bag 5-3 frame
DESCRIPTION
matriks2TRANSCRIPT
Plane Frame - Page1
TAHAP METODE KEKAKUAN PLANE FRAME
Tahap
ke :
Langkah yang dikerjakan Keterangan
1 Menetapkan model diskrit struktur yang akan
dianalisis (tipe elemen : beam, truss, frame, grid, jumlah elemen, lokasi titik-simpul)
n : jumlah
elemen
2 Merumuskan matriks kekakuan elemen [k]
pada sumbu lokal, untuk semua elemen.
n buah [k]
3 Merumuskan matriks kekakuan elemen [K]
pada sumbu global, untuk semua elemen.
(transformasi koordinat lokal-global)
[K] = [T]T [k] [T]
n buah [K]
4 Menyusun / merakit matriks kekakuan
struktur [K]S pada sumbu global :
[K]S = [K]
1 buah [K]S
5 Menyusun sistem persamaan struktur pada
sumbu global :
{F} + {Fo} = [K]S {D}
1 buah
sistem
persamaan
6 Menerapkan syarat-batas struktur, untuk
menyelesaikan persamaan no. 5, menghasilkan
vektor perpindahan {D} pada sumbu global.
invers,
iterasi,
eliminasi
7 Perpindahan {D} ditransformasikan menjadi
vektor perpindahan {d} pada sumbu lokal :
{d} = [T] {D}
n elemen
(proses)
8 Menghitung gaya-ujung elemen pada sumbu
lokal, untuk semua elemen.
{f} = [K] {d} – {f0}
Gambar : BMD, SFD, NFD, Reaksi
n elemen
(proses)
Plane Frame - Page2
PLANE FRAME / PORTAL BIDANG
Gambar 1: Elemen dan Index d.o.f. dalam Sumbu Lokal
Keterangan arti index :
Index Arti sbg. perpindahan {d} Arti sbg. gaya {f}
1 translasi aksial ujung-1 (d1x) gaya aksial ujung-1 (f1x)
2 translasi transversal ujung-1 (d1y) gaya lintang ujung-1 (f1y)
3 rotasi lentur ujung-1 (1z) momen lentur ujung-1 (m1z)
4 translasi aksial ujung-2 (d2x) gaya aksial ujung-2 (f2x)
5 translasi transversal ujung-2 (d2y) gaya lintang ujung-2 (f2y)
6 rotasi lentur ujung-2 (2z) momen lentur ujung-2 (m2z)
1 : titik-simpul (node) awal
2 : titik-simpul (node) akhir
L : panjang elemen (pada orientasi sumbu X lokal)
: sudut rotasi sumbu koordinat (diukur dari sumbu X global ke X lokal,
berlawanan arah jarumjam)
Sumbu X lokal (arah positif) didefinisikan sbg. sumbu memanjang
elemen dari titik-1 ke titik-2.
Sumbu Z (lokal / global) tegak lurus bidang gambar.
4
2
Ylokal
1 1
Xglobal
Xlokal 5
6
Yglobal
L
2
3
bidang XY
Plane Frame - Page3
Gambar 2 : Elemen dan Index d.o.f. dalam Sumbu Global
TRANSFORMASI KOORDINAT antara LOKAL – GLOBAL
{d} = [T] {D} hubungan untuk vektor perpindahan
dalam bentuk lengkap :
d1x C S 0 0 0 0 D1x
d1y -S C 0 0 0 0 D1y
1z 0 0 1 0 0 0 1z
d2x 0 0 0 C S 0 D2x
d2y 0 0 0 -S C 0 D2y
2z 0 0 0 0 0 1 2z
Keterangan :
C (Cx) = Cos = (X2-X1) / L
S (Cy) = Sin = (Y2-Y1) / L
=
vektor perpindahan dalam sumbu lokal
{d}
vektor perpindahan dalam sumbu global
{D}
matriks transformasi (untuk portal bidang)
[T]
1 1
2
Xglob
al
Yglob
al Xlokal
L
2
3
4
5
6
PLANE FRAME bidang XY
Plane Frame - Page4
PERSAMAAN pada KOORDINAT LOKAL (koordinat elemen)
{f} = [k] {d} – {f0}
dalam bentuk lengkap :
1 2 3 4 5 6
f1x EA/L 0 0 -EA/L 0 0 d1x f1x,o
f1y 0 12EI/L3 6EI/L2 0 -12EI/L3 6EI/L2 d1y f1y,o
m1z 0 6EI/L2 4EI/L 0 -6EI/L2 2EI/L 1z m1z,o
f2x -EA/L 0 0 EA/L 0 0 d2x f2x,o
f2y 0 -12EI/L3 -6EI/L2 0 12EI/L3 -6EI/L2 d2y f2y,o
m2z 0 6EI/L2 2EI/L 0 -6EI/L2 4EI/L 2z m2z,o
{f} = vektor gaya-ujung elemen (menghasilkan BMD, SFD, NFD)
[k] = matriks kekakuan elemen (dalam sumbu lokal), dengan catatan
urutan d.o.f. seperti pada Gambar 1.
{d} = vektor perpindahan elemen (dalam sumbu lokal)
{f0} = vektor beban titik-simpul ekuivalen (akibat span-loading)
Notasi dalam [k]:
E = modulus elastis material
I = momen inersia tampang lintang terhadap sumbu Z lokal
A = luas tampang lintang
PRINSIP PENENTUAN {f0} :
= -
f1y,o
f2y,o
m1z,o
m2z,o
f1x,o
f2x,o
beban luar
span-loading sumbu X lokal
jepit
jepit
Asumsi arah vektor (perpindahan / gaya) :
Translasi / gaya f positif, bila searah
sumbu positif.
Rotasi / momen positif, bila berlawanan
arah jarum jam.
Plane Frame - Page5
PERSAMAAN SISTEM STRUKTUR pada KOORDINAT GLOBAL (koordinat struktur)
{F} + {F0} = [K] {D}
dengan
{F} : vektor beban titik-simpul, {F} = {F}e
{F0} : vektor beban titik-simpul ekuivalen (akibat span-loading),
{F0} = {F0}e
[K] : matriks kekakuan struktur, [K] = [K]e
{D} : vektor perpindahan titik-simpul,
merupakan besaran primary unknowns dari sistem persamaan.
[K]e : matriks kekakuan elemen (dalam sumbu global),
[K]e = [T]T [k] [T]
[k] : matriks kekakuan elemen (dalam sumbu lokal)
[T] : matriks transformasi koordinat
Bentuk lengkap matriks [K]e :
Matriks Kekakuan Elemen Portal Bidang dalam Sumbu Global,
(dengan catatan urutan d.o.f. seperti pada Gambar 2)
L
EI
CL
EIC
L
EIS
L
AEsimetri
SL
EI)CS
L
EI
L
AE(S
L
EIC
L
AE
L
EIC
L
EIS
L
EI
L
EI
CL
EI)C
L
EIS
L
AE()CS
L
EI
L
AE(C
L
EIC
L
EIS
L
AE
SL
EI)CS
L
EI
L
AE()S
L
EIC
L
AE(S
L
EI)CS
L
EI
L
AE(S
L
EIC
L
AE
[K] e
4
612
61212
2664
61212612
6121261212
2
2
3
2
23
2
3
2
22
2
2
3
2
32
2
3
2
23
2
3
2
23
2
3
2
Plane Frame - Page6
CONTOH KASUS 1
Data Elemen :
E = 2.000.000 t/m2
Dimensi 30/50 (cm) A=0.15 m2, I=0.003125 m4
Penyelesaian :
D.O.F. dalam Koordinat Global
3 ton
2 ton
2 ton/m’
4 m
6 m 4 m
2 m
1
2 3
sb. X
sb. Y
1
2
sebelum syarat batas
diterapkan
sesudah syarat batas
diterapkan
d1x
d2x d3x d2x
d1y
d2y d2y d3y
1z
2z 2z
3z
1 1
2 2
3z
Plane Frame - Page7
Matriks Kekakuan Elemen dalam Sumbu Lokal
Elemen 1 : 53033.01 0 0 -53033 0 0 0 414.3204 1171.875 0 -414.32 1171.875
[k]e,1= 0 1171.875 4419.417 0 -1171.88 2209.709
-53033 0 0 53033.01 0 0 0 -414.32 -1171.88 0 414.3204 -1171.88 0 1171.875 2209.709 0 -1171.88 4419.417
Elemen 2 : 50000 0 0 -50000 0 0
0 347.2222 1041.667 0 -347.222 1041.667
[k]e,2 = 0 1041.667 4166.667 0 -1041.67 2083.333
-50000 0 0 50000 0 0 0 -347.222 -1041.67 0 347.2222 -1041.67 0 1041.667 2083.333 0 -1041.67 4166.667
Matriks Kekakuan Elemen dalam Sumbu Global
Elemen 1 ( data : L=5.6568 m, = 45 o)
d1x d1y 1z d2x d2y 2z
26723.66 26309.34 -828.641 -26723.7 -26309.3 -828.641
26309.34 26723.66 828.6408 -26309.3 -26723.7 828.6408
[K]1 = -828.641 828.6408 4419.417 828.6408 -828.641 2209.709
-26723.7 -26309.3 828.6408 26723.66 26309.34 828.6408
-26309.3 -26723.7 -828.641 26309.34 26723.66 -828.641
-828.641 828.6408 2209.709 828.6408 -828.641 4419.417
Elemen 2 ( data : L=6 m, = 0 o)
d2x d2y 2z d3x d3y 3z
50000 0 0 -50000 0 0
0 347.2222 1041.667 0 -347.222 1041.667
[K]2 = 0 1041.667 4166.667 0 -1041.67 2083.333
-50000 0 0 50000 0 0
0 -347.222 -1041.67 0 347.2222 -1041.67
0 1041.667 2083.333 0 -1041.67 4166.667
Plane Frame - Page8
Matriks Kekakuan Struktur (sebelum diterapkan syarat-batas)
d1x d1y 1z d2x d2y 2z d3x d3y 3z
26723.66 26309.34 -828.641 -26723.7 -26309.3 -828.641 0 0 0
26309.34 26723.66 828.6408 -26309.3 -26723.7 828.6408 0 0 0
-828.641 828.6408 4419.417 828.6408 -828.641 2209.709 0 0
[K]S = -26723.7 -26309.3 828.6408 76723.66 26309.34 828.6408 -50000 0 0
-26309.3 -26723.7 -828.641 26309.34 27070.89 213.0259 0 -347.222 1041.667
-828.641 828.6408 2209.709 828.6408 213.0259 8586.084 0 -1041.67 2083.333
0 0 0 -50000 0 0 50000 0 0
0 0 0 0 -347.222 -1041.67 0 347.2222 -1041.67
0 0 0 0 1041.667 2083.333 0 -1041.67 4166.667
Matriks Kekakuan Struktur (setelah diterapkan syarat-batas)
d2x d2y 2z 3z
76723.66 26309.34 828.6408 0
[K]S = 26309.34 27070.89 213.0259 1041.667
828.6408 213.0259 8586.084 2083.333
0 1041.667 2083.333 4166.667
Matriks Transformasi Koordinat [T]
elemen 1 elemen 2
0.707 0.707 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
-0.707 0.707 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
[T]1= 0 0 1 0 0 0 [T]2 = 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0.707 0.707 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 -0.707 0.707 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1
Plane Frame - Page9
Vektor Beban {F0} akibat span loading
dalam sumbu lokal (elemen) : {f0}
dalam bentuk matriks :
-0.707 0
-0.707 -6
{f0}1 = -1
{f0}2 = -6
-0.707 0
-0.707 -6
1 6
dalam sumbu global (struktur) : {F0} = [T]T {f0}
2
1.414 1
1
0.707
0.707
0.707 0.707
2
6 6
6 6
1
2
1
1
1
1
6 6
1
2
6 6
{F0} sebelum tereduksi
0 -1 -1 0
{F0} = -7 -5 0 -6 6
{F0} tereduksi
0
{F0} = -7 -5
6
1.414
dalam bentuk matriks :
Plane Frame - Page10
Persamaan Struktur (dalam bentuk tereduksi) : {F} + {F0} = [K] {D}
0 0 76723.66 26309.34 828.6408 0 d2x
-3 +
-7 =
26309.34 27070.89 213.0259 1041.667 d2y
0 -5 828.6408 213.0259 8586.084 2083.333 2z
0 6 0 1041.667 2083.333 4166.667 3z
Solusi Persamaan Struktur perpindahan menurut sumbu global
d2x 0.000246 meter
{D} = d2y
= -0.00068 meter
2z -0.00112 radian
3z 0.002169 radian
Transformasi perpindahan dari sumbu global ke lokal : {d} = [T]{D}
Elemen 1 :
d1x 0 d1x 0
d1y 0 d1y 0
{d}1,global = 1z =
0 {d}1,lokal =
1z = 0
d2x 0.000246 d2x -0.00031
d2y -0.00068 d2y -0.00066
2z -0.00112 2z -0.00112
Elemen 2 :
d2x 0.000246 d2x 0.000246
d2y -0.00068 d2y -0.00068
{d}2,global = 2z =
-0.00112 {d}2,lokal =
2z = -0.00112
d3x 0 d3x 0
d3y 0 d3y 0
3z 0.002169 3z 0.002169
Gaya ujung elemen (element forces) {f} = [k] {d} – {f0}
Elemen 1 :
f1x 0 -0.707 17.09958 ton
f1y 0 -0.707 -0.32757 ton
m1z =
Matriks [k]e,1 0 -
-1 =
-0.69391 t.m.
f2x ( ordo 6x6 ) -0.00031 -0.707 -15.6856 ton
f2y -0.00066 -0.707 1.741571 ton
m2z -0.00112 1 -5.1585 t.m.
Plane Frame - Page11
Elemen 2 :
f2x 0.000246 0 12.32286 ton
f2y -0.00068 -6 6.859751 ton
m2z =
Matriks [k]e,2 -0.00112 -
-6 =
5.158505 t.m.
f3x ( ordo 6x6 ) 0 0 -12.3229 ton
f3y 0 -6 5.140249 ton
m3z 0.002169 6 0 t.m.
Dari vektor gaya elemen 1 & 2 gambar BMD, SFD, NFD (orientasi thd. sumbu lokal) Gaya titik-simpul global (global joint forces) {F} = [K] {D} – {F0}
F1X 0 0 12.3229 ton
F1Y 0 -1 11.8598 ton
M1Z 0 -1 -0.69391 t.m.
F2X Matriks [K]s sebelum reduksi
0.000246 0 0 ton
F2Y = -0.00068 - -7 = -3 ton
M2Z ( ordo 9x9 ) -0.00112 -5 0 t.m.
F3X 0 0 -12.3229 ton
F3Y 0 -6 5.14025 ton
M3Z 0.002169 6 0 t.m.
Reaksi tumpuan, Gaya luar pada titik-simpul
( orientasi terhadap sumbu struktur)
Plane Frame - Page12
PENJELASAN GAMBAR BMD, SFD, NFD
Gambar NFD (ton)
Gambar SFD (satuan : ton)
0.3276
1.7416
6.8598
5.1402
x Lokasi momen positif maksimum
Plane Frame - Page13
Gambar BMD (ton-meter)
CONTOH KASUS 2 - PLANE FRAME
3 t/m’ 3 t/m’
2 ton 4 ton
2,5 t.m
4 m
3 m 5 m
2,5 m 40/40
(cm)
40/60
(cm) 40/60
(cm)
E=2.106
(t/m2)
x
M positif
maksimum 1/8.q.L2
BUKAN Momen Maksimum
Plane Frame - Page14
Prinsip langkah penyelesaian :
Tahap 1 : Penetapan Diskretisasi dan D.O.F.
Jumlah Joint (NJ) = 4
Jumlah Elemen (NE) = 3
D.O.F. awal = NJ x 3 =12 (tidak digambar)
D.O.F. tereduksi = 3 , urutan ditetapkan : D4X , D4Y , R4Z
Tetapkan orientasi masing2 elemen ( besarnya sudut
)
Kerangka persamaan struktur yang akan disusun : (manfaatkan sebagai penuntun tahap-tahap berikutnya)
Z
Y
X
R
D
D
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
4
4
4
1 2
3
1 2
3
4
Sumbu
global
X
Y
D4X
D4Y
R4Z
{F} {Fo} [K] {D}
Plane Frame - Page15
Tahap 2 : Penyusunan matriks kekakuan masing2
elemen dalam sumbu lokal (digunakan
pada tahap akhir / menghitung gaya-ujung
elemen)
[k]1 =
[k]2 =
[k]3 =
Tahap 3 : Penyusunan matriks kekakuan masing2
elemen dalam sumbu global (untuk dirakit
menjadi matriks kekakuan struktur)
Sudut transformasi
sumbu lokal = 0o
Sudut transformasi
sumbu lokal = 90o
Sudut transformasi
sumbu lokal = 0o
Plane Frame - Page16
Perhatian :
Orientasi elemen (sudut transformasi sumbu) sesuai tahap
1.
Index d.o.f. sesuai diskretisasi (cantumkan di sisi atas dan
kanan matriks)
D4X D4Y R4Z
[K]1 =
# # # D4X
# # # D4Y
# # # R4Z
D4X D4Y R4Z
√ √ √ D4X
√ √ √ D4Y
[K]2 = √ √ √ R4Z
D4X D4Y R4Z
[K]3 =
& & & D4X
& & & D4Y
& & & R4Z
Plane Frame - Page17
Tahap 4 : Perakitan matriks kekakuan struktur
global D4X D4Y R4Z
#√& #√& #√& D4X
[K]S = #√& #√& #√& D4Y
#√& #√& #√& R4Z
Tahap 5a : Menghitung vektor “equivalent span
load”
(dalam sumbu lokal)
#
#
{fo}1 = #
#
#
#
√
√
{fo}2 = √
√
√
√
0
0
{fo}3 = 0
0
0
0
Dalam kasus ini
berupa vektor nol
(tidak ada gaya luar)
Plane Frame - Page18
Tahap 5b : Menyusun vektor “equivalent span
load”
(dalam sumbu global), tereduksi
dalam kasus ini :
{Fo}1={fo}1 tidak ada transformasi sumbu
{Fo}2={fo}2 tidak ada transformasi sumbu
{Fo}3=vektor nol tidak ada gaya luar
{Fo}1 =
#
#
#
√
√
{Fo}2 = √
0
0
{Fo}3 = 0
0
0
0
direduksi
direduksi
direduksi
Plane Frame - Page19
Hasil perakitan {Fo} struktur tereduksi :
{Fo}S =
Tahap 6 : Menyusun persamaan struktur
{F} + {Fo} = [K] {D}
dan menghitung vektor perpindahan {D}
Tahap 7 : Menyusun/menghitung vektor
perpindahan
dalam sumbu lokal (masing2 elemen)
rumus umum : {d} = [T] {D} , atau cukup dievaluasi secara grafis.
0 D4x 0
0 D4y 0
{d}#1 = 0 {d}#2 = R4z {d}#3 = 0
D4x 0 D4y
D4y 0 - D4x
R4z 0 R4z
Tahap 8a : Menghitung vektor gaya elemen
(dalam sumbu lokal)
{f}#i = [k]#i {d}#i – {fo}#i
Tahap 8b : Menggambar free body diagram
(dalam sumbu lokal)
Tahap 8c : Menggambar diagram gaya-dalam
SFD, BMD, NFD
(dalam sumbu lokal)