bÀi tẬp chƯƠng 2
TRANSCRIPT
BÀI TẬP CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN FOURIER và BIẾN ĐỔI FOURIER
Bài 1:
Dùng định nghĩa để tìm biến đổi Fourier của các hàm sau:
(a)
(b)
Vẽ đồ thị biên độ của mỗi biến đổi Fourier nói trên.
Bài giải:
(a) Dùng định nghĩa về biến đổi Fourier,
Dùng MATLAB để tính:
>> syms x w real;
Fw = fourier(exp(-2*(x-1))*heaviside(x-1))
biendoFw = simplify(abs(Fw))
ezplot(biendoFw) % Ve do thi ham bien do cua bien doi Fourier
Kết quả:
Fw =
exp(-i*w)/(2+i*w)
biendoFw =
(1/(4+w^2))^(1/2)
Trong Symbolic Math Toolbox của MATLAB, hàm ezplot cho phép chúng ta vẽ đồ thị
của một hàm trực tiếp từ biểu thức hình thức của nó. Nếu chỉ dùng cú pháp đơn giản :
ezplot(f)
thì khỏang biến thiên của biến số sẽ mặc định là . Khi đó, trục tung sẽ được tự động
chọn sao cho phù hợp.
Nếu muốn yêu cầu MATLAB vẽ đồ thị hàm trong khỏang biến thiên biến số do chúng ta
quyết định, dùng cú pháp:
ezplot(f, [a,b])
(b) Dùng định nghĩa về biến đổi Fourier,
=
Dùng MATLAB để tính:
Đầu tiên, thử dùng hàm fourier:
>> syms x w real;
Fw = fourier(exp(-2*abs(x-1)))
Kết quả:
Fw =
fourier(exp(-2*abs(x-1)),x,w)
Như vậy là MATLAB không thể giải được bài toán chúng ta bằng hàm fourier.
Chúng ta chuyển sang việc tính trực tiếp bằng tích phân theo định nghĩa:
>> syms x w real;
Fw = int((exp(-2*abs(x-1))*exp(-i*w*x)),x,-inf,inf)
Fw = simplify(Fw) %Đơn giản kết quả Fw
ezplot(abs(Fw)) %Vẽ biên độ của biến đổi Fourier với w trong khỏang -2pi đến 2pi
Kết quả:
Fw =
-4/(-2+i*w)*exp(-i*w)/(2+i*w)
Fw =
4*exp(-i*w)/(4+w^2)
Nhận xét: Không phải lúc nào các phần mềm giải tóan theo kiểu hình thức (kể cả MATLAB
hay Maple) cũng giải được trực tiếp mọi bài toán. Đôi khi, người sử dụng phải thay đổi cách
tiếp cận trong cách giải để đạt được kết quả mong muốn.
Bài 2: Dùng định nghĩa để tìm biến đổi Fourier của các hàm sau:
(a)
(b)
Bài giải:
(a) Dùng định nghĩa của biến đổi Fourier,
Áp dụng tính chất sàng (sifting property) của hàm delta Dirac,
Suy ra,
Dùng MATLAB để tính:
>> syms x w real;
Fw = fourier(dirac(x+1)+dirac(x-1))
ezplot(Fw)
Kết quả:
Fw =
2*cos(w)
MATLAB cung cấp hàm delta Dirac với cú pháp là:
delta(X)
(b) Dùng tính chất và ,
Suy ra,
Do đó, áp dụng định nghĩa của biến đổi Fourier,
-
Áp dụng tính chất sàng của hàm delta Dirac,
Dùng MATLAB để tính:
>> syms t w real;
Fw = fourier(diff(heaviside(-2-t)+heaviside(t-2)))
ezplot(abs(Fw))
Kết quả:
Fw =
-2*i*sin(2*w)
Trong Symbolic Math Toolbox của MATLAB, hàm diff dùng để tính đạo hàm của một
hàm với cú pháp :
diff(f) với f là hàm số cần phải lấy đạo hàm.
Bài 3:
Tính biến đổi Fourier của mỗi hàm tuần hoàn dưới đây:
(a)
(b)
Bài giải:
(a) Dựa vào bảng các cặp biến đổi Fourier,
Suy ra,
Thay t bởi và áp dụng tính chất dịch trong miền thời gian,
Áp dụng tính chất ,
Dùng MATLAB để tính:
>> syms t w real;
Fw = fourier(sin(2*pi*t + pi/4))
Kết quả :
Fw =
1/2*2^(1/2)*pi*(dirac(w+2*pi)+i*dirac(w+2*pi)+dirac(w-2*pi)-i*dirac(w-2*pi))
Kết quả này thực ra đồng nhất với kết quả tính tóan của chúng ta, với lưu ý rằng chương trình
MATLAB đã triển khai
(b) Dựa vào bảng các cặp biến đổi Fourier,
Suy ra,
Thay t bởi ,
Áp dụng tính chất ,
Dùng MATLAB để tính:
>> syms t w real;
Fw = fourier(1+cos(6*pi*t+pi/8))
Kết quả :
Fw =
pi*(2*dirac(w)+exp(-1/8*i*pi)*dirac(w+6*pi)+exp(1/8*i*pi)*dirac(w-6*pi))
Bài 4:
Dùng định nghĩa để tìm biến đổi Fourier ngược của:
(a)
(b)
Bài giải:
(a) Theo định nghĩa của biến đổi Fourier ngược,
.
Dùng MATLAB để tính:
>> syms t w real;
ft = ifourier(2*pi*dirac(w)+ pi*dirac(w-4*pi)+pi*dirac(w+4*pi),w,t)
Kết quả:
ft =
2*cos(2*pi*t)^2
Trong Symbolic Math Toolbox của MATLAB, hàm ifourier dùng để tính biến đổi Fourier
ngược. Cú pháp:
f = ifourier(F): biến đổi Fourier ngược của hàm F trong đó mặc nhiên biến độc lập của F là
w và f sẽ là hàm có biến độc lập là x.
Trong trường hợp bài (a) ta muốn có biến độc lập là t nên dùng cú pháp dài hơn như sau:
f = ifourier(F,w,t) : biến đổi Fourier ngược của hàm F với biến của F là w và biến của f là
t.
(b) Dùng định nghĩa của biến đổi Fourier ngược,
Để dùng được MATLAB, ta biểu diễn hàm bằng các hàm bước đơn vị,
>> syms t w real;
ft = ifourier(4*heaviside(w)-2*heaviside(w+2)-2*heaviside(w-2),w,t)
Kết quả:
ft =
4*i/t*sin(t)^2/pi
Bài 5 :
Dùng định nghĩa để tính biến đổi Fourier ngược của hàm với
Dùng kết quả tính được để xác định giá trị của t sao cho f(t) = 0.
Bài giải :
Từ định nghĩa của hàm bước đơn vị,
Suy ra,
với k là số nguyên khác 0
Dùng MATLAB để tính :
>> syms t w real;
ft = ifourier(abs(2*(heaviside(w+3)-heaviside(w-3)))*exp(i*((-3*w/2)+pi)),w,t)
Kết quả:
ft =
-ifourier(abs(2*heaviside(w+3)-2*heaviside(w-3))*exp(-3/2*i*w),w,t)
Kết quả cho thấy trong trường hợp này, MATLAB không tính nổi biến đổi Fourier ngược
bằng lệnh ifourier.
Ta chuyển hướng giải bằng cách dùng trực tiếp lệnh tích phân int,
>> syms t w real;
tichphan = simplify(int(abs(2*(heaviside(w+3)-heaviside(w-3)))*exp(i*((-3*w/2)+pi))*exp(i*w*t),w,-3,3))
Kết quả:
tichphan =
-8/(-3+2*t)*sin(-9/2+3*t)
Lấy kết quả tích phân này nhân với ta được kết quả cuối cùng.
Bài 6 :
Cho hàm f(t) có biến đổi Fourier . Hãy dùng các tính chất của biến đổi Fourier để biểu
diễn biến đổi Fourier của các hàm dưới đây theo .
(a)
(b)
(c)
Bài giải :
(a) Sử dụng tính chất tuyến tính của biến đổi Fourier,
Áp dụng tính chất dịch theo thời gian và tính chất đảo,
Suy ra,
(b) Nếu f(t) có biến đổi Fourier là theo tính chất tỉ lệ theo thời gian, f(3t) có biến
đổi Fourier là .
Thay t bởi (t-2) và áp dụng tính chất dịch theo miền thời gian,
(c) Áp dụng tính chất dịch trong miền thời gian,
Áp dụng tính chất đạo hàm trong miền thời gian,
Lưu ý: Ở ba bài a) b) và c) chọn 3 cách trình bày khác nhau.Bài 7:
Giả sử hàm thực f(t) có biến đổi Fourier là . Chứng minh rằng :
Bài giải :Theo định nghĩa,
trong đó,
và
và cũng lưu ý rằng là một hàm chẵn theo và là hàm lẻ theo .
Suy ra,
Bài 8 :
Giả sử hàm thực f(t) có biến đổi Fourier . Chứng minh rằng là một hàm thực khi
và chỉ khi f(t) là hàm chẵn.Bài giải :
a. f(t) là hàm chẵn thì là hàm thực :
Theo bài 7, ta có thể viết :
Trong đó,
f(t) là hàm chẵn và là hàm lẻ nển là hàm lẻ, suy ra . Do
đó, là hàm thực. Không những thế, dễ dàng nhận thấy khi đó còn là một
hàm chẵn theo biến vì là hàm chẵn theo
b. là hàm thực thì f(t) là hàm chẵn :
Theo định nghĩa của biến đổi Fourier ngược,
là hàm chẵn theo và là hàm lẻ theo nên là hàm lẻ theo ,
suy ra và
là hàm chẵn theo nên là hàm chẵn theo , suy ra f(t) phải là hàm
chẵn theo t.
Bài 9 :
Giả sử hàm thực f(t) có biến đổi Fourier . Chứng minh rằng là một hàm thuần ảo
khi và chỉ khi f(t) là hàm lẻ.Bài giải :
Chứng minh tương tự như bài 9. Trong trường hợp này
Thực ra, bài 8 và 9 có thể được giải bằng một cách khác như sau. Ở đây, trình bày cho bài 9.Theo tính chất đảo,
Do đó,
f(t) là làm hàm lẻ theo t f(t) = -f(-t) (1)Mặt khác, theo bài 7 ta có :
Suy ra,
(1) phải là một hàm thuần ảo,do đó cũng vậy.
Bài 10 :
Cho hàm :
(a) Dùng bảng các tính chất đạo hàm và tích phân và biến đổi Fourier của hàm hình chữ
nhật cho trong bảng các cặp biến đổi Fourier để tìm .
(b) Tìm biến đổi Fourier của hàm
Bài giải :
(a) Đặt . Dễ dàng tính được,
h(t) chính là một hàm hình chữ nhật và theo bảng các cặp biến đổi Fourier ta có,
Mặt khác, vì nên áp dụng tính chất tích phân,
(b) Áp dụng tính chất tuyến tính,
Theo bảng các cặp biến đổi Fourier và tính chất tuyến tính,
Suy ra,
Lưu ý : trong bài này chúng ta không thể dùng tính chất tích phân vì f(t) không dần đến 0 khi t dần đến vô cùng lớn. Cũng có một sai lầm thường gặp ở câu b) theo lý luận như sau :
và áp dụng thẳng tính chất tích phân của biến đổi Fourier và có kết quả là
. Cần nhớ rằng, tính chất tích phân chỉ áp dụng cho hàm mà đó là
một hàm duy nhất trong số mọi hàm có đạo hàm bằng h(t). Trong trường hợp bài này, hàm đó chính là f(t).
Bài 11 :
Cho hàm số :
(a) Tìm biến đổi Fourier của f(t).(b) Viết phần thực của kết quả câu (a) và chứng minh rằng nó là biến đổi Fourier của
phần chẵn của f(t).(c) Biến đổi Fourier của phần lẻ của f(t) là gì ?
Lưu ý : - Phần chẵn của một hàm f(t) được định nghĩa : Even{f(t)} = (1/2){f(t) + f(-t)}.- Phần lẻ của một hàm f(t) được định nghĩa : Odd{f(t)} = (1/2){f(t) – f(-t)}.