชกของ A และ x เปนสมาชกของ B ดงนน A B = x

U x A และ x B ตวอยางท 2.4 ให A = -1, -2, 0 B = 1, 2, 3, 4, 5 ดงนน A B = เนองจาก A และ B เปนเซตทไมมสมาชกรวมกน 3) ผลตางของเซต (difference) ผลตางของเซตสองเซตเปนเซตใหมทมสมาชกของเซตเปนสมาชกของเซตทเปนตวตงทไมใชสมาชกของเซตทนาไปลบ เชน A = 1, 3, 5 B = 1, 2, 3, 4 ดงนน A - B = 5 อานวา A ลบ B เปนเซตทประกอบดวยสมาชก 5 จะเหนวาสมาชกของ A – B จะเปนสมาชกของ A ทไมใชสมาชกของ B และถา B – A = 2, 4 อานวา B ลบ A เปนเซตทประกอบดวยสมาชก 2 และ 4 ในทานองเดยวกนจะเหนวาสมาชกของ B – A จะเปนสมาชกของ B ทไมใชสมาชกของ A เขยนเปนแผนภาพเวนน ตามภาพท 2.4 ดงน

ภาพท 2.4 ผลตางของเซต A และ B

5 2

4

A B

สวนทแรเงา คอ A - B

สวนทแรเงา คอ B - A

13

U


สรปไดวา ถา A และ B เปนเซตยอยของเอกภพสมพทธ U A ลบ B คอเซตทประกอบดวยสมาชกของ A ทไมใชสมาชกของ B ใชสญลกษณ A - B แทน A ลบ B x เปนสมาชกของ A - B กตอเมอ x เปนสมาชกของ A และ x เปนไมเปนสมาชกของ B

ดงนน A - B = x U x A และ x B 4) สวนเตมเตม (complement) สวนเตมเตมของเซตหนงเปนการสรางเซตใหมทมสมาชกของเซตเปนสมาชกของเอกภพสมพทธทไมใชสมาชกของเซตนน เชน ใหเอกภพสมพทธ U = 1, 2, 3, …, 7 A = 1, 3, 5 ดงนน U - A = 2, 4, 6, 7 อานวา U ลบ A หรอสวนเตมเตมของ A คอเซตทประกอบดวยสมาชก 2, 4, 6 และ 7 เขยนเปนแผนภาพเวนน ตามภาพท 2.5 ดงน

ภาพท 2.5 สวนเตมเตมของเซต A

สรปไดวา ถา A เปนเซตยอยของเอกภพสมพทธ U U - A หรอสวนเตมเตมของ A ใน U คอเซตทประกอบดวยสมาชกของ U ทไมใชสมาชกของ A ใช

สญลกษณ A แทนสวนเตมเตมของ A ใน U x เปนสมาชกของ A กตอเมอ x เปนสมาชกของ U และ x เปนไมเปนสมาชกของ A ดงนน A = x U

x A

U

A สวนทแรเงา คอ U – A หรอ A


5) สมบตเกยวกบการดาเนนการของเซต ให A, B, C เปนเซตยอยหรอสบเซตของเอกภพสมพทธ U

(1) สมบตเกยวกบยเนยน 1. A A = A 2. A B = B A (สมบตการสลบท หรอ commutative law) 3. (A B) C = A (B C) (สมบตการเปลยนกลม หรอ associative law) 4. A = A = A (2) สมบตเกยวกบอนเตอรเซกชน 1. A A = A 2. A B = B A (สมบตการสลบท) 3. (A B) C = A (B C) (สมบตการเปลยนกลม) 4. A = A = (3) สมบตการแจกแจง (distributive law) ของยเนยนและอนเตอรเซกชน 1. A (B C) = (A B) (A C) 2. A (B C) = (A B) (A C) (4) สมบตเกยวกบผลตางของเซตหรอกฎของเดอรมองกอง (De Morgan’s Law) สาหรบผลตาง 1. A - (B C) = (A - B) (A - C) 2. A - (B C) = (A - B) (A - C) (5) สมบตเกยวกบสวนเตมเตมของเซตหรอกฎของเดอรมองกองของสวนเตมเตม 1. (A B) = A B 2. (A B) = A B ในการดาเนนการของเซต 3 เซต คอ A, B, C ในขนแรกตองทาการดาเนนการของ 2 เซตใดๆ กอนกไดแลว

จงนามาดาเนนการเซตท 3 ภายหลง


ตวอยางท 2.5 กาหนดเอกภพสมพทธ U = 1, 2, 3, …, 8 A, B, และ C เปนเซตยอยของ U โดยท

A = 1, 2, 3, 8 B = x U 2 x 6 C = x U x 8 และ x หารดวย 2 ลงตว

จงหา 1. A B และ B A 2. (A B) C และ A (B C) 3. A B และ B A 4. (A B) C และ A (B C) 5. A (B C) และ (A B) (A C) 6. A - (B C) และ (A - B) (A - C) 7. (A B) และ A B วธทา จากโจทย A = 1, 2, 3, 8

B = 2, 3, 4, 5 C = 2, 4, 6, 8

1. A B = 1, 2, 3, 4, 5, 8 = B A 2. (A B) C = 1, 2, 3, 4, 5, 8 2, 4, 6, 8 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 A (B C) = 1, 2, 3, 8 2, 3, 4, 5, 6, 8 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 ดงนน (A B) C = A (B C) 3. A B = 2, 3 = B A 4. (A B) C = 2, 3 2, 4, 6, 8 = 2 A (B C) = 1, 2, 3, 8 2, 4 = 2 ดงนน (A B) C = A (B C) 5. A (B C) = 1, 2, 3, 8 2, 4 = 1, 2, 3, 4, 8 (A B) (A C) = 1, 2, 3, 4, 5, 8 1, 2, 3, 4, 6, 8 = 1, 2, 3, 4, 8 ดงนน A (B C) = (A B) (A C)


6. A - (B C) = 1, 2, 3, 8 - 2, 3, 4, 5, 6, 8 = 1 (A - B) (A - C) = 1, 8 1, 3 = 1 ดงนน A - (B C) = (A - B) (A - C) 7. (A B) = U – (A B) = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 - 1, 2, 3, 4, 5, 8 = 6, 7 A B = 4, 5, 6, 7 1, 6, 7, 8 = 6, 7 ดงนน (A B) = A B 2.2 ความสมพนธและฟงกชน (Relations and Functions) กอนทจะกลาวถงความสมพนธและฟงกชน ควรจะทาความเขาใจเกยวกบคอนดบและผลคณคารทเซยนกอนซงถอวาเปนพนฐานของการศกษาความสมพนธ

2.2.1 คอนดบ (Ordered pairs)

ถาเขยนเซตใดเซตหนงดงน A = a, b ในเรองของเซตจะไมคานงถงอนดบทของสมาชกของเซตทจะเขยนกอนหรอหลง เพราะถอวา a, b = b, a ดงนนคของสมาชก a และ b ทเขยนนไมใชคอนดบ (unordered pair) และสมาชกนนม 2 สมาชกหรอเปนค แตถาใหความสาคญของอนดบทของสมาชก จะเรยกวาคอนดบ สามารถเขยนได 2 แบบซงการเขยนแตละแบบนนมความหมายแตกตางกน คอ (a, b) หมายถง อนดบแรกคอ a และอนดบทสองคอ b และ (b, a) หมายถง อนดบแรกคอ b และ อนดบทสองคอ a คอนดบท ง 2 น นไมเทากน แมวาจะประกอบดวยสมาชก a และ b เหมอนกนกตาม ดงนนคอนดบ (a, b) และ (b, a) ไมใชคอนดบเดยวกน โดยทวไปทางคณตศาสตร เมอกลาวถงคอนดบจะใชสญลกษณ (x, y) โดย x แทนสมาชกตวหนา และ y เปนสมาชกตวหลง ดงนนคอนดบสองคจะเทากนกตอเมอ คอนดบทงสองนนจะตองมสมาชกตวหนาเทากนและสมาชกตวหลงเทากนดวย เชน (x, y) = (a, b) กตอเมอ x = a และ y = b จากแนวคดของคอนดบสามารถนาไปประยกตใชกบเซตทมสมาชกมากกวา 2 สมาชก โดยคานงถงอนดบทของสมาชกทอยในเซตนนดวย ถามอนดบทของสมาชก 3 สมาชก เรยกวา ordered triples หรอมอนดบทของสมาชก 4 สมาชก เรยกวา ordered quadruples หรอ มอนดบทของสมาชก 5 สมาชก เรยกวา ordered quintuples ฯลฯ


ตวอยางท 2.6 บรษททมชอเสยงแหงหนงผลตสนคาทกาลงเปนทนยมของตลาด มสาขาในกรงเทพฯ ทจาหนายสนคาดงกลาวอย 5 แหง ฝายการตลาดของบรษททาการเกบขอมลเกยวกบการขายมาประกอบเพอการวางแผนดาเนนงานของบรษท ดงน

สาขาท คาใชจายในการโฆษณา (ลานบาท) ยอดขาย (สบลานบาท) 1 2 5 2 3 8 3 4 10 4 5 14 5 6 20

การจบคกนระหวางคาใชจายในการโฆษณากบยอดขาย เขยนแสดงในรปคอนดบได คอ (x, y) โดยสมาชกอนดบท 1 คอ x หมายถงคาใชจายในการโฆษณาหนวยเปนลานบาท และสมาชกอนดบท 2 คอ y หมายถง ยอดขายสนคาหนวยเปนสบลานบาท จงเขยนแสดงในรปคอนดบไดดงน (2, 5), (3, 8), (4, 10), (5, 14), (6, 20) (2, 5) อานวาคอนดบสองหา ม 2 เปนสมาชกตวหนาและ 5 เปนสมาชกตวหลง หมายถง คาใชจายในการโฆษณาสองลานบาท มยอดขายสนคาหาสบลานบาท ดงนน (2, 5) กบ (5, 2) ยอมไมใชคอนดบเดยวกน ตวอยางท 2.7 การแขงขนประกวดวงดนตรลกทงระดบนกเรยนทวประเทศประจาป ซงมการจดการแขงขนตดตอกนเปนปท 10 แลว การแขงขนในแตละปจะแบงออกเปน 3 กลม เรยกวา 3 ฤด คอ ฤดฝน ฤดหนาว และ ฤดรอน การแขงขนในแตละฤดจะทาการคดเลอกวงดนตรลกทงทดทสดเพยงโรงเรยนเดยวเปนตวแทนประจาฤด เพอเขาไปแขงขนในรอบสดทาย ชงชนะเลศประจาป ดงนนในรอบสดทายชงชนะเลศจะมโรงเรยน 3 โรงเรยน เขามาแขงขน ในรอบสดทายนยงไมมการจดอนดบโรงเรยนทเขาแขงขนแตจะไดอนดบทเมอการแขงขนสนสดลง เมอคณะกรรมการประกาศผลการตดสนใหแตละโรงเรยนเปนชนะเลศ รองอนดบท 1 และรองอนดบท 2 รายชอโรงเรยนทชนะเลศ รองอนดบท 1 และรองอนดบท 2 ตามลาดบกถอไดวาเปนการจดอนดบครงละ 3 เรยกวาเปน ordered triples นนเอง

2.2.2 ผลคณคารทเซยน (Cartesian product)

คอนดบสามารถเปนสมาชกของเซตไดเหมอนกบสงอนๆ ใหพจารณาเซตตอไปน กาหนดให A = 2, 4 และ B = 1, 3, 5 ในการเขยนคอนดบ ถากาหนดใหสมาชกตวหนาของคอนดบเปนสมาชกของ A และสมาชก ตวหลงของคอนดบเปนสมาชกของ B สามารถเขยนคอนดบไดทงหมด 6 คอนดบ โดยแจกแจงแบบแผนภมตนไม (tree diagram) ไดดงน


สมาชกของ A สมาชกของ B คอนดบ

2 1 (2, 1) 3 (2, 3) 5 (2, 5)

4 1 (4, 1) 3 (4, 3) 5 (4, 5)

นาคอนดบทงหมดมาเขยนเปนเซตได ดงน (2, 1), (2, 3), (2, 5), (4, 1), (4, 3), (4, 5) และเรยกเซตนวาผลคณคารทเซยน ของ A และ B จะเหนวาสมาชกของเซตใหมน แตละสมาชกกคอคอนดบแตละคนนเอง สรปไดวา ถา A และ B เปนเซตใดๆ ผลคณคารทเซยน ของ A และ B คอเซตของคอนดบ (a, b) ทงหมดโดยท a เปนสมาชกของ A และ b เปนสมาชกของ B ใชสญลกษณแทนผลคณคารทเซยนของ A และ B วา A B อานวา A คณ B หรอ A cross B และเขยนเปนเซตแบบบอกเงอนไข ไดวา A B = (a, b) a A และ b B ขอควรระวงกคอ A และ B เปนเซตของจานวน แตผลคณคารทเซยนเปนเซตของคอนดบ ถาเซต 2 เซตทนามาหาผลคณคารทเซยนเปนเซตของจานวนจรง จะไดผลคณคารทเซยนทเปนเซตของ คอนดบทมสมาชกคอนดบเปนจานวนจรง สามารถนาไปเขยนกราฟบนระนาบพกดฉากได โดยทคอนดบแตละค กคอ จดๆ หนง (unique point) บนระนาบพกดฉากในทานองตรงขามจดๆ หนงบนระนาบพกดฉากกคอคอนดบเดยว (unique ordered pair) ของเซตผลคณคารทเซยน โดยทวไปกาหนดใหแนวนอนคอแกน x และแนวตงคอแกน y การเขยนกราฟจะใหสมาชกตวหนาของคอนดบเปนคาตามแกน x และสมาชกตวหลงของคอนดบเปนคาตามแกน y ระนาบพกดฉาก (co-ordinate plane) นน เกดจากเสนจานวนจรงสองเสนตดกนเปนมมฉากทจดกาเนด เรยกเสนจานวนในแนวนอนวาแกน x และเรยกเสนจานวนในแนวตงวาแกน y แกน x และแกน y แบงระนาบออกเปน 4 สวนแตละสวนเรยกวา จตภาค (quadrant) จากแนวคดของระนาบพกดฉาก ทาใหสามารถจบคแบบหนงตอหนง (one-to-one correspondence) ระหวางเซตของคอนดบ (a, b) ของผลคณคารทเซยนกบเซตของจดบนระนาบพกดฉาก (x, y) โดย a = x และ b = y ถาผลคณคารทเซยนเปนเซตของจานวนจรง A คณกบเซตของจานวนจรง B เขยนแทน A B ดวย R R (เมอ R คอจานวนจรง) หรอใชสญลกษณวา R2 จากแนวคดในลกษณะเดยวกน ถามเซต 3 เซต คอ A, B และ C ผลคณคารทเซยนของ A, B และ C เขยนไดดงน A B C = (a, b, c) a A, b B, c C


จะไดเปนเซตของอนดบทของสมาชก 3 สมาชก (ordered triples) ดงนนถา A, B, C เปนเซตของจานวนจรงผลคณคารทเซยนของเซตทง 3 กจะเปนเซตของจดตางๆ บนแกนระนาบ 3 มต ใชสญลกษณแทน A B C ดวย R R R หรอ R3

ตวอยางท 2.8 กาหนดให A = 2, 4 B = 1, 3, 5 จงหาผลคณคารทเซยนของ A B และ B A และเขยนกราฟของผลคณคารทเซยน วธทา เพราะวา A B = (a, b) a A และ b B ดงนน A B = (2, 1), (2, 3), (2, 5), (4, 1), (4, 3), (4, 5) และ B A = (b, a) b B และ a A = (1, 2), (1, 4), (3, 2), (3, 4), (5, 2), (5, 4) เขยนกราฟของผลคณคารทเซยน ไดดงน

การหาจานวนสมาชกทงหมดของผลคณคารทเซยนของ A และ B (หรอ A B) ถา A และ B เปน เซตจากด จานวนสมาชกของ A B จะเทากบจานวนสมาชกของ A คณกบจานวนสมาชกของ B จากตวอยาง A = 2, 4 B = 1, 3, 5 ฉะนน จานวนสมาชกของ A B = 2 3 = 6 คอนดบ หรอ จานวนสมาชกของ B A = 3 2 = 6 คอนดบ

0

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5 A

B

A B

(2, 1) (4, 1)

(2, 3) (4, 3)

(2, 5) (4, 5)

0

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5 B

A

B A

(1, 2) (3, 2)

(1, 4)

(5, 2)

(3, 4) (5, 4)


ตวอยางท 2.9 สหกรณรานคาแหงหนง ขายอาหารใหแกสมาชกเปนชดอาหารทประกอบดวยอาหารคาว 1 อยาง และขนมหวานอก 1 อยาง อาหารคาวมใหเลอก 4 ชนด คอ ขาวผด ขาวกะเพราไขดาว กวยเตยวราดหนา และสกน า ขนมหวานมใหเลอก 3 อยาง คอ ขาวเหนยวเปยกลาไย มนแกงบวด และรวมมตร สมาชกของสหกรณรานคาแหงนสามารถเลอกอาหารชดไดกแบบ วธทา ให A = ขาวผด, ขาวกะเพราไขดาว, กวยเตยวราดหนา, สกน า B = ขาวเหนยวเปยกลาไย, มนแกงบวด, รวมมตร และให a แทน ขาวผด b แทน ขาวกะเพราไขดาว c แทน กวยเตยวราดหนา d แทน สกน า e แทน ขาวเหนยวเปยกลาไย f แทน มนแกงบวด g แทน รวมมตร ดงนน A = a, b, c, d B = e, f, g จานวนสมาชกของผลคณคารทเซยนของ A และ B = 4 3 = 12 คอนดบ จะได A B = (a, e), (a, f), (a, g), (b, e), (b, f), (b, g), (c, e), (c, f), (c, g), (d, e), (d, f), (d, g) ดงนน สมาชกของสหกรณรานคาสามารถเลอกอาหารชดไดทงหมด 12 แบบ

2.2.3 ความสมพนธ (Relations) ความสมพนธในคณตศาสตรจะเปนการกลาวถงความเกยวของกนระหวางสมาชกของเซต 2 เซต ภายใตกฎเกณฑซงอยในรปสมการหรออสมการ ความสมพนธเปนเซตทมสมาชกเปนคอนดบ จากเรองผลคณคารทเซยน ทราบวา ถา A และ B เปนเซตสองเซต A B = (a, b) a A และ b B B A = (b, a) b B และ a A ดงนน A A = (a, b) a, b A และ B B = (b, a) a, b B นนคอ คอนดบทเปนสมาชกของเซตของผลคณคารทเซยน A B สมาชกตวหนามาจากเซต A และสมาชกตวหลงมาจากเซต B


ถาแทนความสมพนธดวยเซต r โดย r เปนเซตยอยหรอสบเซตของผลคณคารทเซยน A B แลว สามารถกลาวไดวา r เปนความสมพนธจาก A ไป B ดงน น r จะเปนความสมพนธจาก A ไป B กตอเมอ r เปนเซตยอยหรอสบเซตของ A Bทาใหความสมพนธจงเปนเซตทมสมาชกเปนคอนดบดวย การเขยนเซตของความสมพนธอาจเขยนแบบแจกแจงสมาชกหรอเขยนแบบบอกเงอนไขของสมาชกกได แตถา r เปนเซตยอยหรอสบเซตของ A A จะเรยกวา r เปนความสมพนธในเซต A ในเรองของความสมพนธนจะเขยนสมาชกคอนดบของผลคณคารทเซยนดวย (x, y) แทน (a, b) ซงเปนสญลกษณทางคณตศาสตรทวๆ ไป ตวอยางท 2.10 การโยนลกเตาทเทยงครงละ 1 ลก 2 ครง ให P1 และ P2 เปนเซตของแตมของการโยนลกเตาครงท 1 และครงท 2 ตามลาดบ จงหาความสมพนธจาก P1 ไป P2 และแสดงกราฟของความสมพนธ เมอ r = (x, y) P1 P2 x + y = 6 วธทา P1 คอ เซตของแตมของการโยนลกเตาครงท 1 = 1, 2, 3, 4, 5, 6 P2 คอ เซตของแตมของการโยนลกเตาครงท 2 = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ดงนน P1 P2 = (1, 1), (1, 2), (1, 3), …, (6, 6) จานวนสมาชกคอนดบของ P1 P2 = 6 6 = 36 คอนดบ P1 และ P2 เปนเซตจากด ทาให P1 P2 เปนเซตจากดดวย เนองจากความสมพนธ (r) เปนเซตยอยของ P1 P2 ดงนน r จงเปนเซตจากด โดยม P1 P2 เปนเอกภพสมพทธ


ตวอยางท 2.11 ให r เปนความสมพนธในเซตของจานวนเตม (I) โดยท r = (x, y) I I y = 2x จงแสดงกราฟของ r วธทา r เปนเซตอนนตทเขยนแบบแจกแจงสมาชกได แทนคา x บางคาในสมการแสดงความสมพนธเพอหาคอนดบบางคอนดบทเปนสมาชกของ r และเขยนเปนกราฟของคอนดบบนกราฟของผลคณคารทเซยน I I x 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 y = 2x 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8

0

1

2

3

4

5

1 2 3 5 4 P1

P2

(5, 1)

(3, 3)

(4, 2)

(1, 5)

(2, 4)

6

6 การหาสมาชกของ r ทาโดยแทนคา x P1 ในสมการ x + y = 6 หรอ y = 6 – x เพอหา y P2 ไดดงน r = (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)


ตวอยางท 2.12 ให r = (x, y) I I y xจงแสดงกราฟของ r วธทา r เปนความสมพนธใน I r เปนเซตอนนต แทนคา x ในอสมการ y x เพอหาคอนดบทเปนสมาชกของ r เชน x = 0 y 0 คอ -1, -2, ... x = 1 y 1 คอ 0, -1, -2, ...

ดงนนจะไดคอนดบ เชน (-2, -3), (-2, -4), (-2, -5), … (-1, -2), (-1, -3), (-1, -4), … (0, -1), (0, -2), (0, -3), … (1, 0), (1, -1), (1, -2), …

0

1 2

3 4

5

1 2 3 5 4 x

y

6

6

-2 -1

-4 -3

-2 -1

กราฟของ r เปนจดเรยงกนอยในแนวเสนตรง โดยมสมาชกทเปนคอนดบ ดงน r = …, (-4, -8), (-3, -6), (-2, -4), (-1, -2), (0, 0), (1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), … กราฟของ r ทมลกศรไวทกราฟ เพอแสดงวายงมจดอนๆ อกมากมาย ทเปนสมาชกของ r


จากตวอยางนแสดงใหเหนวา ถา x = 1 y สามารถมคาไดหลายคา เชน 0, -1, -2, ... แสดงวา ความสมพนธในกรณนเมอกาหนดคาบนแกน x 1 คาจะทาใหเกดคาบนแกน y ทสอดคลองกนมากกวา 1 คา ไดจดบนระนาบพกดฉากมากกวา 1 จด

2.2.4 โดเมนและเรนจของความสมพนธ

กาหนดให A = 3, 4, 5, 6, 7, 8 B = 2, 3, 4, 5

แทน r = (x, y) A B y = 21

x

r เปนความสมพนธจาก A ไป B และ r เปนเซตยอยของ A B เขยนแบบแจกแจงสมาชกไดดงน r = (4, 2), (6, 3), (8, 4) จะเหนวาเซตความสมพนธ r นน มสมาชกทเปนคอนดบ 3 คอนดบ และสมาชกตวหนาของทกคอนดบ คอ เซต 4, 6, 8 เรยกเซตนวา โดเมน (domain) ของ r และมสมาชกตวหลงของทกคอนดบ คอ เซต 2, 3, 4 เรยกเซตนวา เรนจ (range) ของ r

0 x

y

ความสมพนธในกรณน จะเปนเซตของจดทกจดทตรงกบเงอนไข y < x และเปนเซตอนนต

จะส ง เกตไดว า เม อกาหนดคา x ใหคาใดคาหนงจะทาใหไดคา y มากกวา 1 คา ตามความสมพนธของอสมการ y < x


แต r เปนความสมพนธ จาก A ไป B โดเมนของ r จะเปนเซตยอยของ A และเรนจของ r จะเปนเซตยอยของ B สรปไดวา ถา r เปนความสมพนธจาก A ไป B โดเมนของ r เขยนแทนดวย Dr เปนเซตของสมาชกตวหนาของทกคอนดบใน r เรนจของ r เขยนแทนดวย Rr เปนเซตของสมาชกตวหลงของทกคอนดบใน r ตวอยางท 2.13 กาหนดให A = -2, -1, 0, 1, 2 B = -1, 0, 1, 2, 3 r เปนความสมพนธจาก A ไป B โดยท r = (x, y) A B y = x2 จงหาโดเมนและเรนจของ r วธทา ทาการแทนคา x ซง x A ในสมการ y = x2 เพอหาคาของ y ซง y B

x y = x2 (x, y) A B -1 1 (-1, 1) 0 0 (0, 0) 1 1 (1, 1)

ดงนน r = (-1, 1), (0, 0), (1, 1)

Dr หรอ โดเมนของ r คอ -1, 0, 1 Rr หรอ เรนจของ r คอ 0, 1

0

1 2

3

1 2 3 x

y

-2 -1

-3


ตวอยางท 2.14 ให r = (x, y) R R y = 2 – x2 จงเขยนกราฟของ r และหาโดเมนและเรนจของ r วธทา หาคอนดบทเปนสมาชกของ r โดยการแทนคา x บางคา ซง x R ในสมการ y = 2 – x2 เพอหาคาของ y ซง y R

x y = 2 - x2 (x, y) R R -2 y = 2 – (-2)2 = -2 (-2, -2) -1 y = 2 – (-1)2 = 1 (-1, 1) 0 y = 2 – 0 = 2 (0, 2) 1 y = 2 – (1)2 = 1 (1, 1) 2 y = 2 – (2)2 = -2 (2, -2)

กราฟของ r มลกษณะดงน กราฟของ r เปนเสนโคงพาราโบลาควา จดสงสดอยท (0, 2) ทกจดทเรยงกนเปนเสนโคงนคอสมาชกของ r

เมอพจารณาจากกราฟ จะไดวา โดเมนของ r หรอ Dr = x x เปนจานวนจรง เรนจของ r หรอ Rr = y R y 2

0 x

y

(0, 2)

(1, 1)

(2, -2) (-2, -2)

(-1, 1)


ตวอยางท 2.15 กาหนดความสมพนธ r ในเซตของจานวนจรง ดงน r = (x, y) R R y = 2x + 4 จงเขยนกราฟของ r และหาโดเมนและเรนจของ r

วธทา เนองจากเงอนไขของความสมพนธเปนสมการเสนตรง y = 2x + 4 กราฟของความสมพนธนจะเปนเสนตรง วธการเขยนกราฟ กรณท x, y เปนจานวนจรง ใหหาคอนดบสองคอนดบทเปนสมาชกของ r ซงเปนจดบนแกน x และจดบนแกน y วธการทงายทสดคอใหแทนคา x และ y เทากบ 0 ถา x = 0 สมการ y = 2x + 4 จะได y = 4 ดงนนจดตดบนแกน x คอ (0, 4) ถา y = 0 สมการ y = 2x + 4 จะได x = -2 ดงนนจดตดบนแกน y คอ (-2, 0) กราฟของ r เปนดงน

จดทเรยงกนตอเนองเปนเสนตรงเปนสมาชกของ r จากกราฟจะไดวา ถา x = -2, y = 0 ถา x > -2, y > 0 ถา x < -2, y < 0 โดเมนของ r หรอ Dr = x x เปนจานวนจรง เรนจของ r หรอ Rr = y y เปนจานวนจรง

0 (-2, 0)

(0, 4)

y

x


2.2.5 ฟงกชน (Function) ฟงกชนเปนความสมพนธชนดหนงทม เงอนไขเฉพาะ ดงน นฟงกชนตองเปนความสมพนธแตความสมพนธอาจจะเปนฟงกชนหรอไมกได ใหพจารณาความสมพนธตอไปน ถา r1 = (4, 8), (3, 6), (2, 4), (1, 2), (0, 0) r2 = (1, 0), (1, -1), (0, -1), (0, -2), (-1, -2) เมอพจารณาจากความสมพนธ r1 จะเหนวาทกคอนดบทอยใน r1 มสมาชกตวหนาตางกน ดงภาพท 2.6

ภาพท 2.6 ความสมพนธ r1

แตเมอพจารณาความสมพนธ r2 จะเหนวามคอนดบบางค เชน (1, 0), (1, -1) ทงสองคอนดบนมสมาชกตวหนาเทากน คอ 1 แตสมาชกตวหลงตางกน คอ 0 และ -1 ดงภาพท 2.7

ภาพท 2.7 ความสมพนธ r2

4 3 2 1 0

8 6 4 2 0

r1

1 0

-1

0

-1

-2

r2


จากภาพท 2.7 มสมาชกตวหนาบางตวจบคกบสมาชกตวหลงมากกวาหนงตว ลกษณะของความสมพนธ r1 เปนฟงกชน แตความสมพนธ r2 ไมเปนฟงกชน “บทนยามของฟงกชนกคอ ความสมพนธทมสมบตวา ถาคอนดบสองคใดๆ มสมาชกตวหนาของคอนดบเทากนแลว สมาชกตวหลงของคอนดบนนตองเทากนดวย” สญลกษณทใชแทนฟงกชน นยมใชอกษรภาษาองกฤษตวตาม เชน f, g, h หรอ บางครงกนยมใชอกษรภาษาองกฤษตวนา เชน F, G, H เปนตน จากบทนยามของฟงกชน เขยนเปนสญลกษณคณตศาสตรไดดงน ถา (x, y) f และ (x, z) f แลว y = z แสดงวา f เปนฟงกชนและความสมพนธ f ไมเปนฟงกชน ถา (x, y) f และ (x, z) f แต y z ดงนน การตรวจสอบวาความสมพนธใดเปนฟงกชนหรอไมเปนฟงกชน ใหดทคอนดบของความสมพนธนนวามคอนดบ คใดบางทมสมาชกตวหนาเหมอนกน แตสมาชกตวหลงตางกน ถามแสดงวาความสมพนธนนไมเปนฟงกชน แตถาไมมแสดงวาความสมพนธนนเปนฟงกชนพจารณาจากภาพท 2.8 ประกอบดงน

ภาพท 2.8 ความสมพนธทเปนฟงกชนและไมเปนฟงกชน จากภาพท 2.8 f เปนฟงกชน แต g ไมเปนฟงกชน ตวอยางท 2.16 จงพจารณาวาความสมพนธใดเปนฟงกชน 1. r1 = (1, 2), (2, 4), (3, 2), (5, 2) 2. r2 = (1, 2), (2, 4), (3, 5), (1, 6) 3. r3 = (x, y) R R y = x + 1 4. r4 = (x, y) R R x2 + y2 = 4

x y f

x

y z

g


วธทา 1. r1 = (1, 2), (2, 4), (3, 2), (5, 2) คอนดบของความสมพนธ r1 ไมมคอนดบใดทมสมาชกตวหนาซ ากน แสดงวา r เปนฟงกชน ถาพจารณาแผนภาพ r1

ไมมสมาชกตวหนาซ ากน r1 เปนฟงกชน 2. r2 = (1, 2), (2, 4), (3, 5), (1, 6) ม ค อน ดบ 2 ค อน ดบ ท ม สม าชกตวหน าซ ากน และสมาชกตวหลง ต างกน ค อ (1 , 2 ) และ (1, 6) ดงนน r2 ไมเปนฟงกชน ถาพจารณาแผนภาพ r2

มสมาชกตวหนาซ ากนคอ 1 และสมาชกตวหลงไมเทากน คอ 2 และ 6 r2 จงไมเปนฟงกชน 3. r3 = (x, y) R R y = x + 1 เงอนไขความสมพนธ คอ y = x + 1 เมอคอนดบ (x, y) เปนจานวนจรง แทนคา x ในสมการเงอนไข จะไดคา y เพยง 1 คาเทานน ถา x = 0 จะได y = 0 + 1 = 1 คอนดบคอ (0, 1) x = 1 จะได y = 1 + 1 = 2 คอนดบคอ (1, 2)

1 2 3 5

2 4

1 2 3

2 4 5 6


ดงนน r3 เปนฟงกชน ถาพจารณาจากภาพดงน

4. r4 = (x, y) R R x2 + y2 = 4 เงอนไขความสมพนธ คอ x2 + y2 = 4 เมอ (x, y) เปนจานวนจรง แทนคา x ในสมการเงอนไข ถา x = 0 จะได y2 = 4 - x2 = 4 – 0 = 4 y = 4 = 2 จะไดคอนดบ (0, 2), (0, -2) ซงมสมาชกตวหนาซ ากนแตสมาชกตวหลงไมเทากน ดงนน r4 ไมเปนฟงกชน ถาพจารณาจากภาพดงน

0

(1, 2)

y

x (0, 1)

y = x + 1

0

y

x

2

-2

2 -2


การตรวจสอบความสมพนธวาเปนฟงกชนหรอไมโดยใชกราฟของความสมพนธเปนอกวธการหนงทสะดวกเมอทราบกราฟของความสมพนธ โดยการใชเสนตรงทขนานกบแกน y ใหตดเสนกราฟของความสมพนธนน ถาเสนตรงนนตดกราฟเพยงหนงจด แสดงวา กราฟของความสมพนธนนเปนฟงกชน แตถาเสนตรงนนตดกราฟมากกวาหนงจด กราฟของความสมพนธนนไมใชกราฟของฟงกชน เพราะวาเสนตรงทขนานกบแกน y จะตดแกน x ทคาใดคาหนง ณ ทคา x นนจะไดคา y ทเสนกราฟมากกวา 1 คา แสดงวามคอนดบมากกวาหนงคทมสมาชกตวหนาซ ากน แตสมาชกตวหลงตางกน ตวอยางท 2.17 กราฟของความสมพนธทกาหนดใหเปนฟงกชนหรอไม 1.

2.

O

y

x

O

y

x


3.

วธทา 1. ใหลากเสนตรงขนานกบแกน y 1 เสน เสนตรงนจะตดกราฟเพยงจดเดยวคอจด (a, b) ดงนน กราฟของความสมพนธนเปนกราฟของฟงกชน

O

y

x

O

y

x

b

a

(a, b)


2. ใหลากเสนตรงขนานกบแกน y 1 เสน เสนตรงนจะตดกราฟเพยงจดเดยวคอจด (c, d) ดงนน กราฟของความสมพนธนเปนกราฟของฟงกชน

3. ใหลากเสนตรงขนานกบแกน y 1 เสน เสนตรงนจะตดกราฟสองจดคอ (a, b) และ (a, c) แต b c ดงนน กราฟของความสมพนธนไมใชกราฟของฟงกชน

2.2.6 คาของฟงกชน

จากความสมพนธ r1 = (x, y) R R y = 2x + 2 เมอแทนคา x ในสมการเงอนไขของความสมพนธ r1 จะพบวา x หนงคาจะกาหนดคา y เพยง 1 คาเทานน ความสมพนธนจะเปนฟงกชน

O

y

x

(c, d) d

c

O

y

x

(a, c) c

b (a, b)

a


ดงนน ถา (x, y) f จะเขยน y ไดอกอยางหนงคอ f(x) หรอ y = f(x) และเรยก f(x) (อานวา เอฟของเอกซหรอเอฟเอกซ) วาคาของฟงกชน f ท x จาก r1 ทกาหนดใหขางตนจงเขยนใหมไดเปน f = (x, y) R R y = 2x + 2 หรอ f = (x, y) R R f(x) = 2x + 2 หรอ f = (x, y) f(x) = 2x + 2 หรออาจจะเขยนเฉพาะเงอนไขทแสดงวาเปนฟงกชนกได คอ y = 2x + 2 หรอ f(x) = 2x+2 แทนฟงกชน f การหาคาของฟงกชน หรอ f(x) นน ใหแทนคา x เทากบคาใดคาหนง เชน x = a ดงนน จงเขยนแทน x ดวย a ในฟงกชน เปน f(a) หมายความวาคาของ f ท x เทากบ a เชน f(1) หมายถง คาของ f ท x เทากบ 1 หรอ f(-2) หมายถง คาของ f ท x เทากบ -2 แลวแทนคาของ x ทางดานขวามอของฟงกชน กจะไดคาของฟงกชนตามตองการ เชน กาหนด x = 1 จะได f(1) = 2(1) + 2 = 4 ถา x = -2 จะได f(-2) = 2(-2) + 2 = -2 หรอ x = 1 y = f(x) = 4 x = -2 y = f(x) = -2 จะเหนวา คา y มคาตางๆ กน ขนอยกบคาของ x ทแปรเปลยนไป จงเรยก x และ y วาตวแปร (variable) แต y แปรเปลยนตามคาของ x และ x ไมไดแปรเปลยนตามคาของ y จงเรยก y วาเปนตวแปรตาม (dependent variable) และเรยก x วาตวแปรอสระ (independent variable) ในกรณทกาหนดคา x ใหแปรเปลยนไปดวยคาจานวนจรงใดๆ ในฟงกชนแลว ปรากฏวาคาของฟงกชนนนเปนคาใดคาหนงทคงทไมแปรเปลยนไป จะเรยกฟงกชนนนวา ฟงกชนคาคงตว เชน f(x) = 4 ไมวาจะกาหนดคา x ดวยจานวนจรงใดๆ จะไดคาของ f เปน 4 เสมอ ตามภาพท 2.9


ภาพท 2.9 ฟงกชนคาคงตว จากภาพของฟงกชนจะเหนวาสมาชกตวหนาของทกคอนดบจะจบคกบสมาชกตวหลงเพยงตวเดยว คอ 4 ดงนน f(x) = 4 จงเปนฟงกชนคาคงตว

2.2.7 โดเมนและเรนจของฟงกชน

การหาโดเมนและเรนจของฟงกชน สามารถทาไดในลกษณะเดยวกนกบการหาโดเมนและเรนจของความสมพนธเพราะฟงกชนมาจากความสมพนธ

ถา r เปนความสมพนธจาก A ไป B และความสมพนธ r นเปนฟงกชน (f) ดงนน f เปนฟงกชนจาก A ไป B

โดเมนของ f จงเปนเซตของสมาชกตวหนาทกตวของคอนดบใน f หรอเขยนไดวา Df = x (x, y) f และเรนจของ f จงเปน เซตของสมาชกตวหลงทกตวของคอนดบใน f หรอเขยนไดวา Rf = y (x, y) f

0

y

x

f(x) = 4 4

-2 -1 0 1 2

4

f


ตวอยางท 2.18 ให f = (0, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 4) จงหาโดเมนและเรนจของฟงกชน วธทา เขยนภาพของฟงกชนไดดงน

Df = 0, 1, 2, 3 Rf = 1, 2, 3, 4

ตวอยางท 2.19 จงหาโดเมนและเรนจของฟงกชนจาก R ไป R และ h(x) = x1

วธทา เขยนภาพของฟงกชนไดดงน

ถา แทน x ดวยคาจานวนจรงใดๆ สามารถหาคาฟงกชน h(x) = x1ได ผลลพธทไดจะเปนจานวนจรง

ยกเวน เมอแทนคา x ดวย 0 จะทาใหไมสามารถหาคาฟงกชนนได

0 1 2 3

1 2 3 4

f

O

y

x

h(x) =


ดงนน โดเมนของ h คอเซตของจานวนจรง R ทไมรวม 0 หรอ Dh = x R x 0 สาหรบ เรนจของฟงกชน จะพจารณาจากผลลพธเมอแทนคา x ดวยจานวนจรงใดๆ ทไมใชศนย พบวาคาของ h หรอ h(x) มคาเปนจานวนจรง แตจะไมเทากบศนย (เนองจากเศษสวนจะมคาเปนศนยกตอเมอเศษมคาเปนศนย) ดงนน เรนจของ h คอเซตของจานวนจรง R ทไมรวม 0 หรอ Rh = y R y 0 สาหรบแบบจาลองทางเศรษฐศาสตร (economic model) มกจะประกอบดวยสมการพฤตกรรม (behavioral equation) ทเปนฟงกชน และตวแปรตางๆ ในแบบจาลองนนจะมขอจากดโดยตวของมนเองทมกจะเปนจานวนจรงทไมเปนคาลบ (nonnegative real numbers) จงทาใหโดเมนของฟงกชนถกจากดคาตามไปดวย ซงกเปนเหตผลอยางหนงททาใหการวเคราะหทางเศรษฐศาสตรโดยการใชกราฟอธบาย (การใชรปภาพเรขาคณต) จงเขยนแตเฉพาะจตภาคท 1 เปนสวนใหญ โดยทวไปแลวในแบบจาลองทางเศรษฐศาสตรจะไมระบคาเฉพาะของโดเมนในทกๆ ฟงกชน ดงนนในเมอไมมการกาหนดคาเฉพาะใหแตใหเปนทเขาใจกนวา โดเมนและเรนจของฟงกชนจะหมายถงจานวน ททาใหฟงกชนนนๆ มความหมายทเปนไปไดทางเศรษฐศาสตร ตวอยางท 2.20 ถาตนทนทงหมดตอวนของหนวยธรกจแหงหนง เปนฟงกชนของผลผลตทผลตไดในแตละวน ดงน C = 150 + 7Q เมอ C คอ ตนทนทงหมดตอวน Q คอ ผลผลตตอวน หนวยธรกจมกาลงการผลตจากดเพยงวนละ 100 หนวย จงหาโดเมนและเรนจของฟงกชน ตนทนของหนวยธรกจน วธทา จากโจทยนแสดงวา Q เปนตวแปรอสระ C เปนตวแปรตาม Q เปนจานวนจรงทมคา 0 ถง 100 คอไมมการผลตเลยจนถง 100 หนวย ดงนน โดเมนของฟงกชนนกคอ เซตของ Q ทมคาตงแต 0 ถง 100 [เพราะวา Df = x (x, y) f] เขยนไดวา Df = Q 0 Q 100 สาหรบการหาเรนจของฟงกชน ทาโดยการแทนคา Q แตละคาในฟงกชนเพอหาคา C ถา Q = 0 จะได C = 150 + 7(0) = 150 ไดคอนดบ (0, 150) Q = 100 จะได C = 150 + 7(100) = 850 ไดคอนดบ (10, 850)


2.3 ชนดของฟงกชน (Types of function) ฟงกชนแบงออกเปน 2 ลกษณะใหญๆ คอ ฟงกชนพชคณต (algebraic functions) และฟงกชนทไมใชฟงกชนพชคณต (non algebraic function) หรอเรยกวาฟงกชนอดศย (transcendental functions) ฟงกชนพชคณตประกอบดวยฟงกชนพหนาม (polynomial function) และฟงกชนตรรกยะ (rational function) สาหรบฟงกชนอดศย ซงเปนฟงกชนทไมใชฟงกชนพชคณตนน ประกอบดวย ฟงกชนเอกซโปเนนเชยล (exponential function) ฟงกชนลอการทม (logarithmic function) และฟงกชนตรโกณมต (trigonometric function) 2.3.1 ฟงกชนพหนาม (Polynomial function)

พหนาม (polynomial) เปนนพจน (expression) เชงพชคณตแบบหนง เชน 3x2+2x – 1, -8x3+41

x2–x+ 5

เปนตน สามารถเขยนเปนนพจนเชงพชคณตในรปแบบทวไป ดงน anxn + an-1xn-1 + … + a2x2 + a1x + a0 เรยกนพจนเชงคณตศาสตรนวา “พหนามของ x ดกร (degree) n” คาวาดกร กคอ กาลงมากทสดของตวแปรในพหนามน น สาหรบ an, an-1, …, a2, a1, a0 เรยกวาสมประสทธ (coefficients) ของ พหนาม ซงเปนจานวนจรง และ an 0 เรยก an วาเปนสมประสทธนา และเรยก a0 วาพจนคงท (constant term) พจนหรอเทอม (terms) ของ พหนาม แตละพจนกคอ anxn, an-1xn-1 , … , a2x2 , a1x , a0 ในการเขยนพจนของพหนาม ถาสมประสทธของพจนใดเปนศนย กไมตองเขยนพจนนนในพหนาม ฟงกชนพหนาม เปนฟงกชนจาก R ไป R ซงคาของฟงกชนจะกาหนดโดยพหนามของตวแปรอสระ (x) จะไดวา

f(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a2x2 + a1x + a0

0

y

Q

C = 150 + 7Q

150

850

100

[เพราะวา Rf = y (x, y) f] ดงนน Rf = C 150 C 850


โดยทสมประสทธของพหนามเปนจานวนจรง และดกรหรอกาลง (exponent) ของตวแปรอสระ กคอดชนบน (superscript) ของตวแปร x และตองเปนจานวนเตมทไมเปนจานวนเตมลบ รวมถง an 0 และเรยกฟงกชนนวา ฟงกชนพหนามของ x ดกร n กรณ n = 0 : f(x) = a0 เปนฟงกชนพหนามของ x ดกร 0 หรอฟงกชนคงตว เชน f(x) = 5 กรณ n = 1 : f(x) = a1x + a0 เปนฟงกชนพหนามของ x ดกร 1 หรอ ฟงกชนเชงเสน เชน f(x) = 4x + 1 กรณ n = 2 : f(x) = a2x2 + a1x + a0 เปนฟงกชนพหนามของ x ดกร 2 หรอฟงกชนกาลงสอง เชน f(x) = 2x2 + 3x + 1 กรณ n = 3 : f(x) = a3x3 + a2x2 + a1x + a0 เปนฟงกชนพหนามของ x ดกร 3 หรอฟงกชนกาลงสาม เชน f(x) =

2x3 + 3x2 - 17x + 12 1) ฟงกชนคงตว (constant function) หมายถง ฟงกชนพหนามทมดกรเปนศนย เขยนไดวา f(x) = a0 โดยท a0 เปนคาคงททไมเทากบศนย กราฟของฟงกชนคงตวจะเปนเสนตรงทขนานกบแกน x และตดแกน y ท (0,a0) เชน f(x) = 5 กราฟของฟงกชนนเปนเสนตรงทขนานกบแกน x และตดแกน y ท (0, 5) ตามภาพท 2.10

ภาพท 2.10 กราฟของฟงกชนคงตว

2) ฟงกชนเชงเสน (linear function) หมายถง ฟงกชนพหนามทมดกรเปน 1 เขยนไดวา f(x) = a1x + a0 โดยท a1 เปนคาสมประสทธของตวแปร x ทไมเทากบศนย

0

y

x

f(x) = 5 (0, 5)


กราฟของฟงกชนเชงเสน จะเปนเสนตรงทมความชน (slope) ของเสนตรงเทากบ a1 และตดแกน y ท (0, a0) เรยกวา สวนตดแกนตง (y-intercept หรอ vertical intercept) คาสมประสทธ a1 หรอความชนของเสนตรงน หมายความวา ถาตวแปร x เปลยนแปลง 1 หนวย จะทาให y มคาเปลยนแปลง a1 หนวย ขนอยกบวาความชนมคาเปนบวกหรอลบ ถาความชนเปนบวก (a1 > 0) เสนตรงจะเปนเสนทลาดขน การเปลยนแปลงของตวแปร y จะเปนไปในทศทางเดยวกนกบตวแปร x แตถาความชนเปนลบ (a1 < 0) เสนตรงจะเปนเสนทลาดลง การเปลยนแปลงของตวแปร y จะเปนไปในทศทางตรงขามกบการเปลยนแปลงของตวแปร x เชน f(x) = 2x + 1

ภาพท 2.11 กราฟของฟงกชนเชงเสน คาสมประสทธของ x มคาเทากบ +2 หมายความวา ถาตวแปร x มคาเพมขน 1 หนวย จะมผลทาใหตวแปร y มคาเพมขน 2 หนวย หรอตวแปร x มคาลดลง 1 หนวย จะมผลทาใหตวแปร y มคาลดลง 2 หนวย (ทศทางการเปลยนแปลงของ x และ y เปนไปในทศทางเดยวกน) 3) ฟงกชนกาลงสอง (quadratic function) หมายถง ฟงกชนพหนามทมดกรเปน 2 เขยนไดวา f(x) = a2x2 + a1x + a0 โดยท a2 0 กราฟของฟงกชนกาลงสอง จะเปนรปพาราโบลา (parabola) หรอเปนเสนโคง 1 โคง ถา a2 เปนบวก หรอ a2 > 0 กราฟของฟงกชนจะเปนโคงหงาย ถา a2 เปนลบหรอ a2 < 0 กราฟของฟงกชนจะเปนโคงคว า เชน f(x) = x2 + 1 แสดงวา a2 = 1 a1 = 0 จงไมเขยนพจนหรอเทอมของ a1 x และ a0 = 1 เมอแทนคา x ดวยจานวนจรง ใน f(x) จะไดกราฟของฟงกชนเปนโคงหงายตามภาพท 2.12

0

y

x

f(x) = 2x + 1

(0, 1)

กราฟของฟงกชนเชงเสน ตดแกน y ทคอนดบ (0, 1) หรอสวนตดแกนตง อยทคอนดบ (0, 1) ตามภาพท 2.11


ภาพท 2.12 กราฟของฟงกชนกาลงสอง

4) ฟงกชนพหนามทมดกรมากกวา 2 ในกรณน กราฟของฟงกชนจะมความซบซอนมากขน แตกยงคงเปนไปตามลกษณะทวๆ ไปของกราฟของฟงกชนพหนาม คอ เปนกราฟทตอเนอง ไมขาดชวงและไมมจดหกมม เชน กราฟของฟงกชนกาลงสาม (cubic function) ทวๆ ไปมกจะเปนเสนโคงทม 2 โคง ดงตวอยางฟงกชน f(x) = 50 + 60x - 12x2 + x3 ตามภาพท 2.13

ภาพท 2.13 กราฟของฟงกชนพหนามกาลงสาม ฟงกชนพหนามกาลงสามในลกษณะตามตวอยางดงกลาวมกจะใชมากในแบบจาลองทางเศรษฐศาสตร เชน ฟงกชนตนทน (cost function) เปนตน ในบางครงมการเขยนฟงกชนอยในรปของผลคณของพหนาม กถอวาเปนฟงกชนพหนามทมดกรเทากบผลบวกของดกรของทกๆ พหนามทคณกนนนเอง เชน f(x) = (2x + 1) (x + 3) (x – 1) = 2x3 + 5x2 – 4x – 3 เปนฟงกชนพหนามของ x ดกร 3 f(x) = (x - 1) (2x + 5) (x2 + 3x + 1) = 2x4 + 9x3 + 6x2 – 12x – 5 เปนฟงกชนพหนามของ x ดกร 4

0

y

x

f(x) = x2 + 1

(0, 1)

0

y

x

f(x) = 50 + 60x - 12x2 + x3 (0, 50)


นอกจากนการเขยนฟงกชนพหนามพจนหรอเทอมทางดานขวามออาจจะเขยนเรยงจากคาคงทกอนแลวเรยงตามพจนทยกกาลงตาสดกอนไปหาพจนทยกกาลงสงสด เชน f(x) = 3 + 2x, f(x) = 1 + x2, f(x) = 110 – 5x – 2x2 + x3 เปนตน 2.3.2 ฟงกชนตรรกยะ (Rational function)

เปนฟงกชนทเขยนอยในรปของอตราสวน (ratio) ของพหนามของ x สองพหนาม เชน f(x) = 4x22x

1x

(เศษเปนพหนามของ x กาลง 1 และสวนเปนพหนามของ x กาลง 2) เปนตน ดงนน จากความหมายของฟงกชนตรรกยะ ฟงกชนพหนามจงเปนฟงกชนตรรกยะเสมอเพราะสามารถเขยนอยในรปของอตราสวนได โดยมสวนเปน 1 ซงกคอฟงกชนคงตว (ฟงกชนพหนามกาลง 0) นนเอง

ฟงกชนตรรกยะทนาไปประยกตใชในทางเศรษฐศาสตรทนาสนใจคอ f(x) = xa

หรอ y = xa

ถอวาเปน

ฟงกชนตรรกยะทมลกษณะพเศษ เมอนาไปเขยนกราฟจะไดกราฟเรยกวาไฮเปอรโบลา (rectangular hyperbola) ตามภาพท 2.14

ภาพท 2.14 กราฟไฮเปอรโบลา

จากฟงกชน y = xa

ดงนน xy = a ซงกคอ ผลคณของตวแปร x และ y จะไดคาคงทเสมอ ฟงกชนนอาจนาไปใชแทนเสนอปสงค (demand curve) ทมลกษณะพเศษแบบหนงทราคา (P) และปรมาณ (Q) อยบนแกนทง 2 นคนละแกน โดยทคาใชจายทงหมด (P Q) จะมคาคงทททกระดบราคา (ในกรณทเสนอปสงคมคาความยดหยนเปน 1 หรอ ความยดหยนเอกภาพ (unitary elasticity) ทกๆ จดบนเสนโคง)

O

y

x

f(x) =

เมอ a > 0


นอกจากนยงมการนาไปประยกตใชอนๆ อก เชน เสนโคงของตนทนคงทเฉลย (Average Fix Cost หรอ AFC) โดยมแกนตงเปนคา AFC และแกนนอนเปนผลผลต (Q) เสนโคง AFC จะตองเปนเสนโคงไฮเปอรโบลา เพราะวา AFC Q คอตนทนคงททงหมด ซงเปนคาคงท

การเขยนเสนกราฟไฮเปอรโบลา เชน f(x) = xa เสนโคงจะไมตดกบแกนทงสองแกน (แกนตงและแกน

นอน) แตจะเขาใกลแกนทงสอง เสนโคงจะเขาใกลแกนนอนและแกนตงมากเมอ x และ y เพมขนมากอยางไมมขอบเขต (x, y ) กรณนจะเขาใกลเสนกากบแนวตง (vertical asymptote) เมอ y และเขาใกลเสนกากบแนวนอน (horizontal asymptote) เมอ x 2.3.3 ฟงกชนเอกซโปเนนเชยล (Exponential function) ฟงกชนเอกซโปเนนเชยล เปนฟงกชนทมคาคงตวเปนฐานและมตวแปรอสระเปนกาลงของคาคงตวนน โดยทคาคงตวเปนจานวนจรงบวกทไมเปน 1 รปแบบฟงกชนเอกซโปเนนเชยล โดยทวไปเขยนไดวา f(x) = ax เมอ a 0 และ a 1 x เปนตวแปรอสระ เรยกวาฟงกชนเอกซโปเนนเชยลฐาน a (exponential function with base a) เชน f(x) = 4x คอฟงกชนเอกซโปเนนเชยลฐาน 4

f(x) = (2

1 )x คอฟงกชนเอกซโปเนนเชยลฐาน 21

f(x) = (3

4 )x คอฟงกชนเอกซโปเนนเชยลฐาน 34

แตถา 0 a 1 อาจจะเขยนฟงกชนเอกซโปเนนเชยลในอกลกษณะหนงได โดยเขยนอยในลกษณะของกาลงเปน –x เชน

f(x) = (2

1 )x เขยนเปน f(x) = 2-x

f(x) = (4

1 )x เขยนเปน f(x) = 4-x

นอกจากนยงมฟงกชนเอกซโปเนนเชยลทมฐานเปนจานวนอตรรกยะ e (มคาประมาณ 2.71828) เรยกวา ฟงกชนเอกซโปเนนเชยลธรรมชาต (the natural exponential function) เขยนไดเปน f(x) = ex หรอเรยกวา ฟงกชนเอกซโปเนนเชยลฐาน e การเขยนกราฟของเอกซโปเนนเชยล ทาไดโดยกาหนดจดบางจดบนกราฟ ซงกคอกาหนดคา x แลวแทนคา x ในฟงกชนเพอหาคาของ y หรอคาของฟงกชนนนเอง ตวอยางเชน f(x) = 4x


แทนคา x ดวยคาตางๆ เพอกาหนดจดบางจดบนกราฟ เชน ถา x = 0 แทนคา x ในฟงกชนจะได f(x) = 4O = 1 x = 1 แทนคา x ในฟงกชนจะได f(x) = 41 = 4 x -2 -1 0 1 2 f(x) = 4x

161

41 1 4 16

เมอไดคา x และ y นาไปเขยนกราฟดงน

ภาพท 2.15 กราฟของฟงกชนเอกซโปเนนเชยล

ตวอยางท 2.21 กาหนดให f(x) = (41 )x หรอ 4-x หรอ x4

1

แทนคา x ดวยคาจานวนจรงเพอกาหนดจดบางจดบนกราฟ เชน

ถา x = 0 แทนคา x ในฟงกชนจะได f(x) = 04

1 = 1

x = 1 แทนคา x ในฟงกชนจะได f(x) = 14

1 = 41

x = -1 แทนคา x ในฟงกชนจะได f(x) = 14

1 = 41 = 4

x = -2 แทนคา x ในฟงกชนจะได f(x) = 24

1 = 42 = 16

0

y

x

f(x) = 4x

(0, 1)

จะสงเกตไดวา เมอคา x เพมขนจากคาลบไปหาคาบวก คาของฟงกชนจะเพมขน กราฟของฟงกชน เอกซโปเนนเชยลจะไมตดแกน x แตเขาใกลแกน x ดานลบ และตดแกน y ทคอนดบ (0, 1) เพราะเมอแทนคา x = 0 แลว f(x) = ax = a0 = 1 ตามภาพท 2.15


ในกรณของกราฟของเอกซโปเนนเชยลธรรมชาต หรอ f(x) = ex นน กราฟจะอยระหวาง กราฟของ f(x) = 2x และ f(x) = 3x เพราะวาคา e = 2.71828 หรอ 2 e 3 นนเอง 2.3.4 ฟงกชนลอการทม (Logarithmic function) ฟงกชนลอการทมเปนฟงกชนผกผนของฟงกชนเอกซโปเนนเชยล ถาเปนฟงกชนผกผนของฟงกชนเอกซโปเนนเชยลฐาน a จะเรยกวา ฟงกชนลอการทมฐาน a แตถาเปนฟงกชนผกผนของฟงกชนเอกซโปเนนเชยลธรรมชาต หรอฐาน e จะเรยกวา ฟงกชนลอการทมธรรมชาต หรอ ฟงกชนลอการทมฐาน e 1) ฟงกชนลอกาลทมฐาน a

เปนฟงกชนท x > 0 และ a > 0 แต a 1 จะได f(x) = y = log a x กตอเมอ x = ay

ตวอยางท 2.22 จงหาคาของ log 2 16 และ log 10 10001

วธทา ให y = log 2 16 จะไดวา 16 = 2y หรอ 24 = 2y y = 4 นนคอ log 2 16 = 4

ให y = log 10 10001

จะไดวา 10001 = 10y 310

1 = 10y

หรอ 10-3 = 10y y = -3

0

y

x

f(x) = 4-x

(0, 1)

จะสงเกตไดวา เมอคา x เพม ขนจากคาลบ ไปหาคาบวก คาของฟงกชนจะลดลง กราฟของฟงกชนเอกซโปเนนเชยลไมตดแกน x แตเขาใกลแกน x ดานบวก และตดแกน y ทคอนดบ (0, 1)


สมบตของลอการทม 1. loga 1 = 0 เพราะวา a0 = 1 2. loga a = 1 เพราะวา a1 = a 3. loga ax = x 4. ถา loga x = loga y แลว x = y 2) ฟงกชนลอการทมธรรมชาต เนองจากฟงกชนลอการทมเปนฟงกชนผกผนของฟงกชนเอกซโปเนนเชยล ดงนนฟงกชนลอการทมธรรมชาต หรอฟงกชนลอการทมฐาน e จงเปนฟงกชนผกผนของฟงกชนเอกซโปเนนเชยลฐาน e ใชสญลกษณแตกตางจากฟงกชนลอการทมฐาน a ดงน

n x อานวา “แอล เอน ออฟ เอกซ” หรอ “natural log of x”

จะไดวา f(x) = loge x หรอ n x เมอ x > 0 และสมบตของฟงกชนลอการทมฐาน a ทง 4 ขอ ยอมเปนจรงสาหรบลอการทมธรรมชาตดวย 3) การเขยนกราฟของฟงกชนลอการทม เนองจากฟงกชนลอการทมเปนฟงกชนผกผนของฟงกชนเอกซโปเนนเชยล ดงนนกราฟของฟงกชนลอการทมจะสมมาตรกบกราฟของฟงกชนเอกซโปเนนเชยลบนเสนตรง y = x หรอกราฟทงสองจะสะทอนซงกนและกนในแนวเสนตรง y = x เมอกลาวถงการสมมาตรของกราฟกควรทาความเขาใจวาสมมาตรหมายถงอะไร การสมมาตร (symmetry) ของจดสองจด เปนการพจารณาจากจดสองจดตอแกนใดแกนหนง ถาลากเสนตอจดระหวางจดสองจดนน เสนนจะถกแบงครงโดยแกนดงกลาว การสมมาตรแบงเปน

1. เสนกราฟมลกษณะสมมาตรตอแกน x ถาแตละจด (x, y) อยบนกราฟและจดทสมมาตร (x, -y) กอยบนกราฟดวย หมายถง ถาแทนคา y ดวย –y จะไมเปลยนแปลงรปแบบสมการของเสน ตามภาพท 2.16


ภาพท 2.16 กราฟสมมาตรตอแกน x

2. เสนกราฟมลกษณะสมมาตรตอแกน y ถาแตละจด (x, y) อยบนกราฟและจดทสมมาตร (-x, y) ก

อยบนกราฟดวย หมายถง ถาแทนคา x ดวย –x จะไมเปลยนแปลงรปแบบสมการของเสน ตามภาพท 2.17

ภาพท 2.17 กราฟสมมาตรตอแกน y

3. เสนกราฟมลกษณะสมมาตรตอจดเรมตน ถาแตละจด (x, y) อยบนกราฟและจดทสมมาตร (-x, -

y) กอยบนกราฟดวย หมายถง ถาแทนคา x ดวย –x และแทนคา y ดวย –y จะไมเปลยนแปลงรปแบบสมการของเสน ตามภาพท 2.18

O

y

x

(x, y)

(x, -y)

d1

d1

O

y

x

(x, y) (-x, y) d2 d2


ภาพท 2.18 กราฟสมมาตรตอจดเรมตน

การสมมาตรของเสนกราฟทง 3 แบบนน ถาพจารณาจากสมการของกราฟสามารถพจารณาไดดงน การสมมาตรตอแกน x ถา f(x, y) = f(x, -y) = 0 การสมมาตรตอแกน y ถา f(x, y) = f(-x, y) = 0 การสมมาตรตอจดเรมตน ถา f(x, y) = f(-x, -y) = 0 ตวอยางท 2.23 จงหาวากราฟจากสมการ y = x2 + 1 มการสมมาตรแบบใด วธทา จากสมการ y = x2 + 1 สามารถเขยนในรปของ f(x, y) = 0 ไดดงน x2 – y + 1 = 0 ถา f(x, -y) = x2 + y + 1 = 0 ซงไมเหมอนกบสมการ f(x, y) = 0 จงไมสมมาตรตอแกน x ถา f(-x, y) = x2 – y + 1 = 0 ซงเหมอนกบสมการ f(x, y) = 0 จงสมมาตรตอแกน y ถา f(-x, -y) = x2 + y + 1 = 0 ซงไมเหมอนกบสมการ f(x, y) = 0 จงไมสมมาตรตอจดเรมตน สรปไดวา กราฟของสมการ y = x2 + 1 หรอ x2 – y + 1 = 0 เปนกราฟทสมมาตรตอแกน y ตามภาพ

O

y

x

(x, y)

(-x, -y)

d3

d3

y

x

f(x) = x2 + 1

(1, 2) (-1, 2)

0


สวนในกรณของกราฟของฟงกชนลอการทมทสมมาตรกบกราฟของฟงกชนเอกซโปเนนเชยลบนเสนตรง y = x นน เปนสมบตของฟงกชนผกผน (inverse function) ซงปญหาการหาฟงกชนผกผนของ f(x) เปนปญหาของการมองกราฟ y = f(x) โดยใหแกน x และแกน y สลบกน จงเปนภาพสะทอนของเสน y = x นนเอง การหากราฟทาโดยการลากเสนตงฉากจากจดแตละจดบนกราฟของฟงกชนเดมไปยงเสน y = x แลวลากเสนตงฉากน ใหเลยเสน y = x นไป เทากบระยะจากกราฟของฟงกชนเดมมายงเสน y = x จดใหมเหลานกจะเปนเสนกราฟของฟงกชนผกผน y = f-1(x) ตามภาพท 2.19

ภาพท 2.19 กราฟฟงกชนผกผนของฟงกชนเอกซโปเนนเชยล จากภาพท 2.19 เมอ f(x) = 2x เปนฟงกชนเอกซโปเนนเชยล และ f(x) = log2 x เปนฟงกชนลอการทม ซงเปนฟงกชนผกผนของ f(x) = 2x ภาพทไดของ f(x) = log2 x จงเปนภาพสะทอนของฟงกชนเดม ซงสมมาตรกน บนเสนตรง y = x นอกจากจะใชวธของภาพสะทอนแลว การเขยนกราฟของฟงกชนลอการทมยงทาไดโดยการแทนคา x ดวยจานวนจรงบางคา เพอหาคา f(x) เหมอนกบการเขยนภาพของฟงกชนอนๆ ทไดกลาวมาแลวกอนหนาน จากตวอยางการเขยนกราฟของ f(x) = log2 x เนองจาก f(x) = log2 x หรอ y = log2 x จะไดวา 2y = x ถา x = 1 แทนคาจะได 2y = 1 = 20 ดงนน y = 0

O

y

x

f(x) = log2 x

f(x) = 2x

y = x


ถา x = 2 แทนคาจะได 2y = 2 ดงนน y = 1 ถา x = 4 แทนคาจะได 2y = 4 = 22 ดงนน y = 2 ถา x = 8 แทนคาจะได 2y = 8 = 23 ดงนน y = 3

ถา x = 21

แทนคาจะได 2y = 21

= 2-1

ดงนน y = -1

ถา x = 41

แทนคาจะได 2y = 41

= 2-2

ดงนน y = -2 นามาเขยนกราฟไดตามภาพท 2.20

ภาพท 2.20 กราฟของฟงกชนลอการทม

กราฟของฟงกชนลอการทม f(x) = loga x จะมลกษณะสาคญ ดงน 1. จดทกราฟตดแกน x คอ (1, 0) 2. ถา a 1 กราฟจะเขาใกลแกน y ทางดานลบแตไมตดแกน y เมอ 0 a 1 กราฟจะเขาใกลแกน y ทางดานบวกแตไมตดแกน y 3. เมอ a 1 คาของฟงกชนเพมขน เมอคา x เพมขนจากคานอยไปหาคามาก 4. เมอ 0 a 1 คาของฟงกชนลดลง เมอคา x เพมขนจากคานอยไปหาคามาก

O

y

x

f(x) = log2 x

(1, 0)


2.4 ฟงกชนทมตวแปรอสระ 2 ตวแปรหรอมากกวา (Functions of two or more independent variables) ฟงกชนทประกอบดวยตวแปรอสระเพยง 1 ตวแปรทกลาวมาแตแรกทงหมดนน เขยนในรปแบบทวๆ ไปไดวา y = f(x) ในทน x คอตวแปรอสระ จากแนวคดดงกลาวสามารถขยายไปสกรณของฟงกชนทประกอบดวย ตวแปรอสระ ต งแต 2 ตวแปรหรอมากกวาได และเขยนอยในรปแบบทวไปของฟงกชนหลายตวแปรได เชน z = g(x, y) โดยท x, y คอตวแปรอสระ z คอตวแปรตาม ทงนคอนดบ (x, y) ทกาหนดใหจะทาใหทราบคา z ได ตวอยางของฟงกชนหลายตวแปรทเขยนในรปแบบคณตศาสตร เชน ฟงกชนเชงเสน y = ax + by ฟงกชนกาลงสอง y = a0 + a1x + a2x2 + b1y + b2y2 แนวคดของฟงกชนตวแปรอสระตวเดยว y = f(x) นน เปนการจบค (mapping) จดในโดเมนฟงกชนไปยงจดในเรนจฟงกชน ฟงกชน g นกเชนเดยวกน เพยงแตโดเมนของฟงกชน g ไมใชเซตของตวเลขเดยวๆ เหมอนฟงกชน f แตเปนเซตของคอนดบ (x, y) เพราะคา z จะหาคาไดเมอกาหนดคาหรอรคาของคอนดบ (x, y) ดงนน ฟงกชน g จงเปนการจบคจากจดของคอนดบในระนาบ 2 มตไปยงอกจดหนงบนเสนอกมตหนง ทาใหเกดจดบน 3 มต เชน จากจดของคอนดบ (x1, y1) ไปยงจด z1 จากจดของคอนดบ (x2, y2) ไปยงจด z2 ดงแสดงตามภาพท 2.21 (ก) และ (ข)

(ก) O x1 x2

y1

y2

y

x

(x1, y1)

(x2, y2) z2

z1

g

z

g


(ข) ภาพท 2.21 การจบคของจดบนระนาบ 2 มต และ 3 มต

ถาแกน z เปนแกนตง ทตงฉากกบระนาบ xy ตามภาพท 2.7 (ข) กจะเกดระนาบ 3 มต ภาพกราฟทวาดในระนาบ 3 มตนกจะแสดงถงฟงกชน g ซงโดเมนของฟงกชน g กคอเซตยอยของจดตางๆ ทเปนคอนดบ (x, y) ในระนาบ xy และคาของฟงกชน g (กคอคา z) กจะถกกาหนดจากจดคอนดบ (x, y) ในโดเมนนน เชน คอนดบ (x1, y1) กจะกาหนดคา z1 ซงเปนความสงของเสนตรงทตงฉากขนไปจากจดนน เปนตน ซงความสมพนธระหวางตวแปรทง 3 คอ ตวแปร x ตวแปร y และตวแปร z สามารถเขยนอยในลกษณะของไตรอนดบ (ordered triple) คอ (x1, y1, z1) ซงเปนจดเฉพาะจดหนงในระนาบ 3 มต ภาพกราฟของฟงกชน g จงเปนภาพพนผว (surface) ไมไดเปนภาพเสน 2 มต เหมอนฟงกชนของตวแปรอสระตวเดยว ดงนน z = g(x, y) จงเปนฟงกชนหลายตวแปรอสระทเปนเซตของไตรอนดบตามทอธบายมา

สาหรบฟงกชนของตวแปรอสระ 2 ตวแปรน ไดถกนาไปใชในแบบจาลองทางเศรษฐศาสตร เชน การประยกตใชในฟงกชนการผลต โดยใหผลผลต (Q) ถกกาหนดจากปจจยทน (capital หรอ K) และปจจยแรงงาน (labor หรอ L) ซงสามารถเขยนในรปแบบทวไปของฟงกชนการผลตได คอ

Q = Q(K, L) ในกรณทเปนฟงกชนทมตวแปรอสระมากกวา 2 ตวแปร เชน ฟงกชนของตวแปรอสระ 3 ตวแปร เขยนใน

รปแบบของฟงกชน ดงน y = h(u, v, w) เมอ u, v, w เปนตวแปรอสระ และ y เปนตวแปรตาม ในลกษณะของแนวคดแบบเดยวกน ทาใหสามารถจบคจดในระนาบ 3 มตคอ (u1, v1, w1) ไปยงจดหนงบนเสนในอกมตหนงคอ y1 ตวอยางของฟงกชนในลกษณะน เชน ฟงกชนอรรถประโยชน (utility function) ของผบรโภคทมการบรโภคสนคาทแตกตางกน 3 ชนด ในปรมาณทแตกตางกน อยางไรกตามการเขยนภาพกราฟในลกษณะ 4 มตทเปน ordered quadruple (u1, v1, w1, y1) ไมสามารถทาได แตในทางพชคณตกยงสามารถคานวณได โดยถอวามภาพกราฟ

x1 x2

y1 y2

z

x

(x1, y1, z1) y

(x2, y2, z2)

O


ทเปนจดบน 4 มต (ในความจรงแลวเปนไปไมได) ของฟงกชนตวแปรอสระ 3 ตวแปร หรอ y = h (u, v, w) เรยกวา hyper surface และสามารถขยายไปสกรณทมตวแปรอสระทมากกวา 3 ตวแปรไดเปน n มต

ฟงกชนตวแปรอสระหลายตวแปรนจาแนกไดหลายแบบ แตเขยนอยในรปแบบทวไปของฟงกชนไดดงน y = f(x1, x2, …, xn)

แตถาจาแนกประเภทฟงกชนของตวแปรอสระหลายตวแปร สามารถจาแนกไดหลายประเภทแตทสาคญคอ 1. ฟงกชนเชงเสน เปนฟงกชนททกๆ ตวแปรอสระมเลขชกาลงเปน 1 เทานน รปแบบของฟงกชน คอ

y = a0 + a1x1 + a2x2 + … + anxn เมอ a0, a1, a2, …, an เปนคาคงท x1, x2, x3, …, xn เปนตวแปรอสระ 2. ฟงกชนกาลงสอง เปนฟงกชนทตวแปรอสระในแตละพจน มเลขชกาลงสงสดไมเกน 2 โดยทตวแปรอสระในแตละพจนอาจมตวเดยวและมเลขชกาลงเปน 1 หรอเปน 2 หรอในแตละพจนอาจมตวแปรอสระ 2 ตวแปรคณกน แตผลรวมของเลขชกาลงของตวแปรทง 2 จะตองไมเกน 2 เชน z = a0 + a1x + a2x2 + a3x2 + a4x2 หรอ z = a0 + a1x + a2xy + a3y2 แตในแบบจาลองทางเศรษฐศาสตร การเขยนตวแปรอสระในรปแบบเดยวกนกบสมประสทธของตวแปรทมเลขดชนลาง จะชวยใหงายตอการนบจานวนตวแปรอสระทเกยวของกบฟงกชนนน


แบบฝกหดบทท 2 1. จงเขยนเซตตอไปน โดยวธแจกแจงสมาชก และวธกาหนดเงอนไขของสมาชก 1.1 เซตของจานวนจรงทมากกวา 30 1.2 เซตของจานวนจรงทมากกวา 15 แตนอยกวา 50 1.3 เซตของจานวนเตมบวกทเปนจานวนค 1.4 เซตของจานวนเตมทมากกวา 5 และนอยกวาหรอเทากบ 10 2. กาหนดให A = 2, 4, 6 B = 7, 2, 6 C = 4, 2, 6 และ D = 2, 4 เมอ R คอเซตของ

จานวนจรง ขอความขอใดตอไปนเปนจรง 2.1 A = B 2.4 3 B 2.7 A B 2.2 A = R 2.5 4 D 2.8 B 2.3 5 B 2.6 D R 2.9 C 1, 2 3. จากขอ 2 จงหาการดาเนนการของเซตดงน 3.1 A B 3.3 B C 3.5 D B A 3.2 A C 3.4 B D 3.6 C A D 4. จากขอความตอไปน ขอใดถกตอง 4.1 A A = A 4.5 A = 4.2 A A = A 4.6 A U = A 4.3 A = A 4.7 สวนเตมเตมของ A คอ A 4.4 A U = U 5. กาหนดให A = 4, 5, 6 B = 3, 4, 6 7 และ C = 2, 3, 6 จงหาการดาเนนการของเซตตามสมบตการแจกแจงของยเนยน และอนเตอรเซกชน และเขยนแผนภาพเวนน-ออยเลอร


6. กาหนดให A = 3, 6, 9 B = a, b และ C = m, n จงหาผลคณคารทเชยน 6.1 A B 6.2 B C 6.3 C A 7. ผลคณคารทเชยน A B = B A หรอไม ภายใตเงอนไขอะไร ผลคณคารทเชยนทง 2 จะเทากน 8. ถาโดเมนของฟงกชน y = 5 + 3x เปนเซต x 1 x 4 จงหาเรนจของฟงกชน และเขยนอยในรปของเซต 9. สาหรบฟงกชน y = -x2 ถาโดเมนคอเซตของจานวนจรงทไมเปนลบทงหมด เรนจของฟงกชนคออะไร 10. จงหาโดเมนและเรนจของฟงกชนตอไปน 10.1 f = (0,1), (-1,2), (-2,2), (4,3) 10.2 f = (x,y) RR y = 2 - 5x

10.3 g = (x,y) y = 5x1

10.4 h(x) = 4x2 – 1 10.5 f(x) = 6

11. กาหนดให B = 2, 3, 4, 5 จงเขยนความสมพนธแบบแจกแจงสมาชกและเขยนกราฟความสมพนธบน B B 11.1 r1 = (x,y) BB y = x - 2 11.2 r2 = (x,y) BB y > x - 2 11.3 r3 = (x,y) BB y < x - 2

12. จงเขยนกราฟของความสมพนธตอไปน 12.1 r1 = (x,y) II y = x2 + 1 12.2 r2 = (x,y) II y = -x + 2


13. จงเขยนกราฟของฟงกชนตอไปน โดยพจารณาเฉพาะโดเมนของฟงกชนทเปนจานวนเตมบวกเทานน 13.1 y = 8 + 3x 13.2 y = 8 – 3x 13.3 y = 3x + 12 14. ความแตกตางทสาคญ ระหวาง ฟงกชน ของขอท 13.1 และขอท 13.2 คออะไร ใหเขยนกราฟประกอบ ความแตกตางทสาคญ ระหวาง ฟงกชน ของขอท 13.1 และขอท 13.3 คออะไร ใหเขยนกราฟประกอบ 15. จงเขยนกราฟของฟงกชนตอไปน 15.1 y = -x2 + 5x – 2 15.2 y = x2 + 5x – 2 กาหนดใหเซตของคา -5 x 5 เปนโดเมนของฟงกชนทง 2 ทาใหทราบเครองหมายของสมประสทธ

ของเทอม x2 จงแสดงใหเหนวากราฟของฟงกชนกาลงสองจะโคงคว า หรอโคงหงาย

16. จงเขยนกราฟของฟงกชน y = x36

เมอสมมตวา x และ y เปนคาบวกเทานน แตถาสมมตวา

ตวแปร x และ y มคาลบ กราฟจะสะทอนใหเหนการเปลยนแปลงขอสมมตอยางไร


บทท 3 เมทรกซ 3.1 ความหมายของเมทรกซ (Matrix) เมทรกซคอกลมของจานวน หรอพารามเตอร หรอตวแปร ทนามาเขยนเรยงกนเปนแถวๆ ในกรอบสเหลยม เปนแนวนอนอยางเปนระเบยบ โดยทแตละแถวนอนมจานวนหรอพารามเตอรหรอตวแปรในจานวนทเทากนอยภายในเครองหมายวงเลบใหญ

แตละจานวน หรอแตละพารามเตอร หรอแตละตวแปรทอยภายในเครองหมายวงเลบใหญนเรยกวา สมาชกของเมทรกซโดยสวนใหญเมอกลาวถงเมทรกซแลว สมาชกของเมทรกซมกจะเปนจานวน การอธบายตอๆ ไปในเรองนจงใชจานวนเปนสมาชกของเมทรกซ

เชน A =

65

41 B =

412

301

A เปน เมทรกซ ประกอบดวย 2 แถวนอนและ 2 แถวตง B เปน เมทรกซ ประกอบดวย 2 แถวนอนและ 3 แถวตง ตอไปจะเรยกแถวนอนวาแถว (row) และเรยกแถวตงวาสดมภ (column) โดยทวไปนยมแทนเมทรกซดวยอกษรภาษาองกฤษตวนา เชน A B C D เปนตน และแทนสมาชกแตละสมาชกของเมทรกซ ดวยอกษรภาษาองกฤษตวตาม เชน a, b, c, d เปนตน สมาชกแตละสมาชกจะอยในตาแหนงเฉพาะในแถวนนๆ และบอกเลขของตาแหนงโดยระบเลขของแถวและสดมภทสมาชกนนๆ ปรากฏอยเปนตวหอยหรอดชนลาง หรอตวกากบขางลางของสมาชกนนๆ โดยท i แทนตาแหนงของแถว และ j แทนตาแหนงของสดมภ การเขยนใหดชนลางตวแรกแสดงถงแถวและตวทสองแสดงถงสดมภ

เชน A =

232221

131211

aaa

aaa

ตาแหนงสมาชกของแตละสมาชกแสดงโดยดชนลางดงนน a21 จงหมายถงสมาชกในแถวท 2 และสดมภท 1 การเขยนเมทรกซ มกเขยนอยในรปดงน


A =

mn3m2m1m

n2232221

n1131211

a...aaa

a...aaa

a...aaa

หมายถง เมทรกซ A มสมาชกอย m แถว n สดมภ หรอกลาวไดวา A เปนเมทรกซทมขนาด (dimension) เทากบ m n (อานวา m คณ n หรอ m by n)

หรอเขยนในอกรปหนง คอ A = [aij]mn 3.2 ประเภทของเมทรกซ

3.2.1 เมทรกซแถวและเมทรกซสดมภ (Row matrix and column matrix) เมทรกซใดประกอบดวยสมาชกทเรยงกนอยในแถวเพยงแถวเดยว และถามองในดานสดมภจะมอย n

สดมภ (สดมภละ 1 สมาชก) ดงนน เมทรกซจงประกอบดวยสมาชกทอยในแถว 1 แถว n สดมภ หรอเปนเมทรกซทมขนาด 1 n เมทรกซนเรยกวาเมทรกซแถว (row matrix) เชน A = [a11 a12 a13 … a1n] เมทรกซ A มขนาด 1 n B = [0 1 2 3] เมทรกซ B มขนาด 1 4

สวนเมทรกซทประกอบดวยสมาชกทเรยงกนอยในสดมภเพยงสดมภเดยว และถามองในดานแถวจะมอย m แถว (แถวละ 1 สมาชก) ดงนนเมทรกซจงประกอบดวยสมาชกทอยใน 1 สดมภ m แถว หรอเปนเมทรกซทมขนาด m 1 เมทรกซนเรยกวา เมทรกซสดมภ (column matrix) เชน

C =

1m

12

11

c

c

c

เมทรกซ C มขนาด m 1

D =

0

1

2

3

เมทรกซ D มขนาด 4 1


เมทรกซใดประกอบดวยสมาชกทเรยงกนอยในแถวเพยงแถวเดยว (เมทรกซแถว) เรยกอกอยางหนงวา เวกเตอรแถว (row vector) และเมทรกซใดทประกอบดวยสมาชกทเรยงกนอยในสดมภเพยงสดมภเดยว (เมทรกซสดมภ) เรยกอกอยางหนงวาเวกเตอรสดมภ (column vector)

เมทรกซทมขนาด m n เปนการรวมกลมของสมาชกทมอนดบ จานวน mn สมาชก เมทรกซจงเปนเซตอนดบของ m เวกเตอรแถว (m row vectors) หรอกลาวอกอยางหนงไดวาเปนเซตอนดบของ n เวกเตอรสดมภ (n column vectors) นนเอง

3.2.2 เมทรกซจตรส (Square matrix) หมายถง เมทรกซทมจานวนแถวและจานวนสดมภเทากน เชน

E =

42

31 เมทรกซ E เปนเมทรกซจตรสขนาด 2 2 หรอเรยกวาเมทรกซจตรสอนดบ 2

F =

101

213

321

เมทรกซ F เปนเมทรกซจตรสขนาด 3 3 หรอเรยกวาเมทรกซจตรสอนดบ 3

3.2.3 เมทรกซศนย (Null matrix หรอ Zero matrix) หมายถง เมทรกซทมสมาชกทกตวเปนจานวน 0 ทงหมด ทงนขนาดของเมทรกซจะเปนเทาไรกได เชน

000

000 เปนเมทรกซศนยขนาด 2 3

00

00 เปนเมทรกซศนย และเปนเมทรกซจตรสขนาด 2 2

เมทรกซศนย ทาหนาทคลายเลขศนยในพชคณต เพราะเมอคณกบเมทรกซอนๆ ทมขนาดทสามารถคณกบเมทรกซศนยแลวจะไดเมทรกซศนย หรอเมอนาเมทรกซทมขนาดเทากบเมทรกซศนยมาบวกหรอลบกนกบเมทรกซศนยจะไดผลเฉลยเทากบเมทรกซนน เมทรกซศนยจะใชสญลกษณแทน คอ [0] หรอ 0 (เลขศนย) เชน

[0]23 = 0(23) =

000

000

แตอยางไรกตาม กรณทเมทรกซ A คณกบเมทรกซ B แลวไดเมทรกซศนย หรอ AB = [0] ไมจาเปนท A = [0] หรอ B = [0]


เชน A =

01

01 B =

321

000

จะได AB =

01

01

321

000 =

000

000

จะเหนวา A [0] B [0] แต AB = [0] สาหรบวธการคณเมทรกซดวยเมทรกซจะไดกลาวถงตอไปในเรองการปฏบตการของเมทรกซ

3.2.4 เมทรกซเอกลกษณ (Identity matrix) หมายถง เมทรกซจตรสทมสมาชกบนเสนทแยงมมหลกเปน 1 ทงหมด และสมาชกทเหลออนๆ เปนศนย

หมดทกตว สญลกษณทใชแทนเมทรกซเอกลกษณใดๆ เขยนเปน I หรอ In ซง n คอจานวนแถว หรอสดมภ ซงเทากนเพราะเปนเมทรกซจตรส

คาวา “เสนทแยงมมหลก” หรอ principle diagonal หรอ main diagonal หมายถงเสนทแยงมมในเมทรกซจตรสททแยงมมจากบนซายลงมาลางขวา โดยสมาชกทอยบนเสนทแยงมมหลกนเปนสมาชกทอยในอนดบท i = j คอ a11, a22, a33, …, ann

เชน I =

100

010

001

I เปนเมทรกซเอกลกษณขนาด 3 3 หรอเขยนวา I3

I2 =

10

01 I2 เปนเมทรกซเอกลกษณขนาด 2 2

เมทรกซเอกลกษณทาหนาทคลายเลขหนงในพชคณต เพราะถาให a เปนจานวนใดๆ แลว 1a = a1 = a ในทานองเดยวกน ถา A เปนเมทรกซใดๆ เมอนามาคณกบเมทรกซเอกลกษณจะไดผลเฉลยเทากบเมทรกซนนสามารถเขยนไดวา IA = AI = A

เมทรกซเอกลกษณจะเปนเมทรกซสมมาตรและเมอคณดวยตวเองจะยงคงเปนเมทรกซเอกลกษณเดม นนคอ I I = I2 = I เชน

กาหนดให A =

451

213

342

I =

100

010

001


ดงนน AI =

451

213

342

100

010

001

=

451

213

342

= A

หรอ IA =

100

010

001

451

213

342

=

451

213

342

= A

และ I2 =

100

010

001

100

010

001

=

100

010

001

= I

3.2.5 เมทรกซสลบเปลยน (Transpose matrix) หมายถง เมทรกซทมการสลบสมาชกแตละแถวกบสดมภของเมทรกซเดม เชน เมทรกซ A ทแตละแถว

ไดรบการเขยนใหมใหเปนแตละสดมภ หรอแตละสดมภไดรบการเขยนใหมใหเปนแตละแถว เมทรกซ A ทมการสลบเปลยนแลวน เขยนแทนดวย At หรอ A อานวา A transpose หรอ A prime

ตวอยางเชน ถา A =

102

321 เมทรกซ A มขนาด 2 3

จะได At =

13

02

21

เมทรกซ At มขนาด 3 2

ดงนน ถา A = [aij]mn จะได At = [aji]nm 3.2.6 เมทรกซสมมาตร (Symmetric matrix) หมายถง เมทรกซจตรสทมสมาชกทอยเหนอเสนทแยงมมหลกเหมอนกบสมาชกทอยดานใตของเสนทแยง

มมหลก ทาใหเมอมการสลบเปลยนแถวและสดมภแลว จะไดเมทรกซเดม เชน

เชน A =

572

714

243

A เปนเมทรกซจตรสขนาด 3 3


เมอทาการสลบเปลยนแถวและสดมภเมทรกซ A จะไดเมทรกซ At ดงน

At =

572

714

243

ดงนน A = At เรยกเมทรกซนวา เมทรกซสมมาตร เมทรกซเอกลกษณกเปนเมทรกซสมมาตรดวย เพราะวาสมาชกทอยเหนอและใตเสนทแยงมมหลกเปนศนยเหมอนกนหมด

3.2.7 เมทรกซทแยงมม (Diagonal matrix) หมายถง เมทรกซจตรสทมสมาชกทอยบนเสนทแยงมมหลกไมเปนศนยทงหมด และสมาชกทอยในอนดบ

อนๆ ทอยเหนอและใตเสนทแยงมมหลกเปนศนยทงหมด หรอเขยนเปนสญลกษณไดวา aij = 0 เมอ i j และ aij 0 หรอ = 0 เมอ i = j

ดงนน ถา A เปนเมทรกซทแยงมม สามารถเขยนไดดงน

A =

nn

22

11

a00

0a0

000a

เชน B =

400

010

002

C =

4000

0200

0000

0001


3.3 การเทากนของเมทรกซ (Equality of matrices) เมทรกซสองเมทรกซจะเทากนไดกตอเมอเมทรกซทง 2 ตองมขนาดเทากนและมสมาชกในแตละแถวและ

แตละสดมภทกๆ อนดบทจะตองเหมอนกน ให A = [aij]mn B = [bij]mn A = B กตอเมอ aij = bij ทกคาของ i และ j

เชน A =

210

321 เมทรกซ A มขนาด 2 3

B =

210

321 เมทรกซ B มขนาด 2 3

C =

321

120 เมทรกซ C มขนาด 2 3

ดงนน A = B C เมทรกซ C มขนาดเทากบเมทรกซ A และ B แตสมาชกของเมทรกซ C ในแตละแถวและแตละสดมภไม

เหมอนกบเมทรกซ A และเมทรกซ B ทกตาแหนงอนดบททาใหเมทรกซ C จงไมเทากบ เมทรกซ A และเมทรกซ B

ถากาหนดให

b

a =

4

1

หมายความวาเมทรกซทง 2 เทากน สมาชกในอนดบทเดยวกนยอมเทากน ดงนน a = 1 b = 4 ดงนนถากาหนดให A, B, C เปนเมทรกซใด แลว 1. ถา A = B แลว B = A 2. ถา A = B และ B = C สรปไดวา A = C ดวย 3.4 พชคณตของเมทรกซ (Matrix algebra)

3.4.1 การบวกและการลบเมทรกซ (Addition and subtraction of matrices) การบวกหรอการลบเมทรกซ 2 เมทรกซใดๆ มเงอนไขเบองตนอยทการทจะบวกหรอลบกนไดจะตองม

ขนาดเทากนกอน สวนขนตอนการบวกหรอการลบกนระหวางเมทรกซ กคอการนาสมาชกทกตวทอยในตาแหนงหรออนดบเดยวกนของเมทรกซทงสองมาบวกหรอลบกน ถา A = [aij]mn , B = [bij]mn และ C = [cij]mn


ดงนน A + B = [aij]mn + [bij]mn = [aij + bij]mn = [cij] mn เมอ cij = aij + bij ทกคา i และ j และ A - B = [aij]mn - [bij]mn = [aij - bij]mn = [cij] mn เมอ cij = aij - bij ทกคา i และ j

ตวอยางท 3.1 กาหนดให A =

52

01 B =

14

53 จงหา A+B และ A–B

วธทา เมทรกซ A และเมทรกซ B มขนาดของเมทรกซเทากนคอ 2 2 ดงนนจงบวกหรอลบกนได

A + B =

52

01+

14

53 =

1542

5031 =

66

54

A - B =

52

01-

14

53 =

1542

5031 =

42

52


321

011 B =

14

32

01

และ C =

101

012

จงหา A + Bt , A – C และ B + Ct

วธทา Bt =

130

421, Ct =

10

01

12

A + Bt =

321

011 +

130

421 =

133201

402111 =

451

432

A - C =

321

011 -

101

012 =

130211

001121 =

220

001


B + Ct =

14

32

01

+

10

01

12

=

1104

0312

1021

=

24

33

13

3.4.2 การคณเมทรกซดวยคาคงทหรอสเกลาร (Scalar multiplication) ในเรองของเมทรกซ สเกลาร (scalar) คอจานวนจรงใดๆ เชน 2, 2 , -2 หรอ 0.02 เปนตน การคณเมท

รกซดวยสเกลาร คอ การนาจานวนจรงใดๆ หรอสเกลารนนไปคณกบสมาชกทกตวในเมทรกซนน ถา A = [aij]mn และ k เปนจานวนจรงใดๆ หรอสเกลาร จะได kA = [k aij]mn หรอ Ak = [aij k]mn ดงนน kA = kA


23

12 และ k = 4 จงหา kA

วธทา kA = 4

23

12 =

2434

1424 =

812

48

ตวอยางท 3.4 กาหนดให B =

121

012 จงหา (-1)B

วธทา

(-1)B = (-1)

121

012 =

1)1()2)(1(1)1(

0)1(1)1(2)1( =

121

012

จากตวอยางนจะเหนวา (-1)B = -B ดงนน B + (-1)B = B – B

=

11)2()2(11

001122 =

000

000 = [0] 23

3.4.3 การคณเมทรกซดวยเมทรกซ การคณเมทรกซดวยเมทรกซ แตกตางจากการคณเมทรกซดวยคาคงทหรอสเกลาร เพราะวาคาคงทสามารถ

คณกบเมทรกซทมขนาดเทาใดกได แตการจะคณเมทรกซดวยเมทรกซนนจะตองเปนไปตามเงอนไขสาหรบการคณกคอ จานวนสดมภในเมทรกซทเปนตวตงหรอตวนา (lead matrix) จะตองเทากบจานวนแถวของเมทรกซทเปนตวคณหรอตวตาม (lag matrix) เชน ถา A เปนเมทรกซตวนาทมขนาด m n และ B เปนเมทรกซตวตาม B จะตองม


จานวนแถวเทากบ n แถว แตจะมจานวนสดมภเทาใดกได ถาให B ม p สดมภ ดงนน B จงมขนาดเทากบ n p ผลการคณของ A ดวย B จะไดเปนเมทรกซของผลคณ สมมตใหเปน C ดงนนเมทรกซ C จะมขนาดเทากบ m p ถา A = [aij]mn B = [bij]np ดงนน A B = C m n n p m p C = [cij] mp โดยท cij = ai1 b1j + ai2 b2j + ai3 b3j + ... + ain bnj เมอ i = 1, 2, 3, …, m j = 1, 2, 3, …, p สมาชก cij นนสามารถหาไดจากการนาเอาสมาชกแตละตวในแถวท i ของเมทรกซ A ทเปนตวนาไปคณกบสมาชกทสอดคลองกน (corresponding) ในสดมภท j ของเมทรกซ B ทเปนตวตาม แลวนาเอาผลคณทไดนนมารวมกน ซงจะเปนตวเลขตวหนง ซงกคอ cij เชน c11 คอ ผลรวมของผลคณซงเกดจากการคณของสมาชกแตละตวในแถวท 1

ของเมทรกซ A กบสมาชกทสอดคลองกนในสดมภท 1 ของเมทรกซ B c21 คอ ผลรวมของผลคณซงเกดจากการคณของสมาชกแตละตวในแถวท 2




ของเมทรกซ A กบสมาชกทสอดคลองกนในสดมภท 2 ของเมทรกซ B C32 คอ ผลรวมของผลคณซงเกดจากการคณของสมาชกแตละตวในแถวท 3

ของเมทรกซ A กบสมาชกทสอดคลองกนในสดมภท 2 ของเมทรกซ B ผลรวมของผลคณซงเกดจากการคณของสมาชกแตละตวในแถวท i ของเมทรกซตวนากบสมาชกแตละตวทสอดคลองกนในสดมภท j ของเมทรกซตวตาม หรอ cij น สามารถอธบายไดจากแนวคด inner product ของผลคณของ 2 เวกเตอร


คอ ถาให u เปนเวกเตอรแถวทมสมาชก n สมาชกเปน [u1, u2, …, un]

และ v เปนเวกเตอรสดมภทมสมาชก n สมาชกเปน

n

2

1

v

v

v

ดงนน uv = [u1, u2, …, un]

n

2

1

v

v

v

= u1v1 + u2 v2 + … + un vn

ผลรวมของผลคณของสมาชกทสอดคลองกนของ 2 เวกเตอรจะได inner product ทเปนปรมาณสเกลารหรอคาคงทคาหนง ดงนน การคณเมทรกซดวยเมทรกซทมขนาดตางๆ กนทเปนไปตามเงอนไข จงเปนการใชวธการหา inner product ของเวกเตอร 2 เวกเตอร เพยงแตเปนการหาหลายๆ ครงนนเอง และทสาคญผลคณของเมทรกซ 2 เมทรกซใดๆ จะเกดขนไดจะตองมจานวนสดมภของเมทรกซตวนา เทากบจานวนแถวของเมทรกซตวตามเสมอ เมอขยายไปสการคณของเมทรกซทมขนาดตางๆ กน เงอนไขสาคญของการคณกจะตองเปนไปตามน จากตวอยางเมทรกซ A ขนาด m n และเมทรกซ B ขนาด n p เหมอนเดม ถานาเมทรกซ B เปนตวตงและใหเมทรกซ A เปนตวคณ ซงกคอ B A ในกรณนจะไมสามารถหาเมทรกซของผลคณ BA ได เนองจากจานวนสดมภของเมทรกซ B (คอ p) ไมเทากบจานวนแถว (คอ m) ของเมทรกซ A


012

143 B =

1

2

1

จงหา AB และ BA

วธทา การหา AB ใหสงเกตวาจานวนสดมภของ A เทากบจานวนแถวของ B โดยท A เปนเมทรกซมขนาด 2 3 และ B เปนเมทรกซมขนาด 3 1 ดงนน เมอ A B จะไดเมทรกซใหมทมขนาด 2 1


โดยท a11 = (3)(1) + (4)(2) + (1)(1) = 12 a21 = (2)(1) + (1)(2) + (0)(1) = 4

ดงนน AB =

4

12

การหา BA ไมสามารถหาเมทรกซของผลคณได เพราะจานวนสดมภของ B ไมเทากบจานวนแถวของ A

ตวอยางท 3.6 กาหนดให C =

32

10

13

D =

431

021 E =

20

21

จงหา CD, DC, CE, ED วธทา ผลคณของ C และ D C เปนเมทรกซขนาด 3 2 D เปนเมทรกซขนาด 2 3 ดงนน C คณกบ D ได และจะไดเมทรกซใหมมขนาด 3 3

=

)4)(3()0)(2()3)(3()2)(2()1)(3()1)(2(

)4)(1()0)(0()3)(1()2)(0()1)(1()1)(0(

)4)(1()0)(3()3)(1()2)(3()1)(1()1)(3(

=

1251

431

494

AB =

a21

a11

CD =


ผลคณของ D และ C D เปนเมทรกซขนาด 2 3 C เปนเมทรกซขนาด 3 2 ดงนน D คณกบ C ได และจะไดเมทรกซใหม มขนาด 2 2

=

)3)(4()1)(3()1)(1()2)(4()0)(3()3)(1(

)3)(0()1)(2()1)(1()2)(0()0)(2()3)(1( =

165

33

ผลคณของ C และ E C เปนเมทรกซขนาด 3 2 E เปนเมทรกซขนาด 2 2 ดงนน C คณกบ E ได และจะไดเมทรกซใหม มขนาด 3 2

=

)2)(3()2)(2()0)(3()1)(2(

)2)(1()2)(0()0)(1()1)(0(

)2)(1()2)(3()0)(1()1)(3(

=

102

20

43

ผลคณของ E และ D E เปนเมทรกซขนาด 2 2 D เปนเมทรกซขนาด 2 3 ดงนน E คณกบ D ได และจะไดเมทรกซใหม มขนาด 2 3

DC =

CE =

ED =


=

)4)(2()0)(0()3)(2()2)(0()1)(2()1)(0(

)4)(2()0)(1()3)(2()2)(1()1)(2()1)(1(

=

862

883

จากตวอยางจะเหนวา CD DC


43

21 , B =

35

24 จงหา AB และ BA

วธทา

=

)3)(4()2)(3()5)(4()4)(3(

)3)(2()2)(1()5)(2()4)(1( =

1832

814

=

)4)(3()2)(5()3)(3()1)(5(

)4)(2()2)(4()3)(2()1)(4( =

2214

1610

จากตวอยาง จะเหนวา AB BA 3.4.4 กฎบางประการเกยวกบการบวก การลบ เมทรกซ การบวกและลบเมทรกซนน สงสาคญคอจะตองมขนาดของเมทรกซทเทากน จงสามารถทาการบวกหรอ

ลบกนได ทงนมกฎทเกยวของกบการบวกและลบเมทรกซ ดงน ถา A, B, C เปนเมทรกซขนาด m n

1) กฎการสลบท (commutative law) (1) A + B = B + A (2) A – B = A + (-B) = (-B) + A

AB =

BA =



43

21 และ B =

54

32

จงหา A + B, B + A, A-B และ (-B) + A วธทา

A + B =

43

21+

54

32 =

5443

3221 =

97

53

B + A =

54

32+

43

21 =

4534

2312 =

97

53

ดงนน A + B = B +A

A – B =

43

21-

54

32 =

5443

3221 =

11

11

(-B) + A = -1

54

32+

43

21 =

4534

2312 =

11

11

ดงนน A – B = (-B) +A 2) กฎการเปลยนกลม (associative law) (1) A + (B + C) = (A + B) + C (2) A – (B + C) = A + (-B) + (-C) = (A – B) + (-C)


2

1 B =

4

3 C =

6

5

จงหา A + (B + C), (A + B) + C, A- (B + C) และ (A – B) + (-C) วธทา

(B + C) =

4

3+

6

5 =

10

8

A + (B + C) =

2

1+

10

8 =

12

9


(A + B) =

2

1+

4

3 =

6

4

(A + B) + C =

6

4+

6

5 =

12

9

ดงนน A + (B + C) = (A + B) + C

A - (B + C) =

2

1-

10

8 =

8

7

(A – B) =

2

1-

4

3 =

2

2

-C = -

6

5 =

6

5

(A – B) + (-C) =

2

2+

6

5 =

8

7

ดงนน A – (B + C) = (A - B) + (-C) 3.4.5 กฎเกยวกบการคณเมทรกซดวยสเกลารและการคณเมทรกซ

ดวยเมทรกซ

ถา A เปนเมทรกซขนาด m n B และ C เปนเมทรกซขนาด n p และ D เปนเมทรกซขนาด p q โดยท k, a, b เปนจานวนจรง 1) กฎการสลบท (commutative law) (1) kA = Ak (2) การคณเมทรกซดวยเมทรกซไมเปนไปตามกฎการสลบท นนคอ AB BA 2) กฎการเปลยนกลม (associative law) (1) A(BD) = (AB)D



32

10 B =

012

101 D =

31

10

21

จงหา A(BD) และ (AB)D วธทา

(BD) =

012

101

31

10

21

=

)3)(0()1)(1()2)(2()1)(0()0)(1()1)(2(

)3)(1()1)(0()2)(1()1)(1()0)(0()1)(1( =

52

52

A(BD) =

32

10

52

52

=

)5)(3()5)(2()2)(3()2)(2(

)5)(1()5)(0()2)(1()2)(0( =

2510

52

(AB) =

32

10

012

101

=

)0)(3()1)(2()1)(3()0)(2()2)(3()1)(2(

)0)(1()1)(0()1)(1()0)(0()2)(1()1)(0( =

238

012

(AB)(D) =

238

012

31

10

21

=

)3)(2()1)(3()2)(8()1)(2()0)(3()1)(8(

)3)(0()1)(1()2)(2()1)(0()0)(1()1)(2( =

2510

52

ดงนน A(BD) = (AB)(D)


3) กฎการกระจาย (distributive law) (1) A(B + C) = AB + AC (2) (B + C)D = BD + CD (3) a(B + C) = aB + aC (4) (a + b)A = aA + bA


32

10 B =

012

101

C =

210

112 D =

31

10

21

จงหา A(B + C) , AB +AC , (B +C)D และ BD + CD วธทา

(B + C) =

012

101+

210

112 =

222

213

A(B + C) =

32

10

222

213 =

10812

222

AB =

32

10

012

101 =

238

012

AC =

32

10

210

112 =

854

210

AB + AC =

238

012+

854

210 =

10812

222

ดงนน A(B + C) = AB + AC


(B + C)D =

222

213

31

10

21

=

124

135

(BD) =

012

101

31

10

21

=

52

52

(CD) =

210

112

31

10

21

=

72

83

(BD)+(CD) =

52

52+

72

83 =

124

135

ดงนน (B + C)D = (BD) + (CD)


012

101 C =

210

112 a = 4, b = 2

จงหา a(B + C) , aB +aC , (a +b)B และ aB + bB วธทา

B + C) =

012

101+

210

112 =

222

213

a(B + C) = 4

222

213 =

888

8412

aB = 4

012

101 =

048

404

aC = 4

210

112 =

840

448


aB + aC =

048

404+

840

448 =

888

8412

ดงนน a(B + C) = aB + aC

(a + b)B = (4 + 2)

012

101 = 6

012

101 =

0612

606

bB = 2

012

101 =

024

202

aB + bB =

048

404+

024

202 =

0612

606

ดงนน (a + b)B = aB + bB 3.5 การปฏบตการของเมทรกซ (Operation of matrix) การปฏบตการของเมทรกซเปนการดาเนนการดวยวธการตางๆ เพอเปลยนรปเมทรกซนนใหอยในรป ทตองการ โดยทวไปการเปลยนรปเมทรกซน นกเพอนาไปใชแกระบบสมการและหาคาลาดบชน (rank) ของ เมทรกซ วธการตางๆ ทใชในการปฏบตการของเมทรกซ เปนดงน 1. การสลบทระหวาง 2 แถว (หรอสดมภ) ใดๆ 2. การคณสมาชกทกตวในแถว (หรอสดมภ) ใดๆ ดวยคาคงททไมใชศนย 3. การบวกแถว (หรอสดมภ) ทถกคณดวยคาคงททไมใชศนยตามวธท 2 เขากบแถว (หรอสดมภ) อนๆ สญลกษณทใชในการดาเนนการ กาหนดดงน Ri หมายถง แถวท i Ci หมายถง สดมภท i R1 R2 หมายถง การสลบทระหวางแถวท 1 และแถวท 2 C2 C3 หมายถง การสลบทระหวางสดมภท 2 และสดมภท 3 kR2 + R1 หมายถง การคณแถวท 2 ดวยสเกลาร k แลวนาไปบวกกบแถวท 1

การดาเนนการดงกลาวจะใชวธการในขอใดกอนหรอหลงกได แตควรใชขนตอนของการเปลยนใหนอยทสด โดยทวไปการปฏบตการของเมทรกซ มกจะใชเพอเปลยนรปเมทรกซใดๆ ใหเปนเมทรกซเอกลกษณ แตมบางเมทรกซทไมสามารถดาเนนการเปลยนใหเปนเมทรกซเอกลกษณได โดยเฉพาะเมทรกซทมอนดบสมาชกในแถว


(หรอสดมภ) ใดทมคาเทากบผลคณของสเกลารหรอคาคงทกบอนดบสมาชกในอกแถวหนง (หรอสดมภหนง) เมทรกซจะถกเปลยนใหเปนเมทรกซทเรยกวา เมทรกซโคโนนเคล (cononical matrix)

เมทรกซทไดจากการปฏบตการของเมทรกซจากเมทรกซเดมไปเปนเมทรกซอนๆ ทงหมด เรยกวาเปน เมทรกซทสมมล (equivalent) กบเมทรกซเดม ตวอยางท 3.13 ใหเปลยนเมทรกซ A เปนเมทรกซเอกลกษณโดยใชการปฏบตการของเมทรกซ

A =

345

413

211

วธทา

345

413

211

21 RR3

345

220

211

2R21

345

110

211

32 CC

145

010

111

32 RR4

105

010

111


12 RR

105

010

101

31 RR5

400

010

101

3R41

100

010

101

13 RR1

100

010

001

ถาการปฏบตการของเมทรกซโดยดาเนนการเกยวกบแถวอยางเดยวเทานนเมทรกซทไดเรยกวา เมทรกซ เอชลอนแบบแถว (Row echlon matrix)

ลกษณะสาคญของเมทรกซเอชลอนแบบแถว ถา A เปนเมทรกซเอชลอนแบบแถวขนาด m n จะมลกษณะสาคญ ดงน 1. ในแถวใดๆ ทมสมาชกไมใชศนยทกตว สมาชกทไมใชศนยตวแรกตองเปน 1 2. สมาชกทเปนศนย และอยหนาสมาชกทเปน 1 ตวแรกในแถวใดๆ จะตองมจานวนนอยกวาสมาชกทเปนศนยทอยหนาสมาชกทเปน 1 ตวแรกในแถวถดลงมา 3. แถวทมสมาชกทเปนศนยทกตว (ถาม) จะตองอยใตแถวทมสมาชกไมใชศนยทกตว สาหรบเมทรกซทไมใชเมทรกซศนย สามารถเปลยนใหเปนเมทรกซเอชลอนแบบแถวไดเสมอ ตวอยางเมทรกซเอชลอนแบบแถว

A =

0000

1000

2010


B =

00000

10000

63100

54231

C =

01000

13210

05341

ตวอยางท 3.14 ใหดาเนนการแบบแถวของเมทรกซ B อยในรปของเมทรกซเอชลอน

B =

2113

2423

6042

วธทา

2113

2423

6042

1R21

2113

2423

3021

23 RR1

2113

4310

3021

2R1

2113

4310

3021


31 RR3

11170

4310

3021

32 RR7

392000

4310

3021

3R201

2039

100

4310

3021

3.6 การปฏบตการของเวกเตอร (Vector operations) ในตอนตนไดกลาวถงเมทรกซแบบตางๆ ทงเมทรกซแถวและเมทรกซสดมภหรอเรยกอกอยางหนงวาเวกเตอรแถวและเวกเตอรสดมภตามลาดบ ซงจดวาเปนเมทรกซลกษณะพเศษอยางหนงทสามารถดาเนนการทางพชคณตไดเหมอนกบเมทรกซทวๆ ไป แตอยางไรกตามกมการดาเนนการบางอยางทนาสนใจเกยวกบเวกเตอรแถวและเวกเตอรสดมภ ดงน

3.6.1 การคณเวกเตอร (Multiplication of vectors) ถาให u เปนเวกเตอรสดมภทมขนาด m 1 v เปนเวกเตอรแถวทมขนาด 1 n เมอนาเวกเตอร u และ v มาคณกน ซง u เปนเวกเตอรสดมภเปนตวนาและ v เปนเวกเตอรแถวเปนตวตาม

จะไดเมทรกซใหมทเปนผลคณของ u และ v มขนาด m n

ตวอยางท 3.15 กาหนดให u =

2

3 และ v = [1 2 3] จงหา uv

วธทา u เปนเวกเตอรสดมภทมขนาด 2 1 และ v เปนเวกเตอรแถวทมขนาด 1 3 ผลคณของ uv จะไดเมทรกซใหมทมขนาด 2 3


uv =

2

3 [1 2 3] =

)3)(2()2)(2()1)(2(

)3)(3()2)(3()1)(3( =

642

963

จากตวอยางนจะเหนวาแตละแถวของ u ประกอบดวยสมาชกเพยง 1 สมาชกเทานน และแตละสดมภของ v ประกอบดวยสมาชกเพยง 1 สมาชกเชนกน สมาชกแตละตวของเมทรกซใหม (คอ uv) จะเปนผลคณของสมาชกทสอดคลองกนเพยงคเดยวเทานนแทนทจะเปนผลรวมของผลคณของสมาชกหลายตวทสอดคลองกน และผลจากการคณของเวกเตอรทง 2 จะไดเมทรกซใหมทมขนาด 2 3 แตถากาหนดให u เปนเวกเตอรแถวมขนาด 1 n และ v เปนเวกเตอรสดมภทมขนาด n 1 ผลคณระหวาง u และ v ซง u เปนเวกเตอรแถวเปนตวนาและ v เปนเวกเตอรสดมภเปนตวตามกจะไดเมทรกซใหมทมขนาด 1 1

ตวอยางท 3.16 กาหนดให u = [1 2] และ v =

6

5 จงหา uv

วธทา uv = [1 2]

6

5 = [(1)(5) + (2)(6)] = [17]

จากตวอยางนจะเหนวา uv เปนเมทรกซทมขนาด 1 1 ทประกอบดวยสมาชกเพยงตวเดยว ซงจะมสมบตเหมอนกบจานวนทเปนคาคงทหรอสเกลารทวไปสามารถนาไปบวกและคณกนได เชน [3]+[5] = [8] มสมบตการบวกเหมอนกบจานวนทเปนสเกลาร 3+5 = 8 หรอ [3] [5] = [15] มสมบตการคณเหมอนกบจานวนทเปนสเกลาร 35 = 15 ในความเปนจรงนนเซตของสเกลารทงหมดและเซตของเมทรกซขนาด 1 1 ทมสมาชกเปนสเกลารทงหมด มความสอดคลองกนแบบหนงตอหนง ดวยเหตนอาจจะใหความหมายใหมวา uv เปนสเกลารทสอดคลองกบผลเฉลยของเมทรกซขนาด 1 1 ดงนนตามตวอยางขางตน จงสามารถเขยน uv = 17 ผลเฉลยนเรยกวาผลเฉลยสเกลาร (scalar product) แตสงทตองระวงกคอ ในขณะทเมทรกซขนาด 11 ถกจดใหเปนสเกลารได แตสเกลารจะนาเมทรกซขนาด 1 1 ไปเขยนแทนไมได ตวอยางท 3.17 กาหนดใหเวกเตอรแถว u = [1 2 3] และ u เปนเวกเตอรสดมภซงเปนเมทรกซสลบเปลยนของ u จงหา uu วธทา u = [1 2 3]


เมทรกซสลบเปลยนของ u คอ u =

3

2

1

uu = [1 2 3]

3

2

1

= [(1)(1) + (2)(2) + (3)(3)] = [12 + 22 + 32] = [14] = 14 uu เปนเมทรกซขนาด 1 1 ผลเฉลยสามารถเขยนเปนสเกลารไดเทากบ 14 ดงนนในการหาคาตอบจงไมจาเปนตองใสเครองหมายวงเลบใหญของเมทรกซใหมทมสมาชกเปนผลรวมของผลคณของสมาชกทสอดคลองกนได จงเขยนใหมไดดงน

uu = [1 2 3]

3

2

1

= 12 + 22 + 32 = 14

จากตวอยางดงกลาวนอกจากวาจะไมจาเปนตองใสเครองหมายวงเลบใหญแลว ผลเฉลยทไดนนสามารถคานวณไดจากผลรวมของกาลงสองของสมาชกแตละตวของ u โดยทวไป ถาให u = [u1, u2, …, un] ดงนน uu จะเปนผลรวมของกาลงสองของสมาชก uj ดงน

uu = 2n

22

21 u...uu =

n

1j

2ju

จากตวอยางทยกมานน ถาสงเกตจะพบวาผลเฉลยทเปนสเกลารนน จะตองใหเวกเตอรแถวเปนเมทรกซตวนา (lead matrix) และเวกเตอรสดมภเปนเมทรกซตวตาม (lag matrix) ถาไมเปนตามน ผลเฉลยจะไมใชเมทรกซขนาด 1 1 ทมผลเฉลยเปนสเกลารและทสาคญไปกวานนกคอจะตองเขาใจในความหมายทแตกตางกนระหวางเมทรกซทมขนาดใหญกวา 1 1 และเมทรกซทมขนาด 1 1 ทผลเฉลยเปนสเกลาร


3.6.2 การแปลความหมายทางเรขาคณตของการปฏบตการของเวกเตอร

ความหมายทางเรขาคณตของเวกเตอร ใหพจารณาจากตวอยางของเวกเตอรตอไปน กาหนดให u =

2

3

และเมทรกซสลบเปลยนของ u คอ u = [3 2] ทงน u เรยกวา เวกเตอรสดมภ และ u เรยกวาเวกเตอรแถว ทง 2 เวกเตอรมสมาชก 2 สมาชก สมาชกทง 2 นเปนเสมอนคอนดบทสามารถนาไปลงจดได จดๆ หนงในระนาบ 2 มต ซงทง 2 เวกเตอรนมคอนดบเหมอนกน คอ (3, 2) ดงนนทง 2 เวกเตอรคอ u (เวกเตอรสดมภ) และ u (เวกเตอรแถว) จงลงจดไดจดเดยวกน ความหมายทางเรขาคณตจงเหมอนกนคอเสนกราฟเดยวกน เมอนาไปลงจด (3, 2) ในระนาบสองมต และลากเสนตรงจากจดกาเนด (0, 0) ไปยงจด (3, 2) โดยกาหนดทศทางของเสนตรงทลากจากจดกาเนดไปยงจดนนดวยการใชลกศรแทนเสนตรง หวลกศรจะอยทจด (3, 2) ถาลกศรนแทนเวกเตอร u ตามภาพท 3.1 ดงนนจงสามารถเขยนเวกเตอรตางๆ ไดโดยใชลกศรทออกจากจดกาเนดไปยงจดทเปนคอนดบ (สมาชกของเวกเตอร) แทนเวกเตอรและเรยกลกศรทลากออกจากจดกาเนดไปยงจดตางๆ คลายกบเขมนาฬกาซงมความยาวและทศทางทแนนอนวา เรเดยสเวกเตอร (radius vector)

ภาพท 3.1 การเขยนลกศรแทนเวกเตอร u

การปฏบตการของเวกเตอรทมความหมายทางเรขาคณต ประกอบดวยการดาเนนการดงน 1. การคณเวกเตอรดวยสเกลาร 2. การบวกและลบเวกเตอร 3. การรวมกนเชงเสน (linear combination) ของเวกเตอร 1) การคณเวกเตอรดวยสเกลาร

กาหนดให u =

2

3

ถา k คอสเกลาร เทากบ 2

(3, 2)

เวกเตอร u

x1

x2

O


ดงนน 2u = 2

2

3 =

4

6

การเขยนกราฟโดยลงจดคอนดบ (6, 4) ลกศรของเวกเตอร 2u จะทบกบลกศรของเวกเตอร u (ลกศรเดม) แตมความยาวเปน 2 เทาของลกศรเดม หวลกศรจะอยทจด (6, 4) ตามภาพท 3.2 ดงนน การคณเวกเตอรดวยคาคงท (k) จะไดลกศรใหมททบกนกบลกศรเดม แตหวลกศรจะไมซ าทเดม ยกเวน เมอ k = 1

ภาพท 3.2 การคณเวกเตอรดวยสเกลารทเปนคาบวก

สรปไดวา ถา k > 1 ลกศรจะขยายยาวออกไปจากเดมเรยกวาสเกลอพ (scale up) ถา 0 < k < 1 ลกศรจะสนกวาเดม เรยกวาสเกลดาวน (scale down) ถา k = 0 ลกศรจะอยทจดกาเนด ซงหมายถง เวกเตอรศนย (null vector)

ในกรณนคอ

0

0

แตถา k < 0 คอเปนคาลบ ลกศรจะมทศทางไปในทางตรงกนขามกบทศทางเดม แตยงอยในแนวเสนตรงของลกศรเสนเดม เชน k = -1

ดงนน ku = -1u = -1

2

3 =

2

3

เวกเตอรของ -1u จงเปนตามภาพท 3.3

(3, 2) u

x1

x2

O

(6, 4) 2u

6 3


ภาพท 3.3 การคณเวกเตอรดวยสเกลารทเปนคาลบ

จากภาพจะเหนวาลกศรของเวกเตอร –u จะมความยาวทแนนอนเทากบเวกเตอร u (เวกเตอรเดม) แตมทศทางตรงขาม 2) การบวกและลบเวกเตอร

กาหนดให v =

4

1 และ u =

2

3

ถาหาผลบวกของเวกเตอรทงสองจะไดวา v + u =

4

1+

2

3 =

6

4

เมอนาไปลงจดบนระนาบจะไดลกศรซงเปนเสนประตามภาพท 3.4

ภาพท 3.4 การบวกเวกเตอร 2 เวกเตอร

(3, 2) u

x1

x2

O

(-3, -2) -u

u (3, 2)

v + u (4, 6)

x1

x2

v (1, 4)

O


การเขยนลกศรแทนเวกเตอร v + u นน อาจจะทาไดอกวธการหนงคอใหลากเสนขนานกบเวกเตอร u และเวกเตอร v จะไดรปสเหลยมดานขนาน แลวลากเสนทแยงมมของสเหลยมนนออกจากจดกาเนดจะไดลกศรแทนเวกเตอร ผลบวกของ u และ v โดยทวไปการหาผลบวกของเวกเตอร โดยวธการทางเรขาคณตนจะใชวธการสรางสเหลยมดานขนานดงทกลาวมา ซงวธการนสามารถนาไปใชในการหาผลตางของเวกเตอรไดอกดวย เชน v - u ซงเขยนใหมไดเปน v + (-u) ขนแรกตองสรางเวกเตอร v และเวกเตอร –u แลวจงสรางสเหลยมดานขนานของเวกเตอรทง 2 น ลากเสนทแยงมมออกจากจดกาเนด กจะไดเปนตวแทนของเวกเตอร v – u ตามภาพท 3.5 ตรวจสอบการเขยนกราฟวาถกตองหรอไมโดยการใชพชคณตของเวกเตอรดงน

v - u =

4

1-

2

3 =

2

2

ภาพท 3.5 การลบเวกเตอร 2 เวกเตอร

3) การรวมกนเชงเสน (linear combination) การรวมกนเชงเสน หมายความรวมถงผลบวกและผลตางเชงเสนของเวกเตอร ใหพจารณาจากตวอยาง

ดงน

กาหนดให u =

2

3 v =

4

1

ใหหาคาของ 3v + 2u สามารถหาคาทางพชคณตไดดงน

-u (-3, -2)

v - u (-2, 2)

x1

x2

v (1, 4)

O


3v + 2u = 3

4

1 + 2

2

3 =

12

3+

4

6 =

16

9

การคณเวกเตอร v ดวย 3 และคณเวกเตอร u ดวย 2 ลกศรจะอยทแนวเสนตรงเสนเดมของเวกเตอร เพยงแตหวลกศรจะยาวออกไปจากเดม แตเมอนาเอามารวมกนโดยการใชวธทางเรขาคณตดวยการสรางสเหลยมดานขนาน ลกศรทไดจากผลรวมเชงเสนของเวกเตอรนกไมไดแตกตางไปจากเดมในเรองของการบวกเวกเตอร ลกศรของเวกเตอร 3v + 2u กอยบนแนวเสนตรงเดมของผลบวกเวกเตอรของ v + u เพยงแตลกศรจะยาวออกไปจากเดมตามภาพท 3.6

ภาพท 3.6 การรวมกนเชงเสนของเวกเตอร

u (3, 2)

3v + 2u (9, 16)

x1

x2

v (1, 4)

O

2u (6, 4)

3v (3, 12)


ดงนนจงสามารถสรปไดวาถามหลายๆ พจนหรอหลายๆ เทอมในผลรวมเชงเสนแลวจะไดผลดงน

n

1iii vk = k1 v1 + k2 v2 + … + kn vn

เมอ ki คอ เซตของสเกลาร vi คอ เซตของเวกเตอร

รปของผลรวมน สามารถทาไดโดยการนา 2 เทอมแรกมาบวกกนกอนไดผลเฉลยเทาไรแลวจงนาไปบวกกบเทอมท 3 ไดผลเฉลยแลวจงนาไปบวกกบเทอมท 4 ทาเชนนเรอยไปจนครบทกเทอม จากสมบตของการรวมกนเชงเสนของเวกเตอรสามารถพจารณาถงความเปนอสระและไมเปนอสระเชงเสนของเวกเตอรได

3.6.3 ความไมเปนอสระเชงเสน (Linear dependence) กาหนดใหมเซตของเวกเตอรเซตหนง คอ v1, v2, …, vn เซตของเวกเตอรนจะเปนเวกเตอรทไมมความเปน

อสระเชงเสนไดกตอเมอ เวกเตอรใดเวกเตอรหนงในเซตของเวกเตอรนสามารถแสดงใหเหนไดวาเปนผลรวม เชงเสนของเวกเตอรอนๆ ทเหลอในเซตของเวกเตอรน

ในกรณตรงกนขาม ถาไมสามารถแสดงใหเหนไดวาเปนผลรวมเชงเสน เซตของเวกเตอรนจะเปนเซตของเวกเตอรทเปนอสระเชงเสน

ตวอยางท 3.18 กาหนดให u1 =

7

2, u2 =

8

1 และ u3 =

5

4 จงแสดง

ใหเหนวา เวกเตอรทง 3 เวกเตอรนเปนเวกเตอรทไมมความเปนอสระเชงเสน วธทา นาสเกลารไปคณเวกเตอร u1 และ u2 แลวจงนามาบวกหรอลบกนเพอใหไดเทากบ u3

ถานา 3 ไปคณ u1 จะได 3u1 = 3

7

2 =

21

6

ถานา 2 ไปคณ u2 จะได 2u2 = 2

8

1 =

16

2

นา 3u1 ลบดวย 2u2 ไดดงน

3u1 - 2u2 =

21

6-

16

2 =

5

4 = u3

จะเหนวา u3 เปนผลรวมเชงเสนของ u1 และ u2 ดงนน u1, u2 และ u3 เปนเวกเตอรทไมเปนอสระเชงเสน


จากตวอยางนจะสงเกตเหนวา เมอนาเวกเตอรทง 3 มาเขยนเปนสมการอธบายไดดงน 3u1 - 2u2 - u3 = 0

ซง 0

0

0หรอเรยกวาเวกเตอรศนย ซงกคอเมทรกซศนย นนเอง

ตวอยางท 3.19 กาหนดใหเวกเตอรแถว 2 เวกเตอร คอ u1 = [5 12] และ u2 = [10 24] เวกเตอรทง 2 เวกเตอรมความเปนอสระเชงเสนหรอไม จงอธบาย วธทา จากเวกเตอรทกาหนดใหทง 2 เวกเตอร จะสงเกตไดวา u2 นนจะเทากบ u1 คณดวยสเกลาร 2 ซงกคอ 2u1 = 2[5 12] = [10 24] = u2 ดงนน เมอเวกเตอรหนงเทากบผลคณของสเกลารกบอกเวกเตอรหนง ซงวธการนเปนการอธบายความเปนผลรวมเชงเสนทงายทสด แสดงวาทง 2 เวกเตอรนไมเปนอสระเชงเสน จากตวอยางน ถาเขยนเปนสมการอธบายไดดงน 2u1 - u2 = 0 ซง 0 [0 0] หรอเปนเวกเตอรศนย จากทง 2 ตวอยาง แสดงใหเหนวาเซตของเวกเตอรทเมอนาเวกเตอรมาคณดวยสเกลารแลวนามาบวกหรอลบกน หรอการคณเวกเตอรดวยสเกลารแลว ทาใหเวกเตอรเหลานนมผลรวมเชงเสน สรปไดวา เซตของเวกเตอร มความไมเปนอสระเชงเสนและสามารถเขยนเปนสมการของเวกเตอรทใหผลทางดานขวามอของสมการเปนศนยหรอเทากบเวกเตอรศนย

จากผลสรปดงกลาว จงใหคานยามของความไมเปนอสระเชงเสนใหมไดวา ถามเซตของเวกเตอรทแตละเวกเตอรมสมาชก m สมาชก คอ v1, v2, …, vn เซตของเวกเตอรนจะเปนเวกเตอรทไมมความเปนอสระเชงเสน กตอเมอเซตของสเกลาร k1, k2, …, kn ทแตละสเกลารไมเทากบศนยและทาให

n

1iii vk = 0

(m 1)

แตถา

n

1iii vk = 0 กตอเมอ ki = 0 ทกๆ คาของ i แลวจะไดวาเซตของเวกเตอรเหลานนเปนเวกเตอรทมความ

เปนอสระเชงเสน


ดงน น แนวคดของความไมเปนอสระเชงเสน สามารถแสดงใหเหนไดโดยการแสดงความหมายทางเรขาคณตงายๆ ดวยภาพกราฟ เชน กรณของเวกเตอร 2 เวกเตอร คอ u และ 2u ตามภาพท 3.2 ทลกศรอยบนเสนตรงเสนเดยวกน ลกศรของเวกเตอร 2u ยาวเปนสองเทาของเวกเตอร u แสดงวาเวกเตอรทง 2 คอ u และ 2u ไมเปนอสระเชงเสน เชนเดยวกบ 2 เวกเตอร u และ –u ตามภาพท 3.3 ทไมเปนอสระเชงเสนเชนกน ในทานองตรงขาม เวกเตอร 2 เวกเตอรคอ u และ v ตามภาพท 3.4 จะเปนอสระเชงเสน เพราะวาเปนไปไมไดทจะบอกไดวา เวกเตอรใดเวกเตอรหนงยาวเปนกเทาของอกเวกเตอรหนง การอธบายทางเรขาคณตดวยภาพกราฟ จะเหนวา ลกศรทง 2 ไมไดอยบนเสนตรงเสนเดยวกน แตถามเวกเตอรมากกวา 2 เวกเตอรในระนาบ 2 มต สามารถสรปอยางมนยสาคญไดวา

1. มเวกเตอร 2 เวกเตอรทเปนอสระเชงเสนในระนาบ 2 มตนน เชน เวกเตอร u และเวกเตอร v 2. เวกเตอรอนๆ ในระนาบ 2 มตทอยระหวางเวกเตอรทง 2 เวกเตอรนน (u และ v) จะแสดงใหเหนถง

การรวมกนเชงเสนของเวกเตอรทง 2 เวกเตอรนน ดงเชน ตามภาพท 3.4 และภาพท 3.5 ทอธบายถงผลเฉลยของการรวมกนเชงเสนอยางงายๆ 2 กรณ คอ v + u และ v – u

จากทกลาวมาทงหมดในเรองของการปฏบตการของเวกเตอรในเชงเรขาคณตนน ทงเรองของการขยายลกศรยาวออกไปจากเดม การหดสนกวาเดมของลกศร หรอการผกผนของลกศรทเปนไปในทศทางตรงกนขาม เมอกาหนดเวกเตอร u และ v ให รวมถงการรวมเชงเสนของเวกเตอรโดยใชวธสรางรปสเหลยมดานขนานขนาดตางๆ กน ทาใหไดเวกเตอรใหมๆ จานวนมากมายนบไมถวนนน เปนการพจารณาจากเซตของเวกเตอรทมสมาชกเพยง 2 สมาชกในแตละเวกเตอรทงหมด และเปนการพจารณาถงเซตของเวกเตอรทมเพยง 3 เวกเตอรในระนาบ 2 มตเทานน ซงจะตองม 2 เวกเตอรทเปนอสระเชงเสน แตเวกเตอรท 3 ตองเปนการรวมกนเชงเสนของเวกเตอร 2 เวกเตอรแรกน และทาใหไดเวกเตอรทมความไมเปนอสระเชงเสน 3.7 เมทรกซสลบเปลยนและสมบตของเมทรกซสลบเปลยน 3.7.1 เมทรกซสลบเปลยน เมอสมาชกของเมทรกซมการสลบเปลยนกนจากแถวเปนสดมภโดยแถวท 1 เปลยนเปนสดมภท 1 แถวท 2 เปลยนเปนสดมภท 2 ทาเชนนเรอยไป เมทรกซใหมทมการสลบเปลยนแถวและสดมภจากเมทรกซเดมน เรยกวา เมทรกซสลบเปลยน เชน A เปนเมทรกซเดม แตเมอมการสลบเปลยนสมาชกจากแถวเปนสดมภแลว เมทรกซใหมทไดคอเมทรกซสลบเปลยน ใชสญลกษณเปน A หรอ At ตามทไดเคยกลาวถงชนดของเมทรกซแตละประเภทมาแลวในตอนแรก รวมถงทราบวาเมอเมทรกซมการสลบเปลยนสมาชกแลวขนาดของเมทรกซกจะเปลยนไปตามจานวนแถวและสดมภทสลบกนดวย


นนคอ ถา A = [aij]mn ดงนน A = [aji]nm


012

143 และ B =

34

26

ใหเขยนเมทรกซสลบเปลยนของ A และ B วธทา

A =

012

143 เปนเมทรกซทมขนาดเทากบ 2 3

จะได A =

01

14

23

เปนเมทรกซทมขนาดเทากบ 3 2

B =

34


B =

32


จากตวอยางดงกลาว จะสงเกตเหนวาในกรณทเมทรกซเดมเปนเมทรกซจตรส เมอมการสลบเปลยนแถวและสดมภเปนเมทรกซสลบเปลยนแลวขนาดของเมทรกซจะยงเทาเดม

ตวอยางท 3.21 กาหนดให D =

37

48 และ E =

054

510

402

จงหา D และ E วธทา

D =

37



จะได D =

34


E =

054

510

402


E =

054

510

402


จากตวอยางนจะเหนวา ทง D และ E ขนาดของเมทรกซเทากบ D และ E ตามลาดบ นอกจากนเมทรกซ

E และ E จะมสมาชกเหมอนกนทกอนดบ ทาใหเมทรกซ E เทากบเมทรกซ E ดวย ซงเปนผลของการทสมาชกทอยเหนอและตากวาเสนทแยงมมหลกของเมทรกซนนเหมอนกนในอนดบทสอดคลองกน โดยเสนทแยงมมหลกเปนเหมอนกระจกเงา ทาใหเกดเมทรกซสมมาตร ดงนน E และ E จงเปนเมทรกซสมมาตรดวย ตวอยางของเมทรกซอกประเภทหนงทเปนเมทรกซสมมาตรดวยคอเมทรกซเอกลกษณ เพราะ I = I

เชน I3 =

100

010

001

I3 =

100

010

001

ดงนน I3 = I3 เปนเมทรกซเอกลกษณและเปนเมทรกซสมมาตรดวย เพราะแนวเสนทแยงมมหลกมสมาชกทอยเหนอและตากวาเหมอนกนทกอนดบและเปนศนยทงหมดเหมอนกน


3.7.2 สมบตของเมทรกซสลบเปลยน เมทรกซสลบเปลยนมสมบตดงน 1. (A) = A 2. (A + B) = A + B 3. (AB) = BA จากสมบตขอท 1 หมายถง การสลบเปลยนของเมทรกซสลบเปลยนจะไดเมทรกซเดมของเมทรกซสลบ

เปลยนนน

เชน กาหนดให A =

520

431

ดงนน A =

54

23

01

และ (A) =

520

431

สรปไดวา (A) = A จากสมบตขอท 2 หมายถง การสลบเปลยนของผลบวกของเมทรกซสองเมทรกซจะไดผลบวกของเมทรกซสลบเปลยนสองเมทรกซนน


520

431 B =

423

210

ดงนน (A+B) =

520

431+

423

210 =

943

641

และ (A+B) =

96

44

31


แต A =

54

23

01

และ B =

42

21

30

ดงนน A+B =

54

23

01

+

42

21

30

=

96

44

31

สรปไดวา (A+B) = A + B สมบตของการบวกขอน สามารถใชไดกบการลบเมทรกซดวย คอ (A – B) = A - B จากสมบตขอท 3 หมายถง ผลเฉลยของการสลบเปลยนของผลคณของเมทรกซสองเมทรกซจะไดเทากบผลเฉลยของผลคณของเมทรกซสลบเปลยนของเมทรกซเดมทง 2 เมทรกซนนทสลบตาแหนงการคณกน อยางไรกตามสมบตขอนตองตรวจสอบ ขนาดของเมทรกซทนามาคณกนดวยวามความเปนไปไดทจะนาเมทรกซสองเมทรกซมาคณกน ทงดานซายและดานขวา เชน สมมตให A เปนเมทรกซขนาด m n B เปนเมทรกซขนาด n p ดงนน AB จงเปนเมทรกซมขนาด m p และ (AB) จะเปนเมทรกซทมขนาด p m ถาตรวจสอบขนาดทางดานขวาทจะตองมขนาดเทากบดานซาย นนคอ BA จะตองมขนาด p m ดวย ดงนน B จะมขนาด p n และ A จะมขนาด n m ผลเฉลยของ BA จะเปนเมทรกซทมขนาด p m ตามตองการ


42

31 และ B =

231

210

ดงนน AB =

42

31

231

210 =

12144

8103

และ AB =

128

1410

43

แต A =

43

21 และ B =

22

31

10


ดงนน BA =

22

31

10

43

21 =

128

1410

43

สรปไดวา AB = BA 3.8 เมทรกซผกผนและสมบตของเมทรกซผกผน

เมอกาหนดเมทรกซ A มาให สามารถหาเมทรกซสลบเปลยนของเมทรกซ A ได คอ A แตเมทรกซ A อาจจะมเมทรกซผกผน หรออาจจะไมมกได ถาเมทรกซ A มเมทรกซผกผนจะใชสญลกษณแทนเมทรกซผกผนของเมทรกซ A คอ A-1 ซงเมทรกซ A จะมเมทรกซผกผนไดกตอเมอ A เปนเมทรกซจตรส และจะตองเปนไปตามเงอนไขดงน

AA-1 = A-1A = I หมายความวา เมทรกซ A เมอคณดวยเมทรกซผกผนของเมทรกซ A ทงกรณท A เปนเมทรกซตวนา หรอ

A เปนเมทรกซตวตามในการคณน น ผลเฉลยทไดจะไดเมทรกซเอกลกษณ เชนเดยวกน กรณดงกลาวนเปนขอยกเวนของการคณเมทรกซดวยเมทรกซทเปนไปตามกฎการสลบท (cumutative law) เพราะโดยทวไปแลวการคณเมทรกซดวยเมทรกซจะไมเปนไปตามกฎการสลบท (AB BA) ตามทเคยไดอธบายมาแลวในตอนตน

3.8.1 ประเดนสาคญของเมทรกซผกผนทควรทราบ 1. เมทรกซใดๆ อาจจะมเมทรกซผกผนหรอไมมกได แตสงสาคญทเปนเงอนไขเบองตนของการม

เมทรกซผกผนกคอเมทรกซนนตองเปนเมทรกซจตรส แตเงอนไขนกยงไมเพยงพอทจะกลาวไดวาเมทรกซจตรสทกเมทรกซจตรสตองมเมทรกซผกผน สาหรบเมทรกซจตรสทมเมทรกซผกผนจะเรยกเมทรกซจตรสนวาเปนเมทรกซไมใชเอกฐาน (nonsingular matrix) แตถาเมทรกซจตรสใดไมมเมทรกซผกผนจะเรยกวาเมทรกซเอกฐาน (singular matrix)

2. ถาสามารถหาเมทรกซผกผนของเมทรกซ A ได คอ A-1 ขณะเดยวกนกสามารถหาเมทรกซผกผนของเมทรกซ A-1 ไดเชนกน คอเมทรกซ A หรอกลาวอกนยหนงไดวา เมทรกซ A กเปนเมทรกซผกผนของเมทรกซ A-1 ดงนนทงเมทรกซ A และ A-1 ตางกเปนเมทรกซผกผนซงกนและกน

3. ถาเมทรกซ A มขนาด n n แลว A-1 จะมขนาด n n ดวย เพราะไมเชนนนแลวจะไมสามารถคณเมทรกซ A ดวย A-1 หรอคณเมทรกซ A-1 ดวย A ได และผลเฉลยทไดจะเปนเมทรกซเอกลกษณทมขนาด n n ดวยเชนกน


4. ถาเมทรกซใดสามารถหาเมทรกซผกผนได เมทรกซผกผนนนกจะเปนเมทรกซผกผนเพยงเมทรกซเดยว เชน สมมตวา B เปนเมทรกซผกผนของเมทรกซ A จากเงอนไขของเมทรกซผกผน จะไดวา BA = AB = I และสมมตให C เปนเมทรกซผกผนอกเมทรกซหนงของเมทรกซ A ดงนน CA = AC = I ถานาเมทรกซ C ไปคณทงดานซายและขวาของสมการ AB = I โดยใหเมทรกซ C เปนเมทรกซตวนา ดงน CAB = CI = C (เพราะวาจากสมบตของเมทรกซเอกลกษณ ทวาเมทรกซใดกตามทคณกบเมทรกซ เอกลกษณ ผลเฉลยทไดจะไดเมทรกซเดมนน) แตจากขอสมมตขางตนท CA = I ดงนน IB = C หรอ B = C (ตามสมบตของเมทรกซเอกลกษณ) นนคอ B และ C ตองเปนเมทรกซผกผนเดยวกน ซงกคอเมทรกซ A ตองมเมทรกซผกผนเพยงเมทรกซเดยวเทานน

5. จากเงอนไขของเมทรกซผกผนทวา AA-1 = A-1A = I สามารถเขยนแยกเปน 2 สมการไดวา AA-1 = I และ A-1A = I ในทางปฏบตแลวแตละสมการกเปนเงอนไขทเพยงพอทจะบอกถงความสมพนธระหวางเมทรกซ A และ A-1 ได เชน กรณ AA-1 = I ถากาหนดให B เปนเมทรกซหนงทเมอคณกบเมทรกซ A แลวทาให BA = I ดงน นจะกลาวไดวา B เปนเมทรกซผกผนของ A หรอ B = A-1 กตอเมอ BA = I นจะตองใหผลเฉลยเหมอนกบสมการ A-1A = I ถาคณทง 2 ขางของสมการ BA = I ดวย A-1 โดยใหเปนเมทรกซตวตาม ดงน (BA)A-1 = I A-1 B(AA-1) = I A-1 (ตามกฎของการเปลยนกลมของผลคณเมทรกซ) BI = I A-1 (เพราะ AA-1 = I ตามเงอนไข) ดงนนสรปไดวา B = A-1 ในทานองเดยวกน กสามารถพสจนไดวา A-1A = I



20

13 และ B =

30

12

61

จงหา AB และ BA วธทา A และ B เปนเมทรกซจตรสทมขนาด 2 2

B =

30

12

61

หรอ 61

30

12

ดงนน AB =

20

13

61

30

12

= 61

60

06

=

10

01 = I2

สรปไดวา B เปน เมทรกซผกผนของ A

BA =

30

12

61

20

13

=

60

06

61

=

10

01 = I2

สรปไดวา B เปนเมทรกซผกผนของ A 3.8.2 สมบตของเมทรกซผกผน ถา A และ B เปนเมทรกซไมใชเอกฐาน ทมขนาดเทากบ n n 1. AA-1 = A-1A = I 2. (A-1)-1 = A 3. (AB)-1 = B-1A-1 4. (A)-1 = (A-1) สมบตขอ 1 เปนสมบตเงอนไขของเมทรกซผกผนตามทอธบายมาแลวในตอนตน สมบตขอ 2 เปนการหาเมทรกซผกผนของเมทรกซผกผนของเมทรกซ A จะไดเมทรกซเดมคอเมทรกซ A สมบตขอ 3 เปนการหาเมทรกซผกผนของผลคณของสองเมทรกซ คอ AB จะไดผลเฉลยเปนผลคณของ

เมทรกซผกผนของเมทรกซเดมแตสลบตาแหนงการคณคอ B-1 A-1


สมบตขอ 4 เปนการหาเมทรกซผกผนของเมทรกซสลบเปลยนจะไดผลเฉลยเปนเมทรกซสลบเปลยนของเมทรกซผกผนของเมทรกซเดม 3.9 เงอนไขการเปนเมทรกซไมใชเอกฐาน (Conditions for nonsingular matrix) การแกปญหาระบบสมการเชงเสนโดยใชเมทรกซน น สงสาคญทจะทาใหสามารถแกปญหาไดคอสมประสทธของตวแปรทเมอเขยนอยในรปของเมทรกซแลว จะตองเปนเมทรกซไมใชเอกฐานทสามารถหา เมทรกซผกผนได การตรวจสอบวาเมทรกซสมประสทธของตวแปรจะมเมทรกซผกผนหรอไมและจะสามารถหาเมทรกซผกผนไดอยางไรจงเปนสงจาเปน

ถากาหนดใหเมทรกซสมประสทธของตวแปร คอเมทรกซ A และเปนเมทรกซทมเมทรกซผกผน นนคอเมทรกซ A จะตองเปนเมทรกซไมใชเอกฐานและตองเปนเมทรกซจตรสเทานน อยางไรกตามการเปนเมทรกซจตรส ยงไมสามารถสรปไดวาเมทรกซนนจะตองเปนเมทรกซทมเมทรกซผกผนเสมอไป เพราะเมทรกซจตรสบางเมทรกซอาจจะไมมเมทรกซผกผนกได กลาวคอเมทรกซจตรสนนจะเปนเมทรกซเอกฐาน

3.9.1 เงอนไขจาเปนและเงอนไขเพยงพอ (Necessary and sufficient conditions) แนวคดของเงอนไขจาเปนและเงอนไขเพยงพอ ถกนามาใชในทางเศรษฐศาสตรอยเสมอจงควรจะตองทา

ความเขาใจในความหมายของ 2 เงอนไขนกอน 1. เงอนไขจาเปน โดยธรรมชาตแลวจะเปนสงจาเปนทตองเกดขนกอน เชน สมมตวาขอความ p จะเปน

จรงไดกตอเมอ (only if) ขอความ q เปนจรง ดงนน q จงเปนเงอนไขจาเปนสาหรบ p สญลกษณทใชอธบาย คอ p q อานวา “p กตอเมอ q” หรอ “p only if q” หรออกกรณหนงคอ “ถา p แลว q” หรอ “if p, then q” ทง 2 กรณในความหมายเชงตรรกแลวหมายถง ขอความแรกตองเกดขนกอนและตองเปนจรง ขอความทตามมาถงจะเปนจรง โดยนยของการแปลความหมายทถกตองเชงตรรกแลว p จะหมายถง q ดวยหรอหมายถง “p implies q” ถากลาววา “p w” กจะหมายถง p จะเปนจรงกตอเมอ w เปนจรง ดงนน ทง q และ w จงเปนเงอนไขทจาเปนทจะตองเกดขนกอน สาหรบ p ถาให p เปนขอความ “นาย ก. เปนนกศกษามหาวทยาลยเชยงใหมทผานการสอบจากระบบการสอบสวนกลาง” และ q เปนขอความ “นาย ก. สาเรจการศกษาชนมธยมศกษาตอนปลาย” ในความหมายเชงตรรกวทยาแลว ขอความ p จะหมายถงขอความ q ดวย นนคอ ถา p เปนจรง q ตองเปนจรงดวย เพราะฉะนน q จงเปนขอความทเปนเงอนไขทจาเปน (necessary condition) ทจะตองเกดขนกอนและเปนจรง p จงจะเกดขนและเปนจรงดวย ซงกคอ นาย ก. เปนนกศกษามหาวทยาลยเชยงใหมทผานการสอบจากระบบการสอบสวนกลางกตอเมอ นาย ก. สาเรจการศกษาชนมธยมศกษาตอนปลาย แสดงวา การสาเรจการศกษาชนมธยมศกษาตอนปลายเปน


เงอนไขจาเปนสาหรบการเปนนกศกษามหาวทยาลยเชยงใหมทผานการสอบจากระบบการสอบสวนกลาง แตถาเขยนขอความกลบกนจะไมเปนจรง เพราะการเปนนกศกษามหาวทยาลยเชยงใหมทผานการสอบจากระบบการสอบสวนกลางไมไดเปนเงอนไขจาเปนสาหรบการทจะสาเรจการศกษาชนมธยมศกษาตอนปลาย เพราะฉะนน p q เปนจรง กไมไดหมายความวา q p จะเปนจรงดวย

2. เงอนไขเพยงพอในกรณของรปของสถานการณทแตกตางไปจากกรณแรก คอ ขอความ p จะเปนจรงถา q เปนจรง แต p กยงคงเปนจรงได แมวา q จะไมจรง กรณน q จะเปนเงอนไขเพยงพอ (sufficient condition) สาหรบ p ความจรงของ q เพยงพอสาหรบทาใหเกดความจรงของ p แตไมไดเปนเงอนไขจาเปนสาหรบ p กรณดงกลาวนอธบายดวยสญลกษณดงน

p q อานวา “p ถา q” หรอ “p if q” ไมมคาวา only เหมอนกรณแรก หรออานใหมจากขางหลงไปขางหนา แสดงความหมายวา “q implies p” หรอเรยกอกอยางหนงวา “ถา q แลว p” หรอ “if q, then p” ตวอยางท 3.23 ถาให p แทนขอความ “การเดนทางไปจงหวดเชยงใหม” q แทนขอความ “เดนทางไปจงหวดเชยงใหมโดยเครองบน”

ดงนน p q เพราะเครองบนสามารถนาทางไปสจงหวดเชยงใหมไดแตการเดนทางไปจงหวดเชยงใหมอาจจะเดนทางโดยรถไฟ หรอรถโดยสารปรบอากาศได การเดนทางโดยเครองบนกไมใชสงจาเปนทจะตองเกดขน ถงจะสามารถเดนทางไปจงหวดเชยงใหมได จงเขยนอธบายดวย p q ไมใช p q

3. ในสถานการณทเปนไปไดอกกรณหนงคอ q เปนทงเงอนไขทจาเปนและเพยงพอสาหรบ p ในกรณนจะเขยนสญลกษณแทนวา p q อานวา “p if and only if q” หวลกศรทง 2 ดาน แสดงถงการรวมกนของ 2 กรณแรกเขาดวยกน ดงนนจงหมายถง p implies q และ q implies p ดวย ตวอยาง ท 3.24 ถาให p แทนขอความ “มจานวนนอยกวา 30 วน ใน 1 เดอน” q แทนขอความ “เปนเดอนกมภาพนธ”

ดงนน p q เพราะวา กรณแรก p q หรอ p จะเปนจรง q ตองเปนจรงดวย q เปนเดอนกมภาพนธ ซงเดอนกมภาพนธ มจานวนนอย

กวา 30 วน จรง ทาให p จงเปนจรงดวย ดงนน q จงเปนเงอนไขจาเปน กรณทสอง p q หรอ q จะเปนจรง p ตองเปนจรงดวย p เปนจานวนวนในหนงเดอนมนอยกวา 30 วน ซงเดอน

กมภาพนธเปนเดอนทมนอยกวา 30 วนจรง ทาให q เปนจรงดวย ดงนน q เปนเงอนไขทเพยงพอ


แตเนองจาก เดอนกมภาพนธเปนเพยงเดอนเดยวใน 12 เดอนทมจานวนนอยกวา 30 วน ทาให q จงเปนทงเงอนไขทจาเปนและเงอนไขทเพยงพอสาหรบ p

ตวอยาง ท 3.25 ถาให p แทนขอความ “เปนเมทรกซผกผน” q แทนขอความ “เปนเมทรกซจตรส”

ดงนน p q หรอ p only if q เพราะวาถา p จรง q ตองเปนจรงดวย กลาวคอ เมอ q เปนเมทรกซจตรสจรง จงจะทาให p เปนเมทรกซผกผนจรง แตไมไดหมายความวาการเปนเมทรกซจตรสเพยงอยางเดยวนนจะทาใหเกดเมทรกซผกผน เพราะการเปนเมทรกซจตรสอาจจะไมมเมทรกซผกผนกได ดงนน q จงเปนเงอนไขจาเปนของ p เทานน แตจะตองมขอความทมากกวานทเปนเงอนไขเพยงพอ จงจะบอกไดวา เปนเมทรกซผกผน

3.9.2 เงอนไขสาหรบเมทรกซไมใชเอกฐาน (Conditions for nonsingular matrix) เงอนไขของการเปนเมทรกซไมใชเอกฐานในเบองตนทราบแลววาเมทรกซนนตองเปนเมทรกซจตรส ซง

เปนเงอนไขจาเปน และกทราบตอไปอกวาเมทรกซจตรสนนอาจจะมเมทรกซผกผนหรอไมมเมทรกซผกผนกได ทงนขนอยกบเงอนไขบางอยาง ซงเรยกวาเงอนไขเพยงพอ

สาหรบเงอนไขเพยงพอทจะบอกไดวาเมทรกซนนเปนเมทรกซไมใชเอกฐานกคอเมทรกซนนจะตองมสมาชกของแตละแถว ทเปนอสระเชงเสน หรอมสมาชกแตละสดมภทเปนอสระเชงเสนเชนกน หรอกลาวไดวา เมทรกซนนจะตองมสมาชกในแตละแถวหรอสมาชกในแตละสดมภ ทไมไดเปนการรวมกนเชงเสนของแถวอนๆ หรอของสดมภอนๆ ตามลาดบ

เมอเมทรกซใดมทงเงอนไขทเปนเมทรกซจตรสและเงอนไขการเปนอสระเชงเสน ซงกคอเงอนไขทจาเปนและเงอนไขทเพยงพอ ตามลาดบของการเปนเมทรกซไมใชเอกฐาน ดงนนจงเขยนอยในรปของเงอนไขไดวา

เมทรกซไมใชเอกฐาน เมทรกซจตรสและความเปนอสระเชงเสน ถาใหเมทรกซ A เปนเมทรกซสมประสทธของระบบสมการเชงเสนซงมขนาด n n และใหเทากบ

เวกเตอรสดมภทมจานวนท งหมด n แถว ดงน นสามารถพจารณาเซตของอนดบสมาชกของแถวแตละแถวใน เมทรกซ A เทากบสมาชกในแตละแถวของเวกเตอรสดมภได โดยเขยนอยในรปของเวกเตอรแถว ไดดงน


A =

nn2n1n

n22221

n11211

aaa

aaa

aaa

=

n

2

1

v

v

v

ดงนน 1v = [a11 a12 a1n] 2v = [ a21 a22 a2n]

nv = [ an1 an2 ann] หรอเขยนอยในรปทวไปวา iv = [ ai1 ai2 ain] เมอ i = 1, 2, 3, …, n สาหรบแถวแตละแถวซงมอนดบสมาชกในแตละแถวหรอเรยกวาเปนเวกเตอรแถวนนจะเปนอสระเชงเสนกนได กตอเมอตองไมมเวกเตอรแถวใดๆ ทเปนการรวมกนเชงเสนของเวกเตอรแถวอนๆ ทเหลอ นนคอ เซตของเวกเตอรเหลานนจะเปนเวกเตอรทเปนอสระเชงเสน กตอเมอ nn2211 vkvkvk = 0 (เวกเตอรศนย)

โดยท k1, k2, , kn เปนสเกลารและตางกมคาเทากบศนย

หรอ

n

1iii vk = 0

(1 n) โดยท i = 1, 2, 3, …, n และ ki = 0 สาหรบทกๆ คาของ i

ตวอยางท 3.26 ถากาหนดใหเมทรกซสมประสทธ A =

1086

210

543

จงหาวา เมทรกซสมประสทธมความเปนอสระเชงเสนหรอไม วธทา ใหเมทรกซ A เทากบเวกเตอรสดมภทกาหนดขนดงน


A =

1086

210

543

=

3

2

1

v

v

v

ดงนน 1v = [3 4 5] 2v = [0 1 2] 3v = [6 8 10] เนองจาก อนดบสมาชกในแถวท 3 ของเมทรกซ A หรอ 3v = [6 8 10] = 2[3 4 5] หรอเขยนใหมไดเปน 3v = 2 1v

จะไดวา 3v = 2 1v + 0 2v แสดงวา แถวท 3 เปนผลรวมเชงเสนของแถวท 1 และ 2 ซงกคอแถวแตละแถวหรอเวกเตอรแถวไมเปน

อสระเชงเสน ถาพจารณาอกวธการหนง โดยนาสมการขางตนมาเขยนใหมได ดงน

2 1v + 0 2v - 3v = 0 หรอเวกเตอรศนย 2[3 4 5] + 0[0 1 2] - [6 8 10] = [0 0 0] [6 8 10] + [0 0 0] - [6 8 10] = [0 0 0] แตทราบวา เซตของเวกเตอรแถวจะเปนอสระเชงเสนกตอเมอ 332211 vkvkvk = 0 เมอ k1, k2, k3 = 0

จะเหนวาสเกลารหรอ ki แตละตว นนไมเปนศนยทงหมด โดยม k1 = 2, k2 = 0 และ k3 = -1 ยอมแสดงวาเมทรกซสมประสทธหรอเมทรกซ A ไมมความเปนอสระเชงเสน เงอนไขความเปนอสระเชงเสนเปนเรองทตองใชประสบการณในการสงเกตอนดบสมาชกในแตละแถว จงไมใชเรองงายทจะมองออกไดวา แถวใด เปนการรวมเชงเสนระหวางแถวใด โดยเฉพาะอยางยงเมอมอนดบสมาชกในแตละแถวจานวนมาก ซงจะแตกตางจากเงอนไขการเปนเมทรกซจตรสทพจารณาไดงายกวา ดงนนวธการทดสอบความเปนอสระเชงเสนระหวางแถวหรอสดมภจงจะตองมความเขาใจในเรองการรวมกนเชงเสน และความเปนอสระเชงเสนเปนอยางด โดยปกตการแกปญหาระบบสมการเชงเสนเพอใหไดผลเฉลยเพยงชดเดยว (unique solution) ซงกคอไดคาตอบทแนนอนเพยงคาเดยวของแตละตวแปรนน การทรแตเพยงวาจานวนสมการตองเทากบจานวนตวแปรทไม


ทราบคานนยงไมเพยงพอ ยงจะตองรเพมเตมอกวา สมการเหลานนตองมฟงกชนเปนอสระซงกคอตองรวาเปนสมการในระบบเชงเสนและแตละสมการมความเปนอสระเชงเสนจากสมการอนๆ ในระบบสมการเชงเสนนน ดงนนเมอตองการแกปญหาระบบสมการเชงเสนโดยใชเมทรกซจะตองตรวจสอบเมทรกซสมประสทธใหเปนไปตามเงอนไขของเมทรกซไมใชเอกฐาน กลาวคอ ตองเปนเมทรกซจตรส (จากจานวนสมการและตวแปรทไมทราบคาตองเทากน ) จงเปนเงอนไขจาเปนและมความเปนอสระเชงเสนระหวางแถวหรอสดมภซงเปนเงอนไขเพยงพอ จงจะทาใหเมทรกซสมประสทธนนมเมทรกซผกผนทาใหแกปญหาระบบสมการเชงเสนโดยใชเมทรกซได สาหรบตวอยางการพจารณาความไมเปนอสระเชงเสนระหวางแถวของเมทรกซสมประสทธในระบบสมการเชงเสนหรอความไมเปนอสระเชงเสนระหวางสมการในระบบสมการ ซงเปนสาเหตของความไมสอดคลองตามเงอนไขเพยงพอของการเปนเมทรกซ ไมใชเอกฐาน เมอกาหนดใหระบบสมการเปนดงน Ax = d

โดยท

25

410

2

1

x

x =

2

1

d

d

A เปนเมทรกซสมประสทธซงเปนเมทรกซจตรสขนาด 2 2 เมอพจารณาอนดบสมาชกของแถวท 1 และแถวท 2 จะพบวา อนดบสมาชกในแถวท 1 เปน 2 เทาของอนดบสมาชกในแถวท 2 หรออนดบสมาชกในสดมภท 1

เปน 25เทาของอนดบสมาชกในสดมภท 2

ถาให A =

25

410 =

2

1

v

v

ดงนน 1v = [10 4] 2v = [5 2] จะไดวา 1v = 2 2v ถาไมกาหนดคาคงทใหเปนจานวนแตกาหนดอยในเทอมของ d1 และ d2 โดยกาหนดความสมพนธ 2 รป คอ (1) d1 = 2d2 และ (2) d1 2d2 ในกรณแรก d1 = 2d2 ถาให d1 = 12 ดงนน d2 = 6 สมการ 2 สมการจะมความสมพนธสอดคลองกน แตไมมความเปนอสระเชงเสน กลาวคอสมการแรกจะเปน 2 เทาของสมการทสอง ทาใหในระบบสมการมสมการมากเกนไป สามารถลดสมการลงไดเหลอเพยงสมการ


เดยว คอ 5x1 + 2x2 = 6 ซงผลเฉลยจากการแกปญหาสมการดงกลาวมจานวนไมจากด เชน ถา x1 เปน 0 x2 เปน 3

หรอ x1 เปน 1 x2 เปน 21

เปนตน

ในกรณทสอง d1 2d2 ถาให d1 = 12 d2 = 0 สมการทง 2 สมการจะไมสอดคลองกน เพราะวา ถาสมการแรกเปนจรง กลาวคอ 10x1 + 4x2 = 12 เปนจรง สมการนสามารถทจะลดแตละเทอมของสมการนไดอยางละครงเหลอเพยง 5x1 + 2x2 = 6 สาหรบสมการทสอง เมอ d2 = 0 จะไดวา 5x1 + 2x2 = 0 แตสมการนไมสามารถเปนจรงไดเพราะขดแยงกบสมการแรก ดงนนจงไมสามารถหาคาตอบของสมการได จากทง 2 กรณ ไมสามารถหาผลเฉลยเพยงชดเดยวทเปนไปได ถาแตละแถวของเมทรกซสมประสทธหรอเมทรกซ A ไมมความเปนอสระเชงเสน ในความเปนจรงนนมวธการเดยวทจะใหผลเฉลยของตวแปรมเพยงชดเดยวกคอเมทรกซสมประสทธจะตองมความเปนอสระเชงเสนในแตละแถวหรอสดมภ ซงกรณดงกลาวน เมทรกซ A จะเปนเมทรกซไมใชเอกฐาน เพราะสามารถหาเมทรกซผกผนของเมทรกซ A ได (A-1) ผลเฉลยทตองการจากการแกระบบสมการเชงเสนดวยเมทรกซกสามารถหาไดจากความสมพนธของเมทรกซคอ x = A-1d ซงสามารถหาคาตอบไดตามตองการ จากการทไดอธบายแนวคดเกยวกบความเปนอสระเชงเสนของแถวทกลาวมาน เปนการอธบายเฉพาะ เมทรกซจตรสเทานน แนวคดดงกลาวสามารถประยกตใชกบเมทรกซใดๆ ทมขนาด m n ไดในลกษณะเดยวกน ถาทราบจานวนสงสดของแถวทเปนอสระเชงเสนของเมทรกซใดๆ วามจานวน r แถว กจะเรยกเมทรกซนนๆ วามคาลาดบชนของเมทรกซเทากบ r (ในทานองเดยวกนกจะเปนจานวนทแสดงใหทราบวาเมทรกซนนมจานวนสดมภทเปนอสระเชงเสนสงสดไดเชนเดยวกน) ดงนนคาลาดบชนของเมทรกซกสามารถพจารณาไดจากจานวนแถวหรอสดมภทเปนอสระเชงเสนจานวนสงสดของเมทรกซนนนนเอง สาหรบแนวคดของคาลาดบชนจะไดกลาวในหวขอตอไป 3.10 คาลาดบชนของเมทรกซ (Rank of matrix) คาลาดบชน (rank) ของเมทรกซเปนคาทบอกใหทราบวาระบบสมการเชงเสนทกาหนดขนมานน เมอเขยนอยในรปเมทรกซแลว สามารถหาผลเฉลยชดเดยวไดหรอไม ในการแกระบบสมการเชงเสนดวยเมทรกซจงควรทาการตรวจสอบคาลาดบชนกอนดาเนนการหาผลเฉลยคาตอบ


โดยปกตแลวการแกระบบสมการเชงเสนใดๆ ถาระบบสมการนนมตวแปร n ตวแปร จานวนสมการเชงเสนจะตองม n สมการทเปนอสระตอกน จงจะสามารถหาผลเฉลยชดเดยวได แตในทางปฏบตระบบสมการเชงเสนมตวแปรเปนจานวนมาก และไมทราบวาสมการตางๆ ในระบบสมการนนเปนอสระตอกนหรอไม การหาคาลาดบชนของเมทรกซจงเปนการตรวจสอบขนตนกอนทจะทาการแกระบบสมการเพอหาผลเฉลยชดเดยวตอไป วธการตรวจสอบอยางงายๆ สาหรบการหาคาลาดบชนของเมทรกซคอการใชแนวทางการปฏบตการของเมทรกซตามทไดกลาวมาแลวในตอนตน เพอเปลยนเมทรกซทตองการตรวจสอบใหเปนเมทรกซเอชลอนแบบแถว ซงเมอดาเนนการแลว อาจจะมบางแถวมสมาชกทกตวเปนศนย แตสวนใหญหรอทงหมดจะเปนแถวทมสมาชกไมไดเปนศนยทกตว จานวนแถวทมสมาชกไมไดเปนศนยทกตวนกคอคาลาดบชนของเมทรกซนนเอง หรออกวธการหนงจากการทไดอธบายไปแลวในหวขอทผานมาเกยวกบความเปนอสระเชงเสนของแถวในเรองเงอนไขเพยงพอของเมทรกซไมใชเอกฐาน ซงทราบวาจานวนสงสดของแถว (หรอสดมภ) ทเปนอสระเชงเสนของเมทรกซใดๆ กคอคาลาดบชนของเทรกซนน ดงนน ถา A เปนเมทรกซขนาด m n และ r เปนคาลาดบชนของเมทรกซ A แลว r จะมคาเทากบ 0 r min (m, n) หรอ r มคามากกวา 0 แตนอยกวาหรอเทากบคาทนอยกวาของ m หรอ n คาใดคาหนง สาหรบเมทรกซจตรสขนาด n n ทเปนเมทรกซไมใชเอกฐานจะมคาลาดบชนเทากบ n หรอมจานวนแถวทเปนอสระเชงเสนอย n แถว หรอกลาวไดอกอยางหนงวา เมทรกซขนาด n n ทมคาลาดบชนเปน n ตองเปน เมทรกซไมใชเอกฐาน ตวอยางท 3.27 การพจารณาหาคาลาดบชนของเมทรกซเมอดาเนนการโดยการปฏบตการของเมทรกซใหเปน เมทรกซเอชลอนแบบแถว ดงน


512

240

612

134

A เปนเมทรกซขนาด 4 3 เมอดาเนนการโดยการปฏบตการของเมทรกซแลวไดเมทรกซเอชลอนแบบแถว ดงน


A5 =

000

100

210

211

คาลาดบชน คอจานวนแถวทมสมาชกไมไดเปนศนยทกตว ดงนนเมทรกซ A จงมคาลาดบชน คอ 3

กาหนดให B =

214

131

532

B เปนเมทรกซจตรส ขนาด 3 3 เมอดาเนนการโดยการปฏบตการของเมทรกซแลวไดเมทรกซเอชลอนแบบแถว ดงน

B6 =

1009

710

661

ดงนน เมทรกซ B มคาลาดบชน คอ 3

กาหนดให C =

2113

3021

2423

C เปนเมทรกซ ขนาด 3 4 เมอดาเนนการโดยการปฏบตการของเมทรกซแลวไดเมทรกซเอชลอนแบบแถว ดงน

C6 =

2039100

4310

3021

ดงนน เมทรกซ C มคาลาดบชน คอ 3


กาหนดให D =

142

511

203

D เปนเมทรกซจตรส ขนาด 3 3 เมอดาเนนการโดยการปฏบตการของเมทรกซแลวไดเมทรกซเอชลอนแบบแถว ดงน

D8 =

100

010

001

เพราะวาเมทรกซเอกลกษณมลกษณะเปนเมทรกซเอชลอนแบบแถว ดงนนเมทรกซ D มคาลาดบชน คอ 3


แบบฝกหดบทท 3

1. กาหนดให A =

96

14, B =

23

30 และ C =

16

38 จงหา

1.1 A + B 1.2 C – A 1.3 3A 1.4 4B + 2C


15

03

82

, B =

83

02 และ C =

36

27

2.1 จงหาคา AB และ BA 2.2 จงหาคา BC และ CB ไดหรอไม 3. จงหาคาของเมทรกซตอไปน

3.1

032

403

010

53

10

08

3.2

403

156

10

25

14

4. กาหนดให w =

16

2

3

x =

2

1

x

x y =

2

1

y

y z =

2

1

z

z

จงหาคาของ wx, xy, xy, yy, zz, yw, xy

5. กาหนดให u =

1

5 และ v =

3

0 จงหาคาตางๆ เหลานโดยกราฟ

5.1 2v 5.2 u + v 5.3 u – v 5.4 v – u


42

63, B =

48

71 C =

91

43

จงหา (A + B) + C = A + (B + C)


7. ตรวจสอบกฎการเปลยนกลม (associate law) ของการคณ A(BC) = AB(C) ของเมทรกซตอไปน

A =

50

35 B =

231

708 C =

17

30

01


420

781 b =

0

6

9

x =

2

1

x

x

8.1 คานวณ AI, IA, Ix, xI 8.2 คานวณ Ab, AIb, xIA, xA


31

42 B =

10

83 C =

116

901 จงหา A, B, C

10. กาหนดใหเมทรกซ 4 เมทรกซ จงทดสอบวาเมทรกซใดเปนเมทรกซผกผนของอกเมทรกซหนง

D =

30

121 E =

86

11 F =

31

0

41 G =

21

32

14

11. กาหนดให p เปนขอความแรก q เปนขอความทสอง จงแสดงใหเหนวาในแตละขอเปนกรณใด (1) p q (2) p q (3) p q 11.1 วนนเปนวนหยด ; วนนเปนวนมาฆบชา 11.2 ภาพเรขาคณตทม 4 ดาน ; มนเปนสเหลยม 11.3 คอนดบ 2 ค (a, b) และ (b, a) เทากน ; a เทากบ b 11.4 เมทรกซ A มขนาด 4 4 เปนเมทรกซไมใชเอกฐาน ; อนดบของเมทรกซเปน 4 11.5 ถงนามนในรถยนตของฉนวางเปลา ; ฉนไมสามารถสตารทเครองยนตได


บทท 4 ดเทอรมแนนต 4.1 ความหมายของดเทอรมแนนต (Determinant) ดเทอรมแนนตเปนจานวนจรงจานวนหนง และเปนจานวนเดยวเทาน นทไดจากเมทรกซจตรส ถากาหนดให A เปนเมทรกซจตรส ขนาด n n โดยท n 1 ดเทอรมแนนต ขนาด n n ของเมทรกซ A หรอดเทอรมแนนตทมอนดบ n จะเขยนดวยสญลกษณ A หรอ det A ดงน

A หรอ det A =

nn2n1n

n22221

n11211

aaa

aaa

aaa

เชน A =

2221

1211

aa

aa A =

2221

1211

aa

aa

เนองจากดเทอรมแนนตเปนคาจรงเพยงคาเดยว อาจมคาเปนลบ เปนศนย หรอเปนบวก ถาดเทอรมแนนต ของเมทรกซใดมคาทไมใชศนย เมทรกซนนจะเปนเมทรกซไมใชเอกฐาน และสามารถหาเมทรกซผกผนได แตถา ดเทอรมแนนตของเมทรกซใดมคาเทากบศนย เมทรกซนนเปนเมทรกซเอกฐาน ซงกคอเมทรกซนนจะไมมอสระ เชงเสนในแถวหรอสดมภนนเองไมสามารถหาเมทรกซผกผนได 4.2 ขอกาหนดของดเทอรมแนนต

4.2.1 ถา A เปนเมทรกซอนดบหนง (first order matrix) A = [aij]11 แลว ดเทอรมแนนตของเมทรกซ A หรอเรยกวาดเทอรมแนนตอนดบหนง A = aij = a11

4.2.2 ถา A เปนเมทรกซอนดบสอง (second order matrix) A = [aij]22 แลว ดเทอรมแนนตของเมทรกซ A หรอเรยกวาดเทอรมแนนตอนดบสอง

A = 2221

1211

aa

aa = a11 a22 – a21a12


ผลเฉลยหรอผลเฉลยทไดจะเปนจานวนจรงคาเดยวซงเปนสเกลาร หาไดจากการคณทแยงลงของสมาชกลบดวยการคณทแยงขนของสมาชกตามแนวลกศรในดเทอรมแนนต A

ตวอยางท 4.1 จงหาดเทอรมแนนตของเมทรกซตางๆ ดงน

A = [4] B =

42

31 C =

32

14

วธทา A = 4 = 4

B = 42

31 = (1)(4) – (2)(3) = 4 – 6 = -2

C = 32

14 = (4)(3) – (2)(1) = 12 – 2 = 10

ตวอยางท 4.2 จงหาดเทอรมแนนตของเมทรกซ A =

84

21 B =

31

31

วธทา

A = 84

21 = (1)(8) – (4)(2) = 8 – 8 = 0

B = 31

31 = (1)(3) – (1)(3) = 3 – 3 = 0

จะเหนวาดเทอรมแนนตของเมทรกซ A และดเทอรมแนนตของเมทรกซ B มคาเปน 0 ซงบอกไดวาเมทรกซ A และเมทรกซ B เปนเมทรกซเอกฐาน แตถาพจารณาในลกษณะของความเปนอสระเชงเสนของเมทรกซจะพบวา เมทรกซทง 2 ไมมความเปนอสระเชงเสน กลาวคอ

ให A =

84

21 =

2

1

c

c

จะไดวา 1c = [1 2] 2c = [4 8]


หรอ 2c = 4 1c

และให B =

31

31 =

2

1

d

d

จะไดวา 1d = [1 3] 2d = [1 3] หรอ 1d = 2d

ดงนนเมทรกซ A และ B ไมมความเปนอสระเชงเสนจงเปนเมทรกซเอกฐาน 4.2.3 ถา A เปนเมทรกซอนดบสาม (third order matrix) A = [aij]33 ดเทอรมแนนตของเมทรกซ A

หรอเรยกวาดเทอรมแนนตอนดบสาม

A =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

สามารถหาไดจากการรวมกนของผลคณของสมาชก 3 ตวในเมทรกซ ดงน 1. กาหนดสมาชกตวแรก ในแถวท 1 คอ a11 และไมคานงถงสมาชกตวอนๆ ในแถวท 1 และสดมภท 1 สาหรบสมาชกทเหลอจะเปนเมทรกซขนาด 22 ใหคานวณดเทอรมแนนตแลวนาไปคณกบ a11 ดงน

2. กาหนดสมาชกตวท 2 ในแถวท 1 คอ a12 และทาในลกษณะเดยวกนกบขอ 1 ดงน

จะได a11 หรอ

a11( a22 a33 - a32 a23)


a12( a21 a33 - a31 a23)


3. กาหนดสมาชกตวท 3 ในแถวท 1 คอ a13 และทาในลกษณะเดยวกนกบขอ 1 ดงน

4. นาผลคณจากทง 3 ขอขางตนมารวมกนได ดงน A = a11( a22 a33 - a32 a23) + (-1)a12( a21 a33 - a31 a23) + a13( a21 a32 - a31 a22) = a11a22a33 - a11a32a23 - a12a21a33 + a12a31a23 + a13a21a32 - a13a31a22 = คาจานวนจรงคาหนง

ผลเฉลยในแถวสดทายของ A น ถานามาจดเรยงใหมใหพจนทมเครองหมายบวกนาหนาอยรวมกนและพจนทมเครองหมายลบนาหนาอยรวมกน ดงน A = a11a22a33 + a12a31a23 + a13a21a32 - a11a32a23 - a12a21a33 - a13a31a22

ผลเฉลยดงกลาวนกคอผลเฉลยเดยวกนกบการทนาสมาชกของสดมภท 1 และสดมภท 2 ของเมทรกซมาเขยนตอทางขวาของเมทรกซเปนสดมภท 4 และสดมภท 5 ตามลาดบ แลวคณทแยงตามภาพ โดยการคณทแยงลงเปนบวก การคณทแยงขนเปนลบ แลวนาผลคณทงหมดมารวมกน

A =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A =

3231

2221

1211

333231

232221

131211

aa

aa

aa

aaa

aaa

aaa

= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a31a22a13 - a32a23a11 - a33a21a12 การหาคาดเทอรมแนนตของเมทรกซ ขนาด 3 3 ดวยวธน บางครงเรยกวาเปนการทาดวยวธลด


a13( a21 a32 - a31 a22)


ตวอยางท 4.3 จงหาดเทอรมแนนตของเมทรกซ A =

213

524

132

วธทา

A = 2 21

52 + (-1)3 23

54 + 1 13

24

= 22(2) – 1(5) - 34(2) – 3(5) + 14(1) – 3(2) = 2(-1) – 3(-7) + 1(-2) = -2 + 21 - 2 = 17 เนองจาก A ไมเปนศนย A จงเปนเมทรกซไมใชเอกฐาน ถาหาโดยวธลดเปนดงน

A =

13

24

32

213

524

132

= (2)(2)(2) + (3)(5)(3) + (1)(4)(1) – (3)(2)(1) – (1)(5)(2) – (2)(4)(3) = 8 + 45 + 4 – 6 – 10 – 24 = 57 – 40 = 17


121

640

132

จงหาดเทอรมแนนตของ A

วธทา

A =

121

640

132

= (2)(4)(1) + (3)(6)(1) + (1)(0)(2) – (1)(4)(1) – (2)(6)(2) – (1)(0)(3) = 8 + 18 + 0 – 4 – 24 – 0 = 26 – 28 = -2


การใชวธลดสาหรบหาคาดเทอรมแนนตนจะรวดเรวและสะดวกมากกวา แตสามารถใชไดเฉพาะกบเมทรกซทมขนาด 3 3 หรอเมทรกซอนดบ 3 เทานน ไมสามารถใชไดกบเมทรกซทอนดบมากกวา 3 แตถาเมทรกซทมอนดบมากกวา 3 จะตองใชวธของลาปลาส หาคาดเทอรมแนนต 4.3 การหาดเทอรมแนนตดวยวธการกระจายของลาปลาส (Laplace expansion) การหาดเทอรมแนนตวธการกระจายของลาปลาส สามารถใชไดกบเมทรกซตงแตอนดบ 3 เปนตนไป ถา A = [aij]nn โดยท n 3 แลว A = ai1 ci1 + ai2 ci2 + ai3 ci3 + … + ain cin สาหรบ i = 1, 2, 3, …, n เมอ cij = (-1)i+j Mij ทกคา i, j โดยท Mij คอ ดเทอรมแนนตทเรยกวาไมเนอร (minor) ของ aij หรอดเทอรมแนนตยอย (sub determinant)

ซงเปนดเทอรมแนนตของเมทรกซยอยทไดจากเมทรกซ A เมอตดสมาชกในแถวท i และสดมภ j ออก

และ cij คอ ดเทอรมแนนตทเรยกวา โคเฟกเตอร (cofactor) ของ aij ใหยอนกลบไปพจารณาการหาดเทอรมแนนอนดบ 3 เมอตดสมาชกในแถวท 1 สดมภท 1 จะได ดเทอรมแนนตของเมทรกซขนาด 2 2 ในทานองเดยวกนเมอตดสมาชกในแถวท 1 สดมภท 2 และแถวท 1 สดมภท 3 กจะไดดเทอรมแนนตของเมทรกซขนาด 2 2 เชนเดยวกน และสามารถหาคาเปนจานวนจรงหรอสเกลารได ซงกคอ

M11 = 3332

2322

aa

aa M12 =

3331

2321

aa

aa M13 =

3231

2221

aa

aa

การหาโคเฟกเตอร หรอ cij นน มการพจารณาเครองหมายบวกและลบดวย กลาวคอ ถา i + j เปนเลขค คาของ (-1)i+j จะเปนบวกนนคอ cij = Mij หรอ i + j เปนเลขค คาของ (-1)i+j จะเปนลบนนคอ cij = -Mij เชน c11 = (-1)1+1 M11 = M11 c12 = (-1)1+2 M12 = -M12 c13 = (-1)1+3 M13 = M13 ดงนน ถาตองการหาดเทอรมแนนตอนดบ 3 ของเมทรกซขนาด 3 3 หรอ A = [aij]33 สามารถหาดเทอรมแนนตโดยวธการกระจายของลาปลาสไดดงน


A = a11 c11 + a12 c12 + a13 c13 หรอเขยนใหมใหอยในรปของไมเนอรไดดงน A = a11 M11 + a12 (-M12) + a13 M13 = a11 M11 + (-1) a12 M12 + a13 M13

= a11 3332

2322

aa

aa +(-1) a12

3331

2321

aa

aa + a13

3231

2221

aa

aa

A = a11 (a22 a33 – a32 a23) + (-1) a12 (a21 a33 – a31 a33) + a13 (a21 a32– a31 a22) จะเหนวาการหาดเทอรมแนนตอนดบ 3 ในตอนแรกทอธบายมากอนหนาน เปนวธการเดยวกบวธการกระจายของลาปลาสนนเอง อยางไรกตาม วธการกระจายของลาปลาสน การกาหนดสมาชกเพอใหคณกบโคเฟกเตอรของตวมนเองนน จะเลอกจากสมาชกในแถวใดแถวหนง หรอสดมภใดสดมภหนงกได จะใหผลเฉลยทเทากน ในทางปฏบตเพอใหงายตอการคานวณ ควรเลอกแถวหรอสดมภทมสมาชกเปนศนยมากทสด


203

142

403

ใหหาดเทอรมแนนตโดยวธการกระจายของลาปลาส วธทา เลอกสมาชกในสดมภท 2 เปนตวคณกบโคเฟกเตอรเพราะวามสมาชกเปนศนยมากทสด จะไดวา A = a12 c12 + a22 c22 + a32 c32 เนองจาก a12 = 0 และ a32 = 0 ดงนน A = a22 c22 เพราะวา c22 = (-1)2+2 M22 = M22 (ตดสมาชกในแถวท 2 และสดมภท 2)

= 23

43 = (3)(2) – (3)(4) = 6 – 12 = -6

ดงนน A = 4(-6) = -24 หรอเลอกสมาชกในแถวอน หรอสดมภอนจะไดคาตอบเดยวกน เชน ถาเลอกสมาชกในแถวท 3 ดงน


A = a31 c31 + a32 c32 + a33 c33 = a31(-1)3+1 M31 + 0 + a33(-1)3+3 M33

= 3(-1)4

14

40 + 2(-1)6 42

03

= 3(0)(1) – (4)(4) + 2(3)(4) – (2)(0) = 3(-16) + 2(12) = -48 + 24 = -24 ถาเลอกสมาชกในแถวท 2 ดงน A = a21 c21 + a22 c22 + a23 c23 = a21(-1)2+1 M21 + a22(-1)2+2 M22 + a23(-1)2+3 M23

= 2(-1)3

20

40 + 4(-1)4 23

43 + 1(-1)5 03

03

= -2(0)(2) – (0)(4) + 4(3)(2) – (3)(4) + (-1)(3)(0) – (3)(0) = 0 + 4(-6) + 0 = -24


210

111

211

จงหาดเทอรมแนนตของเมทรกซ B โดยวธการกระจายของลาปลาส วธทา เลอกสมาชกในแถวท 3 ดงน A = a31 c31 + a32 c32 + a33 c33 = 0 + 1(-1)3+2 M32 + 2(-1)3+3 M33

= (-1) 11

21

+ 2 11

11

= (-1)(1)(1) – (-1)(2) + 2(1)(1) – (-1)(1) = (-1)(3) + (2)(2) = -3 + 4 = 1 อาจตรวจสอบคาตอบโดยการเลอกสดมภหรอแถวอน ดงน เลอกสมาชกในสดมภท 1 ไดดงน


A = a11 c11 + a21 c21 + a31 c31 = 1(-1)1+1 M11 + (-1)(-1)2+1 M21 + 0

= 21

11 + 21

21 = (1)(2) – (1)(1) + (1)(2) – (1)(2) = 1

ในกรณของการหาดเทอรมแนนตของเมทรกซ จตรสทมขนาดมากกวา 3 3 กสามารถใชวธการกระจายของลาปลาสไดเชนเดยวกน เชน เมทรกซขนาด 4 4 A = [aij]44 ถาเลอกสมาชกในแถวท 1 จะได A = a11 c11 + a12 c12 + a13 c13 + a14 c14

สาหรบโคเฟกเตอร (cij) ของสมาชก aij จะเปนดเทอรมแนนตอนดบ 3 ซงจะตองทาการกระจายโดยวธลาปลาสอกครงหนงใหอยในรปของผลบวกโคเฟกเตอร ซงเปนดเทอรมแนนตอนดบ 2

ในทานองเดยวกน สามารถเลอกสมาชกในแถวใดแถวหนงหรอสดมภใดสดมภหนง เพอหาดเทอรมแนนตไดเชนเดยวกน

โดยทวไปแลววธการกระจายของลาปลาส สามารถหาดเทอรมแนนตอนดบท n ไดโดยการใชวธการน ซ าๆ กน จนกระทงเหลออนดบนอยลงเรอยๆ จนถงอนดบ 2 กจะสามารถหาดเทอรมแนนตอนดบ n ไดตามตองการ ตวอยางท 4.7 จงหาดเทอรมแนนตโดยวธการกระจายของลาปลาส ของเมทรกซ

A =

1201

2014

3120

1012

วธทา เลอกสมาชกในสดมภท 3 ดงน A = a13 c13 + a23 c23 + a33 c33 + a43 c43

= 0 + (1)(-1)2+3 M23 + 0 + (-2)(-1)4+3 M43

= (-1)

101

214

112

+ 2

214

320

112


เพราะวา M23 =

101

214

112

เลอกสมาชกในสดมภท 2

= 1(-1)1+2

11

24 + 1(-1)2+2

11

12 + 0

= (-1)(-4)(1) – (-2)(1) + (1)(2)(1) – (1)(1) = (-1)(-2) + (1)(1) = 2 + 1 = 3

และ M43 =

214

320

112


= 0 + (-2)(-1)2+2

24

12

+ (3)(-1)2+3

14

12

= -2)(2)(-2) – (-4)(1) + (-3)(2)(1) – (-4)(1) = (-2)(0) + (-3)(6) = -18 ดงนน A = (-1)(3) + 2(-18) = -3 - 36 = -39 ลองตรวจคาตอบวาถกตองหรอไม โดยเลอกสมาชกในแถวท 4 ดงน A = a41 c41 + a42 c42 + a43 c43 + a44 c44 = (1)(-1)4+1 M41 + 0 + (-2)(-1)4+3 M43 + (1)(-1) 4+4 M44 = (-1) M41 + (2)M43 + M44

M41 =

201

312

101



= 0 + (1)(-1)2+2

21

11

+ 0

= (1)(-2) – (1)(1) = -3 M43 = -18

M44 =

014

120

012


= 0 + (1)(-1)2+3

14

12

+ 0

= (-1)(2)(1) – (-4)(1) = (-1)(6) = -6 ดงนน A = (-1)(-3) + 2(-18) + (-6) = 3 - 36 - 6 = -39 การหาดเทอรมแนนตโดยวธการกระจายของลาปลาส สามารถเขยนอยในรปทวไปไดโดยการกระจายในแถวใดแถวหนง หรอสดมภใดสดมภหนง ไดดงน ถา A เปนเมทรกซขนาด n n

A =

n

1jijijca (เปนการกระจายโดยเลอกแถวท i)

หรอ =

n

1iijijca (เปนการกระจายโดยเลอกสดมภท j)

4.4 สมบตของดเทอรมแนนต (Basic properties of determinants) สมบตพนฐานตอไปนเปนสมบตพนฐานของดเทอรมแนนตทกๆ อนดบ จะทาใหทราบถงความสมพนธระหวางความไมเปนอสระเชงเสนระหวางแถวตางๆ ของเมทรกซจตรส และการทดเทอรมแนนตของเมทรกซมคาเปนศนย รวมถงการหาดเทอรมแนนตของเมทรกซไดรวดเรวขน

ถา A เปนเมทรกซจตรสทมขนาด n n จะมสมบตดงน


(1) ดเทอรมแนนตของเมทรกซสลบเปลยนของเมทรกซ A จะเทากบดเทอรมแนนตของเมทรกซ A หรอเขยนวา A = A

เชน ให A =

43

21

A = 43

21 = (1)(4) – (3)(2) = -2

และ A =

42

31

A = 42

31 = (1)(4) – (2)(3) = -2

ตวอยางท 4.8 A =

dc

ba

A = ad – cb

A =

db

ca

A = ad – bc ดงนน A = A = ad – bc

(2) ถาเมทรกซ B เปนเมทรกซทไดจากการสลบเปลยนระหวางแถว 2 แถว หรอสดมภ 2 สดมภ ของ เมทรกซ A แลวดเทอรมแนนตของเมทรกซ B จะเทากบดเทอรมแนนตของเมทรกซ A แตเครองหมายตรงกนขาม หรอ B = -A

ตวอยางท 4.9 ให A =

dc

ba

A = ad – cb ถาสลบเปลยนระหวางแถวท 1 และแถวท 2 ของเมทรกซ A


หรอ R1 R2 จะได B =

ba

dc

B = cb – ad = -ad + cb = -(ad – cb) ดงนน B = -A ตวอยางท 4.10 กาหนดให

A =

103

752

310

B =

103

310

752

C =

301

257

013

จงหา A , B , C วธทา ใชวธการกระจายของลาปลาส เลอกสมาชกของแถวท 1 ของเมทรกซ A A = 0 + 1(-1)1+2M12 + 3(-1)1+3M13

= (-1) 13

72 + 3 03

52

= (-1)(2)(1) – (3)(7) + 3(2)(0) – (3)(5) = (-1)(-19) + 3(-15) = 19 – 45 = -26 เลอกสมาชกของสดมภท 1 ของเมทรกซ B B = 2(-1)1+1M11 + 0 + 3(-1)3+1M31

= 2 10

31 + 3 31

75

= 2(1)(1) – (0)(3) + 3(5)(3) – (1)(7) = 2(1) + 3(8) = 2 + 24 = 26 เลอกสมาชกของแถวท 3 ของเมทรกซ C C = (1)(-1)3+1M31 + 0 + 3(-1)3+3M33

= 25

01 + 3 57

13

= (1)(2) – (5)(0) + 3(3)(5) – (7)(1) = 2 + 3(8) = 26


เพราะวาเมทรกซ B เปนเมทรกซทไดจากการสลบเปลยนแถวท 1 และแถวท 2 ของเมทรกซ A และ เมทรกซ C เปนเมทรกซทไดจากการสลบเปลยนสดมภท 1 และสดมภท 3 ของเมทรกซ A จงทาใหไดผลเฉลยตามสมบตของดเทอรมแนนตขอท (2) ดงน

B = -A = --26 = 26 C = -A = --26 = 26 (3) ถาเมทรกซ B เปนเมทรกซทไดจากการคณดวยคาคงท (scalar) เทากบ k กบแถวใดแถวหนงหรอ

สดมภใดสดมภหนงของเมทรกซ A ดเทอรมแนนตของเมทรกซ B จะเทากบดเทอรมแนนตของเมทรกซ A คณกบคาคงท k นน หรอ B = kA

ตวอยางท 4.11 ให A =

dc

ba

A = ad – cb และ k เปนคาคงทคณกบแถวท 1 ของเมทรกซ A ดงน

B =

dc

kbka

B = kad – kcb = k(ad – cb) ดงนน B = kA สงสาคญทตองระวงกคอ kA กบ kA แตกตางกน สาหรบ kA หมายถง การคณคาคงท k กบเมทรกซ A ดงนนทกๆ สมาชกในเมทรกซ A จะตองคณดวย k แตถา kA หมายถง การคณดเทอรมแนนต A ดวยคาคงท k ทง 2 กรณ สามารถนาไปใชเปนหลกในการนาตวรวมออกจากเมทรกซและดเทอรมแนนตได

ตวอยางท 4.12 A = d2c12

b5a18 = 36ad – 60cb

ใชวธการดงตวรวมออกจากดเทอรมแนนตไดดงน

A = 6 d2c2

b5a3 = 6(2) dc

b5a3 = 12(3ad – 5cb) = 36ad – 60cb



kckc

kbka

สามารถดงตวหารรวมออกจากสมาชกทกตวของเมทรกซไดดงน

A = k

dc

ba


410

231

121

B =

410

231

242

จงหา A และ B วธทา เลอกสมาชกของสดมภท 1 ของเมทรกซ A ดงนน A = 1(-1)1+1M11 + 1(-1)2+1M21 + 0

= 41

23 + (-1) 41

12 = (12 – 2) – (8 + 1) = 10 – 9 = 1

เลอกสมาชกในแถวท 3 ของเมทรกซ B B = 0 + 1(-1)3+2M32 + 4(-1)3+3M33

= (-1) 21

22 + 4 31

42 = (-1)(4 + 2) + 4(6 – 4) = -6 + 8 = 2

สาหรบเมทรกซ B จะเหนวาเปนเมทรกซทไดจากเมทรกซ A โดยการนาคาคงท 2 คณกบแถวท 1 ของเมทรกซ A ดงนน ตามสมบตของดเทอรมแนนต ขอท (3) จะได B = 2A = 2(1) = 2 (4) ถาเมทรกซ B เปนเมทรกซทไดจากเมทรกซ A โดยการเอาคาคงทคณกบแถวใดแถวหนง (หรอสดมภใดสดมภหนง) แลวนาไปบวกกบแถวอนแถวใดแถวหนง (หรอสดมภอนสดมภใดสดมภหนง) จะไมทาใหคา ดเทอรมแนนตเปลยนแปลง กลาวคอ ดเทอรมแนนตของเมทรกซ B จะเทากบดเทอรมแนนตของเมทรกซ A หรอ B = A



dc

ba

ดาเนนการระหวางแถวโดย kR1 + R2 ของเมทรกซ A จะได

B =

bkdakc

ba

B = a(d + bk) – b(c + ak) = ad + abk – bc - abk = ad - bc

A =

dc

ba = ad – bc

ดงนน A = B ตวอยางท 4.15 กาหนดให

A =

304

120

213

B =

304

546

213

C =

384

120

273

จงหา A , B และ C วธทา เลอกสมาชกของสดมภท 2 ของเมทรกซ A ดงนน A = 1(-1)1+2M12 + 2(-1)2+2M22 + 0

= (-1) 34

10 + 2 34

23

= (-1)(0)(3) – (4)(-1) + 2(3)(3) – (4)(-2) = (-1)(4) + 2(17) = 30 เลอกสมาชกในแถวท 3 ของเมทรกซ B B = 4(-1)3+1M31 + 0 + 3(-1)3+3M33

= 4 54

21

+ 3 46

13

= 4(1)(-5) – (4)(-2) + 3(3)(4) – (6)(1) = 4(3) + 3(6) = 30


เลอกสมาชกในสดมภท 1 ของเมทรกซ C C = 3(-1)1+1M11 + 0 + 4(-1)3+1M31

= 3 38

12 + 4 12

27

= 3(2)(3) – (8)(-1) + 4(7)(-1) – (2)(-2) = 3(14) + 4(-3) = 42 – 12 = 30 ดงนน A = B = C

จากเมทรกซ A, B และ C จะเหนวา เมทรกซ B เปนเมทรกซทสมมลระหวางแถวกบเมทรกซ A เพราะไดจาก 2R1 + R2 ของเมทรกซ A และเมทรกซ C เปนเมทรกซทสมมลระหวางสดมภกบเมทรกซ A เพราะไดจาก 2C1 + C2 ของเมทรกซ A จงเปนไปตามสมบตของดเทอรมแนนตขอท (4) ทดเทอรมแนนตจะไมเปลยนแปลงไปจากเดม

จากสมบตขอท (4) น สามารถนาไปประยกตใชในการคานวณหาคาดเทอรมแนนตโดยวธการกระจายของ

ลาปลาสใหงายขน เพอใหไดสมาชกหลายตาแหนงมคาเปน 0 กอน แลวจงใชแถวหรอสดมภซงมสมาชกทมคาเปน 0 อยหลายตาแหนงนนหาคาดเทอรมแนนตตอไป ตามตวอยาง


5934

1421

1412

0513

จงหา A

วธทา ดาเนนการระหวางแถวโดย (-1)R2 + R3

A =

5934

0813

1412

0513

ดาเนนการระหวางแถวโดย (-5)R2 + R4

=

01126

0813

1412

0513


เลอกสมาชกในสดมภท 4 ของเมทรกซ A A = 0 + 1(-1)2+4M24 + 0 + 0

=

1126

813

513

ดาเนนการระหวางแถวโดย R1 + R2

=

1126

1320

513

เลอกสมาชกในสดมภท 1 = 3(-1)1+1M11 + 0 + (-6)(-1)3+1M31

= 3 112

132

+ (-6) 132

51

= 3(2)(-11) – (-2)(-13) + (-6)(1)(-13) – (2)(-5) = 3(-48) - 6(-3) = -144 + 18 = -126

ในการตรวจสอบคาตอบวาการดาเนนการโดยการประยกตใชตามสมบตขอท (4) ของดเทอรมแนนตจะจรงหรอไม สามารถดาเนนการไดโดยใชวธการกระจายของลาปลาส กบเมทรกซขนาด 4 4 จะไดคาตอบเชนเดยวกน (5) ถาเมทรกซ A ประกอบดวยสมาชกในแถวใดแถวหนงหรอสดมภใดสดมภหนงมคาเปน 0 หมด แลวดเทอรมแนนตของเมทรกซนนจะเปนศนย หรอ A = 0


00

ba

ดงนน A = 00

ba = a(0) – (0)b = 0



000

542

121

จงหา A

วธทา A =

000

542

121

เลอกสมาชกของแถวท 3 = 0 + 0 + 0 = 0


121

543

121

จงหา A

วธทา ดาเนนการระหวางแถวโดยให (-1)R1 + R3

A =

000

543

121

ตามสมบตของดเทอรมแนนตขอท (5) จะไดวา A = 0 จะสงเกตเหนวาเมทรกซ A สมาชกในแถวท 1 และแถวท 3 มสมาชกในอนดบตางๆ เหมอนกน ทาให

เมทรกซ A มความไมเปนอสระเชงเสน เมทรกซ A จงเปนเมทรกซเอกฐาน ดเทอรมแนนตของเมทรกซเอกฐาน มคาเปนศนย ตามทไดเคยอธบายในตอนตนในหวขอความหมายของดเทอรมแนนตมาแลว (6) ถาเมทรกซ A มสมาชกในแถวใดแถวหนงหรอสดมภใดสดมภหนง ทเปนผลคณของคาคงทกบแถวอนหรอสดมภอน ดเทอรมแนนตจะเปนศนย หรอ A = 0


b2a2

ba

สมาชกในแถวท 2 ของเมทรกซ A เทากบ 2R1 A = 2ab – 2ab = 0



642

654

321

จงหา A

วธทา เลอกสมาชกในแถวท 1 A = 1(-1)1+1M11 + 2(-1)1+2M12 + 3(-1)1+3M13

= 64

65 + (-2) 62

64 + 3 42

54

= (30 – 24) – 2(24 – 12) + 3(16 – 10) = 6 – 24 + 18 = 0 จะเหนวาเมทรกซ A มสมาชกในแถวท 3 เปน 2 เทาของสมาชกในแถวท 1 เปนไปตามสมบตขอท (6) ซง A เปนศนย หรอกลาวไดวาเมทรกซ A ไมมความเปนอสระเชงเสนจงเปนเมทรกซเอกฐาน ดเทอรมแนนตจงเปนศนย (7) ถาวธการกระจายของลาปลาสเพอหาดเทอรมแนนตของเมทรกซ A โดยเลอกใชสมาชกในแถวใดแถวหนงหรอสดมภใดสดมภหนง แตใชโคเฟกเตอรทผดแถวหรอสดมภนน จะทาใหดเทอรมแนนตเปนศนยเสมอโคเฟกเตอรทผดแถวหรอผดสดมภนเรยกวา เอเลยนโคเฟกเตอร (alein cofactors)


301

025

214

จงหา A โดยวธการกระจายของลาปลาส โดยเลอกสมาชกในแถวท 1 แตใชโคเฟกเตอรของแถวท 2

วธทา A =

301

025

214

เลอกสมาชกในแถวท 1 แตใชโคเฟกเตอรแถวท 2 ดงน = 4C21 + 1C22 + 2C23

= 4(-1)2+1M21 + (-1)2+2M22 + 2(-1)2+3M23


= -4 30

21 + 31

24 - 2 01

14

= -4(3 – 0) + (12 – 2) – 2(0 – 1) = -12 + 10 + 2 = 0 4.5 การใชดเทอรมแนนตของเมทรกซตรวจสอบการเปนเมทรกซไมใชเอกฐาน จากสมบตของดเทอรมแนนตบางขอไดมการเชอมโยงถงความไมเปนอสระเชงเสนของแถวหรอสดมภของเมทรกซ ซงจะมผลทาใหดเทอรมแนนตเปนศนย นน เมอนาสมบตตางๆ ของดเทอรมแนนตมาใชสาหรบการพจารณาระบบสมการเชงเสน โดยเฉพาะเมทรกซสมประสทธของระบบสมการกจะสามารถบอกไดวาเมทรกซสมประสทธเปนเมทรกซไมใชเอกฐานได

ถาใหระบบสมการเปนดงน Ax = d และเขยนอยในรปแบบเมทรกซ ดงน

104

102015

243

3

2

1

x

x

x

=

3

2

1

d

d

d

ระบบสมการเชงเสนนจะมผลเฉลยชดเดยวได ถาสมาชกแตละแถวของเมทรกซสมประสทธ A เปนอสระเชงเสน เทานน ซงกคอ A จะเปนเมทรกซไมใชเอกฐาน แตสาหรบเมทรกซ A ในระบบสมการน จะพบวาสมาชกในแถวท 2 เปน 5 เทาของสมาชกในแถวท 1 แสดงวาเมทรกซ A ไมมความเปนอสระเชงเสนของแถว จงทาใหไมมผลเฉลยชดเดยว การพจารณาสมาชกของแถวทกแถววาเปนอสระเชงเสนหรอไมสาหรบกรณนสามารถพจารณาไดงายๆ เนองจากไมซบซอนแตถาใชสมบตของดเทอรมแนนตขอท (6) กจะบอกไดทนทวา A มคาเทากบ 0 แตถาสมาชกแตละแถวของเมทรกซมความซบซอนการจะพจารณาวาไมมความเปนอสระเชงเสนนนอาจจะมองไมเหนลกษณะความสมพนธเพราะอาจจะอยในรปแบบทเปนลกษณะทเขาใจ ยากหรอมความซบซอน ดงตวอยางดงน

B =

101

125

214


เมทรกซ B เปนเมทรกซทไมมความเปนอสระเชงเสน ซงสมาชกแตละแถวอยในรปแบบของความสมพนธทมความซบซอน

ถากาหนดให

101

125

214

3

2

1

v

v

v

และทราบวา 2 1v - 2v -3 3v = 0 ทาใหเกดความไมเปนอสระเชงเสน ซงการตรวจสอบดงกลาวเปนเรองยากทจะมองเหนลกษณะความสมพนธเชงเสนระหวางแถว แตถาใชสมบตของดเทอรมแนนต ตรวจดจะพบวา B = 0 การทดเทอรมแนนตมคาเปนศนยยอมแสดงวาเมทรกซนนมความสมพนธเชงเสนระหวางแถวหรอสดมภ ไมวาความสมพนธนนจะอยในรปแบบลกษณะใดๆ กตาม หรอกลาวไดวาเมทรกซไมมความเปนอสระเชงเสนระหวางแถวหรอสดมภด เทอรมแนนตของเมทรกซน นตองมคาเปนศนยเสมอ ในทานองตรงกนขาม ถาเมทรกซใดมความเปนอสระเชงเสนระหวางแถวหรอสดมภ เมทรกซนนจะมดเทอรมแนนตไมเทากบศนย จากการทอธบายมาท งหมดเกยวกบเมทรกซไมใชเอกฐานน สรปไดวาสงทสาคญทแสดงถงการเปน เมทรกซไมใชเอกฐานกคอ ความเปนอสระเชงเสนระหวางแถวหรอสดมภตางๆ ซงจะทาใหดเทอรมแนนตของเมทรกซไมเทากบศนย ดงนน ในระบบสมการเชงเสนทกาหนดให คอ

Ax = d โดยท A คอเมทรกซสมประสทธทมขนาด n n แลว A 0 แสดงวา เมทรกซ A มความเปนอสระเชงเสนระหวางแถวหรอสดมภ

ดงนน เมทรกซ A เปนเมทรกซไมใชเอกฐาน สามารถหาเมทรกซผกผนของเมทรกซ A ได (หา A-1 ได) และเมอแกระบบสมการเชงเสนโดยใชเมทรกซนแลวจะไดผลเฉลยชดเดยว ดงน x = A-1d


ตวอยางท 4.22 กาหนดใหระบบสมการเชงเสนตอไปน จะมผลเฉลยชดเดยวหรอไม 7x1 - 3x2 - 3x3 = 7 2x1 - 4x2 + x3 = 0 - 2x2 - x3 = 2 วธทา เขยนระบบสมการเชงเสนใหอยในรปแบบของเมทรกซไดดงน

Ax = d

เมอ A =

120

142

337

หรอเมทรกซสมประสทธ

x =

3

2

1

x

x

x

d =

2

0

7

ตองตรวจสอบวาเมทรกซสมประสทธหรอเมทรกซ A เปนเมทรกซไมใชเอกฐานหรอไม ถาเปนเมทรกซไมใชเอกฐาน ดเทอรมแนนตของเมทรกซ A ตองไมเทากบศนย และสามารถหาเมทรกซผกผนของเมทรกซ A ได เมอแกระบบสมการเชงเสนโดยใชเมทรกซจงทาใหหาผลเฉลยชดเดยวของระบบสมการเชงเสนนได

หาดเทอรมแนนตของเมทรกซ A ดวยวธการกระจายของลาปลาส โดยเลอกสมาชกแถวท 3 ดงน

A =

120

142

337

= 0 + (-2)(-1)3+2

12

37 + (-1)(-1)3+3

42

37

= 2(7 + 6) – (28 + 6) = 26 - 34 = -8 0 สรปไดวา เมทรกซ A เปนเมทรกซไมใชเอกฐาน ทาใหระบบสมการเชงเสนมผลเฉลยชดเดยว


4.6 การใชดเทอรมแนนตของเมทรกซหาเมทรกซผกผน 4.6.1 เมทรกซโคเฟกเตอร (Co-factor matrix) หมายถง เมทรกซทมสมาชกทกตวเปนโคเฟกเตอร

ของสมาชกนนๆ ซงกคอเขยนแทน aij ดวย cij ซงเปนคาจรงคาเดยว ดงน

ถากาหนดให A =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

เมทรกซโคเฟกเตอร (C) ของเมทรกซ A คอ

C =

333231

232221

131211

ccc

ccc

ccc

4.6.2 เมทรกซผกพน (Adjoint matrix) หมายถง เมทรกซสลบเปลยนของเมทรกซโคเฟกเตอร จากตวอยางขางตน สามารถหาเมทรกซผกพน A หรอ Adj A ไดดงน หาเมทรกซสลบเปลยนของเมทรกซโคเฟกเตอร C หรอ C หรอ Ct

C =

332313

322212

312111

ccc

ccc

ccc

= Adj A


314

625

231

จงหาเมทรกซโคเฟกเตอรของเมทรกซ A และเมทรกซผกพนของเมทรกซ A วธทา ให C คอ เมทรกซโคเฟกเตอรของเมทรกซ A และ Adj A คอ เมทรกซผกพน ของเมทรกซ A

A =

314

625

231

c11 = (-1)1+1

31

62 = (6 – 6) = 0

โดยท cij = (-1)i+j Mij

และ Mij = ไมเนอรของ aij


c12 = (-1)1+2

34

65 = -(15 – 24) = 9

c13 = (-1)1+3

14

25 = (5 – 8) = -3

c21 = (-1)2+1

31

23 = -(9 – 2) = -7

c22 = (-1)2+2

34

21 = (3 – 8) = -5

c23 = (-1)2+3

14

31 = -(1 – 12) = 11

c31 = (-1)3+1

62

23 = (18 – 4) = 14

c32 = (-1)3+2

65

21 = -(6 – 10) = 4

c33 = (-1)3+3

25

31 = (2 – 15) = -13

ดงนน C =

13414

1157

390

และ Adj A หรอ C =

13113

459

1470


4.6.3 การหาเมทรกซผกผน จากการทไดอธบายมาแลวในตอนตนของเรองเมทรกซ ทาใหทราบวา เมทรกซใดๆ จะมเมทรกซผกผนได

กตอเมอ เมทรกซนนตองเปนเมทรกซจตรส และเปนเมทรกซไมใชเอกฐานและมสมบตทสาคญคอ เมอนาเมทรกซผกผนมาคณกบเมทรกซเดมแลวจะไดผลเฉลยเปนเมทรกซเอกลกษณ นนคอ

ถาให A เปนเมทรกซจตรส มขนาด n n และเมอ A เปนเมทรกซไมใชเอกฐาน จะสามารถหาเมทรกซผกผนของเมทรกซ A ได เปน A-1 ดงนน A A-1 = I = A-1A ถาเปรยบเทยบเมทรกซ A เปนจานวนจรงบวก เชน 4 เมทรกซผกผน (A-1) กคอสวนกลบของจานวนจรง

บวกนน ซงกคอ 41นนเอง และเมอนามาคณกบเลขจานวนจรงบวกเดม จะมคาเทากบ 1

สาหรบการหาเมทรกซผกผนนน มขนตอนทวไป ดงน ถา A เปนเมทรกซใดๆ 1. ตรวจสอบวา A เปนเมทรกซจตรส โดยพจารณาจากขนาดของเมทรกซเปน n n 2. ตรวจสอบวา A เปนเมทรกซไมใชเอกฐาน โดยการหาดเทอรมแนนตของเมทรกซ A ตองไมเทากบศนย หรอ A 0 3. หาโคเฟกเตอรของสมาชกทกอนดบของเมทรกซ A ทกๆ สมาชก และนามาจดเรยงเปนเมทรกซโคเฟกเตอร หรอ C = [cij]nn 4. หาเมทรกซสลบเปลยนของเมทรกซโคเฟกเตอร หรอเรยกวาเมทรกซผกพน หรอ Adj A

5. หาเมทรกซผกผน หรอ A-1 จากสตร A-1 = A1

Adj A

ถาตองการตรวจสอบวา เมทรกซผกผนทหาไดน ถกตองหรอไม โดยการนาเมทรกซผกผนทไดนไปคณกบเมทรกซเดม ถาไดผลเฉลยเปนเมทรกซเอกลกษณ แสดงวาการหาเมทรกซผกผนนนถกตอง ซงกคอ AA-1 = I = A-1A นนเอง

ตวอยางท 4.24 จงหาเมทรกซผกผนของเมทรกซ A =

01

23

วธทา 1. ตรวจสอบวา A เปนเมทรกซจตรส ซงปรากฏวา A มขนาด 2 2 2. ตรวจสอบวา A เปนเมทรกซไมใชเอกฐาน ซง A 0 ดงน A = (3)(0) – (1)(2) = -2


แสดงวา เมทรกซ A สามารถหาเมทรกซผกผนได 3. หาเมทรกซโคเฟกเตอร (C) ของเมทรกซ A ดงน c11 = (-1)1+1 (0), c12 = (-1)1+2 (1) c21 = (-1)2+1 (2), c22 = (-1)2+2 (3)

ดงนน C =

32

10

4. หาเมทรกซผกพน (Adj A) โดยการสลบเปลยนของเมทรกซโคเฟกเตอร

Adj A =

31

20

5. หาเมทรกซผกผน โดยใชสตร ดงน

A-1 = A1

Adj A = )2(

1

31

20 =

21

31

20 =

23

21

10

การตรวจสอบวาเมทรกซผกผนถกตองหรอไม โดย AA-1 = I

01

23

23

21

10 =

)23

)(0()1)(1()21

)(0()0)(1(

)23

)(2()1)(3()21

)(2()0)(3( =

10

01 = I

แสดงวาเมทรกซผกผนทหาไดถกตอง

ตวอยางท 4.25 จงหาเมทรกซผกผนของเมทรกซ A =

012

301

212

วธทา เพราะวา เมทรกซ A เปนเมทรกซจตรสขนาด 3 3 หาดเทอรมแนนต โดยเลอกสมาชกในแถวท 2

A = 1(-1)2+1

01

21 + 0 + 3(-1)2+3

12

12 = (-1)(0 - 2) + (-3)(2 + 2) = 2 – 12 = -10

เมทรกซ A จงเปนเมทรกซไมใชเอกฐาน สามารถหาเมทรกซผกผนได โดยหาเมทรกซโคเฟกเตอร ดงน


c11 = (-1)1+1

01

30 , c12 = (-1)1+2

02

31, c13 = (-1)1+3

12

01

c21 = (-1)2+1

01

21 , c22 = (-1)2+2

02

22, c23 = (-1)2+3

12

12

c31 = (-1)3+1

30

21 , c32 = (-1)3+2

31

22, c33 = (-1)3+3

01

12

C =

143

442

163

หาเมทรกซผกพน (Adj A) ไดดงน

Adj A =

141

446

323

เพราะวา A-1 = A1

Adj A

ดงนน A-1 = 101

141

446

323

=

101

104

101

104

104

106

103

102

103

4.7 การแกระบบสมการเชงเสนโดยใชเมทรกซ ในระบบสมการเชงเสน n สมการ โดยทแตละสมการเกยวของกบตวแปร n ตวแปร คอ x1, x2, …, xn ดงน

)n(dxaxaxa

)2(dxaxaxa

)1(dxaxaxa

nnnn22n11n

2nn2222121

1nn1212111

เมอ aij และ di เปนจานวน

จรงซงเปนคาคงท


เมอ i = 1, 2, 3, …, n j = 1, 2, 3, …, n ระบบสมการน เขยนอยในรปของเมทรกซไดดงน

A x = d (n n) (n 1) (n 1) โดย A เปน เมทรกซสมประสทธของตวแปร

x เปน เมทรกซของตวแปร ซงเปนสดมภเวกเตอร d เปน เมทรกซของคาคงท ซงเปนสดมภเวกเตอร

ดงนน

A =

nn2n1n

n22221

n11211

aaa

aaa

aaa

x =

n

2

1

x

x

x

และ d =

n

2

1

d

d

d

เรยก Ax = d วาระบบสมการเชงเสน n สมการ n ตวแปร การหาคาตอบของระบบสมการเชงเสน หมายถง การหาคาของตวแปร n ตวแปรซงสอดคลองกบสมการ n

สมการ โดยทวไปเรยกการหาคาตอบของระบบสมการเชงเสนวาการแกระบบสมการเชงเสน ซงมวธการอยหลายวธ ในบทนจะกลาวถงวธการแกระบบสมการเชงเสน 3 วธ คอ วธของเกาส-จอรดอง (guassian method) วธใชเมทรกซผกผน (inverse matrix) และวธของกฎคราเมอร (Cramer’s rule)

4.7.1 การแกระบบสมการเชงเสนโดยวธของเกาส-จอรดอง (Guassian method) การหาคาตอบของระบบสมการเชงเสน Ax = d มขนตอนดงน

1. สรางเมทรกซแตงเตม (augmented matrix) กลาวคอ นาเมทรกซ d มารวมไวกบเมทรกซ A กลายเปนเมทรกซแตงเตม A:d หรอ [A:d] ทมขนาด n (n+1)

2. ดาเนนการโดยใชวธปฏบตการของเมทรกซกบเมทรกซแตงเตม ดงน - การสลบแถว i กบแถว j เขยนแทนดวย Ri Rj - การคณแถว i ดวยจานวนจรง k ท k 0 เขยนแทนดวย Ri kRi - การแทนทแถว j ดวย k เทาของแถว i บวกกบแถว j เขยนแทนดวย Rj kRi + Rj การปฏบตการของเมทรกซดงกลาวน เพอเปลยนใหเปนเมทรกซเอชลอนแบบแถว กลาวคอ การปฏบตการ

ของเมทรกซเพอเปลยนเมทรกซแตงเตม [A:d] ใหเปนเมทรกซแตงเตม [B:c] โดยพยายามทาให B เปนเมทรกซ


เอกลกษณขนาดเดยวกบ A แลว จะไดวา c คอคาตอบของระบบสมการ Ax = d ซงระบบสมการทไดจากการปฏบตการทง 3 วธขางตน จะเปนระบบสมการทสมมลกนและมคาตอบเดยวกน

แตถา B ไมเปนเมทรกซเอกลกษณแลว ใหพจารณาแถวสดทายของเมทรกซแตงเตม [B:c] ถาแถวสดทายประกอบดวยสมาชกทเปน 0 หมดทกตว จะไดวาระบบสมการนมหลายคาตอบ แตถาแถวสดทายของ B ประกอบดวยสมาชกทเปน 0 หมด แตมสมาชกตาแหนงสดทายของ c ไมเปน 0 แลว จะไดวาระบบสมการนไมมคาตอบ ตวอยางท 4.26 จงแกระบบสมการตอไปน ดวยวธของเกาส-จอรดอง 2x1 - x2 = 5 x1 + 3x2 = -1 วธทา เขยนระบบสมการใหอยในรปแบบของเมทรกซดงน A x = d (2 2) (2 1) (2 1)

31

12

2

1

x

x =

1

5

ขนตอนท 1 สรางเมทรกซแตงเตม [A:d] มขนาด 2 (2 + 1)

1

5

31

12

ขนตอนท 2 ใชปฏบตการแบบแถวของเมทรกซกบเมทรกซแตงเตม [A:d] เพอเปลยนใหเปนเมทรกซเอชลอน แบบแถว ดงน

1

5

31

12

1R

21

125

3121

1

21 RR

27

25

27

021

1


1R72

125

1021

1

12 RR

21

1

2

10

01

จะเหนวาเปลยน [A : d] เปน [B : c] โดย B เปนเมทรกซเอกลกษณทมขนาดเทากบเมทรกซ A คอ 2 2 และ c จะเปนคาตอบของระบบสมการดงน

10

01

2

1

x

x =

1

2

ดงนน

2

1

x

x =

1

2

จะไดวา x1 = 2 และ x2 = -1 ตวอยางท 4.27 จงแกระบบสมการตอไปน ดวยวธของเกาส-จอรดอง 3x + 2y + 5z = 2 2x + 4z = 2 x + 3y - z = -2 วธทา เขยนระบบสมการในรปเมทรกซ ไดดงน A x = d

131

402

523

z

y

x

=

2

2

2

ขนตอนท 1 สรางเมทรกซแตงเตม [A:d] ดงน

2

2

2

131

402

523


ขนตอนท 2 ใชปฏบตการแบบแถวของเมทรกซกบเมทรกซแตงเตม [A:d] เพอเปลยนใหเปนเมทรกซเอชลอน แบบแถว ดงน

2

2

2

131

402

523

31 RR

2

2

2

523

402

131

21 RR2

2

6

2

523

660

131

31 RR3

8

6

2

870

660

131

2R61

8

1

2

870

110

131

12 RR3

8

1

1

870

110

201

32 RR7

1

1

1

100

110

201

13 RR2

1

1

1

100

110

001


23 RR

1

0

1

100

010

001

เปลยน [A : d] เปน [B : c] โดย B เปนเมทรกซเอกลกษณอนดบ 3 ขนาดเทากบเมทรกซ A เขยนในรปแบบเมทรกซผลคณไดดงน

100

010

001

z

y

x

=

1

0

1

จะไดวา x = -1, y = 0 และ z = 1 4.7.2 การแกระบบสมการเชงเสนโดยการใชเมทรกซผกผน จากการศกษาเมทรกซ รวมถงเงอนไขและสมบตของเมทรกซผกผนไปแลว สามารถนาแนวคดของเมท

รกซและแนวคดของเมทรกซผกผนไปประยกตกบการแกระบบสมการเกยวเนองไดดงตวอยาง กาหนดใหระบบสมการเชงเสนเปนดงน 6x1 + 3x2 + x3 = 22 x1 + 4x2 - 2x3 = 12 4x1 - x2 + 5x3 = 10 ตองการหาคาของ x1 x2 และ x3 โดยการใชเมทรกซ จากระบบสมการเชงเสนสามารถเขยนอยในรปแบบของเมทรกซไดดงน

ให A =

514

241

136

x =

3

2

1

x

x

x

d =

10

12

22

หรอเขยนใหมแทนระบบสมการเชงเสนไดวา A x = d

ขนาดเมทรกซ (3 3) (3 1) (3 1) ถานาเมทรกซผกผนของเมทรกซ A หรอ A-1 คณสมการนทงดานซายและขวาโดยให A-1 เปนเมทรกซ

ตวนาของผลคณ ดงน


A-1Ax = A-1d แตเนองจาก A-1A = A A-1 = I ตามสมบตของเมทรกซผกผนจะไดวา Ix = A-1d และ IA = AI = A ตามสมบตของเมทรกซเอกลกษณ ดงนน x = A-1 d (3 1) (3 3) (3 1) ดานซายมอของสมการเปนเมทรกซ x ซงเปนเวกเตอรสดมภของตวแปรและทางดานขวามอของสมการเปนผลเฉลย ซงเปนเวกเตอรสดมภของจานวนททราบคาแนนอน ดงนนจากความหมายของการเทากนของเมทรกซหรอเวกเตอรตามสมการขางตนจะไดคาของตวแปรตางๆ ในระบบสมการเชงเสนนน แตเนองจาก A-1 เปนเมทรกซผกผนทเปนเมทรกซเดยว ทาใหผลคณของ A-1d ตองเปนเวกเตอรของคาของผลเฉลยทมเพยงเวกเตอรเดยวดวย ถาเมทรกซผกผนของเมทรกซ A คานวณไดดงน

A-1 =

211817

132613

101618

521

ดงนน

3

2

1

x

x

x

=

211817

132613

101618

521

10

12

22

=

1

3

2

จะไดคาตอบของตวแปรทง 3 ดงน x1 = 2 x2 = 3 x3 = 1

สรปไดวา การแกปญหาของระบบสมการเชงเสนโดยใชเมทรกซ จะไดความสมพนธของเมทรกซ ดงน Ax = d

ถา เมทรกซสมประสทธของตวแปรหรอเมทรกซ A เปนเมทรกซไมใชเอกฐานซงสามารถหาเมทรกซผกผนของ A ได (A-1) x เปนเวกเตอรสดมภของตวแปรในระบบสมการเชงเสน d เปนเวกเตอรสดมภของคาคงทของระบบสมการเชงเสน

เมอหา A-1 หรอเมทรกซผกผนของเมทรกซ A ไดแลว จงนาไปคณกบเวกเตอร d โดยให A-1 เปนเมทรกซตวนาของผลคณ ผลเฉลยของผลคณ A-1d กคอคาของตวแปรทเปนคาตอบทตองการนนเอง


A-1Ax = A-1d เพราะวา A-1A = I (ตามสมบตของเมทรกซผกผน)

ดงนน x = A-1d ตวอยางท 4.28 จงแกระบบสมการเชงเสนดวยการใชเมทรกซผกผน 2x + y -3z = -5 -x + 4y + 3z = 16 5x - y + 2z = 9 วธทา เขยนระบบสมการเชงเสนใหอยในรปแบบของเมทรกซ ดงน Ax = d

215

341

312

z

y

x

=

9

16

5

หาดเทอรมแนนตของเมทรกซ A เพอตรวจสอบวา A เปนเมทรกซไมใชเอกฐานโดย A 0 เลอกสมาชกในแถวท 1 ดงน

A = 2(-1)1+1

21

34

+ (1)(-1)1+2

25

31 + (-3)(-1)1+3

15

41

= 2(8 + 3) – (-2 - 15) - 3(1 - 20) = 22 + 17 + 57 = 96 ดงนน A เปนเมทรกซไมใชเอกฐาน สามารถหาเมทรกซผกผนได หาเมทรกซโคเฟกเตอร ของเมทรกซ A ดงน

c11 = (-1)1+1

21

34

= 8 + 3 = 11

c12 = (-1)1+2

25

31 = -(-2 - 15) = 17

c13 = (-1)1+3

15

41

= 1 – 20 = -19


c21 = (-1)2+1

21

31

= -(2 – 3) = 1

c22 = (-1)2+2

25

32 = 4 + 15 = 19

c23 = (-1)2+3

15

12

= -(-2 – 5) = 7

c31 = (-1)3+1

34

31 = 3 + 12 = 15

c32 = (-1)3+2

31

32

= -(6 – 3) = -3

c33 = (-1)3+3

41

12

= 8 + 1 = 9

ดงนน C =

9315

7191

191711

หาเมทรกซผกพน (Adj A) โดยการสลบเปลยนเมทรกซโคเฟกเตอร

Adj A =

9719

31917

15111

หาเมทรกซผกผนโดยใชสตร ดงน

A-1 = A1

Adj A = 961

9719

31917

15111

=

969

967

9619

963

9619

9617

9615

961

9611


เพราะวา x = A-1d

z

y

x

=

969

967

9619

963

9619

9617

9615

961

9611

9

16

5

=

969

9967

169619

5

963

99619

169617

5

9615

9961

169611

5

=

968111295

962730485

961351655

=

3

2

1

ดงนน x = 1 y = 2 z = 3 4.7.3 การแกระบบสมการเชงเสนโดยใชกฎของคราเมอร

การแกระบบสมการเชงเสนโดยใชเมทรกซ ซงมระบบสมการดงน Ax = d โดย A เปนเมทรกซจตรส ซงแสดงวาจานวนสมการเทากบจานวนตวแปร กาหนดใหมขนาด n n

การหาคาตอบของการแกสมการอาจใชดเทอรมแนนต ตามกฎของคราเมอรได ซงเรยกวา Cramer’s rule ทมาของกฎน มาจากวธการแกระบบสมการโดยใชเมทรกซผกผน ดงน x = A-1 d

เพราะวา A-1 = A1

Adj A

ดงนน x = A1

Adj Ad


n

2

1

x

x

x

=

A1

nnn2n1

2n2212

1n2111

ccc

ccc

ccc

n

2

1

d

d

d

= A1

nnnn22n11

2nn222121

1nn212111

cdcdcd

cdcdcd

cdcdcd

= A1

n

1iini

n

1i2ii

n

1i1ii

cd

cd

cd

เมทรกซ 2 เมทรกซเทากน จะไดวาสมาชกของเมทรกซทอยในอนดบเดยวกนยอมเทากนจะไดคาตอบของระบบสมการดงน

n

1iinin

n

1i2ii2

n

1i1ii1

cdA1

x

cdA1

x

cdA1

x


เพราะวาดเทอรมแนนตของเมทรกซ A คอ

nn2n1n

n22221

n11211

aaa

aaa

aaa

การหาดเทอรมแนนตของเมทรกซ A โดยวธการกระจายของลาปลาส โดยเลอกสมาชกในสดมภท 1 ของเมทรกซ A ดงน

A = a11c11 + a21c21 + … + an1cn1

=

n

1i1i1i ca

ถาแทนทสดมภท 1 ของ A ดวยเมทรกซ d หรอเวกเตอรสดมภ d แตใหสดมภอนๆ คงท ดงน

1A =

nn2nn

n2222

n1121

aad

aad

aad

จะไดดเทอรมแนนตใหม ถาเลอกสมาชกในสดมภท 1 โดยการกระจายของลาปลาส ดงน

1A = d1c11 + d2c21 + … + dncn1

=

n

1i1iicd

ในทานองเดยวกน ถาแทนทสดมภท 2 ของ A ดวยเวกเตอรสดมภ d และสดมภอนๆ คงท แลวกจะไดดเทอรมแนนตใหม ถาเลอกสมาชกในสดมภท 2 โดยวธการกระจายของลาปลาส

2A = d1c12 + d2c22 + … + dncn2

=

n

1i2ii cd

ในทานองเดยวกน กจะได


n

1iinin

n

1i3ii3

cdA

cdA

ผลเฉลยของการแกระบบสมการคานวณไดดงน

nn

22

11

AA1

x

AA1

x

AA1

x

หรอเขยนในรปแบบทวไปไดวา ผลเฉลยของระบบสมการเชงเสนตวแปรท j หรอ xj หาคาตอบไดโดยการแทนทสดมภท j ใน A ดวยเวกเตอรสดมภ d ซงเปนคาคงทของระบบสมการเพอจะไดดเทอรมแนนตใหม คอ

jA แลวหารดวย A กจะไดผลเฉลย ดงน

xj = A

A j

เมอ xj = ตวแปรท j A = ดเทอรมแนนตของเมทรกซสมประสทธของตวแปร

jA = ดเทอรมแนนตของเมทรกซซงกาหนดขนใหมจากเมทรกซ A โดยการแทนทสมาชกใน

สดมภท j ดวยสมาชกของเวกเตอรสดมภ d สรปขนตอนการแกระบบสมการเชงเสนโดยใชกฎของคราเมอร 1. หาคาดเทอรมแนนต A

2. ถา A 0 แลว จะหา x =

n

2

1

x

x

x

ไดโดยท xj =

A

A j


3. ถา A = 0 โดยม jA 0 อยางนอยหนงคาแลว จะไดวาระบบสมการ Ax = d ไมมคาตอบ

4. ถา A = 0 โดยม jA = 0 ทกคาของ j = 1, 2, 3, …, n แลวจะไดวาระบบสมการ Ax = d มหลาย

คาตอบ ตวอยางท 4.29 จงแกระบบสมการตอไปน โดยใชกฎของคราเมอร 3x1 + 2x2 = 1 x1 + 4x2 = 2 วธทา นาระบบสมการเชงเสนเขยนอยในรปของเมทรกซ ไดดงน

A =

41

23 x =

2

1

x

x d =

2

1

เพราะวา Ax = d

ดงนน

41

23

2

1

x

x =

2

1

หาคาดเทอรมแนนตของเมทรกซ A

A =

41

23 = 12 – 2 = 10

โดยท 1A =

42

21 = 4 – 4 = 0

2A =

21

13 = 6 – 1 = 5

ดงนน x1 = AA1 =

100

= 0

x2 = AA 2 =

105

= 21

ตวอยางท 4.30 จงแกระบบสมการเชงเสนตอไปน โดยใชกฎของคราเมอร 3x + 2y - z = 9 2x - y + 4z = 13


7x + y - 5z = 12 วธทา นาระบบสมการเชงเสน เขยนอยในรปของเมทรกซ ดงน Ax = d

517

412

123

z

y

x

=

12

13

9

หาดเทอรมแนนตของเมทรกซ A

A =

517

412

123


= 2(-1)1+2

57

42

+ (-1)(-1)2+2

57

13

+ 1(-1)3+2

42

13

= -2(-10 - 28) – (-15 + 7) - (12 + 2) = 36 + 8 - 14 = 70

โดยท 1A =

5112

4113

129


= -2 512

413

- 512

19

- 413

19

= -2(-65 - 48) – (-45 + 12) - (36 + 13) = 226 + 33 - 49 = 210

2A =

5127

4132

193



= -9(-10 - 28) + 13(-15 + 7) - 12(12 + 2) = 342 – 104 - 168 = 70

3A =

1217

1312

923

เลอกสมาชกในสดมภท 2 = -2(24 - 91) - (36 - 63) - (39 – 18) = 134 + 27 – 21 = 140

ดงนน x = A

A1 = 70210

= 3

y = A

A2 = 7070

= 1

z = A

A3 = 70

140 = 2

4.8 ผลเฉลยกรณตางๆ ของการแกระบบสมการเชงเสน ตามทไดอธบายถงวธการแกระบบสมการดวยวธการตางๆ กน นน ไดแสดงใหเหนถงเฉพาะกรณทจานวนสมการเทากบจานวนตวแปร และคาลาดบชนของเมทรกซ (rank of matrix หรอ r) ของเมทรกซสมประสทธเทากบจานวนตวแปรในระบบสมการ (n) ซง r = n กตอเมอเมทรกซนนตองเปนเมทรกซไมใชเอกฐาน กรณดงกลาวนระบบสมการจะมผลเฉลยชดเดยวเปนคาตอบทตองการ

โดยทวไป เมทรกซสมประสทธของตวแปรหรอเมทรกซ A ในระบบสมการเชงเสน Ax = d น น จะแบงเปน 2 ประเภท คอ มจานวนสมการเทากบจานวนตวแปร หรอเมทรกซ A มขนาด n n และประเภททสอง คอ มจานวนสมการไมเทากบจานวนตวแปรหรอเมทรกซ A มขนาด m n ในทนจะกลาวถงกรณทมจานวนสมการเทากบจานวนตวแปรเทานน

ระบบสมการเชงเสนทมจานวนสมการเทากบจานวนตวแปร ม 2 กรณ คอ เมทรกซ d 0 และเมทรกซ d = 0 4.8.1 กรณแรก เมอเมทรกซ d 0 ระบบสมการนเรยกวา non-homogeneous equation system ถาระบบสมการนเขยนในรปแบบเมทรกซ ไดดงน

Ax = d โดย A เปนเมทรกซสมประสทธของตวแปร มขนาด n n


x และ d เปนเวกเตอรสดมภ มขนาด n 1 กรณนจะแบงออกเปน 2 ประเภท คอ 1) เมทรกซ A มคาลาดบชน (r) เทากบจานวนตวแปร (n) หรอ r = n การทเมทรกซ A จะม r = n ได

กตอเมอ A เปนเมทรกซไมใชเอกฐาน ดงนน A 0 ถาเปนไปตามลกษณะดงกลาวน ระบบสมการจะมผลเฉลยชดเดยวดงตวอยางการแกระบบสมการดวยวธการตางๆ ทไดอธบายมากอนหนาน

2) เมทรกซ A มคาลาดบชน (r) นอยกวาจานวนตวแปร (n) หรอ r n แสดงวาเมอใชการปฏบตการของเมทรกซโดยเปลยนเมทรกซ A ใหเปนเมทรกซเอชลอนแบบแถวแลว จะมบางแถวอยางนอย 1 แถวทมสมาชกในแถวเปน 0 ทงหมด ซงการแกระบบสมการโดยวธของเกาส-จอรดอง จะชวยทาใหสามารถหาผลเฉลยได ผลเฉลยทไดไมใชผลเฉลยชดเดยวแตเปนผลเฉลยทอาจมหลายคาตอบ หรออาจจะไมมคาตอบ ซงขนอยกบเงอนไขคอ ถาเมทรกซแตงเตม [A : d] เปลยนเปนเมทรกซแตงเตม [B : c] แลว B ไมไดเปนเมทรกซเอกลกษณ ใหพจารณา แถวนอนสดทายของเมทรกซแตงเตม [B : c] ดงน :- ถาแถวนอนของเมทรกซแตงเตม [B : c] ประกอบดวยสมาชกทเปน 0 ทงหมด ระบบสมการจะไดผลเฉลยหลายคาตอบ

:- แตถาแถวนอนสดทายของเมทรกซ B ประกอบดวยสมาชกทเปน 0 ทงหมด แตมสมาชกตาแหนงสดทายของ c ไมเปน 0 แลว ระบบสมการจะไมมคาตอบ

หรอกลาวอกอยางหนงไดวากรณนเมทรกซ A เปนเมทรกซเอกฐาน A จะเทากบ 0 เมอทาการแกระบบสมการดวยวธการตามกฎของคราเมอร จะไมสามารถหาคาตอบซงเปนผลเฉลยชดเดยวได ดงน

เพราะวา xj = A

A j

= 0

A j ไมสามารถหาคาตอบได (undefined)

ถา Aj 0 อยางนอย 1 คาแลว จะไดวาระบบสมการ Ax = d จะไมมคาตอบ แตถา Aj 0 ทกคาของ j = 1, 2, 3, …, n แลว จะไดวาระบบสมการ Ax = d มหลายคาตอบ ดงนนการแกระบบสมการ เมอเมทรกซ A เปนเมทรกซเอกฐาน กรณมหลายคาตอบ จงควรใชวธการของเกาส-จอรดอง กจะชวยทาใหหาผลเฉลยทมหลายคาตอบได

4.8.2 กรณทสอง เมอเมทรกซ d = 0 ระบบสมการนเรยกวา homogeneous equation system ถาระบบสมการเขยนอยในรปแบบของเมทรกซ ไดดงน

Ax = d


โดย A เปนเมทรกซสมประสทธของตวแปรมขนาด n n x เปนเวกเตอรสดมภ มขนาด n 1 และ d เปนเวกเตอรศนยทมขนาด n 1 กรณนจะแบงออกเปน 2 ประเภท คอ

1) เมทรกซ A มคาลาดบชน (r) เทากบจานวนตวแปร (n) หรอ r = n หรอเมทรกซ A เปนเมทรกซไมใชเอกฐาน

กรณดงกลาวน ผลเฉลยของตวแปรทกตวมคาเทากบศนย และเรยกผลเฉลยนวาเปนผลเฉลยทรฟเอยล (trivial solution) กลาวคอ x1 = x2 = … xn = 0 เพราะวา เมอ A เปนเมทรกซไมใชเอกฐาน ทาใหสามารถหา A-1 ได

ดงนน x = A-1d แต d = 0 จะได x = 0 หรอการหาผลเฉลยโดยใชวธของคราเมอร เมอ d = 0 แสดงวา Ajสาหรบทกๆ สดมภท j จะม

สมาชกในสดมภนนเปนศนยหมด ทาให Aj = 0

ดงนน xj = A

A j = A0

= 0 (เมอ j = 1, 2, 3, …, n) 2) เมทรกซ A มคาลาดบชน (r) นอยกวาจานวนตวแปร (n) หรอ r n หรอเมทรกซ A เปนเมทรกซ

เอกฐาน ผลเฉลยทไดจะเปน นอน-ทรฟเอยล (non-trivial solution) แตจะมผลเฉลยจานวนไมจากดไมสามารถหาคาตอบได เพราะถา A เปนเมทรกซเอกฐานแลว A = 0

การแกระบบสมการดวยวธของคราเมอร จะได xj = A

A j

หรอ xj = 00

0 ไมสามารถหาคาตอบได

ดวยเหตนการหาผลเฉลยดวยวธของคราเมอร จงไมสามารถนามาใชหาคาตอบได เพราะไมสามารถหาผลเฉลยชดเดยวได เนองจากมหลายคาตอบ (infinite) ตองใชวธการของเกาส-จอรดอง


ตวอยางท 4.31 จงหาผลเฉลยของระบบสมการตอไปน x1 + x2 + x3 = 2 x1 - 2x2 - 2x3 = -1 x1 + 2x2 + 2x3 = 1 วธทา เขยนระบบสมการใหอยในรปแบบของเมทรกซไดดงน

Ax = d

221

221

111

3

2

1

x

x

x

=

1

1

2

ตรวจสอบเมทรกซ A โดยการหา A

A =

221

221

111

ใชวธการกระจายของลาปลาส โดยเลอกสมาชกในแถวท 1

A = (-1)1+1

22

22 + (-1)1+2

21

21 + (-1)1+3

21

21

= (-4 + 4) – (2 + 2) + (2 + 2) = 0 – 4 + 4 = 0 A เปนเมทรกซเอกฐาน ไมมผลเฉลยชดเดยว ไมสามารถหาคาตอบได แตถาตองการรคาตอบ จะตองใชวธของเกาส-จอรดอง ดงน สรางเมทรกซแตงเตม คอ [A :d] และดาเนนการปฏบตการของเมทรกซเพอเปลยนเมทรกซ A ใหเปนเมทรกซเอชลอนแบบแถว ดงน

1

1

2

221

221

111

21 RR

1

2

1

221

111

221


21 RR)1(

1

3

1

221

330

221

31 RR)1(

2

3

1

440

330

221

2R31

2

1

1

440

110

221

12 RR2

2

1

1

440

110

001

3RR)4( 2

2

1

1

000

110

001

จากเมทรกซแตงเตม [A : d] เปน [B : c] จะเหนวาเมทรกซ B ไมใชเมทรกซเอกลกษณและมสมาชกแถวนอนสดทายเปน 0 หมด แตเมทรกซ c สมาชกแถวนอนสดทายไมเปนศนยสรปไดวาระบบสมการจะไมมคาตอบ ดงน เขยนเมทรกซแตงเตมใหมใหกลบไปอยในรปของเมทรกซผลคณไดดงน

000

110

001

3

2

1

x

x

x

=

2

1

1


หาผลคณของเมทรกซดวยเมทรกซทางดานซายมอของสมการ

0

xx

x

32

1

=

2

1

1

จะไดวา x1 = 1 x2 + x3 = 1 และ 0 = -2 ซงผลเฉลยนเปนไปไมได จงสรปไดวาระบบสมการน ไมมคาตอบ

ตวอยางท 4.32 จงหาผลเฉลยของระบบสมการตอไปน -x1 + x2 + 2x3 = 1 -x1 + 2x2 + x3 = -3 x1 - 2x2 - x3 = 3 วธทา เขยนระบบสมการใหอยในรปแบบของเมทรกซไดดงน

Ax = d

121

121

211

3

2

1

x

x

x

=

3

3

1

หาดเทอรมแนนตของเมทรกซ A โดยวธการกระจายของลาปลาส โดยเลอกสมาชกในสดมภท 1

A = (-1)(-1)1+1

12

12

+ (-1)(-1)2+1

12

21

+ (-1)3+1

12

21

= -(-2 + 2) + (-1 + 4) + (1 - 4) = +3 -3 = 0 A เปนเมทรกซเอกฐาน ไมมผลเฉลยชดเดยว ใชวธการของเกาส-จอรดอง ดงน สรางเมทรกซแตงเตม คอ [A :d] และดาเนนการปฏบตการของเมทรกซเพอเปลยนเมทรกซ A ใหเปนเมทรกซเอชลอนแบบแถว ดงน


3

3

1

121

121

211

21 RR

3

1

3

121

211

121

31 RR

3

1

3

121

211

121

31

21

RR1

RR1

0

4

3

000

110

121

2R)1(

0

4

3

000

110

121

12 RR2

0

4

5

000

110

301

จากเมทรกซแตงเตม [A : d] เปน [B : c] จะเหนวาเมทรกซ B ไมใชเมทรกซเอกลกษณและเมทรกซแตงเตม [B : c] มสมาชกแถวนอนสดทายเปน 0 หมด ระบบสมการจะไดผลเฉลยหลายคาตอบ เมอเขยนในรปของเมทรกซผลคณไดดงน

000

110

301

3

2

1

x

x

x

=

0

4

5


หาผลคณของเมทรกซดวยเมทรกซทางซายมอของสมการ เปนดงน

0

xx

x3x

32

31

=

0

4

5

จะไดวา x1 – 3x3 = -5 x2 - x3 = -4

และ 0 = 0 เปนจรงเสมอ จะไดวา x1 = -5 + 3x3 และ x2 = -4 + x3 ระบบสมการนมหลายคาตอบ เมอกาหนดให x3 เทากบ a ซงเปนจานวนจรงใดๆ จะไดวา

3

2

1

x

x

x

=

a

a4

a35

=

0

4

5

+ a

1

1

3

เมอ a เปนจานวนจรงใดๆ

เชน ถา a = 1 จะไดวา x1 = -5 + 3 = -2 x2 = -4 + 1 = -3 x3 = 1 ถา a = 2 จะไดวา x1 = -5 + 6 = 1 x2 = -4 + 2 = -2 x3 = 2


แบบฝกหดบทท 4 1. จงคานวณหาคาดเทอรมแนนตของเมทรกซตอไปน

1.1 A =

64

96 1.6 A =

197

812

563

1.2 B =

97

46 1.7 B =

164

529

3012

1.3 C =

1815

139 1.8 C =

967

253

060

1.4 D =

525

1040 1.9 D =

306

104

318

1.5 E =

65

43

21

1.10 E =

963

574

321

2. จงหาดเทอรมแนนตของเมทรกซตอไปนดวยวธการกระจายของลาปลาส

2.1 A =

1209

652

9715

2.4 D =

328

306

204


2.2 B =

967

253

060

2.5 E =

2343

4121

1523

5142

2.3 C =

306

104

318

2.6 F =

8050

1061

6432

9021

3. จงใชดเทอรมแนนต

933

711

102 ตรวจสอบตามสมบต 4 ขอแรกของดเทอรมแนนต

4. จงทดสอบวาเมทรกซใดเปนเมทรกซไมใชเอกฐาน [ขอเสนอแนะ : A 0]

4.1 A =

745

3119

104

4.3 C =

4313

411

017

4.2 B =

307

065

124

4.4 D =

6810

103

597

5. จงหาเมทรกซผกผนของเมทรกซตอไปน

5.1 A =

10

25 C =

13

77 E =

78

1524

B =

29

01 D =

30

67 F =

126

97


5.2 A =

102

337

124

C =

010

100

001

B =

204

301

211

D =

100

010

001

6. จงแกระบบสมการตอไปน โดยใชกฎของคราเมอร 6.1 3x1 – 2x2 = 11 6.3 -x1 + 3x2 = -3 2x1 + x2 = 12 4x1 - x2 = 12 6.2 -8x1 – 7x2 = -6 6.4 6x1 + 9x2 = 15 x1 + x2 = 3 7x1 - 3x2 = 4 7. ในแตละระบบสมการของขอ 6 ใหหาเมทรกซผกผนของเมทรกซสมประสทธ และหาผลเฉลยของระบบ

สมการเชงเสนโดยใชเมทรกซผกผน [ขอเสนอแนะ : x = A-1d] 8. จงหาผลเฉลยของระบบสมการตอไปน โดยใชกฎของคราเมอร 8.1 8x1 – x2 = 15 8.3 4x + 3y – 2z = 7 x2 + 5x3 = 1 x + y = 5 2x1 + 3x3 = 4 3x + z = 4 8.2 -x1 + 3x2 + 2x3 = 2 8.4 -x + y + z = a x1 + x3 = 6 x – y + z = b 5x2 - x3 = 8 x + y - z = c 9. จากโจทยขอ 8 จงแกระบบสมการเชงเสนโดยใชเมทรกซผกผน [ขอเสนอแนะ: x = A-1d]


บทท 5 การประยกตฟงกชน เมทรกซและการแกระบบสมการ ในการวเคราะหทางเศรษฐศาสตร

ในบทนเปนการประยกตฟงกชน เมทรกซและการแกระบบสมการในการวเคราะหแบบจาลองทางเศรษฐศาสตรโดยเปนการประยกตในกรณของการวเคราะหดลยภาพเชงสถตย หรอการวเคราะหดลยภาพสภาพนงซงเปนการพจารณาวาเมอเกดภาวะสมดลแลว มแนวโนมจะหยดนงหรอมการปรบตวใหเขาสสภาวะนตลอดไปจนกวาจะมการเปลยนแปลงในตวแปรภายในของแบบจาลอง ในบทนจะเปนวเคราะหดลยภาพของตลาด เมอกาหนดเงอนไขของอปสงคและอปทาน และดลยภาพของรายไดประชาชาตภายใตเงอนไข การบรโภคและ การลงทน 5.1 ดลยภาพสวนยอยของตลาด (Partial market equilibrium) 5.1.1 กรณแบบจาลองเชงเสน (A linear model)

สาหรบการวเคราะหดลยภาพเชงสถตย ปญหาสาคญกคอการหาคาของเซตของตวแปรภายในททาใหเกดเงอนไขดลยภาพในแบบจาลอง ในกรณของแบบจาลองของตลาด ฟงกชนหรอสมการคณตศาสตรของแบบจาลอง จะเปนสมการอปสงคและสมการอปทาน โดยกาหนดใหอปสงคและอปทานขนอยกบปจจยราคา เพยงปจจยเดยวและถอวาปจจยอนๆ ไมเปลยนแปลงหรอมคาคงท การวเคราะหดงกลาวจงเปนการวเคราะหดลยภาพสวนยอย

1) โครงสรางของแบบจาลอง ในตลาดสนคาชนดใดชนดหนง แบบจาลองของตลาดประกอบดวยตวแปร 3 ตวแปร ดงน Qd หมายถง ปรมาณความตองการบรโภคสนคา หรอปรมาณอปสงค Qs หมายถง ปรมาณการเสนอขายสนคา หรอปรมาณอปทาน P หมายถง ราคา เงอนไขสาคญของการวเคราะหดลยภาพของตลาดกคอ อปสงคสวนเกนเปนศนย หรอ Qd – Qs เทากบ

ศนย แตกอนทจะทาการวเคราะห ควรจะตองทาความเขาใจในลกษณะของเสนอปสงคและเสนอปทาน รวมถงรปแบบของฟงกชนอปสงคและอปทานเสยกอน


2) เสนอปสงค (demand curve) เสนอปสงคสาหรบสนคาชนดใดชนดหนง สมมตใหเปนสนคา x เปนเสนทแสดงความสมพนธ

ระหวางปรมาณสนคาทตองการบรโภค และปจจยทมอทธพลตอความตองการบรโภคสนคานน เชน ราคาสนคาชนดนน (Px) รายได (Y) ราคาสนคาชนดอนทเกยวของ (Py) เปนตน และสามารถเขยนอยในรปแบบของฟงกชน อปสงคไดดงน Qd = f(Px , Y, Py)

แตถาสนใจตวแปรอสระเพยงตวแปรเดยว คอ ราคาสนคาชนดนนๆ (Px) และถอวาตวแปรอนๆ คงท ไมเปลยนแปลง ฟงกชนอปสงคจะเขยนใหมไดเปน Qd = f(P) หรออาจจะเขยนในรปแบบ P = g( Qd) หรอ F( Qd, P) = 0 กได

ถาเขยนฟงกชนในรปแบบ Qd = f(P) การอธบายดวยเรขาคณตในลกษณะเสนกราฟมกจะกาหนดใหตวแปรทางดานขวามอของสมการเปนแกนนอน และตวแปรทางดานซายมอของสมการเปนแกนตง จากฟงกชนดงกลาว จงใหแกนนอนเปน P (ตวแปรอสระ) และแกนตงเปน Qd (ตวแปรตาม) แตถาเขยนฟงกชนในรปแบบ P = g( Qd) จะกาหนดให Qd เปนแกนนอนและ P เปนแกนตง กรณดงกลาวนถอไดวา ทง f และ g เปนฟงกชนผกผนซงกนและกน

ในกรณน กาหนดใหเสนอปสงคเปนฟงกชนเชงเสนของ P เขยนในรปแบบสมการได ดงน Qd = a – bP เมอ a > 0 และ b > 0 a หมายถง สวนตดแกนตง หรอแกน Qd b หมายถง คาความชนของเสนอปสงค เครองหมายหนา b ตองเปนลบ เพอแสดงถงทศทาง

การเปลยนแปลงของราคาและปรมาณอปสงคเปนไปในทศทางตรงกนขามตามกฎของอปสงค ตามภาพท 5.1 (ก)

ภาพท 5.1 เสนอปสงคของสนคาชนดหนง

สาหรบภาพท 5.1 (ข) เขยนฟงกชนอปสงคในรปแบบ P = g( Qd) หรอเขยนสมการใหมไดดงน Qd = a – bP bP = a - Qd

a

0 P

Qd

Qd = a - bP

ก

ba

0 Qd

P

P = ba

- b1

Qd

ข


P = ba

-b1

Qd

เมอ ba

หมายถง สวนตดแกนตงหรอแกน P

b1

หมายถง สวนกลบคาความชนของเสนอปสงค Qd

[คาความชนของเสนอปสงคเมอ P อยในแกนตง และ Q อยในแกนนอน คอ dQdP

] โดยทวไปเมอกลาวถง

เสนอปสงคจะนยมเขยนในรปแบบของ Qd = f(P) แตการเขยนรปอธบายเชงเรขาคณตของฟงกชนอปสงค มกกาหนดให Qd เปนแกนนอนและ P เปนแกนตง ดงน

ภาพท 5.2 ฟงกชนอปสงค Qd = f(P) เมอ P เปนแกนตงและ Qd เปนแกนนอน

อยางไรกตาม การหาขอบเขตของจานวน Qd และ P ในเชงคณตศาสตรเพอใหเปนไปตามหลกการวเคราะหทางเศรษฐศาสตรภายใตขอสมมตของการแขงขนอยางสมบรณ จะตองประกอบดวย

1. คา Q และ P จะตองมากกวาหรอเทากบศนย เมอเขยนกราฟอธบายเชงเรขาคณตแลว Q และ P จะตองอยในจตภาคท 1 เพราะ P ทตดลบจะไมมความหมาย

2. เสนอปสงคตองเปนฟงกชนลดทเรยกวา monotonically decreasing function กลาวคอ แตละคาของ P สามารถหาคา Q ไดเพยงคาเดยว และทศทางการเปลยนแปลงของตวแปรในฟงกชนตองมทศทางตรงขาม

3) เสนอปทาน (supply curve) เสนอปทานสาหรบสนคาชนดใดชนดหนง เปนเสนทแสดงความสมพนธระหวางปรมาณสนคาท

ผขายยนดเสนอขาย และปจจยทมอทธพลตอปรมาณเสนอขายสนคานน ในกรณนเปนการแสดงความสมพนธระหวางปรมาณเสนอขาย (QS) และราคา (P) ของสนคานนๆ เขยนอยในรปแบบของฟงกชนไดเปน

Qs = f(P) หรอ P = g(Qs) หรอ F(Qs, P) = 0

ba

0 Qd

P

Qd = a - bP


การเขยนเสนอปทานในเชงเรขาคณตกใชหลกการเดยวกบเสนอปสงค และเขยนสมการไดดงน Qs = f(P) เมอกาหนดใหแกนนอนคอ P และแกนตงคอ Qs ฟงกชนอปทานสามารถเขยนใหมได 3 รปแบบคอ Qs = c + dP เมอ (c, d > 0) Qs = dP Qs = -c + dP เมอ (c, d > 0) เมอ c หมายถง สวนตดแกนตง หรอแกน Qs หรอปรมาณสนคาทเสนอขายเมอสนคาไมมราคา d หมายถง ความชนของเสน อปทาน เค รองหมาย d ตองเปนบวก เพ อแสดงว า

การเปลยนแปลงของปรมาณเสนอขาย และราคาตองเปลยนแปลงในทศทางเดยวกน

ภาพท 5.3 เสนอปทานของสนคากรณ Qs = f(P)

จากสมการอปทานสามารถเขยนใหมได ดงน (เมอกาหนดใหแกนตงเปน P และแกนนอนเปน Qs)

P = -dc

+d1

Qs

P = d1

Qs

P = dc

+d1

Qs

เมอ dc

หมายถง สวนตดแกนตงหรอแกน P

d1

หมายถง สวนกลบคาความชนของเสนอปทาน Qs

การเขยนกราฟอธบายเชงเรขาคณตของสมการทง 3 เปนดงน


ภาพท 5.4 เสนอปทานของสนคากรณ P = g( Qs)

โดยทวไป เสนอปทานมกนยมเขยนในรปแบบของ Qs = f(P) แตการเขยนอธบายเชงเรขาคณตมกใชแกนนอนเปน Qs และแกนตงเปน P สมการอปทานเปนเสนทตดแกนตง P ทคาบวก เพราะการผลตสนคาทนาออกมาขาย จะผลตเมอราคาสนคาตองสงเพยงพอซงกคอราคาตองเปนบวก ตามภาพท 5.5

ภาพท 5.5 ฟงกชนอปทาน Qs = f(P) เมอ P เปนแกนตง และ Q เปนแกนนอน

แบบจาลองตลาดเชงเสน เขยนในรปแบบเชงคณตศาสตรไดดงน Qd = Qs Qd = a - bP เมอ (a, b > 0) Qs = -c + dP (c, d > 0) คาพารามเตอร a, b, c, d ทปรากฏในฟงกชนเชงเสน 2 ฟงกชน ทงหมดมคาเปนบวก เมอเขยนอธบาย

ฟงกชนอปสงค ฟงกชนอปทานตามสมการ 5.1 โดยกาหนดใหแกนนอนเปน P และแกนตงเปน Qd และ Qs ตามภาพท 5.6 พบวา ฟงกชนอปสงค สวนตดแกนตงคอ a มคาความชนเปน b แตมเครองหมายลบ ฟงกชนอปทาน สวนตดแกนตงคอ c แตมเครองหมายเปนลบ และมคาความชนเปน d เปนคาบวก

0

P

Qs

Qs = -c + dP

-c

dc

........ 5.1


ภาพท 5.6 ฟงกชนอปสงคและฟงกชนอปทานของตลาดสนคาชนดหนง

ในกรณทกาหนดใหแกนนอนเปน Qd และ Qs และแกนตงเปน P ดลยภาพของตลาดเปนตามภาพท 5.7

ภาพท 5.7 ฟงกชนอปสงคและอปทานของตลาดสนคาชนดหนง

เมอ P เปนแกนตงและ Qd , Qs เปนแกนนอน

การหาคาตอบโดยการแกสมการทง 2 สมการโดยใหตวแปรถกกาจดไปทละตวแปรทาไดดวยการทาให คา P หรอ Q เทากน หรอแทนคาของตวแปรใดตวแปรหนงในอกสมการหนง หรอพจารณาจากจดตดกนของเสน อปสงคและเสนอปทานเมอพจารณาจากกราฟในเชงเรขาคณต

Qd = a – bP

Qs = -c + dP

Qd , Qs a

0 -c

dc

P

P

( P , Q )

Q = dQ = SQ

ba

Qd = a – bP

QS = -c + dP

Qd , Qs

a

0

-c P1 P

P

( P , Q ) Q = Q d= Q s


เนองจากเงอนไขดลยภาพของตลาดกคอ Q = Qd = Qs จงเขยนแบบจาลองของตลาดไดใหม ดงน Q = a - bP Q = -c + dP

แบบจาลองม 2 สมการ 2 ตวแปร ตามสมการ 5.2 ทาไดโดยการแทนคาสมการหนงในอกสมการหนงจะเหลอตวแปรเพยงตวแปรเดยวดงน

a - bP = -c + dP bP +dP = a + c (b + d)P = a + c

P = dbca

P หรอ Pหมายถง ราคาดลยภาพซงมคาเปนบวก เพราะคาพารามเตอรทง 4 คาของแบบจาลองมคาเปนบวก สาหรบการหาคาปรมาณดลยภาพ Q d = Q s หรอ Q ขนอยกบคา P โดยการแทนคาลงในสมการใดสมการหนงแตละสมการในสมการท 5.2 เชน แทนคา P ในฟงกชนอปสงค ดงน

Q = a - b

dbca

= )db(

)ca(b)db(a

=

dbbcad

เนองจาก คา Q ตองการเฉพาะคาบวก จงจะมความหมายทางเศรษฐศาสตร และ b + d มคาบวก ดงนน ad – bc ตองเปนคาบวกดวยเชนกน ดงนน ad > bc

ถาพจารณาตามภาพท 5.7 ทราบวาราคาดลยภาพ ( P ) และปรมาณดลยภาพ ( Q ) ของแบบจาลองตลาดสนคาจะอยทจดตดกนของเสนอปสงคและเสนอปทาน ซง P > 0 แสดงวาจดตดกนของเสนอปสงคและเสนอปทานจะตองอยเหนอแกนนอน ตวอยางท 5.1 กาหนดให Qd = f(P) และ Qs = f(P) ดงน

Qd = 100 - 5P Qs = -20 + 3P

จงหาราคาดลยภาพและปรมาณดลยภาพของตลาดสนคาชนดน วธทา กาหนดให ฟงกชนอปสงค Qd = 100 - 5P ฟงกชนอปทาน Qs = -20 + 3P

ตลาดอยในภาวะดลยภาพ ดงนน Qd = Qs ดงนน 100 – 5P = -20 + 3P

........ 5.2


8P = 120

P = 8120

= 15

ราคาดลยภาพของตลาด ( P ) = 15 หนวย แทนคา P ในฟงกชนอปสงค

Q = 100 – 5(15) = 100 – 75 = 25 ปรมาณดลยภาพของตลาด ( Q ) = 25 หนวย

ตวอยางท 5.2 จงวเคราะหดลยภาพสวนยอยของตลาดสนคาชนดหนง ซงมฟงกชนอปสงคและฟงกชนอปทาน ดงน

ฟงกชนอปสงค Qd + 4P - 24 = 0 ฟงกชนอปทาน Qs – 13P + 27 = 0

วธทา ในภาวะดลยภาพ Q = Qd = Qs ฟงกชนอปสงค Qd = 24 - 4P ฟงกชนอปทาน Qs = -27 + 13P ดงนน 24 – 4P = -27 + 13P 17P = 24 + 27 = 51

P = 1751

= 3

ราคาดลยภาพของตลาด ( P ) = 3 หนวย แทนคา P ในฟงกชนอปสงค

Qd = 24 - 4(3) = 12 ปรมาณดลยภาพของตลาด ( Q ) = 12 หนวย


5.1.2 กรณแบบจาลองไมใชเชงเสน (A nonlinear model) นอกจากแบบจาลองตลาดสนคาชนดเดยวจะประกอบดวยฟงกชนอปสงคและฟงกชนอปทาน เปนฟงกชน

เชงเสนแลว ฟงกชนอปสงคหรอฟงกชนอปทานหรอทง 2 ฟงกชน อาจมความสมพนธระหวางตวแปรในรปแบบอนทไมใชเชงเสน เชน ฟงกชนกาลงสอง (quadratic function) ฟงกชนพหนาม (polynomial function) เปนตน ความสมพนธระหวางราคาและปรมาณตองเปนไปตามเงอนไขของฟงกชนรปแบบนนๆ

ถาใหฟงกชนอปสงคเปนฟงกชนกาลงสอง แตฟงกชนอปทานยงคงเปนฟงกชนเชงเสน เชน แบบจาลองของตลาดเปนดงน

Qd = 4 - P2 Qs = 4P – 1 Qd = Qs การแกสมการเพอหาราคาและปรมาณในกรณนยงคงใชวธการเหมอนเดมกบกรณแบบจาลองเชงเสน โดย

การทาสมการใหเทากนไดดงน 4 – P2 = 4P – 1 หรอ P2 + 4P – 5 = 0 สมการทไดนเรยกวา สมการกาลงสอง นพจนทางดานซายของสมการจะเปนฟงกชนกาลงสองของ P

ดงนน ผลเฉลยทไดจากการแกระบบสมการดงกลาวจะได 2 คาตอบ 1) สมการกาลงสองและฟงกชนกาลงสอง ถาใหนพจนคอ P2 + 4P – 5 เรยกวา ฟงกชนกาลงสอง หรอ f(P) ซงอาจเขยนไดเปน

f(P) = P2 + 4P – 5 …….. 5.4 เมอแทนคา P ดวยคาตางๆ จะไดคา f(P) ตามตาราง เชน

P … -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 … f(P) … 7 0 -5 -8 -9 -8 -5 0 7 … เมอนาคาตางๆ เหลานไปเขยนกราฟ โดยกาหนดเปนคอนดบตามตาราง เชน (7, -6), (0, -5) , (-5, -4) จะไดกราฟพาราโบลาตามภาพท 5.8

........ 5.3


ภาพท 5.8 กราฟพาราโบลาของฟงกชน P2 + 4P – 5

จากสมการ P2 + 4P – 5 = 0 จะเหนวากาหนดให f(P) เทากบศนย และฟงกชนกาลงสองประกอบดวย ตวแปร P เพยงตวแปรเดยว เมอกาหนดคา P บางคาในฟงกชนกาลงสอง ผลเฉลยทไดจะไดกราฟพาราโบลาตามภาพท 5.8 และตดแกนตงท f(P) เปนศนย ซงคาผลเฉลยกคอคา P ททาให f(P) เปนศนย นนเอง บอยครงทคาผลเฉลย P นนหาไดจากรากทสองของสมการกาลงสอง f(P) = 0 หรอเปนคาททาให f(P) เปนศนย

จากภาพท 5.8 มจดตดแกน P 2 จดคอทจด (0, 1) และ (0, -5) สมาชกตวแรกของแตละคอนดบแสดงใหเหนวาเปนคาของ f(P) = 0 และสมาชกตวทสองของคอนดบแตละคอนดบคอคาผลเฉลยของ P ดงนนผลเฉลยจะม 2 คาตอบ คอ

1P = 1 และ 2P = -5 แตคาตอบแรกคอคาตอบทเปนไปไดในทางเศรษฐศาสตรกคอราคาจะเปนคาบวกแตไมมความหมายทเปน

คาลบ ราคาดลยภาพจงเทากบ 1 จากสมการ P2 + 4P – 5 = 0 สามารถหาผลเฉลยโดยวธเรขาคณตหรอเขยนกราฟ ตามทไดอธบายไปแลว

แตวธทสะดวกและงายกวาคอวธทางพชคณต ซงมรปแบบของสมการกาลงสองเปน ดงน ax2 + bx + c = 0 เมอ (a 0) …….. 5.5

สามารถหาคาไดจากสตรของสมการกาลงสอง ดงน

1x , 2x = a2

)ac4b(b 21

2 …….. 5.6


เมอ 1x คอ ผลเฉลยทไดจากคา + ของเครองหมาย 2x คอ ผลเฉลยทไดจากคา – ของเครองหมาย ดงนน สมการ P2 + 4P – 5 = 0 นาไปหาคาจากสมการ 5.6 ไดดงน แทนคาในสมการ 5.6 ดวย a = 1, b = 4, c = -5 และ x = P

1P , 2P = 2

)2016(4 21

= 264

= 1, -5 นอกจากวธการหาผลเฉลยดวยวธทางเรขาคณตหรอโดยกราฟตามทไดอธบายไปแลวดวยการกาจดตวแปร

Q เพอใหไดสมการกาลงสองของคา P เทานน แตถาตองการหาคา P และ Q ทเกยวเนองกนโดยกราฟ จะตองเขยนภาพกราฟโดยให Q อยบนแกนใดแกนหนง และ P อยบนแกนทเหลอเหมอนกบการเขยนภาพกราฟตามภาพท 5.6 หรอ 5.7 ในทน ไดแสดงใหเหนตามภาพท 5.9

D = P, Q Q = 4 – P2 S = P, Q Q = 4P - 1

ภาพท 5.9 กราฟของฟงกชน Qs = 4P – 1 และ Qd = 4 - P2

การหาผลเฉลยโดยการหาอนเตอรเซกชนของเซตของจดทเปนคอนดบ 2 เซต ดงน D S = (3, 1) , (-21, -5)

O

P

Qs, Qd

(3, 1)

1 2 3 4 -2 -1

2

1

Qd = 4 – P2 Qs = 4P - 1

-1

-2


คอนดบท 1 (3, 1) อยบนจตภาคท 1 และคอนดบท 2 ทไมไดเขยนกราฟ (-21, -5) อยบนจตภาคท 3 ถาคาตอบทตองการเปนโดเมนและเรนจทไมเปนคาลบ ดงนนคอนดบแรกจะเปนคาตอบทตองการ

2) สมการพหนามกาลงมากกวาสอง ถาระบบสมการเกยวเนองเปนสมการพหนามกาลงสาม (cubic polynomial equation) หรอกาลงส

(quartic polynomial equation) การแกระบบสมการทนยมใชคอการแยกเฟกเตอรของฟงกชน ตวอยางเชน นพจน x3–x2–4x+4 สามารถแยกเฟกเตอรได 3 เฟกเตอรคอ (x + 1) (x + 2) และ (x – 2) ดงนน ถาสมการกาลงสามเปนดงน x3 – x2 – 4x + 4 = 0 หรอ (x + 1) (x + 2) (x – 2) = 0 ผลเฉลยทางดานซายมอของสมการเปนศนย แสดงวาอยางนอยทสด หนงในสามพจนตองเปนศนย ถาใหแตละพจนเทากบศนย จะไดวา x + 1 = 0 หรอ x + 2 = 0 หรอ x – 2 = 0 ทง 3 สมการ จะไดวารากทสามของสมการกาลงสาม ดงน 1x = 1 2x = -2 และ 3x = 2 ดงนน เมอเปนสมการพหนามกาลง n ให f(x) = 0 จะไดรากท n ดงน ขนตอนแรก หาคาคงท c1 จากนน หาร f(x) ดวย (x + c1) ผลหารทไดกคอฟงกชนพหนามทมกาลงนอยกวา n อยหนง หรอกาลง n – 1 กาหนดใหเปน g(x) f(x) = (x + c1) g(x) ตอไป พยายามหาคาคงท c2 จากนน หาร g(x) ดวย (x + c2) ผลหารทไดกคอฟงกชนพหนามทมกาลง n - 2 กาหนดใหเปน h(x) g(x) = (x + c2) h(x) จะไดวา f(x) = (x + c1) g(x) = (x + c1)(x + c2) h(x) ทาซ าเชนนไปเรอยๆ จะลดกาลงของพหนามกาลง n ไดจานวน n พจน ดงน f(x) = (x + c1)(x + c2) … (x + cn) ถากาหนดให f(x) เทากบศนย จะไดผลเฉลยเทากบจานวนรากท n เชน เมอกาหนดใหเฟกเตอรแรกเทากบศนย เชน (x + c1) = 0 1x = - c1 ในทานองเดยวกนจะไดวา 2x = -c2 , 3x = -c3 … หรอเขยนผลเฉลยอยในลกษณะของดชนลาง ดงน ix = - ci (i = 1, 2, 3, …, n)


ตวอยางท 5.3 จงหาระดบราคาดลยภาพและปรมาณดลยภาพจากฟงกชนอปสงคและอปทานตอไปน Qd = 40 – 4P Qs = -4 + P2

วธทา เนองจาก Q = Qd = Qs 40 - 4P = -4 + P2 P2 + 4P – 44 = 0

เพราะวา 1x , 2x = a2

)ac4b(b 21

2

1P , 2P = )1(2

)]44)(1(416[4 21

= 2

)17616(4 21

1P = 4.93 2P = -8.92 แตคา P ใชเฉพาะคาทเปนบวก ดงนน P = 4.93 แทนคา P ในฟงกชนอปสงค

Q = 40 – 4(4.93) = 40 – 19.72 = 20.28 ดงนน ราคาดลยภาพ = 4.93 ปรมาณดลยภาพ = 20.28 ตวอยางท 5.4 จงหาดลยภาพของตลาดสนคาชนดหนง ถากาหนดใหฟงกชนอปสงคและฟงกชนอปทานเปนดงน

P + Q2 + 3Q - 20 = 0 และ P - 3Q2 + 10Q = 5

วธทา ฟงกชนอปสงค P + Q2 + 3Q - 20 = 0 ฟงกชนอปทาน P - 3Q2 + 10Q = 5 P = 3Q2 - 10Q + 5


แทนคา P ในฟงกชนอปสงค (3Q2 - 10Q + 5) + Q2 + 3Q – 20 = 0 4Q2 - 7Q – 15 = 0

จากสตรการหาคาของสมการกาลงสอง 1Q , 2Q = a2

)ac4b(b 21

2

เมอ a = 4 b = -7 c = -15

1Q , 2Q = )4(2

)]15)(4(4)7[()7( 21

2

= 8

)24049(7 21

= 8177

1Q = 824

= 3

และ 1Q = 810

= -1.25

แตเนองจากราคาดลยภาพและปรมาณดลยภาพตองเปนคาบวกเทานน ดงนนปรมาณดลยภาพจงเทากบ 3 หนวย แทนคา Q = 3 ในฟงกชนอปทาน

P = 3(3)2- 10(3) + 5 = 27 – 30 + 5 = 2 ดงนน ราคาดลยภาพเทากบ 2 หนวย 5.2 ดลยภาพทวไปของตลาดสนคา (General market equilibrium) การวเคราะหดลยภาพของตลาดทอธบายมาแลวนน เปนการพจารณาแบบจาลองของตลาดสนคาเพยงชนดเดยวจากฟงกชนอปสงคและฟงกชนอปทาน แตในสภาพทเปนจรง สนคาชนดตางๆ กนนนมความสมพนธในลกษณะของการใชทดแทนกนหรอใชประกอบกน ดงนนฟงกชนอปสงคและฟงกชนอปทานของสนคาจะมความเกยวของไมเฉพาะกบราคาสนคาทกาลงพจารณาเทานน แตยงเกยวของกบราคาสนคาอนๆ ทเกยวของดวย ดงนน ตวแปรราคาและตวแปรปรมาณของสนคาทเกยวของจะถกนามาพจารณาเปนตวแปรภายในของแบบจาลองดวย


ในกรณของการแยกตลาดสนคาชนดใดชนดหนงนน เงอนไขดลยภาพประกอบดวยสมการเดยวเทานนคอ Qd = Qs หรอ E Qd – Qs = 0 เมอ E คออปสงคสวนเกน แตในกรณทสนคาหลายชนดมความเกยวของขนแกกนจะพจารณาในลกษณะของความเกยวเนอง ดลยภาพจะเกดขนเมอไมมอปสงคสวนเกนของแตละสนคาและทกชนดของสนคาทเกยวของกนในแบบจาลองนน ถาสนคาชนดใดชนดหนงมอปสงคสวนเกน ราคาสนคาชนดนนจะถกปรบซงจะสงผลกระทบตอปรมาณอปสงคและปรมาณอปทานของสนคาอนๆ ดวย ทาใหเปนสาเหตของการเปลยนแปลงราคาสนคานนทงหมด เมอมการนาสนคา n ชนดมาพจารณารวมกนในตลาดสนคา n ชนดนน เงอนไขดลยภาพจะม n สมการ ในแตละสนคาจะมเงอนไขดงน

Ei Qdi – Qsi = 0 (i = 1, 2, 3, …, n) …….. 5.7 ในการหาผลเฉลยจะไดเซตของราคาดลยภาพ ( iP ) และปรมาณดลยภาพ ( iQ ) ซงสมการทงหมด n สมการในเงอนไขดลยภาพจะมความเกยวเนองกน 5.2.1 แบบจาลองตลาดสนคา 2 ชนด (Two-commodity market model) ในกรณนสมมตวาฟงกชนอปสงคและฟงกชนอปทานเปนฟงกชนเชงเสน เขยนในพจนของพารามเตอรซงมแบบจาลองดงน Qd1 – Qs1 = 0 ……. (1) Qd1 = a0 + a1P1 + a2P2 ……. (2) Qs1 = b0 + b1P1 + b2P2 ……. (3) Qd2 – Qs2 = 0 ……. (4) Qd2 = 0 + 1P1 + 2P2 ……. (5) Qs2 = 0 + 1P1 + 2P2 ……. (6) เมอ a, b เปนสมประสทธของฟงกชนอปสงคและฟงกชนอปทานของสนคาชนดแรก , เปนสมประสทธของฟงกชนอปสงคและฟงกชนอปทานของสนคาชนดทสอง ในกรณนยงไมไดกาหนดเครองหมายเฉพาะของคาสมประสทธแตในการวเคราะหจะใชเหตผลในทางเศรษฐศาสตรเปนตวกาหนด การหาคาตอบหรอผลเฉลยจากแบบจาลองนน สงแรกกคอตองมการกาจดตวแปรโดยแทนคาสมการท (2) และสมการท (3) ในสมการท (1) ของสมการ 5.8 ซงเปนของสนคาชนดแรก และสมการท (5) และสมการท (6) แทนในสมการท (4) ของสมการ 5.8 สาหรบสนคาชนดทสอง แบบจาลองกจะลดสมการลง 2 สมการใน 2 ตวแปร ดงน a0 + a1P1 + a2P2 = b0 + b1P1 + b2P2 (a0 - b0) + (a1 - b1)P1 + (a2 - b2)P2 = 0 …….. 5.9

......... 5.8


และ 0 + 1P1 + 2P2 = 0 + 1P1 + 2P2

(0 - 0) + (1 - 1)P1 + (2 - 2)P2 = 0 …….. 5.10 ทง 2 สมการจะประกอบดวยพารามเตอร 12 คา ถากาหนดให ci = (ai – bi) เมอ (i = 0, 1, 2) γ i = (i - i) แทนคาในสมการ 5.9 และสมการ 5.10 จากสมการ 5.9 c0 + c1P1 + c2P2 = 0 c1P1 + c2P2 = -c0 …….. 5.11 จากสมการ 5.10 γ 0 + γ 1P1 + γ 2P2 = 0 γ 1P1 + γ 2P2 = -γ 0 …….. 5.12

หาผลเฉลยโดยกาจดตวแปร จากสมการ 5.11 จะได P2 = 2

110

c]Pcc[

แลวนาไปแทนคาในสมการ 5.12 ไดดงน

1P = 1221

2002

ccccγγ

γγ

คา 1P อยในพจนทเปนพารามเตอรของแบบจาลอง โดยวธการเดยวกน ราคาดลยภาพของสนคาชนดท 2 หาไดดงน

2P = 1221

0110

ccccγγ

γγ

คา 1P และ 2P ทคานวณไดน จะตองเปนไปตามเงอนไขดงน 1. ตวสวนจะตองไมเทากบศนย เพราะถาเทากบศนยจะหาคาผลเฉลยไมได นนคอ 21c γ 12c γ 2. เพอใหผลเฉลยเปนคาบวกตวเศษจะตองมเครองหมายเหมอนกบตวสวนเมอคานวณหา 1P และ 2P ไดแลวกสามารถหาคา 1Q และ 2Q ได โดยแทนคา 1P และ 2P ในสมการ 5.8 ตวอยางท 5.5 กาหนดใหฟงกชนอปสงคและฟงกชนอปทาน เปนดงน Qd1 = 10 - 2P1 + P2 Qs1 = -2 + 3P1 Qd2 = 15 + P1 - P2 Qs2 = -1 + 2P2


จงหาดลยภาพของตลาดสนคาทง 2 ชนด วธทา กาหนดให ci = (ai – bi) γ i = (i - i) (i = 0, 1, 2) a0 = 10, a1 = -2, a2 = 1, b0 = -2, b1 = 3, b2 = 0 0 = 15, 1 = 1, 2 = -1, 0 = -1, 1 = 0, 2 = 2 ดงนน c0 = 10 – (-2) = 12 c1 = (-2) - 3 = -5 c2 = 1 – 0 = 1 γ 0 = 15 – (-1) = 16 γ 1 = 1 - 0 = 1 γ 2 = (-1) - 2 = -3

เพราะวา 1P = 1221

2002

ccccγγ

γγ

= )1)(1()3)(5(

)3(12)16(1

= 1153616

= 1452

2P = 1221

0110

ccccγγ

γγ

= 14

)16)(5()1(12 =

148012

= 1492

แทนคา 1P และ 2P ในฟงกชนอปสงค และฟงกชนอปทานของสนคา 2 ชนดได ดงน

1Q = -2 + 3

1452

= 14128

= 764

2Q = -1 + 2

1492

= 14170

= 785

นอกจากการใชสตรหาคาตอบแลว อาจจะใชวธการกาจดตวแปรทละตวออกจากสมการ แลวนาไปแทนคาในสมการเพอหาคาตอบเหมอนกบวธการหาสตรสาเรจสามารถทาไดเชนกน จาก Qd1 = Qs1 ดงนน 10 – 2P1 + P2 = -2 + 3P1 5P1 – P2 = 12 …….. 5.13 และ Qd2 = Qs2 ดงนน 15 + P1 - P2 = -1 + 2P2

-P1 + 3P2 = 16


นา 5 คณสมการนทงซายและขวา -5P1 + 15P2 = 80 …….. 5.14 บวกสมการ 5.13 กบ สมการ 5.14 14P2 = 92

2P = 1492

แทน P2 ในสมการ 5.13

5P1 - 1492

= 12

5P1 = 12 + 1492

1P = 514

260

= 1452

แทน P1 ในฟงกชนอปทาน

Qs1 = -2 + 3P1 = -2 + 3

1452

= 14128

1Q = 764

แทน P2 ในฟงกชนอปทาน

Qs2 = -1 + 2P2 = -1 + 2

1492

2Q = 785

5.2.2 แบบจาลองตลาดสนคา n ชนด ดลยภาพสวนยอย (partial equilibrium) ทอธบายในสวนแรกนน เปนการวเคราะหโดยกาหนดใหปจจยอนๆ คงท แตพจารณาเฉพาะราคาสนคาชนดหนงเทานนทมการเปลยนแปลง ตอมามการอธบายถงตลาดสนคาหลายชนด โดยเรมจากตลาดสนคา 2 ชนด การวเคราะหดลยภาพจะเรยกวาเปนการวเคราะหดลยภาพทวไป และเมอเพมจานวนสนคามากชนดเขาไปในแบบจาลอง กจะมตวแปรมากขน รวมถงสมการกมากขนและซบซอนมากขนดวย ถารวมสนคาทงหมดในระบบเศรษฐกจในแบบจาลองตลาดกจะไดแบบจาลองดลยภาพทวไป ซงอปสงคสวนเกนของทกๆ ชนดสนคาจะถกกาหนดในรปของฟงกชนของราคาสนคาทงหมดในระบบเศรษฐกจนน


ราคาสนคาบางชนด อาจจะมคาสมประสทธเปนศนย เมอเปนสนคาทไมไดถกกาหนดในอปสงคสวนเกน เชน ในฟงกชนอปสงคสวนเกนของสนคาเปยโน ราคาสนคาของขนมปงอาจจะมคาสมประสทธเปนศนย ดงนนในรปแบบทวไป ของสนคา n ชนด อาจจะกาหนดฟงกชนอปสงคและฟงกชนอปทานเปนดงน (ใช Qdi และ Qsi เปนสญลกษณของฟงกชนแทน f และ g) Qdi = Qdi (P1,P2, …, Pn) Qsi = Qsi (P1,P2, …, Pn) (เมอ i = 1, 2, …, n) Qd มทงหมด n สมการ และ Qs มทงหมด n สมการ เพราะฉะนนในแบบจาลองจะประกอบดวย 2n สมการ โดยทฟงกชนเหลานนไมจาเปนตองเปนฟงกชนเชงเสน อยางไรกตาม เงอนไขดลยภาพประกอบดวยเซตของ n สมการ คอ Qdi – Qsi = 0 (i = 1, 2, 3, …, n) …….. 5.16 เมอรวมสมการ 5.1.6 ในแบบจาลอง จงทาใหแบบจาลองสมบรณ และมสมการรวมทงสน 3n สมการ เมอแทนสมการ 5.1.5 ลงใน 5.1.6 แบบจาลองจะลดเซตของสมการเกยวเนองเหลอเพยง n สมการเทานน คอ Qdi (P1,P2, …, Pn) – Qsi (P1,P2, …, Pn) = 0 (i = 1, 2, 3, …, n)

ซงกคอ Ei Qdi – Qsi เมอ Ei คอ ฟงกชนของราคาสนคา n ชนด ดงนนจงเขยนสมการขางบนไดใหมเปน Ei (P1,P2, …, Pn) = 0 (i = 1, 2, 3, …, n)

การแกปญหาของสมการเกยวเนอง n สมการ จะสามารถหาราคาดลยภาพได n คา ( iP ) จากนนจงหาคา

iQ จากฟงกชนอปสงคหรอฟงกชนอปทาน 5.2.3 ผลเฉลยของระบบสมการทวไป ถาแบบจาลองประกอบดวยคาสมประสทธทเปนตวเลข เชน สมการตามตวอยางท 5.5 คาดลยภาพของ ตวแปรจะเปนคาตวเลขดวยเชนกน แตในรปแบบทวๆ ไป แลวถาแบบจาลองกาหนดอยในพจนคาพารามเตอร คาดลยภาพจะเกยวของกบพารามเตอรนนๆ เหมอนกบดงทแสดงใหเหนในตลาดสนคา 2 ชนด ในกรณแบบจาลองฟงกชนทวไปทม m พารามเตอร (a1, a2, ..., am) (m ไมจาเปนตองเทากบ n) ราคา ดลยภาพ n คา สามารถหาไดจากรปแบบดงน iP = iP (a1, a2, ..., am) (i = 1, 2, 3, …, n) ........ 5.17 ขอความสญลกษณทแสดงใหเหนนแสดงวาคาผลเฉลยของแตละตวแปร (เชน ราคา) เปนฟงกชนของเซตของพารามเตอรทงหมดของแบบจาลอง ซงกคอขอความในรปแบบทวไปทไมไดใหรายละเอยดเกยวกบผลเฉลยนน การเขยนผลเฉลยทงาย อยางหนงกคอ ผลเฉลยตามสมการ 5.17 สามารถเขยนแจกแจงรายละเอยดได ถา ผลเฉลยมคาตอบทเปนคาตอบเดยว (unique) ดงนนจงสามารถจดกระทาอนดบ m อนดบ (a1, a2, ..., am) ในคาของ

........ 5.15


iP แตละคาได อยางไรกตามการนบจานวนสมการและจานวนตวแปรทไมทราบคาวาจะตองเทากนนนกไมไดเปนหลกประกนไดวาผลเฉลยจะเปนคาตอบเดยว (unique) เชน ใหพจารณาระบบสมการเกยวเนอง 3 ระบบสมการดงน 1. x + y = 18 x + y = 9 2. 2x + y = 12 4x + 2y = 24 3. 2x + 3y = 58 y = 18 x + y = 20 สาหรบระบบสมการท 1 ตวแปรทไมทราบคา 2 ตวแปร มความเกยวของกนใน 2 สมการ ซงไมสามารถหาผลเฉลยได เนองจาก 2 สมการน ไมสอดคลองกน (inconsistent) เพราะถาผลรวมของ x และ y เทากบ 18 แลวจะเปนไปไมไดทใหผลรวมเทากบ 9 ในเวลาเดยวกน สาหรบระบบสมการท 2 ม 2 ตวแปร 2 สมการ ซงทง 2 สมการ เปนฟงกชนทขนตอกน ซงหมายความวา หนงใน 2 สมการนน สามารถหาไดจากอกสมการหนง จากตวอยางแสดงวาสมการท 2 จะเปน2 เทาของสมการแรก สามารถตดสมการหนงออกจากระบบสมการไดโดยจะเหลอสมการเดยวทม 2 ตวแปร ในกรณนผลเฉลยอยในรปของสมการ y = 12 – 2x ผลเฉลยทไดจะไมเปนคอนดบทมคาเดยว ( x , y ) แตมจานวนทนบไมได เชน (0, 12) , (1, 10) , (2, 8) เปนตน สาหรบระบบสมการท 3 จะมจานวนสมการมากกวาจานวนตวแปร จะไดคอนดบ (2, 18) เปนคาตอบทมเพยงคาเดยว เหตผลกคอมฟงกชนทขนแกกนจากสมการทกาหนดใหนนคอสมการแรกเทากบสมการท 2 บวกกบ 2 เทาของสมการท 3 จงทาใหมฟงกชนทเปนอสระตอกน 2 ฟงกชน ซงประกอบดวยสมการทม 2 ตวแปร จากตวอยางเหลานสงสาคญกคอ ความสอดคลองกน (consistency) และฟงกชนทเปนอสระตอกน ซงเปนสงสาคญทตองพจารณากอนทมการนบจานวนสมการและจานวนตวแปรทไมทราบคา รวมถงไมมสมการทมากเกนความจาเปน จากตวอยางกรณสนคา n ชนด ตามสมการ 5.15 มฟงกชนอปสงค n ฟงกชน ฟงกชนอปทาน n ฟงกชน ตองสมมตวาเปนอสระตอกน แตละฟงกชนสามารถหาไดจากแหลงอนๆ เชน แตละฟงกชนอปสงค มาจากกลมผบรโภค และแตละฟงกชนอปทานมาจากกลมผผลต ดงนนแตละฟงกชนจงใชอธบายแตละสถานภาพของแตละตลาด เปนตน ไมมฟงกชนทมากเกนจาเปน และมความสอดคลองกน สมการเงอนไขดลยภาพตามสมการ 5.16 มความเปนอสระ ดงนน ผลเฉลยจากการวเคราะหทเขยนในรปแบบสมการ 5.17 สามารถใชเปนรปแบบทวไปได สาหรบแบบจาลองสมการเกยวเนอง มวธการทดสอบทเปนระบบททาใหเชอไดวาผลเฉลยมเพยงคาเดยว สวนการหาผลเฉลยสาหรบแบบจาลองเชงเสน นาแนวคดของดเทอรมแนนตมาประยกตใช ในกรณของแบบจาลองไมใชเชงเสนกสามารถนาความรเกยวกบอนพนธยอยและจาโคเบยนดเทอรมแนนตมาใชในการหาผลเฉลยไดเชนกน


5.3 ดลยภาพของรายไดประชาชาต (Equilibrium in National – Income) จากการวเคราะหเชงสถตยทผานมาจะพบขอจากดหลายอยางในการวเคราะหแบบจาลองตลาดท ง

แบบจาลองเชงเสน และไมใชเชงเสน สนคา 1 ชนดและสนคาหลายชนด แตอยางไรกตามการวเคราะหเชงสถตยกยงสามารถนาไปใชในการวเคราะหดานอนๆ ไดอก ในบทนจะเปนการวเคราะหถงดลยภาพของรายไดประชาชาตทเรยกวาแบบจาลองรายไดประชาชาตของเคนส กาหนดใหแบบจาลองเปนดงน Y = C + I0 + G0 …….. 5.18 C = a + bY (a > 0, 0 < b < 1) …….. 5.19 เมอ Y และ C เปนตวแปรภายในของแบบจาลอง โดย Y หมายถง รายไดประชาชาต และ C

หมายถง คาใชจายในการบรโภค I0 และ G0 เปนตวแปรภายนอก โดย I0 หมายถง การลงทนโดยอสระ และ G0 หมายถง

คาใชจายของรฐ สมการ 5.18 เปนเงอนไขดลยภาพ (รายไดประชาชาต = คาใชจายทงหมด) สมการ 5.19 เปนฟงกชนการบรโภค ซงเปนสมการแสดงพฤตกรรม มพารามเตอร 2 คา คอ a และ b โดยท a

หมายถง คาใชจายในการบรโภคโดยอสระเมอไมมรายได และ b หมายถง ความโนมเอยงสวนเพมในการบรโภค หรอ MPC

เพอความชดเจนในการวเคราะห ทง 2 สมการ ทมตวแปรภายใน 2 ตวแปร ซงเปนฟงกชนทเปนอสระตอกน และมความสอดคลองกน ดงนนจงสามารถหาคาดลยภาพของรายไดประชาชาตและคาใชจายในการบรโภคได ( Y และ C ) ซงทง 2 คาน จะหาคาไดในพจนของพารามเตอร a และ b และตวแปรภายนอก I0 และ G0

การหาผลเฉลยสามารถทาไดโดยแทนคาสมการ 5.19 ในสมการ 5.18 ทาใหเหลอสมการเดยวและมตวแปรเพยงตวเดยวคอ Y ดงน

Y = (a + bY) + I0 + G0 หรอ (1 – b)Y = a + I0 + G0 ดงนนจะไดผลเฉลยซงเปนคาของ Y (รายไดประชาชาตดลยภาพ) ดงน

Y = )b1(GIa 00

........ 5.20

จะสงเกตไดวา ผลเฉลยจะอยในพจนของพารามเตอร (a, b) และตวแปรภายนอก (I0 , G0) ทเปนขอมล ทกาหนดใหในแบบจาลอง นาคา Y ทไดนไปแทนคาลงในสมการ 5.19 กจะไดระดบดลยภาพของคาใชจายในการบรโภค ดงน


C = a + b Y

= a + b)b1(

)GIa( 00

= )b1(

)GIa(b)b1(a 00

= )b1(

)GI(ba 00

…….. 5.21

ทง Y และ C มนพจน (1-b) เปนตวสวน ดงนนขอจากดกคอ b ตองไมเทากบ 1 (b 1) เพอหลกเลยงทจะใหตวหารเปนศนย ซงจะทาใหหาคา Y , C ไมได สาหรบคา b หรอ ความโนมเอยงสวนเพมในการบรโภค ตองมคาเปนเศษสวนและเปนบวก ซงเปนขอจากด ทจะทาให Y และ C หาคาได สาหรบ Y และ C ตองเปนคาบวก ดงนนตวสวนในสมการ 5.20 และ 5.21 ตองเปนบวก ซงโดยปกตแลวตวแปรภายนอก I0 และ G0 เปนบวกเหมอนกบพารามเตอร a (ซงกคอสวนตดแกนตงของฟงกชนการบรโภค) เครองหมายของตวสวนของนพจนจงจะสามารถหาคาไดเชนกน การตรวจสอบการคานวณ จะทาไดโดยบวกนพจน C ทคานวณไดจากสมการ 5.21 ดวย (I0 + G0) และพจารณาผลรวมวาเทากบนพจน Y ตามสมการ 5.20 ทคานวณไดหรอไม ถาตรงกนกแสดงวา C และ Y ทคานวณได เปนเงอนไขดลยภาพและมความตรงของคาตอบ แบบจาลองรายไดประชาชาตทแสดงมานมความชดเจนและเปนแบบจาลองทธรรมดามากทสด แตในแบบจาลองรายไดประชาชาตอนๆ จะมความแตกตางกนไปตามระดบของความซบซอน แตกสามารถทจะหา ดลยภาพไดโดยใชหลกการเกยวกบโครงสรางของแบบจาลองและการวเคราะหแบบจาลองทไดอธบายไปแลว ตวอยางท 5.6 กาหนดใหระบบเศรษฐกจประกอบดวยภาคการบรโภค และภาคการลงทน ดงน Y = C + I และ C = a + bY โดยท a = 85 b = 0.9 และ I0 = 55

จงคานวณหาระดบรายไดดลยภาพทอยในพจนพารามเตอรของรปแบบทวไป และคาเฉพาะทกาหนดใหขางตนน วธทา สมการดลยภาพ คอ Y = C + I เนองจาก C คอ คาใชจายในการบรโภค และ I คอการลงทนโดยอสระ (I0)


แทนคา C และ I0 ในสมการดลยภาพ Y = a + bY + I0 Y – bY = a + I0 (1 – b)Y = a + I0

Y = b1Ia 0

หาคาเฉพาะตามทกาหนดคาใหโดยทาได 2 วธคอ 1. แทนคาในสมการดลยภาพดงน Y = 85 + 0.9(Y) + 55 Y – 0.9Y = 140 0.1Y = 140

Y = 1.0140

= 1400

2. แทนคาในผลเฉลยทไดจาก

Y = b1Ia 0

Y = )9.01(5585

= 1.0140

= 1400

ตวอยางท 5.7 กาหนดให Y = C + I + G C = a + bY I = I0 และ G = G0 เมอ a = 135 b = 0.8 I0 = 75 และ G0 = 30 จงหา 1. สมการระดบรายไดดลยภาพ 2. หาคาระดบรายไดดลยภาพ วธทา จากสมการดลยภาพ Y = C + I + G แทนคา C, I และ G ในสมการดลยภาพ Y = a + bY + I0 + G0


(1 – b)Y = a + I0 + G0

Y = )b1(GIa 00

แทนคา a = 135 b = 0.8 I0 = 75 และ G0 = 30

Y = )8.01(3075135

= 2.0

240 = 1200

5.4 การประยกตใชเมทรกซในการวเคราะหทางเศรษฐศาสตร 5.4.1 แบบจาลองตลาดทวไป

แบบจาลองตลาดทวไปสาหรบสนคา 2 ชนด ทไดอธบายไปแลวในกรณทใชวธการกาจดตวแปรเชงปรมาณ และไดระบบสมการเชงเสน 2 สมการ (สมการ 5.11 และสมการ 5.12) ดงน c1P1 + c2P2 = -c0 γ 1P1 + γ 2P2 = -γ 0

การวเคราะหอกวธการหนง กคอการแกระบบสมการโดยใชเมทรกซ ซงตองหาดเทอรมแนนต 3 คาเพอแกระบบสมการดงกลาวโดยวธของคราเมอร คอ A , 1A , 2A ซงมคาดงน

A = 21

21 cc

γγ = c1γ 2 – c2γ 1

1A = 20

20 cc

γγ

= -c0γ 2 + c2γ 0

2A = 01

01 cc

γγ

= -c1γ 0 + c0γ 1

ดงนน ราคาดลยภาพ คานวณไดดงน

1P = AA1 =

1221

0220

ccccγγ

γγ

2P = AA 2 =

1221

1001

ccccγγ

γγ

ดงนนราคาดลยภาพทคานวณไดน กคอ P1 = 1P และ P2 = 2P ซงนาคาราคาดลยภาพนไปแทนคาในฟงกชนอปสงคหรอฟงกชนอปทาน กจะสามารถคานวณหาปรมาณดลยภาพได


5.4.2 แบบจาลองรายไดประชาชาต แบบจาลองรายไดประชาชาตอยางงายทอธบายไปแลวกอนหนาน สามารถแกปญหาไดโดยใชกฎของ

คราเมอร เมอกาหนดแบบจาลองใหซงประกอบดวยสมการเกยวเนองดงน Y = C + I0 + G0 C = a + bY (a > 0, 0 < b < 1)

จดรปสมการใหมใหอยในรปแบบของนพจนของตวแปรภายในอยทางดานซายมอและตวแปรภายนอกหรอพารามเตอรอยทางดานขวามอ ดงน Y - C = I0 + G0 -bY + C = a

A คอ เมทรกซสมประสทธของตวแปร คอ

1b

11

d คอ เวกเตอรสดมภของคาคงท คอ

a

GI 00

x คอ เวกเตอรสดมภของตวแปร คอ

C

Y

จากกฎของคราเมอร จะไดวา A =

1b

11 = 1 - b

1A = 1a

1GI 00 = (I0 + G0) + a

2A = ab

GI1 00

= a + b(I0 + G0)

Y = AA1 =

b1a)GI( 00

C = AA 2 =

b1)GI(ba 00


นอกจากใชวธตามกฎของคราเมอรแลว ยงสามารถใชวธการหาเมทรกซผกผนของเมทรกซสมประสทธซงในทน

เมทรกซสมประสทธ คอ A =

1b

11

เมอ A 0 เพอตรวจสอบวา A เปนเมทรกซไมใชเอกฐาน หาโคเฟกเตอรเมทรกซของเมทรกซ A ไดดงน c11 = (-1)1+1 (1) = 1 c12 = (-1)1+2 (-b) = b c21 = (-1)2+1 (-1) = 1 c22 = (-1)2+2 (1) = 1

ดงนน โคเฟกเตอรเมทรกซ คอ C =

11

b1

หาเมทรกซผกพน (Adj A) โดยการสลบเปลยนโคเฟกเตอรเมทรกซไดดงน

Adj A =

1b

11

จากนน จงหาเมทรกซผกผน (A-1) จากสตรดงน

A-1 = A1

Adj A = )b1(

1

1b

11

เนองจากระบบสมการ Ax = d ผลเฉลยสามารถหาไดจาก x = A-1d

ดงนน

C

Y =

)b1(1

1b

11

a

GI 00

= )b1(

1

a)GI(b

aGI

00

00

Y = b1

aGI 00

C = b1

a)GI(b 00


5.4.3 แบบจาลอง IS-LM: ระบบเศรษฐกจแบบปด แบบจาลองเชงเสนของระบบเศรษฐกจ สามารถแบงออกเปน 2 ภาค คอ ภาคสนคาทแทจรงและ

ภาคการเงน โดยทตลาดสนคาจะเกยวของกบสมการตอไปน Y = C + I + G C = a + b(1-t) Y I = d – ei G = G0

ตวแปรภายใน คอ Y, C, I และ i (เมอ i คออตราดอกเบย) ตวแปรภายนอก คอ G0 สวน a, b, c, d และ t คอ พารามเตอร

สาหรบตลาดเงน จะเกยวของสมการตอไปน เงอนไขดลยภาพ : Md = Ms

อปสงคของเงน : Md = kY - i อปทานของเงน : Ms = M0

เมอ M0 คอ สตอกของเงนซงเปนตวแปรภายนอก k และ คอ พารามเตอร ทง 3 สมการสามารถเขยนรวมกนไดดงน

M0 = kY - i เมอรวมทง 2 ภาค จะไดระบบสมการ ดงน

Y – C – I = G0 b(1-t)Y – C = -a

I + ei = d

kY + i = M0 จากระบบสมการดงกลาว สามารถเขยนอยในรปแบบเมทรกซ คอ

00k

e100

001)t1(b

0111

i

I

C

Y

=

0

0

M

d

a

G


หาดเทอรมแนนตของเมทรกซสมประสทธโดยสามารถใชการกระจายของลาปลาส ไดดงน

A = (-e)

00k

01)t1(b

111

-

100

01)t1(b

111

= (-e)(k) 01

11

- 1)t1(b

11

= ek - [(-1) – (-1) b (1-t)]

= ek + [1 – b(1-t)] ใชกฎของคราเมอรหารายไดดลยภาพ Y โดยการแทนทสดมภแรกของเมทรกซสมประสทธ A ดวย

เวกเตอรของตวแปรภายนอก และหาอตราสวนของดเทอรมแนนตของเมทรกซใหมกบดเทอรมแนนตเดม ดงน

Y = AA 1 =

)]t1(b1[ek

00M

e10d

001a

011G

0

0

ใชการกระจายของลาปลาสกบสดมภทสองของคาทเปนตวเศษ

Y = )]t1(b1[ek

0M

e1d

00a

)1)(1(

0

3

+

)]t1(b1[ek

0M

e1d

01G

)1)(1(

0

0

4

= )]t1(b1[ek

0M

e1d

01G

0M

e1d

00a

0

0

0

ใชการกระจายตอจะไดวา


Y = )]t1(b1[ek

M

0G)1(

M

ed)1)(1(

M

0a)1(

0

04

0

3

0

= )]t1(b1[ek

)(G]eM)(d[a 00

= )]t1(b1[ek

eM)Gda( 00

ผลเฉลย Y เปนเชงเสนเมอเทยบกบตวแปรภายนอก ซงสามารถเขยนใหมไดดงน

Y =

)]t1(b1[eke

M0 +

)]t1(b1[ek

(a + d + G0)

จากการเขยนอยในรปแบบนจะเหนวา ตวทวนโยบายเคนส (Keynesian policy multipliers) เมอเทยบกบอปทานของเงน และการใชจายของภาครฐ กคอสมประสทธของ M0 และ G0 นนคอ

ตวทวอปทานของเงน หรอ )]t1(b1[ek

e

และ ตวทวการใชจายภาครฐ หรอ )]t1(b1[ek

5.4.4 แบบจาลองปจจย-ผลผลตของลอองเทยฟ (Leon Tief input-output models) 1) โครงสรางของแบบจาลองปจจย-ผลผลต การวเคราะหปจจย-ผลผลตของลอองเทยฟ มแนวคดหลกเพอตองการตอบคาถามวาในแตละ

อตสาหกรรมทงหมด n อตสาหกรรม ทผลตสนคาในระบบเศรษฐกจสามารถผลตผลผลตทจะนาไปเปนปจจยการผลตไดในจานวนเทาไรจงพอเพยงตอความตองการทงหมดทจะนาไปผลตเปนผลผลต เชน อตสาหกรรมผลตเหลก เหลกทผลตไดถกนาไปใชเปนปจจยการผลตในอตสาหกรรมอนๆ หรอแมแตเปนปจจยการผลตของอตสาหกรรมผลตเหลกเอง ดงนน ระดบผลผลตเหลก หรอ เรยกวา correct level ทผลตจะขนอยกบความตองการใชเปนปจจยการผลตใน n อตสาหกรรมท งหมด ในทางกลบกนผลผลตจากอตสาหกรรมอนๆ กจะไปเปนปจจยการผลตของอตสาหกรรมเหลกดวย กลาวคอ correct level ของผลผลตอนๆ กจะขนอยกบความตองการปจจยการผลตบางสวนของอตสาหกรรมเหลกดวย จงกลาวไดวา ทงหมดเปนอตสาหกรรมทขนแกกนและกน

แบบจาลองปจจย-ผลผลตไดถกนามาใชในกรอบการทางานสาหรบการวางแผนการผลตของอตสาหกรรมตางๆ จานวนมากในระบบเศรษฐกจ เชน นาไปใชในการวางแผนพฒนาเศรษฐกจของประเทศ เปนตน โดยมการกาหนดสมมตฐาน ดงน


(1) แตละอตสาหกรรมผลตสนคาเพยงชนดเดยวและสนคาน นมลกษณะเหมอนกนทกประการ (homogeneous commodity) รวมถงอตสาหกรรมทมการผลตสนคาหลายชนดรวมกน แตมสดสวนของการผลตสนคาแตละชนดทคงท แตถาเปนการผลตสนคาทไมใชสนคารวมกนหรอมสดสวนไมคงทจะถอวาไมใชอตสาหกรรมเดยวกน

(2) แตละอตสาหกรรมจะใชปจจยการผลตในอตราสวนคงทสาหรบการผลตสนคานน (3) การผลตในทกๆ อตสาหกรรมเปนการผลตทมผลไดตอขนาดคงท (constant return to scale) ซงก

คออตราการใชปจจยการผลตทเพมขนจะทาใหผลผลตเพมขนในอตราเดยวกน ขอสมมตฐานเหลานอาจจะไมสอดคลองกบสภาพเปนจรง เชน อตสาหกรรมทมการผลตสนคา 2 ชนด หรอใชปจจยการผลตรวมกนทเปนไปไดแตกตางกน 2 ชนด เพอใหเปนไปตามขอสมมตฐานน อตสาหกรรมนนตองแบงออกเปน 2 อตสาหกรรม สาหรบการผลตสนคาแตละหนวยของสนคาชนดท j ตองการปจจยการผลตทเปนสนคาชนดท i จานวนทคงทแนนอนจานวนหนงจะใชสญลกษณ aij ดงนนการผลตสนคาแตละหนวยของสนคาชนดท j จะตองการปจจยการผลตทเปนสนคาท i จานวน a1j สนคาชนดท 2 จานวน a2j และสนคาชนดท n จานวน anj (ดชนลางของ aij จะชวยใหเขาใจมากขนเพราะดชนลางตวแรก หมายถงปจจยการผลตดชนลางตวท 2 หมายถงผลผลต ดงนน aij จงหมายถง สนคาชนดท i ถกนาไปใชเปนปจจยการผลตสาหรบการผลตของแตละหนวยของสนคาท j) ในทนถาสมมตวาเปนราคาโดยกาหนดใหมลคาของสนคาแตละชนดหนวยละ 1 บาท เชน a32 = 0.35 หมายถง สนคาชนดท 3 มลคา 35 สตางค ถกนาไปใชเปนปจจยการผลตของสนคาชนดท 2 ทมมลคา 1 บาท สญลกษณ aij จงหมายถงสมประสทธปจจยการผลต (input coefficient) สาหรบระบบเศรษฐกจทม n อตสาหกรรม สมประสทธปจจยการผลตสามารถเขยนใหอยในรปแบบของเมทรกซ A = [aij] ตามตารางท 5.1 ซงแตละสดมภ หมายถง อตสาหกรรมทผลตสนคาตองการปจจยการผลตมาผลตสนคา 1 หนวย ตวอยางเชน สดมภท 2 หมายถงการผลตสนคาชนดท 2 จานวน 1 หนวย (มลคา 1 บาท) ตองการปจจยการผลตทเปนสนคาชนดท 1 จานวน a12 ใชสนคาชนดท 2 เปนปจจยการผลตจานวน a22 เปนตน ถาอตสาหกรรมใดไมไดใชสนคาของตนเองเปนปจจยการผลต สมาชกในแนวทแยงมมหลกของเมทรกซ A จะเปนศนย


ตารางท 5.1 เมทรกซสมประสทธปจจยการผลต ปจจยการผลต

(Input) การผลต (output)

1 2 3 n 1

nn3n2n1n

n3333231

n2232221

n1131211

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

2

3

n

2) แบบจาลองระบบเปด (the open model) แบบจาลองระบบเปดเปนแบบจาลองทนอกจากจะมอตสาหกรรมตางๆ ในระบบจานวน n

อตสาหกรรมทถอวาเปนภาคภายใน (endogenous sector) ของแบบจาลองแลวยงมภาค เปดหรอ open sector (เชน ครวเรอน) ซงถอวาเปนภาคภายนอก (exogenous sector) ทตองการผลผลตขนสดทาย (final demand) ของแตละอตสาหกรรมไปบรโภค (ไมใชความตองการใชเปนปจจยการผลต) และขณะเดยวกนภาคครวเรอนกเปนแหลงอปทานปจจยการผลตขนตน (primary input) เชน แรงงาน บรการ เปนตน ซงนาไปเปนปจจยการผลตใหแก n อตสาหกรรม

แบบจาลองระบบเปดน ผลรวมของสมาชกในแตละสดมภของเมทรกซสมประสทธปจจยการผลต A (หรอ เมทรกซปจจยการผลต A) ตองนอยกวา 1 เพราะผลรวมของแตละสดมภจะเปนตนทนปจจยการผลตบางสวน (partial input cost) ทไมรวมตนทนปจจยการผลตขนตน แตถาผลรวมของแตละสดมภมากกวาหรอเทากบ 1 แสดงวาการผลตจะขาดทนหรอไมมรายรบเพยงพอตามลาดบ ซงไมสมเหตผลในเชงเศรษฐศาสตร ใชสญลกษณดงน

1an

1iij

(j = 1, 2, …, n)

หมายถงผลรวมทกแถวตงแตแถวท 1 ถงแถวท n เฉพาะสดมภท j ตองนอยกวา 1 ถาการผลตสนคาในสดมภใดสดมภหนงมมลคาของผลผลตเปน 1 บาท และถกใชจายไปยงปจจยการผลตตางๆ ทงหมด จานวนมลคา ททาใหผลรวมของสดมภทนอยกวา 1 นน หมายถง ไดถกนาไปใชจายเปนปจจยการผลตขนตน แกภาคเปด ดงนน มลคาของปจจยการผลตขนตนทใชในการผลตสนคาชนดท j หรออตสาหกรรมท j (มลคา 1 บาท) จะเทากบ

1 -

n

1iija


ถาอตสาหกรรมท 1 ทาการผลตสนคาจานวน x1 ผลผลตทไดนจะเพยงพอตอความตองการของ n อตสาหกรรมทจะนาไปใชเปนปจจยการผลต รวมถงเปนความตองการสนคาขนสดทายของภาคทเปดดวยเขยนเปนสมการไดดงน x1 = a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn + d1 หรอ (1 - a11) x1 - a12 x2 - ... - a1n xn = d1 เมอ d1 แทน ความตองการเปนสนคาขนสดทายในผลผลตท 1 สาหรบภาคเปด a1jxj แทน ความตองการผลผลตท 1 ใชเปนปจจยการผลตของอตสาหกรรมท j จะสงเกตไดวาในสมการสดทาย นอกจากสมประสทธตวแรก (1 - a11) แลว สมประสทธตวอนๆ จะยงคงเดมเหมอนสมการแรก เพยงแตมการเปลยนแปลงเครองหมายหนาสมประสทธเปนลบ ในทานองเดยวกน อตสาหกรรมท 2 จะมคาสมประสทธเขยนเปนสมการไดดงน -a21x1 + (1 – a22)x2 - ... – a2nxn = d2 ดงนนใน n อตสาหกรรม ปรมาณผลผลตทตองการในแตละอตสาหกรรมเขยนเปนระบบสมการเชงเสน n สมการไดดงน (1 - a11) x1 - a12 x2 ... - a1n xn = d1 -a21x1 + (1 – a22)x2 ... – a2nxn = d2

-an1x1 – an2x2 - ... + (1 – ann)xn = dn เขยนใหอยในรปเมทรกซไดดงน

)a1(aa

a)a1(a

aa)a1(

nn2n1n

n22221

n11211

n

2

1

x

x

x

=

n

2

1

d

d

d

ถาเขยนเมทรกซสมประสทธใหม โดยใหคาของเมทรกซยงคงเดม ทาไดโดยนาเอาเมทรกซเอกลกษณ (In) ลบดวยเมทรกซ A ไดดงน


100

010

001

–

nn2n1n

n22221

n11211

aa

aaa

aaa

= I - A

ดงนนเขยนใหมไดดงน (I – A) x = d เมอ x เปน เวกเตอรตวแปร d เปน เวกเตอรความตองการสนคาขนสดทาย เมทรกซ (I – A) เรยกวา เมทรกซเทคโนโลย (Technology matrix) หรอลอองเทยฟเมทรกซ (Leontief matrix) ซงจะใชสญลกษณ T แทน สามารถเขยนไดเปน Tx = d ถา T เปนเมทรกซไมใชเอกฐาน จะสามารถหาเมทรกซผกผนของเมทรกซ T ได (T-1) และจะสามารถหา ผลเฉลยของระบบสมการได ดงน x = (T-1)d หรอ = (I – A)-1 d และเรยก (I – A)-1 วา ตวผกผนลอองเทยฟ (Leontief inverse) ตวอยางท 5.8 กาหนดใหระบบเศรษฐกจหนงประกอบดวย 3 อตสาหกรรม และมเมทรกซสมประสทธปจจยการผลต ดงน

A =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

=

2.03.01.0

2.01.04.0

2.03.02.0

และมเวกเตอรความตองการสนคาขนสดทายมหนวยเปนลานบาท ดงน

d =

6

5

10

จงหาวา แตละอตสาหกรรมจะตองผลตสนคามลคาเทาใด ใหวเคราะหโดยใชแบบจาลองปจจย-ผลผลตของลอองเทยฟ วธทา กาหนดใหอตสาหกรรม 3 อตสาหกรรมผลตสนคามลคา จานวน x1, x2 และ x3


จากโจทยทกาหนดให สงเกตไดวา เมทรกซ A มผลรวมของแตละสดมภนอยกวา 1 ถาใหสญลกษณ aoj แทนจานวนมลคาของปจจยการผลตขนตนตอหนวยผลผลตสนคาท j จะไดวา a01 = 0.3 a02 = 0.3 a03 = 0.4 จากเมทรกซ A ทกาหนดใหแสดงวาเปนแบบจาลองปจจย-ผลผลตแบบเปดและเวกเตอร d เขยนเปนระบบสมการเชงเสนในรปแบบของเมทรกซไดดงน (I – A) x = d เมอ T = (I – A) ดงนน Tx = d

หรอ

8.03.01.0

2.09.04.0

2.03.08.0

3

2

1

x

x

x

=

3

2

1

d

d

d

และสามารถหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสนได x = (T-1)d

หรอ

3

2

1

x

x

x

= 384.01

60.027.021.0

24.062.034.0

24.030.066.0

3

2

1

d

d

d

แต

3

2

1

d

d

d

=

6

5

10

ดงนน

3

2

1

x

x

x

= 384.01

60.027.021.0

24.062.034.0

24.030.066.0

6

5

10

= 384.01

)6(60.0)5(27.0)10(21.0

)6(24.0)5(62.0)10(34.0

)6(24.0)5(30.0)10(66.0

= 384.01

05.7

94.7

54.9


จะได x1 = 384.054.9

= 24.84 ลานบาท

x2 = 384.094.7


x3 = 384.005.7


และปรมาณมลคารวมของปจจยการผลตขนตนของแตละอตสาหกรรมเปนดงน

3

1jjj0 xa = a01x1 + a02x2 + a03x3

= 0.3(24.84) + 0.3(20.68) + 0.4(18.36) = 20.752 ลานบาท

ความตองการบรโภคเปนสนคาขนสดทาย d =

6

5

10

จะเปนไปไดกตอเมอจานวนปจจยการผลตขนตน

ตองมมลคาอยางนอย 20.752 ลานบาท ตวอยางท 5.9 จงหาอปสงครวมทงหมดของอตสาหกรรม 3 อตสาหกรรม โดยใชแบบจาลองปจจย-ผลผลตของลอองเทยฟระบบเปด เมอกาหนดเมทรกซสมประสทธปจจยการผลต A และเวกเตอรอปสงคขนสดทาย d

A =

1.03.01.0

6.02.05.0

1.04.03.0

d =

30

10

20

วธทา คานวณหาเมทรกซเทคโนโลย (I – A) ไดดงน

(I – A) =

100

010

001

-

1.03.01.0

6.02.05.0

1.04.03.0

=

9.03.01.0

6.08.05.0

1.04.07.0

หาเมทรกซผกผนของ I – A หรอ (I – A)-1


(I – A)-1 = 151.01

36.025.023.0

47.062.051.0

32.039.054.0

แต x = (I – A)-1 d

3

2

1

x

x

x

= 151.01

36.025.023.0

47.062.051.0

32.039.054.0

30

10

20

= 151.01

9.17

5.30

3.24

=

54.118

99.201

93.160

ดงนน x1 = 160.93 x2 = 201.99 x3 = 118.54 จากการวเคราะหขางตนน สงสาคญกคอ สมประสทธปจจยการผลตจะตองคงเดมไมเปลยนแปลง หรอ เมทรกซผกผน T-1 = (I – A)-1 ไมเปลยนแปลง นอกจากนถาระบบเศรษฐกจประกอบดวยอตสาหกรรมจานวนมาก แบบจาลองปจจย-ผลผลตกจะมระบบสมการเชงเสนทซบซอนมากขน การหาเมทรกซผกผน หรอ T-1 กจะมความยงยากมากขน (แมวาในทางปฏบตจะสามารถหาเมทรกซผกผนไดจากการใชโปรแกรมสาเรจชวยคานวณไดกตาม) การหาเมทรกซผกผนโดยการประมาณกจะชวยใหการหาผลเฉลยของระบบสมการมความสะดวกมากขน การประมาณเมทรกซผกผนสามารถพจารณาไดดงน กาหนดให A เปน เมทรกซจตรสใดๆ m เปนจานวนเตมบวก I เปน เมทรกซเอกลกษณ ถาใหพจารณาผลคณของเมทรกซ 2 เมทรกซ ดงน (I – A)(I + A + A2 + … + Am) เมอกระจายผลคณจะได = I(I + A + A2 + … + Am) - A(I + A + A2 + … + Am) = I(I + A + A2 + … + Am) – IA - A2 – A3 - … -Am - Am+1 [เนองจาก ผลคณของเมทรกซเอกลกษณกบเมทรกซใดๆ จะไดเมทรกซเดมนน ดงนน IA = A และ I(I + A + A2 + … + Am) = (I + A + A2 + … + Am)] = (I + A + A2 + … + Am) – A - A2 - … -Am - Am+1 ดงนน (I – A)(I + A + A2 + … + Am) = I - Am+1 จากสมบตของเมทรกซผกผนจะไดวา AA-1 = I ถาพจารณาผลรวมของเมทรกซ (I + A + A2 + … + Am) พบวา จะเปนเมทรกซผกผนของ (I – A) ไดกตอเมอไมมพจน Am+1 ปรากฏอยทางซายมอของสมการ ซงกคอตองใหเมทรกซ Am+1 เปนศนย และเมทรกซ Am+1 จะ


มคาเขาใกลเมทรกซศนยกตอเมอเมทรกซ I - Am+1 มคาเขาใกล I ดงนนจงกลาวไดวา ผลรวมของเมทรกซ (I + A + A2 + … + Am) จะเขาใกลเมทรกซผกผน (I – A)-1 ไดกตอเมอทาให Am+1 เขาใกลศนยและจะไดเมทรกซผกผนโดยประมาณดวยการบวกเมทรกซ I, A, A2, …, Am เขาดวยกน เมทรกซ Am+1 เขาใกลศนยสามารถทาไดถาแบบจาลองปจจย-ผลผลตเปนจรงโดยพจารณาสมาชกในแตละสดมภของเมทรกซ A ทไมเปนจานวนลบ และรวมกนแลวมคานอยกวา 1 ดงนนการทาใหเมทรกซ Am+1 มคาเขาใกลศนยหรอเมทรกซศนย เลขยกกาลง m จะตองใหญเพยงพอ ซงการยกกาลง m กคอการคณดวยตวมนเองซ าๆ กน m ครง ดงนนถา m + 1 มคามาก ตองคณเมทรกซ A ซ าๆ กน m + 1 ครงทาใหสมาชกแตละตว หรอ aij แตละตวของเมทรกซ Am+1 มคาเขาใกลศนยมากขนมผลให Am+1 มคาเขาใกลเมทรกซศนย เมทรกซผกผนของ (I – A) หรอ (I – A)-1 กจะคานวณไดจาก (I + A + A2 + … + Am) จากเมทรกซสมประสทธปจจยการผลต A = [aij] ทมสมาชกแตละตวไมเปนคาลบและผลรวมของสมาชกทกตวในแตละสดมภ นอยกวา 1 เมทรกซ Am+1 จะเขาใกลเมทรกซศนย เมอ m เพมมากขนอยางไมจากด จากแนวคดของนอรม (norm) ของเมทรกซ A ซงหาไดจากผลรวมของสมาชกทกตวของแตละสดมภทมคามากทสด และ ใชสญลกษณวา N(A) สาหรบเมทรกซ A ตามตวอยางท 5.8

A =

2.03.01.0

2.01.04.0

2.03.02.0

ผลรวม 0.7 0.7 0.6 ดงนน ผลรวมของสมาชกในสดมภแรก เทากบ 0.7 มคามากทสด และมคาเทากบผลรวมของสมาชกในสดมภทสองดวยเชนกน ดงน น คานอรมของเมทรกซ A หรอ N(A) = 0.7 และจะเหนวาไมมสมาชกตวใดใน เมทรกซ A ทมคามากกวาคานอรม นนคอ aij N(A) (ทกๆ คา i และ j) จะเหนวา N(A) < 1 และ aij < 1 แต aij แตละคาเปนคาบวกเสมอ หรอ aij > 0 จะไดวา 0< N(A) < 1 การหาคานอรมของเมทรกซมทฤษฎทเกยวของกคอ เมอกาหนดเมทรกซ A และเมทรกซ B ทสามารถ คณกนไดตามคณสมบตการคณเมทรกซดวยเมทรกซ จะไดวา N(AB) N(A) N(B)


ถา A = B จะไดวา N(AA) N(A) N(A) N(A2) [N(A)]2 เมอ B = A2 จะไดวา N(AA2) N(A) N( A2) N(A3) N(A) [N(A)]2 [N(A)]3 สามารถเขยนอยในรปแบบทวไปไดดงน N(Am) [N(A)]m เนองจาก 0 < N(A) < 1 และ m มขนาดใหญมากหรอไมจากด [N(A)]m ตองมคาเขาใกลศนย เพราะคาเศษสวนทเปนบวกเมอยกกาลงมากๆ จนไมจากด ผลเฉลยจะเขาใกลศนยแต N(A m) นอยกวาหรอเทากบ [N(A)]m ดงนน N(A m) กตองเขาใกลศนยดวยเชนกน อยางไรกตามถาพจารณาสมาชกในเมทรกซ A m พบวาจะมคาเขาใกลศนยดวย เมอ m มขนาดใหญมากจนไมจากด เพราะวาจะไมมสมาชกในเมทรกซ A m มคามากกวานอรม N(A m) ดงนนเมอ m มขนาดใหญเพยงพอ เมทรกซ Am+1 จะมคาเขาใกลเมทรกซศนย เมอเงอนไข 0 < N(A) < 1 เปนจรง

3) แบบจาลองระบบปด (the closed model) แบบจาลองระบบปดจะมลกษณะทแตกตางไปจากแบบจาลองระบบเปดตรงทภาคภายนอกไดถก

รวมเขาเปนสวนหนงของระบบเปนเสมอนอตสาหกรรมหนงในระบบ ทาใหความตองการสนคาขนสดทาย และปจจยการผลตขนตน ไมปรากฏในแบบจาลอง ผลผลตหรอสนคาจะเปนสนคาขนกลาง เพราะการผลตสนคาทกๆ หนวยสนคาในระบบจะตองผลตใหเพยงพอตอความตองการสนคาเพอเปนปจจยการผลตของแตละอตสาหกรรมรวมทงหมด ซงจะมอตสาหกรรมทงหมดในระบบจานวน n + 1 อตสาหกรรม

อตสาหกรรมใหมทถกรวมเขาไวในระบบนจะมความตองการผลผลตหรอสนคาของอตสาหกรรมอนแตละอตสาหกรรมในอตราสวนทคงท ขณะเดยวกนผลผลตทอตสาหกรรมใหมนผลตไดกจะเปนปจจยการผลตของอตสาหกรรมอนๆ ในสดสวนทคงทเชนกน ตวอยางเชน อตสาหกรรมใหมเปนครวเรอนทจะบรโภคสนคาแตละชนดในสดสวนทคงท ขณะเดยวกน แรงงานในครวเรอนกเปนอปทานสาหรบอตสาหกรรมอนๆ ในอตราสวนทคงท เชนกน

แบบจาลองระบบปดมการเปลยนแปลงกรอบการวเคราะหทแตกตางไปจากระบบเปด กลาวคอ ผลรวมของสมาชกแตละสดมภของเมทรกซ A ตองเทากบ 1 นนคอ


n

0iija = 1 เมอ j = 0, 1, 2, …, n

j = 0 หมายถง อตสาหกรรมใหมทมาจากภาคภายนอกของแบบจาลองระบบเปด และโครงสรางของแบบจาลองจะไมปรากฏความตองการสนคาขนสดทาย (อปสงคขนสดทาย) หรอมความตองการเปนศนย ระบบสมการของแบบจาลอง จงเปนระบบสมการเอกพนธ (homogeneous equation system) และเขยนอยในรปแบบของเมทรกซไดดงน

)a1(aa

aa1a

aaa1

nn1n0n

n11110

n00100

n

1

0

x

x

x

=

0

0

0

หรอ (I – A)x = 0

ตวอยางเชน แบบจาลองปจจย-ผลผลต ระบบปดมทงหมด 4 อตสาหกรรม รวมถงอตสาหกรรมใหมดวย ระบบสมการเอกพนธเขยนในรปแบบของเมทรกซดงน

)a1(aaa

a)a1(aa

aa)a1(a

aaaa1

33323130

23222120

13121110

03020100

3

2

1

0

x

x

x

x

=

0

0

0

0

เพราะวาเปนระบบสมการเอกพนธ ผลเฉลยของระบบสมการจะไมเปนศนย กตอเมอเมทรกซเทคโนโลยขนาด 4 4 หรอ (I – A) มคาดเทอรมแนนตเปนศนย หรอ I - A = 0 และผลรวมของแตละสดมภของเมทรกซสมประสทธปจจยการผลต หรอเมทรกซ A ตองเทากบ 1 นนคอ a0j + a1j + a2j + a3j = 1 หรอ a0j = 1 - a1j - a2j - a3j นนคอแตและแถวทง 4 แถวของเมทรกซเทคโนโลย หรอ (I – A) จะมความสมพนธเชงเสนซงกนและกน (linearly dependent) ทาให I - A = 0 ทาใหไมสามารถคานวณหาผลเฉลยของระบบสมการทถกตองได แตจะสามารถหาสดสวนของระดบผลผลต x1, x2, …, x4 ได แตถามการเพมขอจากดในแบบจาลอง กจะสามารถคานวณผลเฉลยเปนคาทแนนอนได


แบบฝกหดบทท 5 1. จงหาปรมาณดลยภาพและราคาดลยภาพของตลาดสนคาชนดหนง ดงน 1.1 Qs = -20 + 3P 1.2 Qs = -32 + 7P 1.3 Qs + 45 – 8P = 0 Qd = 220 - 5P Qd = 128 - 9P Qd – 125 + 2P = 0

2. จงหาปรมาณและราคาดลยภาพของตลาดสนคาทมฟงกชนอปสงคและฟงกชนอปทานดงน ฟงกชนอปสงค Q2 + 3P + 5Q – 102 = 0 ฟงกชนอปทาน P - 2Q2 + 3Q + 71 = 0 3. กาหนดใหตลาดสนคา 2 ชนด คอ เนอวว (B) และเนอหม (P) มระบบสมการเกยวเนองของสนคา ดงน เนอวว (B) ฟงกชนอปสงค QdB = 82 – 3PB + PP ฟงกชนอปทาน QsB = -5 + 15PB เนอหม (P) ฟงกชนอปสงค QdP = 92 + 2PB - 4PP ฟงกชนอปทาน QsP = -6 + 32PP จงหาราคาและปรมาณดลยภาพของสนคาทง 2 ชนด 4. จงหาราคาดลยภาพและปรมาณดลยภาพของสนคา 2 ชนด คอ กางเกงยนส (J) และ เสอเชรต (S) เมอกาหนด

สมการอปสงคและอปทาน ดงน เสอเชรต (S) Qds – 410 + 5PS + 2Pj = 0 Qss + 60 – 3Ps = 0 กางเกงยนส (J) Qdj – 295 + PS + 3Pj = 0 Qsj + 120 – 2Pj = 0 5. จงหาราคาดลยภาพและปรมาณดลยภาพของแบบจาลองตอไปน 5.1 Qd = Qs 5.2 Qd = Qs Qd = 3 – P2 Qd = 10 – P2 Qs = 6P – 4 Qs = P - 2


6. กาหนดใหฟงกชนอปสงคและฟงกชนอปทานของแบบจาลองตลาดสนคา 2 ชนด เปนดงน Qd1 = 18 – 3P1 + P2 Qd2 = 12 + P1 -2P2 Qs1 = -2 + 4P1 Qs2 = -2 + 3P2 จงหา iP และ iQ (ใชเศษสวนแทนทศนยม) 7. จงคานวณรายไดประชาชาตดลยภาพจากแบบจาลองทกาหนดให โดยทการลงทนไมใชการลงทนโดยอสระ แต

กาหนดใหเปนฟงกชนของรายได ดงน Y = C + I C = C0 + bY I = I0 + aY และ C0 = 65 I0 = 85 b = 0.65 และ a = 0.2 8. แบบจาลองรายไดประชาชาตเปนดงน Y = C + I0 + G0 C = a + b(Y – T) (a > 0, 0 < b < 1) T = d + tY (d > 0, 0 < t < 1) เมอ T คอ ภาษ t คอ อตราภาษรายได จงหา Y , T และ C 9. แบบจาลองปจจย-ผลผลต ตามตวอยาง 5.8 ถาอปสงคขนสดทาย คอ d1 = 30 d2 = 15 และ d3 = 10 (หนวยเปน

พนลานบาท) ปรมาณผลผลตของ 3 อตสาหกรรมคดเปนมลคาเทาใด 10. จากขอ 9 ถา a01 = 0.3 a02 = 0.3 และ a03 = 0.4 จงคานวณจานวนความตองการปจจยการผลตขนตนทงหมด

ทใชในการผลต


บทท 6 ลมตและอนพนธ 6.1 ลมตและความตอเนอง (Limit and continuity) 6.1.1 ความหมายของลมต แนวคดเกยวกบลมตไดถกนามาใชในการวเคราะหทางดานเศรษฐศาสตรและบรหารธรกจอยเสมอๆ เชน ปรมาณการผลตของโรงงานแตละแหงทผลตได ปรมาณขายสนคาหรอบรการทหนวยธรกจแตละหนวยขายไดแตละเดอน ทงปรมาณการผลต และปรมาณขายสนคาหรอบรการยอมมขดจากดทหนวยธรกจสามารถทาไดทงนขนอยกบปจจยตางๆ ทแปรเปลยนไป ความจากดตามตวอยางทยกมานกคอ ลมต นนเอง ในการทาความเขาใจเกยวกบลมตใหพจารณาจากตวอยางตอไปน

ใหพจารณาคาของฟงกชน f ถากาหนดให f(x) = 1x1x 2

จากสตรของฟงกชนทกาหนดให จะเหนวา ถา x = 1 จะไมสามารถหาคาของ f(x) ได แตสามารถหาคาของ f(x) ได สาหรบ x ใดๆ ทไมใช 1 หรอ x 1 ดงนน 1 จงไมอยในโดเมนของ f

ดงนน f(x) = )1x(

)1x)(1x(

สาหรบทกๆ คาของ x 1 เมอกาหนดคาของ x เปนคาใดๆ และ x มคาเขา

ใกล 1 จะไดคา f(x) ดงน

x 0 0.5 0.9 0.999 1.001 1.1 1.5 2.0 f(x) 1 1.5 1.9 1.999 2.001 2.1 2.5 3 จากการคานวณจะเหนวา เมอ x มคาเขาใกล 1 แลว f(x) จะมคาเขาใกลคา 2 จงเรยกวา 2 นวา เปนคา “ลมตของ f(x) เมอ x เขาใกล 1” ดงนนจงสรปความหมายของลมตไดวา ลมต (limit) หมายถง ระดบหรอขอบเขตของคาของฟงกชนใดฟงกชนหนงในขณะทตวแปรของฟงกชนนนมคาใกลเคยงกบคาใดคาหนงทถกกาหนดขน จากตวอยางขางตน ถาเขยนดวยสญลกษณ จะไดวา x 1 แลว f(x) 2 อานวา x เขาใกล 1 แลว f(x) จะเขาใกล 2 หรอเขยนใหมไดวา

1xlim

f(x) = 2 อานวา ลมตของ f(x) เทากบ 2 ในขณะท x เขาใกล 1 หรอเขยนให

ชดเจนยงขนไดวา 1x

lim

1x1x 2

= 2


โดยทวไป ถา f เปนฟงกชน เมอพจารณาเฉพาะ x > a แลวไดวา f(x) มคาเขาใกล L (จานวนหนงจานวนเดยว) เมอ x มคาใกล a หรอกลาวอกอยางหนงวา “f(x) มลมตเปน L เมอ x เขาใกล a จากทางขวา” ลมตเชนนเรยกวาลมตขวา (right-hand limit) แสดงโดยเครองหมาย + เหนอ a เขยนเปนสญลกษณไดวา

axlim f(x) = L

จากตวอยางขางตน จงสามารถเขยนไดวา

1xlim f(x) = 2

อานวา “f(x) มลมตเปน 2 เมอ x เขาใกล 1 จากทางขวา” ในทานองเดยวกน ถา f เปนฟงกชน เมอพจารณาเฉพาะ x < a แลวไดวา f(x) มคาเขาใกล L (จานวนหนงจานวนเดยว) เมอ x มคาใกล a หรอกลาวอกอยางหนงวา “f(x) มลมตเปน L เมอ x เขาใกล a จากทางซาย” ลมตเชนน เรยกวา ลมตซาย (left-hand limit) แสดงโดยเครองหมาย – เหนอ a เขยนเปนสญลกษณไดวา

axlim f(x) = L

จากตวอยางขางตน จงสามารถเขยนไดวา

1xlim f(x) = 2

อานวา “f(x) มลมตเปน 2 เมอ x เขาใกล 1 จากทางซาย” ถา f เปนฟงกชน ซง f(x) มคาเขาใกล L (จานวนหนงจานวนเดยว) เมอ x มคาใกล a (x > a และ x < a) ซงกคอ f(x) มลมตเปน L เมอ x เขาใกล a เขยนเปนสญลกษณไดวา )x(flim

ax = L

การพจารณาคาลมตของ f(x) เมอ x a จะตองพจารณาท งคาของ x ทนอยกวา a และทมากกวา a กลาวคอการพจารณาทงคา x ทใกล a ทางขวาและทางซายแลว นาไปสคา f(x) เดยวกน แสดงวาสามารถหาคาลมตของ f(x) ได ดงนน ถา )x(flim

ax = L แลว

จะไดวา ax

lim f(x) = L และ

ax

lim f(x) = L ดวย

และในทานองตรงกนขาม ถา

axlim f(x) = L และ

axlim f(x) = L แลว

จะไดวา )x(flimax

= L เปนจรง


แตถา ax

lim f(x) ax

lim f(x)

แสดงวา )x(flimax

ไมมคา

ตวอยางท 6.1 กาหนดให f(x) = 4x + 1 จงหา )x(flim

4x

วธทา หาคาของ f(x) เมอแทนคา x ทใกล 4 ทงนอยกวา 4 และมากกวา 4 เมอ x 4 ทางซาย จะไดวา f(x) 17 หรอ

4xlim f(x) = 17

และ x 4 ทางขวา จะไดวา f(x) 17 หรอ

4xlim f(x) = 17

สรปไดวา )x(flim

4x = 17 หรอ

1x4lim4x

= 17

6.1.2 ทฤษฎของลมต ทฤษฎของลมตตอไปนจะชวยใหการหาลมตของฟงกชนทาไดงายขน ในทนจะสรปเฉพาะทฤษฎของลมต

เทานน กาหนดให k เปนคาคงท

ทฤษฎท 1 ลมตของคาคงท klimax

= k

ทฤษฎท 2 ลมตของผลบวกและผลลบระหวางฟงกชน ax

lim

[f(x) g(x)] = )x(flimax

)x(glimax

ทฤษฎท 3 ลมตของผลคณระหวางฟงกชน ax

lim

[f(x) g(x)] = )]x(flim[ax

)]x(glim[ax

ทฤษฎท 4 ลมตของผลหารระหวางฟงกชน ax

lim )x(g

)x(f =

)x(glim

)x(flim

ax

ax

เมอ )x(glimax

0

ทฤษฎท 5 ลมตของผลคณระหวางคาคงทกบฟงกชน )x(kflimax

= )x(flimkax

ทฤษฎท 6 ลมตของรากท n ของฟงกชน n

ax)x(flim

= n

ax)x(flim

ทฤษฎท 7 ลมตของฟงกชนยกกาลง ax

lim

[f(x)]n = n

ax)]x(flim[


ตวอยางท 6.2 จงหาลมตของ f(x) = x2 + 3x + 4 เมอ x เขาใกล 2 วธทา เขยนเปนลมตไดดงน

)x(flim2x

= 2x

lim

x2 + 3x + 4

= 2x

lim

x2 + 2x

lim

3x + 2x

lim

4 (โดยทฤษฎท 2)

= 2

2x]xlim[

+ 3

2xlim

x + 4 (โดยทฤษฎ 1, 5, 7)

= (2)2 + 3(2) + 4 = 4 + 6 + 4 = 14

ตวอยางท 6.3 จงหาลมต )x(flim2x

เมอ f(x) = 2-x

2 3x - x 2

วธทา ในกรณนจะใชทฤษฎลมตของผลหารระหวางฟงกชนได กตอเมอ 2x

lim

x-2 0 ดงนน f(2) จงหาคาไมได

จงจาเปนตองพจารณาฟงกชนใหม จะเหนวาพจนในเศษมพจนทเปนตวประกอบรวมกนเหมอนกบพจนในสวน จงแยกตวประกอบพจนในเศษไดดงน x2 - 3x + 2 = (x – 2)(x – 1)

จะไดวา f(x) = )2x(

)1x)(2x(

= (x – 1)

ดงนน 2x

lim

2-x

2 3x - x 2 =

2xlim

x – 1

= 2x

lim

x - 2x

lim

1 (โดยทฤษฎ 2)

= 2 – 1 (โดยทฤษฎ 1, 7) = 1

ตวอยางท 6.4 จงหาลมต 1x

lim

1-x

4 3x - x2

2

วธทา เนองจาก 1x

lim

x2 – 1 = 1x

lim

x2 - 1x

lim1

= 1 – 1 = 0 จะใชทฤษฎลมตผลหารระหวางฟงกชนยงไมได ใหพจารณาตวประกอบของพจนในเศษและพจนในสวนของฟงกชนกอน ซง x2 - 3x – 4 = (x + 1)(x – 4) และ x2 – 1 = (x - 1)(x + 1)


ดงนน 1x

lim

1-x

4 3x - x2

2 =

1xlim

)1x)(1x()4x)(1x(

= 1x

lim

)1x()4x(

= 1xlim

4xlim

1x

1x

(โดยทฤษฎ 4)

= 1)1(4)1(

(โดยทฤษฎ 1, 7)

= 25

= 25

6.1.3 ลมตเกยวกบอนฟนต

ใหพจารณาคาของ f(a) ตอไปน เมอกาหนดให f(a) = 1a

a2

ถา a มคาเพมมากขน จะไดคาของ f(a) เขาใกลจานวนหนงจานวนเดยวตามตาราง a 10 1,000 10,000 100,000

f(a) 1.81818 1.99800 1.99980 1.99998 จะเหนวายง a มคาเพมมากขน คา f(a) จะยงเขาใกล 2 มากขนจากความหมายของลมตทไดเคยอธบาย

มาแลวจะไดวา 2 เปนคาของลมตของ f(a) เมอ a มคามากขนอยางไมจากด เขยนแทนดวยสญลกษณไดวา

alim f(a) = 2

อานวา ลมตของ f(a) เทากบ 2 ในขณะท a เพมขนเขาใกลอนฟนต ดงนน ถา f(a) มคาเขาใกลจานวน L จานวนหนง เมอ a มคามากขนอยางไมจากด ซงกคอ L เปนลมตของ f(a) เมอ a เพมขนอยางไมจากดเขยนเปนสญลกษณไดดงน

alim f(a) = L

ในการคานวณหา f(a) เมอ a มคาเพมมากขนนน ถาพจารณาท f(a) สามารถเขยนใหมไดเปน

f(a) = )1a(

a2

aa

=

a)1a(

2 =

)a1

1(

2

เมอ a มคามากๆ แลว a1

จะมคานอยมากจนใกลศนยทาให


f(a) )01(

2

2

2 จงเปนลมตของ f(a) เมอ a มคามากขนอยางไมจากด

ถาให x = a1

เมอ a มคาเพมมากขน x จะมคาเขาใกลศนย แตยงคงเปนจานวนบวก อาจกลาวไดวา ลมตของ f(a) เมอ a มคาเพมมากขนอยางไมจากด ซงกคอ ลมตของ f(a) เมอ x มคาเขาใกลศนยจากทางขวานนเอง เขยนเปนสญลกษณไดดงน

alim f(a) =

0xlim f(a)

จากความสมพนธทกาหนดให x = a1

นน เขยนใหมไดเปน a = x1

ดงนน a

lim f(a) = 0x

lim f(x1

)

สามารถนาความสมพนธนไปใชคานวณลมตเกยวกบอนฟนตได เชน

จาก f(a) = 1a

a2

และ a

lim f(a) = 0x

lim f(x1

)

ดงนน a

lim 1a

a2

= 0x

lim1)

x1

(

)x1

(2

=

0xlim

x

x

1)x

1(

)x

1(2

= 0x

limx1

2

= 2

ในทานองตรงกนขาม ถา f(a) มคาเขาใกล L จานวนหนง เมอ a มคาลดลงอยางไมจากด คา L นเรยกวา ลมตของ f(a) เมอ a มคาลดลงอยางไมจากด เขยนเปนสญลกษณดงน

alim f(a) = L

และเมอ x = a1

ดงนน x จะมคาเขาใกลศนยทางซาย เมอ a มคาลดลงมากขนอยางไมจากด จะไดวา

a

lim f(a) = 0x

lim f(x1

)

และสามารถนาความสมพนธนไปใชในการคานวณลมตเกยวกบอนฟนตไดเชนเดยวกน


ตวอยางท 6.5 จงหาคาลมตของ a

lim 5aa44a2a3

2

2

วธทา เพราะวา a

lim 5aa44a2a3

2

2

= 0x

lim 5

x1

x1

4

4x1

2x1

32

2

นา x2 คณทงเศษและสวน เพอทาใหเศษสวนเปนจานวนเตม

= 0x

lim 2

2

22

x5x1

x1

4

x4x1

2x1

3

= 0x

lim 2

2

x5x4x4x23

= 2

0x

2

0x

x5x4lim

x4x23lim

= 2

0x0x0x

2

0x0x0x

]xlim[5xlim4lim

]xlim[4xlim23lim

=

2

2

)0(504)0(4)0(23

= 43

โดยทวไป การเขยนสญลกษณ บวกอนฟนตนนจะเขยน แทน + แตลบอนฟนต ยงคงใชสญลกษณ - เชน )a(flim

a อานวา ลมตของ f(a) เมอ a เขาใกลอนฟนต และ

)a(flima

อานวา ลมตของ f(a) เมอ a เขาใกลลบอนฟนต

ตวอยางท 6.6 จงหาคาลมตของ a

lim

1a2

4

วธทา เพราะวา a

lim

1a2

4 = 0x

lim

1

x1

24


=

1x1

2lim4lim

0x0x

= 4 - 0x

lim

1

x1

2

x

x

= 4 - 0x

lim

x1

x2

= 4 - x1lim

x2lim

0x

0x

= 4 - 10

= 4

จากตวอยางนสามารถคานวณหาคาของลมตไดอกวธหนง ดงน

a

lim

1a2

4 = 4lima

- a

lim 1a

2

= 4 - a

lim

1a2

a

a

(นา a หารทงเศษและสวนใหได a1

)

= 4 - a

lim

a

11

a

12

= 4 -

a

11lim

a

12lim

a

a

= 4 - 01)0(2

= 4


ตวอยางท 6.7 จงหาคาลมตของ t

lim f(t) เมอ f(t) = 2tt1tt5

23

23

วธทา เพระวา t

lim f(t) = t

lim 2tt1tt5

23

23

หารทงเศษ และสวนดวยตวแปรทมกาลงมากทสด

= t

lim

2tt1tt5

23

23

3

3

tt

= t

lim

3

3

t1

2t1

1

t1

t1

5

=

3

ttt

3

ttt

t1

2limt1

lim1lim

t1

limt1

lim5lim =

001005

= 5

สญลกษณ และ - เปนสญลกษณทไมไดแทนจานวนจรงจานวนใด แตเปนสญลกษณทางคณตศาสตรทกาหนดขนเพอใชในการศกษาทางคณตศาสตร การบวก การลบ การคณ การหาร และการเปรยบเทยบ ระหวางจานวนจรง กบ และ - ใหเปนไปตามสมบตเกยวกบอนฟนต เชน สาหรบจานวนจรง x ใดๆ 1. - < x < 2. + x = = x 3. x – (-) = สาหรบจานวนจรง x ใดๆ ซง x 0 4. x = x = ถา x > 0 - ถา x < 0 5. x (-) = (-) x = - ถา x > 0 ถา x < 0


6. x

= x

= 0

นอกจากการพจารณาหาคาลมตของฟงกชนทคาของตวแปรเขาใกลอนฟนตท ง และ - แลว ยงสามารถใช และ - เปนคาลมตได ถาฟงกชนมคาเพมขนหรอลดลงโดยไมมขดจากด เมอตวแปรของฟงกชนนนเขาใกลจานวนหนง หรอกลาวไดวา ถา f(a) มคาเพมขน โดยไมมขดจากด () เมอ a เขาใกลจานวน t จานวนหนง ซงกคอ เปนลมตของ f(a) เมอ a เขาใกล t เขยนแทนดวยสญลกษณไดวา

talim

f(a) =

หรอ ถา f(a) มคาลดลงโดยไมมขดจากด (-) เมอ a เขาใกลจานวน t จานวนหนง ซงกคอ - เปนลมตของ f(a) เมอ a เขาใกล t เขยนแทนดวยสญลกษณไดวา

talim

f(a) = -

ตวอยางท 6.8 จงหา 1a

lim

f(a) เมอ f(a) = 2)1a(1

วธทา เพราะวา f(a) = 2)1a(

1

เมอพจารณา 2)1a(1

จะพบวา ถา a เขาใกล 1 น น (a – 1)2 จะมคาใกลศนย และมคาเปนบวกเสมอ

เนองจากเปนการยกกาลงสองของคาผลตาง ซงจะมผลลพธเปนบวกเสมอ ดงนนคาของ 2)1a(1

หรอ f(a) จงเปน

บวก และมคามากขนเรอยๆ อยางไมมขดจากด ถา a ยงเขาใกล 1

ดงนน 1a

lim

f(a) = 1a

lim

2)1a(1

=

ตวอยางท 6.9 จงหาคาของ 3a

lim 3a4a

วธทา เนองจาก 3a4a

= 3a

343a

= 1 +

3a7

ใหพจารณา a – 3 เมอ a เขาใกล 3 จากทางซาย ซงกคอ a < 3 คา a – 3 จงเปนลบเสมอ และมคาใกลศนย ยง

a เขาใกล 3 มากยงขน ดงนน คาของ 3a

1

จงเปนลบดวย และจะมคายงนอยลงอยางไมมขดจากด เมอ a ยงเขาใกล

คา 3 จะไดวา


3a

lim 3a

1

= -

ดงนน 3a

lim 3a4a

= 3a

lim

3a7

1 = 3a

lim 1 + 73a

lim 3a

1

= 1 + 7(-) = -

ตวอยางท 6.10 จงหาคาลมตของ x

lim 1x

4x3x2 2

วธทา x

lim 1x

4x3x2 2

= x

lim )1x(

)4x3x2( 2

xx

= x

lim

x1x

x4x3x2 2

= x

lim

x1

1

x1

43x2

=

x1

1lim

x1

43x2lim

x

x

=

x1

lim1limx1

lim43limx2lim

xx

xxx

= 01

)0(43)(2

=

6.1.4 ความตอเนองและความไมตอเนอง (Continuity and discontinuity) ความตอเนองและความไมตอเนองของฟงกชน เปนเรองทมความเกยวของกบลมต กลาวคอ ในการหาคาลมตของฟงกชนนน เปนการหาคาลมตจานวนหนงจานวนเดยวเมอตวแปรของฟงกชนนนเขาใกลคาหนง เขยนเปนสญลกษณไดวา


ax

lim

f(x) = L

สาหรบการหาคาของฟงกชนเปนการแทนคา x = a ใน f(x) ถาปรากฏวาคาของ f(a) เทากบ L แสดงวา f(x) มคาตอเนองท x = a หรออกวธการหนง โดยการพจารณาเสนกราฟของฟงกชน ถาปรากฏวาเสนกราฟของฟงกชนเปนเสนทตอกนอยเปนเสนเดยว หรอไมมการขาดตอน กแสดงวาฟงกชนนนเปนฟงกชนทมความตอเนอง แตถาเสนกราฟของฟงกชนไมตอเนองเปนเสนเดยวหรอมการขาดตอน กแสดงวาฟงกชนนนเปนฟงกชนทไมตอเนอง

เชน f(x) = 1x1x 2

เมอนาไปสรางเสนกราฟ โดยแทนคา x ดวยคาตางๆ ปรากฏวา เมอ x = 1 แลว f(1) จะไมมคา ทาใหเสนกราฟขาดตอน ณ ทจด เมอ x = 1 ตามภาพ

จงกลาวไดวา f(x) เปนฟงกชนไมมความตอเนอง ท x = 1 แตถากาหนดใหฟงกชน f(x) เปนดงน

f(x) = 1x1x 2

เมอ x 1

2 เมอ x = 1 จะเหนวา f(x) ไมมการขาดตอนท x = 1 เพราะกาหนดให f(1) = 2 ดงนนเสนกราฟของ f(x) จงเปนเสนทตอกนอยเปนเสนเดยว ทาให f(x) เปนฟงกชนทมความตอเนอง และเมอพจารณาลมตของ f(x) เมอ x เขาใกล 1 นน เปนดงน

1x

lim 1x

1x 2

= 1x

lim

)1x(

)1x)(1x(

= 1x

lim

(x + 1)

= 1x

lim

x + 1x

lim

1

= 1 + 1 = 2

f(x)

x

y

2

0 1


แสดงวา 1x

lim 1x

1x 2

สามารถหาคาได และจะไดวา 1x

lim

f(x) = f(1) ดวย แสดงวา f(x) เปนฟงกชนทม

ความตอเนอง จงสรปไดวา ฟงกชน f(x) จะเปนฟงกชนทมความตอเนอง ท x = a ได กตอเมอ เปนไปตามเงอนไข ตอไปน 1. สามารถหาคา f(a) ได 2. สามารถหาคา

axlim

f(x) ได

3. ax

lim

f(x) = f(a)

อยางไรกตาม ฟงกชน f(x) จะตอเนองอยในชวงทกาลงพจารณาเชน c x d หรอ c x d ซงหมายความวา f(x) จะตองตอเนองกนทกๆ จดในชวงนน และในกรณท

axlim

f(x) = น น เนองจาก เปนเพยงสญลกษณทางคณตศาสตร ไมใชจานวนจรง

จานวนใด ดงนน ax

lim

f(x) = จงถอไดวา หาคาของ ax

lim

f(x) ไมได

สาหรบฟงกชนใดๆ ทไมตอเนอง จงหมายถงฟงกชนทไมไดเปนไปตามเงอนไขท ง 3 ขอทเปนความตอเนองขางตน ทงน ความไมตอเนองของฟงกชนจะเปนไปใน 4 ลกษณะ ดงน 1. เปนไปตามเงอนไขขอท 2 คอ หาคา

axlim

f(x) ได แตไมสามารถหา f(a) ตามเงอนไขขอท 1 ได เรยกวา

เปนความไมตอเนองทจดหนง (missing-point discontinuity) ตวอยางเชน

2. ไมเปนไปตามเงอนไขขอท 1 คอหาคา f(a) ไมได และเมอหาคาตามเงอนไขขอท 2 คอ

axlim

f(x) แลว

จะเทากบ ซงหาคาไมไดเชนกน เรยกวาเปนความไมตอเนองทไมมทสนสด (infinite discontinuity) ตวอยางเชน

x

y

0 a


3. ไมเปนไปตามเงอนไขขอท 2 คอหาคา

axlim

f(x) ไมได เนองจากลมตซายไมเทากบลมตขวา เรยกวา

เปนความไมตอเนองทมทสนสด (finite discontinuity) ตวอยางเชน

4. ไมเปนไปตามเงอนไขขอท 2 คอ ลมตซายไมเทากบลมตขวาเปนชวงๆ อนเนองมาจากเปนฟงกชนทมโดเมนเปนเซตจากดหลายเซต ทาใหกราฟของฟงกชนขาดหรอไมตอเนองเปนชวงๆ เรยกวาเปนฟงกชนไมตอเนอง (discrete function) ตวอยางเชน

x

y

0 a

x

y

0 a

f(a)

x

y

0 a b c


ตวอยางท 6.13 กาหนดให f(x) = 2x6xx 2

จงหาวา f(x) ตอเนองท x = 2 หรอไม

วธทา พจารณาตามเงอนไขความตอเนองของฟงกชนดงน ในกรณท x = 2 หาคา f(2) ปรากฏวาไมสามารถหาคาได เพราะวา

f(x) = 2x6xx 2

เมอ x = 2 แลว x – 2 = 0 ดงนน f(2) จงหาคาไมได สรปไดวา f(x) ไมตอเนอง ท x = 2

ตวอยางท 6.14 กาหนดให f(x) = 2x6xx 2

เมอ x 2

3 เมอ x = 2 จงหาวา f(x) ตอเนองท x = 2 หรอไม วธทา ตามเงอนไขขอท 1 สามารถหาคา f(2) ได เพราะกาหนดให f(2) = 3 เมอพจารณาตามเงอนไขขอท 2 คอ หาคา

2xlim

f(x) ไดดงน

2x

lim

f(x) = 2x

lim 2x

6xx 2

= 2x

lim )2x(

)3x)(2x(

= 2x

lim

x + 3 = 5

สามารถหาคาของ 2x

lim

f(x) ได แตไมเปนไปตามเงอนไขขอท 3 กลาวคอ f(2) 2x

lim

f(x)

ดงนน f(x) จงไมตอเนอง ท x = 2

ตวอยางท 6.15 กาหนดให g(x) = 2x4

x2

จงหาวา g(x) ตอเนองท x = -2 หรอไม

วธทา ถา x = -2 หาคา g(-2) จะไมสามารถหาคาได เพราะวา

4 - 2x = 4 – (-2)2 = 0 และเมอหา

2xlim

g(x) หาคาไมไดเชนกน เพราะวา


(1) 2x

lim g(x) = 2x

lim2x4

x2

เนองจาก x เขาใกล -2 ทางซาย คา (4 - 2x ) มคาเปนลบเสมอ และมคาใกลศนย ดงนน )x4(

12

จงมคาเปนลบ และเมอ x มคาเขาใกล -2 ทางซายเขาไป คา )x4(

12

กยงนอยลงอยางไมมขดจากด จะไดวา

2xlim

)x4(1

2 = - และ

2xlim x มคาเปนลบเสมอ

ดงนน 2x

lim2x4

x2

= 2x

lim 2x 2x

lim2x4

1

= 2 2x

lim x 2x

lim2x4

1

= 2 (-2) (-) =

และ (2) 2x

lim g(x) = 2x

lim2x4

x2

เนองจาก x เขาใกล -2 ทางขวาและนอยกวา 0 คา (4 - 2x ) มคาเปนบวกและมคาใกลศนย ดงนน 2x4

1

จงมคาเปนบวก และเมอ x มคาเขาใกล -2 ทางขวาเขาไป คา 2x4

1

กยงนอยลงอยางไมมขดจากด จะไดวา

2xlim

2x41

= และ 2x

lim x มคาเปนลบ เมอ x 0

ดงนน 2x

lim2x4

x2

= 2 (-2) () = -

จะเหนวา ลมตซาย ไมเทากบลมตขวา และหาคาไมได จงสรปวา

2xlim

g(x) หาคาไมได

ดงนน g(x) = 2x4

x2

จงเปนฟงกชนทไมตอเนอง ท x = -2

ถาเขยนกราฟของฟงกชน g(x) = 2x4

x2

เมอ x เขาใกล -2 ไดดงน


g(x) ไมเปนไปตามเงอนไขท 1 และ 2 และ g(x) เมอ x -2+ และ g(x) - เมอ x -2- จงเปนฟงกชนไมตอเนองทเรยกวาความไมตอเนองทไมมทสนสด

ตวอยางท 6.16 จงพจารณาวา g(x) = x

xx 2 มความตอเนองท x = 0 หรอไม และควรจะกาหนดคา g(0) เปน

เทาใด จงจะทาให g(x) เปนฟงกชนทตอเนอง

วธทา เพราะวา g(x) = x

xx 2

เมอ x = 0 จะไดวา = 0

xx 2 ทาให g(0) ไมสามารถหาคาได

เมอพจารณาหาคา 0x

lim

g(x) ไดดงน

0x

lim

g(x) = 0x

lim x

xx 2 =

0xlim x

)1x(x =

0xlim

x-1 = 0x

lim

x - 0x

lim

1 = 0 – 1 = -1

สรปไดวา g(x) ไมเปนไปตามเงอนไขขอท 1 แตสามารถหาคา limit g(x) ได จงเปนฟงกชนทไมตอเนองทเรยกวาความไมตอเนองทจดหนง ถาตองการให g(x) เปนฟงกชนทตอเนอง จะตองกาหนดคาของฟงกชนใหม ดงน

g(x) = x

xx 2 เมอ x 0

-1 เมอ x = 0

x

g(x)

-2 0


6.2 อนพนธของฟงกชน (The derivative of function) 6.2.1 ความหมายของอนพนธ กาหนดให x เปนตวแปรอสระ และ y เปนตวแปรตามทมความสมพนธกน ดงน y = f(x) เมอตวแปร x เปลยนแปลงจาก x0 เปน x1 การเปลยนแปลงในคาของ x จะเทากบผลตางของ x1 – x0 หรอใชสญลกษณ x แทน ( อานวา เดลตา หมายถง ผลตาง) ดงนน x = x1 – x0 ในทานองเดยวกน เมอ y เปลยนแปลงจาก y0 เปน y1 จะใชสญลกษณ y แทนผลตางของ y1 – y0 หรอ y = y1 – y0 และเมอ x มการเปลยนแปลง คาของ f(x) จะแปรเปลยนไปตามคาตางๆ ของ x โดยท f(xi) กคอคาของ f(x) เมอ x = xi เชน f(x) = 3 + x2 เมอ x = 0 จะไดวา f(0) = 3 + 02 = 3 x = 1 จะไดวา f(1) = 3 + 12 = 4 การเปลยนแปลงคาของ x จาก x0 เปน x1 นน อาจเขยนใหมไดวา x1 = x0 + x คาของฟงกชน y = f(x) กจะเปลยนจาก y0 = f(x0) เปน y1 = f(x0 + x) การเปลยนแปลงใน y ตอหนวยของการเปลยนแปลงของ x เขยนอยในรปของผลหารของผลตางไดดงน

xΔ

yΔ =

xΔ)x(f)xΔx(f 00

…….. 6.1

ผลหารดงกลาว แสดงถงอตราเฉลยของการเปลยนแปลงของ y (the average rate of change of y) ซง

สามารถหาคาไดเมอทราบคาของ x0 และ ปรมาณการเปลยนแปลงของ x หรอ x ดงนน xΔ

yΔ กคอฟงกชนของ x0

และ x นนเอง ตวอยางเชน กาหนดให y = 5x2 - 4 เมอ x เปลยนแปลงคาจาก x0 เปน x1 จะไดวา x = x1 – x0 เขยนอยในรปของฟงกชนของ x0 ได ดงน f( x0) = 5( x0)2 - 4 และ f(x0 + x) = 5( x0 + x)2 – 4

ดงนน xΔ

yΔ =

x4)x(54 -x) x 5( 2

02

0

Δ

Δ

= x

4)x(54x)(x x2 x 5 20

20

20

Δ

ΔΔ =

x)x(5xx 10 2

0

Δ

ΔΔ


xy

Δ

Δ = 10x0 + 5x …….. 6.2

สมการ 6.2 สามารถหาคาได เมอทราบคา x0 และ x เชน กาหนดให x0 = 3 และ x = 4

ดงนน อตราเฉลยของการเปลยนแปลงของ y หรอ xΔ

yΔ = 10(3) + 5(4) = 30 + 20 = 50

คาเฉลยดงกลาว หมายถง เมอ x เปลยนแปลงจาก 3 หนวย เปน 7 หนวย การเปลยนแปลงใน y เทากบ 50 หนวย ตอหนวยการเปลยนแปลงใน x โดยปกตจะใหความสาคญของอตราการเปลยนแปลงของ y เมอการเปลยนแปลงใน x หรอ x มคานอย

มาก โดยจะประมาณคาของ xΔyΔ ดวยการไมนาคาของพจนตางๆ ทม x รวมดวยมาคานวณในผลหารของ

ผลตางของตวแปร อยางเชนในสมการ 6.2 จะถอวา x มคานอยมาก จนสามารถตดพจนทม x รวมดวยทงได

ดงนนคาประมาณของ xΔyΔ จงเทากบ 10x0 ซงคาประมาณทไดนเปนคาทใกลเคยงกบคาจรงของ xΔ

yΔ

มากทสด แนวคดดงกลาว หมายความวา ขณะท x มคาเขาใกลศนย หรอเกอบจะเทากบศนยแตไมเทากบศนย คา

ของ 10x0 + 5x จะเขาใกลคา 10x0 ทาให xΔ

yΔ จะเขาใกลคา 10x0 ดวยเชนเดยวกน เขยนเปนสญลกษณไดวา

xΔ

yΔ 10x0 เมอ x 0 สามารถเขยนอยในรปแบบของลมตไดดงน

0xΔ

lim xΔ

yΔ = 10x0 …….. 6.3

อานวา “ลมตของ xΔ

yΔ เทากบ 10x0 เมอ x เขาใกลศนย” ลมตของผลหารของผลตาง

xΔ

yΔ เมอ x

0 น เรยกวา อนพนธของฟงกชน y = f(x) ดงนน อนพนธ (derivative) จงหมายถง อตราการเปลยนแปลงระหวางตวแปรของฟงกชนในขอบเขตจากด ณ ระดบใดระดบหนง และเขยนเปนสญลกษณแทนอนพนธของฟงกชน y = f(x) ท x ใดๆ ไดวา f(x) โดยท

f(x) = 0x

limΔ

xΔ

yΔ =

0xlimΔ

x

)x(f)xx(f 00


ขอสงเกตบางประการเกยวกบอนพนธของฟงกชน 1. อนพนธเปนฟงกชน คาวาอนพนธ (derivative) หมายถง ไดมาจากฟงกชน (derived function) ถา ฟงกชนเดมคอ y = f(x) อนพนธกคอฟงกชนอนๆ ทไดมาจากฟงกชนเดมน ดงเชน ผลหารของผลตางกคอฟงกชนของ x0 และ x สงเกตไดจากสมการ 6.3 อนพนธของฟงกชนกคอฟงกชนของ x0 เทานน เพราะวา x มคาเขาใกลศนยซงมคานอยมากและเกอบจะเทากบศนย การทใชสญลกษณ x0 ซงเปนตวแปรทมสญลกษณหอยทายหรอดชนลางกากบไว กเพอแสดงใหเหนวา คาของตวแปร x ตองเรมตนจากคาเฉพาะคาใดคาหนงของ x โดยทวไปสามารถตดดชนลาง นออกจากอนพนธไดเพอใหเหมอนกบฟงกชนเดมซงเปนฟงกชนของตวแปรอสระ x และใช x แสดงถงอนพนธของฟงกชนแทน 2. อนพนธเปนลมตของผลหารของผลตางซงเปนการวดอตราการเปลยนแปลงของ y อนพนธ จงมความสาคญตอการวดอตราการเปลยนแปลง โดยเฉพาะการวดการเปลยนแปลงของ x ซง มการเปลยนแปลงนอยมากจนเกอบเทากบศนย (x 0) 3. สญลกษณทใชแทนอนพนธของฟงกชนโดยทวไปมการใชใน 2 แนวทาง คอ ใช f(x) หรอ f(กาหนด

โดย Lagrange) และ dxdy

(กาหนดโดย Leibniz) แตอาจจะมการใชสญลกษณอนๆ เชน Dy หรอ Df(x) แทนกได แต

ไมนยม การใช f(x) จะแสดงใหเหนวามาจากฟงกชนเดม f(x) และการใช dxdy

จะแสดงถงการใหความสาคญของ

อนพนธวามาจากการวดอตราการเปลยนแปลง ตวอกษร d ใชแทนอกษรกรก แต dxdy

แตกตางจาก xΔyΔ

ตรงท dxdy

หมายถงลมตของ xΔ

yΔ เมอ x 0

ดงนน การใชสญลกษณแทนอนพนธของฟงกชน y = f(x) จงอาจใชไดวา

dxdy

= f(x) = 0x

limΔ

xΔ

yΔ

และ dxdy

เรยกวา อนพนธของ y เทยบกบ x ตวอยางเชน จากฟงกชนเดม y = 5x2 – 4 สามารถหาคาผลหาร

ของผลตางตามสมการ 6.2 และลมตของผลหารผลตางตามสมการ 6.3 และใช x แทน x0 จะไดวา

dxdy

= 0x

limΔ

xΔ

yΔ = 10x

หรอ f(x) = 10x


ถากาหนดให x มคาตางๆ กน จะสามารถหาคาของอนพนธของฟงกชนเมอ x มคาแตกตางกนนนได เชน เมอกาหนดให x = 3 จะไดวา f(3) = 10(3) = 30 เมอกาหนดให x = 4 จะไดวา f(4) = 10(4) = 40 6.2.2 อนพนธและความชนของเสนสมผส กาหนดให y = f(x) และเขยนเปนเสนกราฟของฟงกชนไดตามภาพท 6.1

ภาพท 6.1 เสนโคงของฟงกชน y = f(x) เสนซเคนทและเสนสมผส

จากภาพ เสนกราฟของฟงกชน y = f(x) ทจด A แสดงถงคอนดบ x0 และ y0 และจดท B แสดงถงคอนดบ x1 และ y1 ตวแปร x มการเปลยนแปลงคาจาก x0 ทจด A เปน x1 ทจด B แสดงวา x มคาเพมขน x1 – x0 หรอ x ขณะเดยวกน y มการเปลยนแปลงคาจาก y0 ทจด A เปน y1 ทจด B แสดงวา y มคาเพมขน y1 – y0 หรอ y เมอลากเสนตรงใหผานจด A และจด B เสนตรงดงกลาวจะตดเสนกราฟของฟงกชน y = f(x) เสนตรงนเรยกวา เสนซเคนท (secant) และลากเสนสมผสทจด A ถากาหนดใหเสนซเคนททามมกบแกน x เทากบ (ซตา) และเสนสมผสทามมกบแกน x เทากบ (แอลฟา) เมอ x มการเปลยนแปลงนอยมากจนเขาใกลศนย หรอ x 0 ซงกคอจด B มการเคลอนทไปตามเสนโคงของฟงกชน และเขาใกลจด A มากยงขน จนทาใหเสนซเคนทกลายเปนเสนสมผสทจด A

y

x x0

x

C

y

B

A

0

y = f(x)

x1

y1

y0

เสนซเคนท

เสนสมผส


แตเนองจากความชนของเสนซเคนท = ACBC

= xy

= tan

ในขณะท จด B เคลอนทเขาใกลจด A น น หรอ B A จะไดวา หรอ tan tan แต B A กคอ x1 x0 และเมอ x1 x0 จะไดวา tan tan จากความหมายของลมต

ดงนน tan = 01 xx

lim

tan = 01 xx

lim

xΔ

yΔ

เพราะวา xΔ

yΔ =

01

01

xx)x(f)x(f

= x

)x(f)xx(f 00

Δ

Δ

และ x1 x0 กคอ x 0

ดงนน tan = 0x

limΔ

x

)x(f)xx(f 00

Δ

Δ

ซงกคอความชนของเสนสมผสทจด x0 ใดๆ นนเอง

แต f(x) = 0x

limΔ

x

)x(f)xx(f 00

Δ

Δ

ดงนน tan = f(x) หรอ ความชนของเสนสมผสของฟงกชน y = f(x) ณ จดใดจดหนงจงเทากบ อนพนธของฟงกชนนนๆ การใชอนพนธในทางเศรษฐศาสตรมกจะเกยวของกบการวเคราะหเกยวกบหลกการสวนเพมหรอหลกการหนวยสดทาย (principle of marginality) ตวอยางเชน การวเคราะหตนทนสวนเพมหรอตนทนหนวยสดทาย (marginal cost) ซงเปนททราบดวา ตนทนสวนเพม หมายถง ตนทนทงหมดทเปลยนแปลงไปอนเนองมาจาก มการ

ผลตเพมขนอก 1 หนวย หรอ MC = QC

เมอ MC = ตนทนสวนเพม (marginal cost) C = ตนทนทงหมด (total cost) Q = ผลผลต (output) กาหนดใหฟงกชนตนทนท งหมด คอ C = f(Q) ในกรณของการผลตน ผลผลตเปนตวแปรประเภทไมตอเนอง (discrete variable) แตการวเคราะหเกยวกบการเปลยนแปลงของผลผลตหรอ Q นน จะกาหนดใหมการ


เปลยนแปลงนอยมากหรอเขาใกลศนยจงสมมตใหเปนตวแปรตอเนอง (continuous variable) ดงน น การหาคา

ตนทนสวนเพม จงหาไดจากลมตของอตราสวนของ QC

เมอ Q เขาใกลศนย

ถาฟงกชนตนทนทงหมด เปนไปตามเสนกราฟตามภาพท 6.2

ภาพท 6.2 เสนโคงของฟงกชน ตนทนทงหมด

จากภาพ เสนโคง C แสดงถงตนทนทงหมดของการผลต และมการผลตปรมาณ Q0 ณ ทจด A ของเสนโคง C เมอมการผลตเพมขนอก Q เปน Q2 ณ ทจด B ซง Q2 = Q0 + Q ตนทนทงหมดจะเพมขน จาก C0 เปน C2 ซง C2 = C0 + C

ดงนน QC

= 02

02

QQCC

ผลหารของผลตางนกคออตราเฉลยของการเปลยนแปลงในกรณนกคอตนทน

สวนเพมเฉลย และจะเทากบ ความชนของเสน AB ซงเทากบ AEEB

ถา Q เปลยนแปลงไปโดยมการผลตเพมขนนอยกวา Q2 สมมตใหเปน Q1 ตนทนสวนเพมเฉลย กจะถกวดโดยความชนของเสนตรง AD แทนทจะเปนเสนตรง AB และเมอลดปรมาณผลผลตทเพมขน (Q) ใหนอยลงอกจนกระทง Q 0 ตนทนสวนเพมเฉลยกจะถกวดโดยความชนของเสนตรง KG หรอเสนสมผส ซงมคาเทากบ

KHHG

ซงความชนของเสนสมผส KG กคอความชนของเสนโคงตนทนทงหมดทจด A และสามารถหาคาไดจากลมต

ของ QC

เมอ Q 0 โดยผลผลตแรกเรม คอ Q0 ดงนนอนพนธของฟงกชนตนทนทงหมด กคอความชนของ

ฟงกชน C = f(Q) ทจด A เขยนแทนดวยสญลกษณ f(Q)

C

Q Q0

Q

E

C D

A

0

C = f(Q)

Q1

C1

C0

C2 B

F

Q2

G

H K


ในกรณทผลผลตเปลยนแปลงไปจาก Q0 เปน Q2 ซงกคอจด B ของเสนโคงฟงกชนตนทนทงหมด ในกรณนจะใชจด B บนเสนโคงในการวเคราะหแทนจด A ความชนของเสนโคงทจด B กคอคาอนพนธหรอ f(Q2) นนเอง

ตวอยางท 6.17 กาหนดให f(x) = x3 + 2 จงหา f(x) และความชนของเสนสมผสกราฟของฟงกชนทจด x เทากบ 4 และ 5

วธทา เพราะวา f(x) = 0x

limΔ

x

)x(f)xx(f 00

Δ

Δ

= 0x

limΔ

x

]2)x[(2] x) x ([ 30

30

Δ

Δ

เพราะวา (x0 + x)3 = 3)x()x(x3xx3x 20

20

30 ΔΔΔ

ดงนน f(x) = 0x

limΔ

x

x)](x3x) ( x 3x[ 022

0

Δ

ΔΔΔ

= 0x

limΔ

)x(x3)x(x3 022

0 ΔΔ = 20x3

เมอ x0 = 4 f(4) = 3(4)2 = 48 x0 = 5 f(5) = 3(5)2 = 75 นนคอ ความชนของเสนสมผสเสนโคงของฟงกชนทจด x = 4 เทากบ 48 และความชนของเสนสมผสเสนโคงของฟงกชนทจด x = 5 เทากบ 75 6.2.3 กฎของอนพนธสาหรบฟงกชน 1 ตวแปรอสระ การหาอนพนธของฟงกชนในรปของลมตเปนวธการทไมสะดวกในการคานวณ นกคณตศาสตรจงสรางสตรสาเรจโดยตงเปนกฎของอนพนธ (rules of differentiation) เพอใหสะดวกตอการนาไปใช ถากาหนดให f และ g เปนฟงกชน และ c เปนคาคงท 1) ฟงกชนพชคณต (algebraic function) สตรทใชกบฟงกชนพชคณตน สามารถใชกบผลบวก ผลลบ ผลคณ เศษสวน กาลง และกรณ (roots) ของฟงกชนทมอนพนธ (1) ฟงกชนพหนาม (polynomial function) การหาอนพนธของฟงกชนพหนามหาไดจากสตรตามกฎตอไปน


1) กฎของฟงกชนของคาคงท (constant-function rule) กฎท 1 อนพนธของฟงกชนของคาคงท y = f(x) = c มคาเทากบศนย หมายถง มคาเทากบศนยสาหรบทกๆ คาของ x ดงน

dxdy

= 0 หรอ dxdc

= 0 หรอ f(x) = 0

หรออาจจะเขยนอยในรปแบบตอไปนกได

dxd

y = dxd

f(x) = dxd

(c) = 0

ตวอยางท 6.18 ฟงกชนตนทนคงท c = f(Q) = 15,000 บาท จงหาอนพนธของฟงกชนตนทนคงทน วธทา กราฟของฟงกชนตนทนคงท จะเปนเสนตรงทขนานไปตามแกนนอน ซงมความชนเปนศนย ดงน น อนพนธของฟงกชนมคาเทากบ ศนยสาหรบทกๆ คาของ Q

ดงนน dQd

c = dQd

(15,000) = 0

หรอ f(x) = 0 2) กฎของฟงกชนยกกาลง (power-function rule) กฎท 2 อนพนธของฟงกชนยกกาลง y = f(x) = xn จะไดผลลพธเทากบ nxn-1 เมอ n เปนจานวนจรง

dxdy

= dxd

( xn) = nxn-1 หรอ f(x) = nxn-1

ตวอยางท 6.19 จงหาอนพนธของ y = x3 และ y = x9 วธทา จากกฎขอท 2 จะไดวา เมอ y = x3

dxdy

= dxd

(x3) = 3(x)3-1 = 3x2

และ y = x9

dxdy

= dxd

(x9) = 9(x)9-1 = 9x8


ตวอยางท 6.20 จงหาอนพนธของฟงกชนตอไปน

1. y = x0 2. y = 3x1

3. y = x

วธทา 1. y = x0

dxdy

= dxd

(x0) = 0(x)0-1 = 0

2. y = 3x1

= x-3

dxdy

= dxd

(x-3) = -3(x)-3-1 = -3(x)-4 = 4x3

3. y = x = 21

)x(

dxdy

= dxd

21

)x( = 21 1

21

)x(

= 21

21

)x(

= x2

1

กฎท 3 อนพนธของผลคณของคาคงทกบฟงกชนยกกาลง y = f(x) = cxn จะไดผลลพธเทากบ cnxn-1

dxdy

= dxd

(cxn) = cdxd

(xn) = cnxn-1

f(x) = cnxn-1 ตวอยางท 6.21 กาหนดให f(x) = 4x และ g(x) = 2x3 จงหาอนพนธของฟงกชนทง 2 วธทา y = f(x) = 4x

dxdy

= f(x) = dxd

(4x) = 4dxd

(x) = 4(1)x1-1 = 4x0 = 4

y = g(x) = 2x3

dxdy

= g(x) = dxd

(2x3) = 2dxd

(x3) = 2(3)x3-1 = 6x2


ตวอยางท 6.22 จงหาอนพนธของ y = 6x-3 วธทา y = 6x-3

dxdy

= dxd

(6x-3) = 6dxd

(x-3) = 6(-3)(x)-3-1 = -18(x)-4

3) กฎของผลบวกและผลตาง (sum-difference rule) กฎท 4 อนพนธของผลบวก (ผลตาง) ของ 2 ฟงกชน u = f(x) และ v = g(x) จะไดผลลพธเทากบ ผลบวก (ผลตาง) ของอนพนธของ 2 ฟงกชนนน ถา y = u v เมอ u = f(x) และ v = g(x) จะได

dxdy

= dxdu

dxdv

หรอ

dxdf(x) g(x) =

dxd

f(x) dxd

g(x)

ตวอยางท 6.23 จงหาอนพนธของ y = 6x3 + 4x2 วธทา ถา u = 6x3 v = 4x2 ดงนน y = u + v

dxdy

= dxdu

+ dxdv

= dxd

(6x3) + dxd

(4x2)

= 6dxd

(x3) + 4dxd

(x2)

= 6(3)(x)3-1 + 4(2)(x)2-1 = 18x2 + 8x ตวอยางท 6.24 จงหาอนพนธของ y = 8 - 3x2 วธทา

dxdy

= dxd

(8 - 3x2) = dxd

(8) - dxd

(3x2) = 0 - 3dxd

(x2) = -3(2)(x)2-1 = -6x

กฎนสามารถขยายไปยงฟงกชนทมากกวา 2 ฟงกชนได ดงน

dxd

[f(x) g(x) h(x)] = f(x) g(x) h(x)


ตวอยางท 6.25 จงหาอนพนธของฟงกชน y = 5x4 + 3x3 – 4x2 + 40

วธทา dxdy

= dxd

(5x4 + 3x3 – 4x2 + 40)

= dxd

(5x4) + dxd

(3x3) - dxd

(4x2) + dxd

40

= 5dxd

(x4) + 3dxd

(x3) - 4dxd

(x2) + 0

= 5(4)x3 + 3(3)x2 – 4(2)x = 20x3 + 9x2 – 8x

ตวอยางท 6.26 กาหนดให Q = P2 – 4P + 3 จงหา dPdQ

วธทา dPdQ

= dPd

(P2 – 4P + 3)

= dPd

(P2) - dPd

(4P) + dPd

(3)

= 2(P)2-1 – 4(P)1-1 + 0 = 2P - 4 ตวอยางท 6.27 กาหนดใหฟงกชนตนทนทงหมดระยะสน เปนดงน TC = Q3 – 4Q2 + 8Q + 90 จงหาอนพนธของฟงกชน

วธทา dQ

dTC =

dQd

(Q3 – 4Q2 + 8Q + 90)

= dQd

(Q3) – dQd

(4Q2) + dQd

(8Q) + dQd

(90)

= 3(Q)3-1 – (4)(2)(Q)2-1 + 8(Q)1-1 + 0 = 3Q2 – 8Q + 8

จากตวอยางขางตนจะเหนวา dQ

dTC กคอตนทนสวนเพม ซงหาไดจาก

0QlimΔ QΔ

TCΔ หรออนพนธของ

ฟงกชนตนทนทงหมดนนเอง เมอพจารณาฟงกชนตนทนทงหมด จะประกอบดวย 2 สวน คอ ตนทนแปรผนและตนทนคงท ตนทนแปรผนจะแปรตามปรมาณผลผลต (Q) สวนตนทนคงทกคอคาคงททบวกเพมในฟงกชนตนทนทงหมดนน เมอหาอนพนธของฟงกชนตนทนทงหมด คาคงทจะถกตดออกไป เพราะอนพนธของคาคงทเปนศนย จงทาใหตนทนคงทไมมผลตอการหาตนทนสวนเพม


โดยทวไป ถาฟงกชน y = f(x) เปนฟงกชนทงหมด อนพนธของฟงกชนทงหมดนกคอฟงกชนสวนเพม

หรอ dxdy

ฟงกชนทง 2 นสามารถเขยนแสดงดวยเสนกราฟได เพราะวามความเกยวของกนระหวางอนพนธของ

ฟงกชนกบความชนของเสนโคงททกๆ คาของ x ฟงกชนสวนเพมจงสามารถแสดงดวยความชนของฟงกชนทงหมดทคาของ x นนๆ ภาพท 6.3 ถาฟงกชนท งหมดเปนฟงกชนเชงเสนซงมความชนคงท ฟงกชนสวนเพมกจะเปนฟงกชน เชงเสนของคาคงทนน

ภาพท 6.3 ฟงกชนทงหมดเปนฟงกชนเชงเสน

จากภาพท 6.4 ถาฟงกชนทงหมดเปนฟงกชนไมใชเชงเสน (ความชนของเสนโคงมคาแปรเปลยนไปไมคงท) และทาใหฟงกชนสวนเพมเปนเสนโคงทเพมขน โดยเสนโคงของฟงกชนสวนเพมจะอยต ากวาแกนนอนเมอฟงกชนทงหมดมคาความชนเปนลบ และจะอยสงกวาแกนนอนเมอฟงกชนทงหมดมคาความชนเปนบวก

ภาพท 6.4 ฟงกชนทงหมดเปนฟงกชนไมใชเชงเสน

y

x

y = 1 + x

1

0

y = x3 – 10x + 50

x

y

10

0 2

20 30 40 50

-10 4 6 8 10

= x2 – 10


จากภาพท 6.5 ฟงกชนทงหมดเปนฟงกชนหกงอ (non-smoothness) จะมผลทาใหอนพนธของฟงกชนหรอฟงกชนสวนเพมเปนฟงกชนไมตอเนอง

ภาพท 6.5 ฟงกชนทงหมดเปนฟงกชนหกงอ

เมอพจารณาเปรยบเทยบภาพท 6.4 และภาพท 6.5 จะพบวาภาพท 6.4 นน ฟงกชนทงหมดเปนเสนโคงทเรยบ (smoothness) ทกๆ จดของเสนโคงซงมผลทาใหฟงกชนสวนเพมเปนเสนโคงทมคาเพมขนอยางตอเนอง ดวยเหตผลนจงสรปไดวาถาฟงกชนเดมเปนฟงกชนทเรยบททกๆ จดของเสนโคงจะสงผลใหอนพนธของฟงกชนเปนฟงกชนทตอเนอง 4) กฎของผลคณ (product rule) กฎท 5 อนพนธของผลคณของ 2 ฟงกชน u = f(x) และ v = g(x) จะไดผลลพธเทากบ ผลคณของฟงกชนแรกกบอนพนธของฟงกชนหลง บวกดวยผลคณของฟงกชนหลงกบอนพนธของฟงกชนแรก

ถา y = uv เมอ u = f(x) และ v = g(x) จะได dxdy

= udxdv

+ vdxdu

หรอ dxdf(x) g(x) = f(x)

dxdg(x) g(x)

dxd

f(x)

= f(x) g(x) + g(x)f (x)

ตวอยางท 6.28 กาหนดให y = (2x + 3) (3x2) จงหา dxdy

วธทา ให u = (2x + 3) v = (3x2)

ดงนน dxdy

= (2x + 3)dxd

(3x2) + (3x2) dxd

(2x + 3)

= (2x + 3)(3)(2)(x)2-1 + (3x2) 2 + 0

y = 5-x เมอ x 3 x-1 เมอ x 3

x

y

1

0 1

2 3 4 5

-1 2 3 4 5

= -1 เมอ x < 3

1 เมอ x > 3

6


= (2x + 3)6x + (3x2)(2) = 12x2 + 18x + 6x2 = 18x2 + 18x จากตวอยางนสามารถตรวจสอบคาตอบไดโดยการหาผลคณของ 2 ฟงกชน ซงจะทาใหเปนฟงกชนพหนาม แลวจงหาอนพนธของฟงกชนพหนามกจะไดคาตอบตามตองการ ดงนน (2x + 3) (3x2) =6x3 + 9x2

dxdy

= dxd

(6x3 + 9x2)

= dxd

(6x3) + dxd

(9x2)

= 6 (3)(x)3-1 + 9 (2)(x)2-1 = 18x2 + 18x คาตอบทง 2 วธ เทากน ตวอยางท 6.29 จงหาอนพนธของ g = (x + 1) (4x2 – 10x + 6) วธทา ให u = (x + 1) และ v = (4x2 – 10x + 6)

ดงนน dxdu

= dxd

(x + 1)

= dxd

(x) + dxd

(1) = 1(x)1-1 + 0 = 1

และ dxdv

= dxd

(4x2 – 10x + 6)

= dxd

(4x2) - dxd

(10x) + dxd

(6)

= 4 (2)(x)2-1 – 10(x)1-1 + 0 = 8x - 10

เพราะวา dxdg

= u dxdv

+ v dxdu

= (x + 1)(8x – 10) + (4x2 – 10x + 6)(1) = 8x2 – 2x – 10 + 4x2 – 10x + 6 = 12x2 - 12x - 4 กฎนสามารถขยายไปสกรณทเปนผลคณของ 3 ฟงกชน ไดดงน

dxd

f(x) g(x) h(x) = f(x) g(x) h(x) + f (x) g (x) h(x) + f (x) g (x) h (x)


ตวอยางท 6.30 จงหาอนพนธของ y = (x +2)(3x + 2)(x2 + 1) วธทา ให f(x) = (x + 2) g(x) = (3x + 2) h(x) = (x2 + 1)

ดงนน f (x) = dxd

(x + 2) = 1

g (x) = dxd

(3x + 2) = 3

h (x) = dxd

(x2 + 1) = 2(x)2-1 = 2x

เพราะวา dxdy

= f(x) g(x) h(x) + f (x) g (x) h(x) + f (x) g (x) h (x)

= 1(3x + 2)(x2 + 1) + (x + 2)(3)(x2 + 1) + (x + 2)(3x + 2)2x = 3x3+2x2+3x+2 + 3x3+6x2+3x+6 + 6x3+16x2+8x = 12x3 + 24x2 + 14x + 8 ในกรณท y ประกอบดวยฟงกชนทเหมอนกนคณกน หรอเปนฟงกชนทยกกาลงจะไดดงน กฎท 6 ถา u = f(x) และ y = un เมอ n เปนจานวนจรง

dxdy

= dxd

(u)n = n(u)n-1 dxdu

หรอ dxd

[f(x)]n = n [f(x)]n-1 f(x)

ตวอยางท 6.31 จงหาอนพนธของ y = (x2 + 5)4 วธทา ให u = (x2 + 5)

ดงนน dxdy

= dxd

(x2 + 5)4

= 4 (x2 + 5)4-1 dxd

(x2 + 5)

= 4 (x2 + 5)3 (2x) = 8x (x2 + 5)3


ตวอยางท 6.32 กาหนดให y = 4 2x1 จงหาอนพนธของฟงกชนน

วธทา เพราะวา y = 4 2x1 หรอ 41

2 )x1( ให u = (1 – x2)

ดงนน dxdy

= dxd

(u)n = dxd

41

2 )x1(

= 41

1

41

2 )x1(

dxd

(1 - x2)

= 41

43

2 )x1(

(-2x)

= 43

2 )x1(4

x2

ตวอยางท 6.33 จงหาอนพนธของ y = 2x2 + 1x 2

วธทา dxdy

= dxd

[2x2 + 1x 2 ]

= (2)(2)(x)2-1 + dxd

21

2 )1x(

= 4x +

)1x(

dxd

)1x(21 21

21

2

= 4x +

)x2()1x(

21

21

2

= 4x + x 21

2 )1x(

= 4x + 1x

x2

= x (4 +1x

12

)


(2) ฟงกชนตรรกยะ (rational function) 1) กฎของผลหาร (quotient rule) กฎท 7 อนพนธของผลหารของ 2 ฟงกชน u = f(x) และ v = g(x) จะไดผลลพธเทากบผลคณของฟงกชนทเปนสวนกบอนพนธของฟงกชนทเปนเศษลบดวยผลคณของฟงกชนทเปนเศษกบอนพนธของฟงกชนทเปนสวนคาทงหมดหารดวยฟงกชนทเปนสวนยกกาลงสอง

ถา y = vu

dxdy

= dxd

(vu

)

= 2v

dxdv

udxdu

v หรอ

dxd

)x(g)x(f

= 2)]x(g[

)x(g)x(f)x(g)x(f

ตวอยางท 6.34 จงหา dxdy

เมอ y = )1x()3x2(

วธทา ให u = (2x + 3) v = (x + 1)

ดงนน dxdu

= dxd

(2x + 3) = 2

dxdv

= dxd

(x + 1) = 1


= 2v

dxdv

udxdu

v

= 2)1x(

)1)(3x2()2)(1x(

= 2)1x(

3x22x2

= -

2)1x(1


ตวอยางท 6.35 จงหา f(x) เมอ y = x2

5x3 2

วธทา ให u = 3x2 + 5 v = 2x

ดงนน dxdu

= dxd

(3x2 + 5) = (3)(2)(x)2-1 = 6x

dxdv

= dxd

(2x) = 2

เพราะวา f(x) = dxdy

= 2v

dxdv

udxdu

v

= 2

2

)x2()2)(5x3()x6)(x2(

= 2

22

x410x6x12

= 2

2

x410x6

= 2

2

x25x3

ตวอยางท 6.36 กาหนดให y = 2

)1x()1x2(

จงหา dxdy

วธทา ให u = )1x()1x2(

ใชกฎขอท 7 หาอนพนธของผลหาร ดงน

dxd

(2x + 1) = 2 dxd

(x - 1) = 1

ดงนน dxdu

= 2)1x(

)1)(1x2()2)(1x(

= 2)1x(

1x22x2

=

2)1x(3


ใชกฎขอท 6 หาอนพนธของฟงกชนยกกาลง ดงน

เพราะวา dxd

(u)n = n(u)n-1 dxdu

dxdy

= 2

2

12

)1x(3

)1x()1x2(

= 2)1x)(1x()3)(1x2(2

= 3)1x(

)1x2(6

ตวอยางท 6.37 กาหนดให y = x2 (x+1)-1 จงหา dxdy

วธทา ให u = x2 v = (x + 1)-1

ดงนน dxdu

= 2x

dxdv

= (-1)(x+1)-1-1 dxd

(x + 1) = (-1)(x+1)-2 (1) = -(x + 1)-2

ใชกฎของผลคณของฟงกชน

dxdy

= x2 [-(x + 1)-2] + (x + 1)-1 (2x)

= -x2 (x + 1)-2 + 2x (x + 1)-1

= )1x(

x2)1x(

x2

2

= 2

2

)1x()1x(x2x

= 2

22

)1x(x2x2x

= 2

2

)1x(x2x

= 2)1x()2x(x


กรณเดยวกนสามารถคานวณโดยใชกฎของผลหารได ดงน

y = x2 (x + 1)-1 = )1x(

x 2

ให u = x2 dxdu

= 2x

v = (x + 1) dxdv

= 1

ดงนน dxdy

= dxd

1xx 2

= 2

2

)1x()1(xx2)1x(

= 2

22

)1x(xx2x2

= 2)1x()2x(x

(3) ฟงกชนคอมโพสท (composite function) ถา y เปนฟงกชนของ u หรอ y = f(u) ในขณะท u เปนฟงกชนของ x หรอ u = g(x) ดงนน y จงเปนฟงกชนของฟงกชน (function of a function) หรอเรยกวาเปนฟงกชนคอมโพสท เขยนเปนสญลกษณไดวา y = fg(x) 1) กฎลกโซ (chain rule) กฎท 8 ถา y = f(u) และ u = g(x) แลว อนพนธของ y เมอเทยบกบ x จะเทากบผลคณของอนพนธของ y เมอเทยบกบ u กบอนพนธของ u เมอเทยบกบ x เขยนเปนสญลกษณไดดงน

dxdy

= dxdu

dudy = f(u) g(x)

กฎนเรยกวา กฎลกโซและสามารถขยายไปยงฟงกชนทเกยวของกนโดยตรง 3 ฟงกชน หรอมากกวาได เชน ถามฟงกชน y = f(u) u = g(x) และ x = h(w) จะไดวา

dwdy

= dwdx

dxdu

dudy

= f(u) g(x) h(w)


ตวอยางท 6.38 กาหนดให y = 4u2 และ u = 3x + 5 จงหา dxdy

วธทา เพราะวา y = 4u2

dudy

= du

d 4u2 = (4)(2)u = 8u และ u = 3x + 5

dxdu

= dxd

(3x + 5) = 3

ดงนน dxdy

= dxdu

dudy

= (8u)(3) = 24u = 24 (3x + 5)

ตวอยางท 6.39 กาหนดให y = u - 3 และ u = x2 จงหา dxdy

วธทา เพราะวา y = u – 3

dudy

= du

d (u – 3) = 1

และ u = x2

dxdu

= dxd

(x2) = 2x

ดงนน dxdy

= dxdu

dudy = (1)(2x) = 2x

ตวอยางท 6.40 กาหนดให y = 2u + u2 และ u = x2 - 5 จงหา dxdy

วธทา เพราะวา y = 2u + u2

dudy

= du

d (2u + u2) = 2 + 2u

และ u = x2 - 5

dxdu

= dxd

(x2 - 5) = 2x

ดงนน dxdy

= dxdu

dudy = (2 + 2u)(2x)

แต u = x2 – 5


= [2 + 2(x2 – 5)] 2x = [2 + 2x2 – 10] 2x = (2x2 – 8) 2x = 4x3 – 16x


u และ u = 2(x2 + 1) จงหา dxdy

วธทา

เพราะวา y = 32

u

dudy

= dud

32

)u( = 32

1

32

)u(

= 32

31

)u(

และ u = 2(x2 + 1)

dxdu

= dxd

[2(x2 + 1)] = 2dxd

(x2 + 1) = 2(2x) = 4x

ดงนน dxdy

= dxdu

dudy

= 32

31

)u(

(4x) = 31

)u(3

x8 =

31

2 )]1x(2[3

x8

=

31

2 )2x2(3

x8

หรออกวธหนงกจะไดคาตอบเชนเดยวกน

เพราะวา y = 32

)u( = 32

2 )]1x(2[

dxdy

= dxd

32

2 )]1x(2[

= 32

1

32

2 )]1x(2[

dxd

[2(x2 + 1)]

= 32

31

2 )]1x(2[

(2)(2x)

= 31

2 )]1x(2[3

x8

=

31

2 )2x2(3

x8


ตวอยางท 6.42 กาหนดให y = 1c

c2

2

และ c = 1x2 จงหา

dxdy

วธทา ให u = c2 v = c2 + 1

เพราะวา dcdu

= 2c dcdv

= 2c

จากกฎของผลหาร

dcdy

= 22

22

)1c()c2(c)c2)(1c(

= 22

33

)1c(c2c2c2

= 22 )1c(c2

และ c = 1x2 = 21

)1x2(

dxdc

= 21

21

)1x2(

(2) = 21

)1x2(

ดงนน dxdy

= dxdc

dcdy =

22 )1c(c2

21

)1x2(

แต c = 1x2

= 1x2

1]1)1x2[(

1x2222

= 2)11x2(

2

= 2)]1x(2[

2

= 2)1x(4

2

= 2)1x(2

1

หรออกวธหนงกจะไดคาตอบเชนเดยวกน


เพราะวา y = 1c

c2

2

=

1)1x2()1x2(

2

2

= )11x2(

1x2

= 2x21x2

ให u = 2x + 1 และ v = 2x + 2

dxdu

= 2 และ dxdv

= 2

จากกฎผลหาร จะไดวา

dxdy

= 2)2x2(

)2)(1x2()2)(2x2(

= 2)2x2(

2x44x4

= 2)2x2(

2

= 2)]1x(2[

2

= 2)1x(4

2

= 2)1x(2

1

(4) ฟงกชนผกผน (inverse function) ถากาหนดให y = f(x) เปนฟงกชนทความสมพนธระหวางตวแปร x และตวแปร y มการจบคแบบหนง ตอหนง (one-to-one mapping) หมายความวา เมอแทนคา x ดวยคา x ใดๆ แลว จะไดคา y ทแตกตางกนไมซ ากน f ฟงกชนนจะมฟงกชนผกผนกคอ x = f-1(y) [อานวา x เปนฟงกชนผกผนของ y]

สญลกษณ f-1 หมายถง ฟงกชนผกผน ไมใชหมายความวาเปน f1

ในความหมายของการจบคแบบหนง

ตอหนงน สาหรบคา x หนงคา เมอแทนคาในฟงกชน y = f(x) แลว จะใหคา y เพยงคาเดยว ในทานองเดยวกน เมอกาหนดคา y เพยงหนงคาในฟงกชนผกผนแลว ยอมใหคา x เพยงคาเดยวเชนกน ตวอยางทแสดงถงการจบคแบบหนงตอหนงทชดเจนกรณหนงคอการจบคแบบหนงตอหนงของเซตทประกอบดวยสาม และเซตทประกอบดวยภรรยา ของสงคมทมสามหรอภรรยาเพยงคนเดยว (monogamous society) สามแตละคนจะมภรรยาเพยงคนเดยว และภรรยาแตละคนจะมสามเพยงคนเดยว ในทานองตรงขาม การจบคกนของเซตของคณพอทงหมดกบเซตของ


ลกชายทงหมด จะไมเปนการจบคแบบหนงตอหนง เพราะวาคณพอคนเดยวอาจจะมลกชายหลายคนถงแมวาลกชายแตละคนจะมคณพอเพยงคนเดยว เมอ x และ y เปนตวแปรทเปนจานวนตวเลข ฟงกชนทมคณสมบตของการจบคของตวแปรแบบหนงตอหนงจะเรยกวาเปนฟงกชนแบบหนงตอหนง (monotonic function) เมอกาหนดคา x เพมขนแลวทาใหคาของ f(x) เพมขนดวยเสมอ หมายความวา ถา x1 > x2 f(x1) > f(x2) ฟงกชน f น เรยกวาฟงกชนเพม (increasing function) หรอเพมขนแบบหนงตอหนง (monotonically increasing) แตถากาหนดคาของ x เพมขนแลวปรากฏวาคาของ f(x) กลบมคาลดลงเสมอ กลาวคอ ถา x1 > x2 f(x1) < f(x2) ฟงกชน f น เรยกวาฟงกชนลด (decreasing function) หรอลดลงแบบหนงตอหนง (monotonically decreasing) ในทางปฏบตจะพจารณาจากเครองหมายของอนพนธของฟงกชน [f(x)] ในลกษณะเดยวกบเครองหมายทางพชคณต(มากกวาศนยหรอนอยกวาศนย) สาหรบทกๆ คาของ x ถาฟงกชนมฟงกชนผกผน อนพนธของฟงกชนผกผนจะตองมเครองหมายเหมอนกบอนพนธของฟงกชนเดมดวย ตวอยางเชน กาหนดให y = 5x + 25 หาอนพนธของฟงกชนไดดงน

dxdy

= dxd

(5x + 25) = 5 > 0

อนพนธของ f(x) มคาเปนบวกทกๆ คาของ x ดงนน f(x) จงเปนฟงกชนแบบหนงตอหนง ในกรณนจะเปนฟงกชนเพม เพราะวาอนพนธมคาเปนบวกและจะมฟงกชนผกผน ซงฟงกชนผกผนของ f(x) กคอ

x = 51

y - 5 หรอ x = f-1(y)

ฟงกชนผกผนจะเปนฟงกชนแบบหนงตอหนง และเปนฟงกชนเพมดวยเพราะวา

dydx

= dyd

(51

y – 5) = 51

> 0

อนพนธของฟงกชนผกผนมคาเปนบวกทกๆ คาของ y ในลกษณะเดยวกนกบอนพนธของฟงกชนเดม สรปไดวา ถาฟงกชน f เปนฟงกชนแบบหนงตอเนองทงในกรณ ฟงกชนเพม และฟงกชนลด จะมฟงกชนผกผนเสมอ และทงฟงกชนเดมและฟงกชนผกผนจะตองเปนฟงกชนแบบหนงตอหนงทงค ถา f-1 เปนฟงกชนผกผนของ f ดงนน f ตองเปนฟงกชนผกผนของ f-1 นนคอทง f และ f-1 ตองเปนฟงกชนผกผนซงกนและกน 1) กฎฟงกชนผกผน (inverse-function rule) กฎท 9 ถา y = f(x) และสามารถหาคา x ได และ x = f-1(y) เปนฟงกชนผกผนของ f(x) โดยท f(x) และ f-1(y) เปนฟงกชนทมอนพนธ จะไดวา อนพนธของฟงกชนผกผนจะเทากบ สวนกลบของอนพนธของฟงกชนเดม หรอ


dydx

=

dxdy1

หรอ เขยนใหมไดเปน dxdy

=

dydx1

ตวอยางท 6.43 กาหนดให y = 3x + 8 และมฟงกชนผกผน จงหาอนพนธของฟงกชนผกผน วธทา เพราะวา y = f(x) = 3x + 8

ดงนน dxdy

= dxd

(3x + 8) = 3

เนองจาก dxdy

> 0, f(x) จงเปนฟงกชนแบบหนงตอหนงประเภทฟงกชนเพม

แต y = 3x + 8

ดงนน ฟงกชนผกผนของ f(x) กคอ x = 3

8y = f-1(y)

และ dydx

= dyd

(3

8y ) =

31

=

dxdy1

อนพนธของ f-1(y) หรอ dydx

>0 จงเปนฟงกชนเพม

ตวอยางท 6.44 กาหนดให y = x5 + x จงหาอนพนธของฟงกชนผกผน วธทา ถาฟงกชน y = f(x) มฟงกชนผกผน คอ f-1(y) อนพนธของฟงกชน คอ

dydx

=

dxdy1

แต dxdy

= dxd

(x5 + x) = 5x4 + 1 > 0

หรบทกๆ คาของ x ฟงกชนนเปน ฟงกชนเพมแบบหนงตอหนง และฟงกชนผกผนกตองเปนฟงกชนเพมแบบหนงตอหนงเชนเดยวกน คอ

dydx

= 1x5

14

> 0

ฟงกชนผกผนทกลาวมาน นเกยวของกบการจบคแบบหนงตอหนงของตวแปรของฟงกชน ในกรณทฟงกชนเปนลกษณะของเสนโคงตวย (u-shaped) กจะพจารณาเฉพาะสวนของความชนของเสนโคงทลาดลงหรอลาด


ขน แยกออกจากกนเปนฟงกชน 2 ฟงกชน แตละฟงกชนจะเปน ฟงกชนแบบหนงตอหนงทมโดเมนของฟงกชนทจากด ทาใหสามารถใชกฎของฟงกชนผกผนหาอนพนธได

ตวอยางท 6.45 กาหนดให y = x + 31

x3 + 51

x5 จงหาอนพนธของฟงกชนผกผน

วธทา เพราะวา y = x + 31

x3 + 51

x5

dxdy

= dxd

(x + 31

x3 + 51

x5) = 1 + 31

(3)(x)3-1 + 51

(5)(x)5-1 = 1 + x2 + x4

อนพนธของ f-1(y) = dydx

=

dxdy1

= 42 xx11


x - 31

x จงหา dydx

วธทา dxdy

= dxd

( 21

x - 31

x )

= 21

1

21

)x(

- 31 1

31

)x(

= 21

21

x

- 31

32

x

เพราะวา dydx

=

dxdy1

=

32

21

x3

1

x2

11

=

32

61

x6

2x3

1

=

2x3

x6

61

32

2) ฟงกชนอดศย (transcendental function) (1) ฟงกชนลอการทม (logarithmic function)

กาหนดให x > 0, a> 0 และ a 1 เมอ x = ay ดงนน y = loga x อานวา y เทากบ ลอการทมของ x ฐาน a ฟงกชนทเขยนอยในรปของ f(x) = loga x เรยกวาฟงกชนลอการทม ซงจะตองมการระบฐานใหชดเจนทนยมใชมอย 2 ระบบ คอ


1) สาหรบฟงกชนทกาหนดโดยใหมฐานเทากบ 10 หรอ a = 10 เรยกวา ฟงกชนลอการทม (common logarithm) ไมนยมเขยนฐาน 10 แตละไวในฐานะทเขาใจ ดงน

f(x) = log x เชน y = log x หมายถง x = 10y 2) ในกรณทกาหนดใหเปนฐาน e ซงคาประมาณของ e เทากบ 2.71818 เรยกวาฟงกชนลอการทมธรรมชาต (natural logarithm) กาหนดใหเขยนฟงกชน ดงน

f(x) = loge x = n x

เชน y = n x หมายถง x = ey กฎท 10 1. ถา y = loga x อนพนธของฟงกชนลอการทมเปนดงน

dxdy

= dxd

loga x = x1

loga e

2. แตถาอยในรปของฟงกชนลอการทมธรรมชาตเปนดงน

y = loge x = n x

จะไดวา dxdy

= x1

loge e = x1

n e

แต n e = 1 ดงนน dxdy

= x1

3. ถา y = loga u และ u = f(x)


= dxd

loga u = u

1 [loga e]

dxdu

4. ถา y = loge u หรอ = n u และ u = f(x)


= dxd

n u

= u

1 [loge e]

dxdu

= u

1 n e

dxdu

แต n e = 1

ดงนน dxdy

= u

1

dxdu


ตวอยางท 6.47 จงหาอนพนธของฟงกชนลอการทม ดงน 1. y = log 2x 2. y = log (1 + x2)

3. y = n 1x

x

4. y = log (x2 – 3x) วธทา 1. y = log 2x

dxdy

= dxd

log 2x

= x2

1 [log e]

dxd

(2x)

= x2

1 (2) [log e] =

x1

log e

2. y = log (1 + x2)

dxdy

= dxd

log (1 + x2)

= )x1(

12

[log e] dxd

(1 + x2)

= )x1(

12

(2x) [log e] = )x1(

x22

[log e]

3. y = n 1x

x

dxdy

= dxd

(n 1x

x

)

=

)1x(x1

dxd

1xx


= x

)1x(

2)1x(x)1x(

= x

)1x(

2)1x(1

= )1x(x

1

4. y = log (x2 – 3x)

dxdy

= dxd

log (x2 – 3x)

= )x3x(

12

log e dxd

(x2 – 3x)

= )x3x(

12

log e (2x – 3)

= )x3x(

3x22

log e

สาหรบขอยอยท 3 สามารถคานวณไดอกวธหนง คอ ใชกฎของลอการทมกอนหาอนพนธของฟงกชนลอการทม ดงน

y = n x – n (x + 1)

dxdy

= dxd

n x - dxd

n (x + 1)

= x1

- )1x(

1

dxd

(x + 1)

= x1

- )1x(

1

(1)

= )1x(xx)1x(

= )1x(x

1


ตวอยางท 6.48 จงหาอนพนธของ y = n (1 – 2x + x2)

วธทา y = n (1 – 2x + x2)

dxdy

= dxd

n (1 – 2x + x2)

= )x 2x - (1

12

dxd

(1 – 2x + x2)

= )x 2x - (1

)x22(2

ตวอยางท 6.49 จงหาอนพนธของ y = x2n

วธทา y = x2n

dxdy

= dxd

21

)x2n(

= 21

1

21

)x2n(

dxd

(n 2x)

= 21

21

)x2n(

x2

1

dxd

(2x) = x2nx2

1

ตวอยางท 6.50 จงหาอนพนธของ y = x2 n (x + 1)

วธทา y = x2 n (x + 1) เนองจาก y เปนฟงกชนผลคณ ใหหาอนพนธของผลคณกอนจงหาอนพนธของฟงกชนลอการทม

dxdy

= dxd

[x2 n (x + 1)]

= x2 dxd

[n (x + 1)] + n (x + 1) dxd

x2

= x2

)1x(

dxd

)1x(1

+ n (x + 1) (2x)

= x2

)1(

)1x(1

+ 2x n (x + 1)

= )1x(

x 2

+ 2x n (x + 1)


ตวอยางท 6.51 จงคานวณหา dxdy

ของฟงกชน y = n x2

)1x(

)1x(

วธทา y = n x2

)1x(

)1x(

จากกฎของลอการทม จะไดวา

y = n x2 + n )1x(

)1x(

= 2 n x + [n (x – 1) – 21

)1x(n ]

= 2 n x + n (x -1) - 21

n (x + 1)

หาอนพนธของฟงกชน

dxdy

= dxd

[2 n x + n (x – 1) - 21

n (x + 1)]

= 2 dxd

n x + dxd

[n (x – 1)] - 21

dxd

[n (x + 1)]

= (2)x1

+ )1x(

1

dxd

(x-1) -

2

1

)1x(1

dxd

(x + 1)

= x2

+ )1x(

1

- )1x(2

1

= )1x(x2

)1x(x)1x(x2)1x(42

2

= )1x(x2

1x52

2

(2) ฟงกชนเอกซโปเนนเชยล (exponential function) ฟงกชนเอกซโปเนนเชยล เปนฟงกชนผกผนของฟงกชนลอการทม โดยท y = ax หรอ f(x) = ax เมอ a > 0 และ a 1 เรยกวา ฟงกชนเอกซโปเนนเชยลฐาน a ในกรณท y = ex หรอ f(x) = ex เรยกวา ฟงกชนเอกซโปเนนเชยลธรรมชาต


กฎท 11 1. ถา y = ax อนพนธของฟงกชนเอกซโปเนนเชยลเปนดงน

dxdy

= dxd

ax = ax n a

2. ถา y = ex


= dxd

ex = ex ln e

แต n e = 1

ดงนน dxdy

= ex

3. ถา y = au และ u = f(x)


= dxd

au = au n e dxdu

4. ถา y = eu และ u = f(x)


= dxd

eu = eu n edxdu

แต n e = 1

ดงนน dxdy

= eu dxdu

ตวอยางท 6.52 จงหาอนพนธของฟงกชนเอกซโปเนนเชยลตอไปน

1. y = 4x 3. y = 1x2

10 2. y = e2x – 1 4. y = x2 e3x วธทา 1. y = 4x

dxdy

= dxd

4x = 4x n 4dxdx

= 4x n 4


2. y = e2x – 1

dxdy

= dxd

e2x – 1 = e2x – 1 dxd

(2x - 1) = 2e2x – 1

3. y = 1x 210

dxdy

= dxd

1x 210 = 1x 2

10 [n 10] dxd

x2 – 1 = 1x 210 [n 10] 2x

4. y = x2 e3x

dxdy

= dxd

x2 e3x

หาอนพนธของฟงกชนผลคณ

dxdy

= x2 dxd

e3x + e3x dxd

x2

= x2 [e3x ]dxd

3x + e3x [2x] = 3x2 e3x + 2x e3x

ตวอยางท 6.53 จงหาอนพนธของ y = e2x n (3x - 1)

วธทา y = e2x n (3x - 1)

dxdy

= dxd

[e2x n (3x - 1)]

หาอนพนธของฟงกชนผลคณ

dxdy

= e2x dxd

[n (3x - 1)] + n (3x – 1)dxd

e2x

= e2x

)1x3(

dxd

)1x3(1

+ n (3x – 1)

x2

dxd

e x2

= e2x

)3(

)1x3(1

+ n (3x – 1) [e2x (2)]

= 3)1x3(

e x2

+ 2e2x n (3x – 1)


6.2.4 อนพนธอนดบสงกวาอนดบหนง (Second and higher derivatives) การหาอนพนธของฟงกชนประเภทตางๆ ทกลาวมาแตแรกนน เปนการหาอนพนธอนดบทหนง (first

derivative) โดยทวไปใชสญลกษณวา dxdy

หรอ f(x) หรอ dxd

f(x) เมอฟงกชน y = f(x) เชน อนพนธของฟงกชน f

เทยบกบตวแปร x คอ dxdy

= 8x + 2 + 8x3 ถาทาการหาอนพนธของอนพนธของฟงกชนนอกครงหนง จะไดวา

dxd

dxdy

= dxd

[8x + 2 + 8x3]

= 8 + 0 + 24x2 = 8 + 24x2

และใชสญลกษณ 2

2

dxyd

แทน dxd

dxdy

หรออาจใช f(x) หรอ f2(x) การหาอนพนธในลกษณะน

เรยกวา อนพนธอนดบทสอง (second derivatives) ในทานองเดยวกน สามารถหาอนพนธของอนพนธอนดบทสองได ถาอนพนธอนดบทสองเปนฟงกชนท

หาอนพนธได เรยกวา อนพนธอนดบทสาม หรอ dxd

2

2

dxyd

หรอ 3

3

dxyd

หรอ )x(f หรอ f3(x)

ในทานองเดยวกนสาหรบการหาอนพนธของฟงกชนอนดบตอๆ ไป กสามารถทาไดเชนกน ดงน น

ถาตองการหาอนพนธอนดบท n ของ f(x) จะใชสญลกษณ n

n

dxyd

หรอ fn(x)

ตวอยางท 6.54 จงหาอนพนธอนดบทหนงและอนดบทสองของฟงกชน f(x) = 3x – 2x3 วธทา กาหนดให y = 3x – 2x3

dxdy

= dxd

(3x – 2x3) = 3 – 6x2

dxd

dxdy

= dxd

(3 – 6x2)

2

2

dxyd

= 0 – 12x = -12x


ตวอยางท 6.55 กาหนดให f2(x) = 3x2 – 10x + 6 จงหา f4(x)

วธทา f3(x) = dxd

[3x2 – 10x + 6] = 6x - 10

f4(x) = dxd

[6x – 10] = 6

ตวอยางท 6.56 กาหนดให P = 15Q5 – 10Q4 + 2Q2 จงหา 3

3

dQPd

วธทา P = 15Q5 – 10Q4 + 2Q2

dQdP

= dQd

[15Q5 – 10Q4 + 2Q2] = 75Q4 – 40Q3 + 4Q

2

2

dQPd

= dQd

[75Q4 – 40Q3 + 4Q] = 300Q3 – 120Q2 + 4

3

3

dQPd

= dQd

[300Q3 – 120Q2 + 4] = 900Q2 – 240Q

6.2.5 คาเชงอนพนธ (Differential) สญลกษณ dy/dx ทกลาวมาต งแตตนน น ใชแทนอนพนธของฟงกชน y = f(x) แตยงไมไดพจารณาความหมายของแตละคาของ dy และ dx ซงสามารถนาไปประยกตใชในเรองอนๆ ทเกยวของกบวชาแคลคลสได ถากาหนดให y = f(x) x เปนสวนทเปลยนแปลงของ x y เปนสวนทเปลยนแปลงของ y

และ xΔ

yΔ หมายถง อตราการเปลยนแปลงของ y เมอเทยบกบ x สามารถเขยนใหมไดเปน

y (xΔ

yΔ) x ........ 6.4

y สามารถหาคาได ถาทราบอตราการเปลยนแปลงของ y/x และคาการเปลยนแปลงของ x เมอ x เปนคาเปลยนแปลงของ x เพยงเลกนอย y จะเปนคาเปลยนแปลงของ y เลกนอยเชนกน ผลหารของการเปลยนแปลงหรอ y/x กจะแสดงถงอนพนธ dy/dx ดงนน ถาใหการเปลยนแปลงของ x และ y เพยงเลกนอย แทนดวย dx และ dy ตามลาดบ สามารถเขยนสมการ 6.4 ใหมไดเปน


dy

dxdy

dx หรอ f(x) dx ........ 6.5

สญลกษณ dy และ dx แตละคาเรยกวาคาเชงอนพนธของ y และ x ตามลาดบ จากสมการ 6.5 หารดวย dx ทง 2 ขาง จะไดวา

dxdy

dxdy

หรอ f(x) ........ 6.6

ผลลพธตามสมการ 6.6 จะไดวา อนพนธของฟงกชนหรอ f(x) อาจหมายถง ผลหารของคาเชงอนพนธแตละคา 2 คา ซงกคอ dy และ dx ดงนนเมอกาหนดอนพนธของฟงกชน y = f(x) ใหจะสามารถหาคาของ dy ไดโดยมคาเทากบ f(x) dx ตวอยางท 6.57 กาหนดให y = 3x2 + 7x – 5 จงหา dy วธทา เพราะวา y = 3x2 + 7x – 5

dxdy

= dxd

3x2 + 7x – 5 = 6x + 7

ดงนน dy = (6x + 7) dx …….. 6.7 ผลลพธดงกลาวจะสามารถคานวณหาผลของการเปลยนแปลงของ y อนเนองมาจากการเปลยนแปลงของ x ได อยางไรกตาม dy และ dx ในทนจะหมายถงการเปลยนแปลงทนอยมาก ถาแทนคาการเปลยนแปลงของ x ทนอยมากนดวย x ในสมการ 6.7 ผลลพธ dy กจะเปนคาประมาณทเปนการเปลยนแปลงของ y หรอ y เชนกน จากตวอยางน ถาให x มการเปลยนแปลงจาก 5 เปน 5.01 ซงกคอ x = 5 และ dx = 5.01 – 5 = 0.01 เมอแทนคาในสมการ 6.7 จะไดวา dy = [6(5) + 7](0.01) = 37 (0.01) = 0.37 ถาตองการเปรยบเทยบการเปลยนแปลงทแทจรงของ y เมอ x = 5 แทนคา x ในฟงกชน y = 3x2 + 7x – 5 จะไดวา y = 3(5)2 + 7(5) – 5 = 75 + 35 – 5 = 105 และเมอ x = 5.01 y = 3(5.01)2 + 7(5.01) – 5 = 3(25.1001) + 35.07 – 5 = 105.3703 คาเปลยนแปลงทแทจรงของ y หรอ y = 105.3703 – 105 = 0.3703


แตจากการคานวณไดวา dy = 0.37 แสดงวาคาประมาณการเปลยนแปลงของ y หรอ dy คลาดเคลอนไปจากความเปนจรงเทากบ 0.0003 การอธบายถงความคลาดเคลอนของคาประมาณการเปลยนแปลงของ y พจารณาไดจาก ภาพท 6.6

ภาพท 6.6 การเปลยนแปลงของ y เมอเทยบกบ x

จากภาพท 6.6 x = AC y = BC

ความชนของเสนตรง AB = xΔ

yΔ =

ACBC

เมอแทนคาในสมการ 6.4 จะได

y = (xΔ

yΔ) x = (

ACBC

) AC = BC

จากสมการท 6.5 นนใชคาอนพนธ dy/dx แทน y/x และใช slope หรอความชนของเสนตรง AD แทน

เสนตรง AB ดวยคา tan หรอ ACCD

dy = (dxdy

) dx = (ACCD

) AC = CD

ซงจะแตกตางจากการเปลยนแปลงทแทจรง (BC) หรอมความคลาดเคลอนเทากบ DB โดยทคาความคลาดเคลอนนจะนอยลงๆ เมอ x มคานอยมาก ซงกคอคา x เคลอนทจากจด B เคลอนไปยงจด A จากภาพและคาอธบายขางตน จะสงเกตเหนไดวา การเปลยนแปลงของ y หรอคาเชงอนพนธ (dy) และสวนทเพมขน (y) ของฟงกชน โดยทวไปแลวจะมคาไมเทากน ถาฟงกชนนนไมไดเปนสมการเสนตรง จากภาพท 6.6 จะพบวา dy = CD และ y = BC แตโดยประมาณแลว เมอ x = AC ซงมคานอยมาก y = BC จะเทากบ dy = CD เมอ x มการเปลยนแปลงนอยมากๆ สรปไดวา คาของ dy หรอคาเชงอนพนธ dy สามารถใชแทนการเปลยนแปลงในฟงกชนโดยประมาณได

y

x x0

x C

y D B

A

0

y = f(x)


กระบวนการของการหาคา dy หรอการเปลยนแปลงของ y เรยกวาการหาคาเชงอนพนธ (differentiation) แตถาใชคาวาการหาคาเชงอนพนธเมอเทยบกบ x จะหมายถงการหาคาอนพนธ dy/dx ดงนน เมอกาหนดฟงกชน y = f(x) จะสามารถหาคาตางๆ ไดดงน 1. หาคาเชงอนพนธ หรอ dy ไดโดยการคณอนพนธของฟงกชน (dy/dx) ดวย dx 2. หาคาอนพนธของฟงกชน (dy/dx) ดวยการหารคาเชงอนพนธ หรอ dy ดวย dx ตวอยางท 6.58 กาหนดให y = x4 + 4x3 + x – 7 ใหใช คาเชงอนพนธหาคาของฟงกชน หรอ y โดยประมาณ เมอ x0 = 2.998 วธทา เพราะวา y = x4 + 4x3 + x – 7

dxdy

= dxd

(x4 + 4x3 + x – 7) = 4x3 + 12x2 + 1

ดงนน dy = [4x3 + 12x2 + 1] dx ถาคาเรมแรกคอ x1 = 3 และ x0 = 2.998 จะไดวา dx = (-0.002) จะได dy = [4(3)3 + 12(3)2 + 1] [-0.002] = [108 + 108 + 1] [-0.002] = 217 (-0.002) = -0.434 หาคาทแทจรงของ y เมอ x1 = 3 y = (3)4 + 4(3)3 + 3 - 7 = 81 + 108 + 3 – 7 = 185 เนองจาก -0.434 เปนคาเปลยนแปลงโดยประมาณของ y หรอ dy เมอ x เปลยนแปลงจาก 3 ไปเปน 2.998 ดงนน เมอ x = 2.998 y = 185 – 0.434 = 184.566 ตวอยางท 6.59 จงใชคาเชงอนพนธ หาคาโดยประมาณของ 80 วธทา ให x = 80 และ y เปนคาโดยประมาณของ 80 จะได y = 80 หรอ x

ดงนน dxdy

= dxd

x = dxd

( 21

x ) = 21

1)x(

21

= 21

)x(21

ดงนน dy =

21

)x(21

dx

ถา x = 81 และ dx = 80 – 81 = -1


dy = )1(811

21

=

921

= -0.0555

ดงนน 80 = 81 - 0.0555 = 9 – 0.0555 = 8.9445 โดยประมาณ


แบบฝกหดบทท 6 1. จงหาลมตของฟงกชนตอไปน f(x) = 7 – 9x + x2

1.1 เมอ x 0 1.2 เมอ x -1 2. จงหาลมตของฟงกชนตอไปน g(x) = (x + 2)(x – 3)

2.1 เมอ x -1 2.2 เมอ x 5 3. จงหาลมตตอไปน

3.1 2x

lim

x2 + 2x – 5 3.2 0x

lim

3x

18x2x 2

3.3 3x

lim

3x

15x2x 2

3.4 4x

lim

4x

12xx 2

3.5 2x

lim

1x6 3

4. จงหาลมตของฟงกชนตอไปน

4.1 f(x) = 9x4x57x5x4

3

3

เมอ x

4.2 f(x) = 9x4x57x5x4

3

3

เมอ x -

4.3 f(x) = 3x2x

3x2

เมอ x 1+

4.4 f(x) = 2x3x

2x2

เมอ x 1-


5. จงหาวาฟงกชนทกาหนดใหตอไปน มความตอเนองหรอไมตอเนอง

5.1 f(x) = 2x4x 2

เมอ x 2

4 เมอ x = 2 ณ จด x = 2 5.2 f(x) = 5x2 -8x +9 ณ จด x = 3

5.3 g(x) = 9x

3x2

ณ จด x = 3

6. จงหาอนพนธของฟงกชนตอไปน 6.1 f(x) = 20 6.7 g(x) = 8x -6 6.2 y = x6 6.8 f(x) = -5x3 6.3 y = 5x4 6.9 f(x) = -6x-4

6.4 u = 2a-1 6.10 y = x5

6.5 u = -4 21

a 6.11 y = x8 6.6 g(x) = 5x + 10 6.12 y = 18 3 x 7. จงหา f(1) และ f(2) จากฟงกชนตอไปน

7.1 y = f(x) = 15x 7.4 f(x) = -3 61

x

7.2 y = f(x) = ax4 7.5 f(x) = 3x5 + 3x2

7.3 f(x) = 6 31

x 8. จงหาอนพนธของฟงกชนตอไปน 8.1 y = (9x2 – 2)(3x + 1) 8.2 y = (3x + 10)(6x2 – 7x) 8.3 f(x) = x2 (4x + 6) 8.4 f(x) = 5x4 (3x – 7) 8.5 f(x) = (x8 + 8)(x6 + 10)


9. จงหาอนพนธของฟงกชนตอไปน

9.1 y = f(x) = x2

x6x10 78

9.2 f(x) = x31

x4 5

เมอ x

31

9.3 g(x) = 3x7x2

x152

2

10. จงหา dxdy

ของฟงกชนตอไปน

10.1 y = (3x4 + 5)4 10.2 y = (7x + 9)3 10.3 y = (x2 + 3x + 1)4 11. จงหาอนพนธอนดบสองของฟงกชนตอไปน และเมอ x = 3 อนพนธอนดบสองมคาเทาใด 11.1 f(x) = 7x3 + 5x2 + 12 11.4 y = (x4 – 3)(x3 – 2)

11.2 y = x6 + 3x4 + x 11.5 f(x) = x31

x5

11.3 f(x) = (2x + 3)(8x2 – 6) 11.6 y = (8x – 2)3 12. กาหนดให y = 7x + 21 จงหาอนพนธของฟงกชนผกผนของฟงกชนน และใชกฎฟงกชนผกผนตรวจสอบฟงกชนผกผนนวาเปนฟงกชนแบบหนงตอเนองประเภทใด 13. จงหาอนพนธของฟงกชนลอการทมตอไปน

13.1 y = n 2x3 13.2 y = n (1 +x)

13.3 y = n (x - 4)2 13.4 y = n [(3x + 5)(4x + 4)]

13.5 y = n 1x

x62

2

14. จงหาอนพนธของฟงกชนเอกซโปแเนนเชยลตอไปน

14.1 y = e2x 14.2 y = x2 e5x 14.3 y = ex n x


15. จงหาคาเชงอนพนธ (dy) ของฟงกชนตอไปน 15.1 y = f(x) = x3 + 4x2 – 6x + 3 15.2 y = f(x) = (2x – 5)2 15.3 y = x2 (x + 1) 16. จากโจทยขอ 15.1 ใหใชคาเชงอนพนธ (dy) หาคาของฟงกชนหรอคาของ y โดยประมาณ เมอ x0 = 1.998 และ

คาเรมแรกคอ x1 = 2


บทท 7 อนพนธของฟงกชนทมตวแปรอสระมากกวา 1 ตวแปร การหาอนพนธของฟงกชนทไดอธบายมาตงแตแรกนนเปนการหาอนพนธของฟงกชนทมตวแปรอสระเพยง 1 ตวแปรเทานน การวเคราะหทางเศรษฐศาสตรบางสถานการณแบบจาลองจะประกอบดวยพารามเตอรหรอตวแปรอสระมากกวา 1 ตวแปร ดงนนจงจาเปนทจะตองทาความเขาใจถงวธการหาอนพนธของฟงกชนทมตวแปรอสระหลายตวแปร เพอนาไปประยกตใชกบการศกษาเชงสถตยเปรยบเทยบตอไป 7.1 อนพนธยอยของฟงกชนทมตวแปรอสระมากกวา 1 ตวแปร 7.1.1 อนพนธยอย (Partial derivatives) การหาอนพนธยอยหรออนพนธบางสวน หมายถง อนพนธของฟงกชนทประกอบดวยตวแปรอสระหลายตวแปร โดยพจารณาถงผลทจะเกดขนกบตวแปรตามเมอมการเปลยนแปลงของตวแปรอสระ 1 ตวแปรอสระ และกาหนดใหตวแปรอสระอนๆ คงท

ถากาหนดใหฟงกชน y ประกอบดวยตวแปรอสระทเปนอสระตอกน 2 ตวแปร คอ x1 และ x2 หรอ y = f(x1, x2)

ถาใหตวแปร x1 มการเปลยนแปลงไป x1 ขณะท x2 คงท และทาให y มการเปลยนแปลงไป y ผลหารของความแตกตางทเปลยนแปลงไปเขยนไดดงน

1xy

= 1

21211

x)x,x(f)x,xx(f

หาลมตของ 1x

y

เมอ x1 0 คาลมตดงกลาวกคออนพนธ แตจะเรยกวา อนพนธยอย ของ y เมอ

เทยบกบ x1 อนพนธยอยดงกลาวจะบอกใหทราบวาตวแปรอสระอนๆ ในฟงกชนในทนคอ x2 คงท กระบวนการในการหาอนพนธยอยนเรยกวา partial differentiation


การหาอนพนธยอยจะใชสญลกษณ แทนตวอกษร d กรณดงกลาวจงใชสญลกษณแทนอนพนธยอย

ดงนคอ 1x

y

อานวา อนพนธยอยของ y เมอเทยบกบ x1 บางครงอาจใชสญลกษณ 1x

y หรอ

1xf

หรอ

1

21

x)x,x(f

หรอ f1 ในกรณนจะไดวา f1 1x

y

0x1

lim

1xy

ในทานองเดยวกน ถาให x1 มคาคงท และ x2 มคาเปลยนแปลงไป x2 อนพนธยอยของ y เมอเทยบกบ x2

เขยนไดดงน 2x

y

หรอ 2x

y หรอ

2xf

หรอ 2

21

x)x,x(f

หรอ f2

ถากาหนดให ฟงกชนประกอบดวยตวแปรอสระ n ตวแปร เขยนเปนฟงกชนไดดงน y = f(x1, x2, …, xn) เมอตวแปรอสระ xi (i = 1, 2, …, n) เปนอสระซงกนและกน การเปลยนแปลงคาของตวแปรอสระแตละตว

จะไมมผลตอการเปลยนแปลงของตวแปรอสระอนๆ ถา x1 หมายถง คาทเปลยนแปลงไปของ x1 ขณะท x2 ... xn คงท และ y หมายถงการเปลยนแปลงของ y ผลหารของความแตกตางทเปลยนแปลงไปเขยนไดดงน

1xy

Δ

Δ =

1

n21n211

x)x,...,x,x(f)x,...,x,xx(f

Δ

Δ

หาลมตของ 1x

yΔ

Δ ขณะท x1 0 จะไดอนพนธยอยของ y เมอเทยบกบ x1

ถาตวแปรอสระทเปลยนแปลงไป คอ xi จะไดอนพนธยอยของ y เมอเทยบกบ xi เขยนเปนสญลกษณดงน

ixy

หรอ ix

y หรอ

ixf

หรอ fi ในกรณทตวแปรอสระไมไดเขยนอยในพจนทมดชนลาง แตเขยนเปนอกษร

อารบค เชน y = f(u, v, w) การเขยนอนพนธยอยนยมเขยนอกษรอารบคเปนดชนลาง ดงน fu , fv , fw

ตวอยางท 7.1 กาหนดให y = 3 21x + x1x2 + 2 2

2x จงหา 1x

y

และ 2x

y

วธทา การหาอนพนธยอยจะตองระลกเสมอวา ตวแปรอสระ (n – 1) ตวแปรตองมคาคงทขณะทมตวแปรอสระ

เพยงตวเดยวทเปลยนแปลงไปในขณะน น ในกรณนตองการหา 1x

y

หรอ f1 แสดงวาตวแปรอสระ x1

เปลยนแปลงไป แตตวแปรอสระ x2 คงท ขณะทหาอนพนธสาหรบฟงกชนน พจน 2 22x จะถกตดออกใน


กระบวนการหาอนพนธ เพราะอยในพจนของผลบวกของคาคงท ซงอนพนธของคาคงทมคาเปนศนย แต x1x2 จะยงคงไวเพราะตวคงท x2 อยในพจนของผลคณกบตวแปร x1

1xy

f1 = 6x1 + x2

ในทานองเดยวกน ถาให x1 เปนคาคงท อนพนธยอยของ y เมอเทยบกบ x2 คอ

2xy

f2 = x1 + 4x2

จะสงเกตเหนวา อนพนธยอยทง 2 อนพนธยอยเปนฟงกชนของตวแปร x1 และ x2 ซงจะเหมอนกบฟงกชนเดม ซงกคอ y = f(x1, x2) จงเขยนฟงกชนอนพนธยอยทง 2 ไดวา

f1 = f1 (x1, x2) และ f2 = f2 (x1, x2) ถากาหนดจด (x1, x2) เปน (1, 3) ในโดเมนของฟงกชน f สาหรบตวอยางขางตน อนพนธยอยจะสามารถหา

คาไดเมอแทนคา x1, x2 ทกาหนดใหในอนพนธยอยทง 2 นน ดงน f1 = f1 (1, 3) = 6(1) + (3) = 9 f2 = f2 (1, 3) = (1) + 4(3) = 13

ตวอยางท 7.2 กาหนดให y = (2u + 4) (3u + v) จงหา fu และ fv วธทา เพราะวา y เปนฟงกชนของ u และ v หรอ y = f(u, v) การหาอนพนธยอยของ y เมอเทยบกบ u หรอ fu จะตองให v เปนตวคงท แตเนองจาก y เปนฟงกชนของผลคณ จงตองใชกฎของผลคณในการหาอนพนธ ดงน

uy

= u

(2u + 4) (3u + v)

= (2u + 4) u

(3u + v) + (3u + v) u

(2u + 4)

= (2u + 4)(3) + (3u + v)(2) = 6u + 12 + 6u + 2v = 2(6u + 2v + 6)

vy

= v

(2u + 4) (3u + v)

= (2u + 4) v

(3u + v) + (3u + v) v

(2u + 4)

= (2u + 4)(1) + (3u + v)(0) = 2u + 4


ตวอยางท 7.3 จากตวอยางท 7.2 กาหนดให u = 1 v = 2 จงหา fu (1, 2) และ fv (1, 2) วธทา กาหนดให u = 1 v = 2 fu = fu (1, 2) = 2(6u + 2v + 6) = 2 [6(1) + 2(2) + 6] = 2(16) = 32 fv = fv (1, 2) = 2u + 4 = 2(1) + 4 = 6 ตวอยางท 7.4 กาหนดให y = (u – 2v) / (u2 + v) จงหา fu และ fv

วธทา y = )vu()v2u(

2

หาอนพนธยอยโดยกฎของผลหาร

uy

= 22

22

)vu(

)vu(u

)v2u()v2u(u

)vu(

= 22

2

)vu(u2)v2u()1)(vu(

= 222

22

)vu(uv4u2vu

= 22

2

)vu(vuv4u

vy

= 22

22

)vu(

)vu(v

)v2u()v2u(v

)vu(

= 22

2

)vu()1)(v2u()2)(vu(

= 22

2

)vu(v2uv2u2

= 22

2

)vu(uu2

7.1.2 อนพนธยอยอนดบทสอง จากฟงกชนเดมทมการหาอนพนธยอยอนดบทหนงไปแลว สามารถนามาหาอนพนธยอยอนดบทสองได โดยอาจเปนการหาอนพนธยอยอนดบทสองเมอเทยบกบตวแปรอสระเดมเหมอนการหาอนพนธยอยอนดบทหนง


หรออาจเปนการเทยบกบตวแปรอสระอน ทงนตวแปรอสระทเหลอจะตองคงท ซงทงสองกรณการเขยนสญลกษณ เปนดงน กาหนดให y = f(x1, x2, …, xn)

(1) อนพนธยอยอนดบทหนงของ y เมอเทยบกบ x1 = 1x

y

หรอ 1x

f

หรอ f1

อนพนธยอยอนดบทสองของ y เมอเทยบกบ x1

= 1x

1xy

= 21

2

xy

หรอ 21

2

xf

หรอ f11

สาหรบการหาอนพนธยอยอนดบทสองของ y เมอเทยบกบ x2 = เรยกวา การหาอนพนธยอยแบบไขว (Cross or mixed partial derivative)

= 2x

1xy

= 21

2

xxy

หรอ = 21

2

xxf

หรอ f12

(2) อนพนธยอยอนดบทหนงของ y เมอเทยบกบ x2 = 2x

y

หรอ 2x

f

หรอ f2


= 1x

2xy

= 12

2

xxy

หรอ =

12

2

xxf

หรอ f21


= 2x

2xy

= 22

2

xy

หรอ = 22

2

xf

หรอ f22

จะเหนวา 21

2

xxf

= f12

และ 12

2

xxf

= f21

ดงนน f12 = f21


ตวอยางท 7.5 กาหนดให y = 7 31x + 9x1x2 + 2 5

2x จงหาอนพนธยอยอนดบทสองของ y เมอเทยบกบตวแปรอสระในทกๆ กรณ วธทา y = 7 3

1x + 9x1x2 + 2 52x

หาอนพนธยอยอนดบทหนง

1xy

= 21 21x + 9x2 และ

2xy

= 9x1 + 10 42x

หาอนพนธยอยอนดบทสอง

1x

1xy

= 1x

[21 2

1x + 9x2] 21

2

xy

= f11 = 42 x1

2x

1xy

= 2x

[21 2

1x + 9x2] 21

2

xxy

= f12 = 9

2x

2xy

= 2x

[9x1 + 10 4

2x ] 22

2

xy

= f22 = 40x2

1x

2xy

= 1x

[9x1 + 10 4

2x ] 12

2

xxy

= f21 = 9

จะเหนวา f12 = f21 = 9

ตวอยางท 7.6 กาหนดให z = (x2 + y2)2 จงหา 2

2

xz

, 2

2

yz

, yx

z2

, xy

z2

วธทา z = (x2 + y2)2

xz

= x

(x2 + y2)2 = 2 (x2 + y2) 2x = 4x3 + 4xy2

yz

= y

(x2 + y2)2 = 2 (x2 + y2) 2y = 4x2y + 4y3

x

xz

= x

[4x3 + 4xy2] 2

2

xz

หรอ fxx = 12x2 + 4y2

y

xz

= y

[4x3 + 4xy2] yx

z2

= fxy = 8xy


y

yz

= y

[4x2y + 4y3] 2

2

yz

= fyy = 4x2 + 12y2

x

yz

= x

[4x2y + 4y3] xy

z2

= fyx = 8xy

7.2 คาเชงอนพนธรวม (Total differential) 7.2.1 แนวคดการหาคาเชงอนพนธรวม การหาคาเชงอนพนธ (differential) สาหรบฟงกชนทมตวแปรอสระ 1 ตวแปร สามารถขยายไปสฟงกชนทมตวแปรอสระตงแต 2 ตวแปรขนไปได ถากาหนดให y = f(x1, x2) โดยท x1 มการเปลยนแปลงเพยงเลกนอย แต x2 คงท จะทาให y มการเปลยนแปลงเลกนอยจะไดวา

dy =

1xy

dx1

โดยท 1x

y

เปนอตราการเปลยนแปลงในคาของ y อนเนองมาจากการเปลยนแปลงในคา x1 เพยงเลกนอย

โดยท x2 คงท และ dx1 เปนการเปลยนแปลงในคาของ x1 ในทานองเดยวกนถาให x2 มการเปลยนแปลงเพยงเลกนอย แต x1 คงท จะทาให y มการเปลยนแปลง

เลกนอย จะไดวา

dy =

2xy

dx2

แตการเปลยนแปลงใน y เปนผลรวมจากการเปลยนแปลงทงของ x1 และ x2 จะไดวา

dy =

1xy

dx1 +

2xy

dx2

พจน

1xy

dx1 และ

2xy

dx2 เรยกวา คาเชงอนพนธยอย (partial differentials) ของ y เมอเทยบกบ x1 และ

x2 ตามลาดบ dy เปนผลบวกของคาเชงอนพนธยอยของฟงกชน เรยกวา คาเชงอนพนธรวม (total differential) ของฟงกชน และกระบวนการในการหาคาเชงอนพนธรวม เรยกวา total differentiation โดยทวไป ถา y = f(x1, x2, …, xn) คาเชงอนพนธรวมของฟงกชนเปนดงน


dy = 1x

y

dx1 + 2x

y

dx2 + … + nx

y

dxn

= 1x

f

dx1 + 2x

f

dx2 + … + nx

f

dxn

= f1 dx1 + f2 dx2 + … + fn dxn

dy =

n

1iiidxf

และถา xi เปนฟงกชนทสามารถจะหาอนพนธได เมอเทยบกบตวแปรอนหนงตวแปร เชน เมอเทยบกบตว

แปรอสระ t จะไดวา dxi = dt

dxi dt

หรอ xi เปนฟงกชนทสามารถจะหาอนพนธได เมอเทยบกบตวแปรอสระอน 2 ตวแปร เชน เมอเทยบกบตวแปรอสระ r และ s จะไดวา

dxi = r

x i

dr + s

x i

ds


121 )x - (x )x (x 2

จงหาคาเชงอนพนธรวมของฟงกชน เมอ x1 = 6, x2 = 2, dx1 = 21

, และ dx2 = -1

วธทา เพราะวา

dy =

n

1iiidxf = f1 dx1 + f2 dx2 =

1xf

dx1 + 2x

f

dx2

และ y = 21

121 )x - (x )x (x 2

ดงนน dy = 1x

[ 2

1

121 )x - (x )x (x 2 ] dx1 +2x

[ 2

1

121 )x - (x )x (x 2 ] dx2

ใชกฎของผลคณของฟงกชนไดดงน

= [ 21

121

121 )x - (x)x - (x 21

)x (x 22

] dx1 +

[ 21

121

121 )x - (x)1()x - (x 21

)x (x 22

] dx2


= [ 21

21

2)-(62)-(6 212)(6

] (21

) +

[ 21

21

2)-(6)1(2)-(6 212)(6

] (-1)

=

21

441

21

)8(

)1(4)1(41

21

)8(

= (-1)]22[21

]22[

dy = 2 + 0 = 2 ตวอยางท 7.8 จงหาคาเชงอนพนธรวมของฟงกชน z = 5x2 + xy – 2y3 เมอ x = r2 + 1 และ y = 2r + 3

วธทา เพราะวา dz = xf

dx + yf

dy

= x

[5x2 + xy – 2y3] dx + y

[5x2 + xy – 2y3] dy

= [10x + y] dx + [x – 6y2] dy

[ เพราะวา dx = r

(r2 + 1) dr = 2r dr

dy = r

(2r + 3) dr = 2dr ]

dz = [10(r2 + 1) + (2r + 3)] 2rdr + [(r2 + 1) - 6(2r + 3)2] 2dr = [10r2 + 10 + 2r + 3] 2rdr + [r2 + 1 - 6(4r2 + 12r + 9)] 2dr = [10r3 + 13r + 2r2] 2dr + [-23r2 - 72r - 53] 2dr = 2 [10r3 – 21r2 – 59r - 53] dr 7.2.2 กฎของการหาคาเชงอนพนธ (Rules of differentials) การหาคาเชงอนพนธรวม หรอ dy ของฟงกชน y = f(x1, x2) สามารถทาไดโดยการหาคาอนพนธยอย f1 และ f2 แลวเขยนอยในรปแบบของสมการ ดงน dy = f1 dx1 + f2 dx2


แตยงมวธทสะดวกมากกวาโดยการใชกฎของการหาคาเชงอนพนธ (rules of differentials) ซงจะคลายกบสตรหรอกฎของการหาอนพนธทไดศกษามาแลว กาหนดให u และ v เปนฟงกชน 2 ฟงกชน ของตวแปร x1 และ x2 ดงน u = g (x1, x2) v = h (x1, x2) และให k เปนคาคงท กฎท 1 dk = 0 (กฎของฟงกชนคาคงท) กฎท 2 d(cun) = cnun-1 du (กฎของฟงกชนยกกาลง) กฎท 3 d (u v) = du dv (กฎผลบวกและผลตาง) กฎท 4 d (uv) = vdu + udv (กฎของผลคณ)

กฎท 5 d

vu

= 2v1

[vdu - udv] (กฎของผลหาร)

ตวอยางท 7.9 จงหาคาเชงอนพนธรวมของฟงกชน y = 4 21x + 3x2 วธทา วธแรก โดยการหาอนพนธยอย f1 และ f2 แลวแทนคาลงในสมการ

f1 = 1x

f

= 1x

[4 21x + 3x2] = 8x1

f2 = 2x

f

= 2x

[4 21x + 3x2] = 3

เพราะวา dy = f1 dx1 + f2 dx2 = 8x1dx1 + 3dx2 วธท 2 โดยการใชสตรของกฎตางๆ ของการหาคาเชงอนพนธ

ให u = 4 21x และ v = 3x2 ใชกฎท 3 กฎของผลบวกดงน

dy = d (4 21x ) + d (3x2) ใชกฎท 2 กฎของฟงกชนยกกาลง dy = 8x1dx1 + 3dx2


ตวอยางท 7.10 จงหาคาเชงอนพนธรวมของฟงกชน z = 3x2 + xy2 วธทา วธแรก หาอนพนธยอย f1 และ f2 ดงน

f1 = x

[3x2 + xy2] = 6x + y2

f2 = y

[3x2 + xy2] = 2xy

เพราะวา dz = f1 dx + f2 dy = (6x + y2) dx + (2xy) dy วธท 2 ใชกฎของการหาคาเชงอนพนธดงน dz = d [3x2 + xy2] กฎของผลบวก = d (3x2) + d (xy2) กฎฟงกชนยกกาลงและกฎผลคณ = 6x dx + [y2 dx + xdy2] = 6x dx + y2 dx + 2xy dy = (6x + y2) dx + 2xy dy

ตวอยางท 7.11 จงหาคาเชงอนพนธรวมของฟงกชน z = 2x2yx

วธทา วธท 1 หาอนพนธยอย f1 และ f2 ดงน

f1 = x

[ 2x2yx

]

= 2222

)x2(1

x2x

)yx()yx(x

x2

= [2x2 – 4x(x + y)] 4x41

= 2x [x – 2x – 2y] 4x41

= [-x –2y] 3x21

f2 = y

[ 2x2yx

]


= 22

22

)x2(1

x2y

)yx()yx(y

x2

= [2x2 – (x + y)(0)] 4x41

= 4

2

x4x2

= 2x21

เพราะวา dz = f1 dx + f2 dy = [-x –2y]3x21

dx + 2x21

dy

วธท 2 ใชกฎของการหาคาเชงอนพนธดงน

dz = d

2x2yx

= [2x2 d(x + y) – (x + y) d 2x2] 22 )x2(

1

= [2x2 (dx + dy) – (x + y) 4x dx] 4x41

= [(2x2 - 4x2 – 4xy) dx + 2x2 dy] 4x41

= [2x (-x – 2y) dx] 4x41

+ 4

2

x4dyx2

= (-x – 2y)3x21

dx + 2x21

dy

กฎการหาคาเชงอนพนธตางๆ เหลานสามารถประยกตใชกบฟงกชนทมตวแปรอสระมากกวา 2 ตวแปรไดดงน กฎท 6 d (u v w) = du dv dw กฎท 7 d (uvw) = vwdu + uwdv + uvdw ตวอยางท 7.12 จงหาคาเชงอนพนธรวมของฟงกชน g = 4x (2y + 1)(z + 5) วธทา g = 4x (2y + 1)(z + 5) dg = d [4x (2y + 1)(z + 5)] = (2y + 1)(z + 5) d4x + 4x (z + 5)d (2y + 1) + 4x (2y + 1) d (z + 5) = 4 (2y + 1)(z + 5) dx + 8x (z + 5)dy + 4x (2y + 1) dz


7.3 อนพนธรวม (Total derivative) การหาอนพนธของฟงกชนทมตวแปรอสระหลายตวแปร (ตงแต 2 ตวแปรอสระขนไป) และตวแปรอสระแตละตวตางกเปนอสระซงกนและกน การเปลยนแปลงคาของตวแปรอสระตวใดตวหนงจะไมมผลกระทบถงการเปลยนแปลงในตวแปรอสระอนๆ และเมอกาหนดใหตวแปรอสระตวหนงมการเปลยนแปลงและตวแปรอนๆ คงท การหาอนพนธของฟงกชน จะเปนการหาคาของอนพนธยอยตามทไดอธบายมากอนหนาน ในบางกรณฟงกชนของตวแปรอสระหลายตวแปร ตวแปรอสระมความสมพนธเกยวของกน การหาอนพนธยอยในกรณนจะไมเหมาะสมเพราะไมสอดคลองกบแนวคดของอนพนธยอยทตวแปรอสระแตละตวแปรตองเปนอสระซงกนและกน ในกรณดงกลาวน การเปลยนแปลงของตวแปรอสระตวใดตวหนงจะทาใหตวแปรอสระทเกยวของดวยเปลยนแปลงตามไปดวย (1) ในกรณท y = f(x, w) และ x = g(w) โดยเหตท y เปนฟงกชนของ x และ w ซง x เปนฟงกชนของ w ดวยจงสามารถเขยนฟงกชนใหมไดวา y = f(g(w), w) สามารถเขยนเปนภาพไดดงน

ภาพท 7.1 ความสมพนธของตวแปร

จากภาพท 7.1 จะเหนวาตวแปร w จะสงผลตอตวแปร y 2 ชองทาง คอ

(1) สงผลทางออมโดยผานฟงกชน g แลวจงสงผลตอฟงกชน f (ลกศรทเปนเสนตรง) (2) สงผลโดยตรง โดยผานฟงกชน f (ลกศรทเปนเสนโคง) ดงน น เมอตวแปร w เปลยนแปลง นอกจากจะสงผลโดยตรงตอฟงกชน y แลวยงจะทาใหตวแปร x เปลยนแปลงดวยโดยผานฟงกชน g การหาอนพนธของฟงกชน y จงตองใชการหาอนพนธรวม (total derivative) จงจะเปนการถกตองมากกวา โดยการใชอนพนธยอยแทนในคาเชงอนพนธรวมของฟงกชน y = f(x, w) ดงน dy = fx dx + fw dw

หารสมการนทง 2 ขางดวย dw จะได

dwdy

= fx dwdx

+ fw dwdw

= xy

dwdx

+ wy

(เพราะวา dwdw

= 1)


เพราะวาอนพนธกคออตราสวนของคาเชงอนพนธ 2 คา ในทนอนพนธของฟงกชน y เมอเทยบกบตวแปร

w คอ dwdy

(หมายความวา เปนการวดอตราการเปลยนแปลงของ y เมอมการเปลยนแปลงเพยงเลกนอยของ w) จะ

ประกอบดวย 2 พจน ถาพจน 2 พจนทางขวามอของสมการสามารถหาคาได โดยทพจนแรกเปนผลโดยออมและพจนท 2 เปนผลโดยตรงของ w ทมตอ y

พจนแรกของสมการทเปนผลโดยออมน คอพจนของ xy

dwdx

ซงเปนขนาดของการเปลยนแปลงใน y

อนเนองมาจากการเปลยนแปลงของ x ซงการเปลยนแปลงของ x มสาเหตมาจากการเปลยนแปลงของ w ดงแสดงใหเหนจากลกศร ตามภาพ

และพจนท 2 ของสมการทเปนผลโดยตรงน คอพจนของ wy

ซงเปนขนาดของการเปลยนแปลงใน y

อนเนองมาจากการเปลยนแปลงของ w โดยท x คงท

อนพนธของฟงกชน y เมอเทยบกบตวแปร w หรอ dwdy

ตามสมการดงกลาว เรยกวา คาอนพนธรวม (total

derivative) ของฟงกชน y เมอเทยบกบ w

ตวอยางท 7.13 จงหาอนพนธรวม

dwdy

ของฟงกชน y = f(x, w) = 6x + 2w2

โดยท x = g(w) = 4w2 + 3w + 5 วธทา จาก y = 6x + 2w2

อนพนธรวมทงหมดของฟงกชน y เมอเทยบกบ w เปนดงน

dwdy

= fx dwdx

+ fw dwdw

= xy

dwdx

+ wy

เพราะวา wy

= w

[6x + 2w2] = 4w

และ xy

= x

[6x + 2w2] = 6

และ dwdx

= w

[4w2 + 3w + 5] = 8w + 3


ดงนน dwdy

= 6 [8w + 3] + 4w = 48w + 18 + 4w = 52w + 18

การตรวจสอบคาตอบ ทาไดโดยการแทนคาฟงกชน g ลงในฟงกชน f ไดดงน y = 6 [4w2 + 3w + 5] + 2w2 = 24w2 + 18w +30 +2w2 = 26w2 + 18w + 30

ดงนน dwdy

= dwd

[26w2 + 18w + 30] = 52w + 18

จะเหนวาคาตอบทง 2 วธ เทากน ตวอยางท 7.14 กาหนดให z = f(x, y) จงหาอนพนธรวมเมอเทยบกบ x โดยท z = 3x2 + 4y และ y = g(x) = 2x2 + 2x + 5 วธทา

เพราะวา dxdz

= fx dxdx

+ fy dxdy

= xz

+ yz

dxdy

เพราะวา xz

= x

[3x2 + 4y] = 6x

yz

= y

[3x2 + 4y ] = 4

และ dxdy

= dxd

[2x2 + 2x + 5] = 2x + 2

ดงนน dxdz

= 6x + 4 [4x + 2] = 6x + 16x + 8 = 22x + 8

ตรวจสอบคาตอบ โดยการแทนคาฟงกชน g ลงในฟงกชน f ไดดงน z = 3x2 + 4 [2x2 + 2x + 5] = 3x2 + 8x2 + 8x + 20 = 11x2 + 8x + 20

dx

dz = dx

d [11x2 + 8x + 20] = 22x + 8

ตวอยางท 7.15 กาหนดใหฟงกชนอรรถประโยชน u = f(c, s) โดยท c คอ ปรมาณการบรโภคกาแฟ s คอ ปรมาณการบรโภคน าตาล และ s = g(c) ซงเปนฟงกชนทแสดงความสมพนธของสนคาทง 2 ชนดน จงหาอนพนธรวมของฟงกชนอรรถประโยชนเมอเทยบกบการบรโภคกาแฟ วธทา เนองจาก u = f(c, s) แต s = g(c)


ดงนน เขยนฟงกชนอรรถประโยชนใหมโดยแทน g(c) ใน s ไดดงน u = f [c, g(c)] หาอนพนธรวมของฟงกชน u เมอเทยบกบ c

จาก dc

du = fc dc

dc + fs dc

ds

= c

u

+

s

u

dc

ds

= c

u

+

)c(g

u

g(c)

(2) ในกรณท y = f(x1, x2, w) โดยท x1 = g(w) x2 = h(w) กรณนความสมพนธของตวแปรเปนดงน

ภาพท 7.2 ความสมพนธของตวแปรอสระ 3 ตวแปร ทมตอตวแปรตาม

จากภาพท 7.2 จะเหนวา ตวแปร w มผลตอตวแปร y โดยผาน 3 ชองทาง คอ 1) มผลโดยออม โดยผานฟงกชน g และฟงกชน f 2) มผลโดยออม โดยผานฟงกชน h และฟงกชน f 3) มผลโดยตรง โดยผานฟงกชน f ดงนนจะไดคาอนพนธรวมของฟงกชน y เมอเทยบกบตวแปร w ไดดงน

dwdy

= f1 dwdx1 + f2

dwdx 2 + fw

dwdw

= 1x

y

dwdx1 +

2xy

dwdx 2 +

wy


ตวอยางท 7.16 กาหนดใหฟงกชนการผลตเปนดงน Q = f(K, L, t) โดยทปจจยการผลตไดแก เงนทน K และแรงงาน L และตวแปรเวลา t ตวแปร t จะแสดงใหเหนวาปจจยทนและแรงงานของฟงกชนการผลตน สามารถเปลยนแปลงไดตลอดเวลา ซงสะทอนถงการเปลยนแปลงในเทคโนโลยการผลต ดงนนฟงกชนการผลตจงเปนลกษณะเชงพลวตมากกวาเชงสถตย ปจจยทนและแรงงานจงเปนฟงกชนของตวแปรเวลาดงน วธทา K = g(t) และ L = h(t) อตราการเปลยนแปลงของผลตผลเมอเทยบกบเวลา สามารถหาไดจากการหาอนพนธรวมไดดงน

dtdQ

= KQ

dtdK

+ LQ

dtdL

+ tQ

หรอเขยนใหมไดเปน

dtdQ

= fK g(t) + fL h(t) + ft

(3) ในกรณท y = f(x1, x2, u, v) โดยท x1 = g(u, v) x2 = h(u, v) การหาอนพนธรวมของฟงกชน y ยงคงใชหลกแนวคดเดยวกน กลาวคอ อนพนธรวมของฟงกชน y เมอเทยบกบตวแปร u (กาหนดใหตวแปร v คงท) ทาไดโดยการหาคาเชงอนพนธรวมของ y กอนแลวหารดวยคาเชงอนพนธ du ทงดานซายและขวาของสมการ ดงน dy = f1 dx1 + f2 dx2 + fu du + fv dv

dudy

= f1 dudx1 + f2

dudx 2 + fu

dudu

+ fv dudv

= 1x

y

dudx1 +

2xy

dudx 2 +

uy

dudu

+ vy

dudv

เพราะวา dudu

= 1 และ dudv

= 0 (เมอ v = คาคงท)

dudy

= 1x

y

dudx1 +

2xy

du

dx 2 + uy

การหาอนพนธรวมไมสามารถใหตวแปร u และ v เปลยนแปลงไปพรอมๆ กนได จะตองใหตวแปรใดตวแปรหนงเปลยนแปลง และอกตวแปรหนงคงท และจากสมการทได สามารถแปลความไดดงน


1) อนพนธ dudx1 และ

dudx 2 ทางดานขวามอของสมการ ควรเขยนใหมในรปแบบของเครองหมาย

อนพนธยอยเปน ux1

และ u

x 2

เพราะเปนการหาคาการเปลยนแปลงของ y โดยผานตวแปร x1 และ x2 ซงเปน

ฟงกชนของ g และ h ตามลาดบ และฟงกชน g และ h มความสมพนธเกยวของกบตวแปร u และ v จงตองใชสญลกษณ แทน d

2) อตราสวน dudy

ทางดานซายมอของสมการ แปลความหมายไดวาเปนอนพนธยอย แมวาจะเปนการหา

อนพนธรวมโดยผานกระบวนการของการหาอนพนธรวมของ y กตาม เพราะวามตวแปร v อกตวแปรหนงรวมอยดวย และกาหนดใหมคาคงท ดวยเหตนจงควรใชสญลกษณของอนพนธยอยแทนเรยกวาเปนอนพนธรวมยอย

(partial total derivative) และใชสญลกษณ § แทน ดงน u§y§

หรอ อาจใชสญลกษณ คงทvdu

dyหรอ

0dvdudy

กได และสามารถเขยนสมการใหมได ดงน

u§y§

= 1x

y

ux1

+ 2x

y

u

x 2

+ uy

ในทานองเดยวกนสามารถหาคา v§y§

ไดเชนกน โดยใชสญลกษณ v แทน u ในสมการ ไดดงน

v§y§

= 1x

y

vx1

+ 2x

y

v

x 2

+ vy

(4) แตสาหรบกรณทฟงกชน f อยในรปแบบดงน y = f(x1, x2) โดยไมมตวแปร u และ v เปนตวแปรภายในฟงกชน f และ x1 = g(u, v) , x2 = h(u, v) ซงหมายถงตวแปร u และ v ไมมผลโดยตรงโดยผานฟงกชน f แตมผลโดยออมโดยผาน g และ h

การหาอนพนธรวมยอยของ y เมอเทยบกบ u และ เมอเทยบกบ v นน uy

และ vy

จะไมถกกาหนดใน

พจนสดทายของสมการดงกลาว ดงน

u§y§

= 1x

y

ux1

+ 2x

y

u

x 2


v§y§

= 1x

y

vx1

+ 2x

y

v

x 2

ขอสงเกต 1) จากกรณตางๆ ทไดอธบายในการหาอนพนธรวมมาทงหมดน สญลกษณทใชหาอนพนธจะเปนไปตามกฎลกโซ 2) การหาอนพนธโดยใชกฎลกโซ ไมไดจากดอยเพยงการเชอมตอของ 2 อนพนธทอยในลกษณะของผลคณ แตแนวคดของอนพนธรวมสามารถขยายไปสการเชอมตอของอนพนธทเปนผลคณของ 3 อนพนธหรอมากกวา 3 อนพนธ ในคอมโพสท ฟงกชน (composite function) (5) ถา y = f(x1, x2, x3) โดยท x1, x2, x3 เปนฟงกชนของตวแปร w ดงน x1 = g(w), x2 = h(w) และ x3 = k(w) ตวแปร w จะมผลตอตวแปร y ซงเปนผลทางออมโดยผานฟงกชน g, h และ k อนพนธรวมของฟงกชน y เมอเทยบกบตวแปร w เปนดงน

dwdy

= 1x

y

dwdx1 +

2xy

dwdx 2 +

3xy

dwdx 3

(6) ถา y = f(x1, x2, x3) โดยท x1 = g(w), x2 = h(x1) และ x3 = k(w) อนพนธรวมของฟงกชน y เมอเทยบกบตวแปร w เปนดงน

dwdy

= 1x

y

dwdx1 +

2xy

1

2

dxdx

dwdx1 +

3xy

dwdx 3

(7) ถา y = f(x1, x2, x3) โดยท x1 = g(u, v) x2 = h(u) และ x3 = k( x2) อนพนธรวมของฟงกชน y เมอเทยบกบตวแปร u ดงน

u§y§

= 1x

y

ux1

+ 2x

y

du

dx 2 + 3x

y

2

3

dxdx

du

dx 2

อนพนธรวมของฟงกชน y เมอเทยบกบตวแปร v ดงน

v§y§

= 1x

y

vx1

(เนองจาก v

x 2

= 0)

(8) ถา y = f(x1, x2, x3) โดยท x1 = g(w) x2 = h(x1) และ x3 = k( x2) อนพนธรวมของฟงกชน y เมอเทยบกบตวแปร w ดงน

dwdy

= 1x

y

dwdx1 +

2xy

1

2

dxdx

dwdx1 +

3xy

2

3

dxdx

1

2

dxdx

dwdx1


7.4 อนพนธของฟงกชนโดยปรยาย (Implicit function) ลกษณะของความสมพนธของตวแปรทกาหนดเปนฟงกชนและเขยนอยในรปแบบ y = f(x) โดยทวไปกาหนดใหตวแปรตามอยทางซายมอของสมการ และตวแปรอสระอยทางดานขวามอของสมการ เชน

y = f(x) = 4x5 ลกษณะของความสมพนธทกาหนดในรปแบบน เรยกวา ฟงกชนชดแจง (explicit function) หรอกลาววา ตวแปรตาม y เปนฟงกชนของตวแปร x บางครงอาจมการเขยนในรปแบบอน โดยใหสมการเทากบศนย เชน

y - 4x5 = 0 จากสมการดงกลาว ลกษณะของความสมพนธทกาหนดในรปแบบนเรยกวา ฟงกชนโดยปรยาย (implicit function) และเขยนรปแบบของความสมพนธเปน F(y, x) = 0 โดยใหดานซายของสมการเปนฟงกชนของ 2 ตวแปร คอ y และ x และการใชอกษรตวใหญ F แสดงใหเหนวามาจากฟงกชน f(x) ซงเปนฟงกชนชดแจงทประกอบดวย ตวแปรตวเดยวคอ x ฟงกชน F จงหมายถงฟงกชนทแสดงถงนพจนดานซายมอทประกอบดวยตวแปร y และ x ในกรณทฟงกชน F ประกอบดวยตวแปรทมากกวา 2 ตวแปร สามารถเขยนไดเปน

F(y, x1, …, xm) = 0 ซงสมการดงกลาวอาจจะกาหนดใหเปนฟงกชนโดยปรยายในรปแบบ y = f(x1, …, xm) ได แตโดยทวไปแลวฟงกชนชดแจง y = f(x) สามารถแปลงใหอยในรปแบบของฟงกชนโดยปรยาย F(y, x) = 0 ไดเสมอโดยการยายนพจนทางดานขวาไปอยทางดานซายของเครองหมายเทากบของสมการ แตบางกรณการแปลงฟงกชน F(y, x) = 0 ใหกลบมาเปนฟงกชน y = f(x) ไมสามารถทาได โดยเฉพาะเมอ F(y, x) = 0 ทเขยนอยในลกษณะของเลขยกกาลงของ y ซงโดยทวไปจะไมใชฟงกชน แตเปนความสมพนธระหวาง x กบ y เชน สมการ x2 + y2 = 0 จะเปนฟงกชนทจดกาเนด (0, 0) เทานน แตทคอนดบอนๆ ไมไดมความหมายวาเปนฟงกชน หรอกรณตวอยางอน เชน F(y, x) = x2 + y2 – 9 = 0 สมการดงกลาวไมสามารถบอกไดวาเปนฟงกชนแตเปนความสมพนธ เพราะวาเมอนาไปพลอตเปนกราฟวงกลมตามภาพท 7.3 คา x แตละคาจะไมไดใหคา y เพยงคาเดยว


ภาพท 7.3 กราฟของสมการวงกลม x2 + y2 – 9 = 0

แตถากาหนดให y เปนคาจากดเฉพาะทไมใชคาลบเทานน จะไดครงวงกลมดานบน ซง x แตละคาจะให

คา y เพยงคาเดยว ดงนนความสมพนธของ y = + 2x9 จะเปนฟงกชน ในทานองเดยวกน ถากาหนดให y เปนคาจากดเฉพาะทไมใชคาบวกเทานน จะไดกราฟครงวงกลมดานลาง

และคา x แตละคาจะใหคา y เพยงคาเดยว ความสมพนธของ y = - 2x9 จงเปนฟงกชน ดงน นไมวา ครงวงกลมดานบนและครงวงกลมดานลางตางกเปนฟงกชน ถา F(y, x1, …, xm) = 0 และสามารถบอกไดวาเปนฟงกชนโดยปรยาย โดยเขยนอยในรปฟงกชน y = (x1, …, xm) ได ถามสมบตดงน (หรอเรยกวาเปนไปตามเงอนไขทฤษฎของฟงกชนโดยปรยาย 1) ฟงกชน F มอนพนธยอยทตอเนอง เปน Fy, F1, …, Fm 2) ทจด (y0, x10, …, xm0) สอดคลองกบสมการของฟงกชน F และ Fy ไมเทากบศนย โดยคาตวแปร x m มตหรอ (x10, …, xm0) จานวน N สามารถหาคา y แตละ m มตของ x ไดเพยงคาเดยว ซงกคอ y สามารถกาหนดคาไดจากฟงกชนของตวแปร (x1, …, xm) ในรปแบบของ y = f(x1, …, xm) ได ดงนน ฟงกชนโดยปรยายจะสอดคลองกบ y0 = f(x10, …, xm0) นนเอง จากตวอยางสมการวงกลมขางตน สามารถแกปญหาไดเมอแยกออกเปน 2 ฟงกชน ดงน

y+ = + 2x9 (ครงบนของวงกลม)

y- = - 2x9 (ครงลางของวงกลม) และเมอหาอนพนธของทง 2 ฟงกชนไดดงน

dx

dy =

dxd

21

2 )x9(

y

x 0 -3

-3

3

3

วงกลม x2 + y2 = 9

ครงวงกลมดานบน y+ = +

ครงวงกลมดานลาง y- = -


= 21

1

21

2 )x9(

(-2x)

= -x 21

2 )x9(

= 2x9

x

=

y

x (เมอ y+ 0)

และ dx

dy

= dxd

2

12 )x9(

= -21

1

21

2 )x9(

(-2x)

= x 21

2 )x9(

= 2x9

x

= 2x9

x

=

y

x (เมอ y- 0)

แตถาสมการ F(y, x1, …, xm) = 0 ไมสามารถแกปญหาโดยการหาคา y ทเขยนในรปฟงกชนชดแจงในรปของ x ได แตทราบวาสามารถหาคาไดและเปนฟงกชนโดยปรยาย กยงคงสามารถหาอนพนธไดตามกฎของฟงกชนโดยปรยาย กฎนสามารถหาอนพนธได ทกๆ ฟงกชนโดยปรยาย ทงนขนอยกบหลกการพนฐานทเปนขอเทจจรง ดงน 1) ถานพจนทง 2 นพจนทเทากน เมอหาคาเชงอนพนธรวมแลวตองไดผลเฉลยเพยงคาเดยวทเทากน จากหลกการขอท 1) ดงกลาว ถากาหนดใหนพจน 2 นพจนเปนดงน x2 - y2 (x + y)(x – y) นพจนทง 2 นพจนมความหมายอยางเดยวกนหรอเปนเอกลกษณ (identity) หรอกลาวไดวาเปนสมการเอกลกษณ (identity equation) เพราะวาทง 2 ดานของสมการเทากนทกๆ คาของ x และ y เมอหาคาเชงอนพนธรวมของแตละดานจะเทากนเปนดงน ทางดานขวาของสมการ d (x2 - y2) = 2x dx – 2y dy


ทางดานซายของสมการ d (x + y)(x – y) = (x - y) d (x + y) + (x + y) d (x – y) = (x - y)(dx + dy) + (x + y)(dx – dy) = 2x dx - 2y dy ผลเฉลยท ง 2 ขางเทากน แตถานพจนท ง 2 นพจนไมเปนเอกลกษณททกคาของ x และ y แตจะเทากนเฉพาะคาบางคาของตวแปรเทานน คาเชงอนพนธรวมจะไมเทากนของทง 2 ดาน เชน x2 - y2 = x2 + y2 - 2 นพจนทง 2 จะเทากนเฉพาะ y = 1 เทานน เมอหาคาเชงอนพนธรวมเปนดงน d (ดานซาย) = 2x dx – 2y dy d (ดานขวา) = 2x dx + 2y dy คาเชงอนพนธรวมทง 2 ขางจะไมเทากน 2) กระบวนการหาคาอนพนธของนพจนทเกยวของกบ y, x1, …, xm จะไดคาเชงอนพนธเปน dy, dx1, …, dxm 3) ถาหาร dy ดวย dx1 และใหคาเชงอนพนธอนๆ ทเหลอ (dx2, …dxm) เปนศนย ผลหารดงกลาวสามารถ

แปลความหมายไดวาเปนคาอนพนธยอย [1x

y

] ในทานองเดยวกน ถาหาร dy ดวย dx2 และคาเชงอนพนธอนๆ

เปนศนย กสามารถหาอนพนธยอย [2x

y

] ไดเชนเดยวกน

เมอประยกตหลกการเหลานกบสมการ F(y, x1, …, xm) = 0 ซงเปนฟงกชนโดยปรยาย ทาใหสามารถเขยนไดวา dF = d0 หรอ Fy dy + F1 dx1 + … + Fm dxm = 0 สมมตวา y และ x1 เทานนมการเปลยนแปลง (dy และ dx1 เทานนไมเทากบศนย) สามารถเขยนสมการขางตนได เปน Fy dy + F1 dx1 = 0 หารตลอดดวย dx1 จะไดวา

ๆคงทตวแปรอนdx

dy

1

1x

y

= y

1

FF

ในทานองเดยวกน สามารถหาคาอนพนธยอยอนๆ ทงหมดของฟงกชนโดยปรยายไดเชนกน และสามารถสรปเปนกฎทวๆ ไปของฟงกชนโดยปรยายไดดงน


ถากาหนดให F(y, x1, …, xm) = 0 และสามารถหาคาฟงกชนโดยปรยายจาก y = f(x1, …, xm) ได ดงน น อนพนธยอยของ f เปนดงน

ix

y

= y

i

FF

(i = 1, 2, …, m)

ถากาหนดให F(y, x) = 0 จะไดวา

dxdy

= y

x

FF

ตวอยางท 7.17 จงหา dxdy

จากฟงกชนโดยปรยายทกาหนดใหดงน y – 3x4 = 0

วธทา หาอนพนธของฟงกชนโดยใชกฎของฟงกชนโดยปรยาย ดงน

dxdy

= y

x

FF

แต Fx = -12x3 Fy = 1

ดงนน dxdy

= 1

)(-12x- 3

= 12x3

หรออกวธการหนงโดยการหาอนพนธทง 2 ขางของทกพจนเมอเทยบกบ x ของ F(y, x) = 0

dxd

[y - 3x4] = dx0d

dxdy

- 12x3

dxdx

= 0

dxdy

= 12x3

ในกรณนจากฟงกชนโดยปรยาย สามารถเขยนใหอยในรปแบบฟงกชนชดแจงไดเปน y = 3x4 การหาอนพนธกสามารถใชกฎตางๆ ของอนพนธตามทไดกลาวถงมาแลว

ดงนน dxdy

= dxd

(3x4) = 12x3

ทกวธทยกตวอยางจะใหคาตอบเดยวกน


ตวอยางท 7.18 กาหนดให F(y, x) = xy2 – x2 + y = 0 จงหาอนพนธของฟงกชนโดยใชกฎของฟงกชนโดยปรยาย วธทา


= y

x

FF

แต Fx = dxd

[xy2 – x2 + y ] = y2dxdx

- 2xdxdx

+ 0 = y2 - 2x

Fy = dyd

[xy2 – x2 + y ] = x2y dydy

- 0 + dydy

= 2xy + 1

ดงนน dxdy

= -1)(2xy2x)-(y 2

=

12xyy-2x 2

จากตวอยางน ถาหาอนพนธของทกพจนเมอเทยบกบตวแปร x ของ F(y, x) = 0 ซง x และ y ตางเปนฟงกชนโดยปรยายซงกนและกนกจะไดคาตอบเดยวกนดงน

dxd

[xy2 – x2 + y ] = dx0d

dxd

xy2 –dxd

x2 + dxd

y = 0

ใชกฎของผลคณของฟงกชน

dxdy

xdxdx

y2

2 - 2x + dxdy

= 0

ใชกฎของฟงกชนยกกาลง

y2 + 2xydxdy

- 2x + dxdy

= 0

(y2 – 2x) +

dxdy

dxdy

xy2 = 0

(2xy + 1) dxdy

= - (y2 – 2x)

dxdy

= -1)(2xy2x)-(y 2

=

12xyy-2x 2


ตวอยางท 7.19 จงหาอนพนธของฟงกชนโดยปรยาย F(y, x) = x3 -2x2y2 + y4 – 5 = 0

วธทา เพราะวา dxdy

= y

x

FF

แต Fx = dxd

[ x3 -2x2y2 + y4 – 5]

= 3x2 – 2y2(2x) + 0 – 0 = 3x2 – 4xy2

Fy = dyd

[ x3 -2x2y2 + y4 – 5]

= 0 – 2x2(2y) + 4y3 – 0 = 4y3 - 4x2y = 4 (y3 - x2y)

dxdy

= -)yx4(y)4xy-(3x

23

22

=

)yx4(y3x-4xy23

22

ตวอยางท 7.20 จงหาอนพนธของฟงกชนโดยปรยายทอนดบ (y, x, w) เปน (1, 1, 1) เมอ F(y, x, w) = y3 x2 + w3 + yxw - 3 = 0 โดยท y เปนฟงกชนของ x และ w หรอ y = f(x, w) ถาฟงกชน F มอนพนธยอยทตอเนอง เปน Fy, Fx และ Fw และ Fy ไมเทากบศนย วธทา เพราะวา F(y, x, w) = y3 x2 + w3 + yxw - 3 = 0 หาอนพนธยอยทตอเนอง Fy, Fx และ Fw ไดดงน

Fy = dyd

[y3 x2 + w3 + yxw - 3] = 3x2y2 + 0 + xw – 0 = 3x2y2 + xw

Fx = dxd

[y3 x2 + w3 + yxw - 3] = 2xy3 + 0 +yw – 0 = 2xy3 + yw

Fw = dwd

[y3 x2 + w3 + yxw - 3] = 0 + 3w2 + yx – 0 = 3w2 + yx

เพราะวา xy

= y

x

F

F = -

)xwy(3xyw)(2xy

22

3

และ wy

= y

w

F

F = -

)xwy(3xyx)(3w

22

2


เมอ Fy ไมเทากบศนย อนพนธยอยของฟงกชนโดยปรยายเมอ (y, x, w) เปน (1, 1, 1) เปนดงน

xy

= )13()12(

= 43

และ wy

= )13()13(

= -1

ตวอยางท 7.21 กาหนดให F(Q, K, L) = 0 เปนฟงกชนโดยปรยาย โดยทฟงกชนการผลต Q = f(K, L) จงหาผลตผลสวนเพมของ K และ L หรอ MPPK และ MPPL วธทา จากความหมายของผลตผลสวนเพมหรอผลตผลหนวยสดทาย (Marginal Physical Product) จะไดวา

MPPK KQ

เมอ L คงท

และ MPPL LQ

เมอ K คงท

การหาอนพนธยอยจากกฎของฟงกชนโดยปรยาย ทาไดดงน

KQ

= Q

K

FF

LQ

= Q

L

FF

จากตวอยางขางตน สามารถนาไปประยกตใชหาคา LK

ได โดยยงคงใชหลกการตามแนวคดเดมของการ

หาอนพนธยอย ซงให Q เปนตวแปรทมคาคงท K และ L มการเปลยนแปลง นนกคอเมอ Q เปนปรมาณผลตผลซงมคาคงทแตปจจยการผลต K และ L เปลยนแปลง หรอกลาวไดวาเปนการใชปจจยการผลตในอตราสวนตางๆ ทยงคงใหปรมาณผลตผลเทาเดม บนเสนผลตผลเทากน (isoquant) นนเอง

ดงนน อนพนธยอย LK

จงเปนคาความชนของเสนผลตผลเทากนทมคาความชนเปนลบ ดงน

LK

= K

L

FF

หรอเรยกอกอยางหนงวาเปนการวดอตราการทดแทนทางเทคนคหนวยสดทาย (Marginal Rate of Technical Substitution หรอ MRTS) ระหวางปจจยการผลต 2 ชนด


7.5 จาโคเบยนดเทอรมแนนต (Jacobian determinant) จากการศกษาอนพนธยอยไมเพยงแตจะนาความรไปใชในการวเคราะหเชงสถตยเปรยบเทยบแลวยงสามารถนาไปใชในวธการทดสอบการขนแกกนของฟงกชน (functional dependence) ทงทเปนฟงกชนเชงเสน และไมใชเชงเสน ซงเปนเซตของ n ฟงกชน หรอ n สมการ และ n ตวแปร โดยใชจาโคเบยนดเทอรมแนนต

ใหพจารณา 2 ฟงกชน ดงน y1 = 2x1 + 3x2 ........ 7.1 y2 = 4 2

1x + 12 x1x2 + 9 22x

จากฟงกชนทง 2 สามารถหาอนพนธยอยของ y1 และ y2 เมอเทยบกบ x1 และ x2 ไดดงน

1

1

xy

= 2 2

1

xy

= 3

1

2

xy

= 8x1 + 12x2 2

2

xy

= 12x1 + 18x2

ถาจดอนพนธยอยเหลานใหอยในรปแบบของเมทรกซจตรสทเรยกวาจาโคเบยนเมทรกซ ซงใชสญลกษณวา J แลวนามาหาคาดเทอรมแนนต ผลเฉลยทไดเรยกวา จาโคเบยนดเทอรมแนนตหรอเรยกสนๆ วา จาโคเบยน ใชสญลกษณวา J ไดดงน

J =

2

2

1

2

2

1

1

1

xy

xy

xy

xy

= )x18x12()x12x8(

32

2121 ........ 7.2

หรอเขยนเปนสญลกษณยอไดวา J = )x,x()y,y(

21

21

ถาม n ฟงกชนทแตกตางกน และ n ตวแปร y1 = f1 (x1, x2, …, xn) y2 = f2 (x1, x2, …, xn) …….. 7.3

yn = fn (x1, x2, …, xn)

สญลกษณ fn แทนฟงกชนท n (ไมใชฟงกชนยกกาลง n) สามารถเขยนอนพนธยอยรวมทงหมดไดเทากบจานวน n2 อนพนธในรปแบบของจาโคเบยนไดดงน


J )x,,x,x()y,,y,y(

n21

n21

n

n

2

n

1

n

n

1

2

1

1

1

xy

xy

xy

xy

xy

xy

........ 7.4

การทดสอบจาโคเบยนสาหรบพจารณาการขนแกกนของฟงกชน n ฟงกชน จะเหมอนกบการทดสอบการขนแกกนของฟงกชนเชงเสน กลาวคอ สามารถสรปเปนทฤษฎไดวา ถาจาโคเบยน J ตามสมการ 7.4 มคาเทากบศนย [ J = 0] สาหรบทกคาของ x1 …, xn แลว n ฟงกชน f1, …, fn ตามสมการ 7.3 จะเปนฟงกชนทขนแกกน (เชงเสนหรอไมใชเชงเสน) จากตวอยางตามสมการ 7.1 จาโคเบยนตามสมการ 7.2 จะมคาดงน J = (24x1 + 36x2) – (24x1 + 36x2) = 0 นนคอ จาโคเบยนเปนศนย สาหรบทกๆ คาของ x1 และ x2 แสดงวา 2 ฟงกชนตามสมการ 7.1 ตองขนแกกนหรอไมเปนอสระตอกน และหาคาไดวา y2 = 2

1y ถาพจารณาถงกรณทเปนฟงกชนเชงเสน สามารถกลาวไดวาเมทรกซสมประสทธหรอ A ของระบบสมการเชงเสน มคาดเทอรมแนนตหรอ A = 0 แสดงวา ฟงกชนเชงเสนนนขนแกกน ถาระบบสมการเชงเสนเปนดงน

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = d1 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = d2 …….. 7.5

an1x1 + an2x2 + … + annxn = dn

ใหพจารณาดานซายมอของแตละสมการในสมการ 7.5 จะเหนวาฟงกชนของ n ตวแปร และเขยนแทนฟงกชนเหลานนดวย y1, ..., yn อนพนธยอยของฟงกชนเมอเทยบกบตวแปรอสระแตละตวแปรจะเปนดงน

1

1

xy

= a11, 2

1

xy

= a12 … สามารถเขยนอยในรปแบบทวๆ ไปไดวา j

i

xy

= aij

จากแนวคดดงกลาว สมาชกของจาโคเบยน n ฟงกชน กจะเปนสมาชกของเมทรกซสมประสทธ A นนคอ J = A


ดงนน เกณฑจาโคเบยนของการขนแกกนของฟงกชนจานวน y1 … yn กจะเปนเกณฑเดยวกนกบกรณของเมทรกซสมประสทธทจะแสดงวาฟงกชนนนขนแกกน เมอ A = 0 หรอ J = 0 และฟงกชนเหลานนเปนอสระตอกน เมอ A 0 หรอ J 0 ตวอยางท 7.23 จงทดสอบการขนแกกนของฟงกชนทกาหนดใหโดยใชจาโคเบยนดเทอรมแนนต

y1 = 5x1 + 3x2 y2 = 25 2

1x + 30x1x2 + 9 22x

วธทา หาอนพนธยอยของฟงกชน y1 และ y2 เมอเทยบกบ x1 และ x2

1

1

xy

= 5 2

1

xy

= 3

1

2

xy

= 50x1 + 30x2 2

2

xy

= 30x1 + 18x2

เขยนอยในรปแบบจาโคเบยนไดดงน

J = 2121 x18x30x30x50

35

= 5(30x1 + 18x2) - 3(50x1 + 30x2) = 0 เนองจาก J = 0 ดงนน ฟงกชนทง 2 ฟงกชนขนอยแกกน จากกรณดงกลาวนแสดงวา y2 = 2

1y หรอ 25 2

1x + 30x1x2 + 9 22x = (5x1 + 3x2)2

7.6 การวเคราะหกรณสมการเกยวเนอง (Simultaneous equation case) กาหนดใหเซตของสมการเกยวเนองเปนดงน F1 (y1 … yn ; x1 … xm) = 0 F2 (y1 … yn ; x1 … xm) = 0 ……... 7.6

Fn (y1 … yn ; x1 … xm) = 0


ฟงกชนโดยปรยายดงกลาว สามารถเขยนอยในรปแบบของฟงกชน y ทเปนฟงกชนของตวแปร x1 … xm ไดดงน y1 = f1 (x1 … xm) y2 = f2 (x1 … xm) ……... 7.7

yn = fn (x1 … xm) จากระบบสมการเกยวเนองตามสมการ 7.6 นน ถา 1. ฟงกชน F1 … Fn ม อนพนธยอยทตอเนองเมอเทยบกบทกคาของตวแปร y และตวแปร x ทกตวแปร 2. ทจด (y10 ... yno ; x10, ... xmo) สอดคลองกบสมการ 7.6 และจาโคเบยนดเทอรมแนนต ไมเทากบศนย ดงน

J n1

n1

y...y()F...F(

=

n

n

2

n

1

n

n

2

2

2

1

2n

1

2

1

1

1

yF

yF

yF

yF

yF

yF

yF

yF

yF

0

และสามารถหาคาไดจาก m มต บรเวณ (neighborhood) รอบๆ ของ (x10 … xm0) จานวน N ในแตละตวแปร y (y1 … yn) ซงเปนฟงกชนของตวแปร x1 … xm ตามสมการ 7.7 ดงน y10 = f1 (x10 … xm0)

yn0 = fn (x10 … xm0) และสอดคลองกบสมการ 7.6 สาหรบทกๆ m อนดบ ในบรเวณ (x1 … xm) จานวน N ดงนน ฟงกชนโดยปรยาย f1, ... , fn จงเปนฟงกชนตอเนองและมอนพนธยอยทตอเนองเมอเทยบกบตวแปร x ทงหมด ในแตละสมการตามสมการ 7.6 สามารถหาคาอนพนธยอยของฟงกชนโดยปรยายโดยตรงไดจาก n สมการ โดยการทาคาเชงอนพนธรวม (total differential) ของแตละสมการใหเทากบศนยและเขยนไดเปน dFj = 0 (เมอ j = 1, 2, …, n) ผลเฉลยกคอเซตของสมการทเกยวของกบคาเชงอนพนธ dy1, ... dyn และ dx1, ..., dxm และทาการยายคาของพจน dxi จากดานซายไปทางดานขวาของเครองหมายเทากบ จะไดวา


1

1

yF

dy1 + 2

1

yF

dy2 + … + n

1

yF

dyn = -

m

m

1

1

1

1

dxxF

...dxxF

n

n

2

2

2

2

1

1

2

dyyF

...dyyF

dyyF

= -

m

m

2

1

1

2

dxxF

...dxxF

……... 7.8

n

n

n

2

2

n

1

1

n

dyyF

...dyyF

dyyF

= -

m

m

n

1

1

n

dxxF

...dxxF

ในการหาคาเชงอนพนธ dyj (จะกาหนดใหเปนตวแปรภายใน) จะเขยนอยในพจนของคาเชงอนพนธ dxi (จะกาหนดใหเปนตวแปรภายนอก) และกาหนดใหคาเชงอนพนธ dxi เปนศนย ยกเวน dx1 ทมคาแปรเปลยนไปได ดงนน พจนของ dx2 … dxm จะถกตดออกจากระบบสมการ ถาหารแตละพจนทเหลอดวย dx1จะไดนพจน

1x

y 1

, … ,

1x

y n

การแปลความหมายของอนพนธจากสมการ 7.7 ถอไดวาเปนอนพนธยอยซงจะกาหนดใหตวแปร x ทกตว

คงท ยกเวน x1 อาจจะเขยนใหมไดเปน 1x

y 1

, … ,

1x

y n

ดงนนจากระบบสมการ 7.8 เขยนใหมเปนระบบสมการ

เชงเสนไดดงน

1

1

yF

1

1

xy

+ 2

1

yF

1

2

xy

+ … + n

1

yF

1

n

xy

= -1

1

xF

1

2

yF

1

1

xy

+ 2

2

yF

1

2

xy

+ … + n

2

yF

1

n

xy

= -1

2

xF

.……. 7.9

1

n

n

n

1

2

2

n

1

1

1

n

xy

yF

...xy

yF

xy

yF

= -1

n

xF

จากระบบสมการ 7.9 ซงเปนระบบสมการเชงเสน n สมการ สามารถแกระบบสมการเชงเสนโดยเขยนอยในรปแบบเมทรกซไดดงน


n

n

2

n

1

n

n

2

2

2

1

2n

1

2

1

1

1

yF

yF

yF

yF

yF

yF

yF

yF

yF

1

n

1

2

1

1

xy

xyxy

=

1

n

1

21

1

xF

xFxF

........ 7.10

ดเทอรมแนนตของสมประสทธของเมทรกซตามสมการ 7.10 กคอ จาโคเบยนดเทอรมแนนต ซงทราบวาไมเปนศนย ตามเงอนไขของคณสมบตของฟงกชนโดยปรยาย และระบบสมการนตองไมเปนเอกพนธ ซงจะใหผลเฉลยทมคาเพยงคาเดยว เมอใชตามวธการของคราเมอร ผลเฉลยอาจจะหาไดดงน

1

j

x

y =

J

J j (เมอ j = 1, 2, 3, …, n) …….. 7.11

ตามขนตอนทไดอธบายมาน อนพนธยอยของฟงกชนโดยปรยายเมอเทยบกบตวแปรอนๆ (x2, ..., xm) สามารถใชวธการเดยวกน สงเกตไดวา J ตองไมเทากบศนยเชนเดยวกบ Fy 0 ตามกฎของฟงกชนโดยปรยาย ดงนนการวเคราะหในกรณดงกลาวน จะไดเงอนไขสาคญทวา J 0 จงจะทาใหผลเฉลยของฟงกชนโดยปรยายมเพยงคาเดยว ตวอยางท 7.22 กาหนดใหแบบจาลองรายไดประชาชาต เขยนในรปแบบของระบบสมการไดดงน Y – C – I0 – G0 = 0 C - - (Y – T) = 0 T – - Y = 0 จากระบบสมการตวแปรภายใน (Y, C, T) เปรยบเสมอนเปน (y1, y2, y3) ตวแปรภายนอกและพารามเตอร (I0, G0, , , , ) เปรยบเสมอนเปน (x1, x2, …, x6) ดงนน นพจนทางดานซายของแตละสมการของระบบสมการ (1) เขยนอยในรปแบบของฟงกชน F ไดเปน Fj (Y, C, T; I0, G0, , , , )


ในทน n = 3 และ m = 6 นนคอ j = 1, 2, 3 จะไดฟงกชน F1, F2, F3 ดงน F1 = Y – C – I0 – G0 = 0 F2 = - Y + C + T - = 0 F3 = -Y + T – = 0 มอนพนธยอยทตอเนองและจาโคเบยนดเทอรมแนนตเปนดงน

J =

TF

CF

YF

TF

CF

YF

TF

CF

YF

333

222

111

0

แตจาโคเบยนดเทอรมแนนต กคอดเทอรมแนนตของสมประสทธของตวแปรในระบบสมการเชงเสนนนเอง ดงนน

J =

10δ

β1β

011

= 1 - +

แต J 0 แสดงวาทง และ ตองเปนเศษสวนทเปนคาบวก และจากระบบสมการขางตน เมอระบบสมการดงกลาวสอดคลองกบคณสมบตของฟงกชนโดยปรยายและสามารถเขยนอยในรปแบบดงน Y = f1 (I0, G0, , , , ) C = f2 (I0, G0, , , , ) T = f3 (I0, G0, , , , ) ซงจะแสดงใหเหนวา คาดลยภาพของตวแปรภายในกคอฟงกชนโดยปรยายของตวแปรภายนอกและ

พารามเตอร การคานวณหาอนพนธยอยของฟงกชนโดยปรยาย เชน 0I

Y

และ 0G

Y

เปนตน เปนการหาอนพนธ

เชงสถตยเปรยบเทยบ ดงนนในการหาอนพนธยอยของฟงกชน F ณ จดดลยภาพของแบบจาลอง เมอ n = 3 โดย


เทยบกบตวแปรภายนอกตวใดตวหนงและใหตวอนคงท เชน สมมตใหตวแปรภายนอกและพารามเตอรคงทยกเวน G0 ทเปลยนแปลงไป สามารถเขยนสมการไดเปน

10

1

011

δ

ββ

0

0

0

GT

GC

GY

=

0

30

20

1

GF

GF

GF

=

0

0

1

จากอนพนธเชงสถตยเปรยบเทยบทง 3 คา เมอเทยบกบ GO สามารถคานวณได ดงน

0GY

= J

J1 = βδβ1

100

10

011

β

= βδβ1

1

0GC

= JJ 2 =

βδβ

β

1

10δ

0β

011

= βδβ

βδβ

1

0GT

= JJ3 =

βδβ

δ

β

1

00

01

111

= βδβ

δ

1


แบบฝกหดบทท 7 1. จงหาอนพนธยอยอนดบหนงของฟงกชนตอไปน 1.1 y = 6 5

222

21

31 x7xx3x

1.2 y = 4 522

21

31 x7xx2x

1.3 z = 2x3 – 10x2y + 3y2 1.4 z = 7x + 6xy2 - 9y3 1.5 z = 3u3 + 4ux + 3x2 – 7xy – 8y2

2. จงหาอนพนธยอยอนดบหนงของฟงกชนตอไปนโดยใชกฎของผลคณ 2.1 z = (2x + 3)(y – 2) 2.4 y = (9x – 4z)(12x + 2z) 2.2 z = (5x + 3)(y – 2) 2.5 z = (2x2 + 5y)(5x – 2y3) 2.3 y = 3x2 (5x + 7z)

3. จงหาอนพนธยอยอนดบหนงของฟงกชนตอไปนโดยใชกฎของผลหาร

3.1 f(x, y) = y7x6

x5

3.4 f(x, y) = y2x3

yx 22

3.2 f(x, y) = y3

yx 3.5 z =

yxy3x2

3.3 f(x, y) = y2x5y9x4

3.6 z = xy1x 2

4. จงหา fx และ fy จากฟงกชนตอไปน 4.1 z = f(x, y) = (x + y)2 4.3 z = f(x, y) = (7x2 + 4y3)2 4.2 z = f(x, y) = (2x – 4y)3 5. จงหาอนพนธยอยอนดบทสองของ z เมอเทยบกบตวแปรอสระ x และ y ในทกๆ กรณ 5.1 z = x2 + 2xy + y2 5.3 z = 2xy3 + 6x2y 5.2 z = x3 – 8xy – 3y3 5.4 z = (10x – 7y)2


6. จงหาคาเชงอนพนธรวมของฟงกชนตอไปน 6.1 z = 2x2 + xy – 2y3 6.5 y = 3x2 (8x – 7z)

6.2 z = 2x + 8xy + y2 6.6 z = yx

x

6.3 z = 5x3 – 10xy – 6y5 6. 7 z = yx

xy2

6.4 y = 7x2z3 6.8 u = yx

y9 3

7. จงหาอนพนธรวม dxdz

ของฟงกชนตอไปน

7.1 z = f(x, y) = 5x + xy – y2 เมอ y = g(x) = 3x2 7.2 z = f(x, y) = 6x2 + 15xy + 3y2 เมอ y = g(x) = 7x2 7.3 z = f(x, y) = (13x - 18y)2 เมอ y = g(x) = x + 6

8. จงหาอนพนธ dxdy

ของฟงกชนโดยปรยาย F(x, y) = 0 ตอไปน

8.1 y + 6x – 10 = 0 8.2 3y + 12x + 10 = 0 8.3 x2 + 6x – 12 – y = 0

9. ใหใชกฎของฟงกชนโดยปรยายหาอนพนธ dxdy

ของฟงกชนโดยปรยายตอไปน

9.1 F(x, y) = 3x2 + 2xy + 5y3 = 0 9.2 F(x, y) = 12x5 - 4y = 0 9.3 F(x, y) = 7x2 + 2xy2 + 8y4 = 0 9.4 F(x, y) = 6x3 – 4y = 0

10. ใหใชกฎของฟงกชนโดยปรยาย หาอนพนธยอย xy

และ zy

จากฟงกชนโดยปรยายตอไปน

10.1 F(x, y, z) = x2y3 + z2 + xyz = 0 10.2 F(x, y, z) = x3z2 + y3 + 4xyz = 0


11. จงทดสอบการไมเปนอสระตอกนของฟงกชน 2 ฟงกชนทกาหนดให โดยใชจาโคเบยนดเทอรมแนนต 11.1 y1 = 3 2

1x + x2 y2 = 9 4

1x + 6 21x (x2 + 4) + x2(x2 + 8) + 12

11.2 y1 = 3 21x + 2 2

2x y2 = 5x1 + 1


บทท 8 การประยกตอนพนธในการวเคราะหทางเศรษฐศาสตร เมอทราบถงความหมาย กฎตางๆ และวธการของการหาอนพนธแลว ขนตอนตอไปกคอการนาความรเหลาน นมาวเคราะหปญหาทางเศรษฐศาสตรโดยเฉพาะการทจะพจารณาวาดลยภาพของตวแปรภายในจะม การเปลยนแปลงไปอยางไร เมอมการเปลยนแปลงของตวแปรภายนอกหรอพารามเตอร วธการวเคราะหนเรยกวา การวเคราะหเชงสถตยเปรยบเทยบ ซงจะเปนการเปรยบเทยบดลยภาพเดมและดลยภาพใหมทเปลยนแปลงไป วธการวเคราะหในบทนจะใชวธการหาอนพนธ 2 วธ คอ การหาอนพนธจากสมการลดรป (reduce form) โดยตรง และการหาอนพนธของฟงกชนโดยปรยาย (implicit function) 8.1 การวเคราะหเชงสถตยเปรยบเทยบของแบบจาลองโดยวธการหาอนพนธจากสมการลดรป 8.1.1 แบบจาลองตลาด (Market model) กาหนดใหแบบจาลองตลาดสนคาชนดหนงเปนแบบจาลองอยางงายทประกอบดวยสมการอปสงค สมการอปทาน ดงน อปสงค Qd = a – bP (a, b > 0) อปทาน QS = -c + dP (c, d > 0) และสามารถหาผลเฉลยโดยวธสมการลดรปตามทไดเคยอธบายมาแลวในบทกอนจะไดผลเฉลยของคา ตวแปรภายในทเขยนอยในคาของพารามเตอร 4 คา ดงน

P = dbca

…….. 8.1

Q = dbbcad

…….. 8.2

P และ Q เปนราคาดลยภาพและปรมาณดลยภาพตามลาดบ ประเดนทกาลงพจารณาคอถาเกดม การเปลยนแปลงของคาพารามเตอรจะสงผลตอการเปลยนแปลงของ P และ Q อยางไร การหาคาตอบจะเปน การพจารณาถงการเปลยนแปลงทนอยมากของคาพารามเตอรตวใดตวหนง ซงมผลตอการเปลยนแปลงคาของราคา

ดลยภาพ ( P ) วธดงกลาวเปนวธการหาอนพนธยอยเมอเทยบกบคาพารามเตอรแตละคา เชน การหาคา aP

คาดงกลาวสามารถหาคาผลเฉลยไดจากขอมลคาพารามเตอรทกาหนดใหจากระบบสมการเกยวเนองของแบบจาลอง


นนทาใหทราบทศทางของการเปลยนแปลงของ P เมอพารามเตอร a มการเปลยนแปลง ทานองเดยวกนสามารถสรปผลในเชงปรมาณหรอในเชงคณภาพไดจากอนพนธยอยของ Q เมอเทยบคาพารามเตอรแตละคาไดเชนกน เชน

aQ

เปนตน เพอปองกนการเขาใจผด ควรจะทาความเขาใจใหชดเจนระหวาง 2 อนพนธ คอ aQ

และ aQ

สาหรบ aQ

หมายถง การหาอนพนธจากฟงกชนอปสงคเพยงอยางเดยวโดยไมเกยวของกบฟงกชนอปทาน แต

อนพนธ aQ

หาไดจากปรมาณดลยภาพจากสมการ 8.2 ซงเปนผลเฉลยของแบบจาลองทหาไดจากปรมาณของ

อปสงคและอปทานเมอนามาวเคราะหรวมกนโดยวธสมการลดรป ดงนนเมอกลาวถงอนพนธยอยของ P และ Q เมอเทยบคาพารามเตอรกจะหมายถงอนพนธของสภาวะเชงสถตยเปรยบเทยบ จากสมการราคาดลยภาพตามสมการ 8.1 สามารถหาอนพนธยอยได 4 อนพนธยอยดงน

aP

=

dbca

a

= db

1

[การหาอนพนธยอยของ P เมอเทยบกบ a โดยท db

1

เปนสมประสทธของพารามเตอร a]

bP

= 2)db(

)ca(1)db(0

[ใชกฎของผลหาร]

= 2)db()ca(

cP

= db

1

[เมอ db

1

เปนสมประสทธของพารามเตอร c]

= aP

dP

= 2)db(

)ca(1)db(0

[ใชกฎของผลหาร]

= 2)db()ca(

= bP


แตเนองจากแบบจาลองกาหนดใหคาพารามเตอรทกคา > 0

ดงนน aP

= cP

> 0

bP

= dP

< 0

ผลเฉลยทไดตามสมการ 8.3 ดงแสดงตามภาพท 8.1 (ก) (ข) (ค) (ง) ทแสดงถงการเปลยนแปลงของคาพารามเตอรแตละคา โดยกาหนดให Q อยบนแกนนอน และ P อยบนแกนตง

ภาพท 8.1 ราคาดลยภาพทเปลยนแปลงไปเมอมการเปลยนแปลงพารามเตอรแตละคา

…….. 8.3


จาก สมการอปสงค Qd = a - bP หรอเขยนใหมเปน P = b

1

b

a Qd

สมการอปทาน Qs = -c + dP หรอเขยนใหมเปน P = d

1

d

c Qs

จากภาพท 8.1 (ก) แสดงถงพารามเตอร a มการเปลยนแปลงเพมขน เปน a ซงกคอเสนอปสงคมสวนตดแกนตง (แกน P) สงขน ขณะทความชน (b) ของเสนอปสงคไมเปลยนแปลง การเพมขนของ a จะทาใหเสนอปสงคเคลอนยายไปทางขวามอและขนานกบเสนอปสงคเดม จาก D เปน D จดตดกนของเสนอปสงค D และเสนอปทาน

S กคอราคาดลยภาพใหม ( P ) ซงมคามากกวาราคาดลยภาพเดม ( P ) หรอ aP

> 0

จากภาพท 8.1 (ค) การแปลความหมายจะคลายกบกรณ (ก) เพยงแตเปนการเพมขนของพารามเตอร c เปน c (ไมคานงเครองหมายลบทอยหนา c เพราะกาหนดคา c > 0 ในแบบจาลอง) ซงกคอเสนอปทานมสวนตดแกนตง (แกน P) สงขน ทาใหเสนอปทานเคลอนยายไปทางซายมอและขนานกบเสนอปทานเดม จาก S เปน S จดตดกนของเสน D และ S คอราคาดลยภาพใหม ( P ) ซงมคามากกวาราคาดลยภาพเดม ( P ) หรอ P เพมขนจาก

P หรอ cP

> 0

จากภาพท 8.1 (ข) และ (ง) อธบายถงผลของการเปลยนแปลงพารามเตอร b และ d ทเปนความชนของเสนอปสงคและเสนอปทานของแบบจาลองตามลาดบ การเพมขนของ b หมายความวา สวนกลบคาความชนของเสน

อปสงคลดลง เสน D เปลยนเปน D ซงกคอ bP

< 0 และพบวา P ลดลง ในทานองเดยวกนการเพมขนของความ

ชน (d) ของเสนอปทาน หมายความวาสวนกลบคาความชนของเสนอปทานลดลง เสน S เปลยนเปน S สงผลให

ราคาดลยภาพใหมลดลงหรอ P ลดลง ดงนน dP

< 0

แมวาผลการวเคราะหโดยกราฟจะใหผลเฉลยเหมอนกบการหาอนพนธยอย แตการวเคราะหดวยกราฟกมขอจากดมากกวาโดยเฉพาะขอจากดในเรองของมตของกราฟเมอมตวแปรมากขนทาใหการใชวธการหาอนพนธทาไดดกวา

และจากสมการ 8.2 สามารถหาอนพนธยอย 4 อนพนธยอยคอ aQ

, bQ

, cQ

และ dQ

ได

เชนเดยวกน


8.1.2 แบบจาลองรายไดประชาชาต (National – income model) จากแบบจาลองรายไดประชาชาตอยางงายทเคยอธบายมาแลว ถากาหนดใหตวแปรภายใน คอ Y (รายไดประชาชาต) C (การบรโภค) T (ภาษ) และมแบบจาลองเปน ดงน

Y = C + I0 + G0 …….(1) C = + (Y – T) ( > 0, 0 < < 1) …….(2) T = + Y ( > 0, 0 < < 1) …….(3)

สมการแรกในระบบสมการท 8.4 แสดงถงเงอนไขดลยภาพของรายไดประชาชาต ขณะทสมการท 2 และ 3 แสดงถงแบบจาลองของ C และ T ตามลาดบ ขอจากดของพารามเตอร , , และ เปนดงน มคาบวก เพราะวามการบรโภคเกดขน แมวาไมมรายได [(Y-T) เปนศนย] ทาใหมคาเปนบวก เปนเศษสวนทมคาเปนบวก เพราะเปนคาทแสดงถงแนวโนมสวนเพมการบรโภค (Marginal Propensity to Consume) หรอ MPC มคาบวกเพราะวา แมวารายได (Y) เปนศนยรฐบาลกยงคงมรายรบจากภาษทเกบจากฐานภาษอนๆ ทไมใชรายได เปนเศษสวนทมคาบวก เพราะเปนอตราภาษรายได แตจะมคาไมเกน 100 เปอรเซนตหรอไมเกน 1

สาหรบตวแปรภายนอก I0 (การลงทนโดยอสระ) และ G0 (การใชจายโดยอสระของรฐบาล) จะมคาเปนบวก และจะสมมตใหตวแปรภายนอกและพารามเตอรตางกเปนอสระซงกนและกน ดงนนการเปลยนแปลงของตวแปรภายนอกและพารามเตอรแตละตวจะไมมผลตอการเปลยนแปลงซงกนและกน

จากแบบจาลองสามารถหาผลเฉลยของ Y โดยวธสมการลดรปดวยการแทนสมการท 3 ลงในสมการท 2 ของระบบสมการ 8.4 แลวจงนาไปแทนคาในสมการท 1 จะไดรายไดดลยภาพในรปแบบดงน

Y = βδβ

βγα

1GI 00 …….. 8.5

ในทานองเดยวกน คาดลยภาพของตวแปรภายใน C และ T กสามารถหาไดเมอทราบ Y โดยแทนคา Y ในสมการท 3 เพอหาคา T และแทนคา T และ Y ในสมการ 2 เพอหาคา C

จากสมการ 8.5 สามารถหาคาอนพนธยอยเชงสถตยเปรยบเทยบ 6 คา แตทง 6 อนพนธยอย มความสาคญตอการดาเนนนโยบายและวางแผนเศรษฐกจเพยง 3 อนพนธยอยกคอ

0GY

= βδβ1

1 > 0 …….. 8.6

…….. 8.4


γ

Y

= βδβ

β

1 < 0 …….. 8.7

δ

Y

=

βδβ

βγαβ

1GI 00 =

βδβ1Yβ

< 0 …….. 8.8

อนพนธยอยตามสมการ 8.6 หมายถง ตวทวการใชจายของรฐบาล จะมเครองหมายบวก เพราะ ตองนอยกวา 1 เสมอ และ ตองมากกวาศนย ดงนนเมอกาหนดคาตวเลขของ และ กจะหาคาตวทวการใชจายของรฐบาลได

อนพนธยอยตามสมการ 8.7 หมายถง ตวทวภาษทไมใชภาษรายได เพราะเปนการหาการเปลยนแปลงของ (รายรบของรฐบาลจากแหลงภาษทไมใชภาษรายได) จะมผลตอรายไดประชาชาตดลยภาพอยางไร ตวทวนจะมคาเปนลบในแบบจาลองนเพราะในสมการ 8.7 เศษมคาเปนลบ แตสวนมคาเปนบวก

อนพนธยอยตามสมการ 8.8 หมายถง ตวทวอตราภาษรายได มคาเปนลบ

จะสงเกตเหนวา มความแตกตางระหวาง 0G

Y

และ 0G

Y

เนองจาก 0G

Y

หาไดจากสมการ 8.5 แต

0GY

หาไดจากสมการ 8.4 ของแบบจาลองซงจะมคา = 1

8.1.3 แบบจาลองปจจย-ผลผลต (Input-output model) การหาผลเฉลยจากแบบจาลองปจจย-ผลผลต ระบบเปดจะกาหนดใหแบบจาลองเขยนอยในรปแบบของสมการเมทรกซ x = (I-A)-1 d เมอ x คอระดบผลผลต A คอ สมประสทธของปจจยการผลต d คอ อปสงคขนสดทาย ถาใหเมทรกซผกผน (I-A)-1 แทนดวย B = [bij] ผลเฉลยของระบบเศรษฐกจทม 3 อตสาหกรรมจะเขยนไดดงน

x = Bd หรอ

3

2

1

x

x

x

=

333231

232221

131211

bbb

bbb

bbb

3

2

1

d

d

d

............ 8.9


อตราการเปลยนแปลงของ x j ทเกดจากการเปลยนแปลงอปสงค สนคาขนสดทายทเปนตวแปรภายนอก ไดแก d1, d2, และ d3 กคอการหาอนพนธยอยของ x j เมอเทยบกบ dk เปนดงน

k

j

d

x

= bjk (j, k = 1, 2, 3) …….. 8.10

สมการ 8.10 หาไดจากสมการ 8.9 โดยหาผลคณของ Bd ไดดงน

3

2

1

x

x

x

=

333232131

323222121

313212111

dbdbdb

dbdbdb

dbdbdb

จากระบบสมการทอยในรปเมทรกซนกจะไดผลเฉลยทงหมด 3 สมการ ผลเฉลยแตละคากจะเปนฟงกชนของอปสงคสนคาขนสดทายและการหาอนพนธยอย จะทาใหไดอนพนธเชงสถตยเปรยบเทยบทงหมด 9 อนพนธยอย ดงน

1

1

dx

= 1d

[b11d1+ b12d2+ b13d3] = b11

ในทานองเดยวกน 2

1

dx

= b12 3

1

dx

= b13 …….. 8.11

1

2

dx

= b21 2

2

dx

= b22 3

2

dx

= b23

1

3

dx

= b31 2

3

dx

= b32 3

3

dx

= b33

จะเหนวาสมการ 8.11 กเปนการกระจายมาจากสมการ 8.10 นนเอง จากสมการ 8.11 สามารถรวม 3 อนพนธยอยเขาดวยกนดงน


1d

x

= 1d

3

2

1

x

x

x

=

31

21

11

b

b

b

2d

x

=

32

22

12

b

b

b

…….. 8.12

3d

x

=

33

23

13

b

b

b

เวกเตอรสดมภท ง 3 เวกเตอร ตามสมการ 8.12 กคอสดมภ 3 สดมภของเมทรกซ B โดยสามารถรวม

อนพนธยอยทง 9 อนพนธยอยไวในเมทรกซอนพนธ dx

เมอกาหนดให x = Bd จะเขยนใหมไดดงน

dx

=

333231

232221

131211

bbb

bbb

bbb

B (I-A)-1

เมอ (I-A)-1 กคอ เมทรกซผกผนของเมทรกซลอองเทยฟ หรอกลาวไดวา คานกคออนพนธเชงสถตยเปรยบเทยบทงหมดของแบบจาลองปจจย-ผลผลต ระบบเปด จากเมทรกซอนพนธของแบบจาลอง 3 อตสาหกรรมนสามารถขยายไปสกรณ n อตสาหกรรมได อนพนธเชงสถตยเปรยบเทยบของแบบจาลองปจจย-ผลผลตนไดนาไปใชประโยชนโดยเปนเครองมอของการวางแผนเศรษฐกจเพอทจะตอบคาถามวา ถาเปาหมายของการวางแผนทปรบปรงใหมนคอ d1,d2, …, dn โดยทยงคงความตองการทางตรงและทางออมทงหมดในระบบเศรษฐกจ จะตองเปลยนแปลงเปาหมายผลผลตของ n อตสาหกรรมอยางไร 8.2 การวเคราะหเชงสถตยเปรยบเทยบของแบบจาลองฟงกชนทวไป จากการทไดอธบายมาแลวถงการวเคราะหเชงสถตยเปรยบเทยบในการทหาคาดลยภาพของตวแปรภายในของแบบจาลองและคาดลยภาพเขยนอยในพจนของตวแปรภายนอกและพารามเตอรซงการวเคราะหในกรณ


ดงกลาวนจะใชเทคนคการใชสมการลดรปและหาอนพนธยอยแบบธรรมดา แตเมอแบบจาลองเขยนอยในรปแบบฟงกชนทวไปทมความซบซอนมากขน เทคนคทใชจะตองมการปรบเปลยนโดยใชแนวคดของการหาคาเชงอนพนธรวม การหาอนพนธรวม กฎของฟงกชนโดยปรยาย และทฤษฎของฟงกชนโดยปรยาย 8.2.1 แบบจาลองตลาด (Market model) ในกรณของตลาดสนคาชนดเดยวและฟงกชนอปสงค (Qd) ไมใชฟงกชนของราคา (P) เพยงตวแปรเดยว แตจะมตวแปรภายนอกเขามาเกยวของดวยคอรายได (Y0) และฟงกชนอปทาน (QS) เปนฟงกชนของราคาเพยงอยางเดยว เขยนอยในรปแบบทวไปได ดงน

Qd = QS

Qd = D (P, Y0) (PD

< 0 ; 0Y

D

> 0) …….. 8.13

QS = S(P) (PS

> 0)

กาหนดใหฟงกชน D และฟงกชน S เปนฟงกชนทมอนพนธตอเนอง และกาหนดเครองหมายของอนพนธ

คอ dPdS

> 0 หมายความวา ฟงกชนอปทานเปนฟงกชนเพมแบบหนงตอหนง ไมวาจะเปนฟงกชนเชงเสนหรอไมใช

เชงเสน ในทานองเดยวกนขอจากดของฟงกชนอปสงคทมอนพนธยอย 2 อนพนธ คอ PD

< 0 แสดงวาเปนฟงกชน

ลดของราคา และ 0Y

D

> 0 แสดงวาเปนฟงกชนเพมของรายได

สาหรบการอธบายโดยกราฟ จะใชระนาบ 2 มต แสดงถงเสนอปสงคโดยกาหนดใหระดบรายไดคงท แตเมอระดบรายไดเปลยนแปลงไปจะทาใหดลยภาพเปลยนแปลงเนองจากจะทาใหเสนอปสงคเคลอนยายไปจากเดม ดงนน Y0 จงเปนตวแปรภายนอกหรอพารามเตอร การวเคราะหเชงสถตยเปรยบเทยบของแบบจาลองนจะใชอธบายวาเมอมการเปลยนแปลง Y0 แลวจะมผลทาใหดลยภาพของแบบจาลองเปลยนแปลงไปอยางไร การหาดลยภาพของตลาดทาไดโดยอยบนเงอนไขดลยภาพ Qd = QS เขยนสมการ 8.13 ใหมไดดงน D (P, Y0) – S(P) = 0 …….. 8.14 แมวาสมการนจะไมสามารถหาคาราคาดลยภาพ ( P ) ทแนนอนชดแจงได แตจะสมมตวามดลยภาพเกดขนในสภาวะสถตย และจากประสบการณการวเคราะหจากแบบจาลองของฟงกชนทชเฉพาะทาใหทราบวาคาคาดหวง P จะเปนฟงกชนของตวแปรภายใน Y0 ดงน P = P (Y0) …….. 8.15


แตจากทฤษฎฟงกชนโดยปรยาย สมการ 8.14 เขยนอยในรปแบบ F(P, Y0) = 0 ได ซงเปนเงอนไขทสาคญของทฤษฎฟงกชนโดยปรยายทบอกไดวาทกๆ คาของ Y0 จะมคาตอบเพยงชดเดยวของ P ในบรเวณรอบๆ ของสมการ 8.14 ซงกคอในบรเวณของผลเฉลยทเปนดลยภาพ ในกรณนสามารถเขยนฟงกชนโดยปรยาย P = P (Y0)

และสามารถหาอนพนธของฟงกชน ซงกคอ 0dY

Pd ได

การตรวจสอบเงอนไขของทฤษฎฟงกชนโดยปรยายของการวเคราะห คอ 1. F(P, Y0) จะตองมอนพนธทตอเนองเพราะวาโดยขอสมมต D(P, Y0) และ S(P) ตางกมอนพนธท

ตอเนอง

2. อนพนธยอยของ F เมอเทยบกบ P กคอ FP = PD

- dPdS

มคาเปนลบ และไมเทากบศนย เพราะถา

เทากบศนยจะหาคาผลเฉลยไมได เมอเปนไปตามเงอนไข จงสามารถนาทฤษฎฟงกชนโดยปรยายมาประยกตได และสมการ 8.15 กถกตอง

จากทฤษฎเดยวกน เงอนไขดลยภาพของสมการ 8.14 กสามารถหาผลเฉลยดลยภาพไดเชนเดยวกน อาจจะเขยนดลยภาพไดดงน

D ( P , Y0) – S( P ) = 0 หรอ F( P , Y0) = 0 …….. 8.16

จากทฤษฎของฟงกชนโดยปรยายสามารถหาอนพนธเชงสถตยเปรยบเทยบ 0dY

Pd ได ซงกคอ

0dYPd

= P

F

F0Y =

PF

YF 0

=

PddSPD

YD 0

> 0 …..… 8.17

จากผลเฉลยตามสมการ 8.17 น D/ P และ dS/d P ไดจากการหาดลยภาพทเกดขนในตอนแรกเมอ P = P รวมถง D/Y0 หาไดจากดลยภาพดวยเชนกนและจากเครองหมายทกาหนดในสมการ 8.13 d P /dY0 จะมคาเปนบวก ทาใหสามารถสรปไดวา ระดบรายไดทเพมขน (หรอลดลง) จะสงผลใหราคาดลยภาพเพมขน (หรอลดลง) เสมอ และถาอนพนธของฟงกชนอปสงคและฟงกชนอปทาน สามารถหาดลยภาพในครงแรกได สมการ 8.17 กจะสามารถหาคาได ซงกคอผลสรปเชงปรมาณนนเอง

การอธบายขางตนแสดงถงผลของการเปลยนแปลงใน Y0 ทมตอ P ทาใหสามารถหาผลทเกดขนทมตอปรมาณดลยภาพ Q (= Q d = Q S) ไดแตเนองจากในสภาวะดลยภาพจะไดวา Q = S( P ) และ P = P ( Y0) จงสามารถนากฎลกโซมาใชหาอนพนธไดดงน


0dYQd

= Pd

dS

0dYPd

> 0 [เมอPd

dS > 0] …….. 8.18

สมการ 8.18 สามารถสรปผลเชงปรมาณของอปทานได เมอสามารถหาคาตางๆ ของอนพนธ ณ ทดลยภาพได ผลเฉลยตามสมการ 8.17 และ 8.18 เปนผลทเกดจากแบบจาลองของการวเคราะหเชงสถตยเปรยบเทยบ

และมคาเปนบวก (การทเสนอปสงคมการเคลอนยายเพมขนไปทางขวาของเสนเดม จะสงผลใหราคาดลยภาพเพมสงขน และปรมาณดลยภาพทเพมสงขนดวย) การวเคราะหสมการเกยวเนอง จากแบบจาลองตามสมการ 8.13 นน เปนการวเคราะหทอยบนพนฐานของสมการเชงเดยว แตตอไปนจะกลาวสมการเกยวเนอง โดยมแบบจาลองของตลาดดงน F1 (P, Q ; Y0) = D(P, Y0) – Q = 0 F2 (P, Q ; Y0) = S(P) – Q = 0 [ใหยอนกลบไปดทฤษฎฟงกชนโดยปรยายภายใตเงอนไขของเซตของระบบสมการเกยวเนองตามสมการ 7.6] ในกรณน n = 2 และ m = 1 ตรวจสอบเงอนไขของทฤษฎฟงกชนโดยปรยาย ดงน 1. ฟงกชนอปสงคและฟงกชนอปทานตองมอนพนธทตอเนอง และเขยนเปนฟงกชน F1, F2 2. จาโคเบยนดเทอรมแนนตหรอ J ไมเทากบศนย ในกรณน เปนดงน

J =

QF

PF

QF

PF

22

11

= 1

dPdS

1PD

= dPdS

- PD

> 0 …….. 8.20

ดงนน ถาผลเฉลยดลยภาพ ( P , Q ) หาคาไดแลว (แสดงวาเปนการวเคราะหเชงสถตยเปรยบเทยบ) จากทฤษฎฟงกชนโดยปรยายจะบอกไดวา ฟงกชนโดยปรยายเปนดงน P = P (Y0) และ Q = Q (Y0) …….. 8.21 แมวาจะไมสามารถหาคา P และ Q เปนคาทชดแจง แตฟงกชนเหลานกทราบวามอนพนธตอเนอง ทาใหสมการ 8.19 จะมสภาพดลยภาพเกดขน เขยนไดเปน D ( P , Y0) - Q 0 S( P ) – Q 0

…….. 8.19

…….. 8.22


คา 0dY

Pd และ

0dYQd

จะประกอบดวยคาเชงอนพนธ d P , d Q และ dY0 สามารถหาไดจากระบบสมการเกยวเนองน

เมอทาการหาคาเชงอนพนธ สมการ 8.22 ผลเฉลยทไดสามารถจดรปใหมใหเปนระบบสมการเชงเสนของ d P และ d Q ดงน

PD

d P - d Q = -0Y

D

dY0

dPdS

d P - d Q = 0

ระบบสมการนเปนเชงเสนเพราะวา d P และ d Q มกาลงเปนหนง ถาใหอนพนธสมประสทธ (หาไดจากดลยภาพตอนแรก) และ dY0 เปนคาคงท เมอหารตลอดแตละสมการดวย dY0 และเขยนในรปแบบเมทรกซ ดงน

1Pd

dS

1P

D

0

0

dYQd

dYPd

=

0dYdD

0

ใชกฎของคราเมอร และใชสมการ 8.20 จะไดผลเฉลย ดงน

0dY

Pd =

J

10

1YD

0

= JYD

0

…….. 8.23

0dY

Qd =

J

0Pd

dSYD

PD

0

= J

Y

D

Pd

dS

0

เมออนพนธทงหมดของฟงกชนอปสงคและอปทาน (ประกอบดวยอนพนธทงหมดในจาโคเบยน) สามารถหาไดจากดลยภาพในครงแรก และสามารถตรวจสอบผลเฉลยได โดยใชสมการ 8.17 และ 8.18


การใชอนพนธรวม ทงสมการเชงเดยว และระบบสมการเกยวเนอง สามารถใชวธการหาอนพนธรวม (total derivative) ของ ทง 2 ขางของคาดลยภาพ เมอเทยบกบบางสวนของตวแปรภายนอกหรอพารามเตอร ในการใชวธการสมการเชงเดยว ซงมดลยภาพดงน D ( P , Y0) - S( P ) 0 (จาก 8.16) เมอ P = P (Y0) (จาก 8.15) หาอนพนธรวมของคาดลยภาพเมอเทยบกบ Y0 จะได

PD

0dYPd

+ 0Y

D

- Pd

dS

0dYPd

= 0

(ผลทางออมของ Y0 ตอ D) (ผลทางตรงของ Y0 ตอ D) (ผลทางออมของ Y0 ตอ S) เมอหาคา d P /dY0 ผลเฉลยจะไดคาเพยงคาเดยวตามสมการ 8.18

ภาพท 8.2 ผลทางตรงและทางออมของ Y0 ทมตอฟงกชนอปสงคและฟงกชนอปทาน

สาหรบการใชสมการเกยวเนองจะมคของคาดลยภาพ ดงน D ( P , Y0) - Q 0 S( P ) – Q 0 (จากสมการ 8.22) เมอ P = P (Y0) Q = Q (Y0) (จากสมการ 8.21) ผลตางๆ ของ Y0 ทมตอการเปลยนแปลงของฟงกชนอปสงค และฟงกชนอปทานเปนไปตามภาพท 8.2 กลาวคอ การหาอนพนธของฟงกชนอปสงคเมอเทยบกบ Y0 จะมทงผลทางตรงและผลทางออมโดยผาน P และการหาอนพนธของฟงกชนอปทานเมอเทยบกบ Y0 จะมแตผลทางออมเพยงอยางเดยวโดยผาน P เชนกน ดงนนการหาอนพนธรวมจะมผลเฉลย 2 ผลเฉลย เมอเทยบกบ Y0 เมอมการจดเรยงใหม จะไดคของ 2 สมการ ดงน

ฟงกชนอปสงค

ฟงกชนอปทาน


PD

0dYPd

-

0dYQd

= -0Y

D

Pd

dS

0dYPd

-

0dYQd

= 0

สมการเหลานเปนผลของวธการวเคราะหดวยการหาอนพนธรวม ซงกคออนพนธเชงสถตยเปรยบเทยบนนเอง 8.2.2 แบบจาลองรายไดประชาชาต (IS-LM) การประยกตทฤษฎฟงกชนโดยปรยายกบรปแบบของแบบจาลองรายไดประชาชาต (IS-LM) ทเขยนอยในรปแบบฟงกชนโดยทวไป หลกการอยทการวเคราะหดลยภาพจะพจารณาทระดบรายไดและอตราดอกเบยดลยภาพในตลาดสนคาและตลาดเงน (goods market and the money market) สาหรบตลาดสนคาอธบายโดยเซตของสมการดงน Y = C + I + G C = C(Y – T) I = I(r) G = G0 T = T(Y) โดยท Y คอ ระดบรายไดประชาชาต หรอ GDP ซงในแบบจาลองน Y อาจจะหมายถงอปทานมวลรวม

(aggregate supply หรอ AS) C คอ การบรโภค I คอ การลงทน G คอ การใชจายของภาครฐ T คอ ภาษ จากเซตของสมการดงกลาวอปสงคมวลรวม (aggregate demand หรอ AD) อธบายได ดงน 1. การบรโภค (consumption) เปนฟงกชนเพมอยางแทจรง (strictly increasing function) ของรายไดหลงหกภาษแลว (disposable income) เทากบ Y – T ถากาหนดใหรายไดหลงหกภาษ คอ Yd ดงนน ฟงกชนการบรโภคจงเขยนแทนดวย C = C(Yd)


การหาอนพนธของ C เมอเทยบกบ Yd กคอ ความโนมเอยงสวนเพมของการบรโภค หรอ MPC ดงน

ddY

dC = C(Yd) หรอ C และ 0 < C(Yd) < 1

2. คาใชจายในการลงทนเปนฟงกชนลดอยางแทจรง (strictly decreasing function) ของอตราดอกเบย (r) ดงน I = I(r) หาอนพนธของ I เมอเทยบกบ r ไดดงน

drdI

= I(r) หรอ I < 0

3. ภาครฐบาลอธบายดวย 2 ตวแปร คอ การใชจายภาครฐ (G) และภาษ (T) การใชจายภาครฐกาหนดใหเปนตวแปรภายนอกและถกกาหนดโดยนโยบายของรฐบาล และภาษเปนฟงกชนเพมของรายได ดงน T = T(Y) หาอนพนธของ T เมอเทยบกบรายได กคอ อตราภาษสวนเพม (marginal tax rate) ดงน

dYdT

= T(Y) หรอ T และ 0 < T(Y) < 1

ตลาดสนคา เมอแทนฟงกชน C, I และ G ในสมการดลยภาพ Y = C + I + G ไดดงน Y = C [Y – T(Y)] + I(r) + G0 (เสน IS) สมการน ประกอบดวยตวแปรภายใน Y และ r ดลยภาพนเปนดลยภาพในตลาดสนคา ซงแสดงไดโดย เสน IS การหาความชนของเสน IS: จากสมการดลยภาพถาเขยนใหมใหเปนสมการ IS ไดดงน Y - C(Yd) - I(r) - G0 0 หาคาเชงอนพนธรวม เมอเทยบกบ Y และ r ไดคอ dY - C(Yd) [1 – T (Y)] dY - I(r) dr = 0

[ขอสงเกต dYdYd

= 1 - T(Y)]


เมอจดรปสมการใหมใหเขยนอยในพจนของ dY และ dr จะไดความชนของเสน IS ดงน

dYdr

= )r(I

)Y(T1)Y(C1 d

< 0

เพราะเมอพจารณาคาของอนพนธของ C, I และ T ในสมการดงกลาว จะพบวา ความชนของเสน IS เปนลบ ตลาดเงน ตลาดเงนอธบายไดดวย 3 สมการ ดงน 1. อปสงคของเงน Md = L (Y, r) เปนฟงกชนของ Y และ r เมอ Ly > 0 และ Lr < 0

2. อปทานของเงน MS = S0M

กาหนดให อปทานของเงนเปนตวแปรภายนอก เนองจากอปทานของเงนถกกาหนดโดยนโยบายของรฐ หรอธนาคารกลาง 3. เงอนไขดลยภาพ คอ Md = MS แทนคาสมการท 1 และ 2 ในสมการท 3 จะไดเสน LM ดงน

L (Y, r) = S0M

การหาความชนของเสน LM: จากสมการดลยภาพสามารถเขยนใหมไดดงน

L (Y, r) - S0M 0

หาคาเชงอนพนธรวม เมอเทยบกบตวแปรภายใน Y และ r ไดคอ LY dY + Lr dr = 0 เขยนสมการใหมใหอยในพจนของความชนของเสน LM คอ

dYdr

= r

Y

LL

> 0

เพราะวา LY > 0 และ Lr < 0 ทาใหคาความชนของเสน LM เปนบวก การวเคราะหดลยภาพทเกยวเนองของตลาดสนคาและตลาดเงนอธบายโดยระบบสมการ ดงน

Y C(Yd) + I(r) + G0 L(Y, r) S

0M จากท ง 2 สมการ การหาคาตวแปรภายใน (Y และ r) ใหอยใน รปของฟงกชนตวแปรภายนอก

(G0 และ S0M ) โดยการหาคาเชงอนพนธรวมของระบบสมการ ดงน


dY - C(Yd) [1 – T (Y)] dY - I(r) dr = dG0 และ LY dY + Lr dr = d S

0M ถาเขยนในรปของเมทรกซ จะได

rY LL

)r(I)]Y(T1)[Y(C1 d

dr

dY =

S0

0

dM

dG

หาจาโคเบยนดเทอรมแนนต

J = rY LL

)r(I)]Y(T1)[Y(C1 d

= 1 - C(Yd) [1 – T (Y)] Lr + LY I(r) < 0 เมอ J 0 ระบบสมการนจะเปนไปตามเงอนไขของทฤษฎฟงกชนโดยปรยายและฟงกชนโดยปรยาย

ดงน Y = Y (G0,

S0M )

และ r = r (G0, S0M )

การทเขยนอยในรปสมการดงกลาว เพราะวาไมสามารถหาผลเฉลยของ Y และ r อยางชดแจงได แต

สามารถอธบายถงผลของการเปลยนแปลงของตวแปรภายนอกตวใดตวหนง (G0, S0M ) ทมตอคาดลยภาพของ Y

และ r โดยการหาอนพนธเชงสถตยเปรยบเทยบ 0G

Y

และ 0G

r

ซงทาไดโดยการประยกตใชทฤษฎของ

ฟงกชนโดยปรยายกบระบบสมการทเขยนอยในรปเมทรกซของคาเชงอนพนธรวม ตอไปน

rY LL

)r(I)]Y(T1)[Y(C1 d

dr

dY =

S0

0

dM

dG

ขนตอนแรก จะไดวา d S0M = 0 และหารทง 2 ขางของสมการดวย dG0

rY LL

)r(I)T1(C1

0

0

dGrd

dGYd

=

0

1

ใชวธของคราเมอร ไดดงน


0dG

Yd =

J

L0

I1

r

= J

Lr > 0

และ 0dG

rd =

J

0L

1)r1(C1

Y

= J

LY > 0

จากทฤษฎฟงกชนโดยปรยาย อตราสวนของคาเชงอนพนธ 0dG

Yd และ

0dGrd

หมายถง อนพนธยอย ดงน

0

S00

G)M,G(Y

และ 0

S00

G)M,G(r

ซงอนพนธยอยทง 2 อนพนธ เปนอนพนธเชงสถตยเปรยบเทยบ 8.2.3 แบบจาลองรายไดประชาชาต : ระบบเศรษฐกจเปด การขยายแบบจาลองรายไดประชาชาตพนฐานไปสภาคตางประเทศ ทาไดดงน 1. การสงออกสทธ (net exports) กาหนดให X คอ การสงออก M คอ การนาเขา E คอ อตราการแลกเปลยนเงนตราตางประเทศ การสงออก เปนฟงกชนเพมของอตราแลกเปลยน ดงน X = X(E) เมอ X(E) > 0 การนาเขา เปนฟงกชนลดของอตราแลกเปลยน แตเปนฟงกชนเพมของรายได ดงน M = M(Y, E) เมอ MY > 0 , ME < 0 2. การไหลของเงนทน (capital flows) การไหลของเงนทนสทธของประเทศ คอ ฟงกชนของอตราดอกเบยในประเทศ (r) และอตราดอกเบยระหวางประเทศ (rw) ให K แทนการไหลเขาของเงนทนสทธ ดงนน K = K(r, rw) เมอ Kr > 0 ,

wrK < 0

3. ดลการชาระเงน (Balance of Payment หรอ BP) กระแสการไหลเขาและกระแสการไหลออกเงนตราตางประเทศของประเทศแบงออกเปน 2 บญช คอ บญชเดนสะพด (Current Account) ไดแก การสงออกสทธของ


สนคาและบรการ และบญชทน (Capital Account) ไดแก การซอหนภายในประเทศและตางประเทศ เมอรวมทง 2 บญชจะไดดลการชาระเงน ดงน BP = บญชเดนสะพด + บญชทน = [X(E) – M(Y, E)] + K(r, rw) ภายใตอตราการแลกเปลยนลอยตว อตราการแลกเปลยนจะปรบเปลยนเพอรกษาดลการชาระเงนใหเทากบศนย การกาหนดใหดลการชาระเงนเทากบศนยกเพอใหเกดการเทากนของอปสงคของเงนตราตางประเทศกบอปทานของเงนตราตางประเทศของประเทศนนเอง ดลยภาพของระบบเศรษฐกจแบบเปด ดลยภาพของระบบเศรษฐกจแบบเปด แสดงใหเหนโดยเงอนไข ดงน 1. อปสงคมวลรวม เทากบอปทานมวลรวม (AD = AS) 2. อปสงคของเงน เทากบอปทานของเงน (Md = MS) 3. ดลการชาระเงน เทากบศนย (BP = 0) เมอรวมภาคตางประเทศเขากบแบบจาลองรายไดประชาชาตพนฐานจะไดระบบสมการ 3 สมการ ดงน Y = C(Yd) + I(r) + G0 + X(E) – M(Y, E)

L(Y, r) = S0M

X(E) – M(Y, E) + K(r, rw) = 0

ระบบสมการม 3 สมการ ตวแปรภายใน 3 ตวแปร คอ Y, r และ E ตวแปรภายนอก คอ G0, S0M และ rw ถา

เขยนระบบสมการใหม เมออยในดลยภาพจะไดวา F1 0, F2 0, F3 0 และหาคาจาโคเบยนดเทอรมแนนต ดงน Y - C(Yd) - I(r) - G0 - X(E) + M(Y, E) 0

L(Y, r) - S0M 0

X(E) – M(Y, E) + K(r, rw) 0

J =

ErY

rY

EY

MXKM

0LL

XMIM)T1(C1

ใชการกระจายของลาปลาส ไดดงน

J = (ME-X)rY

rY

KM

LL

+(X-ME) rY

Y

LL

IM)T1(C1


= (ME-X)(LYKr + LrMY) + (X-ME) [1 - C(1 – T) + MY] Lr + ILY = (ME-X) LY (Kr-I) + Lr [C(1 – T)-1] กาหนดใหเครองหมายของอนพนธยอย และขอจากดเปนดงน 0 < C (1 – T) < 1 และสามารถหาไดวา

J < 0 ดงนนจงเขยนฟงกชนโดยปรยายไดดงน Y = Y (G0,

S0M , rw)

r = r (G0, S0M , rw)

E = E (G0, S0M , rw)

หาคาเชงอนพนธรวมของระบบสมการและเขยนในรปแบบเมทรกซ ดงน

ErY

rY

EY

MXKM

0LL

XMIM)T1(C1

Ed

rd

Yd

=

wr

S0

0

drK

dM

dG

w

จากสมการดงกลาวนสามารถคานวณหาอนพนธเชงสถตยเปรยบเทยบได เชน ถาพจารณาผลกระทบของการเปลยนแปลงในอตราดอกเบยระหวางประเทศ (rw) ทมตอคาดลยภาพของ Y, r และ E ซง dG0 = d S

0M = 0 และหารทง 2 ขางของสมการดวย drw

ErY

rY

EY

MXKM

0LL

XMIM)T1(C1

w

w

w

drEd

drrd

drYd

=

wrK

0

0

ใชกฎของคราเมอร เพอหาอนพนธเชงสถตยเปรยบเทยบ ดงน

wrY

= J

MXKK

0L0

XMI0

Err

r

E

w

= J

)XM)(L)(K( Errw

> 0

[เพราะวา wr

K < 0, Lr < 0, ME < 0 และ X> 0]


และ wrr

= J

MXKM

00L

XM0M)T1(C1

ErY

Y

EY

w

= J

)K)(L)(XM(wrYE

> 0

และ wrE

= J

KKM

0LL

0IM)T1(C1

wrrY

rY

Y

=

J

)I)(L)(K(M)T1(C1)L)(K( YrYrr ww

= J

]I)L(L}M)T1(C1)[{K( YrYrw

> 0

ทจดนสามารถเปรยบเทยบผลเฉลยทหาไดกบหลกเศรษฐศาสตรมหภาค กลาวคอ การเพมขนของอตราดอกเบยระหวางประเทศจะทาใหเกดกระแสการไหลออกของเงนทนเพมขน และการถดถอยของเงนตราภายในประเทศ นอกจากนจะนาไปสการเพมขนของการสงออกสทธ และรายไดทเพมขน รายไดในประเทศทเพมขนจะเปนสาเหตของการเพมขนในอปสงคของเงน และอตราดอกเบยภายในประเทศสงขน ผลทเกดขนนอธบายไดดวยกราฟ ตามภาพท 8.3 ทแสดงถงอตราดอกเบยระหวางประเทศทเพมขนนาไปสการเคลอนของเสน IS ไปทางขวามอ


ภาพท 8.3 เสน IS เคลอนไปทางขวามอเนองจากการเพมขนของอตราดอกเบยระหวางประเทศ

สรปขนตอนการวเคราะห การวเคราะหแบบจาลองตลาดและแบบจาลองรายไดประชาชาตทเขยนอยในรปแบบฟงกชนทวไป ผล

เฉลยของการวเคราะหไมสามารถหาคาตวแปรภายในทเปนคาทชดแจงได แตสามารถนาทฤษฎของฟงกชนโดยปรยายมาประยกตใชและเขยนผลเฉลยอยในรปแบบของฟงกชนโดยปรยายได เชน P = P (Y0) r = r (G0,

S0M )

ลาดบขนตอนตอไปกคอการหาอนพนธเชงสถตยเปรยบเทยบ เชน 0dY

Pd และ

0Gr

และใชทฤษฎของ

ฟงกชนโดยปรยายเพอสรปไดวา ฟงกชน P และฟงกชน r มอนพนธทตอเนอง การประยกตใชทฤษฎนจะตองเขยนสมการของแบบจาลองใหอยในรปแบบมาตรฐานของเงอนไขดลยภาพ

ของแบบจาลองในรปแบบของ F(y, x1, ..., xm) = 0 และ y = f(x1, ..., xn) และตรวจสอบวา 1. ฟงกชน F มอนพนธตอเนอง 2. คาของ Fy หรอจาโคเบยนดเทอรมแนนต (มสมาชกเปนตวแปรภายใน) ไมเทากบศนย ณ ทจดดลยภาพเรมแรกของแบบจาลอง อยางไรกตาม เปนการยอมรบโดยอตโนมตวาฟงกชนแตละฟงกชนในแบบจาลองมอนพนธทตอเนอง ซงถอวาเปนขอสมมตทไดถกนาไปประยกตใชกบแบบจาลองทอยในรปแบบของฟงกชนโดยทวไป สาหรบในทางปฏบตแลว ตองการเพยงแตการตรวจสอบคา Fy หรอจาโคเบยนดเทอรมแนนตเทานน และถาไมเทากบศนยทจดดลยภาพ กสามารถใชวธการดงกลาวหาอนพนธเชงสถตยเปรยบเทยบได

A

B

Y

LMO

O

r

ISO

IS1

rw rw

rw = rw


ในขนตอนสดทาย ใชทฤษฎของฟงกชนโดยปรยาย สาหรบในกรณสมการเดยวสามารถหาเซตของตวแปร

ภายในไดเทากบคาดลยภาพ (เชน P = P ) ในเงอนไขดลยภาพและประยกตใชตามกฎดงน dxdy

= y

x

FF

สาหรบระบบสมการเกยวเนอง สงแรกตองใหเซตของตวแปรภายในทงหมด เทากบคาดลยภาพตามลาดบในเงอนไขดลยภาพ จากนนจงประยกตใชทฤษฎของฟงกชนโดยปรยายตามสมการ ดงน

1

j

x

y =

J

J j (j = 1, 2, …, n)

หรออาจใชขนตอนดงตอไปนกจะสามารถหาผลเฉลยไดเชนเดยวกน 1. หาคาเชงอนพนธรวมของแตละคาดลยภาพทหาได 2. เลอกตวแปรภายนอกครงละ 1 ตวแปร เพยงตวแปรเดยว เชน x0 ท เปนปจจยทาให ดลยภาพเปลยนแปลงไป และกาหนดใหคาเชงอนพนธของตวแปรภายนอกทเหลอทงหมดเทากบศนย จากนนหารเทอมท คงเหลออยท งหมดดวย dx0 การแปลความหมายของผลหารของอนพนธ 2 อนพนธ แตละผลหารจงถอวาเปนอนพนธเชงสถตยเปรยบเทยบ และเปนคาอนพนธยอยถาแบบจาลองประกอบดวยตวแปรภายนอก 2 ตวแปรหรอมากกวา 3. หาผลเฉลยของระบบสมการทเปนอนพนธเชงสถตยเปรยบเทยบและแปลความหมายเชงเศรษฐศาสตร ในขนตอนนถาใชกฎของคราเมอร จะทาไดงายกวาสาหรบการตรวจสอบเงอนไข J ≠ 0 ซงจะตองคานวณหาคาดเทอรมแนนตของเมทรกซสมประสทธของระบบสมการ 4. สาหรบการวเคราะหปจจยอนๆ ททาใหเกดการเปลยนไปของดลยภาพ (ตวแปรภายนอกอนๆ) ใหทาซ าในขนตอนท 2 และ 3 แมวากลมของอนพนธเชงสถตยเปรยบเทยบทไดจะแตกตางไป แตเมทรกซสมประสทธจะเหมอนเดมซงทราบคาของ J อยแลว กสามารถนาไปใชได ถากาหนดใหแบบจาลองมตวแปรภายนอก m ตวแปร กจะสามารถหาคาอนพนธเมอเทยบกบตวแปรภายนอก m ตวแปรไดตามขนตอน 1, 2 และ 3 ซงจะทาใหไดคาอนพนธเชงสถตยเปรยบเทยบท งหมดไดเชนเดยวกน นอกจากการวเคราะหดลยภาพเชงสถตยเปรยบเทยบของแบบจาลองตลาด และแบบจาลองรายไดประชาชาตแลว ยงสามารถนาความรเกยวกบอนพนธมาใชวเคราะหทางเศรษฐศาสตรประเดนอนๆ อก เชน การวเคราะหสวนเพม การวเคราะหความยดหยน เปนตน


8.3 แนวคดเกยวกบสวนเพม (Marginal concept) แนวคดเกยวกบสวนเพมในทางเศรษฐศาสตรมความสาคญเพราะไดมการนาไปใชวเคราะหพฤตกรรมของผบรโภคและพฤตกรรมผผลต รวมถงการวเคราะหในเชงมหภาค แตสาหรบบทนเปนการกลาวถงในบางเรองเทานน ตนทนสวนเพม (Marginal Cost หรอ MC) ในทางเศรษฐศาสตร หมายถง ตนทนทงหมดทเปลยนแปลงไป เมอมการผลตเพมขน 1 หนวย รายรบสวนเพม (Marginal Revenue หรอ MR) หมายถง รายรบทงหมดทเปลยนแปลงไปเมอมการขายสนคาเพมขนอก 1 หนวย ทงตนทนทงหมด (Total Cost หรอ TC) และรายรบทงหมด (Total Revenue หรอ TR) จงเปนฟงกชนของปรมาณผลผลต (Q) และตนทนสวนเพม รายรบสวนเพม จงคานวณไดจากการหาอนพนธของฟงกชนตนทนทงหมดและรายรบทงหมดตามลาดบ

ถา TC = C(Q) ดงนน MC = dQ

dTC

และถา TR = R(Q) ดงนน MR = dQ

dTR

โดยสรปกคอ แนวคดของสวนเพมของฟงกชนในทางเศรษฐศาสตรใดๆ กตาม สามารถหาไดจากการหาอนพนธของฟงกชนทงหมด เชน ถา TR = 75Q – 4Q2

ดงนน MR = dQ

dTR =

dQd

[75Q – 4Q2] = 75 – 4(2)Q = 75 – 8Q

หรอ ถา TC = Q2 + 7Q + 23

ดงนน MC = dQ

dTC =

dQd

[ Q2 + 7Q + 23] = 2Q + 7

ตวอยางท 8.1 กาหนดใหฟงกชนอปสงค คอ P = f(Q) = 30 – 2Q จงหารายรบสวนเพม เมอ Q = 4 และ Q = 5 วธทา การหาฟงกชนรายรบสวนเพมจะตองหาจากฟงกชนรายรบทงหมด แลวจงหาอนพนธของฟงกชนรายรบทงหมดเทยบกบผลผลต (Q) เพราะวา TR = PQ แต P = 30 – 2Q


ดงนน TR = (30 – 2Q) Q = 30Q – 2Q2

แต MR = dQ

dTR =

dQd

[30Q – 2Q2] = 30 – 2(2) Q = 30 – 4Q

ถา Q = 4 MR = 30 – 4(4) = 30 – 16 = 14 และถา Q = 5 MR = 30 – 4(5) = 30 – 20 = 10 ตวอยางท 8.2 กาหนดใหฟงกชนตนทนทงหมดเปนดงน TC = C(Q) = 35 + 5Q – 2Q2 + 2Q3 จงหาตนทนสวนเพม และตนทนเฉลย เมอกาหนดให Q = 3 และ Q = 5 วธทา เพราะวา TC = C(Q) = 35 + 5Q – 2Q2 + 2Q3

MC = dQ

dTC =

dQd

[35 + 5Q – 2Q2 + 2Q3]

= 5 – 2(2)Q + 2(3)Q2 = 5 - 4Q + 6Q2 เมอ Q = 3 MC = 5 – 4(3) + 6(3)2 = 5 – 12 + 54 = 47 และ Q = 5 MC = 5 – 4(5) + 6(5)2 = 5 – 20 + 150 = 135

เพราะวา AC = Q

TC =

Q2Q 2Q - 5Q 35 32

เมอ Q = 3 AC = 3

2(3) 2(3) -5(3) 35 32 = 28.67

และ Q = 5 AC = 5

2(5) 2(5) -5(5) 35 32 = 52

8.3.1 การหาฟงกชนรายรบสวนเพมจากฟงกชนรายรบเฉลย กาหนดใหฟงกชนรายรบเฉลยเปนดงน AR = 15 - Q ฟงกชนรายรบสวนเพมสามารถคานวณไดโดยขนตอนแรก คณรายรบเฉลย (Average Revenue หรอ AR) ดวย Q ผลเฉลยทไดคอฟงกชนรายรบทงหมด TR = [AR] Q = (15 – Q) Q = 15 Q – Q2


ขนตอนตอมาหาอนพนธของ TR เมอเทยบกบ Q ดงน

dQ

dTR =

dQd

[15Q – Q2]

MR = 15 – 2Q

คา dQ

dTR น หมายความวา เมอมการขายสนคาเพมขนอก 1 หนวย จะทาใหมรายรบทงหมดเพมขนอก

จานวนเทาใด รายรบทงหมดทเพมขนนเรยกวารายรบสวนเพม แตถากาหนดฟงกชน AR อยในรปแบบทวไปคอ AR = f(Q) ดงนน ฟงกชนรายรบทงหมด สามารถเขยนอยในรปแบบทวไปไดเชนกน คอ TR = AR Q = f(Q) Q แตเนองจาก TR เปนผลคณของฟงกชน Q 2 ฟงกชน ไดแก f(Q) และ Q เมอหาคาอนพนธของ TR โดยใชกฎของผลคณของ 2 ฟงกชน กจะไดฟงกชน MR ดงน

MR = dQ

dTR =

dQd

[f(Q) Q]

= Q f(Q) + f(Q) 1 = f(Q) + Q f(Q) …….. 8.24 ผลเฉลยทไดเขยนอยในรปแบบทวไปและสามารถบอกความมนยสาคญเกยวกบ MR ไดเชนกน แตเปนททราบวา f(Q) กคอ ฟงกชน AR ถาจดรปการเขยนสมการ 8.24 ใหม เปน MR – AR = f(Q) + Q f(Q) – f(Q) = Q f(Q) …….. 8.25 จากสมการนจะเหนความสมพนธระหวาง MR และ AR ซงมคาผลตางเทากบจานวน Q f(Q) นพจนหรอขอความ Q f(Q) ประกอบดวย Q ซงหมายถงผลผลตและมคาไมเปนลบเสมอ สวน f(Q) หมายถง ความชนของเสนโคง AR แตรายรบเฉลยและราคาคอสงเดยวกนดงน

AR = Q

TR =

QPQ

= P

เสนโคง AR เปนเสนโคงทมความเกยวของกบราคา P และผลผลต Q ไดแก AR = P = f(Q) และเปนเสนโคงผกผนของเสนอปสงคผลผลตของหนวยธรกจ [Q = f(P)] สาหรบตลาดสนคาทเปนตลาดแขงขนสมบรณ เสน AR จะเปนเสนตรง ขนานกบแกนนอน ซงกคอ f(Q) = 0 และจากสมการ 8.25 จะไดวา MR – AR = 0 สาหรบทกๆ คาทเปนไปไดของ Q ดงนนเสน MR และ AR จงทบกนสนทพอด


สาห รบตลาดท มการแขงขนไมสมบรณ เสนโคง AR จะเปน เสนโคงทลาดลง ตามภาพ ท 8 .4 ดงนน f(Q) < 0 และจากสมการ 8.25 จะไดวา MR – AR < 0 ดวยสาหรบทกระดบผลผลตทมคาเปนบวกทงหมด ในกรณนเสน MR จงอยต ากวาเสน AR

ภาพท 8.4 เสนรายรบเฉลย

กาหนดใหระดบผลผลตเทากบ N จากภาพท 8.4 จะพบวานพจน Q f(Q) สามารถเขยนไดเปน N f(N) และถาสามารถหาปรมาณ N f(N) ไดกจะรวา จดบนเสน MR จะอยต ากวาจด G ของเสน MR เทาใด จานวนผลผลตทราบวามขนาด N หนวย และ f(N) คอความชนของเสนโคง AR ทจด G หรอแทนดวยความชนของเสนสมผส (tangent line) JM ซงหาคาไดจากอตราสวนของ OJ/OM แตทราบวา OJ/OM = HJ/HG (เพราะวา JHG และ JOM เหมอนกนทกประการ) นอกจากนระยะ HG คอจานวนผลผลตทกาลงพจารณา (N) ดงนนระยะ N f(N) จงเปนระยะทเสนโคง MR อยต ากวาเสนโคง AR ทระดบผลผลต N มคา ดงน

N f(N) = HG

HGHJ

= HJ

จากจด G ลากเสนตรงลงมาใหตงฉากกบแกนนอน หาระยะ KG = HJ ทจด K โดยทจด K นจะตองอยบนเสนโคง MR (วธการทงาย และมความแมนยาถกตองในการหาระยะ KG กคอการลากเสนตรงใหผานจด H และขนานกบ JG จะไดจด K ซงเปนจดทเสนตรงเสนนตดกบเสนแนวตง NG) ดวยวธการเดยวกนนสามารถใชกบการหาจดอนๆ บนเสนโคง MR ได สมมตใหจด G เปนจดใดๆ บนเสนโคง AR ขนตอนแรกจะตองเขยน เสนสมผส ใหสมผสเสนโคง AR ทจด G โดยทเสนสมผส นตดแกนตงทจด J แลวจงลากเสนขนานกบแกนนอนจากจด G ไปตดกบแกนตงทจด H จากจด G ลากเสนตรงใหตงฉากกบแกนนอน หาจด K ททาใหระยะ KG = HJ กจะไดจด K เปนจดบนเสนโคง MR วธการนเปนการหาเสนโคง MR จากเสนโคง AR โดยวธกราฟ แตสาหรบกรณทเสน AR เปนเสนตรง เสนสมผส ทจดใดๆ บนเสน AR กคอเสนตรง AR นนเอง จงไมจาเปนทจะตองหาเสนสมผส

G

AR P = f(Q)

Q M N O

AR P

H

J

K


และเสน MR ทหาไดโดยวธกราฟกจะเปนเสนตรงเหมอนกบเสน AR เพยงแตอยต ากวาเสน AR เหมอนกบกรณทเสน AR เปนเสนโคง 8.3.2 การประยกตใชอนพนธเกยวกบตนทน ตนทนเฉลย และตนทนสวนเพม ในการผลตสนคาชนดหนงจานวน Q หนวย ตองใชตนทนทงหมด เทากบ TC หรอกลาวไดวา TC เปนฟงกชนของ Q สามารถเขยนในรปแบบของฟงกชนตนทนทงหมดไดดงน TC = C(Q) โดยทวไปเสนตนทนทงหมดจะมสมบตดงน 1. การผลตในระยะสน ตนทนการผลตประกอบดวยตนทนคงทและตนทนแปรผน ดงนนเมอไมมการผลตสนคาเลย (Q = 0) ตนทนทงหมดจะมากกวา 0 หรอ C(0) > 0 แสดงวา C(0) เปนตนทนคงทในการผลตสนคาน สาหรบการผลตระยะยาว ตนทนการผลตจะมแตตนทนแปรผน ดงนนเมอไมมการผลตสนคา ตนทนทงหมดจะเทากบ 0 2. ตนทนทงหมดจะเพมขน เมอมการผลตสนคาเพมมากขน ทาให C(Q) มคาเปนบวกเสมอ 3. การผลตสนคาในชวงแรกๆ เมอมการผลตเพมขน เสนตนทนทงหมดจะมลกษณะเปนเสนโคงทลาดขนหรอมอตราการเพมขนของตนทนท งหมดในอตราทลดลง ซงจะสอดคลองกบตนทนสวนเพมทลดลง (decreasing marginal cost) และเมอมการผลตสนคาเพมมากขนไปอกจนถงจดหนงททาใหตนทนสวนเพมตาสด ตนทนทงหมดจะเรมเปลยนหรอมอตราการเพมขนของตนทนทงหมดในอตราทเพมขน ดงนนเสนตนทนทงหมดจงมลกษณะโคงขน จากทกาหนดในตอนแรก กาหนดให TC = ตนทนทงหมด Q = ปรมาณผลผลต และ TC = C(Q) ดงนน ตนทนเฉลย (average cost หรอ AC) คอ

AC = Q

TC หรอ

Q)Q(C

ตนทนสวนเพม (marginal cost หรอ MC) คอ

MC = dQ

dTC หรอ C(Q)


ความสมพนธระหวางฟงกชนตนทนสวนเพมและฟงกชนตนทนเฉลย การประยกตกฎผลหารของการหาอนพนธในทางเศรษฐศาสตร ในกรณนกาลงพจารณาถงอตราการเปลยนแปลงของตนทนเฉลย เมอปรมาณผลผลตแปรเปลยนไป กาหนดให ฟงกชนตนทนทงหมด TC = C(Q) หาอนพนธของตนทนทงหมด เมอเทยบกบผลผลต (Q) ไดดงน

dQ

dTC =

dQd

[C(Q)] = C(Q)

คา dQ

dTC หมายความวา ถามการขยายการผลตเพมขนอก 1 หนวย จะมผลทาใหตนทนทงหมดเพมขน

การเพมขนของตนทนทงหมดนเรยกวาตนทนสวนเพม

ฟงกชนตนทนเฉลย หรอ AC คอผลหารของ 2 ฟงกชน ของ Q ซงกคอ AC =Q

TC=

Q)Q(C

(เมอ Q > 0)

ดงนน อตราการเปลยนแปลงของ AC เมอเทยบกบ Q จะหาไดโดยการหาอนพนธของ AC ดงน

AC = Q

)Q(C

dQ

dAC =

dQd

Q)Q(C

=

2Q1)Q(CQ)Q(C

= Q1

Q)Q(C

)Q(C ….. 8.26

แต Q > 0 ดงนน

dQd

Q)Q(C

0 ถา C(Q)

Q)Q(C

…….. 8.27

คาอนพนธ C(Q) หมายถง ฟงกชนตนทนสวนเพม (MC)

Q

)Q(C หมายถง ฟงกชนตนทนเฉลย (AC)

ความหมายทางเศรษฐศาสตรสาหรบสมการ 8.27 กคอ ความชนของเสนโคง AC จะมคาเปนบวก เปนศนย หรอเปนลบ กตอเมอเสนโคง MC อยเหนอ อยทจดตดกนหรออยต ากวาเสนโคง AC ตามลาดบ จากภาพท 8.5 ฟงกชน MC และ ฟงกชน AC เปนฟงกชนทพลอตและคานวณไดจากฟงกชนตนทนทงหมด ดงน C = Q3 – 12Q2 + 60Q


ภาพท 8.5 เสนโคง MC และ AC

จากภาพท 8.5 ปรมาณ Q ทนอยกวา 6 หนวย เสนโคง AC จะเปนเสนโคงทลาดลง ขณะเดยวกนเสนโคง MC กอยต ากวาเสนโคง AC สาหรบทางดานขวาของปรมาณ Q ซงมคามากกวา 6 หนวย เสนโคง AC จะเปนเสนทลาดขนและเสนโคง MC จะอยเหนอกวาเสนโคง AC และทปรมาณ Q เทากบ 6 หนวย เสนโคง AC มคาความชนเปนศนย แสดงวา MC และ AC มคาเทากน [จะสงเกตเหนวา สมการ 8.27 ไมไดหมายความวา เมอ AC มคาความชนเปนลบ แลว MC ตองมคาความชนเปนลบ แตหมายถง AC ตองมปรมาณมากกวา MC เชนท Q = 5 เสน AC เปนเสนโคงทลาดลง แต MC เปนเสนโคงทกาลงลาดขน ดงนน ความชนของเสนโคงทง 2 จะมเครองหมายตรงขามกน] ดงนน ตนทนเฉลยจะมคาตาสด ณ ปรมาณผลผลต (Q) ทตนทนเฉลยเทากบตนทนสวนเพม ซงกคอ เสนโคง AC ตดกบเสนโคง MC ทจดตาสดของเสนโคง AC

O

ตนทนทงหมด

ตนทนเฉลยและตนทนสวนเพม

O 1

10

MC = 3Q2 – 24Q + 60

Q

AC = Q2 – 12Q + 60

80 70 60 50 40

30 20

2 3 4 5 6 7 8 9 10

Q

TC = Q3 – 12Q2 + 60Q


8.3.3 ความสมพนธระหวางผลผลตทงหมด ผลผลตเฉลย ผลผลตสวนเพม กาหนดใหผลผลตทผลตไดมการใชปจจยการผลต L เพยงปจจยเดยว (เมอ L คอปจจยแรงงาน) โดยใหปจจยการผลตอนๆ คงท (เชน ทน และทดน) ผลผลตท งหมด (Total Product หรอ TP) ผลผลตเฉลย (Average Product หรอ AP) และผลผลตสวนเพม (Marginal Product หรอ MP) แสดงความสมพนธกนตามภาพท 8.6

ภาพท 8.6 ความสมพนธของ TP, AP และ MP

ผลผลตทงหมด (TP) หมายถง ผลผลตของการผลตสนคาชนดหนงชนดใด ทมการใชปจจยการผลตรวมกนทงปจจยการผลตคงท และปจจยการผลตแปรผน ถากาหนดให L คอ ปจจยแปรผน และ K คอปจจยคงท Q คอ ผลผลต จะไดฟงกชนการผลตเมอมการใชปจจย K และ L ดงน TP = Q = f(L, K)

C

D

L L1 LO O

TP

E TP

MP, AP

O L1 LO

A

B

AP

L

MP


แตเนองจาก K เปนปจจยคงท ใหเทากบ K0 ดงนน Q = f(L, K0) หรอ = f(L) เมอ K คงท ผลผลตเฉลย (AP) หมายถง ผลผลตทงหมดทไดเมอมการใชปจจยแปรผน 1 หนวย

ดงนน AP = L

TP =

LQ

= L

)L(f

คาผลผลตเฉลย ณ ระดบของการใชปจจยการผลต สามารถหาไดจากการลากเสนตรงออกจากจดกาเนดใหสมผสกบเสนโคง TP เชน ทจด D คา AP จะเทากบความชนของเสน OD เทากบ tangent

ผลผลตสวนเพม (MP) หมายถง ผลผลตทงหมดทเพมขนเมอมการใชปจจยแปรผนเพมขนอก 1 หนวย

ดงนน MP = dL

dTR หรอ

dLdQ

= dLd

[f(L)]

ความสมพนธระหวาง TP และ MP 1. ในชวงการผลตตงแตเรมแรกจากจดกาเนดถงจดเปลยนเวา (inflection point) ทจด C ผลผลตทงหมด

จะเพมขนในอตราทเพมขน นนคอ TP เพมขนมคาความชนเปนบวก และ MP เพมขนจนถงจดสงสดทจด A 2. ในชวงการผลตตงแตจด C ถงจด E ผลผลตทงหมดยงคงเพมขน แตเพมขนในอตราทลดลง (ความชน

มคาลดลง แตยงคงมคาเปนบวก) นนคอ TP เพมขนจนถงจดสงสดทจด E แต MP เรมลดลงแตยงคงมคาเปนบวกจนเปนศนยเมอ TP สงสด (คาความชนเปนศนย)

3. เลยจด E เปนตนไปทางขวามอ ผลผลตทงหมดลดลง (คาความชนเปนลบ) และ MP มคาตดลบ (อยต ากวาแกนนอน) ความสมพนธระหวาง AP และ MP

1. ในขณะท AP มคาเพมขน MP มคาเพมขนดวย และ MP > AP 2. MP จะเทากบ AP ณ จดท AP มคาสงสด 3. เมอ AP มคาลดลง MP มคาลดลงเชนกน และ MP < AP


ตวอยางท 8.3 กาหนดให TP = 90L2 – L3 จงหาผลผลตเฉลย และผลผลตสวนเพม เมอกาหนดให L = 30 หนวย วธทา เพราะวา TP = 90L2 – L3

ดงนน AP = L

TP =

LL - 90L 32

= 90L – L2

เมอ L = 30 หนวย AP = 90(30) – (30)2 = 2700 – 900 = 1800 หนวย

เพราะวา MP = dL

dTR =

dLd

[90L2 – L3] = 180L – 3L2

เมอ L = 30 หนวย MP = 180(30) – 3(30)2 = 5400 – 2700 = 2700 หนวย 8.4 การวเคราะหความยดหยน (Elasticity) 8.4.1 การวเคราะหความยดหยนแบบจด (Point elasticity) การประยกตใชการหาคาเชงอนพนธในทางเศรษฐศาสตรตอไปนจะเปนการพจารณาถงฟงกชนความยดหยน เมอกาหนดใหฟงกชนอปสงค Q = f(P) ความยดหยนของอปสงค (elasticity of demand) กจะหาไดจาก

P/PQ/Q ΔΔ ในทนจะแทน Q ดวย dQ และแทน P ดวย dP คาความยดหยนโดยประมาณนเรยกวา ความ

ยดหยนแบบจดของอปสงค (point elasticity of demand หรอ d) เปนอกษรกรกอานวา เอบซลอน (epsilon) เขยนเปนสตรดงน

d = P/dPQ/dQ

= P/QdP/dQ

…….. 8.28

การหาคาความยดหยนแบบจด อาจหาไดอกวธหนงโดยการหาลมตของ P/PQ/QΔ

Δ เมอ P 0

หรอ d = 0P

limΔ P/P

Q/QΔ

Δ

นพจนทางดานขวามอของสมการ 8.28 ทเขยนอยในรปของอตราสวน dPdQ

หมายถง อนพนธหรอฟงกชน

สวนเพม (marginal function) ของฟงกชนอปสงค Q = f(P) ความหมายของอตราสวน PQ

ทเปนตวสวนหมายถง


ฟงกชนคาเฉลยของฟงกชนอปสงค ความยดหยนแบบจดของฟงกชนอปสงค (d) ตามสมการ 8.28 จงเปนอตราสวนของฟงกชนสวนเพมกบฟงกชนคาเฉลยของฟงกชนอปสงค การแปลความหมายดงกลาวไมเพยงแตจะใชไดกบฟงกชนอปสงคเทานน แตสามารถใชไดกบฟงกชนอนๆ ดวย เชน กาหนดใหฟงกชน y = f(x) สามารถเขยนสตรสาหรบการหาความยดหยนแบบจดของ y เมอเทยบกบ x ไดเปน

yx = x/ydx/dy

= าเฉลยฟงกชนควนเพมฟงกชนส

…….. 8.29

การคานวณและแปลความหมายคาความยดหยนจะใชเปนคาสมบรณ ซงมคาตงแต 0 ถง คาสมบรณของความยดหยนทวดไดสามารถแปลความไดวา

มความยดหยนมากทสด (perfectly elastic) = มความยดหยนมาก (elastic) > 1 แตนอยกวา มความยดหยนคงทเปนเอกภาพ (unitary elastic) เมอ = 1 มความยดหยนนอย (inelastic) < 1 แตมากกวา 0 ไมมความยดหยนเลย (perfectly inelastic) = 0

จากฟงกชนความยดหยนของฟงกชนอปสงค เมอกาหนดให Q = f(P) แลว จะไดวา

d = P/QdP/dQ

เนองจากฟงกชนอปสงคเปนฟงกชนของราคา จงเรยกความยดหยนของอปสงคนวาความยดหยนของ อปสงคตอราคา (price elasticity of demand) แตถาฟงกชนอปสงคเปนฟงกชนของรายได Q = f(Y) ความยดหยนของอปสงคจะเรยกวา ความยดหยนของอปสงคตอรายได (income elasticity of demand) แตถากาหนดให P = f(Q) ซงเปนฟงกชนผกผนของ Q = f(P) การคานวณหาอนพนธของ P เมอเทยบกบ Q

จะได dQdP

ถาเขยนใหม จะไดวา dPdQ

= )dQ/dP(

1 ดงนน ความยดหยนจงเทากบ

d = )dQ/dP(

1

QP

= )dQ/dP(

)Q/P( =

วนเพมฟงกชนสาเฉลยฟงกชนค

ดงน น การคานวณจงจาเปนตองพจารณาฟงกชนอปสงควาเปนฟงกชนของอะไรจงจะเลอกใชสตร การคานวณใหสอดคลองกน


ตวอยางท 8.4 จงหาความยดหยนของอปสงค เมอฟงกชนอปสงคกาหนดใหเปน Q = f(P) = 100 – 2P วธทา จากฟงกชนอปสงค Q = 100 – 2P หาฟงกชนสวนเพมโดยการหาอนพนธของ Q เมอเทยบกบ P ดงน

dPdQ

= dPd

[100 – 2P ] = -2

และหาฟงกชนคาเฉลยของฟงกชนอปสงค ดงน

PQ

= P

P2100

แต d = )P/Q()dP/dQ(

=

P)P2100(

2

= P2100

P2

= P50

P

จากตวอยางน คาความยดหยนเขยนอยในรปแบบของฟงกชนของ P ถากาหนดให P มคาเทากบคาใดคาหนง กจะสามารถหาคาความยดหยนแบบจดนได เชน เมอ P = 25 จะไดวา d = -1 หรอ d = 1 ดงนน ความยดหยนแบบจดของอปสงคเปนแบบคงทหรอเอกภาพทจดน แตถา P = 30 จะไดวา d = -1.5 หรอ d = 1.5 ดงนนฟงกชนอปสงคมความยดหยนมากทจดราคาน หรอเขยนรปแบบทวไปไดวา d > 1 เมอ 25 < P < 50 และ d < 1 เมอ 0 < P < 25


ตวอยางท 8.5 กาหนดใหฟงกชนอปสงค Q = f(P) = 1,400 - P2 จงหาความยดหยนของอปสงคตอราคาทระดบราคา P = 20 วธทา เนองจากฟงกชนอปสงค คอ Q = f(P) = 1,400 - P2

ดงนน P = P/QdP/dQ

…….. (1)

หาฟงกชนสวนเพมโดยการหาอนพนธของ Q เมอเทยบกบ P จากฟงกชนอปสงค

dPdQ

= dPd

[1,400 - P2] = -2P

หาฟงกชนคาเฉลยของฟงกชนอปสงค

PQ

= P

P1400 2

แทนคาใน (1) P =

P)P400,1(

P22

=

2

2

P400,1P2

เมอ P = 20 ดงนน

P = 2

2

)20(400,1)20(2

=

000,1800

= -0.8

ในกรณทฟงกชนทตองการหาความยดหยนเปนฟงกชนอปทาน วธการคานวณและการแปลความหมายเหมอนกบกรณฟงกชนอปสงคจะตางกนตรงทใชสญลกษณ S แทนความยดหยนของอปทาน ตวอยางท 8.6 จงหาความยดหยนแบบจดของอปทาน (S) จากฟงกชนอปทาน Q = P2 + 7P และเมอ P = 3 จงหาความยดหยนของอปทาน วธทา หาฟงกชนสวนเพม โดยการหาอนพนธของ Q เมอเทยบกบ P ดงน

dPdQ

= dPd

[P2 + 7P] = 2P + 7

หาฟงกชนคาเฉลยของฟงกชนอปทานได ดงน

PQ

= P

P7P2 = P + 7


เพราะวา S = P/QdP/dQ

= 7P7P2

เมอ P = 3 S = 73

7)3(2

= 1013

> 1

สรปไดวาฟงกชนอปทานมความยดหยนมากทระดบราคาเทากบ 3 สาหรบการหาความยดหยนแบบจดโดยวธกราฟ หรอเรขาคณต ตามภาพท 8.7 จะเหนวาภาพ (ก) และภาพ (ข) เสนโคงมความชนเปนลบและเปนบวกตามลาดบ ในแตละกรณ คาฟงกชนสวนเพมทจด A บนเสนโคง (หรอท x = x0) จะถกวดโดยความชนของเสนสมผส AB และคาฟงกชนเฉลยจะวดจากความชนของเสน OA (เสนตรงทลากออกจากจดกาเนด ใหผานจด A ของเสนโคง ซงเปรยบเสมอนเปนเวกเตอรของรศมนนเอง) ทจด A

ภาพท 8.7 การหาความยดหยนแบบจดโดยวธกราฟ

จะไดวา y เทากบระยะ x0A และ x เทากบระยะ Ox0

ดงนน คาเฉลยกคอ xy

= 0

0

OxAx

หรอความชนของ OA

ความยดหยนทจด A จงใชการเปรยบเทยบคาทเปนตวเลขของความชนทเกยวของ 2 ความชน คอ ความชนของเสน OA และ AB เชน ถา AB มความชนมากกวา OA ฟงกชนจะมความยดหยนมาก (elastic) ทจด A ในกรณตรงขาม ทจด A จะมความยดหยนนอย (inelastic) เมอ AB มความชนนอยกวา OA จากภาพท 8.7 จะไดวา ภาพ (ก) ทจด A จะมความยดหยนนอย (เพราะความชนของ AB นอย แตภาพ (ข) มความยดหยนมากทจด A (เพราะเสน AB มความชนมากกวาความชนของ OA)

A

x B xo O

y

a

y = f(x)

m

A

x B xo O

y

y = f(x)

m a


อยางไรกตาม ความชนของเสนตรง 2 เสน ทเปรยบเทยบกขนอยกบมม 2 มม คอ m และ a [ เปนอกษรกรก อานวา ซตา (theta) ดชนลาง m และ a แสดงวาเปนมมของสวนเพม และคาเฉลย ตามลาดบ] ถามมมนอยกวากแสดงวามความชนนอยกวา ซงตามภาพ (ก) m < a แสดงวาคาฟงกชนสวนเพมนอยกวาคาฟงกชนคาเฉลยจงมความยดหยนนอยทจด A ในบางกรณ อาจจะใหความสนใจกบจดททาใหมความยดหยนคงทหรอเอกภาพ (unitary elasticity) จากภาพ 8.8 (ก) เสนโคงมความชนเปนลบ การหาจด C ททาใหเสน OC และเสนสมผส BC มมมเทากนบนแกน x (แตมทศทางตรงกนขาม) และภาพ (ข) เสนโคงมความชนเปนบวก จะมจด C เพยงจดเดยวเทานนบนเสนโคง ททาใหเสนสมผส ผานจด C พอด และเปนเสนทลากออกจากจดกาเนด

ภาพท 8.8 ความยดหยนเอกภาพของเสนโคงทมความชนเปนลบและเปนบวก

สงทตองระวงในการใชวธกราฟอธบายกคอ ฟงกชน y = f(x) เมอนาไปพลอตกราฟจะตองใหตวแปรตาม (y) อยในแกนตง ตวแปรอสระ (x) อยแกนนอน ดงนนการใชวธกราฟอธบายกรณฟงกชนอปสงค Q = f(P) จะตองแนใจวาตวแปร Q ซงเปนตวแปรตาม อยบนแกนตง (เมอเปรยบเทยบกบการอธบายตามภาพท 8.7 และ 8.8 Q จะตองอยบนแกนตง) แตการอธบายดวยกราฟของเสนอปสงคโดยทวไปมกจะให Q อยบนแกนนอน P อยบนแกนตง ดงนนการใชวธกราฟเพออธบายความยดหยนแบบจด จะตองมการปรบการใชใหเหมาะสมในแตละเงอนไขตามทกลาวมา


ตวอยางท 8.7 จงหาความยดหยนแบบจดของฟงกชนอปสงค และฟงกชนอปทานทจด A และ D ตามลาดบ จากภาพทกาหนดให โดยวธกราฟ

วธทา การประมาณคาฟงกชนสวนเพมและฟงกชนคาเฉลยทจด A และจด D ซงเปนจดทตองการหาคาความยดหยนนน จะประมาณคาฟงกชนสวนเพมจากความชนของเสนสมผส AC และ ED ตามลาดบ และประเมนฟงกชนคาเฉลยจากความชนของเสนตรงลากออกจากจดกาเนด คอ เสน OA และ OD ตามลาดบ สาหรบภาพ (ก) เปนฟงกชนอปสงคมความชนเปนลบ ความชนของเสนโคงทจด A หรอฟงกชนสวนเพมใหพจารณาจาก ABC โดยมมม m ททากบแกน x ในทศทางตามเขมนาฬกาเปนมมทตองการหาคา tangent m ซงเปนคาความชนของเสนสมผส AC จะไดคาดงน

ความชนของเสนสมผส AC = -BCAB

ความชนของเสน OA หรอฟงกชนคาเฉลยคอคา tangent a ของ OAB = OBAB

เนองจากฟงกชนอปสงคม Q เปนแกนตงและ P เปนแกนนอน ดงนนสตรคานวณคอ

d = าเฉลยฟงกชนควนเพมฟงกชนส

d = OB/AB

BC/AB =

BCOB

ผลจากการคานวณหมายความวา เมอ Q = f(P) ความยดหยนของอปสงคตอราคา d ทจด A จงหาไดเทากบระยะทางบนแกนนอนจากจดกาเนดถงจด B บนแกนนอนซงเกดจากการลากจากจด A ทตองการหาคาความยดหยนบนเสนอปสงคลากลงมาตงฉากกบแกนนอน (มระยะเทากบ OB) หารดวยระยะทางบนแกนนอนจากจด B ถงจดท


เสนสมผส บนเสนอปสงคตดกบแกนนอน ทจด C (เทากบระยะ BC) แตเนองจากเสนอปสงคเปนเสนทมความชนเปนลบ ทาใหคาความยดหยนจงมคาเปนลบเสมอแตเครองหมายลบของคาความยดหยนไมไดมความหมายในเชงปรมาณทหมายความวามคานอยกวาศนย เพยงแตแสดงใหเหนวาการเปลยนแปลงของตวแปรอสระและตวแปรตามของฟงกชนนนมการเปลยนแปลงในทศทางตรงกนขามเสมอ เนองจาก OB < BC ดงนน d < 1 แสดงวาทจด A เสนอปสงคมความยดหยนนอย หรอเมอพจารณาจากมม m และ a ปรากฏวา a > m แสดงวาเสน AB มความชนนอยกวาเสน OA ทาใหฟงกชนสวนเพมนอยกวาฟงกชนคาเฉลย ผลเฉลยทไดจงมคานอยกวา 1 ไดคาตอบเชนเดยวกน สาหรบภาพ (ข) เปนฟงกชนอปทาน มความชนเปนบวก

ความชนของเสนสมผส ED ทจด D ซงเปนฟงกชนสวนเพม มคาเทากบ EFDF

และความชนของเสน OD

ทจด D ซงเปนฟงกชนคาเฉลย มคาเทากบ OFDF

ดงนน

S = าเฉลยฟงกชนควนเพมฟงกชนส

= OF/DFEF/DF

= EFOF

จากภาพ (ข) แสดงวาฟงกชนอปทานคอ Q = f(P) (Q เปนแกนตง และ P เปนแกนนอน) ความยดหยนของเสนอปทาน (S) ทจด D จะเทากบระยะทางบนแกนนอนจากจดกาเนดถงจด F (ซงเปนจดบนแกนนอนทเกดจากการลากเสนตรงจากจด D ลงมาใหตงฉากกบแกนนอน) หารดวยระยะทางจากจด E (ซงเปนจดทเสนสมผส ของจด D ลากลงมาตดกบแกนนอน) ถงจด F และเนองจากเสนอปทานเปนเสนทมความชนเปนบวก คาความยดหยนทคานวณตองมคาเปนบวกเสมอ และมคาตงแตศนยถงอนฟนต การแปลความหมายคาความยดหยนของเสนอปทานกแปลความหมายเหมอนกบความยดหยนของเสนอปสงค แตเนองจาก OF > EF ดงนน S > 1 แสดงวา ทจด D เสนอปทานมความยดหยนมาก


ตวอยางท 8.8 จงหาความยดหยนของอปสงคตอราคาทจด A เมอฟงกชนอปสงคเปนฟงกชนเชงเสนตามภาพ

วธทา จากภาพทกาหนด แสดงวาเสนอปสงคถกกาหนดเปน P = f(Q) เนองจาก แกนนอนคอ Q และแกนตงคอ P

ดงนน d = )dQ/dP(

1

QP

หรอ = วนเพมฟงกชนสาเฉลยฟงกชนค

dQdP

หรอฟงกชนสวนเพม หาไดจากความชนของเสนสมผส AC = BCAB

และทจด A คา P เทากบระยะ OF หรอ AB คา Q เทากบระยะ OB

แทนคาในสตร d = )BC/AB(

1

OBAB

= ABBC

OBAB

= OBBC

แตระยะ BC > OB ดงนน d > 1 แสดงวาทจด A เสนอปสงคมความยดหยนมาก 8.4.2 การคานวณหาความยดหยนของอปสงคตอรายได ความยดหยนของอปสงคตอรายได เปนการวดเปอรเซนตการเปลยนแปลงของปรมาณสนคาชนดหนงทผบรโภคตองการบรโภคตอเปอรเซนตการเปลยนแปลงไปของรายไดของผบรโภค หรอคานวณไดดงน

ความยดหยนของอปสงคตอรายได = เปอรเซนตการเปลยนแปลงของปรมาณสนคา

เปอรเซนตการเปลยนแปลงของรายได

หรอ เมอ Q = f(Y) = Y/QdY/dQ

= าเฉลยฟงกชนควนเพมฟงกชนส

A

Q C B O

P

a m

F

E


คา เปนไปไดทงคาบวกและคาลบ มความหมาย ดงน 1. ถาเปนสนคาปกต คา จะเปนบวก เพราะเมอผบรโภคมรายไดเพมมากขนแลวจะบรโภคสนคาชนดนนเพมมากขนดวย การเปลยนแปลงของ Y และ Q เปนไปในทศทางเดยวกน 2. ถาเปนสนคาดอย คา จะเปนลบ เพราะเมอผบรโภคมรายไดเพมมากขนแลวจะบรโภคสนคาชนดนนนอยลง การเปลยนแปลงของ Y และ Q เปนไปในทศทางตรงกนขาม ตวอยางท 8.9 กาหนดใหฟงกชนอปสงคของสนคาชนดหนงตอรายได Q = f(Y) = 20 + 0.1Y ถากาหนดใหราคาของสนคาชนดนและราคาสนคาอนๆ ไมเปลยนแปลง ถา Y = 300 จงหาความยดหยนของอปสงคตอรายไดทมตอสนคาชนดน

วธทา เพราะวา ความยดหยนของอปสงค = าเฉลยฟงกชนค

วนเพมฟงกชนส

ฟงกชนสวนเพม = dYdQ

= dYd

[20 + 0.1Y]

= 0.1 จากฟงกชนอปสงคตอรายไดทกาหนดใหแสดงวาเมอรายไดเปลยนแปลงไปความตองการบรโภคในสนคาชนดนจะเปลยนแปลงไปในทศทางเดยวกน แสดงวาสนคานเปนสนคาปกต เมอ Y = 300 จะได Q = 20 + 0.1(300) = 50

ฟงกชนคาเฉลย = YQ

= 30050

= 61

ดงนน ความยดหยนของอปสงคตอรายได = )6/1(

1.0 = 0.6

การคานวณคาความยดหยนของอปสงคตอรายได มคาเปนบวก แสดงวาสนคานเปนสนคาปกตแตมความยดหยนนอย (เพราะนอยกวา 1) 8.4.3 การคานวณหาความยดหยนไขวของอปสงค ความยดหยนไขวของอปสงค เปนการวดเปอรเซนตการเปลยนแปลงในการบรโภคสนคาชนดหนงตอเปอรเซนตการเปลยนแปลงไปของราคาสนคาอกชนดหนง หรอคานวณไดดงน

ความยดหยนไขวของอปสงค = เปอรเซนตการเปลยนแปลงของปรมาณสนคาชนดท

เปอรเซนตการเปลยนแปลงของราคาสนคาชนดท


หรอ 12 = 21

21

P/QdP/dQ

เมอ 12 คอ คาความยดหยนไขวของอปสงค เมอราคาสนคาชนดท 2 เปลยนแปลงไป ทาใหความตองการบรโภคสนคาชนดท 1 เปลยนแปลงไป

P2 คอ ระดบราคาสนคาชนดท 2 Q1 คอ ปรมาณความตองการบรโภคสนคาชนดท 1 คา 12 เปนไปไดทงคาบวก และคาลบ มความหมาย ดงน 1. คา 12 จะเปนบวก เมอสนคาท ง 2 ชนด เปนสนคาทใชทดแทนกน (substituted goods) เพราะการเปลยนแปลงของปรมาณสนคาชนดท 1 และการเปลยนแปลงของราคาสนคาชนดท 2 เปลยนแปลงไปในทศทางเดยวกน เชน ขณะนกาลงพจารณาปรมาณการบรโภคเนอไก (Q1) โดยทราคาเนอไกคงท (P1 คงท) แตราคาเนอหมแพงขน (P2 เพมขน) ปรมาณความตองการบรโภคเนอหมจะลดลง เพราะผบรโภคบางสวนจะหนไปบรโภคเนอไกทดแทน เพราะฉะนนความตองการเนอไกจะเพมขน (Q1 เพมขน) 2. คา 12 เปนลบ เมอสนคาทง 2 ชนด เปนสนคาทใชประกอบกน (complementary goods) เพราะการเปลยนแปลงของปรมาณสนคาชนดท 1 และการเปลยนแปลงของราคาสนคาชนดท 2 เปลยนแปลงไปในทศทางตรงกนขาม เชน ขณะนกาลงพจารณาการบรโภคกาแฟสาเรจรป (Q1) โดยทราคากาแฟสาเรจรปคงท (P1 คงท) แตราคาน าตาลทรายแพงขน (P2 เพมขน) ปรมาณความตองการบรโภคน าตาลทรายลดลง ผบรโภคจงลดปรมาณการบรโภคกาแฟสาเรจรปลงตามไปดวย กาแฟสาเรจรปจงขายไดนอยลง (Q1 ลดลง) 3. คา 12 เปนศนย แสดงวาสนคาทง 2 ชนดไมเกยวของกน ตวอยางท 8.10 อปสงคของเนอไก มความเกยวของกบราคาของเนอหมอยในรปของฟงกชน Q1 = 5 + 2 2P เมอ Q1 คอ อปสงคของเนอไก (หนวย : กโลกรม) และ P2 คอราคาของเนอหม (หนวย : บาท/กโลกรม) จงหาฟงกชนทแสดงถงความยดหยนไขว (12) ของอปสงคเนอไกตอราคาเนอหม และถาราคาของเนอหมเพมขนจาก 81 บาท/กโลกรม เปน 121 บาท/กโลกรม อปสงคของเนอไกจะเพมขนเทาไร และคาความยดหยนไขวของอปสงคเนอไกตอราคาเนอหม จะเปนเทาไร วธทา เพราะวา อปสงคของเนอไก Q1 = f(P2) = 5 + 2 2P

2

1

dPdQ

= 2dP

d [5 + 2 2

1

2 )P( ] = 2

21

21

2P

= 2P

1

แต 12 = 21

21

P/QdP/dQ

= 2P

1

2

2

P25P

=

2

2

P25

P


ถา P2 = 81 Q1 = 5+2 81 = 5 + 18 = 23 กโลกรม ถา P2 = 121 Q1 = 5+2 121 = 5 + 22 = 27 กโลกรม

12 = 2

2

P25

P

เมอ P2 = 81 12 = 8125

81

= 239

= 0.39

เมอ P2 = 121 12 = 12125

121

= 2711

= 0.41

คาความยดหยนไขวทคานวณไดเปนคาบวก แสดงวาสนคาทง 2 ชนดเปนสนคาทใชทดแทนกน และม ความยดหยนนอยทระดบราคาเนอหมท 81 บาท/กโลกรม และ 121 บาท/กโลกรม 8.4.4 การวเคราะหความยดหยนยอย (Partial elasticity) ในกรณทฟงกชนประกอบดวยตวแปรอสระหลายตวแปร การคานวณคาของความยดหยนของตวแปรอสระตวใดตวหนง จะตองกาหนดใหตวแปรอสระอนๆ คงทไมเปลยนแปลง คาความยดหยนทคานวณตามฟงกชนนจะใชวธการหาอนพนธยอย มาชวยคานวณ และความยดหยนนจะเรยกวา ความยดหยนยอย (partial elasticity) เชน กรณของฟงกชนอปสงคทมตอสนคาชนดใดชนดหนง ซงในสภาพเปนจรงนน อปสงคในการบรโภคสนคาชนดใดชนดหนงจะมความสมพนธกบปจจยอนๆ นอกเหนอจากระดบราคาสนคาชนดนน เชน รายไดของผบรโภค รสนยมของผบรโภค ราคาสนคาอนๆ ทเกยวของ เปนตน ถากาหนดใหฟงกชนอปสงคเปน Q1 = f(P1, Y, P2) โดยท Q1 คอ ปรมาณสนคาชนดท 1 ทผบรโภคตองการซอ P1 คอ ราคาสนคาชนดท 1 P2 คอ ราคาสนคาชนดท 2 ทเกยวของกบสนคาชนดท 1 Y คอ รายได จากฟงกชนดงกลาว สามารถหาความยดหยนยอยสาหรบอปสงค ไดดงน

1. ความยดหยนยอยของอปสงคตอราคา (partial price elasticity of demand) กรณนเปนการหาความยดหยนของอปสงคสาหรบสนคาชนดท 1 ตอราคาสนคาชนดท 1 และกาหนดใหรายไดและราคาสนคาชนดท 2 คงทไมเปลยนแปลง

d = 11

11

PQ

PQ


2. ความยดหยนยอยไขวของอปสงค (partial cross elasticity of demand) เปนการหาความยดหยนของ อปสงคในสนคาชนดท 1 ตอราคาของสนคาชนดท 2 ซงมความเกยวของกบสนคาชนดท 1 และกาหนดใหราคาสนคาชนดท 1 และรายไดคงทไมเปลยนแปลง

12 = 21

11

PQ

PQ

การแปลความหมายเครองหมายของคาความยดหยนยอยไขวของอปสงคถามเครองหมายบวก แสดงวาสนคาชนดท 1 และสนคาชนดท 2 เปนสนคาทใชทดแทนกน แตถามเครองหมายลบ แสดงวาสนคาชนดท 1 และสนคาชนดท 2 เปนสนคาทใชประกอบกน

3. ความยดหยนยอยของอปสงคตอรายได (partial income elasticity of demand) เปนการหาความยดหยนของอปสงคในสนคาชนดท 1 ตอรายไดของผบรโภค และกาหนดใหราคาสนคาชนดท 1 และชนดท 2 คงทไมเปลยนแปลง

y = YQ

YQ

1

1

การแปลความหมายเครองหมายของคาความยดหยนยอยของอปสงคตอรายได ถามเครองหมายบวก แสดงวาสนคาชนดท 1 เปนสนคาปกต (normal goods) กลาวคอ เมอผบรโภคมรายไดมากขน จะบรโภคสนคาชนดท 1 เพมขน แตถามเครองหมายลบ แสดงวาสนคาชนดท 1 เปนสนคาดอย (inferior goods) กลาวคอ เมอผบรโภคมรายไดมากขนจะบรโภคสนคาชนดท 1 ลดลงโดยเปลยนแปลงไปบรโภคสนคาชนดอน ตวอยางท 8.11 กาหนดใหฟงกชนอปสงคในสนคาชนดหนงคอ Q1 = f(P1, P2, Y) = 4,000 - 4P1 + 2 P2 + 0.4Y โดยท Y คอ รายไดตอเดอน Q1 คอ ปรมาณสนคาชนดท 1 P1 คอ ราคาสนคาชนดท 1 P2 คอ ราคาสนคาชนดท 2 ถา P1 = 100 P2 = 200 และ Y = 5,000 จงหาคาความยดหยนยอยของอปสงคตอราคาสนคาชนดท 1 ความยดหยนยอยของอปสงคตอรายไดและความยดหยนยอยไขวของอปสงค


วธทา โจทยกาหนดให P1 = 100 P2 = 200 และ Y = 5,000 แทนคาในฟงกชนของอปสงค Q1 = 4,000 – 4(100) + 2(200) + 0.4(5,000) = 4,000 – 400 + 400 + 2,000 = 6,000

ความยดหยนยอยของอปสงคตอราคา d = 11

11

PQ

PQ

1

1

PQ

= 1P

[4,000 – 4P1 + 2P2 + 0.4Y] = -4

d = -4

000,6100

= -0.07

คาความยดหยนทไดหมายความวา ถาราคาสนคาชนดท 1 เพมขน (ลดลง) 1 เปอรเซนต อปสงคในสนคาชนดท 1 จะลดลง (เพมขน) 0.07 เปอรเซนต

ความยดหยนยอยของอปสงคตอรายได y = YQ

YQ

1

1

YQ1

= Y

[4,000 – 4P1 + 2P2 + 0.4Y] = 0.4

y = 0.4

000,6000,5

= 0.33

คาความยดหยนทไดหมายความวาถารายไดเพมขน (ลดลง) 1 เปอรเซนต อปสงคในสนคาชนดท 1 จะเพมขน (ลดลง) 0.33 เปอรเซนต คาเปนคาบวกแสดงวาสนคาชนดท 1 เปนสนคาปกต

ความยดหยนยอยไขวของอปสงค 12 = 21

21

PQ

PQ

2

1

PQ

= 2P

[4,000 – 4P1 + 2P2 + 0.4Y] = 2

12 = 2

000,6200

= 0.07


คาความยดหยนทไดหมายความวาถาราคาสนคาชนดท 2 เพมขน (ลดลง) 1 เปอรเซนต อปสงคในสนคาชนดท 1 เพมขน (ลดลง) 0.07 เปอรเซนต คาเปนคาบวกแสดงวาสนคาทง 2 เปนสนคาทใชทดแทนกน ตวอยางท 8.12 ถาฟงกชนอปสงคสาหรบสนคา x เปนดงน Qx = 500 - 40Px - 3Py + 2Pz + 0.001Y และ Px = 5 Py = 10, Pz = 20 และ Y = 10,000 จงคานวณหา 1. ความยดหยนยอยของอปสงคตอราคา (d) ความยดหยนยอยของอปสงคตอรายได (y) ความยดหยนยอยไขวของอปสงคตอราคาสนคา y(xy) และ ความยดหยนยอยไขวของอปสงคตอราคาสนคา z (xz) 2. ถาราคาสนคา y และสนคา z เพมขน 5% จะมผลกระทบตอปรมาณอปสงคตอสนคา x เทาใด วธทา 1. จาก Qx = 500 - 40Px - 3Py + 2Pz + 0.001Y แทนคา Px = 5 Py = 10, Pz = 20 และ Y = 10,000 ในสมการ Qx Qx = 500 – 40(5) – 3(10) + 2(20) + 0.001(10,000) = 500 – 200 – 30 + 40 + 10 = 320

เพราะวา d = xx

xx

PQ

PQ = -40

320

5 = -0.625

y = YQ

YQ

x

x = 0.001

320

000,10 = 0.031

xy = yx

yx

PQ

PQ = -3

32010

= -0.093

xz = zx

zx

PQ

PQ = 2

32020

= 0.125

xy มคาเปนลบ สนคา x และสนคา y เปนสนคาทใชประกอบกน ถาราคาสนคา y เพมขน จะสงผลใหปรมาณการบรโภคสนคา x ลดลง และ xz มคาเปนบวก สนคา x และสนคา z เปนสนคาทใชทดแทนกน ถาราคาสนคา z เพมขน จะทาใหปรมาณการบรโภคสนคา x เพมขน


2. ความยดหยนยอยไขวของอปสงคตอราคาสนคา y

= เปอรเซนตการเปลยนแปลงปรมาณสนคา

เปอรเซนตการเปลยนแปลงราคาสนคา

หรอ xy = yy

xx

PP

QQ

x

x

QQ

= xy y

y

PP

= (-0.093) (0.05) = -0.00465 ดงนน ถาราคาสนคา y เพมขน 5 เปอรเซนต ผบรโภคจะมอปสงคตอสนคา x ลดลง 0.465 เปอรเซนต

และ xz = zz

xx

PP

QQ

x

x

QQ

= xz z

z

PP

= (0.125) (0.05) = 0.00625

ดงนน ถาราคาสนคา z เพมขน 5 เปอรเซนต ผบรโภคจะมอปสงคตอสนคา x เพมขน0.625 เปอรเซนต

8.5 ผลผลตทางกายภาพสวนเพมของปจจยการผลต การผลตสนคาใดๆ กตามตองการปจจยการผลต (input factor) อยางนอย 2 ชนด เชน แรงงาน ทน ทดน เครองมอเครองจกร เปนตน ถาสมมตใหการผลตสนคาชนดหนง ปรมาณ Q มการใชปจจยการผลต 2 ชนด คอ ปจจย x และปจจย y ฟงกชนการผลตของสนคานเขยนไดเปน Q = f(x, y) และกาหนดใหฟงกชนการผลตน เปนฟงกชนการผลตแบบตอเนองในชวงทกาลงวเคราะหการผลต การหา

อนพนธยอยของ Q ทมตอ x โดยกาหนดให y คงท กคอ xQ

จะหมายถงประสทธภาพในการผลตสวนเพมของ

ปจจย x (marginal productivity) หรอเรยกอกอยางหนงวา ผลผลผลตทางกายภาพสวนเพมของปจจย x (Marginal


Physical Product of x) หรอ MPPx ในทานองเดยวกน yQ

เมอ x คงท จะหมายถงประสทธภาพในการผลตสวน

เพมของปจจย y หรอ ผลผลตทางกายภาพสวนเพมของปจจย y หรอ MPPy ในการหาอนพนธยอยดงกลาวนจะเหนวาคา MPP ของปจจยการผลตชนดใดชนดหนงกคออตราสวนของผลผลตทงหมดทเพมขนเมอปจจยการผลตชนดนนเพมขน โดยกาหนดใหปจจยการผลตอนๆ คงทไมเปลยนแปลง อยางไรกตามฟงกชนการผลตจะเปนไปตามกฎแหงการลดนอยถอยลง (law of diminishing) ซงกคอ เมอมการใชปจจยการผลตชนดหนงเพมขนและปจจยการผลตอนๆ คงทในชวงแรกๆ ผลผลตจะมปรมาณเพมขนในอตราทเพมขน และเมอมการใชปจจยการผลตชนดนนเพมขนไปอก ผลผลตจะมปรมาณเพมขนแตจะเพมขนในอตราทลดลงจนถงจดๆ หนงทมปรมาณผลผลตมากทสด [ซงในชวงดงกลาวนผลผลตสวนเพมจะมคามากกวาหรอเทากบศนย] และเมอเพมปจจยการผลตเขาไปอกผลผลตทงหมดจะลดลง [ผลผลตสวนเพมจะนอยกวาศนย] ตวอยางท 8.13 กาหนดใหฟงกชนการผลต Q = f(x, y, z) = 2x2 + y2 + 5z2 + 2xy เมอ Q คอปรมาณผลผลต x, y, z คอปจจยการผลต จงหาผลผลตทางกายภาพสวนเพมของปจจยการผลต x, y และ z วธทา โจทยตองการหาคา MPPx , MPPy และ MPPz ซงสามารถหาไดโดยการหาอนพนธยอยของฟงกชนการผลต เมอเทยบกบปจจยการผลตชนดใดชนดหนงโดยใหปจจยการผลตอนๆ คงท

MPPx = xQ

= x

[2x2 + y2 + 5z2 + 2xy ]

= 2(2)x + 2y = 4x + 2y ในทานองเดยวกน

MPPy = yQ

= 2y + 2x

MPPz = zQ

= 10z


ตวอยางท 8.14 จงหา MPPx และ MPPy เมอฟงกชนการผลต Q = f(x,y) = 6xy-x2-3y2 วธทา เพราะวา Q = 6xy - x2 - 3y2

MPPx = xQ

= x

[6xy - x2 - 3y2]

= 6y – 2x ในทานองเดยวกน

MPPy = yQ

= 6x – 6y

8.6 ฟงกชนเอกพนธและทฤษฎออยเลอร (Homogeneous function & Euler’s theorem) ถาฟงกชน Q = f(x1, …, xn) มสมบตของการเปนฟงกชนเอกพนธ กตอเมอมตวคงท (k) ซงเปนคาบวก คณกบตวแปรแตละตวแปรของฟงกชนนน ไดดงน f(k x1, …, kxn) แลว ไดผลเฉลยเปน kr f(x1, …, xn) สามารถกลาวไดวา Q เปนฟงกชนเอกพนธของ r (homogeneous of degree r) ถา r > 0 ฟงกชน Q เรยกวาฟงกชนเอกพนธองศาบวก (positively homogeneous function) แตถา r = 1 เรยกวาฟงกชนเอกพนธเชงเสน (linear homogeneous function) การพจารณาวาเปนฟงกชนเอกพนธองศาเทาใดนน ใหพจารณาทคายกกาลงของตวคงททเปนผลเฉลยซงกคอคา r นนเอง เชน k2 f(x1, …, xn) เรยกวาฟงกชนเอกพนธองศา 2 เปนตน ตวอยางท 8.15 จากฟงกชนทกาหนดใหเปนฟงกชนเอกพนธองศาเทาใด

1. Q = 8x + 5y 2. Q = x2 + xy + y2 3. Z = x0.4 y0.3

4. Z = xy2

5. B = x3 + 2xy + y3


วธทา 1. Q = 8x + 5y = f(x, y) ให k เปนคาคงทบวก คณกบตวแปร x และ y ของฟงกชน ดงน f(kx, ky) f(kx, ky) = 8kx + 5ky = k(8x + 5y) ฟงกชน Q เปนฟงกชนเอกพนธองศา 1 2. Q = x2 + xy + y2 = f(x, y) f(kx, ky) = (kx)2 + (kx)(ky) + (ky)2 = k2x2 + k2xy + k2y2 = k2(x2 + xy + y2) ฟงกชน Q เปนฟงกชนเอกพนธองศา 2 3. Z = x0.4 y0.3 = f(x, y) f(kx, ky) = (kx)0.4 (ky)0.3 = k0.4 + 0.3 (x0.4 y0.3) = k0.7(x0.4 y0.3) ฟงกชน Z เปนฟงกชนเอกพนธองศา 0.7

4. Z = xy2 = f(x, y)

f(kx, ky) = )kx()ky(2

= 1 x

)y2( เพราะ

kk

= k1-1= k0

ฟงกชน Z เปนฟงกชนเอกพนธองศา 0 5. B = x3 + 2xy + y3 = f(x, y) f(kx, ky) = (kx)3 + 2(kx)(ky) + (ky)3 = k3x3 + 2k2xy + k3y3 = k2 (kx3 + 2xy + ky3 ฟงกชน B ไมเปนฟงกชนเอกพนธ เพราะคาคงท k ไมสามารถแยกองคประกอบออกมาจากฟงกชนอยางสมบรณ ยงคงม k เหลออยในฟงกชน


8.6.1 สมบตของฟงกชนเอกพนธ 1. ถา f(x1, …, xn) เปนฟงกชนเอกพนธองศาบวกเทากบ r และสามารถหาอนพนธยอยอนดบท 1 ไดเปน f1, …, fn อนพนธยอยอนดบท 1 แตละอนพนธยอยนจะเปนฟงกชนเอกพนธองศา r – 1 ดงนนอนพนธยอยอนดบท m จะเปนฟงกชนเอกพนธองศา r - m 2. ถา f(x1, …, xn) เปนฟงกชนเอกพนธองศาบวกเทากบ r และมอนพนธยอยอนดบท 1 ดวยแลวจะไดวา

x1

1xf

+ x2

2xf

+ … + xn

nxf

r f(x1, x2, …, xn)

สมบตขอท 2 นเรยกวา ทฤษฎออยเลอร (Euler’s theorem) ตวอยางท 8.16 จงหาวาฟงกชน f(x, y) = x2 + xy เปนฟงกชนเอกพนธองศาทเทาใด และเปนไปตามทฤษฎออยเลอรหรอไม วธทา f(x, y) = x2 + xy f(kx, ky) = (kx)2 + (kx)(ky) = k2x2 + k2xy = k2 (x2 + xy) ดงนน f(x, y) เปนฟงกชนเอกพนธองศา 2 การพสจนวาเปนไปตามทฤษฎออยเลอร โดยการหาอนพนธยอยอนดบหนงของฟงกชน ดงน f(x, y) = x2 + xy

xf

= x

[x2 + xy] = 2x + y

yf

= y

[x2 + xy] = x

ดงนน

x xf

+ y yf

= x (2x + y) + y(x)

= 2x2 + xy + xy = 2x2 + 2xy = 2(x2 + xy) = 2f(x, y) ดงนน ฟงกชนนเปนฟงกชนเอกพนธองศา 2 ซงเปนไปตามทฤษฎออยเลอร


ตวอยางท 8.17 กาหนดให Q = f(x, y) = 3x4 + 2x2y2 + 6y4 จงหาวาฟงกชนนเปนฟงกชนเอกพนธตามทฤษฎ ออยเลอรหรอไม วธทา เพราะวา Q = 3x4 + 2x2y2 + 6y4 หาอนพนธยอยอนดบหนงของฟงกชน Q

xQ

= x

[3x4 + 2x2y2 + 6y4]

= 12x3 + 4xy2

yQ

= y

[3x4 + 2x2y2 + 6y4]

= 4x2y + 24y3 ดงนน

x xQ

+ y yQ

= x (12x3 + 4xy2) + y(4x2y + 24y3)

= 12x4 + 4x2y2 + 4 x2y2 + 24y4 = 4 (3x4 + 2x2y2 + 6y4) = 4 f(x, y) ฟงกชนนเปนฟงกชนเอกพนธองศา 4 ตามทฤษฎออยเลอร

8.6.2 ฟงกชนเอกพนธกบผลไดตอขนาด ผลไดตอขนาด (returns to scale) เปนการอธบายถงสดสวนของการเปลยนแปลงทเพมขนในผลผลต โดยเปรยบเทยบกบสดสวนของการเปลยนแปลงทเพมขนในปจจยการผลต ซงม 3 ลกษณะ คอ 1. ผลผลตเพมขนในสดสวนมากกวาการเพมขนของปจจยการผลต เชน ผผลตเพมปจจยการผลตทกชนดในสดสวนเทากบ k แตผลผลตทผลตไดเพมขนในสดสวนทมากกวา k จะเรยกวาผลไดตอขนาดเพมขน (increasing returns to scale หรอ economics of scale) 2. ผลผลตเพมขนในสดสวนนอยกวาการเพมขนของปจจยการผลต เชน ผผลตเพมปจจยการผลตทกชนดในสดสวนเทากบ k แตผลผลตทผลตไดเพมขนในสดสวนทนอยกวา k จะเรยกวา ผลไดตอขนาดลดลง (decreasing returns to scale หรอ diseconomies of scale) 3. ผลผลตเพมขนในสดสวนเทากบการเพมขนของปจจยการผลต เรยกวาผลไดตอขนาดคงท (constant returns to scale)


ผลไดตอขนาดของฟงกชนการผลต สามารถพจารณาไดจากองศาของฟงกชนการผลตทเปนฟงกชนเอกพนธ (องศา r) เมอ r > 1 เปนผลไดตอขนาดเพมขน r = 1 เปนผลไดตอขนาดคงท r < 1 เปนผลไดตอขนาดลดลง หรออาจจะกลาวไดวาฟงกชนการผลต (production function) ทเปนฟงกชนเอกพนธองศาเปน 1 มากกวา 1 และนอยกวา 1 เรยกวา ฟงกชนการผลตนนจะเปนไปตามกฎผลไดตอขนาดคงท ผลไดตอขนาดเพมขน และผลไดตอขนาดลดลง ตามลาดบ ตวอยางท 8.18 จงหาผลไดตอขนาดของฟงกชนการผลตทเปนฟงกชนเอกพนธ ดงน

1. Q = 8x + 5y 2. Q = x2 + xy + y2 3. Z = x0.4 y0.3 4. Z = xy2

วธทา 1. Q = 8x + 5y f(kx, ky) = k(8x + 5y) เปนฟงกชนเอกพนธองศา 1 หรอ r = 1 ฟงกชนการผลตมผลไดตอขนาดคงท 2. Q = x2 + xy + y2 f(kx, ky) = k2(x2 + xy + y2) เปนฟงกชนเอกพนธองศา 2 หรอ r = 2 ฟงกชนการผลตมผลไดตอขนาดเพมขน 3. Z = x0.4 y0.3 f(kx, ky) = k0.7(x0.4 y0.3) เปนฟงกชนเอกพนธองศา 0.7 หรอ r = 0.7 ฟงกชนการผลตมผลไดตอขนาดลดลง

4. Z = xy2

f(kx, ky) = 1x

)y2( หรอ k0

x)y2(

เพราะ kk

= k1-1= k0

เปนฟงกชนเอกพนธองศา 0 หรอ r = 0 ฟงกชนการผลตมผลไดตอขนาดลดลง


แบบฝกหดบทท 8 1. กาหนดใหเงอนไขดลยภาพของรายไดประชาชาต คอ S(Y) + T(Y) = I(Y) + G0

เมอ S, T, I, > 0 และ S+ T> I S, Y, T, I, G หมายถง การออม รายไดประชาชาต ภาษ การลงทน และการใชจายภาครฐ ตามลาดบ และอนพนธทงหมดตอเนอง จงแปลความหมายเชงเศรษฐศาสตรของอนพนธ S, T และ I 2. กาหนดฟงกชนอปสงคและฟงกชนอปทานของสนคาชนดหนงเปนดงน Qd = D (P, Y0) (DP < 0 ;

0YD > 0)

QS = S (P, T0) (SP > 0 ; 0TS < 0)

เมอ Y0 คอรายได และ T0 คอ ภาษของสนคานและอนพนธทงหมดตอเนอง 2.1 เขยนเงอนไขดลยภาพในลกษณะสมการเดยว 2.2 ตรวจสอบการประยกตใชทฤษฎของฟงกชนโดยปรยายสามารถนาไปประยกตใชไดหรอไม ถาใชไดใหเขยนคาดลยภาพ

2.3 จงหา 0dY

Pd และ

0dTPd

และอภปรายเชงเศรษฐศาสตร

3. จากสมการ Y = βδβ

βγα

1GI 00

จงหาอนพนธยอยของ 0I

Y

, αY

และแปลความหมายของอนพนธยอยดงกลาว พรอมระบเครองหมาย

4. แบบจาลองปจจย-ผลผลต ระบบเปด ดงน

3

2

1

x

x

x

=

8.03.01.0

2.09.04.0

2.03.08.0

3

2

1

d

d

d

4.1 อนพนธเชงสถตยเปรยบเทยบสามารถหาไดกจานวน 4.2 เขยนอนพนธเหลานนในรปสมการ 8.11 และ 8.12


5. จงหา ฟงกชนสวนเพม และฟงกชนคาเฉลย จากฟงกชนทงหมด และหาคาเมอ Q = 3 และ Q = 5 5.1 TC = 3Q2 + 7Q + 12 5.2 TR = 12Q – Q2 6. กาหนดใหฟงกชนอปทาน P = f(Q) = Q2 + 0.5Q + 3 และรายจายทงหมด (Total Expense หรอ TE) เทากบ ผล

คณของ P และ Q จงหาฟงกชนรายจายสวนเพม (ME) และหาคาของรายจายสวนเพม เมอ Q = 5 7. จงหาฟงกชนรายรบสวนเพม เมอกาหนดใหฟงกชนอปสงค Q = f(P) = 36 – 2P และหาคาของ MR เมอ Q = 10 8. จงหาฟงกชนตนทนสวนเพมจากฟงกชนตนทนเฉลยทกาหนดใหตอไปน

8.1 AC = 1.5Q + 4 + Q46

8.2 AC = Q

160 + 5 – 3Q + 2Q2

(ขอเสนอแนะ ตองหาฟงกชนตนทนทงหมดกอนจากความสมพนธของ AC = Q

TC)

9. จงหาความยดหยนของฟงกชนตอไปน 9.1 Q = 75 – 5P เมอ P = 4 และ 6 บาท ตามลาดบ 9.2 8Q + 2P = 56 เมอ P = 2 และ 3 บาท ตามลาดบ 10 จงหาความยดหยนของอปทาน เมอราคาขายตอหนวยเทากบ 10 10.1 Q + 2 – 0.8P = 0 10.2 Q = -3 + 1.5P 11. จงพสจนวาฟงกชนอปสงคทเปนฟงกชนเชงเสน มรปแบบฟงกชนเปน P =f(Q) 11.1 d = 1 ทจดกงกลางของเสนอปสงค 11.2 d > 1 ทจดเหนอกวาจดกงกลางของเสนอปสงค


12. จากภาพ เมอกาหนดให P = f(Q) จงหาความยดหยนของฟงกชนทจด A

13. จงหาคาสวนเพมตอไปน 13.1 กาหนดให TC = Q2 + 3Q + 15 จงหา MC 13.2 กาหนดให AR = Q2 + 4Q + 2 จงหา MR 13.3 กาหนดให TP = 60L2 - L3 จงหา MP ท L = 10 13.4 กาหนดให TU = Q3 + 4Q2 + Q + 5 จงหา MU ท Q = 2 13.5 กาหนดใหฟงกชนอปทาน P = f(Q) = Q2 + 4Q + 1 จงหาฟงกชนรายไดสวนเพม 14. จงหาฟงกชนความยดหยนของอปสงคตอราคา เมอกาหนดฟงกชนอปสงค ดงน 14.1 Q = f(P) = 40 – 2P 14.2 P = f(Q) = 5 – 2Q ถา P = 10 บาท จงคานวณหาคาความยดหยนของอปสงคตอราคาของฟงกชนอปสงคทง 2 15. ถา Q = f(Y) = 40 + 0.2Y จงคานวณหาคาความยดหยนของอปสงคตอรายไดเมอรายไดเปน 1,000 บาทตอเดอน 16. จงหาฟงกชนของความยดหยนไขวของฟงกชนตอไปน และหาคาความยดหยนไขว เมอกาหนดให P2 = 10 และ P1 = 5 16.1 Q1 = 60 - 2P2 16.2 Q2 = 40 + 4P1 17. กาหนดใหฟงกชนอปทาน Q = f(P) = 50 + 4P จงหาฟงกชนความยดหยนของอปทานตอราคา

และเมอ P = 10 บาทตอหนวย จงหาคาความยดหยนของอปทานตอราคา

A

S

Q B C O

P


18. กาหนดให Q1 = 500 - 2P1 - 5P2 + 0.1Y และ P1 = 50 P2 = 20 Y = 12,000 จงหา 18.1 ความยดหยนยอยของอปสงคตอราคา 18.2 ความยดหยนยอยของอปสงคตอรายได 18.3 ความยดหยนยอยไขวของอปสงค 19. กาหนดให Q1 = 200 - P1 + 0.5P2 - 0.75P3 + 0.075Y และ P1 = 30 P2 = 40 P3 = 20 และ Y = 1,000 จงหา d , 12 , 13 , y 20. กาหนดให Q = 700 – 2P + 0.02Y เมอ P = 25 และ Y = 5,000 จงหาความยดหยนยอยของอปสงคตอราคา และความยดหยนยอยของอปสงคตอรายได 21. จงหาวาฟงกชนการผลตตอไปนเปนฟงกชนเอกพนธองศาทเทาใด และมผลไดตอขนาดเปนแบบใด

21.1 Q = x2 + 4xy + 5y2 21.2 Q = x3 – 2xy2 + 3y3 + x2y 21.3 Q = 2

2

y4x3

22. จงหาองศาของฟงกชนเอกพนธตอไปน 22.1 Q = 3x3 + 5xy2 + y3 22.2 Q – 25y6 – x2y4 = 0 22.3 Z = 4x3 + x2y – 3xy2 – 5y3 22.4 Z = 3x2 + 4xy – 10y3 22.5 Z = 3x2y – 4xy2 + y3 + 8

23. จงหาประสทธภาพในการผลตสวนเพมในฟงกชนการผลตตอไปน 23.1 Q – 5xy + 2x2 + 2y2 = 0 เมอ x = 1, y = 2 23.2 Q = 3x3 + 5xy2 + y3 เมอ x = 2, y = 1

ภาคผนวก

368 คณตศาสตรพนฐานส าหรบการศกษาเศรษฐศาสตร

ตวอกษรกรก

ตวอกษรเลก ตวอกษรใหญ ชอ

alpha แอลฟา beta บตา gamma แกมมา , delta เดลตา

epsilon เอปไซลอน zeta ซตา eta อตา theta ทตา iota ไอโอตา kappa แคปปา lambda แลมปดา mu มว nu นว xi ไซ omicron โอไมครอน pi พาย rho โร sigma ซกมา tau เทา upsilon อปไซลอน phi ฟาย chi ไค psi ซาย omega โอเมกา

คณตศาสตรพนฐานส าหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 369

ดรรชน

ก กฎของการหาคาเชงอนพนธ 279 กฎของอนพนธ 233 กฎลกโซ 246 กราฟสมมาตร 52 กราฟไฮเปอรโบลา 48 การกระจายของลาปลาส 121-126

โคเฟกเตอร 121 ไมเนอร 121

การแกระบบสมการเชงเสน 143-158 วธของเกาส-จอรดอง 144 วธเมทรกซผกผน 148 วธของคราเมอร 152

การด าเนนการของเซต 15-20 ยเนยน 15 อนเตอรเซกชน 16 ผลตางของเซต 17 สวนเตมเตม 18 สมบตเกยวกบการด าเนนการของเซต 18

การเทากนของเมทรกซ 69 การเทากนทกประการ 5 การบวกและลบเมทรกซ 69 การปฏบตการของเวกเตอร 86-94

การบวกและลบเวกเตอร 91 การคณเวกเตอร 86 การรวมกนเชงเสนของเวกเตอร 92

การวเคราะหดลยภาพทางเศรษฐศาสตร 6-7

การวเคราะหเชงสถตย 7 การวเคราะหเชงสถตเปรยบเทยบ 7 การวเคราะหเชงพลวต 7

ข

ขนาดของเมทรกซ 64 ค

คาคงท 5 คาล าดบชนของเมทรกซ 110 คาเชงอนพนธ 262 คาเชงอนพนธยอย 277 คาเชงอนพนธรวม 277 คอนดบ 21 ความตอเนองของฟงกชน 218 ความไมเปนอสระเชงเสน 94 ความไมตอเนองของฟงกชน 218 ความยดหยน 341,349,350 ความยดหยนยอย 352 ความสมพนธ 25-31

โดเมนของความสมพนธ 29 เรนจของความสมพนธ 29

ง

เงอนไขจ าเปน 104 เงอนไขเพยงพอ 105


จ จตภาค 23 จาโคเบยนดเทอรมแนนต 298-305

ซ

เซต 9 เซตก าลง 13 เซตจ ากด 11 เซตทเทากน 11 เซตทไมมสมาชกรวมกน 13 เซตยอย 11 เซตยอยแท 12 เซตวาง 10 เซตอนนต 11

ด

ดเทอรมแนนต 116 ดเทอรมแนนตอนดบหนง 116 ดเทอรมแนนตอนดบสอง 116 ดเทอรมแนนตอนดบสาม 118 ดลยภาพทวไปของตลาดสนคา 182-187

แบบจ าลองตลาดสนคา 2 ชนด 183 แบบจ าลองตลาดสนคา n ชนด 186

ดลยภาพรายไดประชาชาต 189-192 ดชนลาง 5, 63 ดลยภาพสวนยอยของตลาด 169-182

แบบจ าลองเชงเสน 169 แบบจ าลองไมใชเชงเสน 177

ต ตวแปร 4-5

ตวแปรภายนอก 4 ตวแปรภายใน 4 ตวแปรอสระ 40 ตวแปรตาม 40

ท

ทฤษฎของลมต 212 ทฤษฎออยเลอร 360

น

แนวคดสวนเพม 332 บ

แบบจ าลองตลาด 309, 317 แบบจ าลองตลาดทวไป 192 แบบจ าลองทางเศรษฐศาสตร 3 แบบจ าลองปจจย-ผลผลต 314 แบบจ าลองปจจย-ผลผลตของลอองเทยฟ 197-207

โครงสรางของแบบจ าลอง 197 แบบจ าลองระบบเปด 199 แบบจ าลองระบบปด 206

แบบจ าลองรายไดประชาชาต 193, 313, 326 แบบจ าลอง IS-LM 195, 322


ป

ปฏบตการของเมทรกซ 82 ปรมาณดลยภาพ 175

ผ

แผนภาพเวนน 13 ผลคณคารทเซยน 23 ผลไดตอขนาด 361 ผลผลตทางกายภาพสวนเพมของปจจยการผลต 356

พ

พารามเตอร 4 พชคณตของเมทรกซ 69-76

การบวกและการลบเมทรกซ 69 การคณเมทรกซดวยคาคงท 71 การคณเมทรกซดวยเมทรกซ 71-76

ฟ

ฟงกชน 33 โดเมนของฟงกชน 41 เรนจของฟงกชน 41

ฟงกชนก าลงสอง 46 ฟงกชนก าลงสาม 47 ฟงกชนคงตว 45 ฟงกชนเชงเสน 45 ฟงกชนชดแจง 290 ฟงกชนโดยปรยาย 290 ฟงกชนตรรกยะ 48, 243

ฟงกชนผกผน 250 ฟงกชนพหนาม 44, 233 ฟงกชนเพม 251 ฟงกชนลด 251 ฟงกชนลอการทม 51, 253 ฟงกชนเอกซโปแนนเชยล 49, 258

ม เมทรกซ 63 เมทรกซโคโนนเคล 83 เมทรกซโคเฟกเตอร 139 เมทรกซจตรส 65 เมทรกซตวตาม 71, 88 เมทรกซตวน า 71, 88 เมทรกซแตงเตม 144 เมทรกซแถว 64 เมทรกซทแยงมม 68 เมทรกซผกผน 101, 141 เมทรกซผกพน 139 เมทรกซไมใชเอกฐาน 101, 104, 136 เมทรกซศนย 65 เมทรกซสดมภ 64 เมทรกซสมมาตร 67 เมทรกซสลบเปลยน 67, 96 เมทรกซเอกฐาน 101 เมทรกซเอกลกษณ 66 เมทรกซเอชลอน 84


ร ระบบจ านวนจรง 9 ระนาบพกดฉาก 23 ราคาดลยภาพ 175 เรเดยสเวกเตอร 89

ล

ลมต 210 ลมตเกยวกบอนฟนต 214-220

ว

เวกเตอรแถว 65, 73 เวกเตอรสดมภ 65, 73

ส

สมการในแบบจ าลอง 5-6 สมการเงอนไขดลยภาพ 6 สมการพฤตกรรม 5 สมการเอกลกษณ 5

สมบตการเปลยนกลม 19, 77, 78 สมบตการสลบท 19, 76, 78 สมบตของดเทอรมแนนต 126 สเกลาร 71 สมประสทธของตวแปร 4 เสนซเคนท 230 เสนทแยงมมหลก 66 เสนสมผส 230

เสนอปทาน 171 เสนอปสงค 170

อ

อนพนธของฟงกชน 227 อนพนธของฟงกชนโดยปรยาย 290 อนพนธรวม 283 อนพนธยอย 271 อนพนธยอยไขว 275 อนพนธยอยอนดบทสอง 274 อนพนธอนดบสงกวาอนดบหนง 261 เอกภพสมพทธ 9 เอเลยนโคเฟกเตอร 135


เฉลยแบบฝกหด แบบฝกหดบทท 1 1. การใชคณตศาสตรส าหรบการวเคราะหทางเศรษฐศาสตรเปนการใชสญลกษณทางคณตศาสตรแทนการก าหนด

เปนขอความของปญหาทางเศรษฐศาสตร แลวน าความรทางทฤษฎ หลกเกณฑและวธการคณตศาสตรตางๆ มาใชในการวเคราะหอยางมเหตผล

2. ตวแปร หมายถง ตวอกษรหรอเครองหมายสญลกษณทก าหนดขนมาใหเปนสงทมคาแปรเปลยนไดไมคงท เชน ราคาสนคา ก าไร รายรบ ตนทนการผลต การลงทน

3. ตวแปรภายนอก คาของตวแปรจะถกก าหนดขนจากภายนอกสมการของแบบจ าลอง ตวแปรภายในสามารถหาคาไดจากการแกสมการภายในแบบจ าลอง

4. 4.1 0.84 หมายถง คาความโนมเอยงสวนเพมในการบรโภคหรอ MPC 4.2 b หมายถง ความชนของสมการเชงเสน แบบฝกหดบทท 2

1. 1.1 A = 31, 32, … 1.3 C = 2, 4, 6, … A = X R 30 < X C = X I+ X เปนจ านวนค 1.2 B = 16, 17, …, 49 1.4 D = 6, 7, 8, 9, 10 B = X R 15 < X < 50 D = X I 5 X 10 2. 2.1 ไมจรง 2.4 ไมจรง 2.7 ไมจรง 2.2 ไมจรง 2.5 จรง 2.8 จรง 2.3 ไมจรง 2.6 จรง 2.9 ไมจรง 3. 3.1 2, 4, 6, 7 3.3 2, 6 3.5 2 3.2 2, 4, 6 3.4 2 3.6 2, 4, 6 4. 4.1 ถก 4.4 ถก 4.7 ไมถก 4.2 ถก 4.5 ถก 4.3 ถก 4.6 ถก


5. AB = 3, 4, 5, 6, 7 AC = 2, 3, 4, 5, 6 BC = 2, 3, 4, 6, 7 AB = 4, 6 AC = 6 BC = 3, 6 6. 6.1 A B = (3, a), (3, b), (6, a), (6, b), (9, a), (9, b) 6.2 B C = (a, m), (a, n), (b, m), (b, n) 6.3 C A = (m, 3), (m, 6), (m, 9), (n, 3), (n, 6), (n, 9) 7. A B B A แตจะเทากนกตอเมอ A = B 8. Df = 1, 2, 3, 4 Rf = 8, 11, 14, 17 9. เรนจ คอ เซตของจ านวนจรงทไมเปนลบ 10. 10.1 Df = -1, -2, 0, 4 10.4 Dn = x R Rf = 1, 2, 3 Rn = y R 10.2 Df = x R 10.5 Df = x R Rf = y R Rf = y = 6 10.3 Dg = x R x 5 Rg = y R y 0

11. 11.1 r1 = (4, 2), (5, 3)

11.2 r2 = (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (5, 4), (5, 5) 11.3 r3 = (5, 2)


12. 12.1 กราฟของ r1 เปนพาราโบลาหงาย

12.2 กราฟของ r2 เปนเสนตรง

13. 13.1 กราฟเสนตรงลาดขน 13.2 กราฟเสนตรงลาดลง 13.3 กราฟเสนตรงลาดขน 14. กราฟ 13.1 ลาดขนโดยล าดบ แตกราฟ 13.2 ลาดลงโดยล าดบ กราฟ 13.1 และกราฟ 13.2 ลาดขนโดยล าดบและขนานกน 15. 15.1 และ 15.2 เปนกราฟโคงหงาย 16. กราฟไฮเปอรโบลา เมอ x, y > 0 กราฟจะอยในจตภาค 1 เมอ x, y < 0 กราฟจะอยในจตภาค 3 แบบฝกหดบทท 3

1. 1.1

79

24 1.2

80

24 1.3

2718

312 1.4

624

1816

2. 2.1 AB =

813

06

6428

BA = ไมสามารถหาคาได

2.2 BC =

3069

414 CB =

2421

1620

3. 3.1

316

2036

10

3.2

112

549


4. wx, xy, xy หาคาไมได

xy =

2212

2211

yxyx

yxyx yy = [y1

2 + y22]

zz =

2

21

21

2

1

zzz

zzz yw =

222

111

y16y2y3

y16y2y3

5. ใหทบทวนการเขยนกราฟกรณการคณเวกเตอรดวยสเกลาร การบวกและลบเวกเตอร

6. (A + B) + C =

1711

175 A + (B + C) =

1711

175

7. A (BC) =

5575

68250 = (AB) C

8. 8.1 AI = IA = A 8.2 Ab =

12

39 = AIb

Ix = x xIA = xA = [-x1 8x1-2x2 7x1+4x2] xI = x = [x1 x2]

9. A =

34

12 B =

18

03 C =

19

10

61

10. ทดสอบโดยใชสมบตของเมทรกซผกผน โดย A และ B เปนเมทรกซจตรส และ AB = BA = I แสดงวา B เปนเมทรกซผกผนของ A 11. 11.1 p q 11.4 p q 11.2 p q 11.5 p q 11.3 p q


แบบฝกหดบทท 4 1. 1.1 0 1.6 66 1.2 26 1.7 -198 1.3 -33 1.8 -24 1.4 450 1.9 -6 1.5 หาคาไมได 1.10 0 2. 2.1 705 2.3 -6 2.5 36 2.2 -78 2.4 0 2.6 32 3. ด าเนนการตามสมบตของดเทอรมแนนต 4. 4.1 51 4.2 0 4.3 0 4.4 -8

5. 5.1 A-1 =

105

25

1 D =

310

216

71

B-1 =

21

29

01 E =

21

61

4815

487

C =

4

128

34

128

1 F =

307

51

309

3012

5.2 A-1 =

826

84

86

85

84

81

83

82

83

C =

010

100

001

B =

141

1440

141

146

1410

143

1420

D =

100

010

001


6. 6.1 x1 = 5 6.3 x1 = 3 x2 = 2 x2 = 0 6.2 x1 = -15 6.4 x1 = 1 x2 = 18 x2 = 1

7. 7.1 A-1 =

7

37

27

27

1 7.3 A-1 =

111

114

113

111

7.2 A-1 =

81

71 7.4 A-1 =

81

681

781

981

3

8. 8.1 x1 = 2 x2 = 1 x3 = 0 8.2 x1 = 18

92 x2 = 1832 x3 = 18

16

8.3 x = 0 y = 5 z = 4

8.4 x = 2

cb y =

2

ca z =

2

ba

9. ค าตอบเหมอนขอ 8 แบบฝกหดบทท 5 1. 1.1 P = 30 Q = 70

1.2 P = 10 Q = 38 1.3 P = 17 Q = 91

2. P = 6 Q = 7 3. PB = 5 QB = 70 PP = 3 QP = 90


4. PS = 40 QS = 60 PJ = 75 QJ = 30 5. 5.1 P = 1 Q = 2 5.2 P = 3 Q = 1 6. 1P = 17

57 1Q = 17194

2P = 1759 2Q = 17

143

7. Y = 1000

8. Y = )t1(b1

]bdaGI[ 00

C = )t1(b1

)GI)(t1(bbda 00

T = )t1(b1

]bdaGI[td 00

9. x1 = 69.53 ลานบาท x2 = 57.03 ลานบาท x3 = 42.58 ลานบาท 10. 55 ลานบาท แบบฝกหดบทท 6 1. 1.1 7 1.2 17 2. 2.1 -4 2.2 14


3. 3.1 3 3.4 -7 3.2 6 3.5 7 3.3 8 4. 4.1 5

4 4.3

4.2 54 4.4 -

5. 5.1 ตอเนอง 5.2 ตอเนอง 5.3 ไมตอเนอง

6. 6.1 0 6.5 -2a 2

1

6.9 24x-3 6.2 6x5 6.6 5 6.10 -5x-2

6.3 20x3 6.7 8 6.11 4x 2

1

6.4 -2a0 6.8 -15x2 6.12 6x 3

2

7. ขอ 7.1 – 7.5 f(1) = 0 และ f(2) = 0 8. 8.1 81x2 + 18x + 6 8.4 75x4 – 140x3 8.2 54x2 + 78x - 70 8.5 14x13 + 80x7 + 48x5 8.3 12x2 + 12x

9. 9.1 35x6 – 18x5 9.3 22

2

)3x7x2(

x90x315

9.2 2

54

)x31(

x48x20

10. 10.1 48x3 (3x4 + 5)3 10.3 4(x2 + 3x + 1)3 (2x + 3) 10.2 21(7x + 9)2


11. 11.1 136 11.3 336 11.5 25615

11.2 2754 11.4 1296 11.6 8448

12. f(y) = 7

1 เปน increasingly function

13. 13.1 x

3 13.4

5x8x3

8x62

13.2 )x1(

1

13.5

)1x(x

22

13.3 )4x(

2

14. 14.1 2e2x 14.2 5x2 e5x + 2x e5x 14.3 x

1ex +nx ex

15. 15.1 (3x2 + 8x – 6) dx 15.2 (8x – 20) dx 15.3 (3x2 + 2x) dx 16. y = 14.956 แบบฝกหดบทท 7 1. 1.1 f1 = 2

21

2

1 xx6x18 1.4 zx = 7 + 6y2 f2 = 4

22

2

1 x35xx6 zy = 12xy – 27y2 1.2 f1 =

21

2

1 xx4x12 1.5 zx = 4u + 6x – 7y f2 = 4

2

2

1 x35x2 zy = -7x – 16y 1.3 zx = 6x2 – 20xy zx = 6u + 4x zy = -10x2 + 6y

2. 2.1 zx = 2(y – 2) 2.4 fx = 216x – 30y zy = 2x + 3 fz = -30x – 16y


2.2 zx = 5(y – 2) 2.5 fx = 30x2 – 8xy3 + 25y zy = 5x + 3 fy = 12x2y2 – 40y3 + 25x 2.3 fx = 45x2 + 7z Fz = 21x2

3. 3.1 fx = 2)y7x6(

y35

3.4 fx = 2

22

)y2x3(

y3xy4x3

fy = 2)y7x6(

x35

fy = 2

22

)y2x3(

y2xy6x2

3.2 fx = )y3(

1 3.5 fx =

2)yx(

y5

fy = 2)y3(

x3 fy =

2)yx(

x5

3.3 fx = 2)y2x5(

y53

3.6 fx = 2

2

)xy(

yyx

fy = 2)y2x5(

y53

fy = 2

2

)xy(

)1x(x

4. 4.1 fx = 2x + 2y 4.3 fx = 196x3 + 112y3x fy = 2x + 2y fy = 168x2y2 + 96y5 4.2 fx = 24x2 – 96xy + 96y2 fy = -48x2 + 192xy – 192y2 5. 5.1 fxx = 2 fyy = 2 fxy = 2 5.2 fxx = 6x fyy = -18y fxy = -8 5.3 fxx = 12y fyy = 12xy fxy = 12 5.4 fxx = 200 fyy = 98 fxy = -140


6. 6.1 dz = (4x + y) dx + (x – 6y2) dy 6.2 dz = (2 + 8y) dx + (8x + 2y) dy 6.3 dz = (15x2 – 10y) dx – (10x +

30y4) dy

6.4 dy = 21x2z2dz + 14xz3 dx 6.5 dy = (72x2 – 42xz) dx – 21x2 dz

6.6 dz = 2)yx(

y

dx -

2)yx(

x

dy

6.7 dz = 2

2

)yx(

y2

dx +

2

2

)yx(

x2

dy

6.8 du = 2

32

)yx(

y18xy27(

dy - 2

3

)yx(

y9

dx

7. 7.1 5 + 9x2 – 36x3 7.2 12x+315x2 + 588x3 7.3 50x + 1080 8. 8.1 -6 8.2 -4 8.3 2x + 6

9. 9.1 )y15x2(

)y2x6(2

9.3

)y32xy4(

)y2x14(3

2

9.2 15x4 9.4 2

9x2

10. 10.1 xy

=

)xzyx3(

)yzxy2(22

3

10.2

xy

=

)xz4y3(

)yz4zx3(2

22

zy

=

)xzyx3(

)xyz2(22

zy

=

)xz4y3(

)xy4zx2(2

3

11. 11.1 J = 0 11.2 J 0


แบบฝกหดบทท 8 1. ตวทวการออม ตวทวภาษ และตวทวการลงทน 2. 2.1 Qd = QS 2.2 P = P (Y0)

2.3 0dY

Pd =

P/SP/D

Y/D 0

และ

0dTPd

= 0

0

T/SP/D

T/S

3. 0I

Y

=

βδβ1

1

=

α

Y

4. 4.1 และ 4.2 1d

X

=

1.0

4.0

8.0

2d

X

=

3.0

9.0

3.0

3d

X

=

8.0

2.0

2.0

5. 5.1 MC = 6Q + 7 แทนคา Q = 3 และ 5

AC = 3Q2 + 7 + 12

Q

5.2 MR = 12 – 2Q แทนคา Q = 3 และ 5 AR = 12 – Q 6. ME = 2Q2 + Q + 3 = 58

7. MR = 18Q - Q2

2 = 130


8. 8.1 MC = 3Q + 4 8.2 MC = 5 – 6Q + 6Q2

9. 9.1 11

4 และ

3

2 9.2

13

1 และ

25

3

10 10.1 1.33 10.2 1.25 11. วธการพสจนตามตวอยางท 8.8 12. วธการพสจนตามตวอยางท 8.7 13. 13.1 MC = 2Q + 3 13.4 MU = 29 13.2 MR = 3Q2 + 8Q + 2 13.5 MR = 3Q2 + 8Q + 1 13.3 MP = 800 14. 14.1 -1 14.2 2

15. 6

5

16. 16.1 2

1 16.2 1

17. 9

4

18. 18.1 15

1 18.2 0.8 18.3

15

1


19. 25

3,

25

2,

50

3 และ 0.3

20. 15

1 และ

15

2

21. 21.1 องศา 2 ผลไดตอขนาดเพมขน 21.2 องศา 3 ผลไดตอขนาดเพมขน 21.3 องศา 0 ผลไดตอขนาดลดลง 22. 22.1 องศา 3 22.4 ไมเปนฟงกชนเอกพนธ 22.2 องศา 6 22.5 ไมเปนฟงกชนเอกพนธ 22.3 องศา 3 23. 23.1 MPx = MPy = 6 23.2 MPx = 17 MPy = 23

basic mathematics for economics mathematics for economics.pdf · 6.1.3...

Documents