บทที ่2 กราฟ (15 ชั่วโมง)

2.1 กราฟแสดงความสัมพนัธระหวางปรมิาณที่มีความสัมพันธเชิงเสน (3 ช่ัวโมง) 2.2 กราฟของสมการเชิงเสนสองตัวแปร (7 ช่ัวโมง) 2.3 กราฟกับการนําไปใช (5 ช่ัวโมง) นักเรียนเคยศกึษากราฟแสดงความสัมพันธระหวางปริมาณสองชุดมาแลว ในบทนี้นักเรยีนจะไดศึกษาเพิ่มเติมเกี่ยวกับกราฟแสดงความสัมพันธระหวางปริมาณสองชุดที่มีความสัมพันธเชิงเสน กราฟของสมการเชิงเสนสองตัวแปรที่มีกราฟเปนเสนตรง ทั้งยังกลาวถึงการอานและแปลความหมายของกราฟที่มีลักษณะอื่น ๆ ซ่ึงอาจพบเหน็ในชวีิตประจําวันทั้งทางดานวิทยาศาสตรและสังคมศาสตร เนื้อหาของบทนี้ นอกจากจะเนนการเขยีนกราฟของความสัมพันธเชิงเสนและสมการเชิงเสนสอง ตัวแปร การอานและแปลความหมายกราฟที่กําหนดใหแลว ยังตองการเนนใหนักเรียนสามารถแปลความหมายของภาพรวมของกราฟไดอีกดวย การแปลความหมายของภาพรวมของกราฟเปนสาระใหมที่ครูตองใหความสาํคัญ และควรใหนกัเรียนไดฝกฝนในการแปลความหมาย ฝกคิดวิเคราะหขอมูลจากกราฟ ที่กําหนดใหอยางมีขั้นตอน เพื่อนําไปสูการแปลความหมายที่ถูกตองและสมเหตุสมผล ในการอานคาตาง ๆ จากกราฟ ครูไมควรเขมงวดกับคาํตอบที่นักเรียนอานไดวาตองตรงกับที่ใหไวในหนังสือเรียนหรือที่เฉลยไวในคูมือคร ู นักเรียนอาจตอบเปนคาทีแ่ทจริงหรือคาประมาณกไ็ดตาม ความเหมาะสมของขอมูลและสถานการณตามแนวคิดของนักเรียน เพื่อใหนักเรยีนไดฝกทกัษะในการอานและวิเคราะหกราฟ ครูอาจหากราฟแบบตาง ๆ มาใหนักเรียนไดศกึษาเพิ่มเติม ซ่ึงจะชวยใหนกัเรียนม ีการพัฒนาทางดานความรูสึกเชิงกราฟมากยิง่ขึ้น ผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป 1. เขียนกราฟแสดงความสัมพันธระหวางปริมาณสองชุดที่มีความสมัพันธเชิงเสนได 2. เขียนกราฟของสมการเชิงเสนสองตัวแปรได 3. อานและแปลความหมายกราฟที่กําหนดใหได

30

แนวทางในการจัดการเรียนรู 2.1 กราฟแสดงความสัมพันธระหวางปริมาณที่มีความสัมพันธเชิงเสน (3 ชั่วโมง) จุดประสงค นักเรียนสามารถเขียนกราฟแสดงความสมัพันธระหวางปริมาณสองชุดที่มีความสมัพันธ เชิงเสนและแปลความหมายของกราฟได

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรยีนการสอน 1. ครูนําสนทนาเกีย่วกับปริมาณสองชุดที่มีความสัมพันธเชิงเสนทีพ่บในชวีิตประจําวนั เชน จํานวนผูโดยสารกับคาโดยสารรถประจําทางที่คิดราคาเดียวกันเปนรายหัว ปริมาณน้าํมันกับราคาน้าํมัน ครูอาจใหนกัเรียนนําเสนอความสัมพันธของปริมาณสองชุดที่สัมพันธกันแบบเชิงเสนเพิ่มเติม พรอมทั้งเขียนกราฟของความสัมพันธนั้น แลวชวยกันสรุปวาความสัมพันธเชิงเสนระหวางปริมาณสองชุดอาจมีกราฟเปนเสนตรง หรือเปนสวนหนึ่งของเสนตรง หรือเปนจุดที่เรียงกนัอยูในแนวเสนตรงเดียวกนัซึ่งจุดเหลานี้อาจมีจาํนวนจํากัดหรือไมจํากัดก็ได 2. ในการจดักิจกรรมเกี่ยวกับการเขยีนและการอานกราฟ ครูควรใหนักเรยีนใชกระดาษกราฟ เพราะจะชวยใหเขียนกราฟไดเร็ว และอานกราฟไดถูกตองตามความเปนจริง 3. ครูควรชี้ใหนกัเรียนสังเกตวา กราฟในตัวอยางที่ 1 มีลักษณะเปนจุดที่เรียงอยูในแนวเสนตรงเดียวกันโดยเขยีนจดุตอกันเปนเสนประ ทั้งนี้เพราะวาจํานวนน้ําฝร่ังมีหนวยเปนขวดซึง่เปนจํานวนนบั และเงินลงทุนและรายไดมีหนวยเปนบาท ซ่ึงเปนจํานวนนับเชนกนั อีกทั้งขอมูลเหลานี้มีจํานวนจํากัด อยางไรก็ตามเพื่อดูแนวโนมของขอมูล จึงไดใสลูกศรไวที่ปลายของกราฟแตละเสน ครูควรฝกใหนักเรยีนดกูราฟในภาพรวม เชน ในตวัอยางที่ 1 หลังจากตอบคําถามแลวครูควรใหนักเรียนอภิปรายรวมกันเพื่อใหไดขอสรุปวา ในระยะเริ่มตนเสนกราฟแสดงเงินลงทุนอยูเหนือเสนกราฟแสดงรายได และเมื่อผลิตน้ําฝรั่ง 200 ขวด เงนิลงทุนและรายไดจะเทากับ 4,000 บาทเทากัน ซ่ึงเปนจุดคุมทุน และเมื่อผลิตน้ําฝรั่งมากกวา 200 ขวดขึ้นไป เสนกราฟแสดงรายไดจะอยูเหนือเสนกราฟแสดงเงินลงทนุ จากลักษณะของเสนกราฟทั้งสองขางตนจะสรุปไดวา ถาผลิตน้ําฝรั่งนอยกวา 200 ขวด ก็จะขาดทุนและเมื่อผลิตมากกวา 200 ขวด จะมกีําไร 4. ในตัวอยางที่ 2 กอนตอบคําถาม ครูควรใหนกัเรยีนชวยกนัพิจารณาและอภิปรายวากราฟแตละเสนสอดคลองกับสถานการณของโจทยอยางไร เชน รถยนตคันที่หนึ่งเดนิทางดวยอัตราเร็วทีแ่ตกตางกนัเปนชวง ๆ และมีการหยุดพกั ดังนั้น กราฟแสดงการเดนิทางของรถยนตคันที่หนึ่งจงึเปนสวนของเสนตรงสามสวนเชื่อมตอกัน ครูควรใชคําถามใหนักเรียนอภิปรายกราฟในชวงเวลา 10.00 น. ถึง 11.00 น. ซ่ึงได กราฟเปนสวนของเสนตรงที่ขนานกับแกน X ซ่ึงแสดงวาเวลาผานไปแตระยะทางทีไ่ดยังคงเทาเดมิ

31

สําหรับรถยนตคันที่สองแลนดวยอัตราเร็วสม่ําเสมอ กราฟแสดงการเดินทางของรถยนตคันที่สองจึงเปนสวนของเสนตรงเดียวกัน เพื่อตอบคําถามขอ 4) และดแูนวโนมของการเดินทางของรถยนตทั้งสองคัน จึงตอกราฟดวยเสนประและมีลูกศรที่ปลายกราฟ เพื่อฝกใหนักเรยีนมองเห็นภาพรวมของกราฟ หลังจากตอบคําถามที่กําหนดใหแลว ครูควรใหนกัเรียนชวยกันอภิปรายจนไดแนวคดิในการพิจารณาจากกราฟ จะทราบไดวารถยนตคันใดแลนนําหนารถยนตคันในชวงเวลาใด โดยดูเพียงวาเสนกราฟของรถยนตคันใดอยูเหนือเสนกราฟของรถยนตคันใด 5. ในแบบฝกหัด 2.1 ขอ 1 ครูควรแนะนําใหนกัเรียนเขียนตารางแสดงคาของจํานวนที่สัมพนัธกัน หรือเขยีนความสัมพันธในรูปสมการกอนจะเขียนกราฟ แลวจึงตอบคําถาม สําหรับขอ 6 กราฟที่กําหนดใหมีลักษณะพิเศษทีน่ักเรียนไมเคยพบมากอน ครูควรนําปญหาขอนี้มาอภิปรายรวมกนัในชัน้เรียนโดยใหนักเรียนทําความเขาใจโจทยและกราฟ ใหรูวาแกน Y แสดงระยะทางทีเ่มอืง ก อยูหางจากเมือง ข 240 กิโลเมตร จุดที่กราฟตัดกนัเปนจดุที่วิชัยและวิโรจนพบกัน แกน X แสดงเวลาและเมื่อเวลาผานไปแมการเดินทางของแตละคนจะไดระยะทางมากขึ้น แตการเดินทางของวิชัยจะเขาใกลเมือง ข ไปเรื่อย ๆ แลวนําความรูความเขาใจที่ไดตอบคําถามในหนังสือเรียน 2.2 กราฟของสมการเชิงเสนสองตัวแปร (7 ชั่วโมง) จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1. บอกคูอันดับที่สอดคลองกับสมการเชิงเสนสองตัวแปรที่กําหนดใหได 2. เขียนกราฟของสมการเชิงเสนสองตัวแปรที่กําหนดใหได 3. บอกลักษณะที่สําคัญบางประการของกราฟของสมการเชิงเสนสองตัวแปรทีก่ําหนดใหได ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรยีนการสอน 1. ครูยกตัวอยางโจทยทีแ่สดงความสัมพันธระหวางปริมาณสองชุดที่มีกราฟอยูในแนวเสนตรง เดียวกัน เร่ิมตนอาจกําหนดเงื่อนไขของ x และ y เปนจํานวนเต็มกอน เมื่อเขียนกราฟที่ไดเปนจุดเรยีงกันอยูในแนวเสนตรงแลว ครูอาจเพิ่มเงื่อนไขให x และ y เปนจํานวนจริงใด ๆ ใหนกัเรียนเหน็กราฟตอเนื่องเปนเสนตรง แลวจึงแนะนํารูปสมการเชิงเสนสองตัวแปรตามทีใ่หไวในหนังสือเรียน 2. กิจกรรม “บอกไดหรือไม” ในขอ 1 ขอยอย 5) ครูอาจแสดงใหนักเรยีนเห็นวาสมการ 1.2x + 0y = 3.5 เปนสมการเดียวกับสมการ 1.2x = 3.5 แลวใหนกัเรียนสรุปไดเองวา 1.2x = 3.5 เปนสมการเชิงเสนสองตัวแปร สําหรับขอ 2 ครูควรแนะนาํใหนกัเรียนเขยีนสมการที่กําหนดใหอยูในรูป Ax + By + C = 0 กอน แลวจึงระบุคา A, B และ C เชน x – 3y + 5 = 0 เขียนเปน (1)x + (-3)y + 5 = 0 จะได A = 1, B = -3 และ C = 5

32

3. ในการเขียนกราฟของสมการเชิงเสนสองตัวแปร ครูควรย้ํากับนักเรียนใหหาคูอันดับที่สอดคลองสามจุดกอน เชน ในกรณีที่ทราบวา x และ y เปนจํานวนจริง กราฟของสมการจะเปนเสนตรง การเลือกคูอันดับที่สอดคลองควรเลือกแทนคา x และ y เปนจํานวนเต็ม ซ่ึงงายตอการคํานวณและการเขยีนกราฟ ครูอาจใหขอสังเกตวา ถากําหนดให x หรือ y เทากับ 0 อาจทําใหการคํานวณหาสมาชิกของคูอันดับที่สอดคลองกับสมการทําไดงายขึ้น 4. สําหรับกิจกรรม “กราฟของ y = B

C- , B ≠ 0” และ “กราฟของ x = AC- , A ≠ 0”

ตองการใหนกัเรียนสรุปไดวากราฟขนานกบัแกน X หรือแกน Y เทานั้น เมื่อใหนกัเรียนตอบคําถามแลวครูควรใหนกัเรียนชวยกนัอภิปรายและสรุปลักษณะสําคัญเกี่ยวกับกราฟโดยวิเคราะหจากสมการ เพื่อนําไปชวยในการเขยีนกราฟตอไป 5. สําหรับกิจกรรม “ลองเขียนด”ู มีเจตนาใหนําความรูที่ไดจากกิจกรรมในขอ 3 มาใช ครูควรใหนกัเรียนชวยกันสรุปรูปแบบทั่วไปของสมการที่มีกราฟขนานกับแกน X และสมการที่มีกราฟขนานกับ แกน Y 6. สําหรับกิจกรรม “เกี่ยวของกันอยางไร” มีเจตนาใหนกัเรียนคนพบเงื่อนไขทีท่ําใหกราฟของสองสมการเปนเสนตรงที่ขนานกัน สามารถใชเงื่อนไขนี้ไปวิเคราะหกราฟของสมการที่กําหนดใหได สําหรับกิจกรรม “ตัดกันที่จดุใด” มีเจตนาใหนกัเรียนคนพบเงื่อนไขที่ทําใหกราฟของสอง สมการเปนเสนตรงที่ตัดกัน หลังจากนักเรียนทํากิจกรรมทั้งสองแลว ครูควรใหนักเรยีนชวยกันสรุปเงื่อนไขที่ใชพิจารณาสมการเพื่อบอกลักษณะของกราฟที่ขนานกันและตัดกนัดังขอสรุปที่ใหไวในหนังสอืเรียนหนา 98 7. ในแบบฝกหัด 2.2 ข ขอ 1 หลังจากทําแบบฝกหัด ครูควรใหนกัเรียนชวยกนัสรุปเปนกรณีทั่วไปวา กราฟที่ผานจุดกําเนิดจะมีเงื่อนไขอยางไรและในทางกลับกนัดวย เพื่อนําความรูที่ไดไปใชงานตอไป สําหรับขอ 2 – 5 ครูควรใหนักเรียนไดใชประโยชนจากขอสรุปในหนา 98 เกี่ยวกับลักษณะสําคัญบางประการมาชวยในการเขียนกราฟและตอบคําถาม 2.3 กราฟกับการนําไปใช (5 ชั่วโมง) จุดประสงค นักเรียนสามารถอานและแปลความหมายของกราฟที่กําหนดใหได

เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม กิจกรรมเสนอแนะ 2.3 ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรยีนการสอน 1. ในตัวอยางที่ 1 และตวัอยางที่ 2 มีคําถาม 4 ขอแรกเปนคําถามนําเพื่อไปสูขอสรุปในขอ 5 ซ่ึงเปนจุดประสงคที่ตองการใหนกัเรียนอธิบายภาพรวมของกราฟได สวนตัวอยางที ่3 เปนความสัมพันธที่

33

กราฟมีลักษณะเปนขั้นบนัไดที่นักเรยีนจะพบบอยข้ึนในดานสังคมศาสตร ครูควรทําความเขาใจกับนักเรียนในเรื่องการอานและการแปลความหมายกราฟ อาจสุมใหนักเรยีนอานกราฟเปนบางชวงเพื่อตรวจสอบความเขาใจ 2. โจทยแตละขอในแบบฝกหัด 2.3 เสนอไวใหนกัเรยีนไดฝกอาน วิเคราะหและแปล ความหมายกราฟในภาพรวมได ในขัน้ตนของการฝกอธิบายกราฟ ครูควรแนะนําใหนกัเรียนพิจารณา ขอมูลเปนชวง ๆ แลวสรุปเปนภาพรวม ครูอาจใหนกัเรียนชวยกนัพจิารณาเปนกลุม มีอภิปรายรวมกัน และชวยกนัสรุป 3. สําหรับกิจกรรม “บอลกระทบพื้น” ครูอาจใหนกัเรียนทดลองปลอยลูกปงปองลงบนพื้นซีเมนต แลวสังเกตการกระดอนของลูกปงปองที่ขึ้นลงเปนชวง ๆ พิจารณาอัตราเร็วในการเคลื่อนที่และระดับความสูงของลูกปงปองเหนือพืน้ เพือ่ใชเปนแนวในการเขียนอธิบายกราฟ 4. สําหรับกิจกรรม “คูของใคร” มีเจตนาใหเห็นเปนตัวอยางกราฟที่มกีารนําไปใชในการประเมินผลเชงิคิดวิเคราะหตามแนวการเรยีนรูกราฟแบบใหมมากขึน้ ครูควรฝกใหนักเรียนอานและแปลความหมายจากเงื่อนไขในโจทยเปนกราฟและจากกราฟเปนเงื่อนไขในโจทย ฝกการคิดวิเคราะหตามขอมูลและกราฟทีก่ําหนดให ในบางกรณีครูอาจตองชี้แนะใหพิจารณาความสัมพันธที่เกี่ยวของกับขอมลูในกราฟดวย เชน ขอ 1 กราฟแสดงการเดินของปู ปลา และกุง จะเห็นวากราฟกําหนดแกนนอนเปนเวลา และแกนตั้งเปนระยะทาง แตนักเรียนตองแปลความหมายกราฟในรูปของอตัราเรว็ ซ่ึงนักเรียนตองมีความเขาใจ เปนพื้นฐานวา อัตราเร็ว = เวลา

ระยะทาง จึงจะสามารถอานวิเคราะหกราฟไดอยางถูกตอง หลังจากใหนกัเรียนตอบคําถามขอ 3 แลว ครูอาจใชคําถามกระตุนใหนักเรยีนเกิดความ อยากรูตอไดอีก เชน จากกราฟสามารถทราบระยะทางโดยประมาณที่นัทใชเวลาขับรถนาน 4 ช่ัวโมง ไดหรือไม โดยครูอาจใชกจิกรรมเสนอแนะ 2.3 มาใหความรูเพิ่มเติมเพื่อตอบคําถามดังกลาว

34

คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม คําตอบแบบฝกหัด 2.1

1. 1) กราฟแสดงความสัมพันธ 2y + x = 12 เมื่อ x และ y เปนจาํนวนนับ Y

12 9 10 11 8 7 6 5 4 3 2 1 2 3 4 5 6

1 0

X เปนความสัมพันธเชิงเสน หรือกราฟแสดงความสัมพนัธ y + 2x = 12 เมื่อ x และ y เปนจํานวนนับ

7

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6

Y X

เปนความสัมพันธเชิงเสน

35

2) กราฟแสดงความสัมพันธ y = x + 5 เมื่อ x และ y เปนจํานวนเต็ม Y

1 2 3 4 5 6 7 8 9

-4 -3 -2 -1 3 4 2 1 0 -1

X

เปนความสัมพันธเชิงเสน หรือกราฟแสดงความสัมพนัธ y = x – 5 เมื่อ x และ y เปนจํานวนเต็ม

Y

-4

-1 -2 -3

-5 -6

0 1 -1 1 2

2 3

3

4 5 6 7 8 X

เปนความสัมพันธเชิงเสน

36

3) มิลลิเมตร

10 20 30 40 50 60 70 80

8 0 1 2 3 4 5 6 7

เซนติเมตร เปนความสัมพันธเชิงเสน 4)

7 6

10

0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9

ความยาว

ความกวาง

เปนความสัมพันธเชิงเสน

37

2. 1) เมื่อถวงดวยตุมน้ําหนกั 5 กรัม ลวดสปริงจะยาว 3.25 เซนติเมตร เมื่อถวงดวยตุมน้ําหนกั 25 กรัม ลวดสปริงจะ ยาว 4.25 เซนติเมตร 2) 15 กรัม 3) ถาตุมน้ําหนักที่ถวงเพิม่ขึ้น แลวความยาวของ ลวดสปริงเพิ่มขึ้น

1 2 3 4 5 6 7

60 50 40 30 20 10 0

Y

X 3.

x 3 6 9 12 15 18 y 1 2 3 4 5 6

1)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 1 2 3 4 5 6 7

Y X

2) ประมาณ 1.7 กิโลเมตร

38

4. 1) 29 ลิตร 2) 230 กิโลเมตร 3) 350 กิโลเมตร

Y

0 30 25 20 10 15 5 40 35 50

100 150 200 250 300 350

X 5.

0 200000 300000 400000 100000

รายรับ

20000

15000

10000

5000

บริษัทรักเรียน บริษัทเรียนด ี

ยอดขาย

1) เมื่อยอดขายสินคาเปน 200,000 บาท รายรับของพนักงานขายของทั้งสองบริษัทจะเทากัน 2) ถายอดขายสินคานอยกวา 200,000 บาท พนักงานขายของบริษทัรักเรียนจะมรีายรับตอ เดือนมากกวาพนักงานขายของบริษัทเรียนด ี ถายอดขายสินคาเทากบั 200,000 บาท พนักงานขายของทั้งสองบริษัทจะมีรายรับตอเดือน เทากัน ถายอดขายสินคามากกวา 200,000 บาท พนักงานขายของบริษทัเรียนดจีะมีรายรับตอเดือน มากกวาพนักงานขายของบริษัทรักเรียน

39

6. 1) วิชัยเร่ิมออกเดินทางเวลา 7.00 นาฬกิา วิโรจนเร่ิมออกเดินทางเวลา 9.00 นาฬิกา 2) 240 กิโลเมตร 3) วิชัยและวิโรจนจะพบกันเวลา 11.00 นาฬิกา หางจากเมือง ข 120 กิโลเมตร 4) วิโรจนถึงจุดหมายกอนวิชัย และถึงกอน 1 ช่ัวโมง 5) วิชัยเร่ิมออกเดินทางจากเมือง ก เวลา 7.00 นาฬิกาดวยอัตราเร็ว 40 กิโลเมตรตอช่ัวโมงเปน เวลา 2 ช่ัวโมง แลวหยุดพัก 1 ช่ัวโมง จากนั้นจงึเดินทางตอดวยอัตราเรว็ 40 กิโลเมตรตอ ช่ัวโมงจนถึงเมือง ข เวลา 14.00 นาฬิกา วิโรจนออกเดินทางจากเมือง ข เวลา 9.00 นาฬิกา ดวยอัตราเร็ว 60 กิโลเมตรตอช่ัวโมง เปนเวลา 4 ช่ัวโมงจนถึงเมือง ข เวลา 13.00 นาฬิกา

คําตอบกิจกรรม “บอกไดหรือไม”

1. 1) เปน 2) ไมเปน 3) เปน 4) ไมเปน 5) เปน 2. 1) 5x – 2y – 9 = 0 A = 5, B = -2 และ C = -9 2) -7x + 6.4y + 1 = 0 A = -7, B = 6.4 และ C = 1 3) 2

1 x – y – 34 = 0 A = 2

1 , B = -1 และ C = – 34

4) -3x – 1.5y = 0 A = -3, B = -1.5 และ C = 0 5) 6y – 3.5 = 0 A = 0, B = 6 และ C = -3.5

40

คําตอบแบบฝกหัด 2.2 ก

1. x 0 2 4

y = x – 4 -4 -2 0

y = x – 4

Y

4

2

-6

-8 -6 -4 -2 8 X6 2 40

-2

-4

(2, -2)

(0, -4)

(4, 0)

2. x -3 -2 0

y = -2x – 3 3 1 -3

2x + y = -3 Y

4 2 -4

-4

-2

-2

0

4

2

(0, -3)

(-2, 1)

(-3, 3)

X

41

3. x -4 -1 2

y = 31x −− 1 0 -1

-x – 3y = 1

X

Y

4

-4

-6 6 4 0 2 -2 -4

-2

2

(-1, 0)

(2, -1)

(-4, 1)

4. x -2 0 2

y = 2x -4 0 4

(2, 4) -4x + 2y = 0

4

Y

0 2

4

2

-2 -4

-4

-2

(0, 0)

(-2, -4)

X

42

5. x -5 0 5

y = 55x − -2 -1 0

x – 5y = 5

Y

4

2

-4

-8 8 0 2 4 6 -2 -4 -6

-2 (-5, -2) (0, -1)

(5, 0)

X 6.

x 0 2 4

y = 263x − -3 0 3

(4, 3)

Y

4

0 -2 -4 4 X 2

2

-2

-4

(2, 0)

(0, -3)

2y – 3x + 6 = 0

43

7. x -1 0 1

y = 3x -3 0 3 Y

4 X

y – 3x = 0

0 -2 -4 2

2

4

-2

-4

(0, 0)

(1, 3)

(-1, -3)

8.

x -1 0 2

y = x25

− 25 0 -5

Y 2y + 5x = 0

0 -2 -4 4 X 2

2

4

-2

-4

(-1, 25

)

(2, -5)

(0, 0)

44

คําตอบกิจกรรม “กราฟของ y = – CB , B ≠ 0”

1. ขนานกบัแกน X 2. จุด (0, 3) 3. 3 4. 3 5. 3 6. ขนานกบัแกน X และตัดแกน Y ที่จุด (0, -3) 7. ขนานกบัแกน X และตัดแกน Y ที่จุด (0, 2

5 )

8. แกน X 9. เสนตรง มีสมการเปน y = 4 1

เสนตรง มีสมการเปน y = -2 2

10. เปนเสนตรงขนานกับแกน X หรือเปนแกน X

คําตอบกิจกรรม “กราฟของ x = - CA , A ≠ 0”

1. ขนานกบัแกน Y 2. จุด (4, 0) 3. 4 4. 4 5. 4 6. ขนานกบัแกน Y และตัดแกน X ที่จุด (2, 0) 7. ขนานกบัแกน Y และตัดแกน X ที่จุด (-3, 0) 8. แกน Y 9. เสนตรง มีสมการเปน x = 3 1

เสนตรง มีสมการเปน x = -2 2

10. เปนเสนตรงขนานกับแกน Y หรือเปนแกน Y

45

คําตอบกิจกรรม “ลองเขียนดู”

1. 1)

4 X 0 -2 -4 2

2

4

-2

-4

Y x = 0 x = 1 2

1 x = -2 2)

y = -4

Y

4

2

0 -2 -4 2

-2

-4

y = 0 4

12y =

X

46

2.

0 -2 -4 4 2

2

4

-2

-4

Y

X

x = -5 x = 4 21

-6 6

y = -5

y = 4 21

-6

6 จุดตัดของกราฟคือ จุด (-5, 4 2

1 ), จุด (4 21 , 4 2

1 ), จุด (4 21 , -5) และจุด (-5, -5)

3. เสนตรง มีสมการเปน y = 6 1

เสนตรง มีสมการเปน x = -5 2

เสนตรง มีสมการเปน x = 7 3

คําตอบกิจกรรม “เกี่ยวของกันอยางไร”

1. ขนานกนั 2. ขนานกนั 3. ขนานกนั

คําตอบกิจกรรม “ตัดกันที่จุดใด”

1. จุด (1, 2) 2. จุด (0, 2) 3. ตัดกัน

47

คําตอบแบบฝกหัด 2.2 ข

1. 1) ผานจุดกําเนิด 2) ผานจุดกําเนิด 3) ผานจุดกําเนิด

2x + y = 0 x – y = 0

2. 1)

0 -2 -4 4 2

2

4

-2

-4

Y

X

6

-6

6 -6

y = 4xy = 4x + 5

– 3

2 4 -2 -4 0

y = - 12 x y = -

2

4

-2

-4

Y

23 x

X

48

2)

y = -x + 3

Y

0 -2 -4 4 X 2

2

4

-2

-4

y = 2x + 3 3)

-4 -2

y = -3x + 4 Y

y = 4x

0 2 4

-4

-2

2

4

X

49

4) Y

-4

2x + y + 1 = 0 -x + y – 5 = 0

0 2 4 -2

2

4

-2

-4

X

3. 1)

Y

4

2

0

-4

-2

-4 -2 6 4 2

x – y = 2

y = 4

X จุดตัดของกราฟคือ จุด (6, 4)

50

2)

-4 -2

2x + y = 5 x = 2 Y

0 2 4

2

4

-2

-4

X

จุดตัดของกราฟคือ จุด (2, 1) 3)

2x + y = 1

-4 0 -2 2 4

4

2

-2

-4

2x – y = 3 Y

X จุดตัดของกราฟคือ จุด (1, -1) 4. 1) ขนานกนั 2) ตัดกนั 3) ตัดกนั 4) ขนานกนั

51

5. เสนตรง มีสมการเปน y = 1 27 x + 3

เสนตรง มีสมการเปน y = 2 27 x

เสนตรง มีสมการเปน y = -x – 3 3

คําตอบแบบฝกหัด 2.3

1. 1) 0.6 เซนติเมตร 2) 5 วินาท ี 3) 0.6 เซนติเมตร 4) 1.8 เซนติเมตร 5) ในชวง 0 ถึง 2 วินาที รถยนตเด็กเลนแลนดวยอัตราเร็วท่ีนอยกวาในชวง 2 วินาทีถึง 4 วินาท ี 6) ในชวง 2 วินาทีถึง 4 วินาที รถยนตเด็กเลนเคลื่อนที่ดวยอัตราเร็วท่ีมากกวาในชวง 0 ถึง 2 วินาที ในชวง 4 วินาทีถึง 6 วินาที รถยนตเด็กเลนเคลื่อนที่ดวยอัตราเร็วท่ีมากกวาในชวง 2 วินาที ถึง 4 วินาที 2. 1) ประมาณ 2.2 ตารางเซนติเมตร 2) 4 เซนติเมตร 3) พ้ืนที่ท่ีคํานวณจากสมการกับการประมาณจากกราฟจะเทากันหรือใกลเคียงกนั 4) เมื่อความยาวของดานเพิ่มขึ้น พ้ืนทีก่็จะเพิ่มขึ้น โดยอัตราการเพิม่ของพื้นที่จะมากขึ้นและ มากขึ้นอยางรวดเร็ว 3. 1) 1,800 เมตร ในเวลา 3 วินาท ี 2) 1,600 เมตร 3) 1 วินาท ี และ 5 วินาที 4) เมื่อเร่ิมยงิจรวด จรวดจะขึ้นจากพื้นดินดวยอัตราเร็วสูงมากในชวงเวลาแรก ๆ ตอจากนั้นจะ ชาลงจนถึงจุดสูงสุดที่ความสูง 1,800 เมตร ณ วนิาทีท่ี 3 แลวจะตกลงในชวงเวลาถัดมา ดวยอัตราเร็วท่ีชาและเร็วมากขึ้นจนถึงพื้นดิน ณ วนิาทีท่ี 6

52

4. 1) ประมาณ 380 มิลลิกรัม 2) ประมาณ 2.5 ช่ัวโมง หรือ 2 ช่ัวโมง 30 นาที 3) ประมาณ 90 มิลลิกรัม 4) ประมาณ 300 มิลลิกรัม 5) ประมาณ 12.5 ช่ัวโมง หรือ 12 ช่ัวโมง 30 นาที

6) ในชวง 0 ถึง 2 21 ช่ัวโมง ปริมาณยาในรางกายจะลดลงอยางรวดเร็วจาก 500 มิลลิกรัม

เหลือประมาณ 250 มิลลิกรัม

ในชวง 2 21 ช่ัวโมงถึง 5 ช่ัวโมง ปริมาณยาในรางกายจะลดลงชาลงกวาเดิมจากประมาณ

250 มิลลิกรัม เหลือประมาณ 125 มิลลิกรัม

ในชวง 5 ช่ัวโมงถึง 7 21 ช่ัวโมง ปริมาณยาในรางกายจะลดลงชาลงยิ่งขึ้นจากประมาณ

125 มิลลิกรัม เหลือประมาณ 62.5 มิลลิกรัม

ในชวง 7 21 ช่ัวโมงถึง 10 ช่ัวโมง ปริมาณยาในรางกายจะลดชาลงยิ่งขึ้นยิ่งขึ้นจากประมาณ

62.5 มิลลิกรัม เหลือประมาณ 31 มิลลิกรัม ตอจากนั้นปริมาณยาในรางกาย ก็จะลดชาลง เร่ือย ๆ จนเหลือนอยมาก 5. 1) 30 °C ละลายได 35 กรัม 2) โซเดียมคลอไรด 3) โพแทสเซียมคลอไรด 4) ท่ีอุณหภมิู 0°C ข้ึนไปแตไมถึง 30°C โซเดียมคลอไรดจะมีความสามารถในการละลายได มากกวาโพแทสเซียมคลอไรด ท่ีอุณหภูมิ 30°C โซเดียมคลอไรดและโพแทสเซียมคลอไรด จะมีความสามารถในการละลายเทากัน ท่ีอุณหภูมิสูงกวา 30°C โพแทสเซียมคลอไรดจะม ี ความสามารถในการละลายไดมากกวาโซเดียมคลอไรด 5) โพแทสเซียมคลอไรดมีความสามารถในการละลายไดมากกวาโซเดียมคลอไรด 6. 1) 11 แอมแปร 2) 22 แอมแปร 3) ระบบ 220 โวลต 4) 11 โอหม 5) 22 โอหม

53

6) ระบบ 220 โวลต 7) ถาความตานทานเพิ่มขึน้ ปริมาณกระแสไฟฟาที่ไหลผานจะลดลง 8) ถาปริมาณกระแสไฟฟาที่ไหลผานเพิม่ขึ้น จะตองเปลี่ยนความตานทานใหนอยลง 7. 1) 50 บาท 2) 50 บาท 3) 65 บาท 4) 75 บาท 5) 6 ลูกบาศกเมตรขึ้นไป แตไมถึง 7 ลูกบาศกเมตร 6) ไมใชอัตราเดียวกัน กลาวคือ คาน้ําประปาไมถึง 10 ลูกบาศกเมตรแรกคิดลูกบาศกเมตรละ 5 บาท ตั้งแตลูกบาศกเมตรที่ 10 ข้ึนไปคิดลูกบาศกเมตรละ 7.50 บาท 8. 1) 2,000 ช้ิน และ 20,000 ช้ิน 2) ขาดทุน 3) ไดกําไร 4) ขาดทุน 5) 10,000 ช้ิน 6) ถาผลิตสินคาไมถึง 2,000 ช้ินจะขาดทุน แตเมื่อผลิตสินคา 2,000 ช้ินจะคุมทนุ และเมื่อ ผลิตสินคาเพิ่มขึ้นจะไดกําไรมากขึ้นจนกระทั่งผลิต 10,000 ช้ินจะไดกําไรสูงสุด ถาผลิต สินคาเพิ่มขึ้นมากกวา 10,000 ช้ินขึ้นไปจะไดกําไรลดลงเรื่อย ๆ จนถึง 20,000 ช้ินซึ่งเปน จุดคุมทนุ จากนัน้ถาผลิตเพิ่มขึ้นมากกวา 20,000 ช้ินก็จะขาดทนุมากขึ้นเรื่อย ๆ

คําตอบกิจกรรม “บอลกระทบพื้น”

ในชวง 0 ถึง 5 วินาที ลูกบอลถูกปลอยจากความสูง 2.5 เมตรลงพื้น โดยลูกบอลเคลื่อนที่ดวยอัตราเร็วท่ีคอย ๆ เพิ่มขึ้นจนกระทบพื้น ในชวง 0.5 วนิาทีถึง 1.1 วนิาที ลูกบอลกระดอนขึน้ดวยอัตราเรว็ท่ีนอยกวาอัตราเร็วท่ีตกลงพื้นคร้ังแรก โดยลูกบอลเคลื่อนที่ดวยอัตราเร็วท่ีคอย ๆ ลดลงจนถึงจุดสูงสุดที่ความสูงนอยลงเหลือประมาณ 1.1 เมตร แลวจึงตกลงดวยอัตราเร็วท่ีคอย ๆ เพิ่มขึ้นจนกระทบพืน้ ในชวง 1.1 วนิาทีถึง 1.5 วนิาที และชวงเวลาอื่น ๆ ถัดไป ลูกบอลจะเคลื่อนที่ลักษณะเชนเดยีวกับในชวง 0.5 วินาทีถึง 1.1 วินาที

54

คําตอบกิจกรรม “คูของใคร”

1. รูป ก แสดงการเดินทางของปู เนื่องจาก กราฟแสดงการเดินทางดวยอัตราเร็วคงที่ รูป ข แสดงการเดินทางของกุง เนื่องจาก กราฟแสดงการเดินทางดวยอัตราเร็วท่ีลดลงเรื่อย ๆ รูป ค แสดงการเดินทางของปลา เนื่องจาก กราฟแสดงการเดินทางดวยอัตราเร็วท่ีเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ 2. รูป ค แสดงความสูงของมนุษยเมื่อเทียบกับเวลาเปนปตั้งแตเกิดจนอายุ 25 ปไดดีที่สุด เพราะรปู ก แสดงความสูงที่เพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ เมื่อเทยีบกับอายุ รูป ข แสดงความสูงที่เพิ่มขึ้นจนถึง ชวงอายหุนึ่ง แลวความสูงลดลง แตรูป ค แสดงความสูงที่คอย ๆ เพิ่มขึ้นในชวงอายหุนึ่ง และ เพิ่มขึ้นเร็วข้ึนในชวงอายุถัดไป จากนั้นมีความสูงเทาเดิม จึงนาจะแสดงความสูงของมนุษยตั้งแตเกิด จนอายุ 25 ปเมื่อเทียบกับเวลาเปนปไดดีที่สุด 3. สถานการณในขอ 3 เพราะกราฟแสดงการเคลื่อนที่ของรถดวยอัตราเร็วจาก 0 กิโลเมตรตอช่ัวโมง จนถึง 80 กิโลเมตรตอช่ัวโมงในชวงเวลา 1 ช่ัวโมงแรก แลวแลนดวยอัตราเร็วคงที่ 80 กิโลเมตร ตอช่ัวโมงเปนเวลา 1 ช่ัวโมง หลังจากนั้นจึงลดอัตราเร็วลงเร่ือย ๆ จนเปน 0 กิโลเมตรตอช่ัวโมงใน เวลา 2 ช่ัวโมง

55

กิจกรรมเสนอแนะและคําตอบ

56

กิจกรรมเสนอแนะ 2.3

กิจกรรมนี้ตองการเชื่อมโยงความรูเร่ืองกราฟกับพื้นที่ เพือ่ใชแสดงความสัมพันธระหวางเวลาทีใ่ชในการเดินทางและอัตราเร็ว กับระยะทางที่ได

แนวการจัดกิจกรรม 1. ครูใหนกัเรียนพิจารณากราฟแสดงความสัมพันธระหวางเวลาทีใ่ชในการเดินทางและอัตราเรว็จากรูป ก เปรียบเทียบกับพื้นที่สวนทีแ่รเงาของรูป ข แลวใชคําถามเพื่อใหนกัเรียนมองเห็นความสัมพันธ และคําตอบดังตอไปนี ้

อัตราเร็ว (กิโลเมตร / ช่ัวโมง) อัตราเร็ว (กิโลเมตร / ช่ัวโมง)

A B

2 1 0 C D

0 1 2

B A 50 50

รูป ก รูป ข

เวลา (ช่ัวโมง) เวลา (ช่ัวโมง)

1) กราฟรูป ก AB แสดงการเดินทางดวยอัตราเร็วคงที่ 50 กิโลเมตรตอช่ัวโมง เปนเวลา 2 ช่ัวโมง จะไดวา ระยะทางในการเดินทาง = อัตราเร็ว × เวลา = 50 × 2 = 100 กิโลเมตร 2) กราฟรูป ข แสดงพื้นทีข่องรูปส่ีเหล่ียมมุมฉากที่อยูระหวาง AB กับแกน X ในชวงเวลา 0 ถึง 2 ช่ัวโมง จะไดวา ความกวางของรูปส่ีเหล่ียมมุมฉากแทนดวย DA ซ่ึง DA = 50 กโิลเมตรตอช่ัวโมง ความยาวของรูปส่ีเหล่ียมมุมฉากแทนดวย DC ซ่ึง DC = 2 ช่ัวโมง พ้ืนที่ของ ABCD = กวาง × ยาว = 50 × 2 = 100 กิโลเมตร

57

2. ครูใหนักเรียนชวยกนัสรุปความเกี่ยวของระหวางกราฟรูป ก และกราฟรูป ข และใหไดขอสรุปวา เมื่อมีกราฟแสดงความสัมพันธระหวางเวลาทีใ่ชในการเดินทางกับอัตราเร็ว จะสามารถหา ระยะทางในการเดินทางทั้งหมดได โดยอาศัยการหาพืน้ที่ของรูปปดที่อยูระหวางกราฟกับแกน X 3. ครูยกตัวอยางสถานการณเพิ่มเติมพรอมตัวอยางแนวคิด ดังนี ้ จากรูป กราฟแสดงความสมัพันธระหวางเวลาในการเดินเทา ของศักดิ์กบัอัตราเร็ว จงหา

อัตราเร็ว (เมตรตอนาที)

1) ระยะทางทั้งหมดที่ศักดิเ์ดินเทาในเวลา 60 นาที 2) อัตราเร็วเฉล่ียในการเดนิเทา

40 A B

20 0 C

50 60 D

เวลา (นาที)

1) ระยะทางทั้งหมดที่ศักดิเ์ดินเทา เทากบั พ้ืนที่ของรูปส่ีเหล่ียมคางหมู ABCD เนื่องจากพื้นที่ของรูปส่ีเหล่ียมคางหม ูABCD = 2

1 × (AB + DC) × 40

จะไดระยะทางทั้งหมด = 21 × (30 + 60) × 40

= 1,800 เมตร ดังนั้น ศกัดิ์เดนิไดระยะทางทั้งหมด 1,800 เมตร 2) อัตราเร็วเฉล่ียในการเดนิเทาของศักดิ์ เทากับ 60

800,1 = 30 เมตรตอนาที 4. ใหนกัเรยีนหาระยะทางทั้งหมดและอัตราเร็วเฉลี่ยในการขับรถของนัท จากกราฟขอ 3 ในกิจกรรม “คูของใคร” ในหนังสือเรียน หนา 117 [ระยะทางทั้งหมด 200 กิโลเมตรและอัตราเร็วเฉลี่ยเทากับ 50 กิโลเมตรตอช่ัวโมง] 5. ครูอาจใหโจทยเพิ่มเตมิโดยนักเรียนหาระยะทางทัง้หมดในการเดินทางและอัตราเร็วเฉลี่ยจาก กราฟที่กําหนดให เชน กราฟแสดงความสัมพนัธระหวางเวลาที่ใชในการเดินทางและอัตราเร็วในการขับรถของสินชัย เปนดังนี ้

58

อัตราเร็ว (กิโลเมตร / ช่ัวโมง) 100

2 1 0 3

เวลา (ช่ัวโมง) [ระยะทางทั้งหมด 125 กิโลเมตรและอัตราเร็วเฉลี่ยเทากับ 50 กิโลเมตรตอช่ัวโมง]