En quoi la crise des fondements desmathmatiques est-elle termine ?

Emmanuel BarotDpartement de Philosophie, Universit de Toulouse II - Le Mirail

(France)

Rsum : La crise des fondements des mathmatiques (1902-1931) futlagent de lavnement du paradigme axiomatico-ensembliste dans lequel laplupart des tensions et stratgies fondationnelles continuent dtre formules.Au terme dune synthse de ces interrogations et de leurs traductions tech-niques, qui suit le l conducteur de lopposition constructif / non-constructif,on montre quelques-unes des subversions, encore minoritaires, que subit ceparadigme. On insiste alors sur les voies possibles de son dpassement, enpointant lessouement conceptuel qui transparat derrire le dynamisme delune de ses branches actuelles, la thorie descriptive des ensembles. Lobjectifest ainsi de contribuer lexamen distanci, proprement pistmologique, dela nature des tapes du dveloppement des mathmatiques au 20me sicle.

Abstract: The crisis in the foundations of mathematics (1902-1931) con-tributed to the advent of an axiomatic set-theoretic paradigm in terms of whichthe pressing questions of Foundations of Mathematics are still treated. Fol-lowing the opposition between constructive and non-constructive philosophi-cal and technical approaches, we provide the reader with a synthesis of thesemain questions, and present some minority insights which try to subvert thisparadigm. We claim that the fruitful contemporary descriptive set theory, forexample, actually reveals that this paradigm is getting exhausted conceptu-ally speaking, and must be transcended. We thus hope to contribute towardsa properly epistemological task : examining the nature of the stages of math-ematical developments in 20th century.

Philosophia Scienti, 9 (2), 2005, 2339.

24 Emmanuel Barot

Toute prsomption dexistence engage un acte de foi. Le ralismemathmatique na pas le privilge de la foi, mais celui de sa visibilit

Jules Vuillemin 1

1 Position du problme

On peut faire remonter prcisment la naissance de la crise des fon-dements des mathmatiques la lettre que Russell adresse Frege le16juin 1902, pour lui exposer la dommageable imprdicativit qui grve sondispositif du paradoxe bien connu. Il est plus malais cependant de direquand cette crise sest termine, puisque cela implique linterprtationde ce quest une crise . Le concept mriterait une tude autonome,mais, du fait des contraintes matrielles de ce propos, jen xe ici un senstroit et descriptif : priode de transition, prpare mais ne sous lim-pulsion de facteurs dclenchants prcis, o des contradictions, exacerbesjusquau paroxysme, acclrent de faon dcisive ltat dun ou plusieursproblmes, pour laisser des traces durables (habitudes de penses et decomportements). De ce point de vue le problme des fondements tel quil est diversement trait aujourdhui tmoigne de telles traces cri-tiques, sans pour autant tre encore le centre dune crise.

Le prsent travail, qui questionne la faon dont les traces de cette criseaectent encore aujourdhui de faon massive les questionnements fonda-tionnels des mathmatiques contemporaines, constitue la seconde partiedune tude qui senracine dans une lecture des tendances localement r-volutionnaires (gomtrie, analyse relle, analyse complexe, algbre) desmathmatiques du 19me sicle, tude en laquelle je dfends la thse[Barot 2004] selon laquelle la crise des fondements est une crise rvo-lutionnaire (en un sens kuhnien explicitement revisit [Mouloud 1989]),dans la mesure o les redploiements conceptuels et mthodologiquesquelle a induits ont abouti lavnement dun authentique paradigme,le paradigme axiomatico-ensembliste dont lemblme furent les Elmentsde mathmatique de Bourbaki.

Dans des termes et perspectives analogues voire parfois identiques celles de la belle poque, lobjet de la crise, dj sculaire, reste fonda-mentalement le mme : nature des objets et procds logico-mathmati-ques, prsupposs onto-philosophiques des thses transcendantes dexistence, mode de contrle de ce que celles-ci instituent, consistanceet compltude des systmes formels. La particularit de cette crise tient

1. Formalisme et rexion philosophique , Bulletin de la Socit Franaise dePhilosophie, 25 mars 2000, 7, page 2.

En quoi la crise des fondements des mathmatiques. . . 25

au caractre non-nitaire associ structurellement cet objet pluriel,comme on va le voir ici. La varit contemporaine accrue des platonismes,constructivismes, et nominalismes qui sapproprient cet objet, tmoignedapprofondissements lis en partie aux enjeux et attendus fondationnelsdes nombreux rsultats techniques rcents [Buss & Alii 2001], et du ca-ractre en partie obsolte des vises techniques de consistance absolue.Mais elle montre aussi un renouveau certain : le rejet symptomatiquedes idologies du mathmatique (ainsi formalisme et intuitionnismedans leurs versions et oppositions scolaires), dpassement typique de lasortie de leervescence et de la radicalit, de lintolrance mme, propresaux crises.

Pourtant cette varit conceptuelle reconduit des controverses fon-datrices, ainsi celle entre thses actualistes et purement nominalistesde linni non dnombrable, dans lactuelle thorie descriptive des en-sembles 1, branche dynamique de la thorie moderne des ensembles quivise dterminer le continu en se plaant dans la topologie relle desespaces polonais (ou encore dans NN). Sont tudis et classs, en elle, lesensembles de rels sous formes de hirarchies extensibles, les borlienne etprojective. ZF ou ZFC constituent un socle axiomatique susant pourlanalyse mathmatique courante. Mais dcider lhypothse du continuou dterminer certaines proprits naturelles densembles complexes (ap-partenant des tages de plus en plus levs de ces hirarchies) excdeleurs ressources dmonstratives, ce qui semble exiger une ncessaire prisede position entre la stratgie minimaliste choisissant un univers ensem-bliste pauvre mais contrl, lunivers constructible, et la stratgie maxi-maliste des grands cardinaux.

Je rappelle dabord quelques caractres du dbat dans les termesde cette crise, puis tche de montrer, sur lexemple principal de cettebranche thorique contemporaine comment ces caractres se sont trans-mis, et comment ils trouvent, malgr une continuit conceptuelle et pro-blmatique, de nets inchissements. De faon ncessairement trs gn-rale on dessinera quelques perspectives, en suggrant nalement quunprogramme constructiviste ouvert comme celui de S. Feferman aujour-dhui, va jusqu ouvrir un vritable dpassement dialectique des pro-blmes qui ont structur cette crise et ses tendances hritires, cest--dire ouvre la sortie du paradigme que la crise a instaur.

1. La thorie des ensembles moderne est active principalement dans deux direc-tions : la thorie descriptive ([Kechris 1999] et pour un expos global [Kuratowski& Mostowski 1976, ch. X-XIV 375475]) et la thorie combinatoire qui tudie lesproprits des ensembles du point de vue de leur cardinalit. Sur les distinctionshistoriographiques utiles entre thorie des ensembles, langage ensembliste et ensem-blisme fondationnel, voir [Ferreiros 1999].

26 Emmanuel Barot

2 Lexigence constructive dans la crise desfondements

Lexigence constructive extrmement prsente aujourdhui 2, est po-lymorphe parce quelle hrite dune longue tradition galement diver-sie. De la construction la rgle et au compas chez Euclide laconstructibilit point par point des courbes gomtriques sur la basedu rfrent analytique chez Descartes, puis lide kantienne que lamathmatique est connaissance par construction de concepts dans lin-tuition pure via le schmatisme transcendantal, lexigence reste celle deleectivit, quoiquelle enveloppe ncessairement, puisque la gomtriemobilise le continu, une dimension non constructive. La perspective pro-prement constructiviste sest dveloppe ensuite sous limpulsion de lin-tuitionnisme, de lcole franaise du dbut du 20me sicle (Baire, Borel,Lebesgue, et un peu part, Poincar), et surtout de Brouwer. Celui-ci,prenant acte du rle central de la conception actualiste de linni danslexistence des paradoxes de la thorie nave des ensembles, a associ son entreprise critique de la logique et de lanalyse classiques [Largeault1992] llaboration dun dispositif thorique concurrent.

Le -calcul, la thorie des fonctions rcursives, et celle des machinesde Tring ont constitu diverses formulations quivalentes de cette exi-gence de procds eectifs de dmonstration. Mais le nitisme de Hilbertest aussi une forme de constructivisme : si la sauvegard du paradis deCantor passait par pour lui par ladjonction dlments idaux, ceux-ci ne sont pas selon lui de mme nature que les objets institus en unnombre ni dtapes ou les dmonstrations menes eectivement (sp-cialement dans la vise mtamathmatique des dmonstrations nitistesde consistance). Une dmonstration authentique au sens constructif re-pose sur une activit concrte contrle et eectue en un temps ni oucontrlant linni par des lois formelles : ce dont le raisonnement parrcurrence est le paradigme pour Poincar.

Cette varit des constructivismes, accrue aujourdhui, montre quela rexion traditionnelle sur la nature des objets et des axiomes ma-thmatiques, ne peut se permettre labsence de nuances : lopposition

2. La version eective-rcursive de la thorie descriptive des ensembles [Salans-kis 1995, 198200], la fondation constructiviste de lAnalyse non-standard [Salanskis1999], la thorie initiale des catgories, le systme des quanticateurs constructibles[Chihara 1990], le programme des Reverse Mathematics de Friedman, la rcritureprdicative de larithmtique et de lanalyse [Feferman 1998], la logique IF du premierordre labore comme framework anti-ensembliste au titre dun constructivism re-constructed [Hintikka 1996], par exemple, illustrent trs diversement cette exigence.

En quoi la crise des fondements des mathmatiques. . . 27

constructif/actualiste nest pas statique ni mme toujours bien dlimi-te. Weyl, Heyting se sont eorcs de nuancer les thses de Brouwer, trsrestrictives ; Gentzen a propos une interprtation constructive de lin-duction transnie quil mobilise dans sa dmonstration de consistancede larithmtique lmentaire ; Gdel a dvelopp et pratiqu les deuxperspectives, pour dfendre partir de 1947 un certain platonisme quelon dira intuitiviste plus quintuitionniste, alors quil considraitantrieurement ntre pas en opposition au programme hilbertien (bienque le thorme dincompltude de 1931 ait pu suggrer le contraire),etc.

Il reste que dun point de vue constructif au sens le plus consen-suel le passage de la non-contradiction lexistence, i.e., en proprele thorme dexistence, ne doit en aucune faon tre une pure thsedexistence. De telles thses dexistence, au contraire prennent un visagemtaphysico-religieux : que sont donc ces ensembles, sinon des entitssuspectes , sans aucun rfrent dans la pratique calculatoire eectuable,et demeurant en un monde ternel part en lequel il faudrait croire dfaut de le dcouvrir ? Il faut refuser, i.e., raser ces entits sus-pectes : do la forme nominaliste-ockhamienne que prend souvent leconstructivisme.

3 Proprits des sous-ensembles de R etThorie Descriptive des Ensembles

Si cette crise des fondements est du pass, les problmes, gros den-jeux, quelle a soulevs sont loin dtre aujourdhui dpasss. On sinter-roge toujours sur les moyens de sassurer de certaines proprits natu-relles densembles jugs riches et intressants, sur comment progresserdans la dtermination de linni. En particulier se poursuit la recherchede voies pleines davenir pour la dtermination du continu et desinnis que celui-ci rvle, et techniquement des outils mathmatiquesquil faut assumer pour dcider HC. On travaille gnralement avec lahirarchie borlienne institue partir des ouverts de R et la hirarchieprojective institue partir des borliens, et des extensions de celles-ci, dans le cadre de la thorie descriptive des ensembles [Jensen 1995].Laxiomatique ensembliste classique est moins riche en ce sens quelle nefait absolument pas intervenir a priori de considrations topologiques :mais elle reste le socle de la thorie descriptive. Celle-ci se place dem-ble dans le corps des rels (ou dans lespace de Baire NN), et travaillegnralement sur les espaces polonais, espaces vectoriels norms, mtri-

28 Emmanuel Barot

sables, complets pour la mtrique qui leur est attribue, et sparables,autrement dit des espaces possdant des proprits topologiques biendtermines. 3 Le thorme de Souslin [Petitot 1995, 164] tablit que latribu des borliens est gale la classe des projectifs 11 : cela permetde travailler sur cette classe en en ramenant la construction aux op-rations ensemblistes (plus simples que la projection 4) de la hirarchiedes borliens, et dtablir un lien profond et simplicateur entre les deuxhirarchies. 5 Les projectifs hritent, par ce thorme de proprits de r-gularit possdes par les borliens : par exemple, les analytiques

11 ont

la proprit de lensemble parfait, la proprit de Baire, sont lebesgue-mesurables (puisque tout borlien lest). Mais si le cadre de ZFC sutici, ce nest pas toujours le cas.

4 Insusance de ZF et ZFC :autour du continu

Dans laxiomatique ensembliste classique les ressources dmonstra-tives sont insusantes pour dmontrer certaines proprits qualiablesde naturelles densembles appartenant ces hirarchies. Par exemple,on ne peut pas montrer, dans le cadre de ZF , que les noncs 11 et

12

ont la proprit de lensemble parfait, et dans ZFC, que les 12 ont laproprit de Baire ou sont lebesgue-mesurables. On a galement des r-sultats dindmontrabilit dans ZFC [Maddy 1990, 133], par exemplepour lexistence dun

11 non dnombrable sans sous-ensemble parfait.

A partir de ce fait l, on peut se donner deux cadres (ou types decadres) axiomatiques, incarnant deux stratgies opposes : soit on tendZF/ZFC au minimum en respectant des contraintes de constructivit,donc en limitant linstitution arbitaire densembles trs grands, soit onltend trs largement en se donnant un univers ensembliste trs richemais suspect car excdant ces contraintes. Prsentons rapidementces deux perspectives qui visent galement dterminer un maximum deces questions ouvertes :

3. Pour toutes les notions techniques voques, voir les exposs pistmologique-ment contextualiss [Jensen 1995], [Maddy 1990, 1106 et 1309], [Maddy 1997, ch.5 et 6], [Salanskis 1995, 16278] et au glossaire terminal de [Salanskis 1999].

4. [Petitot 1995, 163], [Maddy 1990, 113 note 23] o est utilise limage suivante(en considrant un ensemble de points du plan, et non de la ligne) : la projectiondun borlien dans le plan est so to speak , son ombre (shadow) sur laxe desabscisses.

5. La thorie de la rcursion rejoint la thorie (descriptive) des ensembles via cettethorie des hirarchies.

En quoi la crise des fondements des mathmatiques. . . 29

4.1 La stratgie minimaliste

On restreint V (lunivers institu par la structure cumulative desrangs jusqu un ordinal limite donn) lunivers constructible L de G-del dont on classe les modles : cest laxiome de constructibilit. Moyen-nant le thorme de Lwenheim-Skolem (au premier ordre), lHGC estvraie dans ZFC+V = L. Cette perspective permet de dcider lexistencedun

11 non dnombrable sans sous-ensemble parfait dans V , ou encore

lexistence dun 12 non lebesgue-mesurable. Cet axiome permet de bienordonner lunivers V et rpond des questions importantes issues delanalyse.

Notons que constructible ici dsigne la dnissabilit inductiveen termes dordinaux [Jensen 1995, 395], et ne fait rfrence que de faonindirecte et ambigu la constructivit intuitionniste, dans la mesure ocette dnissabilit nest pas explicite clairement par Gdel, et o lanotion de vrit ne trouve pas de formalisation, dans ZF en particulier :ce qui montre la prsence implicite et problmatique dune dnitionensembliste du concept. De plus avec cette perspective certains rsul-tats apparaissent contre-intuitifs [Petitot 1995, 169], puisque laxiomede choix AC y reste vrai, alors quelle implique de se limiter des en-sembles assez simples (ceux de la hirarchie projective), contrairementaux ensembles trs complexes dont AC implique lexistence.

4.2 La stratgie maximaliste LCA ( Large CardinalsAxioms )

On institue des proprits de rgularit : pour cela, on doit se donnerdes axiomes si possible aussi naturels que les proprits qui rendentpossible cette rgularit. Le thorme de Solovay (1969), par exemple,suppose laxiome Il existe un cardinal mesurable (CM) : il tablitque ZFC + CM tout 12 est rgulier (a la proprit de Baire, estmesurable, a la proprit de lensemble parfait). Or le thorme de Scott(1961) tablit que CM est fausse si lon se place dans V = L. On voitconcrtement ici que les deux perspectives sont bel et bien concurrentes.Pour progresser dans la dtermination des classes plus complexes de lahirarchie projective, des axiomes encore plus forts sont ncessaires :la rexion de certaines relations dans certains grands cardinaux, quipermet dvaluer la grandeur totale de ceux-ci partir de certains deleurs sous-ensembles, repose sur lexistence de plongements intrieurs de cardinaux dans un modle de ZFC, qui sont dits alors superforts.Le superfort (qui fait que dans le modle considr vaut laxiome de

30 Emmanuel Barot

dtermination projective 6 PD) qui est plus petit que le supercompactest plus grand que le de Woodin qui est plus grand que le mesurable quiest plus grand que le (fortement ou non) inaccessible qui est plus grandque tout constructible. . . (et il y en a dautres). Les preuves reposantsur lexistence des cardinaux jalonnant cette irreprsentable montevers linni sont bien juste titre qualies de transcendantes ou transconstructives .

Il nest pas utile dnumrer plus avant ces axiomes et rsultats,dautres lont dj fait ecacement : je veux interroger ici la problma-tique porte onto-pistmologique de telles stipulations axiomatiques,puisque tel est le visage actuel du discours fondationnel. Il convientdabord de rappeler les quatre conceptions principales de ce quest unaxiome. Outre lide dun nonc vident par soi, et celle, loppos,dnonc ou de convention purement arbitraire, dornavant non recon-nues srieusement, on peut distinguer les axiomes locaux , structu-rels , des fondationnels , dans les termes de S. Feferman [Feferman &Alii 2000, 403]. Les premiers sont en fait de simples lments dnition-nels : par exemple, en algbre linaire, possder une loi de compositioninterne, un lment neutre, et avoir chacun de ses lments inversible,sont trois proprits assurant un ensemble une structure de groupe. Onnomme parfois ces proprits axiomes du groupe : ce type daxiomesnintresse pas ici. Ce sont les seconds qui donnent penser.

Laxiome de constructibilit, AC, les LCA, et mme, rebours, ceuxde ZF , sont de cette nature : ils ont un statut hybride dans la mesureo leur position relve fondamentalement darguments philosophiquesou pistmologiques, ou de perspectives impliquant de tels arguments,tout en tant devenus, dans la discipline des fondements des objetsdont on a retir la garde au philosophe. La mathmatique veux sauto-fonder (selon lesprit hilbertien qui animait les vises de dmonstrationde consistance absolue et linstitution de la mtamathmatique), maiscomme la plupart des mathmaticiens professionnels pratiquent leur dis-cipline sans soccuper de cette exigence, cest en tant que philosophe quelon cherche la fonder ainsi - do limpossibilit de jure de laisser la puissance cratrice de la pratique pour la rexion fondationnelleet rciproquement [Weyl 1953, 267].

6. PD est une formulation quivalente la rgularit en termes de stratgiesgagnantes pour des jeux innis sur une classe densembles.

En quoi la crise des fondements des mathmatiques. . . 31

5 La stratgie LCA, Janus philosophique

Les LCA sont gros denjeux philosophiques au premier abord. Leursformules commencent invariablement par Il existe. . . ou des non-cs comparables. Ce sont des thses dexistence, et non, videmment desthormes dexistence. Les dfenseurs des axiomes forts se heurtentaux objections qui taient dj celles de Brouwer. Quelle contrle, quelsavoir avons-nous de telles monstruosits ensemblistes ? Que savons-nous de leurs pathologies ventuelles ? Il existe de ce fait deux orienta-tions de recherche : lune majoritaire, lautre minoritaire. La premireseorce de rpondre positivement ou ngativement, la question Doesmathematics need new axioms ? [Feferman & Alii 2000] en partantde lide que le vrai problme, cest pourquoi tel axiome plutt quetel autre ? Aucun de ces axiomes, celui de constructibilit ou les LCAna dvidence par soi : pour quelle raison sinon y aurait-il besoin denjustier lacceptation ou le rejet ? Leur hypothtique lgitimit provientncessairement dune rfrence un critre de slection : le problmeest donc de savoir quels sont les critres quil convient de retenir. Au-trement dit, le problme de la lgitimit sest dplac : des axiomes auxcritres de choix des axiomes (puisqu il est convenu quapprofon-dir la dtermination de linni et du continu passe ncessairement parde nouveaux axiomes). Ce dplacement de fait montre quil sagit lnon dun problme intra-mathmatique ou purement pragmatique,dans la mesure o les mathmaticiens de mtier, dans leur pratique, ne perdent pas de temps sur ces questions. De ce fait, we are left toregard the question : Does Mathematics need new axioms ?, as a philo-sophical one daprs S. Feferman [Feferman 1998, 407], qui proposela seconde orientation, trs minoritaire ( 6), selon laquelle le problmevritable ne se pose pas dans ces termes.

La stratgie LCA est rapidement incompatible avec la premire (lexis-tence dun cardinal mesurable falsie V = L). Elle permet de dterminerles proprits trs partiellement voques ci-dessus pour un nombre sup-rieur densembles intressants , mais au point davoir un double visageparadoxal cause du non-contrle associ la stipulation axiomatiquepure. Cette fuite en avant [Sureson 1999] dans les vertiges de lin-ni retrouve en eet laspect quasi-ludique et syntaxique du formalismeintress par les extensions et gnralisations consistantes (une quasi-linarit est lisible dans la succession des classes densembles institus)indpendamment dun univers reprsenter en tant que tel, puisque lancessit conceptuelle sest nalement vanouie. Mais elle nie en mmetemps cet arbitraire relatif, (tout en mettant la consistance presque en

32 Emmanuel Barot

pril [Sureson 1999, 131]) via larmation dune certaine intuitivit onto-logique de ces ensembles en tant quobjectivement pensables et peuplantun univers bien structur. On retrouve ce balancement entre abilitdductive et vrit (ou vraisemblance smantique) qui animait les pro-grammes concurrents du dbut du 20me sicle, ds lors que lon tu-die les deux types de motifs non-techniques militant pour ou contre cesaxiomes fondationnels : les intrinsques (caractre intuitif/naturelvoire vident de laxiome), et les extrinsques (ecacit dmonstra-tive, dtermination accrue danits entre branches des mathmatiques,etc.), plus nombreux que les premiers mais moins puissants philosophi-quement.

Daprs P. Maddy, poursuivant conjointement lesprit platonicien g-delien et lesprit naturaliste quinien, [Feferman & Alii 2000] [Maddy1997], llmentarit intuitive de lensemble (origine dans son encodagecrbral sous la forme de dtecteurs numriques activs partir dela perception 7 [Maddy 1990, II-2 et 3]), se transmet aux axiomes lesplus simples, mais les LCA, contre V = L [Maddy 1993] sont logico-mathmatiquement motivs pour asseoir les rsultats intressants queZFC ne permet dobtenir, i.e., extrinsquement motivs. Le critre uti-litaire prdomine chez elle, et cest pour cela quelle accuse S. Fefermande limiter indment la puissance du mathmatique, alors que suivant cedernier, le critre utilitaire est secondaire dans la mesure o ce sur quoiil porte nest pas un objet mathmatique dni.

6 Rduction preuve-thorique de la stra-tosphre mathmatique au constructif

Il me semble en eet que P. Maddy se trompe sur la vise et lathse relles de S. Feferman (cest visible dans la controverse [Feferman& Alii 2000]), puisquil considre que les deux stratgies, maximalistecomme minimaliste, posent philosophiquement problme. Elles reclenttoutes deux du non-constructif, la premire explicitement, la secondeimplicitement (ainsi la dnition ensembliste de la vrit dans luniversconstructible, et le fait que ZFC + V = L prtende reprsenter ad-quatement, malgr tout, un univers ensembliste objectif), et vhiculentdonc, quoiquingalement bien sr, un platonisme discutable pour deuxraisons distinctes.

7. Thse problmatique examine en [Salanskis 1995, 188190 et 207] auquel nousrenvoyons ici.

En quoi la crise des fondements des mathmatiques. . . 33

) P. Maddy postule un accord inexistant : pour S. Feferman, lecontinu, de mme que lopration passage lensemble des parties dunensembles, ne sont pas de vrais objets mathmatiques : le continu est unnon-objet, un inherently vague statement [Feferman & Alii 2000,405]. De ce fait, le problme ne se pose pas pour lui dassurer certainsrsultats techniques, puisquon ne sait pas sur quoi ils pourraient prci-sment porter.

) De ce fait, Cantor is not necessary [Feferman 1998, ch. 1et 14] parce que cette ncessit de linni actuel nest pas tablie pourFeferman, indpendamment mme du platonisme et des paradoxes quele transni peut vhiculer.

Do son programme, no-weylien 8 (prdicativiste et dnitionniste)de fondations dnombrables des mathmatiques appliques oprant parrductions preuve-thorique de linni non dnombrable (tout lment deR est formulable dans les relations analytiques

1 de larithmtique PA

du second ordre via des coupures de Dedekind ou des limites de suites derationnels) linni dnombrable (dans les relations arithmtiques

0,

formules de PA du premier ordre 9) dabord, et de rduction de linnidnombrable la PRA ensuite ( Primitive Recursive Arithmetic ),nitiste en ce quelle est intgralement institue prdicativement partirde N. Feferman maintient cependant louverture de son programme en lequaliant de semi-constructif 10 puisquil insiste sur lvidence intuitiveassoci au caractre ni des entiers naturels quil se donne .

Mon interprtation de lorientation philosophique qui anime ce pro-gramme de rcriture prdicative de larithmtique et de lanalyse, peutse rsumer comme suit : si HC et les proprits ensemblistes natu-relles que la thorie descriptive des ensembles, notamment, cherche

8. Procder ainsi tient dun programme de Hilbert relativis : HP pourla voie de rduction de linni au ni, relativised en ce que le constructif nestpas assimil au nitiste, trop restrictif [Feferman 1998, 190].

9. Le lien entre classes densembles arithmtiques/analytiques et classes de rela-tions de mmes noms est ici bien visible.10. Une dnition est prdicative, et doit ltre ds quon excde N, si elle se rfre

des totalits dj tablies, antrieurement lobjet dni, ces totalits devant treinstitues constructivement partir des entiers. La dnissabilit dun objet tient ce que lon peut le dnir formellement dans les termes de ceux dune ensembledj donn (du 1er ordre). Concrtement Feferman labore une thorie ractualisantlaxiomatique weylienne : la thorie W de types exibles nis, extension conservativede PA susante pour les mathmatiques appliques, dont le cadre est lArithmetic -CA Schme (

0 CA) (CA pour axiome de comprhension), systme dinduction

restreinte o0 est la classe des formules arithmtiques dans lesquelles la quanti-

cation porte sur des fonctions rcursives primitives. Voir [Salanskis 1995, 198-200]et avant tout limportante synthse [Feferman 1998, ch. 10, 187-208] What Rests onWhat ? The Proof-Theoretic Analysis of Mathematics.

34 Emmanuel Barot

dterminer, sont d inherently vague statements , sont ou portent surdes non-objets, il est pensable de passer outre la forme sculaire main-tenant ritualise de la dispute fondationnelle (cest notamment lesprit de[Hintikka 1996, 211]). Lide me semble alors pertinente, dune concep-tualisation dialectique de cette ouverture constructiviste : le dpassementdes stratgies contraires sopre partir du caractre philosophiquementindtermin de leur objet, dans le but de rinscrire le questionnementsur ce qui fait problme, la praxis mathmatique in progress telle quellese pratique et se dveloppe dans le maintien de ses tentions constitutivesdune part. Elle rcuse dautre part les deux oppositions suivantes :

) celle entre constructif et non-constructif dans sa forme idologique,puisque la puissance de celui-ci est rcuprable dans et avec lescontraintes eectives de celui-l, sans impliquer dacte de foi en ce quiest institu comme existant ;

) corrlativement celle entre platonisme et nominalisme. Lobjec-tivit de lobjet mathmatique est dterminable dans sa diversit parlassociation en un sens non-ontologique dun ralisme et dun nomina-lisme dialectiques : lobjet institu est formellement et conceptuellementpens et matris et devient ds lors indpendant de sa gense (versantraliste), mais selon des procds qui, tant quils nont pas institu lobjet,doivent empcher de statuer sur quoi que ce soit de celui-ci, et obligerde le pr-juger comme un projet-dobjet purement nominal.

Cette rcurrence du comprhensif dans lextensif doit montrer le ca-ractre non ontologique mais symbolique du problme, avec lide essen-tielle que le smantique du logico-mathmatique doit senraciner danslopratoire des procds constructifs, lequel pour autant prsuppose cesmantique comme horizon justicateur, comme le ce-en-vu-de-quoi il sedploie intentionnellement. Cette circularit interprte de faon dialec-tique contient ainsi une proximit direntielle avec la conceptualisa-tion hermneutique de [Salanskis 1995, 1999]. Il conviendrait dans cettevoie de sintresser alors avant tout aux modes dobjectivation de la pen-se mathmatique comme praxis, comme pratique thorique, et de penserlobjectivit construite essentiellement en des termes ds-ontologisants :ceux dune thse ramenant cette objectivit une forme mdiate dematrialit, cette matrialit tant celle, encadre aux extrmes par descontraintes cognitives dune part, sociales dautre part, des squencescodies dcriture et des implmentations informatiques.

En quoi la crise des fondements des mathmatiques. . . 35

7 Perspectives internes au conitstratgique

Les problmes conceptuels de la crise du dbut du XX sicle, loindtres rgls, au contraire trouvent encore de nouveaux lieux et modesdexpression, tout en ramenant encore la rexion sur la nature et lesmodes dinstitution ou d accs aux entits logico-mathmatiques,et donc perptuent le problme du platonisme mathmatique.

Lalternative entre les deux stratgies domine les dbats aujourdhui,et nen pas douter, les avances et attendus de la thorie descriptivedes ensembles vont continuer les nourrir de faon trs dynamique [Buss& Alii 2001, 5 189193]. Ltat global du problme fondationnel est lesuivant : les LCA, instituant les ressources juges indispensables queZF ou ZFC ne peuvent orir, sont lgitimement exigibles daprs lescritres que P. Maddy rappelle dans leur globalit. Mais alors il sembleinvitable daccepter un ontologie ensembliste que les courants nomina-listes et constructivistes ne souhaitent pas accepter. Mais mme dansla perspective minimaliste, il y a un excs lgard du constructif quimontre quil ny a pas exclusion mutuelle des procds, que ce nest pasforcment le rejet ou lacceptation des mthodes transcendantes appa-remment ontologiquement coteuses qui pose problme, mais plutt la fa-on dont celles-ci et les mthodes constructives peuvent sentre-exprimerdune part, et dautre part, linterprtation de cette entrexpression.

On peut parler juste titre de quasi-ontologie [Petitot 1995, 178]an de montrer que le problme nest pas la nature en soi des ensemblesmais celui de leur objectivit formelle et symbolique : par l le cadre de lastratgie maximaliste est inchi par une ddramatisation salutairede lenjeu de ltre mathmatique. De la mme faon, dans lautre stra-tgie, on peut proposer une thse minimaliste sous la forme dun plato-nisme ockhamien (celui de Jensen [Jensen 1995, 400]) reconnaissant ltredu construit et lidalit, voire la stricte nominalit du non-construit,une thse articulant (de faon dialectique au sens ci-dessus) ralismede laccessible et nominalisme du transcendant. Tout ceci ne semble pasdonner la possibilit de trancher le problme, car on arrive justierles deux approches : cela continue de maintenir lanalyse fondationnelle lintrieur de son exposition sculaire. Dit autrement, lensemble desanalyses philo-pistmologiques portant depuis un sicle sur les fonde-ments des mathmatiques, est devenu aujourdhui un carrefour discipli-naire disciplin o sont systmatiquement convoques pistmologiephilosophique gnrale et rgionale du logico-mathmatique et tho-

36 Emmanuel Barot

risations scientiques. Si dans ses modalits et lieux dexpression propresaujourdhui sexprime la persistance de lobjet de cette crise inauguraledes fondements des mathmatiques, linstitutionnalisation, la ritualisa-tion, de son traitement montrent au contraire que la crise est commetelle termine, et dautre part, un essouement fondationnel rvlateurdun besoin de renouvellement conceptuel.

8 De lessouement du discoursfondationnel la sortie du paradigmeaxiomatico-ensembliste

La littrature contemporaine regorge dexposs factuels, historiqueset techniques, sur la crise des fondements et sur les enjeux pistmolo-giques soulevs : si on les relit en considrant que tout ce questionne-ment fondationnel actuel poursuit tout en le subvertissant ponctuelle-ment le paradigme axiomatico-ensembliste dont la crise des fondementsa t lagent de ralisation [Barot 2004], il me semble quon peut radi-caliser ces subversions, et sortir de ce cadre hrit de la crise du 20mesicle.

Lorientation de Feferman ouvre une Aufhebung des stratgies maxi-maliste et minimaliste concernant les LCA, une dialectique des orienta-tions pistmologiques. Cette ouverture se fonde sur lide que ces stra-tgies prsupposent un objet bien cern, quoique problmatique, alorsquil est lgitime de remettre en cause cette ide. Au vu de surcrotdes interfrences entre voies constructives et non-constructives, au ni-veau mthodologique comme au niveau des principes, et du caractreparfois approximatif de ce qui les spare, il serait judicieux dorienter larecherche sur linterprtation, plus que la lgitimit, de ces preuves trans-cendantes et de cette exigence constructiviste, du point de vue du poten-tiel dunication conceptuelle et mthodologique que ces interfrences.Outre le fait que la crise des fondements est bel et bien termine, on per-oit ici une invitation modier la faon mme de poursuivre son objet :si sassurer constructivement des mathmatiques appliques est lgitime,il conviendrait alors de problmatiser conceptuellement plus avant cetteouverture, pour voir peut-tre que certains des problmes fondationnelsnen sont plus vritablement. Outre bien distinguer la constructivit desmthodes utilises de celle des objets sur lesquelles elles portent, an desrier les lieux pertinents du problme du constructif , sortir dni-tivement de la formulation ontologique du problme de lidalit logico-

En quoi la crise des fondements des mathmatiques. . . 37

mathmatique me semble des plus urgents - les deux aspects tant biensr intimement lis, puisque cest cette ontologisation indue du problmequi suscite lessentiel de la dramatisation de la question du constructifet du non-constructif.

Un tel programme de refondation ne saurait tre anim par une stratgie de fondement , mais devrait ltre par une stratgie den-gagement (au sens de F. Gonseth) ouverte aux tensions et rorganisa-tions rcurrentes du logico-mathmatique tel quil se dploie. Plutt quede ftichiser lidalit, de la ger en objet, on sattacherait alors avanttout aux modes matriels dabstraction et dobjectivation propres saconstruction ritre comme concret-de-pense 11. On se dtacheraitainsi de toute prtention la fondation ultime, que ce soit dans une im-manence intuitive ncessairement restrictive ou dans une transcendanceensembliste ncessairement suspecte.

Rfrences

Barot, Emmanuel

2004 La crise des fondements des mathmatiques fut-elle rvolu-tionnaire ? Sur lavnement du paradigme axiomatico-ensembliste,Actes des journes dtude Lide de rvolution au XXI sicle ,octobre 2003, Paris I - Sorbonne (s. d. O. Bloch et Socit Chau-vinoise de Philosophie), paratre.

Buss, S.R., Kechris, A. S., Pillay, A. & Shore, R. A.2001 The Prospects for Mathematical Logic in the twenty-rst Cen-

tury, Bulletin of Symbolic Logic, 7 (2), 169195.

Chihara, C. S.1990 Constructibility and Mathematical Existence, Oxford: Oxford

University Press - Clarendon Press, 2001.

Feferman, S.1998 In the Light of Logic, New York - Oxford : Oxford University

press, 1998.

11. De mme quaux pistes suggres en n de section (7) ci-dessus, cest ce pro-gramme que je consacre mon ouvrage Laventure mathmatique de la dialectique, Pa-ris : Syllepse (collection Mille marxismes ), paratre en 2007. Ce livre constituerala poursuite des conclusions de ma thse Laventure mathmatique de la dialectiquedepuis Hegel. Perspectives sur les visages contemporains du problme de la dialec-tique en pistmologie des mathmatiques et de leur histoire, soutenue lUniversitParis X - Nanterre le 6 novembre 2004.

38 Emmanuel Barot

Feferman, S., Friedman, H. M., Maddy, P. & Steel, J. R.

2000 Does Mathematics need New Axioms?, Bulletin of SymbolicLogic, 6 (4), 40146.

Ferreiros, Jos

1999 Labyrinth of Thought. A History of Set Theory and its Role inModern Mathematics, Birkhuser, Basel: Science Networks, His-torical Studies.

Hintikka, J.1996 The Principles of Mathematics revisited, New York: Cambridge

University Press, d. Paperback, 1999.

Jensen, R.1995 Inner Models and Large Cardinals, Bulletin of Symbolic Logic,

1 (4), 393407.

Kechris, A. S.1999 New Directions in Descriptive Set Theory, Bulletin of Symbolic

Logic, 5 (2), 16174.

Kuratowski, K. & Mostowski, A.1976 Set Theory (with an Introduction to Descriptive Set Theory),

Studies in Logic and The Foundations of Mathematics, (86), Amster-dam-Ney, York-Oxford: North-Holland Publishing Company, 1red., 1968.

Largeault, J. (d.)1992 Intuitionnisme et thorie de la dmonstration, Paris : Vrin,

1992.

Maddy P.1990 Realism in Mathematics, Oxford: Oxford University Press /

Clarendon Press, 1990.1993 Does V equal L ?, Journal of Symbolic Logic, (58), repris in

Tymoczko Thomas (d.) New Directions in Philosophy of Math-ematic, Princeton New Jersey: Princenton University Press, d.revue et augmente 1998, 35784.

1997 Naturalism in Mathematics, Oxford: Oxford University Press/ Clarendon Press, 1997.

Mouloud, Nol1989 Les assises logiques et pistmologiques du progrs scientique

(posthume), Paris : Presses du Septentrion, 1989.

39

Panza, M. & Salanskis, J.-M. (ds.)

1995 Lobjectivit mathmatique. Platonisme et structures formelles,Paris : Masson, 1995.

Petitot, J.

1995 Pour un platonisme transcendantal, in [Panza & Salanskis 1995,14778].

Rogers, H. Jr

1967 Theory of Recursive Functions and Eective Computability,Cambridge, Massachusetts, London: MIT Press, 1987.

Salanskis, J.-M.

1995 Platonisme et philosophie des mathmatiques, in [Panza &Salanskis 1995, 179-212].

1999 Le constructivisme non standard, Lille : Presses Universitairesdu Septentrion, 1999.

Sureson, C.1999 Thorie des ensembles ou ensemble de thories ?, Revue dHis-

toire des Sciences, 52 (1), janv.-mars 1999, 10739.

Weyl, H.1953 Comparaison entre procdures constructives et procdures axio-

matiques en mathmatiques, cit daprs la tr. fr. de Jean Largeaultin Le continu et autres crits, Vrin, 1994, 26579.