Andrzej Łukasik

Mechanika kwantowa dla kognitywistów

Spis treściKwantowy charakter zjawisk.........................................................................3Dualizm korpuskularno-falowy......................................................................8

Cząstki i fale..............................................................................................8Eksperyment na dwóch szczelinach..........................................................9Eksperyment z opóźnionym wyborem....................................................18

Elementy matematyki mechaniki kwantowej..............................................23Liczby zespolone.....................................................................................23Przestrzeń Hilberta..................................................................................27Elementy rachunku macierzowego.........................................................31Operatory................................................................................................34Elementy rachunku różniczkowego.........................................................34

Postulaty mechaniki kwantowej..................................................................42Postulat I: reprezentacja stanu układu....................................................43Zasada superpozycji stanów...................................................................44Postulat II: reprezentacja wielkości fizycznych........................................47Postulat III: ewolucja stanu układu kwantowego w czasie.......................49Postulat IV: postulat pomiaru..................................................................50

Zasada nieoznaczoności Heisenberga........................................................53Klasyczne a kwantowe pojęcie prawdopodobieństwa.................................63Problem pomiaru w mechanice kwantowej.................................................66

Kot Schrödingera.....................................................................................67Przyjaciel Wignera...................................................................................68Doświadczenie z bombą..........................................................................68

Kwantowe splątanie....................................................................................69Paradoks EPR..........................................................................................70Nierówność Bella.....................................................................................76Realizm i lokalność w mechanice kwantowej..........................................78

Interpretacje mechaniki kwantowej............................................................81Interpretacja kopenhaska........................................................................82Ukryty porządek......................................................................................86Wiele światów.........................................................................................89Sumy po historiach.................................................................................93Interpretmacja transakcyjna...................................................................95Dekoherencja..........................................................................................97

QBism......................................................................................................99Interpretacja statystyczna....................................................................100

W rzeczywistości cała fizyka jest fizyką kwantową — prawa fizyki kwantowej są najogólniejszymi znanymi nam prawami przyrody. […] fizyka klasyczna dotyczy tych aspektów przyrody, które nie wiążą się bezpośrednio z zagadnieniem podstawowych składników materii.

Eyvind H. Wichmann1

Musimy maksymalnie wytężać wyobraźnię, nie po to, żeby odwrotnie niż w literaturze, wyobrazić sobie rzeczy, których naprawdę nie ma, ale by zrozumieć to, co naprawdę istnieje.

Richard P. Feynman2

Mechanika kwantowa stanowi obok teorii względności Einsteina jedną z dwóch fundamentalnych teorii fizyki współczesnej. Została sformułowana w latach dwudziestych XX wieku w odpowiedzi na nieudane próby zastosowania fizyki klasycznej do wyjaśnienia stabilności atomów oraz sformułowania teorii promieniowania ciała doskonale czarnego. Jest powszechnie uznawana za najdoskonalszą teorię fizyczną, jaką kiedykolwiek skonstruowano, a dokładność jej przewidywań jest wprost imponująca. Zastosowania praktyczne mechaniki kwantowej spotykamy zaś dosłownie na każdym kroku – od komputera, przy użyciu którego piszę te słowa, przez telefony komórkowe i fotokomórki po nanotechnologię. Co więcej, nawet wydawałoby się tak proste zjawiska jak to, że siedząc na krześle nie przenikam przez niego i nie spadam w wyniku przyciągania grawitacyjnego Ziemi, chociaż nasze ciała (jak również krzesła) „zbudowane są” w 99,99 % z pustej przestrzeni, uzyskuje wyjaśnienie dopiero na gruncie mechaniki kwantowej.

1 E. H. Wichmann, Fizyka kwantowa, s. 172 R. P. Feynman, Charakter praw fizycznych, s. 136

Jednak obraz świata ukazywany nam przez mechanikę kwantową radykalnie różni się od obrazu świata ukształtowanego na podstawie naszego codziennego doświadczenia, przeczy naszym intuicjom a nawet „zwykłej” klasycznej logice. Z jednej strony oczywiście można powiedzieć, że nasze mózgi zostały tak ukształtowane w procesie ewolucji, abyśmy mogli „zbierać jagody i unikać dzikiego zwierza” i trudno się dziwić, że nie jesteśmy sobie w stanie wyobrazić tego, że jedna niepodzielna cząstka znajduje się w kilku miejscach równocześnie, że kot może być jednocześnie żywy i martwy, albo tego, że to, co się dzieje w pewnym miejscu ma jakiś tajemniczy związek z tym, co się dzieje w bardzo odległym miejscu, i to bez żadnego oddziaływania. Z drugiej jednak strony, również stanowiska samych fizyków w kwestii interpretacji mechaniki kwantowej są nadal podzielone: nie ma jak dotąd powszechnie akceptowanego poglądu na „naturę” obiektów mikroświata, a kontrowersyjne jest nawet to, czy możemy im przypisać istnienie niezależne od procesów obserwacji (łącznie z aktami świadomości podmiotu poznającego, jak twierdzą niektórzy, o czym będzie jeszcze mowa).

Mechanikę kwantową od teorii klasycznych (przy czym szczególną i ogólną teorię względności Einsteina zalicza się do teorii klasycznych) odróżniają przede wszystkim kwantowy charakter zjawisk i dualizm korpuskularno-falowy.3 Omówimy ich najważniejsze aspekty.

KWANTOWY CHARAKTER ZJAWISK

Spór o to czy materia ma naturę ciągłą, czy też dyskretną rozpoczął się jeszcze w starożytnej filozofii przyrody. Znakomita większość filozofów była przekonana o tym, że materia jest ciągła i nie istnieją ostateczne, dalej już niepodzielne składniki materii. Pogląd ten implikował oczywiście przekonanie, że nie może istnieć próżnia, rozumiana wówczas jako całkowicie pusta przestrzeń. Taki pogląd głosił między innymi jeden z największych i zarazem najbardziej wpływowych filozofów starożytności Arystoteles.

3 Por. S. Szpikowski, Podstawy mechaniki kwantowej, s. 20

3

Odmiennego zdania byli atomiści Leukippos i Demokryt, którzy utrzymywali, że istnieją ostateczne, wieczne, niezmienne i niepodzielne cząstki materii, zwane przez nich atomami, które poruszają się odwiecznie w nieskończonej przestrzeni. Pogląd ten aż do wieku XVII miał niewielu zwolenników, do czego przyczyniły się zarówno względy naukowe jak i pozanaukowe, w tym religijne. Dyskusje na temat ciągłości lub nieciągłości materii oraz możliwości istnienia próżni miały przez wieki charakter całkowicie spekulatywny. Atomizm uzyskał status teorii naukowej dopiero w XIX wieku – najpierw za sprawą prac Johna Daltona, a następnie dzięki kinetyczno-molekularnej teorii materii.1 Dziś nikt nie ma wątpliwości, że cała materia składa się z atomów (chociaż nie wiemy, co stanowi 99 % zawartości Wszechświata – por. rozdz. dotyczący kosmologii).

Pod koniec XIX wieku, gdy odkryto elektrony, cząstki materii drobniejsze niż atomy (J. J. Thomsom, 1887 r.) powstała jakościowo nowa sytuacja w fizyce: obok pytań o to, jak materia jest zbudowana z atomów, powstał problem o charakterze bardziej fundamentalnym, a mianowicie jak zbudowane są same atomy. Odkrycie jądra atomowego (E. Rutherford, 1911) doprowadziło do sformułowania planetarnego modelu atomu, w którym niemal cała masa i cały ładunek dodatni atomu są skoncentrowane w bardzo małym obszarze (o wielkości rzędu 10 -15 m), zwanym jądrem atomowym, a po orbitach, podobnie jak planety wokół Słońca, krążą ujemnie naładowane elektrony. Rozmiary atomów są rzędu 10-10 m, a więc o pięć rzędów wielkości większe niż rozmiary jądra. Jeżeli wyobrazimy sobie, że powiększamy rozmiary atomu tak, że jądro atomowe ma wielkość główki od szpilki, czyli ok. 1 mm (10-3 m), to wówczas pierwsza orbita elektronu znajdowałaby się w odległości około 100 m od jądra. Okazuje się, że również same atomy są „zbudowane” w ponad 99,99 % z pustej przestrzeni.

Model Rutherforda był oparty na koncepcjach fizyki klasycznej, zaś atomy wydawały się przypominać miniaturowe układy planetarne. Planety krążą po orbitach, ponieważ są przyciągane siłą grawitacji przez Słońce. Siła przyciągania elektrycznego między jądrem a elektronem na

1 Por. A. Łukasik, Filozofia atomizmu

4

niemal taką samą postać matematyczną, jak siła grawitacji, co – jak się wydaje – w pełni uzasadnia analogię budowy atomu do budowy układu planetarnego. Jednak elektron posiada ładunek elektryczny, a poruszając się po orbicie, porusza się ruchem przyspieszonym (siła przyciągania elektrycznego nadaje mu przyspieszenie dośrodkowe). Z elektrodynamiki Maxwella wiadomo jednak, że cząstka naładowana poruszająca się ruchem przyspieszonym powinna w sposób ciągły promieniować energię, a w rezultacie w bardzo krótkim czasie (jak pokazują obliczenia w czasie rzędu 10-6 s, czyli milionowej części sekundy) elektron powinien spaść na jądro, co przeczy obserwowalnej stabilności atomów. Poza tym ciągłe promieniowanie atomów było niezgodne ze znanym już wówczas faktem, że każdy pierwiastek emituje i absorbuje jedynie ściśle określone dyskretne linie widmowe.

Niels Bohr w 1913 roku sformułował model atomu wodoru, w którym wprowadził koncepcję nieciągłych, czyli skwantowanych orbit (wartość promienia takiej orbity może przybierać jedynie ściśle określoną wielkość). Zgodnie z nią w atomie istnieją pewne wyróżnione orbity, zwane stanami stacjonarnymi, na których krążący elektron nie promieniuje energii. Założenie to było oczywiście sprzeczne z całą elektrodynamiką klasyczną, ale pozwoliło na wyjaśnienie nieciągłego widma atomów oraz zrozumienie budowy układu okresowego pierwiastków. Zdaniem Bohra, elektrony emitują lub absorbują światło gdy „przeskakują” pomiędzy orbitami stacjonarnymi. Ponieważ wartości energii na orbitach są skwantowane, również emisja lub absorpcja światła przez elektrony zachodzi w postaci nieciągłych porcji energii, zwanych kwantami.

Hipotezę kwantów energii wprowadził w 1900 Max Planck. Pracował on wówczas nad problemem zwanym promieniowania ciała doskonale czarnego, czyli – mówiąc prosto – chciał otrzymać matematyczny wzór opisujący, w jaki sposób ciała promieniują energię w zależności od ich temperatury. Podejmowane wcześniej próby sformułowania teorii promieniowania ciała doskonale czarnego na podstawie elektrodynamiki klasycznej, zgodnie z którą światło jest ciągłą falą elektromagnetyczną, nie dawały poprawnych rezultatów. Planckowi udało się sformułować

5

poprawną teorię przy założeniu, że podczas oddziaływania z materią promieniowanie elektromagnetyczne jest emitowane i absorbowane w sposób nieciągły, czyli właśnie kwantami. Energia kwantu świetlnego jest proporcjonalna do jego częstości:

E=hν

gdzie ν jest częstością, natomiast h pewną stałą, zwaną współcześnie stałą Plancka. Jest to jedna z fundamentalnych stałych fizycznych i pojawia się w większości równań mechaniki kwantowej. Jest to stała o wymiarze działania, dlatego też nazywana bywa również elementarnym kwantem działania. Działanie jest wielkością fizyczną o wymiarze energia x czas. W układzie SI wartość stałej Plancka wynosi w przybliżeniu 6,63 10-34 Js. Jest to wielkość niezmiernie mała, co – jak się okazuje – powoduje, że pewnych efektów kwantowych nie obserwujemy w świecie bezpośredniego doświadczenia. Ponieważ w wielu równaniach często pojawia się stałą Plancka podzielona przez 2 π , oznaczono ją specjalnym symbolem ℏ i nazwano „kreśloną stałą Plancka” lub po prostu „h kreślone”.

Albert Einstein w 1905 roku sformułował teorię zjawiska fotoelektrycznego (za co zresztą otrzymał w 1921 r. Nagrodę Nobla z fizyki). Zjawisko to polega na wybijaniu elektronów z powierzchni metalu pod wpływem padającego światła (dzięki Einsteinowi mamy więc dzisiaj wszechobecne fotokomórki). W celu poprawnego opisu zjawiska założył on, że światło nie jest ciągłą falą elektromagnetyczną, ale jest zbiorem cząstek poruszających się z prędkością światła, które później nazwano fotonami. Energia fotonu i jego pęd wyrażają się następującymi wzorami:

E=hν

p=hλ=hν

c

6

gdzie p jest pędem fotonu, λ jest długością fali światła, c oznacza prędkość światła w próżni.

Louis Victor de Broglie w 1924 roku wpadł natomiast na pomysł, że skoro fale świetlne mogą zachowywać się jak cząstki, to również cząstki materii, takie jak elektrony, mogą przejawiać własności falowe. Zgodnie z hipotezą de Broglie’a, z każdą cząstką o pędzie p (p = mv) związana jest pewna fala materii o długości:

λ= hp

Hipoteza ta została już w 1927 roku potwierdzona w doświadczeniach Davissona i Germenra, w których zaobserwowano interferencję elektronów, czy zjawisko typowe dla fal. De Broglie traktował te fale jako realne fale w trójwymiarowej przestrzeni, wiadomo jednak obecnie, że fale mechaniki kwantowej są tworami nieco bardziej abstrakcyjnymi – falami prawdopodobieństwa, o czym będzie mowa w dalszej części rozdziału.

Podsumujmy zatem na czym polega kwantowy charakter zjawisk: materia ma strukturę nieciągłą, składa się ostatecznie z obiektów, które nazywamy cząstkami elementarnymi. Również proces oddziaływania promieniowania elektromagnetycznego z materią polega na emisji lub absorpcji dyskretnych jednostek, czyli kwantów promieniowania. Samo promieniowanie zaś w pewnych zjawiskach przejawia aspekt korpuskularny – zachowuje się jak strumień fotonów. Z drugiej zaś strony cząstki materii wykazują w pewnych eksperymentach własności charakterystyczne dla fal. Ten osobliwy rezultat mechaniki kwantowej nazwano dualizmem korpuskularno-falowym.

Podstawy mechaniki kwantowej sformułowali niemal równocześnie i niezależnie od siebie Werner Heisenberg (mechanika macierzowa, 1925) i Erwin Schrödinger (mechanika falowa, 1926). Wprawdzie obydwaj uczeni przyjmowali zupełnie różne założenia filozoficzne (Heisenberg zakładał realność cząstek Schrödinger natomiast realność fal materii), to

7

jednak formalizmy te okazały się całkowicie równoważne matematycznie i prowadzą do takich samych konsekwencji empirycznych.

DUALIZM KORPUSKULARNO-FALOWY

Omówimy teraz pewien eksperyment, który – jak twierdzi Feynman – zawiera wszystkie tajemnice mechaniki kwantowej.1 Jeśli nawet nie wszystkie, to wiele zdumiewających aspektów mikroświata rzeczywiście można opisać odwołując się do tego eksperymentu lub do różnych jego modyfikacji. Dlatego szczegółowa analiza eksperymentu na dwóch szczelinach jest niezmiernie ważna dla zrozumienia dalszej części materiału dotyczącego mechaniki kwantowej.

CZĄSTKI I FALE

Zauważmy najpierw, że w schemacie pojęciowym fizyki klasycznej dysponujemy takimi pojęciami, jak cząstki i fale. Są one, podobnie jak inne pojęcia fizyczne, takie jak na przykład pojęcie siły, idealizacjami mającym swe źródło w świecie codziennego doświadczenia. Pojęcie cząstki, to w istocie pojęcie „kawałka materii”. Cząstką możemy nazwać elektron, ziarenko piasku, ale równie dobrze na przykład kulę bilardową. Co mamy na myśli, mówiąc, że coś jest cząstką. Przede wszystkim zapewne to, że cząstka istnieje w pewnym dobrze określonym miejscu w czasie i przestrzeni (lub – używając pojęcia ze szczególnej teorii względności: w czasoprzestrzeni). Jeżeli w jednym miejscu przestrzeni znajduje się jakaś cząstka, to w tym samym miejscu w tym samym czasie nie może się znajdować inna cząstka. Przypisujemy bowiem cząstkom atrybut nieprzenikliwości, zupełnie podobnie jak traktowano atomy w starożytnej filozofii przyrody. Sądzimy ponadto, że cząstki posiadają pewne cechy, takie jak kształt, wielkość czy masę. Traktujemy je również jako obiekty rozróżnialne, posiadające pewną indywidualność. Jeżeli na przykład na stole bilardowym zamienię miejscami kulę białą z czarną, to otrzymam nowy układ kul, czyli nowy stan rzeczy, przynajmniej

1 Por. R. P. Feynman, Charakter praw fizycznych, s. 138

8

zasadniczo rozróżnialny od poprzedniego. Jeżeli zamienię miejscami na przykład dwie kule czerwone (powiedzmy przy grze w snookera), to nawet jeśli nie jestem w stanie rozróżnić, czy kule zostały zamienione miejscami czy też nie, to – obiektywnie rzecz biorąc – po zamianie miejscami kul otrzymuję inny układ niż był wcześniej. Cząstki zaliczamy do kategorii ontologicznej rzeczy: są to przedmioty istniejące w czasie i przestrzeni, jednostkowe i konkretne.

Poświęćmy teraz nieco uwagi pojęciu fali. Zapewne każdy obserwował fale na wodzie – mogą się one przenikać i nakładać, czego efektem będzie zwiększenie lub zmniejszenie amplitudy drgań. Trudno wyobrazić sobie fale na wodzie… bez wody. Ruch falowy polega bowiem na drganiu cząstek pewnego ośrodka materialnego (por. jednak rozdział o teorii względności i falach świetlnych). Fala nie jest rzeczą, lecz należy do ontologicznej kategorii procesu: nie jest obiektem samodzielnym bytowo, to znaczy mówiąc prościej: jeśli nie ma wody, to również nie ma fal na wodzie, ponieważ po prostu nie ma co drgać. W odróżnieniu od cząstek fale ponadto nie są obiektami dobrze zlokalizowanymi w przestrzeni, lecz obiektami rozciągłymi; w odróżnieniu od cząstek dwie fale w tym samym czasie mogą znajdować się w tym samym obszarze przestrzeni (zjawisko interferencji) i wreszcie w odróżnieniu od cząstek fale nie posiadają indywidualności, to znaczy jeśli przenikają się przez siebie (czyli w pewnej chwili dwie fale znajdują się w tym samym obszarze przestrzeni), to nie da się wskazać na jedną z tych fal i powiedzieć, że to jest „ta” fala w odróżnieniu od „tamtej”.

Z matematycznego punktu widzenia cząstkę zwykle reprezentujemy jako punkt, falę zaś jako sinusoidę (ponieważ falę o dowolnie skomplikowanym kształcie możemy otrzymać w rezultacie nałożenia na siebie wielu fal sinusoidalnych o różnych amplitudach i długościach). Z punktu widzenia fizyki klasycznej coś, co jest cząstką nie może być zatem falą i vice versa. Okazuje się jednak, że mikroobiekty przejawiają własności właściwe zarówno dla cząstek, jak i dla fal.

9

EKSPERYMENT NA DWÓCH SZCZELINACH

Opiszemy teraz eksperyment z interferencją na dwóch szczelinach, który przeprowadzimy najpierw dla klasycznych cząstek, później dla klasycznych fal, a w końcu dla cząstek kwantowych, takich jak elektrony czy fotony. W tym ostatnim wypadku rezultaty są dość zaskakujące. Będziemy w dalszej części odwoływać się do bardzo prostego modelu, podkreślić jednak należy, że nie mówimy o eksperymentach wyłącznie myślowych, ale eksperymenty tego typu były wielokrotnie przeprowadzane i przebiegają dokładnie tak, jak tu zostanie opisane.

Przeprowadźmy najpierw eksperyment z klasycznym cząstkami (por. rys). Nasz układ składa się ze źródła cząstek Z, przesłony z dwiema wąskimi równoległymi szczelinami S1 i S2 oraz ekranu E, na którym rejestrujemy liczbę cząstek trafiającą w poszczególne miejsca ekranu. Odległość między szczelinami jest dużo większa niż rozmiary cząstek i dużo większa niż długość fali fotonu.

Rys. Eksperyment z dwiema szczelinami dla klasycznych cząstek

10

Źródło Z emituje cząstki w kierunku przesłony z dwiema wąskimi szczelinami S1 i S2. O cząstkach zakładamy, że są trwałe – nie rozpadają się na części po zderzeniu z przeszkodą czy po trafieniu w ekran. Sytuacja, w której otwarte są dwie szczeliny przedstawia się następująco: cząstki są niepodzielne i poruszają się po dobrze określonych trajektoriach. Niektóre z nich przejdą przez szczelinę S1 i trafią w pewien punkt ekranu, inne zaś przejdą przez szczelinę S2. Jasne jest, że cząstka może dotrzeć do ekranu albo przez szczelinę S1 albo przez szczelinę S2. Rozkład cząstek na ekranie jest łatwy do przewidzenia (por. rys.): te cząstki, które przeszły przez szczelinę S1 skupią się w niewielkim obszarze tuż za tą szczeliną, te, które przeszły przez szczelinę S2 wylądują naprzeciwko tej właśnie szczeliny. Gdybyśmy teraz zamknęli jedną ze szczelin, powiedzmy S1, cząstki mogłyby przelecieć tylko przez szczelinę S2 (analogiczną sytuację otrzymujemy przy zamknięciu drugiej szczeliny). Obraz jaki obserwujemy na ekranie, czyli liczba cząstek w danym miejscu jest równa sumie liczb cząstek, które przeszły przez szczelinę S1 i trafiły w ten punkt ekranu oraz cząstek, które niezależnie przeszły przez S2. Inaczej mówiąc prawdopodobieństwo (czyli średnia częstość) znalezienia cząstki w pewnym punkcie ekranu jest równe sumie prawdopodobieństw cząstek przechodzących niezależnie przez szczeliny S1 i S2.

Możemy to zapisać następująco:N1 – liczba cząstek przechodzących przez szczelinę S1

N2 – liczba cząstek przechodzących przez szczelinę S2

N12 – prawdopodobieństwo, czyli średnia liczba cząstek trafiających w dane miejsce ekranu, gdy otwarte są szczeliny S1 i S2

W tym przypadku N12 = N1 + N2. Rezultaty eksperymentu z klasycznym cząstkami przedstawia rysunek.

11

Rys. Eksperyment z dwiema szczelinami dla klasycznych cząstek

Jest to zupełnie jasne, ponieważ wystrzelona cząstka klasyczna porusza się tak a nie inaczej po określonej trajektorii zupełnie niezależnie od tego, czy jest otwarta jedna szczelina czy też obydwie – cząstka albo trafi w szczelinę pierwszą lub drugą albo odbije się od przesłony. Cząstka po prostu „nie wie” czy otwarta jest jedna szczelina, czy też dwie.

Rozważmy teraz podobny eksperyment z klasycznymi falami. Źródło emituje falę, która dociera do układu dwóch szczelin. Zgodnie z zasadą Huyghensa znaną z teorii klasycznego ruchu falowego, szczeliny stają się źródłami nowych fal, które interferują ze sobą (por. rys.). W chwili, gdy fale docierają do ekranu obserwujemy efekt interferencji: największą amplitudę będzie mieć fala wypadkowa, w której grzbiet fali dochodzącej ze szczeliny S1 pokrywa się z grzbietem fali pochodzącej ze szczeliny S2. Jest to oczywiście miejsce położone dokładnie pośrodku odległości między szczelinami – w tym obszarze obserwujemy maksimum drgań, ponieważ fale docierające do tego miejsca z obydwu szczelin mają taki sam dystans do przebycia, czyli będą zgodne w fazie. W miarę oddalania się w jedną albo drugą stronę od środka ekranu, zaobserwujemy zmniejszenie się amplitudy drgań a następnie kolejne maksimum drugiego rzędu itd. Otrzymamy zatem charakterystyczny obraz interferencyjny. W przypadku eksperymentu ze światłem jest to układ

12

jasnych i na przemian ciemnych prążków interferencyjnych, przy czym najjaśniejszy prążek znajduje się właśnie na środku ekranu.

Rys. Interferencja fal na dwóch szczelinach.

Interesuje nas natężenie fali w poszczególnych punktach ekranu.

Natężenie fali jest proporcjonalne do kwadratu modułu amplitudy I∝|A|2

. Jeżeli mamy do czynienia z dwiema falami, to aby obliczyć natężenie fali w pewnym miejscu ekranu najpierw musimy dodać do siebie amplitudy fal pochodzących od szczelin S1 i S2, a następnie podnieść tę sumę do kwadratu:

I 1,2=|A1+A2|2

13

Przy czym przez I 1,2 oznaczyliśmy natężenie fali w danym punkcie ekranu w przypadku gdy otwarte są obydwie szczeliny. Oczywiście natężenie sumy fal nie jest równe sumie natężeń, ponieważ amplituda może mieć wartość dodatnią albo ujemną, w związku z czym drgania

mogą się wzmacniać albo wzajemnie się tłumić: I 1,2≠|A1|2+|A2|

2. Jasne

jest również, że w przypadku gdy zasłonimy jedną ze szczelin, to nie wystąpi interferencja. Rezultaty eksperymentu przedstawione są na rysunku.

Rozważmy teraz rezultaty eksperymentu z cząstkami kwantowymi. Strumień elektronów (lub fotonów) przepuszczamy przez układ dwóch szczelin. Niech źródło emituje cząstki o bardzo małym natężeniu tak, że w zadanej jednostce czasu przez układ szczelin przechodzi tylko jedna cząstka. Ustalmy przede wszystkim, dlaczego w eksperymencie tym możemy mówić o elektronach jako o cząstkach. Otóż gdy elektron dotrze do ekranu, pozostawia zawsze ślad w ściśle określonym miejscu, czyli zachowuje się dokładnie tak, jakby był klasyczną cząstką: obiektem o ściśle określonej masie, ładunku itd. Nigdy nie obserwujemy aby po wyemitowaniu ze źródła cząstki powstał ślad w dwóch lub większej

14

liczbie miejsc na ekranie. Wysyłamy następny elektron i znów otrzymujemy na ekranie ślad cząstki, kolejny elektron i kolejny ślad itd. Jednak obserwujemy, że w miarę jak liczba śladów rośnie, zaczyna dziać się coś dziwnego – ślady elektronów tworzą charakterystyczny wzór interferencyjny, dokładnie taki, jak w przypadku interferencji fal.

Zgodnie jednak z myśleniem opartym na fizyce klasycznej, cząstki takie poruszają się po dobrze określonych torach. Zatem elektron przechodząc przez przesłonę z dwiema szczelinami, powinien przejść albo przez jedną szczelinę albo przez drugą – skoro jest niepodzielną cząstką materii nie może przecież przejść przez obydwie szczeliny równocześnie. Jednak gdyby elektron przechodził albo przez jedną szczelinę albo przez drugą, wówczas moglibyśmy elektrony podzielić na te, które dotarły do ekranu przechodząc przez pierwszą szczelinę i na te, które dotarły przez szczelinę drugą. Zatem obraz na ekranie powinien być tak sam jak ten, który otrzymaliśmy dla klasycznych cząstek. Obserwujemy jednak zupełnie inny obraz – obraz interferencyjny właściwy dla fal. Wiemy jednak, że elektrony są cząstkami, a w każdym razie trafiając na ekran zachowują się jak cząstki. Jak zatem cząstki mogą interferować, skoro interferencja jest zjawiskiem typowym dla fal, a pojęcie fali i pojęcie cząstki odnoszą się do radykalnie odmiennych obiektów.

Czy zatem jeden niepodzielny elektron przechodzi w jakiś tajemniczy sposób przez dwie szczeliny równocześnie? Oczywiście możemy tę hipotezę sprawdzić umieszczając na przykład przy szczelinach odpowiednie detektory: gdy elektron przejdzie w pobliżu jednej szczeliny detektor zareaguje. Okazuje się jednak, że wówczas reaguje tylko jeden detektor, nigdy zaś dwa, co znaczy, że elektron przechodzi tylko przez jedną szczelinę, nigdy przez obydwie równocześnie. Okazuje się jednak, że jeżeli podjęliśmy próbę określenia przez którą szczelinę przechodzi detektor, to znika nam obraz interferencyjny i rozkład prawdopodobieństw na ekranie jest taki jak w przypadku klasycznych cząstek.

15

Rys. Interferencja elektronów na dwóch szczelinach.

Podsumujmy: gdy otwarte są dwie szczeliny i nie podejmujemy próby określenia przez którą z nich przeszedł elektron, to obserwujemy na ekranie obraz interferencyjny charakterystyczny dla zjawisk falowych – w tym sensie elektrony zachowują się jak fale. Jednak obraz ten składa się z pojedynczych śladów, takich jakie zostawiłyby trafiające na ekran cząstki. Gdybyśmy chcieli twierdzić, że wprawdzie nie wiemy, przez którą szczelinę przeleciał elektron, ale – skoro jest niepodzielną cząstką – to musiał przelecieć albo przez jedną albo przez drugą, to takie twierdzenie jest z pewnością fałszywe, ponieważ wówczas nie nastąpiłaby wówczas interferencja, czyli obraz na ekranie byłby zupełnie inny ot tego, który obserwujemy.

Poprawny opis eksperymentu interferencyjnego polega na przypisaniu poszczególnym elektronom pewnej liczby zespolonej, zwanej amplitudą prawdopodobieństwa, nieco podobnie jak w wypadku klasycznych fal mówimy o amplitudzie fali. Jeżeli elektron może dotrzeć do ekranu dwiema drogami, to aby uzyskać zgodny z doświadczeniem rezultat,

16

musimy dodać do siebie amplitudy prawdopodobieństwa dla tych dwóch możliwości, a następnie obliczyć prawdopodobieństwo trafienia elektronu w określony punkt podnosząc sumę tych amplitud do kwadratu:

P1,2=|A1+A2|2

Zauważmy w wypadku klasycznych fal mówimy o amplitudach trójwymiarowych fal w przestrzeni fizycznej, natomiast w wypadku zjawisk kwantowych są to zespolone (czyli wyrażane wielkościami zespolonymi) amplitudy prawdopodobieństwa (pojęcie to zostanie szerzej omówione w dalszej części rozdziału). W tym wypadku prawdopodobieństwo znalezienia elektronu w pewnym punkcie ekranu nie jest równe sumie prawdopodobieństw znalezienia elektronu, który dotarł do ekranu przez szczelinę pierwszą plus prawdopodobieństwo tego, że dodarł do ekranu przez szczelinę drugą. „Elektrony docierają do detektorów w całości, tak jak pociski, ale prawdopodobieństwo rejestracji elektronów jest określone takim wzorem jak natężenie fali. W tym sensie elektron zachowuje się jednocześnie jak cząstka i jak fala”.2

Osobliwość tego rezultatu jest jeszcze większa, jeżeli zauważymy (por. rys.), że otworzenie elektronom drugiej drogi sprawia, że w pewne punkty ekranu praktycznie w ogóle nie mogą dotrzeć, co jest oczywiście całkowicie niezgodne z „klasycznym” punktem widzenia: jeśli elektron byłby cząstką w sensie fizyki klasycznej, to jak jest możliwe, że otwierając mu drugą drogę faktycznie zamykamy obydwie?

No dobrze, ale czy elektrony (lub fotony lub jakiekolwiek inne obiekty opisywane przez mechanikę kwantową) są „naprawdę” cząstkami czy też falami? Pytanie takie chyba odzwierciedla jedynie ograniczoność naszej wyobraźni w odniesieniu do mikroświata. W fizyce klasycznej, która wyrosła przecież z obserwacji świata codziennego doświadczenia, rzeczywiście dysponujemy takimi pojęciami, jak cząstka i fala, jednak w mikroświecie odległym od naszego bezpośredniego doświadczenia takie pojęcia mają ograniczony zasięg stosowalności. Jak pisze Leon N. Cooper

2 R. P. Feynman, Charakter, s. 147.

17

„światło jest falą lub cząsteczką w stopniu nie większym, niż ten, w jakim siła jest wektorem a kamyki liczbami. Znajomość matematycznej struktury fal i nasze obserwacje światła, nasuwają nam przekonanie, że możemy połączyć z fizyczną realnością, jaką jest światło, twór matematyczny znany nam jako fala i że struktura i relacje matematyczne fal w ich świecie, są w jakiś sposób odbiciem struktury i relacji światła w świecie realnym”.3 Mikroobiekty nie są podobne do niczego, co znamy z naszego codziennego doświadczenia. „Fotony i elektrony zachowują się w sposób nie mający żadnego odpowiednika klasycznego, w sposób kwantowomechaniczny”.4 Nie potrafimy sobie poglądowo przedstawić ruchu elektronów pomiędzy aktem emisji ze źródła i aktem detekcji na ekranie.

EKSPERYMENT Z OPÓŹNIONYM WYBOREM

Przedstawimy teraz pewną wersję eksperymentu interferencyjnego zaproponowaną przez Johna A. Wheelera, która prowadzi do jeszcze bardziej osobliwych wniosków dotyczących kwantowego świata – eksperyment z opóźnionym wyborem. Tym razem przeprowadzimy eksperyment z fotonami i zmodyfikujemy nieco nasz układ eksperymentalny: zamiast przesłony z dwiema szczelinami użyjemy półprzepuszczalnego zwierciadła, dwóch całkowicie odbijających zwierciadeł i jeszcze jednego półprzepuszczalnego zwierciadła, zamiast ekranu zaś – dwóch detektorów fotonów, na przykład dwóch fotokomórek.

Niech źródło (na przykład laser) Z emituje wiązkę światła na półprzepuszczalne zwierciadło BS ustawione pod kątem 450 (por. rys.), które rozszczepia wiązkę światła na dwie, z których pierwsza przechodzi przez zwierciadło BS (nazwijmy jego drogę „drogą dolną”), następnie odbija się od zwierciadła Z2 i trafia do fotokomórki D2. Drugi promień odbija się od zwierciadła BS i podąża drogą, którą nazwiemy „drogą górną”, następnie odbija się od zwierciadła Z1 i trafia do fotokomórki D1. Przyjmujemy, że mamy idealne fotokomórki, które reagują zawsze, gdy

3 L. N. Cooper, Istota i struktura fizyki, s. 270.4 R. P. Feynman, Charakter…, s. 136

18

dotrze do nich światło, zakładamy również, że długość drogi równoległej światła i drogi prostopadłej są dokładnie równe.

Rys. Schemat eksperymentu z opóźniony wyborem. W rezultacie interferencji konstruktywnej wszystkie fotony trafiają do detektora D1, natomiast w rezultacie interferencji destruktywnej detektor D2 nie rejestruje nic (prawdopodobieństwo rejestracji fotonu wynosi zero). Jeżeli jednak zablokujemy jedną z dróg przed przecięciem się wiązki fotonów (obojętnie którą), obydwa detektory rejestrują fotony z równym prawdopodobieństwem nawet wówczas, gdy zablokowanie drogi górnej lub dolnej nastąpiło już po tym, jak fotony oddziaływały z pierwszym zwierciadłem półprzepuszczalnym.

W miejscu przecięcia się dwóch wiązek światła możemy wstawić drugie zwierciadło półprzepuszczalne BS’ i w ten sposób spowodować, że światło w wyniku interferencji destruktywnej ulegnie wygaszeniu w kierunku fotokomórki D2 i całe światło będzie docierać do fotokomórki D1. Słowem: po umieszczeniu drugiego zwierciadła półprzepuszczalnego BS’ reaguje zawsze tylko fotokomórka D1, fotokomórka D2 nie reaguje nigdy.

19

Aby zrozumieć dlaczego tak się dzieje, musimy poświęcić nieco miejsca działaniu zwierciadła półprzepuszczalnego.5 Jest płaskorównoległa płytka szklana pokryta z jednej strony warstwą dielektryka. Padająca wiązka światła ulega rozszczepieniu – połowa wiązki przechodzi przez płytkę, połowa ulega odbiciu. Z optyki wiadomo, że podczas przejścia przez płytkę faza fali świetlnej nie ulega zmianie. Podczas odbicia światła od zwierciadła całkowicie odbijającego faza fali świetlej zmienia się o π (to znaczy, że tam gdzie był grzbiet fali teraz jest dolina). Również przy odbiciu od warstwy dielektryka w zwierciadle półprzepuszczalnym faza fali świetlnej zmienia się o π, ale jedynie w przypadku, gdy światło trafia na tę warstwę z zewnątrz. Gdy światło trafia na warstwę dielektryka najpierw przechodząc przez szklaną część zwierciadła półprzepuszczalnego, wówczas faza fali świetlej nie ulega zmianie. Zatem wiązka światła poruszająca się po drodze górnej odbije się najpierw od BS (zmiana fazy o π), następnie od Z1 (również zmiana fazy o π) i po przejściu przez BS’ całkowite przesunięcie w fazie wynosić będzie 2π dla wiązki zmierzającej do fotokomórki D1. Wiązka poruszająca się drogą dolną odbije się od zwierciadła Z2 (zmiana fazy o π), a następnie od zewnętrznej powierzchni zwierciadła BS’ (kolejna zmiana fazy o π). Dwie fale świetlne zmierzające do detektora D1 będą natem zgodne w fazie i nastąpi interferencja konstruktywna. (Należy zwrócić uwagę na położenie zwierciadeł półprzepuszczalnych: w BS’ wiązka dolna odbija się od zwierciadła od strony zewnętrznej, natomiast wiązka dolna od strony szkła i w tym wypadku nie następuje zmiana fazy.

Wiązka poruszająca się po drodze dolnej w kierunku detektora D2, po odbiciu się od zwierciadła Z2 jest przesunięta w fazie o π (nastąpiło tylko jedno odbicie, a przejście przez BS’ nie zmienia fazy), natomiast wiązka poruszająca się po drodze górnej w kierunku D2 jest przesunięta w fazie o 2π (po odbiciu od BS, a następnie od Z1), ponieważ odbicie od wewnętrznej części BS’ (tzn. gdy światło trafia na warstwę dielektryku przechodzą najpierw przez warstwę szkła) nie zmienia fazy. Zatem w wiązki zmierzające w kierunku detektora D2 będą przesunięte względem

5 Por. K.P. Zetie, S. F. Adams, R. M. Tocknell, How does a Mach–Zehnder interferometer work?, Phys. Educ. 35(1) January 2000, s. 46-48.

20

siebie w fazie o π i nastąpi interferencja destruktywna (grzbiet jednej fali spotka się z dolina drugiej, analogicznie jak w przypadku doświadczenia z dwiema szczelinami). Detektor D2 nie zarejestruje zatem żadnego fotonu.

Rozważmy światło o skrajnie małym natężeniu (natężenie światła to po prostu liczba fotonów), takim mianowicie, że każdorazowo przez układ przechodzi tylko jeden foton (wiemy z eksperymentu z dwiema szczelinami, że można tak zrobić). Gdyby pojedynczy foton trafiając na pierwsze zwierciadło BS po prostu przez nie przechodził albo odbijał się z prawdopodobieństwem p = ½ (czyli wybierał tylko jedną z dwóch możliwych dróg), wtedy każda fotokomórka rejestrowałaby foton z prawdopodobieństwem ½. Tak jednak nie jest – w eksperymencie wszystkie fotony docierają do fotokomórki D1 leżącej w kierunku wiązki światła, żaden natomiast nie dociera do D2. Jedynym możliwym wyjaśnieniem jest właśnie to, że w takiej sytuacji następuje interferencja fotonów. Zatem musimy przyjąć, że pojedynczy foton porusza się w pewnym sensie po dwóch drogach równocześnie. (Nie jest to zbyt precyzyjny sposób mówienia, powinnyśmy zgodnie z mechaniką kwantową powiedzieć, że foton znajdzie się w stanie superpozycji dwóch stanów, co zostanie wyjaśnione w dalszej części rozdziału).

Jeżeli jednak zablokujemy którąś z dróg, na przykład przegradzając ją ekranem, to nie nastąpi interferencja (por. doświadczenie z dwiema szczelinami) i foton będzie mógł dotrzeć do obu fotokomórek D1 i D2 z równym prawdopodobieństwem, podczas w sytuacji gdy były otwarte obie drogi, mógł dotrzeć tylko do fotokomórki D2. Już to jest niezmiernie interesującym rezultatem: zablokowanie fotonowi jednej z dróg otwiera drogę do D2, podczas gdy otwarcie drugiej drogi blokuje możliwość dotarcia do D2.6

Istota eksperymentu z opóźnionym wyborem polega na tym, że możemy zdecydować, czy zablokować jedną z dróg fotonu czy też nie (albo – co na jedno wychodzi – czy umieścić drugie zwierciadło półprzepuszczalne, czy też nie) „w ostatniej chwili”, to znaczy już po tym, jak foton oddziaływał ze zwierciadłem BS. Jeśli to zrobimy, foton

6 Por. R. Penrose, Nowy umysł…, s. 287.

21

poruszać się będzie po jednej określonej drodze i może trafić z równym prawdopodobieństwem do obydwu fotokomórek. Jeżeli nie zablokujemy drogi, to foton porusza się po dwóch drogach równocześnie i w wyniku interferencji może dotrzeć tylko do fotokomórki D1. Ale jak nasza decyzja dotycząca umieszczenia ekranu i zablokowania drogi fotonu mogła mieć wpływ na zachowanie fotonu w BS, skoro nastąpiła już po tym, gdy foton oddziaływał z BS? Jeżeli już nawet możemy przyjąć, że zachowanie fotonu zależy od tego czy otwarte są dwie drogi czy też tylko jedna (por. eksperyment z dwiema szczelinami), to w tym wypadku wydaje się, że nasza decyzja co do otworzenia dwóch dróg dla fotonu lub tylko jednej podjęta w teraźniejszości wpływa na zachowanie fotonu w przeszłości! Oczywiście pojawia się w tym miejscu problem, czy w ogóle możemy mówić o zachowaniu fotonu pomiędzy dwiema kolejnymi obserwacjami. Bohr i Heisenberg byli zdania, że jest to niemożliwe, ale zagadnienia epistemologiczne przeanalizujemy w dalszej części rozdziału.

Wheeler zaproponował również „kosmiczną wersję” eksperymentu z opóźnionym wyborem.7 Otóż znamy kwazar usytuowany w odległości około pięciu miliardów lat świetlnych, od którego światło dociera do nas dwiema drogami w rezultacie zjawiska soczewkowania grawitacyjnego (por. rozdz. o teorii względności). Światło z tego kwazara potrzebuje pięciu miliardów lat aby do nas dotrzeć, zatem zostało wysłane zanim jeszcze powstała Ziemia. Jeżeli w eksperymencie z opóźnionym wyborem użyjemy jako źródła fotonów właśnie światła z kwazara, to otrzymujemy dość zaskakujący wniosek, że w zależności od tego czy teraz zdecydujemy zablokować jedną z dróg fotonu w naszej aparaturze czy też nie (możemy podjąć decyzję albo świadomie albo w sposób czysto losowy, na przykład na podstawie rzutu monetą), to pojedynczy foton poruszał się po jednej drodze albo po dwóch równocześnie w zależności od naszego wyboru. Jednak foton rozpoczął swój lot pięć miliardów lat temu…

Zauważmy jednak, że analizując ten eksperyment mówiliśmy o „drodze” fotonu nawet wówczas, gdy nie była ona obserwowana. Jest to – jak się okazuje – pewne uproszczenie. O kwestii możliwości

7 Por. P. C. W. Davies, Duch w atomie, s. 86.

22

wypowiadania się o zjawiskach kwantowych, które nie były przedmiotem obserwacji jeszcze powrócimy w dalszej część rozdziału.

ELEMENTY MATEMATYKI MECHANIKI KWANTOWEJ

Przejdziemy teraz do przedstawienia na bardzo elementarnym poziomie pojęciowych podstaw mechaniki kwantowej. Konieczne będzie wprowadzenie elementów formalizmu matematycznego, co pozwoli uściślić nasze rozważania i jednocześnie pokazać, gdzie w dotychczasowym opisie eksperymentów dopuściliśmy się pewnych uproszczeń. Ponieważ stan układu kwantowomechanicznego w pewnej chwili t jest reprezentowany przez wektor z zespolonej przestrzeni Hilberta, musimy nieco miejsca poświęcić najpierw liczbom zespolonym, a następnie omówić strukturę zespolonej przestrzeni Hilberta.

SKALARY, WEKTORY, TENSORY

LICZBY ZESPOLONE

W szkolnej matematyce na ogół poprzestaje się na tak zwanych liczbach rzeczywistych. Mówimy na przykład, że nie istnieje pierwiastek

kwadratowy z liczby ujemnej, co oznacza, że równanie x2=−1 nie ma

rozwiązań. Jednak zbiór liczb rzeczywistych można rozszerzyć wprowadzając tak zwaną jednostkę urojoną, oznaczaną symbolem i, którą definiujemy następująco:

i=√−1

Liczbą zespoloną nazywamy liczbę postaci:

z=x+iy ,

23

gdzie x , y∈R , gdzie R oznacza zbiór liczb rzeczywistych (tę postać liczby zespolonej nazywamy postacią algebraiczną). Zbiór liczb postaci z=x+iy nazywamy zbiorem liczb zespolonych, przy czym pierwszą część sumy nazywamy częścią rzeczywistą (co oznaczamy często symbolem Re), drugą zaś częścią urojoną (oznaczaną symbolem Im). Oczywiste jest, że nazwy „rzeczywista” i „urojona” są w tym wypadku czysto konwencjonalne i z filozoficznego punktu widzenia obydwa zbiory liczb są równie „rzeczywiste” lub równie „urojone” („nierzeczywiste”) – to już zależy od przyjmowanego stanowiska w filozofii matematyki, którym tu zagadnieniem nie będziemy się zajmować. Nadmienimy jedynie, że niektórzy filozofowie, zwani platonikami, utrzymują, że liczby (i inne obiekty matematyczne) istnieją niezależnie od umysłu poznającego podmiotu, a nawet niezależnie od świata fizycznego i są przez matematyków odkrywane (i w tym sensie zarówno liczby rzeczywiste jak i zespolone są dla nich „rzeczywiste”), inni zaś twierdzą, że liczby są jedynie konstrukcjami umysłu i poza umysłem nie przysługuje im żadne istnienie.

Liczbę postaci

z¿=x−iy

nazywamy liczbą sprzężoną do liczby zespolonej z.Liczby zespolone interpretujemy jako punkty na płaszczyźnie (por.

rys.). Na osi x odkładamy część rzeczywistą, na osi y – część urojoną liczby zespolonej.

24

Rys. Liczby zespolone na płaszczyźnie Argada. Liczbie zespolonej z = x + iy odpowiada punkt o współrzędnych (x, y).

Odległość od początku układu współrzędnych, gdzie znajduje się dany punkt reprezentujący liczbę zespoloną z wynosi r. Z rysunku widzimy, że

sin ϕ= xr ,

cos ϕ= yr .

Zatem dowolną liczbę zespoloną możemy zapisać w postaci:

z=r (cosϕ+isin ϕ ).

Postać tę nazywamy postacią trygonometryczną liczby zespolonej.Wielkość r nazywamy modułem liczby zespolonej. Z twierdzenia

Pitagorasa mamy:

r2=x2+ y2,

czyli

25

r=√x2+ y2.

Zauważmy przy tym, że kwadrat modułu liczby zespolonej jest równy iloczynowi tej liczby i liczby sprzężonej:

zz¿=( x+iy )(x−iy)=x2+ y2,

zatem moduł liczby zespolonej można wyrazić wzorem:

|z|=√zz¿

Liczby zespolone możemy do siebie dodawać i odejmować (dodajemy bądź odejmujemy część rzeczywistą do rzeczywistej a zespoloną do zespolonej), mnożyć przez siebie i dzielić. Podstawowe wzory na sumę, różnicę, iloczyn i iloraz liczb zespolonych są następujące:

z1+z2=( x1+iy1)+( x2+iy2 )=( x1+x2 )+i( y1+ y2 ) ,z1− z2=(x1+¿ iy1)−(x2+iy2)=(x 1− x2)+i( y1− y2) ¿,

z1 z2=( x1+iy1)( x2+iy2 )=( x1 x2− y1 y2 )+ i( x1 y2+x2 y1 ) ,z1

z2=

x1+iy1

x2+ iy2=( x1 x2+ y1 y2 )+i( y1 x2−x1 y2)

x22+ y2

2.

Podamy jeszcze wyrażenie na kwadrat sumy dwóch liczb zespolonych, ponieważ będziemy się do niego wielokrotnie odwoływać w dalszych rozważaniach. Rozważmy dwie liczby zespolone w i z (por. rys.). Niech kąt między wektorami wynosi α. Wówczas korzystając z twierdzenia kosinusów otrzymujemy:

|w+z|2=|w|2+|z|2+2|w||z|cos α

26

Do sformułowania aksjomatów mechaniki kwantowej będzie nam jeszcze potrzebne pojęcie przestrzeni Hilberta.

PRZESTRZEŃ HILBERTA

Przestrzeń Hilberta jest liniową przestrzenią wektorową nad ciałem liczb zespolonych. Pojęcie wektora jest znane z elementarnej matematyki. Wektory, często reprezentowane jako strzałki na płaszczyźnie, można do siebie dodawać, mnożyć przez liczbę, zdefiniowany jest również iloczyn skalarny wektorów. Wiele wielkości fizycznych, takich jak prędkość, przyspieszenie czy siła są właśnie wielkościami wektorowymi. Rozważmy na przykład wektor prędkości, oznaczany zwykle symbolem v . Podaje on nam informację nie tylko o tym, jak szybko porusza się ciało, ale także w jakim kierunku porusza się. Zmiana wektora prędkości może dotyczyć zarówno jego wartości, jak i kierunku. Jeśli na przykład ciało porusza się ruchem jednostajnym po okręgu, to wartość prędkości nie ulega zmianie, zmienia się natomiast kierunek prędkości, zatem ciało porusza się ruchem przyspieszonym (występuje przyspieszenie dośrodkowe). Niektóre wielkości fizyczne, takie jak na przykład czas, temperatura czy energia są wielkościami skalarnymi, to znaczy ich wielkość wyrażana jest za pomocą liczb rzeczywistych.

Wygodnie jest zastosować notację zastosowaną przez Paula Diraca, w

której wektory oznaczamy symbolem |⟩ (czytaj „ket” – jest to cześć angielskiego terminu oznaczającego nawias – ang. bracket). Symbol

„bra” ⟨| (ang. bra) także ma swoją interpretację, o której powiemy w dalszej części.

Przestrzeń liniowa V jest to zbiór ketów nazywanych wektorami, dla których zdefiniowana jest suma wektorów oraz mnożenie wektora przez

skalar, przy czym spełnione są następujące warunki: jeżeli |v ⟩ i |w ⟩∈V , to:

27

1. |v ⟩+|w ⟩∈V , a|v ⟩∈V . Mówimy, że przestrzeń V jest zamknięta ze względu na dodawanie wektorów i mnożenie wektora przez skalar.

2. a (|v ⟩+|w ⟩ )=a|v ⟩+a|w ⟩ . Mnożenie wektora przez skalar jest rozdzielne względem dodawania wektorów.

3. (a+b)|v ⟩=a|v ⟩+b|v ⟩ . Mnożenie wektora przez skalar jest rozdzielne względem dodawania skalarów.

4. a (b|v ⟩ )=ab|v ⟩ . Mnożenie wektora przez skalar jest łączne.

5. |v ⟩+|w ⟩=|w ⟩+|v ⟩ . Dodawanie wektorów jest przemienne.

6. |v ⟩+(|w ⟩+|u ⟩)=(|w ⟩+|v ⟩)+|u ⟩ . Dodawanie wektorów jest łączne.

7. |v ⟩+|0 ⟩=|v ⟩ . Istnieje element zerowy |0 ⟩ .8. |v ⟩+|−v ⟩=|0 ⟩ . Do każdego wektora istnieje wektor przeciwny.

Zbiór liczb a, b,… nazywa się ciałem, nad którym określona jest przestrzeń liniowa. Jeśli zbiór ten jest zbiorem liczb rzeczywistych, to przestrzeń nazywa się liniową przestrzenią rzeczywistą, jeśli zbiór jest zbiorem liczb zespolonych, to przestrzeń nazywamy zespoloną przestrzenią liniową.1

Ważnym pojęciem jest pojęcie niezależności liniowej. Zbiór wektorów

|1 ⟩ , |2 ⟩… |n ⟩ nazywa się niezależny liniowo, jeżeli równanie

∑i=1

n

ai|i ⟩=|0 ⟩

1 Polecam wyjątkowo klarowne wprowadzenie matematyczne do podstaw mechaniki kwantowej w: R. Shankar, Mechanika kwantowa, s. 22 n.

28

jest spełnione wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie liczby ai są równe zero (matematycy mówią: „w przypadku trywialnym”). W przeciwnym wypadku zbiór jest liniowo zależny.

Wymiarem n przestrzeni V nazywamy maksymalną liczbę wektorów niezależnych liniowo. Zbiór n liniowo niezależnych wektorów przestrzeni n-wymiarowej nazywamy bazą tej przestrzeni. Każdy wektor może być więc przedstawiony w postaci:

|v ⟩=∑i=1

n

v i|i⟩,

gdzie wektory |i ⟩ są wektorami bazy, a współczynniki vi są składowymi wektora w tej bazie. Jest to dokładnie taka sama sytuacja, jak w przypadku „wektorów-strzałek”: każdy taki wektor v możemy rozłożyć

na składowe (v x , v y , vz ) w kartezjańskim układzie współrzędnych (por. rys. …).

Zdefiniujemy jeszcze wielkość, zwaną iloczynem skalarnym wektorów.

Iloczyn skalarny ⟨v|w⟩ jest liczbą spełniającą następujące warunki:

1. ⟨v|w⟩=⟨w|v ⟩¿. Iloczyn skalarny jest symetryczny względem

sprzężenia zespolonego.

2. ⟨v|v ⟩≥0 . Iloczyn skalarny jest nieujemny. ⟨v|v ⟩=0 wtedy i tylko

wtedy, gdy |v ⟩=0 .

3. ⟨ v|(a|w ⟩+b|u ⟩ )=⟨v|aw+bu⟩=a ⟨v|w ⟩+b ⟨v|u⟩ . Iloczyn skalarny jest liniowy względem ketów.

Jeżeli ⟨v|w⟩=0 , to wektory te nazywamy ortogonalnymi. Normą (długością) wektora nazywamy wyrażenie

|v|=√⟨v|v ⟩ .

29

Przestrzeń liniową nad ciałem liczb zespolonych nazywamy przestrzenią Hilberta. (Dokonaliśmy tu pewnych uproszczeń, które jednak nie mają większego wpływu na zrozumienie fizycznej treści dalszej części rozważań.)

Zbiór wektorów bazy, z których każdy ma normę (długość) jednostkową i które są parami ortogonalne nazywamy bazą ortonormalną.

Rozważmy dwa wektory przedstawione za pomocą składowych w bazie i-tej i j-tej odpowiednio:

|v ⟩=∑i=1

v i|i ⟩,

|w ⟩=∑j=1

w j| j⟩,

wówczas iloczyn skalarny może być przedstawiony następująco:

⟨v|w⟩=∑i∑

jv i¿w j ⟨i| j ⟩

.

Z każdej bazy, której wektory są liniowo niezależne można zbudować bazę ortonormalną (twierdzenie Grama-Schmidta).2 Wektory bazy ortonormalnej spełniają warunek:

⟨ i| j⟩=1 dla i= j0 dla i≠ j

=δ ij,

gdzie symbol δ ij nazywa się deltą Kroneckera.Podkreślić należy, że obiektów przestrzeni Hilberta zwanych

wektorami nie należy utożsamiać z „wektorami-strzałkami” znanymi z 2 Por. R. Shankar, Mechanika kwantowa, s. 28.

30

elementarnej matematyki. Mogą to być zupełnie inne obiekty, takie jak na przykład macierze.

ELEMENTY RACHUNKU MACIERZOWEGO

Podamy tutaj podstawowe informacje na temat rachunku macierzowego, między innym z tego względu, że jedna z wersji mechaniki kwantowej (sformułowana w 1925 przez Wernera Heisenberga) oparta była właśnie na rachunku macierzowym.

Macierzą nazywamy tablicę liczb złożoną z m wierszy i n kolumn:

[ a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

.. . . . . . . . . . .am 1 am2 . . . amn

]Element macierzowy m-tego wiersza i n-tej kolumny będziemy

oznaczać symbolem amn . Macierze można mnożyć przez skalar, dodawać do siebie i mnożyć przez siebie (pod pewnymi warunkami), zatem macierze również tworzą strukturę zwaną przestrzenią liniową (i możemy je nazywać ketami).

Mnożenie macierzy przez skalar polega na pomnożeniu przez skalar każdego elementu macierzowego:

α [ a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

.. . . . . . . . . . .am 1 am2 . . . amn

]= [ αa11 αa12 . .. αa1n

αa21 αa22 . .. αa2n

.. . .. . . .. . ..αam1 αam 2 . .. αamn

]Dodawanie macierzy jest określone, gdy obydwie macierze mają ten

sam wymiar, to znaczy taką samą liczbę wierszy m i taką samą liczbę kolumn n. Dodawanie macierzy polega na dodaniu elementu

31

macierzowego a ij macierzy A do elementu macierzowego b ij macierzy B:

[ a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

.. . . . . . . . . . .am 1 am2 . . . amn

]+[ b11 b12 . .. b1n

b21 b22 . .. b2n

.. . . . . . .. . . .bm 1 bm 2 . .. bmn

]=

[ a11+b11 a12+b12 . .. a1 n+b1 n

a21+b21 a22+b22 . .. a2 n+b2n

.. . . .. . .. . ..am 1+bm 1 am2+bm 2 . .. amn+bmn

]Analogicznie przebiega odejmowanie macierzy (wystarczy zamienić

znak „+” na „–”.Mnożenie macierzy jest zdefiniowane, gdy liczba kolumn pierwszej

macierzy jest równa liczbie wierszy drugiej macierzy i przebiega według następującego algorytmu:

[ a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

.. . . . . . . . . . .am1 am2 . . . amn

] × [ b11 b12 . .. b1n

b21 b22 . .. b2n

.. . . . . . .. . . .bm 1 bm 2 . .. bmn

] =

[a11b11+a12b21+.. .+a1n bm 1 . . . a11 b1 n+a12 b2 n+. ..+a1n bmn

a21 b11+a22b21+. ..+a2n bm 1 . . . a21 b1 n+a22b2n+. . .+a2 n bmn

.. . . .. . . . .. .am 1 b11+am 2 b21+.. . amn bm 1 . . . am 1 b1n+am 2 b2n+ .. .+amn bmn

]32

Zauważmy, że mnożenie macierzy nie jest przemienne w odróżnieniu na przykład od mnożenia skalarów (szerzej powiemy o tym przy omawianiu zasady nieoznaczoności Heisenberga).

Ponieważ każdy wektor (ket) jest jednoznacznie wyznaczony przez składowe w pewnej bazie, możemy go przedstawić jako macierz jednokolumnową:

[ v1

v2

.. .vn]

Wektorom wierszowym [w1 w2 . .. wn ] można przyporządkować

obiekty ⟨w|, zwane „bra”. Każdemu wektorowi kolumnowemu (czyli

ketowi) |v ⟩ można przyporządkować wektor bra ⟨ v| przez transpozycję (kolumnę zamieniamy na wiersz) i sprzężenie zespolone. Otrzymujemy w ten sposób dwie przestrzenie wektorowe: przestrzeń ketów i przestrzeń bra (zwaną przestrzenią dualną). Każdemu ketowi odpowiada pewien bra i na odwrót.3 Iloczyn skalarny wektorów to po prostu iloczyn macierzy

transponowanej względem wektora kolumnowego |v ⟩ ze sprzężeniem

zespolonym i wektora kolumnowego |w ⟩ , co zapisujemy następująco:

⟨v|w⟩=[ v1¿ .. . vn

¿ ] [w1

. ..wn]=v1

¿w1+. ..+vn¿wn=∑

nvn¿ wn

.

Ważnym pojęciem jest pojęcie podprzestrzeni. Podprzestrzeń jest to podzbiór elementów przestrzeni liniowej V, które stanowią przestrzeń

3 Por. R. Shankar, Mechanika kwantowa, s. 29.

33

liniową. Na przykład dla wektorów na płaszczyźnie XY podprzestrzenią jest zbiór wektorów równoległych do osi X i zbiór wektorów równoległych do osi Y.

Sumę dwóch podprzestrzeni V i⊕V j definiujemy jako zbiór zawierający wszystkie elementy pierwszej przestrzeni, wszystkie elementy drugiej przestrzeni i wszystkie ich kombinacje liniowe.

OPERATORY

Na zakończenie tej części wstępu matematycznego omówimy jeszcze pojęcie operatora. Operatorem działającym na przestrzeni liniowej V nazywamy odwzorowanie, które pewnemu wektorowi przyporządkowuje inny wektor:

Ω|v ⟩=|v ' ⟩ .

Ponieważ działanie wielu operatorów (takich jak na przykład operator pędu, czy hamiltonian) na wektor stanu polega na obliczaniu pochodnej, podamy w tym miejscu podstawowe informacje na temat rachunku różniczkowego, fundamentalnego narzędzia fizyki współczesnej, bez którego trudno sobie wyobrazić nie tylko mechanikę kwantową, ale również całą fizykę klasyczną, łącznie z teorią względności.

ELEMENTY RACHUNKU RÓŻNICZKOWEGO

FunkcjaFunkcją f : X → Y nazywamy przyporządkowanie każdemu

elementowi zbioru X jednego i tylko jednego elementu zbioru Y. Zbiór X nazywamy dziedziną, zbiór Y – przeciwdziedziną (zbiorem wartości) funkcji. Sposób przyporządkowania określamy za pomocą odpowiedniego wyrażenia matematycznego. Na przykład funkcja y=2x+1 jest to funkcja liniowa: wartości funkcji otrzymujemy w ten

34

sposób, że każdy x należący do zbioru X (czyli do dziedziny funkcji, zwanej też zbiorem argumentów funkcji) należy pomnożyć przez 2 i dodać do tego 1. Na płaszczyźnie możemy przedstawić ilustrację geometryczną funkcji. Jeżeli na osi x zaznaczymy zbiór argumentów funkcji, natomiast na osi y zbiór wartości funkcji, to otrzymamy w ten sposób wykres funkcji. W naszym prostym przypadku wykresem funkcji liniowej jest linia prosta, przecinająca oś X w punkcie A o współrzędnych ¿) oraz B o współrzędnych (x=0 , y=2). Łatwo się o tym przekonać, wstawiając do równania y=2 x+1 za x wartość 0 (otrzymujemy) y = 1 oraz wstawiając za y wartość wynoszącą 0 (0=2 x+1¿, skąd otrzymujemy

x=−12 . Ponieważ zgodnie z aksjomatami geometrii Euklidesa przez dwa

punkty na płaszczyźnie przechodzi jedna i tylko jedna prosta, otrzymujemy jednoznacznie określony wykres funkcji y=2x+1.

Oczywiście funkcja liniowa to jedna z najprostszych funkcji, niektóre są znacznie bardziej skomplikowane. W dalszej części przedstawimy przykłady niektórych funkcji ważnych dla zrozumienia zjawiska ruchu.

35

Ryc. Granica funkcji w punkcie

Funkcja y=f ( x ) ma granicę równą G w punkcie x=a wtedy i tylko wtedy, jeżeli dla każdej dowolnie małej liczby ε>0 istnieje taka liczba δ>0, że jeżeli ⌊ x−a ⌋<δ to ⌊ f (x )−G ⌋<ε. Zapisujemy to następująco: limx→ a

f ( x )=G (czytamy „limes przy x dążącym do a f (x) równa się G”, od

łac. „limes” – granica).Jeżeli popatrzymy na wykres funkcji, to można zauważyć, że gdy x

zbliża się nieograniczenie do wartości a (niezależnie od tego, czy od strony wartości większych, czy też mniejszych), wówczas wartość f(x) zbliża się nieograniczenie do wartości G. Występujący w definicji symbol ⌊ x ⌋ nazywamy wartością bezwzględną (modułem) liczby x i definiujemy następująco:

⌊ x ⌋=x ,gdy x≥ 0 ;−x , gdy x<0.

Łatwo zauważyć, że wartość bezwzględna każdej liczby jest nieujemna.

36

Ryc. Niekiedy mamy do czynienia z taką sytuacją, że musimy określić

granicę funkcji, gdy x rośnie nieograniczenie (co zapisujemy

symbolicznie limx→ ∞

f (x) (x dąży do nieskończoności). Na przykład wartość

siły grawitacji w teorii Newtona jest odwrotnie proporcjonalna do

kwadratu odległości między przyciągającymi się ciałami (F 1r2 ). Znaczy

to, że jeżeli ciała odsuniemy na odległość dwa razy większą, to będą się przyciągać cztery razy słabiej, jeżeli odsuniemy je na odległość trzy razy większą, to będą się przyciągać dziewięć razy słabiej itd., ale dla żadnej skończonej odległości nie otrzymamy wartości równej zero. Wartość siły grawitacji dąży do zera, gdy odległość między ciałami dąży do nieskończoności (por. ryc.).

Ryc.

37

Granicę funkcji definiujemy w tym przypadku analogicznie: funkcja y=f (x ) ma granicę równą G gdy x=∞ wtedy i tylko wtedy, jeżeli dla każdej dowolnie małej liczby ε>0 istnieje taka liczba δ>0, że jeżeli

⌊ x−a ⌋<δ to ⌊ f (x )−G ⌋<ε. Zapisujemy to następująco: limx→ a

f ( x )=G.

Ciągłość funkcji

Funkcja y=f (x ) jest ciągła w punkcie x=a wtedy i tylko wtedy, gdy posiada ona granicę w tym punkcie, posiada wartość w tym punkcie i

granica równa jest wartości: limx→ a

f ( x )=f (a). Innymi słowy funkcja

y=f (x ) jest ciągła w punkcie x=a wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona określona w tym punkcie i dla każdej dowolnie małej liczbyε>0 istnieje taka liczba δ>0, że jeżeli ⌊ x−a ⌋<δ to ⌊ f (x )−f (a) ⌋<ε.

Druga zasada dynamiki Newtona ma postać równania różniczkowego. Dlatego dla zrozumienia opisu ruchu w mechanice klasycznej niezbędne jest wprowadzenie pojęcia pochodnej funkcji oraz różniczki (zdefiniowane one zostaną dla funkcji jednej zmiennej) oraz elementarne wiadomości na temat równań różniczkowych. Podamy również geometryczną i fizyczną interpretację pochodnej.

Pochodna funkcji jednej zmiennej

Jeżeli funkcja y=f (x ) jest ciągła w przedziale a< x<b oraz dla pewnego punktu x w tym przedziale istnieje granica:

limΔ x →0

Δ yΔ x= lim

Δ x → 0

f (x+Δ x )−f ( x)Δ x

to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w tym punkcie i oznaczamy

symbolem f ' ( x )albo dydx . Niekiedy możemy obliczyć pochodną pochodnej

38

funkcji, co nazywamy drugą pochodną i zapisujemy f ' ' ( x )albo d2 ydx2 .

Ogólnie możemy mówić o n-tej pochodnej funkcji.Korzystając z definicji, można obliczyć pochodne różnych funkcji. W

zastosowaniach matematyki w fizyce często zamiast obliczać pochodne funkcji z definicji, korzysta się ze znanych, obliczonych pochodnych. Podamy kilka przykładów:

Interpretacja geometryczna pochodnej

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji w przedziale a< x<b. Sieczna przecina wykres funkcji w punktach o współrzędnych (x , f ( x )) oraz ¿ pod kątem γ do osi x. Jeżeli przyrost wartości argumentu Δx dąży do zera, wówczas sieczna przechodzi w styczną do wykresu funkcji w punkcie x. Tangens nachylenia stycznej do wykresu funkcji w punkcie x

jest równy pochodnej funkcji w tym punkcie (tg γ= Δ yΔ x ).

39

Ryc.

Interpretacja fizyczna pochodnej

Jeżeli jakaś funkcja wyraża zależność pewnej wielkości od czasu (co zapisujemy: y=f (t )¿. Wówczas pochodna po czasie danej wielkości fizycznej wyraża szybkość zmian tej wielkości. Jeżeli pochodna po czasie funkcji jest równa 0, to znaczy, że wielkość ta nie zmienia się w czasie (jest stała).

Różniczka

W fizyce często mamy do czynienia z wielkościami nieskończenie małymi (infinitezymalnymi). Jeżeli przyrost pewnej wielkości dąży do zera, to zamiast Δx piszemy dx i nazywamy to różniczką, co znaczy właśnie, że mamy na myśli nieskończenie małą zmianę x. Różniczką funkcji nazywamy iloczyn jej pochodnej przez różniczkę zmiennej niezależnej, co zapisujemy następująco:

dy=f ' ( x)dx.

Równanie różniczkowe

Równanie różniczkowe wyraża związek między funkcją y=f (x ), jej pochodnymi i zmienną niezależną x:

F ( y , y ' , y' ' ,…, x)=0.

40

Jeżeli najwyższy rząd pochodnej funkcji y wynosi n, to równanie różniczkowe nazywamy równaniem n-tego stopnia.

Oto przykłady prostych równań różniczkowych:

Wiele zagadnień w fizyce sprowadza się do rozwiązania odpowiednich równań. Rozważmy najpierw przypadek z elementarnej matematyki. Rozwiążmy równanie 2 x+1=0. Rozwiązanie przebiega następująco:

2 x+1=02 x=−1

x=−12

Również równania różniczkowe możemy rozwiązywać, chociaż zajęcie to jest nieco bardziej skomplikowane, niż rozwiązywanie prostych równań z jedną niewiadomą. Rozwiązanie równań różniczkowych otrzymujemy dzięki działaniu zwanym całkowaniem, dlatego potrzebna będzie nam jeszcze definicja całki (nieoznaczonej).

Całka nieoznaczona

Całką nieoznaczoną funkcji f (x) nazywamy funkcję F (x), której pochodna jest równa funkcji f (x) (oznaczamy symbolem

∫ f ( x )dx=F ( x )+C . Całkowanie jest zatem działaniem odwrotnym do różniczkowania i polega na poszukiwaniu funkcji F (x), zwanej funkcją pierwotną. Ponieważ pochodna dowolnej stałej C wynosi 0, to wszystkie funkcje pierwotne funkcji f (x) wyrażają się wzorem F ( x )+C.

Podobnie jak w przypadku pochodnych, wartości typowych całek zostały obliczone i praktyce korzysta się z gotowych wzorów. Oto kilka

41

przykładów, które wykorzystamy w dalszym ciągu omawiania zagadnienia ruchu:

∫ xdx=12

x2+C, ponieważ ( 12 x2+C)'

=2 12

x2−1+0=x .

Podobnie:

∫ xn dx= 1n−1

xn−1+C ,

∫ sinxdx=−cosx+C ,

∫ cosdx=sinx+C.

Całka oznaczona

Sumowanie a całkowanie

Interpretacja geometryczna całki oznaczonej

Wartość całki oznaczonej równa jest polu powierzchni pod krzywą.

42

Oczywiście przedstawiony zarys formalizmu to jedynie wierzchołek góry lodowej, jeśli chodzi o matematykę mechaniki kwantowej, ale resztę pozostawmy fizykom – naszym zadaniem jest zrozumienie fizycznego sensu teorii i jej implikacji filozoficznych, a nie uzyskanie biegłości w rachunkach.

POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ

Istnieją różne matematycznie równoważne sformułowania mechaniki kwantowej. Z historycznego punktu widzenia interesujące jest, że mechanika kwantowa powstała równocześnie Dla naszych potrzeb wybieramy sformułowanie oparte na teorii przestrzeni Hilberta. Podstawowe zasady mechaniki kwantowej można wówczas przedstawić w postaci czterech postulatów (lub aksjomatów).

POSTULAT I: REPREZENTACJA STANU UKŁADU

Stan układu kwantowomechanicznego w pewnej chwili t jest reprezentowany przez unormowany do jedności wektor z zespolonej

przestrzeni Hilberta |Ψ ⟩ . Wektor stanu nazywany jest również funkcją falową, co ma pewien

historyczny związek z koncepcją fal materii de Broglie’a i odzwierciedla falowy aspekt mikroobiektów. Pojęcie stanu układu jest oczywiście stosowane również w mechanice klasycznej – stan układu mechanicznego w pewnej chwili t wyznaczony jest przez pędy i położenia wszystkich elementów układu: p(t), r(t). Mówimy, ze mechanika klasyczna jest teorią deterministyczną, to znaczy, że stan układu w pewnej chwili w sposób jednoznaczny wyznacza stan układu w dowolnej chwili późniejszej. Jeżeli znam stan układu w pewnej chwili i odpowiednie prawa, to – przynajmniej teoretycznie – mogę przewidywać przyszłe zachowanie układu (por. koncepcję demona Laplace’a z rozdziału o mechanice klasycznej). Możemy powiedzieć, że zgodnie z mechaniką klasyczną

43

świat ma tylko jedną historię: to, co się dzieje teraz (na gruncie mechaniki klasycznej pojęcie równoczesności ma charakter absolutny) determinuje przyszłe stany Wszechświata. Zdarzenia muszą dziać się tak a nie inaczej, ponieważ te same przyczyny w takich samych warunkach powodują takie same skutki. Pojęcie „przypadku” w mechanice klasycznej odzwierciedla jedynie naszą niewiedzę.

Pojęcie stanu układu w mechanice kwantowej ma nieco bardziej abstrakcyjny charakter. Otóż pędy i położenia są wielkościami fizycznymi bezpośrednio mierzalnymi (lub „obserwowalnymi”), natomiast wektor

stanu |Ψ ⟩ jest czysto abstrakcyjną wielkością zdefiniowaną w zespolonej przestrzeni Hilberta. Nie reprezentuje on niczego, co można bezpośrednio zaobserwować lub zmierzyć, ale znajomość wektora stanu pozwala na obliczenie prawdopodobieństw rezultatów pomiarów różnych wielkości fizycznych. Probabilistyczna interpretacja wektora stanu (funkcji falowej) została sformułowana przez Maxa Borna (1926) i stanowi ona jeden z fundamentów kopenhaskiej interpretacji mechaniki kwantowej Bohra i Heisenberga (o interpretacjach mechaniki kwantowej będzie mowa w dalszej części rozdziału). Zgodnie z interpretacją kopenhaską mechaniki

kwantowej wektor stanu |Ψ ⟩ zawiera wszystkie informacje o układzie i w tym sensie może być utożsamiony z wiedzą, jaką można uzyskać o układzie.

ZASADA SUPERPOZYCJI STANÓW

Zasada superpozycji stanów nie jest jakimś odrębnym aksjomatem, czy też postulatem mechaniki kwantowej – jest ona po prostu konsekwencją liniowości przestrzeni Hilberta, jednak odpowiedzialna jest za wiele własności mikroświata, które w ogóle nie mają analogii w świecie naszego codziennego doświadczenia, dlatego też zasługuje na szczególną uwagę. Najprościej rzecz ujmując, zasada superpozycji oznacza, że jeżeli

układ może się znaleźć w stanie opisanym wektorem stanu |Ψ 1 ⟩ i może

się znaleźć w stanie opisanym funkcją falową |Ψ 2 ⟩ , to może się również

44

znaleźć w stanie opisanym dowolną kombinacją liniową tych stanów, co w najprostszym przypadku możemy zapisać następująco:

|Ψ ⟩=a1|Ψ 1 ⟩+a2|Ψ 2 ⟩

gdzie a1, a2 oznaczają dowolne liczby zespolone, które nazywamy amplitudami prawdopodobieństwa.

Co ten zapis właściwie oznacza, najłatwiej będzie zrozumieć odwołując się do opisanego wyżej eksperymentu na dwóch szczelinach (por. rys. …). Ze źródła Z wysyłamy pojedynczy elektron, który może dotrzeć do ekranu dwiema różnymi drogami, przechodząc przez szczelinę S1 lub1 przez szczelinę S2. Myślenie oparte na schemacie pojęciowym mechaniki klasycznej podpowiada nam, że niepodzielna cząstka, jaką jest elektron, może przejść albo przez jedną szczelinę albo przez drugą. Wiemy jednak, że taki sposób rozumowania jest z pewnością błędny, ponieważ uniemożliwia wyjaśnienie faktu interferencji (czyli, mówiąc prościej: takiego a nie innego rozkładu przestrzennego śladów elektronów na ekranie). Jeżeli jakiekolwiek zjawisko kwantowe może zajść na dwa lub więcej sposobów, to w celu jego poprawnego opisu, musimy uwzględnić wszystkie możliwości. W przykładzie eksperymentu na dwóch

szczelinach możemy wprowadzić następujące oznaczenia: |Ψ ⟩ – elektron

dociera do punktu P na ekranie; |Ψ 1 ⟩ – elektron przechodzi przez

szczelinę S1 i dociera do punktu P na ekranie; |Ψ 2 ⟩ – elektron przechodzi przez szczelinę S2 i dociera do punktu P na ekranie. Ze względu na symetrię układu, amplitudy prawdopodobieństwa są równe i wynoszą

1 Terminu „lub” użyłem tutaj na oznaczenie alternatywy, a nie dyzjunkcji. Przypomnijmy, że alternatywa zdań p lub q jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jedno ze zdań jest prawdziwe. Nie wyklucza to sytuacji, w której obydwa zdania są prawdziwe. Wprawdzie jest to elementarny fakt z logiki, ale mówiąc o elektronach przechodzących przez układ dwóch szczelin skłonni jesteśmy ujmować to zjawisko w kategoriach dyzjunkcji właśnie (albo, albo), która jest prawdziwa wtedy, gdy tylko jedno ze zdań jest prawdziwe. Nie jest to jednak poprawne podejście do opisu eksperymentu interferencyjnego.

45

a1=a2=1√2 (wyrażenie z pierwiastkiem pojawia się dlatego, że wektor

stanu musi być unormowany do jedności – prawdopodobieństwo zdarzenia zachodzącego jakąkolwiek drogą musi wynosić jeden). Możemy zatem zapisać:

|Ψ ⟩= 1√2(|Ψ 1 ⟩+|Ψ 2 ⟩ )

Zgodnie z interpretacją Borna, wektor stanu pozwala nam na obliczenie prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w pewnym elemencie przestrzeni. Aby to zrobić, musimy, podobnie w przypadku opisu klasycznych fal, obliczyć kwadrat modułu wektora stanu. Prawdopodobieństwo znalezienia elektronu w pewnym punkcie ekranu przy założeniu, że otwarte są obydwie szczeliny wynosi: por Penrose 273

P=||Ψ ⟩|2=12|(|Ψ 1 ⟩+|Ψ 2 ⟩ )|

2=12(|Ψ 1|

2+|Ψ 2|2+2⟨Ψ 1|Ψ 2⟩ )

Pierwsze dwa człony wyrażenia w nawiasie są proporcjonalne do prawdopodobieństwa tego, że elektron przeszedł przez szczelinę S1 i trafił w punkt P ekranu oraz prawdopodobieństwa tego, że elektron przeszedł przez szczelinę S2 i trafił w punkt P ekranu, pojawia się natomiast dodatkowo pewien człon interferencyjny, właściwie niemożliwy do wyrażenia w codziennym języku, co sprawia, że prawdopodobieństwo sumy zdarzeń nie jest równe sumie prawdopodobieństw (jeśli nie podejmujemy próby określenia które z możliwych zdarzeń zaszło). W mechanice kwantowej obowiązują różne od klasycznych sposoby obliczania prawdopodobieństwa: jeśli zdarzenie może zajść na wiele różnych sposobów, to musimy najpierw dodać do siebie amplitudy prawdopodobieństwa dla każdej z możliwości, a następnie podnieść je do kwadratu. Jeśli w doświadczeniu możemy określić, która z alternatywnych możliwości się zrealizowała (w naszym przykładzie:

46

przez którą szczelinę przeszedł elektron), wówczas prawdopodobieństwo zdarzenia jest równe sumie prawdopodobieństw (brak interferencji).2 O różnicy między klasycznym (Kołmogorowa) a kwantowomechanicznym (von Neumanna) pojęciem prawdopodobieństwa powiemy jeszcze w dalszej części rozdziału.

Podsumujmy: jeśli jakieś zdarzenie może zajść na wiele alternatywnych sposobów, to w celu jego poprawnego opisu musimy uwzględnić wszystkie możliwości: dodajemy do siebie zespolone amplitudy prawdopodobieństwa i podnosimy do kwadratu otrzymując prawdopodobieństwo zdarzenia. Powróćmy jeszcze raz do eksperymentu interferencyjnego: wkłady od alternatywnych dróg elektronu (lub fotonu) mogą dodawać się (interferencja konstruktywna na ekranie), mogą się znosić (interferencja destruktywna), ale również możemy tworzyć również kombinacje typu

„droga przez szczelinę S1” + i „droga przez szczelinę S2”,

gdzie i=√−1 , które odpowiadają punktom na ekranie o średniej liczbie elektronów (lub fotonów). W rzeczywistości możemy tworzyć takie kombinacje z dowolnymi liczbami zespolonymi.3

Nieco bardziej formalnie zasadę superpozycji możemy przedstawić

następująco: każdy wektor stanu |Ψ ⟩ możemy przestawić jako kombinację liniową wektorów bazy:

|Ψ ⟩=∑i=1

n

|Ψ i ⟩ ⟨Ψ i|Ψ ⟩=∑i=n

n

ai|Ψ i ⟩

gdzie I=∑

i=1

n

|Ψ 1 ⟩ ⟨Ψ 1| jest tzw. operatorem jednostkowym, a i=⟨Ψ i|Ψ ⟩ –

(zespolonymi) amplitudami prawdopodobieństwa. Amplituda

2 Por. R. P. Feynman, Charakter…, s. 153.3 Por. R. Penrose, Nowy umysł…, s. 266.

47

prawdopodobieństwa jest po prostu iloczynem skalarnym wektora stanu i wektora bazy, czyli rzutem wektora stanu na wektor bazy. Działanie operatora jednostkowego na wektor stanu nie zmienia tego wektora:

I|Ψ ⟩=|Ψ ⟩ .

POSTULAT II: REPREZENTACJA WIELKOŚCI FIZYCZNYCH

Wielkości fizyczne mierzalne, takie jak położenie cząstki, pęd, energia czy spin nazywane są w mechanice kwantowej obserwablami.

Obserwable są reprezentowane przez operatory hermitowskie działające w zespolonej przestrzeni Hilberta.

Jak już była o tym mowa, operatorem działającym na przestrzeni liniowej V nazywamy odwzorowanie, które pewnemu wektorowi przyporządkowuje inny wektor:

Ω|Ψ ⟩=|Ψ ' ⟩ .

Na przykład działanie operatora położenia x=x (w najprostszym przypadku tzw. zagadnienia jednowymiarowego, tzn. gdy rozważamy ruch cząstki wzdłuż osi x) sprowadza się do pomnożenia wektora stanu

przez x; operator pędu p=−iℏ d

dx to obliczanie pochodnej po x (pomnożone przez odpowiedni współczynnik liczbowy); operator energii, zwany hamiltonianem, zdefiniowany jest dla cząstki swobodnej o masie

m następująco: H=−ℏ

2

2md2

dx 2 (obliczanie drugiej pochodnej pomnożone

przez odpowiedni współczynnik liczbowy).

Jeżeli działanie operatora Ω hermitowskiego na wektor stanu |Ψ ⟩ daje w rezultacie ten sam wektor stanu |Ψ ⟩ pomnożony przez pewną liczbę rzeczywistą a, wówczas równanie:

48

Ω|Ψ ⟩=a|Ψ ⟩

nazywamy równaniem własnym operatora, wektor |Ψ ⟩ - wektorem własnym, zaś a - wartością własną operatora. Operatory, zwane operatorami hermitowskimi, charakteryzują się tym, że ich wartości własne wyrażane są liczbami rzeczywistymi i mogą być interpretowane jako wyniki pomiarów wielkości fizycznych.

POSTULAT III: EWOLUCJA STANU UKŁADU KWANTOWEGO W CZASIE

Dynamikę układu kwantowomechanicznego opisuje (w przypadku nierelatywistycznym4) równanie Schrödingera:

i ℏ ddt|Ψ ( t ) ⟩=H

¿|Ψ ( t ) ⟩

,

gdzie i=√−1 , ℏ= h

2 π jest zredukowaną stałą Plancka,

ddt oznacza

różniczkowanie po czasie, H¿

jest hamiltonianem układu, to znaczy operatorem odpowiadającym całkowitej energii układu.

Równanie Schrödingera pełni w mechanice kwantowej rolę analogiczną do równania Newtona w mechanice klasycznej: jeżeli dany jest stan układu w pewnej chwili to, to można w sposób jednoznaczny przewidzieć stan układu w dowolnej chwili późniejszej. W tym znaczeniu równanie Schrödingera jest równie deterministyczne, jak równanie Newtona. Innymi słowy: równanie Schrödingera jest liniowym

4 W przypadku relatywistycznym, czyli uwzględniającym szczególną teorię względności Einsteina, jest to nieco inne równanie, zwane równaniem Diraca. Dla naszych rozważań jednak różnica między relatywistyczną a nierelatywistyczną mechaniką kwantową nie ma większego znaczenia.

49

równaniem różniczkowym drugiego rzędu na wektor stanu, a równania takie mają jednoznaczne rozwiązania. Istotna różnica między mechaniką klasyczną a mechaniką kwantową polega jednak na tym, że wektor stanu nie reprezentuje żadnej wielkości fizycznej mierzalnej, a może być powiązany z doświadczeniem jedynie wówczas, gdy nastąpi pomiar jakiejś wielkości fizycznej. Formalizm matematyczny mechaniki kwantowej pozwala na przewidywanie prawdopodobieństwa rezultatu pomiaru i w tym sensie jest ona teorią indeterministyczną.

POSTULAT IV: POSTULAT POMIARU

Dla układu znajdującego się w stanie |Ψ ⟩ prawdopodobieństwo uzyskania w rezultacie pomiaru wartości własnej ai odpowiadającej

wektorowi własnemu|Ψ i ⟩ operatora Ω wynosi:

P(a i)=|⟨Ψ i|Ψ ⟩|2.

Postulat pomiaru stanowi o fundamentalnej różnicy między mechaniką klasyczną a mechanika kwantową, a także jest źródłem kontrowersji interpretacyjnych wokół mechaniki kwantowej i dlatego wymaga szerszego omówienia.

Sytuacja jest następująca: dopóki „nie obserwujemy” układu kwantowego, to jego zmiany w czasie opisywane są ciągłym i deterministycznym równaniem Schrödingera. Proces pomiaru jest natomiast opisany przez radykalnie odmienną procedurę – nieciągłą i indeterministyczną redukcję wektora stanu. Ponieważ można przewidzieć jedynie prawdopodobieństwo rezultatu pomiaru, to mechanika kwantowa jest teorią indeterministyczną. Wprawdzie wektor stanu zmienia się w czasie zgodnie z równaniem Schrödingera w sposób całkowicie deterministyczny, to jednak wektor stanu jest na ogół superpozycją wszystkich wektorów własnych odpowiadających mierzonej wielkości fizycznej, które reprezentują wszystkie możliwe wyniki pomiarów.

50

A

nie-A

B

nie-B

BP

AP

BAPP '

Możemy zatem powiedzieć, że deterministyczna ewolucja dotyczy możliwości, czy też potencjalności, natomiast akt pomiaru powoduje aktualizację jednej z tych potencjalności.

Warto w tym miejscu podać geometryczną interpretację wektora stanu i procesu pomiaru.

Rozważmy najprostszy przypadek dwuwymiarowej przestrzeni

Hilberta, którego bazę stanowią wektory własne |Ψ 1 ⟩ i |Ψ 2 ⟩ (por. rys.

…). Wektor stanu możemy rozłożyć na składowe w bazie |Ψ 1 ⟩ i |Ψ 2 ⟩ (przebiega to podobnie, jak rozkład wektora na składowe w zwykłej przestrzeni euklidesowej). Wykonaniu pomiaru wielkości fizycznej odpowiada rzutowanie wektora stanu na podprzestrzeń przestrzeni

51

Hilberta (to znaczy w tym przypadku na kierunki wyznaczone przez |Ψ 1 ⟩

albo |Ψ 2 ⟩). Prawdopodobieństwo określonego rezultatu pomiaru jest równe kwadratowi rzutu wektora stanu na tę podprzestrzeń, czyli

kwadratowi iloczynu skalarnego: P(a i)=|⟨Ψ i|Ψ ⟩|2, czyli po prostu

kwadratowi zespolonej amplitudy prawdopodobieństwa. Po wykonaniu

pomiaru stan układu jest reprezentowany przez |Ψ i ⟩ (ściślej rzecz biorąc ten nowy wektor stanu należy podzielić przez jego długość, czyli unormować ponieważ rzut wektora na dowolny kierunek ma mniejszą długość niż ten wektor, a wektor stanu powinien być unormowany do jedności, ponieważ prawdopodobieństwo otrzymania jakiegokolwiek wyniku musi być w sumie równe jeden).

Operator

PΨ i=|Ψ i ⟩ ⟨Ψ i|

nazywamy operatorem rzutowym. Procesy pomiarów różnych obserwabli możemy zatem opisać za pomocą operatorów rzutowych, których

działanie na wektor stanu |Ψ ⟩ sprowadza się właśnie do ich rzutowania na odpowiednią podprzestrzeń wektorów własnych. Prawdopodobieństwo otrzymania określonej wartości mierzonej wielkości fizycznej jest równe kwadratowi rzutu wektora stanu na wektor własny odpowiadający mierzonej wielkości.

Powróćmy na chwilę do naszych eksperymentów – eksperymentu z dwiema szczelinami i eksperymentu z opóźnionym wyborem. Mówiliśmy, że w eksperymentach tych foton (czy elektron) porusza się „w pewnym sensie” po dwóch drogach równocześnie oraz wspominaliśmy, że jest to uproszczenie. Otóż poprawniej należałoby powiedzieć w sposób następujący (weźmy dla jasności eksperyment z opóźnionym wyborem): po oddziaływaniu ze zwierciadłem półprzepuszczalnym BS to nie foton ulega „rozszczepieniu”, lecz wektor

52

stanu fotonu znajduje się w superpozycji stanów odpowiadających drodze „górnej” i „dolnej”. Nie znaczy to jednak, że foton porusza się z prawdopodobieństwem ½ po jednej drodze i z prawdopodobieństwam ½ po drodze drugiej, ponieważ określone prawdopodobieństwo dotyczy wyłącznie rezultatu pomiaru, a nie zachowania fotonu pomiędzy pomiarami. Po wykonaniu pomiaru (w tym przypadku po określeniu, którą drogą porusza się foton) stan fotonu ulega redukcji („urzeczywistnia się” jedna z dróg), przed pomiarem mamy do czynienia z superpozycją dwóch stanów.

Zgodnie ze zdrowym rozsądkiem i myśleniem opartym na ideach fizyki klasycznej, rzeczy istnieją i zachowują się tak a nie inaczej zupełnie niezależnie od tego, czy są obserwowane czy też nie. Oczywiście, ludzie często zachowują się inaczej, gdy wiedzą, że są obserwowani niż wówczas, gdy ich nikt nie podgląda. Jednak z pewnością (przynajmniej według fizyki klasycznej) Księżyc istnieje nawet wtedy, gdy nikt nie patrzy i znajduje się w dobrze określonym stanie (czyli ma określone położenie i prędkość, czy też pęd w każdej chwili czasu). Ale skąd elektrony czy fotony „wiedzą”, że ktoś na nie „patrzy”? Dlaczego układ znajdujący się w stanie superpozycji w rezultacie pomiaru nagle przeskakuje do określonego stanu? Czym pomiar w sensie mechaniki kwantowej różni się od innych oddziaływań? Czy do wykonania pomiaru potrzebny jest świadomy obserwator, czy też pomiar może być wykonany przez automat? Różne odpowiedzi na tego typu pytania prowadzą do różnych interpretacji mechaniki kwantowej, o których będzie mowa w dalszej części.

ZASADA NIEOZNACZONOŚCI HEISENBERGA

Zasada nieoznaczoności została sformułowana przez Wernera Heisenberga w 1927 roku.1 Najczęściej formułuje się ją następująco: nie można jednocześnie z dowolną dokładnością zmierzyć położenia i pędu cząstki elementarnej, albo – im dokładniej znamy położenie cząstki tym

1 W. Heisenberg, Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik, „Zeitschrift für Physik” 1927, Vol. 43, s. 172–198.

53

mniej dokładnie znamy jej pęd i vice versa. W zasadzie jest to poprawne sformułowanie, ale wymaga pewnego komentarza i uściślenia.

Przede wszystkim zasada nieoznaczoności nie ma żadnego związku z niedokładnością czy też z błędami popełnianymi podczas faktycznie wykonywanych pomiarów. Dotyczy ona bowiem również pomiarów idealnych, to znaczy przeprowadzonych z maksymalną precyzją i nakłada nieprzekraczalne ograniczenia na możliwość jednoczesnego pomiaru wielkości sprzężonych.2 Jej treść wynika bezpośrednio z formalizmu mechaniki kwantowej.

Komutatorem operatorów A i B nazywamy wielkość:

[ A , B ]=AB−BA .

Jeżeli [ A , B ]=0 to mówimy, że operatory A i B komutują ze sobą. Posiadają one wówczas wspólną bazę wektorów własnych i obserwable reprezentowane przez te operatory mogą być zmierzone jednocześnie z dowolną dokładnością. Dla komutujących operatorów kolejność wykonywania pomiarów nie ma znaczenia – jeśli najpierw zmierzę wielkość reprezentowaną przez operator A, a następnie wielkość reprezentowaną prze operator B, to otrzymam dokładnie taki sam wynik, jak gdybym przeprowadził pomiary w odwrotnej kolejności. Dla takich par wielkości fizycznych nie istnieje zasadnicze ograniczenie na możliwość jednoczesnego ich zmierzenia z dowolną dokładnością a kolejność pomiarów nie ma żadnego znaczenia. Przykładem takiej pary wielkości może być pęd i energia. Sytuacja jest pod tym względem zupełnie podobna do pomiaru w mechanice klasycznej.

Jeżeli jednak komutator dwóch operatorów [ A , B ]≠0 , czyli operatory te nie komutują ze sobą, to sytuacja jest zupełnie inna. Obserwable reprezentowane przez takie operatory nazywamy sprzężonymi i każda para sprzężonych obserwabli spełnia relacje nieoznaczoności Heisenberga. Oprócz pędu i położenia (a ściślej rzecz biorąc składowej pędu i odpowiadającej jej składowej położenia) przykładami wielkości

2 „Nieprzekraczalne” oczywiście z punktu widzenia mechaniki kwantowej.

54

sprzężonych są składowe spinu cząstki elementarnej oraz moment pędu i kąt. Istnieje również relacja nieoznaczoności dla energii i czasu, ale ma nieco inny status niż pozostałe, ponieważ czas nie jest reprezentowany w mechanice kwantowej przez operator. Pary zmiennych sprzężonych nie można zmierzyć jednocześnie z dowolną dokładnością, a ponadto dla takich zmiennych kolejność pomiarów ma istotne znacznie: jeśli najpierw zmierzę wielkość reprezentowaną przez operator A, a następnie wielkość reprezentowaną prze operator B, to otrzymam zupełnie inny wynik, niż gdybym przeprowadził pomiary w odwrotnej kolejności. Pomiar wielkości fizycznej reprezentowanej przez operator A „zaburza”3 wielkość fizyczną reprezentowaną przez operator B.

Rozważmy prosty przypadek jednowymiarowy i komutator operatorów położenia i pędu (działanie operatora położenia x sprowadza

się wówczas do pomnożenia wektora stanu |Ψ ⟩ przez liczbę x, natomiast

działanie operatora pędu p=−iℏ d

dx polega na obliczeniu pochodnej po x i pomnożeniu przez odpowiedni współczynnik liczbowy):

[ x , px ]|Ψ ⟩=[x ,−i ℏ ddx ]|Ψ ⟩=[ x (−iℏ d

dx)−(− iℏ d

dxx ) ]|Ψ ⟩=

=−iℏ x ddx|Ψ ⟩+i ℏ d

dx( x|Ψ ⟩)=

=−iℏ x ddx|Ψ ⟩+i ℏ dx

dx|Ψ ⟩+i ℏ x d

dx|Ψ ⟩= i ℏ|Ψ ⟩ ,4

stąd

3 Użyłem cudzysłowu, ponieważ o „zaburzeniu” można mówić tylko w kontekście pewnych interpretacji mechaniki kwantowej, o czym będzie mowa w dalszej części rozdziału.

4 Wykorzystaliśmy wzór na pochodną iloczynu dwóch funkcji f i g: ddx( f⋅g )=df

dxg+f dg

dx .

55

[ x ,−iℏ ddx ]=[ x , px ]=i ℏ

.

Widzimy zatem, że komutator operatorów położenia i pędu nie jest równy zeru czyli operatory te nie komutują ze sobą.

Dla pędu i położenia zasada nieoznaczoności może być zapisana następująco:

Δp⋅Δq≥ℏ2 ,

gdzie Δp jest nieoznaczonością pędu, Δq – nieoznaczonością położenia cząstki elementarnej.

Nieoznaczoność, o której tu mowa, nie jest jednak jakąś potocznie rozumianą „niedokładnością”, czy „niepewnością”, ale ma precyzyjną definicję matematyczną – jest to średnie odchylenie kwadratowe. Dla dowolnego operatora Ω:

ΔΩ=√Ω−⟨Ω⟩2 ,

gdzie

⟨Ω⟩=⟨Ψ|Ω|Ψ ⟩

jest wartością oczekiwaną operatora.5 Nieco bardzie poglądowo zasadę nieoznaczoności można zilustrować

następująco: zgodnie z koncepcją de Broglie’a z każdą cząstką o pędzie p

jest związana fala o długości λ= h

p . Pęd jest dobrze określony, gdy

5 Por. R. Shankar, Mechanika kwantowa…, s. 134.

56

dobrze jest określona długość fali – w skrajnym przypadku funkcja falowa będzie sinusoidą rozciągającą się „od minus nieskończoności do plus nieskończoności” i położenie cząstki będzie zupełnie nieokreślone. W takim przypadku cząstka może znajdować się w dowolnym miejscu. Jeżeli natomiast położenie cząstki jest określone, to funkcja falowa ma ostre maksimum w miejscu, w którym prawdopodobieństwo znalezienia cząstki (w rezultacie przeprowadzonego pomiaru) jest bliskie jedności. W takim przypadku pęd cząstki jest całkowicie nieokreślony. W przypadkach pośrednich cząstkę reprezentuje „paczka falowa”, dla której zarówno pęd jak i położenie jest określone w granicach zgodnych z zasadą nieoznaczoności Heisenberga.

Rys. Poglądowa interpretacja zasady nieoznaczoności Heisenberga dla pędu i położenia: a) dobrze określone położenie, pęd nieokreślony; b) dobrze określony pęd, położenie nieokreślone; c) pęd i położenie określone z dokładnością do relacji nieoznaczoności.

Powróćmy jeszcze do pomiarów. W odróżnieniu od spadających jabłek, poruszających się kul bilardowych, Księżyca okrążającego Ziemię i innych przedmiotów makroskopowych, świat atomów i cząstek elementarnych jest i pozostanie na zawsze poza zakresem naszego bezpośredniego doświadczenia zmysłowego. Dlatego w mechanice kwantowej podstawowe znaczenie mają laboratoryjne procedury

57

obserwacji i pomiarów.6 Oczywiście pomiary różnych wielkości fizycznych zawsze związane są z materialnym oddziaływaniem na badany układ. O układzie absolutnie izolowanym nie można uzyskać żadnych informacji, dlatego interakcja przyrząd – obiekt jest niezbędna zarówno w dziedzinie klasycznej, jak i kwantowej. Jednak zawsze dążymy do tego, aby wpływ, jaki wywieramy na badane zjawisko, zminimalizować. Jeśli na przykład chcę zmierzyć temperaturę jakiegoś ciała, to nie powinienem używać termometru, który w istotny sposób wpłynie na temperaturę tego ciała.7 W fizyce klasycznej przyjmowano, że oddziaływanie między przyrządem pomiarowym a mierzonym obiektem może być ograniczone do minimum tak, że jest praktycznie zaniedbywalne. Przy takim założeniu pomiar ujawnia cechę przedmiotu, jaką posiadał on przed pomiarem i całkowicie niezależnie od niego. Jeżeli na przykład chcę poznać położenie kuli bilardowej, to muszę ją oświetlić – odbity foton trafia do mojego oka i pozwala na lokalizację kuli. Rozsądne wydaje się założenie, że oddziaływanie mikroskopowego obiektu, jakim jest foton, z kulą bilardową zbudowaną z miliardów miliardów atomów w najmniejszym stopniu nie ma wpływu na jej tor ruchu. W takim przypadku obserwacja nie zaburza obserwowanego układu. Rozważmy jednak jak przedstawiałaby się sytuacja, gdyby z jakichś powodów jedynym sposobem poznania położenia kuli na stole bilardowym było uderzenie w nią inną kulą bilardową. Wówczas na podstawie analizy sposobu, w jaki odbiła się nasza kula bilardowa od tej, której położenie chcieliśmy ustalić, można oczywiście określić położenie obserwowanej kuli, ale oddziaływanie, jakie wprowadziliśmy powoduje istotne zaburzenie badanego obiektu. Pod pewnymi względami jest do sytuacja podobna do pomiaru w mechanice kwantowej.

Jeżeli chcę na przykład poznać położenie elektronu, to również należy go oświetlić, kierując na elektron foton, który po oddziaływaniu z elektronem zarejestrowany będzie przez jakiś detektor. Dokładność, z jaką mogę określić położenie elektronu jest proporcjonalna do długości fali fotonu. Rozmiary liniowe elektronu są rzędu 10-15 m, zatem chcąc go

6 Por. D. C. Cassidy, Uncertainty…, .s 227.7 Por. M. Planck

58

dokładnie zlokalizować muszę użyć światła o odpowiednio małej długości fali – im mniejsza będzie długość fali fotonu, tym dokładniejsza będzie lokalizacja elektronu. Zgodnie jednak ze wzorem Plancka energia fotonu jest odwrotnie proporcjonalna do jego długości fali: E=hν=hc / λ , zatem im mniejsza jest długość fali fotonu, tym większa jest jego energia. W chwili, gdy foton ulegnie rozproszeniu na elektronie, określone jest położenie elektronu, ale następuje wówczas nieokreślone zaburzenie pędu elektronu. Im dokładniej znamy położenie elektronu, tym mniej dokładnie znany jest jego pęd i na odwrót.8 W odróżnieniu od sytuacji poznawczej w mechanice klasycznej, w mechanice kwantowej ingerencji w przebieg zjawiska nie można dowolnie minimalizować – każdemu procesowi pomiaru towarzyszy nie dające się kontrolować zaburzenie układu.

Zasada nieoznaczoności ma istotne znaczenie dla sporu determinizm-indeterminizm. Laplace, formułując dwoją koncepcję demona, który znając prawa przyrody, działające siły i warunki początkowe mógłby przewidzieć całą przyszłość Wszechświata w najdrobniejszych szczegółach przyjmował, że warunki początkowe (pędy i położenia wszystkich ciał we Wszechświecie) można ustalić, przynajmniej w teorii, z dowolnie małym błędem. Z zasady nieoznaczoności wynika jednak, że nie można ustalić (zmierzyć) pędu i położenia z dowolną dokładnością nawet dla jednej cząstki elementarnej, takiej jak elektron. Jedną z fundamentalnych funkcji nauki jest przewidywanie przyszłych zjawisk. Jeżeli mechanika klasyczna stawiała sobie za ideał możliwość jednoznacznego przewidywania zjawisk (zarówno w skali kosmicznej, jak i atomowej), to możemy powiedzieć, że mechanika kwantowa ukazuje tu pewne granice poznania – wydaje się, należy odrzucić marzenie o deterministycznej przewidywalności zjawisk, musimy się zadowolić jedynie możliwością przewidywania prawdopodobieństw zjawisk i w tym znaczeniu mechanika kwantowa jest indeterministyczna. (W praktyce możliwość jednoznacznego przewidywania przyszłych zdarzeń nawet w

8 W. Heisenberg, Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik and Mechanik, „Zeitschrift für Physik” 1927, Vol. 43, s. 174-175.

59

mechanice klasycznej okazała się możliwa jedynie w bardzo prostych sytuacjach).

Zasada nieoznaczoności prowadzi do ciekawych wniosków dotyczących wyobrażalności mikroświata. Ponieważ mikroobiektom nie można jednocześnie przypisać ściśle określonego pędu i położenia, to nie przysługują im klasycznie rozumiane trajektorie w czasoprzestrzeni. Ruch mikroobiektów nie da się więc przedstawić w poglądowych kategoriach fizyki klasycznej. W szczególności wyobrażenie atomu na podobieństwo układu planetarnego z elektronami orbitującymi wokół jądra (często przedstawiany symbol „wieku atomu”) jest całkowicie niezgodne z mechaniką kwantową. Sposób, w jaki poruszają się elektrony w atomie jest dla nas całkowicie niewyobrażalny (podobnie zresztą jak sposób, w jaki poruszają się elektrony przez układ szczelin w eksperymencie interferencyjnym).

Zakres stosowalności mechaniki kwantowej nie ogranicza się wyłącznie do mikroświata, ale ma charakter uniwersalny. Pojawia się zatem naturalne pytanie o to, dlaczego w makroświecie nie obserwujemy na przykład interferujących kul bilardowych, a kule bilardowe czy nawet ziarnka piasku poruszają się po dobrze określonych trajektoriach. Otóż relacje nieoznaczoności obowiązują również dla przedmiotów makroskopowych, ale ze względu na olbrzymie w porównaniu do mas cząstek elementarnych masy poruszających się ciał makroskopowych efekty wynikające z zasady nieoznaczoności są całkowicie poza możliwością ich obserwacji nawet za pomocą najbardziej dokładnej aparatury. Na przykład dla ziarenka piasku o masie 1 g poruszającego się z prędkością 1 cm/s długość fali jest rzędu 10-26 cm, zatem 10-13 razy mniejsza niż średnica protonu.9 Nieoznaczoność pędu i położenia są w takim wypadku zupełnie niemierzalne. Z drugiej strony, gdyby udało się zlokalizować obiekt o rozmiarach liniowych rzędu 10-8 cm i gęstości 1g/cm3, to nieoznaczoność prędkości wynosiłaby Δv≥1 km /s .

Zdaniem Heisenberga statystyczny charakter mechaniki kwantowej jest jej cechą ostateczną i żadne przyszłe dokonania w dziedzinie fizyki

9 R. Shankar, Mechanika kwantowa, tłum. M. Łukaszewski, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2007, s. 120.

60

mikroświata nie pozwolą na przekroczenie ograniczeń związanych z zasadą nieoznaczoności. Indeterminizm mechaniki kwantowej wynika z tego, że badamy mikroświat przy pomocy materialnych przyrządów pomiarowych.10 Istnienie elementarnego kwantu działania sprawia, że oddziaływanie między przyrządem a obiektem z przyczyn czysto fizycznych nie może być dowolnie zminimalizowane. Eddington napisał kiedyś, że nie przypisujemy sobie wiedzy o świecie, jak gdyby go badano w jakiś nadnaturalny sposób, bez użycia przyrządów pomiarowych wchodzących w jego skład.11

Możliwe są dwie interpretacje zasady nieoznaczoności – epistemologiczna i ontologiczna. Heisenberg skłaniał się do interpretacji epistemologicznej. Pisał, że nasza wiedza o systemie jest zawsze niezupełna i dlatego „prawa mechaniki kwantowej muszą mieć charakter statystyczny”.12 „Wiedza o położeniu cząstki jest komplementarna w stosunku do wiedzy o jej prędkości (lub pędzie). Im większa jest dokładność pomiaru jednej z tych wielkości, tym mniej dokładnie znamy drugą. Musimy jednak znać obie, jeśli chcemy określić zachowanie się układu”.13

Przykładem interpretacji ontologicznej jest stanowisko Eddingtona – pisał on, że taki obiekt, jak elektron z równocześnie określonym pędem i położeniem po prostu w naturze nie istnieje.14

Warto w tym miejscu przytoczyć uwagę Feynmana odnośnie do „wielkości nieobserwowalnych” w fizyce.15 Podkreśla on, że fakt, iż nie jesteśmy w stanie jednocześnie zmierzyć pędu i położenia z dowolną dokładnością, nie oznacza a priori, że nie możemy o nich mówić. Znaczy to jedynie, że nie musimy o nich mówić. W szczególności zaś

10 Por. D. C. Cassidy, Uncertainty…, s. 234-235.11 Por. A. S. Eddington, 12 W. Heisenberg, The Physicist’s Conception of Nature…, s. 41.13 W. Heisenberg, Fizyka a filozofia…, s. 31. 14 A. Eddington, …; por. A. Łukasik, „Selektywny subiektywizm” Arthura S.

Eddingtona, 15 R. P. Feynman, The Feynman Lectures on Physics. Quantum Mechanics, s. 8. W

polskiej edycji Feynmana wykładów z fizyki pominięty został paragraf 2-6 Philosopical implications.

61

niemożliwość jednoczesnego pomiaru z dowolną dokładnością pędu i położenia cząstki elementarnej w mechanice kwantowej nie oznacza w żadnym wypadku, że mechanika klasyczna jest błędna. Po prostu na gruncie mechaniki klasycznej pojęcie cząstki z jednocześnie określonym pędem i położeniem jest użyteczne, natomiast na gruncie mechaniki kwantowej nie jest użyteczne.

Równie doniosłe są filozoficzne konsekwencje zasady nieoznaczoności dla energii i czasu:

ΔE⋅Δt≥ℏ2 .

Przede wszystkim ukazuje ona pewne ograniczenia jednej z najbardziej podstawowych zasad w fizyce, a mianowicie zasady zachowania energii – zgodnie z mechaniką kwantową jest ona spełniona jedynie w granicach zasady nieoznaczoności.

Zasada nieoznaczoności dla energii i czasu ma też podstawowe znaczenie dla naszego rozumienia próżni. Zgodnie z klasycznym (Newtonowskim) obrazem świata pusta przestrzeń (próżnia) istnieje niezależnie od ciał i jest bytem o czysto geometrycznych właściwościach. Pogląd ten w znaczniej mierze przypomina wyobrażenia starożytnych atomistów, zgodnie z którymi „naprawdę istnieją tylko atomy i próżnia”. W klasycznym atomizmie mamy do czynienia z dualizmem materii i przestrzeni – elementarne składniki materii i próżnia stanowią nieredukowalne do siebie realności. W szczególności zaś elementarne składniki materii traktowano jako obiekty absolutnie niezmienne i wieczne. Sądzono, że jeden atom nie może przemienić się w inny atom, a tym bardziej w próżnię (greccy atomiści nazywali ją „niebytem”). Tymczasem mechanika kwantowa zaciera dualizm materii i przestrzeni i przedstawia obraz próżni jako dynamicznego ośrodka o bogatych właściwościach. Otóż w próżni zachodzą procesy zwane fluktuacjami kwantowymi. Zgodnie z zasadą nieoznaczoności Heisenberga dla energii i czasu w kwantowej próżni nieustannie powstają cząstki, zwane cząstkami

62

wirtualnymi, których energia wynosi ΔE=mc2. Istnieją one jedynie

przez czas Δt∝ ℏ

2mc2, a następnie znikają. Im większa jest masa cząstki

wirtualnej, tym krótszy jest jej czas życia. Cząstki wirtualne nie mogą być bezpośrednio zaobserwowane, powodują jednak pewne obserwowalne efekty, takie jak efekt Casimira, zaobserwowany po raz pierwszy przez holenderskiego fizyka Hendrika B.G. Casimira w roku 1948). Efekt ten polega na przyciąganiu się dwóch nienaładowanych elektrycznie płytek wykonanych z przewodnika, umieszczonych w odległości d mniejszej niż 1 μm (10-6 m) od siebie. Zgodnie z mechaniką kwantową, z każdą cząstką

materii o pędzie p związana jest fala o długości λ=h/ p (dotyczy to oczywiście również cząstek wirtualnych). Na zewnątrz płytek mogą powstawać cząstki wirtualne o dowolnych długościach fali, pomiędzy

nimi natomiast jedynie takie, dla których λ=d ,d /2, d /3 , .. . (kolejne harmoniczne), ponieważ fale o innych długościach będą tłumione. Powoduje to powstanie różnicy ciśnień między cząstkami wirtualnymi na zewnątrz płytek i pomiędzy nimi (ciśnienie na zewnątrz jest większe), a w efekcie płytki będą się wzajemnie przyciągać.

Ponadto zgodnie z kwantową teorią pola każda cząstka elementarna otoczona jest chmurą cząstek wirtualnych i bez tego wirtualnego otoczenia nie istnieje. Na przykład elektron, poruszając się w próżni, może wyemitować wirtualny foton, który następnie może spowodować kreację pary elektron–pozyton. W pobliżu elektronu znajduje się więcej wirtualnych pozytonów niż wirtualnych elektronów, ponieważ dodatnie ładunki wirtualnych pozytonów są przyciągane przez ładunek elektronu, natomiast ujemne ładunki wirtualnych elektronów są przez niego odpychane. Z pewnej odległości ładunek elektronu wydaje się mniejszy niż ładunek elektronu pozbawionego swego wirtualnego otoczenia; gdy zaś wnikamy coraz głębiej w wirtualną otoczkę elektronu, wydaje się, że ładunek elektronu wzrasta. Zjawisko to nosi nazwę polaryzacji próżni. Kwantowa próżnia jest więc ośrodkiem, w którym bardzo wiele się dzieje – zachodzą w niej nieustannie procesy kreacji i anihilacji cząstek.

63

KLASYCZNE A KWANTOWE POJĘCIE PRAWDOPODOBIEŃSTWA

Mechanika kwantowa powstała w ciągu pierwszych trzech dekad XX wieku. W tym samym czasie (w latach trzydziestych XX wieku) sformułowano dwie różne teorie prawdopodobieństwa – klasyczną (Andriej Kołmogorow) i kwantową (John von Neumann).

Zgodnie z klasyczną teorią prawdopodobieństwa zdarzenia losowe A, B, C… są reprezentowane jako podzbiory zbioru zdarzeń elementarnych Ω. Pojęcie zdarzenia losowego jest tu traktowane jako pojęcie pierwotne. Jest to coś, co może zajść lub nie, coś co leży całkowicie poza możliwością naszej kontroli. Typowymi przykładami zdarzeń losowych są wyrzucenie określonej liczby oczek przy rzucie kostką czy też wylosowanie kul z takimi a nie innymi numerami podczas gry w lotto.

Niech A, B i C oznaczają zdarzenia należące do zbioru zdarzeń elementarnych Ω. Wówczas operator negacji ¬A oznacza dopełnienie zbioru A, operator koniunkcji A∧B oznacza iloczyn podzbiorów A i B, natomiast operator alternatywy A∨B – sumę podzbiorów A i B.

Ponieważ zdarzenia są matematycznie reprezentowane jako zbiory, to spełniają one aksjomaty algebry Boole’a:

1. A∨B=B∨A

2. A∨(B∨C )=( A∨B )∨C

3. A∨(¬B∧B )=A

4. A∨( A∧B )=A

5. A∧(B∨C )=( A∧B )∨(A∧C )Prawdopodobieństwo zdarzenia E jest funkcją określoną na zbiorze

zdarzeń elementarnych Ω o wartościach w przedziale [0, 1], spełniającą następujące aksjomaty:

1. P(E )≥02. Jeśli zdarzenia A, B, … wyłączają się wzajemnie, to

prawdopodobieństwo sumy zdarzeń jest równe sumie

prawdopodobieństw: P( A∪B∪.. .)=P(A )+P(B )+. . .

64

3. P(Ω)=1W kwantowej teorii prawdopodobieństwa zamiast zbioru zdarzeń

elementarnych Ω mamy zespoloną przestrzeń Hilberta H. Zdarzenia są geometrycznie reprezentowane przez podprzestrzenie przestrzeni Hilberta. Podobnie jak w klasycznej teorii prawdopodobieństwa, jeśli Lx, Ly, Lz reprezentują trzy różne zdarzenia, to operator negacji Lx

’

reprezentuje maksymalną podprzestrzeń ortogonalną do Lx, operator

koniunkcji Lx∩L y reprezentuje przecięcie tych dwóch podprzestrzeni,

natomiast operator alternatywy Lx∪L y reprezentuje podprzestrzeń rozpiętą nad Lx i Ly.1

Kwantowa teoria prawdopodobieństwa implikuje różną od klasycznej logikę (a także różną od logiki trójwartościowej), zwaną logiką kwantową. Spełnione są w niej wszystkie aksjomaty algebry Boole’a oprócz prawa rozdzielności koniunkcji względem alternatywy:2

Lx∩( Ly∪Lz )≠(Lx∩Ly )∪(Lx∩Lz ).

Własność ta wynika z faktu, że operatory reprezentujące sprzężone obserwable nie komutują ze sobą. Logika kwantowa odzwierciedla logiczne własności operatorów rzutowania.

Specyfiką logiki kwantowej jest to, że alternatywa zdań może być prawdziwa nawet wówczas, gdy żaden z członów alternatywy nie jest

prawdziwy: wektor stanu |Ψ ⟩ może należeć do podprzestrzeni Lx∪L y

nawet wówczas, gdy nie należy on ani do Lx ani do L y (por. rys. …).

1 Por. J. Trueblood, J. R. Busemeyer, Quantum Information Processing Theory, s. 5.2 G. Birkhoff, J. von Neumann, The Logic of Quantum Mechanics, „Annals of

Mathematicss” 1936, Vol. 37, No. 4, p. 823-843, 830.

65

Można to zilustrować następującym przykładem:3 załóżmy, że mamy cząstkę o spinie połówkowym, taką jak elektron, dla której rzut spinu na dowolny kierunek w przestrzeni może przyjmować tylko dwie wartości, zwane umownie „w górę” i „w dół”. Zgodnie z zasadą nieoznaczoności składowe x-owa i y-owa spinu są niewspółmierne ze sobą, to znaczy, jeżeli określona jest składowa x-owa, to składowa y-owa nie ma określonej wartości. Załóżmy, że elektron jest w stanie, w którym ma określony rzut spinu na oś x „w górę”, co oznaczę (p) „spinx w górę”. Wówczas, zgodnie z zasadą nieoznaczoności Heisenberga, wartość logiczna zdań (q) „spiny w górę” oraz (r) „spiny w dół” będzie całkowicie nieokreślona, natomiast alternatywa (q∨r ) „spiny w górę lub spiny w dół” musi być prawdziwa (ponieważ rzut spinu na dowolną oś może przyjmować jedynie jedną z dwóch wartości – „w górę” albo „w dół”).

Jest jeszcze jedna ważna różnica pomiędzy klasycznym a kwantowym pojęciem prawdopodobieństwa. Klasyczne prawdopodobieństwo jest subiektywne w tym znaczeniu, że posługiwanie się pojęciem prawdopodobieństwa wynika z faktu nieznajomości rzeczywistej sytuacji. Jeżeli mówimy na przykład, że w eksperymencie na dwóch szczelinach klasyczna cząstka z prawdopodobieństwem równym ½ przeszła przez

3 Por. M. L. Dalla Chiara, R. Giuntini, Quantum Logic, arxiv.org/pdf/quant-ph0101028v2, 6 Jan 2004; A. Łukasik, Prawda, prawdopodobieństwo….

66

określoną szczelinę, to wyrażamy jedynie stan naszej wiedzy (czy też niewiedzy) o rzeczywistym torze cząstki – niezależnie od tego, czy obserwujemy przez którą szczelinę przeszła cząstka, czy też tego nie robimy, sądzimy, że w rzeczywistości przeszła ona albo przez jedną szczeliną albo przez drugą szczelinę. Dla cząstek kwantowych jednak tak nie jest: przed wykonaniem pomiaru (polegającego na ustaleniu, przez którą szczelinę przechodzi cząstka) określone są jedynie zespolone amplitudy prawdopodobieństwa, a prawdopodobieństwo dotyczy wyłącznie wyniku pomiaru (obserwacji) i związane jest w formalizmie matematycznym z rzutowaniem wektora stanu na odpowiednią podprzestrzeń, czemu towarzyszy redukcja wektora stanu – aktualizacja jednego z potencjalnych stanów układu. Przed wykonaniem pomiaru i niezależnie od niego trajektoria cząstki jest obiektywnie nieokreślona, ponieważ układ znajduje się w superpozycji stanów (podobnie rzecz się przedstawia z innymi własnościami mikroobiektów, takimi na przykład jak spin czy polaryzacja).

PROBLEM POMIARU W MECHANICE KWANTOWEJ

KOT SCHRÖDINGERA

Osobliwe konsekwencje mechaniki kwantowej niepokoiły już jej twórców. Erwin Schrödinger zaproponował w 1935 roku eksperyment myślowy, który miał ukazywać, jak sądził, absurdalne konsekwencje do jakich prowadzi kopenhaska interpretacja mechaniki kwantowej.1 Eksperyment ten zwany jest współcześnie „paradoksem kota Schrödingera” i przebiega następująco:

1 E. Schrödinger,

67

Rys. Kot Schrödingera.

W pudle o ściankach doskonale izolujących od otoczenia umieszczamy kota, atom pierwiastka radioaktywnego, fiolkę z trucizną, detektor promieniowania oraz urządzenie, które uwalnia truciznę w momencie, gdy detektor zarejestruje rozpad atomu. Niech prawdopodobieństwo rozpadu atomu pierwiastka radioaktywnego w ciągu godziny wynosi ½. Jeżeli atom się rozpadnie, detektor wychwytuje produkty rozpadu, uruchamia urządzenie rozbijające fiolkę z trucizną, która zabija kota. Jeżeli atom się nie rozpadnie, kot pozostaje żywy.

Zgodnie z mechaniką kwantową, jeżeli nie wykonujemy pomiaru, atom znajduje się w superpozycji stanów „przed rozpadem” i „ po rozpadzie”. Jeżeli wypiszemy funkcję falową dla układu złożonego z atomu i kota, to musimy stwierdzić, że zanim wykonamy pomiar (np. zajrzymy do pudła) kot znajduje się w superpozycji stanów kota żywego i kota martwego:

|Ψ ⟩= 1√2(|atom przed rozpadem ⟩|kot żywy ⟩+|atom po rozpadzie ⟩|kot martwy ⟩

Zgodnie z interpretacją kopenhaską, pomiar powoduje redukcję wektora stanu: jeżeli zajrzymy do pudła, to zaobserwujemy kota żywego albo kota martwego z prawdopodobieństwem ½. Przed wykonaniem pomiaru kot nie znajduje się jednak w dobrze określonym stanie (którego

68

my po prostu nie znamy), a znajduje się w stanie superpozycji, którą Schrödinger opisał jako „obejmującą żywego i martwego kota zmieszanego i rozsmarowanego w równych częściach”.

Jeżeli już jesteśmy w stanie zaakceptować fakt, że elektrony czy fotony mogą znajdować się w osobliwym stanie superpozycji, to w przypadku takiego obiektu, jak kot, przewidywania interpretacji kopenhaskiej wydają się dość osobliwe. Mikroobiekty nie są i nigdy nie będą przedmiotem naszego bezpośredniego doświadczenia, natomiast superpozycja stanów obiektów makroskopowych wydaje się absurdalna. Wydaje się nam oczywiste, że kot w pudle jest albo żywy albo martwy, a nie w osobliwym „zawieszeniu” między życiem a śmiercią. Co więcej, pojawia się pytanie o to, czym pomiar w sensie mechaniki kwantowej różni się od innych oddziaływań. Czy do przeprowadzenia pomiaru potrzebny jest świadomy obserwator?

PRZYJACIEL WIGNERA

DOŚWIADCZENIE Z BOMBĄ

KWANTOWE SPLĄTANIE

Kwantowe splątanie (entanglement) to jeden z najbardziej zaskakujących rezultatów mechaniki kwantowej. Pojawia się ono między obiektami, które oddziaływały ze sobą w sposób opisany przez mechanikę kwantową a następnie zostały rozdzielone. Pomimo tego, że może je dzielić dowolnie duża odległość przestrzenna, stany cząstek pozostają ze sobą skorelowane tak, że pomiar wykonany na jednej z nich ustala stan drugiej i to bez żadnego oddziaływania. W stanie splątanym dwóch lub

69

większej liczby obiektów stan całego układu jest dobrze określony, natomiast stan poszczególnej cząstki w ogóle nie jest określony i wynik pomiaru własności pojedynczej cząstki daje zupełnie przypadkową wartość. Na przykład dla tzw. stanu singletowego dwóch fotonów wiadomo, że jeżeli zmierzyć ich polaryzację za pomocą dwóch identycznie ustawionych w przestrzeni i dowolnie odległych polaryzatorów, to zawsze otrzymamy polaryzacje przeciwne. Jednak wynik pomiaru polaryzacji każdego z tych fotonów jest zupełnie przypadkowy i nieprzewidywalny.

Obiekty znajdujące się w stanie splątanym tworzą jedną spójną całość niezależnie od tego, jak daleko są od siebie oddalone. Pewne ich własności pozostają skorelowane ze sobą w sposób wykraczający poza zwykłe oddziaływania w czasoprzestrzeni. Kwantowe splątanie nie ogranicza się wyłącznie do pojedynczych mikroobiektów – współcześnie fizycy wykonali wiele eksperymentów, pokazujących, że stany splątane występują również w sferze makroskopowej.1 Zakres stosowalności mechaniki kwantowej nie ogranicza się więc do świata atomów i cząstek elementarnych, ale wszystko wskazuje na to, że ma zasięg uniwersalny. Jej prawa dotyczą również roślin, zwierząt i ludzi.

PARADOKS EPR

Einstein, chociaż sam w znaczący sposób przyczynił się do powstania mechaniki kwantowej, do końca życia nie mógł się pogodzić z jej „dziwnymi” rezultatami. „Mechanika kwantowa – pisał w liście do Maxa Borna − robi imponujące wrażenie […] ale jestem przekonany, że Bóg nie gra w kości”.2 Einstein niemal przez 30 lat prowadził z Bohrem dyskusję na temat podstaw mechaniki kwantowej i przedstawiał coraz to nowe eksperymenty myślowe mające dowodzić niekompletności mechaniki kwantowej w jej kopenhaskiej interpretacji. Twierdzenie, że „Bóg nie gra w kości” stanowi oczywiście wyraz przekonania Einsteina, że fundamentalna teoria mikroświata nie może mieć charakteru probabilistycznego. Spór Einsteina z Bohrem nie dotyczył jednak

1 Por. V. Verdal, Ptaki Schrödingera, „Świat Nauki” 2011, nr 7, s. 26-31.2 [Born, Einstein, 1971, s. 91]

70

wyłącznie kwestii determinizmu, ale również problemu realizmu i statusu teorii fizycznych.

Einstein był realistą i podkreślał, że wiara w istnienie obiektywnego świata niezależnego od świadomości podmiotu poznającego i jakichkolwiek teorii jest podstawowym założeniem wszelkich badań naukowych.3 Pisał, że „[w]szelkie poważne rozważanie teorii fizycznej musi brać pod uwagę rozróżnienie pomiędzy obiektywną rzeczywistością, niezależną od wszelkiej teorii, a pojęciami fizycznymi, którymi operuje ta teoria. Pojęcia te są pomyślane tak, aby odpowiadały obiektywnej rzeczywistości fizycznej i za pomocą tych pojęć przedstawiamy sobie tę rzeczywistość”.4 Innymi słowy: celem teorii naukowych, w tym oczywiście i mechaniki kwantowej, jest opis świata takiego, jaki by on był nawet wówczas, gdyby nas (obserwatorów) nie było.

Bohr miał odmienny pogląd na status teorii naukowych. Twierdził, że celem nauki nie jest dociekanie „realnej istoty zjawisk” (the real esence), ale „ustanowienie ilościowych zależności między wynikami pomiarów”.5 W sporze o status poznawczy teorii naukowych często stanowisko Ein-steina podaje się jako typowy przykład realizmu naukowego, natomiast stanowisko Bohra jako przykład antyrealizmu (instrumentalizmu).6

W 1935 Einstein zaproponował wspólnie z Borysem Podolskym i Nathanem Rosenem7 sławny eksperyment myślowy (zwany również „paradoksem EPR”), który w zamierzeniu autorów miał dowodzić niekompletności mechaniki kwantowej. Według EPR każda cząstka ma jednocześnie dobrze określony pęd i położenie, ale mechanika kwantowa nie jest w stanie tego faktu opisać, dlatego też nie jest teorią kompletną.

3 Por. A. Einstein, L. Infeld, Ewolucja fizyki. Rozwój poglądów od najdawniejszych pojęć do teorii względności i kwantów, tłum. R. Gajewski, PWN, Warszawa 1962, s. 260.

4 A. Einstein, B. Podolsky, N. Rosen, Czy opis kwantowomechaniczny…, s. 117–118.5 N. Bohr, Atomic Theory and the Description of Nature, Cambridge University

Press, Cambridge 1934, p. 118.6 Por. 7 A. Einstein, B. Podolsky, N. Rosen, Can Quantum-Mechanical Description of

Physical Reality by Considered Complete?, „Physical Review” 1935, Vol. 47, s. 777–780; tłum. polskie: Czy opis kwantowomechaniczny rzeczywistości fizycznej można uznać za zupełny?, [w:] S. Butryn (red.), Albert Einstein…, s. 117–123.

71

Eksperyment myślowy został dopiero po pół wieku zrealizowany w rzeczywistych doświadczeniach Aspecta i − całkowicie wbrew oczekiwaniom Einsteina − jego rezultaty okazały się zgodne z przewidywaniami mechaniki kwantowej, niezgodne natomiast z założeniami lokalności i realizmu.

Podstawową rolę w argumentacji Einsteina odgrywa przyjęte kryterium realności fizycznej:8 „Jeżeli, nie zakłócając układu w żaden sposób, możemy w sposób pewny (tzn. z prawdopodobieństwem równym jedności) przewidzieć wartość jakiejś wielkości fizycznej, to istnieje element rzeczywistości fizycznej odpowiadający tej wielkości fizycznej”.9

Zgodnie z mechaniką kwantową, jeżeli dwie obserwable reprezentowane są przez niekomutujące operatory, to pomiar jednej z nich wyklucza równoczesny pomiar drugiej. Gdy ustalono w pomiarze wartość pierwszej wielkości, to wszelka próba eksperymentalnego wyznaczenia drugiej wielkości zaburza stan układu tak, że niszczy wiedzę o pierwszej. Jednak czym innym jest twierdzenie, że pomiar drugiej wielkości zaburza stan układu tak, że tracimy informację o pierwszej wielkości, a czym innym twierdzenie, że obydwie te wielkości nie są równocześnie określone. Zdaniem Einsteina w pewnych przypadkach można przewidzieć zarówno położenie, jak i pęd cząstki bez zakłócania stanu układu, zatem wielkości te należy uznać za jednocześnie realne. Ponieważ, zgodnie z mechaniką kwantową, nie można zmierzyć jednocześnie wielkości komplementarnych dla jednej cząstki, Einstein rozważa układ dwóch cząstek, które oddziaływały ze sobą − a zatem są opisane przez wspólny wektor stanu i pokazuje, że dokonując pomiaru na układzie I, można przewidzieć w sposób pewny stan układu II bez jego zakłócania, a zatem − zakładając przytoczone wyżej kryterium realności − należy uznać, że wielkości te są realne. Einstein wnosi stąd, że mechanika kwantowa nie jest teorią kompletną, czyli że nie opisuje wszystkich aspektów rzeczywistości fizycznej, chyba że przyjmiemy, iż stan układu II zależy od procesu pomiaru przeprowadzonego na odległym od niego przestrzennie układzie

8 Por. R. I. G. Hughes, The Structure and Interpretation of Quantum Mechanics, Harvard University Press, Cambridge, Massachusetts and London, England 1994, s. 158.

9 A. Einstein, B. Podolsky, N. Rosen, Czy opis kwantowomechaniczny…, s. 118.

72

I, co w żaden sposób nie zakłóca stanu układu II. „Nie można oczekiwać − twierdzi jednak Einstein − by jakakolwiek rozsądna definicja rzeczywistości na to pozwalała”.10 Einstein zakładał, że teorie fizyczne muszą się wiązać z założeniem, że poszczególne rzeczy istnieją całkowicie niezależnie od siebie „o ile «leżą w różnych częściach przestrzeni». Bez przyjęcia takiej wzajemnej niezależności egzystencji […] rzeczy odległych przestrzennie, wypływającego przede wszystkim z myślenia potocznego, myślenie fizyczne w znanym nam sensie byłoby niemożliwe”.11

Dla dalszych rozważań wygodnie będzie przedstawić paradoks EPR w postaci zmodyfikowanej przez Bohma, dotyczącej pomiaru spinu. Rozważmy układ o zerowym spinie całkowitym złożony z dwóch cząstek I i II o spinie ½ ℏ każda, który rozpadł się w sposób niepowodujący zmiany spinu. Załóżmy, że cząstki te poruszają się w przeciwnych kierunkach.

Zgodnie z mechaniką kwantową, jedna funkcja falowa |Ψ ⟩ opisuje stan układu również po rozpadzie i całkowity spin układu wynosi zero również wówczas, gdy cząstki oddalą się na znaczącą odległość i przestaną ze sobą oddziaływać.12 Stan układu złożonego z dwóch cząstek, których całkowity spin wynosi zero , możemy zapisać jako liniową superpozycję: spin

pierwszej cząstki jest skierowany do góry |↑ ⟩ 1, a spin drugiej w dół |↓ ⟩2

oraz spin pierwszej cząstki jest skierowany w dół |↓ ⟩ 1, a drugiej do góry |↑ ⟩2 :

|Ψ ⟩= 1√2(|↑ ⟩1|↓ ⟩2−|↓⟩1|↑⟩2)

10 Ibidem, s. 122.11 A. Einstein, Mechanika kwantowa a rzeczywistość, [w:] S. Butryn (red.), Albert

Einstein…, s. 163).12 Por. D. Bohm, Ukryty porządek, s. 85.

73

Stany takie nazywamy stanami splątanymi (entanglement). Wektor stanu układu nie może być zapisany jako iloczyn wektorów stanów podukładów. Kwantowe splątanie dotyczy dwóch lub większej liczby obiektów i stany splątane należy odróżnić od superpozycji stanów, która odnosi się do jednego obiektu.

Jeżeli wykonamy pomiar rzutu spinu cząstki I, to możemy w ten sposób z całkowitą pewnością i to bez żadnego oddziaływania przewidzieć rzut spinu cząstki II na tę samą oś – ponieważ w doświadczeniu spin jest zachowany, czyli całkowity spin układu wynosi zero, to spin drugiej cząstki jest zawsze skierowany przeciwnie. Jeżeli na przykład w rezultacie pomiaru dokonanego na cząstce pierwszej otrzymamy „spin w górę”, to

wektor stanu układu redukuje się do składowej |↑ ⟩ 1|↓ ⟩2 , co znaczy, że

spin drugiej cząstki skierowany jest „w dół” na ten sam kierunek w przestrzeni. Zauważmy, że kierunek w przestrzeni możemy wybrać dowolnie – jeśli otrzymamy określoną wartość rzutu spinu cząstki I, to wiemy z całkowitą pewnością, jaki jest kierunek rzutu spinu cząstki II na ten sam kierunek w przestrzeni. Wydaje się zatem, że wartość spinu spełnia przyjęte przez Einsteina kryterium realności fizycznej.

Spin jest to wewnętrzny moment pędu cząstki elementarnej. Jednak jest to typowo kwantowa wielkość i analogia do klasycznego momentu pędu jest dość ograniczona. Klasyczny momentu pędu zachowuje stały kierunek w przestrzeni i posiada dobrze określone wszystkie trzy składowe przestrzenne. Zatem pomiar na układzie I pozwala z całkowitą pewnością określić stan układu II. Po prostu przed pomiarem wektor momentu pędu każdej z dwóch cząstek jest skierowany w określonym kierunku przestrzeni i pomiar ujawnia wartość wielkości fizycznej, jaką była przed pomiarem i niezależnie od niego. Jednak zgodnie z mechaniką kwantową, operatory składowych spinu nie komutują ze sobą, co znaczy, że gdy jedna składowa jest określona (tzn. w wyniku pomiaru otrzymamy określoną jej wartość), dwie pozostałe są nieokreślone (a nie tylko niemożliwe do zmierzenia) i mogą losowo fluktuować.

Rozważmy następujący przykład: załóżmy, że przez urządzenie mierzące spin kierujemy strumień elektronów (por. rys. …). Wykonujemy

74

pomiar rzutu spinu elektronów na pewien kierunek w przestrzeni. Z prawdopodobieństwem równym ½ otrzymujemy „spin w górę” albo „spin w dół”. Jeżeli teraz ze strumienia cząstek wyeliminujemy te, których składowa spinu względem osi z była skierowana „w dół” i wykonamy ponowny pomiar ustawienia spinu względem tego samego kierunku w przestrzeni, to z pewnością uzyskujemy rezultat „w górę” dla wszystkich cząstek (ponowne działanie tego samego operatora rzutowego nie zmienia stanu obiektu). Jeżeli jednak pomiędzy pomiarami składowej spinu elektronów w kierunku z wykonujemy pomiar względem jakiejś innej orientacji przestrzennej, powiedzmy x, to sytuacja ulega zmianie. Podobnie jak dla osi z również w połowie przypadków otrzymamy ustawienie spinu „w górę”, a w połowie przypadków ustawienie „w dół”. Jeżeli jednak teraz wykonamy ponownie pomiar rzutu spinu elektronów w kierunku z dla cząstek, które przed przeprowadzeniem pomiaru rzutu spinu w kierunku x wszystkie miały spin ustawiony „w górę” w kierunku osi z, to okazuje się, że jedynie w połowie przypadków otrzymujemy ustawienie „spin w górę”, a w połowie przypadków − „spin w dół”. Gdyby wszystkie składowe spinu elektronu były dobrze określone i zachowywały stały kierunek w przestrzeni (jak klasyczny moment pędu), wówczas przy powtórnym pomiarze rzutu spinu na oś z powinniśmy otrzymać wyłącznie rezultat „spin w górę”. Takie rezultaty eksperymentów wydają się świadczyć na rzecz tezy, że pomiar w mechanice kwantowej raczej kreuje wartość mierzonej wielkości fizycznej niż ujawnia jej wartość niezależną od pomiaru.

Rozważmy pewien eksperyment myślowy ilustrujący makroskopowy przykład takiego zachowania. Eksperymentu takiego oczywiście nikt nie wykonał, ale jego analiza pozwoli na zrozumienie osobliwości zachowania obiektów kwantowych. Powiedzmy, że w urnie mamy kule białe i czarne, a ponadto kule są ponumerowane kolejnymi liczbami naturalnymi. Wyciągamy losowo kulę: jeżeli jest czarna, to umieszczamy ją w drugiej urnie, jeśli biała – odkładamy na bok. Wykonujemy zatem „pomiar” dotyczący koloru kuli – możemy otrzymać jeden z dwóch wyników: „biała” albo „czarna”. Następnie z drugiej urny losujemy kulę i przeprowadzamy ponownie „pomiar” koloru: biała czy czarna? Ponieważ

75

uprzednio odłożyliśmy na bok wszystkie kule białe, to w urnie znajdują się wyłącznie kule czarne i z całkowitą pewnością zawsze wylosujemy kulę czarną. Używając języka mechaniki kwantowej możemy powiedzieć, że po wykonaniu pomiaru wszystkie kule znajdują się w „stanie własnym koloru”, czyli w tak zwanym stanie czystym. Powiedzmy teraz, że zamiast sprawdzać, kolor kuli (co byłoby zadaniem dość nudnym, ponieważ wszystkie kule w drugiej urnie są oczywiście czarne), losujemy kule i wykonujemy „pomiar” sprawdzając, czy kula ma numer parzysty, czy nieparzysty. Kule o numerach nieparzystych odkładamy na bok, natomiast kule o numerach parzystych umieszczamy w trzeciej urnie. Teraz ponownie losujemy kule z trzeciej urny i sprawdzamy, czy są białe czy czarne. Gdybyśmy przeprowadzali doświadczenie z rzeczywistymi kulami, to zachowywałyby się one tak jak zwykłe przedmioty makroskopowe: kula jest biała albo czarna i ma numer parzysty albo nieparzysty niezależnie od tego, czy ktoś sprawdza, czy nie (powiedzielibyśmy, że określony kolor czy też numer jest obiektywną własnością kuli). Ponieważ w pierwszym losowaniu odłożyliśmy na bok wszystkie kule białe, a w drugim losowaniu wyeliminowaliśmy wszystkie kule o numerach nieparzystych, to w trzeciej urnie powinny został wyłącznie kule czarne z parzystymi numerami. Jednak gdyby kule zachowywały się w sposób kwantowomechaniczny, to – podobnie jak podczas pierwszego „pomiaru” – z prawdopodobieństwem ½ wylosowalibyśmy… kulę białą pomimo tego, że w pierwszym losowaniu odrzuciliśmy wszystkie kule białe. Wygląda to tak, jakby kula „stawała się” biała albo czarna (lub nosiła numer parzysty albo nieparzysty) dopiero w rezultacie losowania, a nie przed losowaniem i niezależnie od niego.

Powróćmy do pomiaru spinu: kierunek przestrzenny, na który zostanie dokonany pomiar spinu w układzie I, może być wybrany bezpośrednio przed dokonaniem pomiaru (na przykład w sposób losowy), co uniemożliwia jakiekolwiek oddziaływanie fizyczne układu I z odległym układem II, czyli przekazanie informacji o tym, w jakim kierunku będzie mierzony spin w układzie I. Pomimo tego kierunki spinów cząstek w odległych obszarach przestrzeni pozostają ze sobą ściśle skorelowane – jeżeli cząstka I w wyniku pomiaru uzyska spin „w górę”, to stan cząstki II

76

redukuje się do stanu spin „w dół”. Einstein nazwał to „upiornym działaniem na odległość” (spooky action at a distance).

NIERÓWNOŚĆ BELLA

W 1964 roku John Stewart Bell (1928–1990) udowodnił nierówność dotyczącą korelacji spinowych, która powinna być spełniona, gdyby słuszny był wniosek Einsteina, że mechanika kwantowa nie jest teorią kompletną.13 Twierdzenie Bella nie jest związane z jakąś konkretną własnością cząstek, jak na przykład spin, ale ma znaczenie całkiem ogólnie i „w zasadzie nie zależy od wyboru cząstek ani charakteru łączących je oddziaływań; dotyczy ono logicznych reguł, jakie obowiązują w każdym procesie pomiaru”.14 Taką regułą jest na przykład stwierdzenie, że liczba rudych mieszkańców Polski nie może być większa niż liczba rudych mężczyzn plus liczba wszystkich kobiet bez względu na kolor włosów.15

Wyprowadzenie nierówności Bella oparte jest na dwóch założeniach, określanych jako realizm (lub założenie obiektywnej rzeczywistości) oraz lokalność (separowalność). Są one rozumiane następująco:

1. Realizm – obiekty kwantowe mają jednocześnie określone wszystkie wartości parametrów dynamicznych całkowicie niezależnie od dokonywanych pomiarów (nawet gdy pomiar w mechanice kwantowej nie pozwala na jednoczesne określenie wielkości komplementarnych z dowolną dokładnością),

2. Lokalność (einsteinowska) albo separowalność (separability) – żadne oddziaływanie fizyczne nie może rozprzestrzeniać się szybciej, niż wynosi prędkość światła w próżni c (co oczywiście wyklucza natychmiastowe działanie na odległość).16

13 Por. J. S. Bell, On the Einstein Podolsky Rosen Paradox, „Physics” 1964, t. 1, s. 195–200, [w:] http://www.drchinese.com/David/Bell_Compact.pdf.

14 J. Gribbin, W poszukiwaniu…, s. 204.15 Pomijam tu jako całkowicie nieistotne dla omawianego tematu kwestie związane z

gender.16 Niekiedy jako trzecie założenie dodaje się „założenie wolnej woli” rozumiane w

ten sposób, że obserwator może wybrać, jaką własność układu będzie mierzyć, w przeciwieństwie do determinizmu, który (podobno) wyklucza taką możliwość. Por. M.

77

Szkicowo rozumowanie to można przedstawić następująco: niech X, Y, Z oznaczają określone kierunki przestrzenne. W przypadku dowolnej osi wartość rzutu spinu (dla fermionów) może przyjmować tylko dwie wartości, które oznaczymy tu jako „+” i „–” odpowiednio. Gdyby cząstka miała własność X+Y–, to — przy założeniu, że wartości wszystkich trzech rzutów spinów są określone, chociaż zmierzyć można każdorazowo tylko jedną z nich — musi być ona oczywiście typu X+Y–Z+ albo X+Y–Z–. Ponieważ jednak zgodnie z zasadą nieoznaczoności Heisenberga tylko jedna składowa spinu może być zmierzona dla danej cząstki, to zamiast rozpatrywać pojedyncze cząstki można zastosować to rozumowanie do par cząstek, dla których sumaryczny spin wynosi zero.

Rozważmy parę cząstek o spinie równym zero, która rozpadła się tak, że cząstki I i II poruszają się w przeciwnych kierunkach a ich sumaryczny spin wynosi zero. Gdy cząstki znajdują się daleko od siebie wykonujemy pomiar rzutu spinu na wybraną oś.

Bell wykazał, że przy założeniu lokalności i realizmu liczba par cząstek, dla których dwie składowe rzutu spinu na kierunki X i Y mają wartość „+” n(X+Y+), musi być mniejsza niż suma liczb par cząstek, dla których wszystkie pomiary dały wartość „+”: n(X+Z+) i n(Y+Z+):

n(X+Y+) n(X+Z+) + n(Y+Z+).17

Ograniczenia na korelacje między pomiarami przeprowadzonymi równocześnie na dwóch rozdzielonych przestrzennie cząstkach powinny być zatem spełnione (przy założeniu lokalnego realizmu) zarówno w

Żurkowski, „It ain’t necessary so”: Paradoksy interpretacji paradoksu Einsteina, „Świat Nauki” 2009, nr 4 (212), s. 36-39. Bell mówił nawet o możliwości „superdeterminizmu”, który, jak sądził, prowadził do wniosku, że obserwator nie ma wyboru, jaką wielkość obserwować, co prowadzi do wniosku, że problem korelacji EPR po prostu „znika” (por. P. C. W. Dawies, J. R. Brown, Duch w atomie, s. 65). Wydaje się jednak, że filozoficzny problem „wolnej woli” jest znacznie bardziej skomplikowany i jego rozważnie wyłącznie w kontekście interpretacji mechaniki kwantowej jest zbyt daleko posuniętym uproszczeniem, żeby nie powiedzieć nieporozumieniem.

17 Jest to uproszczona postać nierówności Bella, co jednak dla niniejszych rozważań nie ma istotnego znaczenia.

78

przypadku pomiaru składowych spinu, jak również takich wielkości, jak na przykład polaryzacja fotonu.

Według mechaniki kwantowej (w interpretacji kopenhaskiej) w pewnych warunkach korelacje między mierzonymi wielkościami powinny przekraczać ograniczenia wynikające z nierówności Bella. Nierówność Bella umożliwiła zatem zatem empiryczny test między stanowiskami Einsteina i Bohra.

REALIZM I LOKALNOŚĆ W MECHANICE KWANTOWEJ

Decydujące znaczenie dla rozstrzygnięcia sporu między stanowiskami Einsteina i Bohra miały doświadczenia przeprowadzone w 1982 roku przez zespół Alaina Aspecta18. W doświadczeniach tych mierzono polaryzację fotonów wyemitowanych podczas przejścia między poziomami energetycznymi atomu wapnia, wzbudzonych światłem laserów (jest to wzbudzenie dwufotonowe, które może się rozpaść tylko przez emisję dwóch fotonów). Rezultaty doświadczeń potwierdzają korelacje przewidywane przez mechanikę kwantową, falsyfikują natomiast nierówność Bella.19 Doświadczenia Aspecta nie były pierwszymi doświadczeniami, których zadaniem był empiryczny test nierówności Bella, ale – głównie z uwagi na zastosowanie losowego (scil. pseudolosowego) ustawienia przełącznika kierującego fotony do filtrów polaryzacyjnych – powszechnie uznaje się je za rozstrzygające. Odległość między źródłem fotonów a każdym z detektorów wynosiła 6 metrów, a odstępy czasu, między którymi zmieniano ustawienie przełącznika, były kilkakrotnie krótsze niż czas lotu fotonów. Decyzja, w jakim kierunku mierzyć polaryzację, podejmowana była dopiero wtedy, gdy fotony były

18 Por. A. Aspect, J. Dalibard, G. Roger, Experimental Test of Bell’s Inequalities Using Time Varying Analyzers, „Physical Review Letters” 1982, Vol. 49, nr 25, s. 1804–1807.

19 Ponieważ zadaniem naszym nie jest dyskusja kwestii stricte metodologicznych, ograniczymy się tu jedynie do sformułowania uwagi, że dla współczesnego filozofa nauki wręcz oczywiste jest, że w doświadczeniu sprawdzamy raczej cały zbiór teorii, a nie jedną teorię i że w wypadku sprzeczności przewidywań teorii z danymi doświadczalnymi nie jest bynajmniej trywialne stwierdzenie, jakie czynniki są za to odpowiedzialne.

79

już wyemitowane ze źródła, co uniemożliwiało przekaz informacji pomiędzy detektorami, na jaki kierunek polaryzacji został on nastawiony. (Jedno przełączeni trwało 10 ns, czas emisji – 5 ns, czas lotu fotonów – 40 ns).

W 1998 roku zespół Nicolasa Gisina z Genewy wytworzył i utrzymał splątanie pary fotonów po przesłaniu cząstek na odległość 10 km, a Anton Zeilinger zaprezentował udoskonaloną wersję doświadczenia Aspecta. W 2006 roku zespół Zeilingera wytworzył splątanie na odległość 144 kilometrów. Rok później zespół Marka Żukowskiego z Instytutu Fizyki Teoretycznej i Astrofizyki Uniwersytetu Gdańskiego we współpracy z grupą Zeilingera przeprowadził doświadczalny test nielokalnego realizmu i ostatecznie wykluczył pewną klasę wariantów mechaniki kwantowej ze zmiennymi ukrytymi.

„Upiorne działanie na odległość”, które tak niepokoiło Einsteina, okazuje się więc faktem. Ściślej rzecz biorąc, nie można jednak w tym wypadku mówić o oddziaływaniu, ponieważ kwantowe splątanie nie może służyć do przesyłania informacji: jeśli w obszarze I zaobserwujemy pewną własność obiektu kwantowego, na przykład określone ustawienie spinu, to wiemy z całą pewnością, jaka jest jej własność w obszarze II dla drugiego obiektu, ale informację o tym możemy przesłać do obszaru II wyłącznie drogą konwencjonalną, to znaczy najwyżej z prędkością światła w próżni. Kwantowe splątanie nie jest więc sprzeczne ze szczególną teorią względności, choć trzeba przyznać, że fakt, iż własności dowolnie oddalonych od siebie przestrzennie obiektów kwantowych pozostają ze sobą skorelowane (pomimo braku oddziaływań fizycznych między nimi) ma w sobie coś niesamowitego, co trudno pogodzić ze zdroworozsądkowym, a także klasycznym obrazem świata.

Wyprowadzenie nierówności Bella oparte było na założeniu lokalnego realizmu, czyli lokalności einsteinowskiej i zarazem realizmu (w omówionych wcześniej znaczeniach tych terminów). Rezultaty przeprowadzonych eksperymentów są w pełni zgodne z przewidywaniami mechaniki kwantowej, niezgodne natomiast z nierównością Bella. Wynika

80

stąd wniosek, że należy odrzucić albo realizm albo lokalność.20 Wśród uczonych nie ma współcześnie zgody co do tego, jakie filozoficzne konsekwencje wynikają z faktu, że nierówność Bella nie jest spełniona. Odrzucenie realizmu jest w pełni zgodne z kopenhaską interpretacją mechaniki kwantowej i poglądem Bohra, że rezultaty doświadczeń w mechanice kwantowej nie informują nas o niezależnych od użytej aparatury pomiarowej (i w tym sensie „obiektywnych”) własnościach mikroobiektów, ale informują nas o reakcji makroskopowych przyrządów pomiarowych. W pewnym sensie możemy powiedzieć, że „rzeczywistość” zależy od decyzji obserwatora, ponieważ rezultat eksperymentu zależy od tego, jaki pomiar zdecyduje się on przeprowadzić.21 Jeżeli natomiast odrzucimy lokalność, wówczas stanowisko takie prowadzi do poddania w wątpliwość naszych poglądów na czas i przestrzeń. Kwantowe splątanie nie maleje z odległością i obiekty znajdujące się w stanie splątanym w jakiś sposób tworzą niepodzielną całość, trudno je zatem traktować jako odrębne realności fizyczne, a ponadto są połączone ze sobą związkami, które – jak się wydaje – całkowicie wykraczają poza czas i przestrzeń.

Kwantowe splątanie jest ponadto mocnym argumentem na rzecz stanowiska antyredukcjonistycznego. Według stanowiska redukcjonistycznego całość może być rozłożona na części, z których każdą można scharakteryzować przez opis jej wewnętrznego, nierelacyjnego stanu, a wszystkie własności fizyczne całości są konsekwencją własności wewnętrznych części i czasoprzestrzennych relacji między nimi.22 Jednak stan układu cząstek splątanych jest dobrze określony, ale stan elementów składowych tego układu jest w ogóle

20 Por. R. Penrose, Nowy umysł cesarza…, s. 320. Rezultaty doświadczeń Aspecta wykluczają lokalne teorie zmiennych ukrytych, nie wykluczają jednak teorii, w których zakłada się występowanie oddziaływań z prędkością ponadświetlną. D. Z. Albert, R. Galchen, Kwantowe zagrożenie dla szczególnej teorii względności, „Świat Nauki” 2009, nr 4 (212), s. 28-36; M. Żurkowski, „It ain’t necessary so”: Paradoksy interpretacji paradoksu Einsteina, „Świat Nauki” 2009, nr 4 (212), s. 36-39.

21 Por. A. Zeilinger, Od splątania cząstek do kwantowej teleportacji, tłum. B. Bieniok, A. L. Łokas, Prószyński i S-ka, Warszawa 2013, s. 326.

22 Por. T. Maudlin, Part…, s. 48.

81

nieokreślony. Własności całości są więc nieredukowalne do własności części.

INTERPRETACJE MECHANIKI KWANTOWEJ

Aparat matematyczny mechaniki kwantowej działa znakomicie i uczeni zgodni są co do tego, że jest to najdoskonalsza teoria fizyczna jaką kiedykolwiek skonstruowano. Jak dotąd nigdy nie natrafiono na zjawisko, które przeczyłoby przewidywaniom mechaniki kwantowej, pozwoliła ona wyjaśnić zjawiska całkowicie niezrozumiałe z punktu widzenia fizyki klasycznej, a ponadto ma olbrzymi, nieporównywalny z żadną inną teorią naukową, obszar zastosowań praktycznych (od tranzystorów, przez lasery, zastosowania w medycynie po – w przyszłości – komputery kwantowe). Jednak paradoksalne i wysoce nieintuicyjne zachowanie mikroobiektów wciąż skłania uczonych do próby odpowiedzi na pytanie „co to wszystko znaczy?”, czyli do sformułowania interpretacji mechaniki kwantowej. O ile bowiem panuje wśród fizyków zgoda co do skuteczności formalizmu matematycznego teorii, to już zdania na temat jej interpretacji są podzielone. Co więcej, liczba interpretacji mechaniki kwantowej wciąż rośnie – formułowane są coraz to nowe propozycje, tak że trudno nawet powiedzieć ile dokładnie jest współcześnie różnych interpretacji mechaniki kwantowej. Omówimy wybrane z nich.

INTERPRETACJA KOPENHASKA

Interpretacja kopenhaska jest historycznie pierwszą interpretacją mechaniki kwantowej i często uważa się ją za interpretację „ortodoksyjną” (lub za „zwykłą” interpretację mechaniki kwantowej).1 Głównym jej twórcą był Bohr, który sfor mułował zasadę komplementarności,2 ale równie ważne są dla niej: statystyczna

1 Niektórzy sądzą, że jest to jedyna interpretacja mechaniki kwantowej, ponieważ mechanika kwantowa i kopenhaska interpretacja mechaniki kwantowej to w rzeczywistości jedno i to samo. Por. np. …

2 Podczas międzynarodowego Kongresu Fizyków w Como w 1927 r.. Por. N. Bohr, The Quantum Postulate and the Recent Development of Atomic Theory, Supplement to

82

interpretacja funkcji falowej (wektora stanu) sformułowana przez Maxa Borna, zasada nieoznaczoności Heisenberga i postulat redukcji wektora stanu von Neumanna. Tak więc interpretację kopenhaską wyznacza pakiet następujących idei: komplementarność i związana z nią zasada nieoznaczoności, statystyczna interpretacja funkcji falowej (wektora stanu) oraz redukcja wektora stanu podczas pomiaru.3

Interpretacja kopenhaska ma charakter czysto pragmatyczny:4 mechanika kwantowa dostarcza narzędzi pojęciowych, za pomocą których możemy przewidywać prawdopodobieństwa rezultatów pomiarów różnych wielkości fizycznych przeprowadzanych nad układem kwantowym przy użyciu makroskopowych przyrządów pomiarowych. Jest ona opisem procedur przygotowania układu i obliczania odpowiednich prawdopodobieństw.5 Podstawową cechą odróżniającą mechanikę kwantową od dotychczasowych teorii fizycznych jest indywidualność (wholeness – całkowitość, całościowość lub jeszcze inaczej mówiąc niepodzielność) procesów atomowych, co jest bezpośrednią konsekwencją istnienia elementarnego kwantu działania Plancka ℏ . W odróżnieniu od sytuacji poznawczej w mechanice klasycznej, w której oddziaływanie między przyrządem pomiarowym a badanym obiektem może być w zasadzie pominięte (ponieważ nie wpływa w istotny sposób na przebieg obserwowanego zjawiska), w

„Nature” 1928, nr 121 (April 14), s. 580–590.3 Dodać jednak należy, że w poglądach filozoficznych poszczególnych fizyków,

zwolenników interpretacji kopenhaskiej, zachodzą istotne różnice. Na przykład u Bohra widzimy charakterystyczne pragmatyczne podejście – w sensie przyjęcia pewnych zasad, które pozwalałyby dobrze stosować formalizm mechaniki kwantowej w praktyce, bez jakiejś szczególnej troski o jednolitą filozofię, leżącą u podstaw interpretacji mechaniki kwantowej, poglądy filozoficzne Heisenberga ulegały ewolucji – od pozytywizmu do platonizmu, poglądy von Weizsäckera bliskie były kantyzmowi, natomiast Eddington zajmował stanowisko „selektywnego subiektywizmu” (jak sam je określił). Nawet treść słynnej zasady komplementarności rozumiana jest nieco inaczej przez Bohra, a inaczej przez Heisenberga. Por. …

4 H. P. Stapp, The Copenhagen Interpretation, „American Journal of Physics”, 40, 1098 (1972), tłum. polskie: H. P. Stapp, Interpretacja Kopenhaska, tłum. Adam Śliwiński, „Hybris” 2011, nr. 15.

5 H. P. Stapp, Mind, Matter, and Quantum Mechanics, s. 69.

83

mechanice kwantowej oddziaływanie przyrząd–obiekt stanowi integralną część zjawiska. Dlatego nie można nawet nakreślić ścisłej linii demarkacyjnej między reakcją przyrządu pomiarowego a niezależnym od przyrządu pomiarowego zachowaniem badanego obiektu. Podczas pomiaru przyrząd i obiekt stanowią niepodzielną całość, w trakcie pomiaru następuje niekontrolowalne zaburzenie badanego układu i to, że możemy przewidywać jedynie prawdopodobieństwo rezultatów pomiarów wynika ostatecznie z faktu nieznajomości tego zaburzenia. Ponieważ wykonywanie pomiarów jest jedynym sposobem uzyskania informacji o mikroświecie, to w istocie pomiar daje nam informację o reakcji przyrządu pomiarowego na oddziaływanie obiektu, a nie informację o tym, jak zachowują się obiekty nieobserwowane („same w sobie”). Nie ma żadnego sensu mówienie o tym, „co robią” elektrony, fotony itd. niezależnie od wykonywanych obserwacji i pomiarów, ponieważ ich stan kwantowy przed pomiarem opisywany jest w kategoriach zespolonych amplitud prawdopodobieństwa (kwantowomechanicznych „możliwości”), a kwantowej superpozycji stanów nie da się w istocie wyrazić w kategoriach języka codziennego (i języka fizyki klasycznej).

Pomiary są wykonywane przy użyciu makroskopowych (czyli podlegających prawom fizyki klasycznej) przyrządów pomiarowych i rezultaty pomiarów są zawsze wyrażane w języku fizyki klasycznej.6 Nie potrafimy i nie możemy zastąpić tych pojęć innymi, ponieważ stanowią one warunek intersubiektywnej komunikowalności rezultatów doświadczenia, co Bohr utożsamia z obiektywnością opisu zjawisk.7 Bohr proponuje jednocześnie nowe użycie terminu „zjawisko”. W mechanice klasycznej termin ten oznaczał obiektywny przebieg procesów w przestrzeni i czasie, natomiast w mechanice kwantowej termin „zjawisko” powinnyśmy stosować do opisu „obserwacji otrzymanych w warunkach, w których opis uwzględnia cały układ eksperymentalny”.8 Mechanika kwantowa jest, zdaniem Bohra, obiektywnym opisem tak pojmowanych

6 Por. W. Heisenberg, Fizyka a filozofia, s. 7 N. Bohr, Fizyka atomowa a wiedza ludzka, s. 8 N. Bohr, Fizyka atomowa a wiedza ludzka, s. 111-112.

84

zjawisk. W interpretacji kopenhaskiej mamy więc do czynienia z epistemiczną składową obiektywności bez składowej ontycznej. Na przykład w doświadczeniu na dwóch szczelinach w przypadku, gdy otwarte są obydwie szczeliny i obserwujemy interferencję, możemy posłużyć się klasycznym pojęciem fali w celu opisu zachowania elektronów w takim układzie eksperymentalnym. Jeżeli otwarta jest tylko jedna szczelina, wówczas nie występuje interferencja i elektrony zachowują się jak cząstki klasyczne, dlatego też ich zachowanie możemy opisać w klasycznych kategoriach korpuskuł. Jednak są to dwa różne układy eksperymentalne i charakterystyka elektronów jako „fal” albo jako „cząstek” w oderwaniu od opisu konkretnego zestawu eksperymentalnego traci jakiekolwiek znaczenie – relacje nieoznaczoności ograniczają zasięg stosowalności pojęć klasycznych, takich jak „cząstka” czy „fala”.

Zasada komplementarności,9 stanowiąca fundament kopenhaskiej interpretacji mechaniki kwantowej, ustala stosunek między wykluczającymi się z punktu widzenia fizyki klasycznej pojęciami, takimi właśnie jak pojęcia cząstki i pojęcie fali. Dwa klasycznie wykluczające się opisy zjawisk są komplementarne, jeżeli zastosowanie jednego z nich (np. korpuskularnego) wyklucza jednoczesne zastosowanie drugiego (np. falowego). Jednak komplementarne opisy nie są ze sobą sprzeczne, ponieważ odnoszą się do wykluczających się nawzajem sytuacji eksperymentalnych i nie istnieje żaden zestaw aparatury pomiarowej, w którym komplementarne aspekty zjawisk pojawiłyby się równocześnie. Wielkości komplementarne reprezentowane są przez niekomutujące operatory – są to pary wielkości fizycznych występujące w relacjach nieoznaczoności Heisenberga. Według interpretacji kopenhaskiej komplementarne opisy sytuacji obserwacyjnych wykluczają się wzajemnie, ale jednocześnie uzupełniają się do pełnej wiedzy o układzie. Bohr wyraził to powiedzeniem: contraria sunt complementa – przeciwieństwa są komplementarne. Tak więc na przykład światło nie jest ani ciągłą falą elektromagnetyczną ani nie jest strumieniem dyskretnych cząstek – fotonów, ale może być opisane w pewnej klasie eksperymentów

9 Koncepcja komplementarności wywodzi się z psychologii i pojawia się po raz pierwszy w pracy Williama Jamesa The Principle of Psychology, New York 1880, s. 206.

85

jako fala, w innej zaś jako strumień fotonów, nigdy zaś jako jedno i drugie równocześnie, ponieważ aspekt korpuskularny i falowy są niewspółmierne ze sobą. Chcąc jednak znać własności światła, musimy poznać oba komplementarne aspekty. Komplementarnych opisów uzyskanych we wzajemnie wykluczających się sytuacjach eksperymentalnych nie jesteśmy w stanie „zobiektywizować”, czyli połączyć w poglądowym modelu samoistnej, czy też niezależnej od sytuacji eksperymentalnej realności fizycznej. Ale też – zdaniem Bohra – nie jest to celem nauki. Zamiast dociekania metafizycznej „istoty rzeczy” wystarczy „ustanowienie ilościowych zależności między rezultatami pomiarów”.10 Mechanika kwantowa mówi nam wyłącznie o tym, co można zaobserwować i zmierzyć, a nie o tym jaka jest „rzeczywistość obiektywna”, o ile pod pojęciem tym rozumiemy rzeczywistość niezależną od sposobu, w jaki ją badamy. Przedmiotem poznania nie jest przyroda „sama w sobie” (niezależna od nas), ale „przyroda wystawiona na nasze pytania” (przyroda dla nas). To, jaką odpowiedź dostaniemy zależy od tego, jakiej użyliśmy aparatury pomiarowej i w tym sensie (i jedynie w tym sensie) przebieg zjawisk zależy od obserwatora.11

Interpretację kopenhaską określa się niekiedy mianem „kwantowej książki kucharskiej”12 – jest to zestaw procedur, który daje algorytm na operowanie kwantowomechanicznym formalizmem w praktycznych zastosowaniach, przeprowadzania odpowiednich obliczeń i przewidywania zjawisk bez metafizycznych pytań o „istotę materii”. W interpretacji tej rezygnuje się z wszelkich prób skonstruowania ontologii mikroświata, w szczególności odrzuca się możliwość opisania mikroobiektów jako realnych bytów istniejących w czterowymiarowym kontinuum czasoprzestrzennym.13 Jest to wyłącznie opis procedur pomiarów wykonywanych nad układem kwantowym przez zewnętrznego wobec tego układu obserwatora, który posługuje się makroskopowymi

10 N. Bohr, 11 N. Bohr, Fizyka atomowa… 4112 J. Gribbin, Encyklopedia fizyki kwantowej, s. 137.13 Por. U. Röseberg, Niels Bohr a filozofia, tłum. T. Bigaj, [w:] S. Butryn (red.), Z

zagadnień…, s. 85.

86

przyrządami pomiarowymi i wyraża wyniki pomiarów w kategoriach fizyki klasycznej, ponieważ jest to jedyny obiektywny (w epistemologicznym sensie) opis rezultatów doświadczeń. Dobry kucharz wie, że np. gotując zupę należy dodać w odpowiednim momencie „szczyptę soli” i zupa będzie dobra. Zupełnie może nie wiedzieć, czym jest „istota soli” (o ile w ogóle coś takiego istnieje).

W praktycznych zastosowaniach taki pragmatyczny pogląd Bohra sprawdza się znakomicie. Niektórym fizykom takie podejście jednak nie wystarcza – stąd konkurencyjne interpretacje mechaniki kwantowej.

UKRYTY PORZĄDEK

Interpretacja parametrów ukrytych jest dziełem Davida Bohma i została sformułowana w 1952 r.14, a następnie rozwijana przez Bohma wspólnie z Basilem Hileyem. Opiera się ona na pewnych ideach wprowadzonych wcześniej przez de Broglie’a (teoria fali pilota).15

14 D. Bohm, A Suggested Interpretation of the Quantum Theory in Terms of „Hidden” Variables, I, „Physical Reviev” 1953, Vol. 85, No. 3, p. 166-179, praca dostępna także w: http://fma.if.usp.br/~amsilva/Artigos/p166_1.pdf; D. Bohm, A Suggested Interpretation of the Quantum Theory in Terms of „Hidden” Variables, I and II [w:] J. A. Wheeler, W. Żurek (eds.), Quantum Theory and Measurement, Princeton University Press, Princeton, New Jersey 1983, s. 367-396.

15 De Broglie krytykował interpretację kopenhaską za subiektywizm. Podobne zarzuty formułowało wielu innych uczonych i filozofów. Na przykład Popper pisze, że interpretacja kopenhaska sprawiła, iż fizyka „stała się twierdzą subiektywistycznej filozofii” (K. R. Popper, Nieustanne poszukiwania. Autobiografia intelektualna, tłum. A. Chmielewski, Znak, Warszawa 1997, s. 213). Popper poza uwagami na temat mechaniki kwantowej w rozmaitych pracach krytyce subiektywizmu poświęcił pracę: K. R. Popper, Quantum Theory and the Schizm in Physics, W. W. Bartley, Totowa, New Jersey 1982. Również Einstein twierdził, że stanowisko szkoły kopenhaskiej nie różni się od idealizmu subiektywnego Berkeleya (por. A. Einstein, Remarks Concerning the Essays Brought Together in this Co-operative Volume, transl. by A. P. Schilpp, [w:] A. P. Schilpp (ed.), Al-bert Einstein: Philosopher-Scientist, Vol. II, Harper & Brothers Publishers, New York 1957, s. 669). Podobnego zdania był Reichenbach (por. H. Reichenbach, Powstanie filozofii naukowej, tłum. H. Krahelska, Książka i Wiedza, Warszawa 1950, s. 257 i n.). Gell-Mann także twierdzi, że odkrywcy mechaniki kwantowej „przedstawili jej dziwnie ograniczoną i antropocentryczną interpretację” (M. Gell-Mann, Kwark…, s. 192). Imre

87

Interpretacja ta ma charakter realistyczny, obiektywny i nielokalny (holistyczny). Podstawowym założeniem interpretacji parametrów ukrytych jest, że interpretacja kopenhaska jest niezupełna, to znaczy że istnieje głębsza warstwa rzeczywistości fizycznej – świat subkwantowy, której „zwykła” mechanika kwantowa nie jest w stanie opisać.

Zdaniem Bohma interpretacja kopenhaska w istocie niczego nie wyjaśnia, przeczy naszym podstawowym intuicjom fizycznym, a traktowanie formalizmu mechaniki kwantowej wyłącznie jako algorytmu pozwalającego na obliczanie prawdopodobieństw wyników pomiarów nie pozwala na zrozumienie ontologii kwantowego świata i jest niezadowalające z filozoficznego punktu widzenia. „Każdy fizyk milcząco przyjmuje jakąś filozofię – twierdzi Bohm – ale filozofia powszechnie dziś przyjmowana jest wyjątkowo nieelegancka i prymitywna”.16 W szczególności zaś nie należy wymagać, aby w teorii występowały jedynie te wielkości, które mogą być aktualnie (to znaczy na danym etapie rozwoju nauki) obserwowalne. Ponadto teoria powinna pozwalać na zbudowanie poglądowego modelu świata fizycznego zgodnego z naszymi intuicyjnymi wyobrażeniami. Interpretacja kopenhaska nie mówi nic o tym, co się dzieje z mikroobiektami pomiędzy jednym pomiarem a drugim i nie pozwala na zbudowanie poglądowego modelu mikroświata.

Bohm postuluje istnienie głębszego, subkwantowego porządku, niedostępnego dla standardowej mechaniki kwantowej, w opisie którego zachowane byłyby klasyczne pojęcia przyczynowości, ciągłości i obiektywnej realności indywidualnych mikroobiektów.17 Podstawowe założenia interpretacji parametrów ukrytych są następujące:18 elektron jest

Lakatos pisze, że „współczesna fizyka kwantowa, w jej «interpretacji kopenhaskiej», stała się jednym z głównych, standardowych filarów filozoficznego obskurantzmu”, co doprowadziło w fizyce współczesnej do „porażki rozumu i do anarchistycznego kultu niezrozumiałego chaosu” (I. Lakatos, Falsyfikacja…, s. 94).

16 P. C. W. Davies, J. R. Brown, Duch w atomie…, s. 158.17 D. Bohm, Przyczynowość…, s. 179–180. Niemal dokładnie takie same zarzuty

stawia interpretacji kopenhaskiej Feyerabend (por. P. Feyerabend, O interpretacji…).18 Por. D. Bohm, B. J. Hiley, The Undivided Universe. An Ontological Interpretation of

Quantum Theory, Routledge, New York 1993, s. 29–30; D. Bohm, Ukryty porządek, s. 90 i n.; idem, Przyczynowość…, s. 190 i n.

88

cząstką z dobrze określonymi położeniem i pędem; funkcja falowa nie jest jedynie narzędziem matematycznym pozwalającym na obliczanie prawdopodobieństw wyników pomiarów, ale jest zaburzeniem pewnego pola fizycznego, zwanego potencjałem kwantowym.19 Potencjał kwantowy jest reprezentowany przez pewien dodatkowy człon w równaniu Schrödingera (interpretacja Bohma jest więc związana z modyfikacją formalizmu mechaniki kwantowej), jest zatem rozumiany realistycznie, nieco podobnie jak pole elektromagnetyczne. Specyfiką potencjału kwantowego jest to, że niesie on informacje o całym otoczeniu poruszającej się cząstki – na przykład w eksperymencie na dwóch szczelinach zawiera on informacje na temat szerokości szczelin, odległości między nimi i pędu elektronu, a zatem informacje na temat całego środowiska. W odróżnieniu od pola elektromagnetycznego, oddziaływanie potencjału kwantowego na cząstkę zależy wyłącznie od jego postaci, a nie od natężenia, może więc wpływać na ruch cząstki w bardzo dużej odległości – w istocie poruszająca się cząstka (na przykład elektron w doświadczeniu z dwiema szczelinami) posiada informacje na temat całego środowiska i zachowuje się inaczej, gdy otwarta jest tylko jedna szczelina, a inaczej, gdy otwarte są obie.20 Potencjał kwantowy jest w stanie bardzo szybkich przypadkowych fluktuacji, a uśredniony po czasie spełnia równanie Schrödingera. Fluktuacje te (które mogą pochodzić z głębszego poziomu subkwantowomechanicznego) prowadzą do odpowiednich fluktuacji potencjału kwantowego i cząstka porusza się nieregularną trajektorią, podobnie jak cząstka pyłku w ruchach Browna. W rezultacie łącznego działania siły kwantowomechanicznej i przypadkowych fluktuacji z poziomu subkwantowego można otrzymać rozkład prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w danym miejscu przestrzeni zgodny z interpretacją Borna. Zdaniem Bohma jest to lepsze rozwiązanie

19 W teorii Bohma nie ma zatem redukcji funkcji falowej (por. T. Muldin, Quantum Non-Locality and Relativity. Metaphysical Intimations of Modern Physics, Blacwell Publishers Ltd., Oxford 2002, s. 117).

20 Por. D. Bohm, B. J. Hiley, The Undivided Universe…, s. 31–32.

89

niż traktowanie „rozkładu prawdopodobieństwa Borna jako absolutnej, ostatecznej i niewytłumaczalnej własności materii”.21

Zdaniem Bohma, w jego interpretacji można próbować wyobrażać sobie, co się dzieje na poziomie kwantowym i przyczyniać się do rozwoju nauki również przez sposoby myślenia oparte na poglądowych modelach, a nie tylko na formalizmie matematycznym, natomiast interpretacja kopenhaska tego nie umożliwia.

Potencjał kwantowy wprowadza nielokalne (natychmiastowe) połączenia między różnymi, nawet dowolnie odległymi, obiektami we Wszechświecie. Teoria Bohma ma charakter holistyczny: „świat jest niepodzielną całością, w której części ukazują się jako abstrakcje albo przybliżenia, ważne jedynie w granicy klasycznej”.22

WIELE ŚWIATÓW

Interpretację wielu światów (Many-Worlds Interpretation) sformułował Hugh Everett III w roku 1957.23 Rozwijali John Wheeler, Neill Graham i Bryce de Vitt, obecnie zaś David Deutsch.24

W interpretacji kopenhaskiej mechanika kwantowa traktowana jest jako formalizm służący do opisu doświadczeń przeprowadzanych przez zewnętrznego wobec mikroukładu „obserwatora” posługującego się makroskopowymi przyrządami pomiarowymi. Niezależnie od tego, że „obserwator” nie musi być rozumiany jako istota obdarzona

21 D. Bohm, Przyczynowość…, s. 195.22 D. Bohm, Quantum Theory…, s. 144. T. Maudlin, Part and Whole in Quantum

Mechanics, [w:] E. Castellani (ed.), Interpreting Bodies…, s. 60.23 H. Everett III, „Relative State” Formulation of Quantum Mechanics, „Reviews of

Modern Physics” 1957, Vol. 29, No. 3, s. 454–462; P. Byrne, Hugh Everett i jego światy, “Świat Nauki” 2008, nr 2, s. 66-73. Pracę Everetta, podobnie jak wiele innych klasy-cznych prac dotyczących podstaw mechaniki kwantowej, w szczególności zaś zagad-nienia pomiaru, można znaleźć w standardowej antologii tekstów: J. A. Wheeler, W. Żurek (eds.), Quantum Theory and Measurement, Princeton University Press, Princeton, New Jersey 1983, s. 315-323; rozprawę doktorską Everetta, The Many-Worlds Interpre-tation of Quantum Mechanics, można znaleźć w Internecie pod adresem: http://www-tc.pbs.org/wgbh/nova/manyworlds/pdf/dissertation.pdf.

24 Por. D. Deutsch, Struktura rzeczywistości, …

90

świadomością, lecz może być mechanizmem, to „świat klasyczny” i „świat kwantowy” traktowane są w całkowicie odmienny sposób (procedura U i procedura R – w terminologii Penrose’a25). Przypomnijmy, że ewolucję w czasie układu nieobserwowanego opisuje ciągłe i deterministyczne równanie Schrödingera (U):

i ℏ ddt|Ψ ⟩=H|Ψ ⟩

,

natomiast proces pomiaru opisany jest przez nieciągłą i indeterministyczną redukcję wektora stanu (R), w której prawdopodobieństwo uzyskania wartości własnej i operatora określone jest wzorem Borna:

P( i)=|⟨Ψ i|Ψ ⟩|2.

Równanie Schrödingera nie obejmuje procesu pomiaru i redukcja wektora stanu stanowi osobny postulat (postulat projekcji von Neumanna).

Takie stanowisko prowadzi jednak do pewnych problemów w kosmologii kwantowej, która jest zastosowaniem mechaniki kwantowej do Wszechświata jako całości. Jeżeli badanym układem ma być Wszechświat, to trudno nadać sens pojęciu obserwatora zewnętrznego w stosunku do Wszechświata.26

Istotą interpretacji Everetta jest potraktowanie świata makroskopowego tak samo, jak świata mikroskopowego, to znaczy eliminacja rozróżnienia na „kwantowy obiekt” i „klasyczny przyrząd”, co ma zapewnić całkowicie obiektywną interpretację mechaniki kwantowej i eliminację zewnętrznego w stosunku do układu „obserwatora”. Zdaniem Everetta interpretacja wieloświatowa bezpośrednio wynika z formalizmu

25 Por. R. Penrose, Nowy umysł cesarza…, 26 Por. H. Everett III, „Relative State” Formulation of Quantum Mechanics…, s. 454;

P. C. W. Davies, J. R. Brown, Duch w atomie, s. 110.

91

mechaniki kwantowej, daje dokładnie takie same przewidywania, jak interpretacja kopenhaska, a ponadto jest najprostszą interpretacją, ponieważ przyjmuje najmniej dodatkowych założeń, w szczególności zaś nie przyjmuje postulatu o redukcji wektora stanu podczas pomiaru.

W interpretacji kopenhaskiej, jeżeli przed pomiarem układ znajduje się w superpozycji stanów, to podczas pomiaru realizuje się tylko jedna z kwantowomechanicznych możliwości, a pozostałe znikają. Nie istnieje odpowiedź na pytanie o to, dlaczego nastąpiła realizacja tej a nie innej składowej superpozycji. W interpretacji Everetta w procesie pomiaru nie dochodzi do redukcji wektora stanu, lecz realizują się wszystkie składowe superpozycji. Każda z nich realizuje się jednak w innym świecie, co znaczy, że każde oddziaływanie mające charakter pomiaru prowadzi do rozszczepienia Wszechświata na wiele nieoddziałujących ze sobą kopii, które istnieją dalej równie realnie i niezależnie od siebie jako wszechświaty równoległe. Obserwator, jako część świata podlega również takiemu „rozszczepieniu”, ale brak oddziaływania między owymi światami sprawia, że nie może tego odczuć – jego pamięć jest związana tylko z jedną gałęzią. Wszechświat jako całość jest w tej interpretacji ściśle deterministyczny – bez „skoków kwantowych” i rządzą nim obiektywne prawa. Statystyczny charakter praw kwantowomechanicznych związany jest z tym, że każdy obserwator może postrzegać tylko jedną gałąź wszechświata.

Zgodnie z interpretacją Everetta każdy proces kwantowy, w którym mogą zrealizować się dwie lub więcej możliwości prowadzi do powstania liczby wszechświatów odpowiadającej liczbie składników superpozycji. Zatem istnieje wiele, być może nieskończenie wiele równoległych wszechświatów, zawierających galaktyki, gwiazdy, planety i nieskończenie wiele kopii każdego z nas.

Interpretacja Everetta jest dość niecodzienna. Trudno zatem się dziwić, że spotkała się z krytyką. Popper zarzucał jej na przykład niefalsyfikowalność (wszechświaty równoległe nie oddziałują ze sobą) i niezgodność z zasadą brzytwy Ockhama (dość kłopotliwy „bagaż metafizyczny” w postaci nieskończenie wielu wszechświatów). Popper27

27 Popper, 1982, s. 92 n.

92

utrzymywał ponadto, że rozszczepienie Wszechświata na wiele równoległych gałęzi stanowiłoby rażące naruszenie zasad zachowania, a ponadto równanie Schrödingera jest niezmiennicze względem inwersji w czasie. Interpretacja, która rości sobie pretensję do tego, żeby być bezpośrednią konsekwencją formalizmu kwantowomechanicznego, powinna również spełniać ten warunek. Tymczasem, gdyby rozszczepianie wszechświata rozpatrywać wstecz w czasie, wektor stanu powinien ulegać fuzji – jego składowe odpowiadające różnym możliwościom (które zdaniem Everetta istnieją realnie także po oddziaływaniu) powinny być skorelowane, pomimo że przed fuzją nie ma między nimi żadnego oddziaływania.

Niemniej jednak różne warianty interpretacji wielu światów są współcześnie nadal dyskutowane.28 Jedną z nich jest koncepcja Wieloświata (ang. Multiverse) dyskutowana w kosmologii i omawiana w rozdziale trzecim.

SUMY PO HISTORIACH

Równanie Schrödingera

i ℏ ddt|Ψ ⟩=H|Ψ ⟩

jest liniowym równaniem różniczkowym na wektor stanu |Ψ ⟩ . Jest ono równaniem deterministycznym podobnie, jak równanie Newtona na

wektor położenia r ( t ) w mechanice klasycznej:

28 Por. J. A. Barret, The Quantum Mechanics of Mind and Worlds, Oxford University Press, New York 1999; M. Lockwood, Mind, Brain & the Quantum. The Coumpound „I”, Blackwell 1989; J. D. Barrow, P. C. W. Davies, C. L. Harper Jr., Science and Ultimate Reality. Quantum Theory, Cosmology, and Complexity, Cambridge University Press 2004.

93

d2 r ( t )dt 2 =F

.

Opis dynamiki układu (wszystko jedno – klasycznego czy kwantowego) za pomocą równań różniczkowych jest związany z lokalnym punktem widzenia: stan układu w pewnej chwili t w sposób jednoznaczny wyznacza stan układu w chwili późniejszej (a także wcześniejszej – ze względu na niezmienniczość równań względem inwersji czasu; ograniczymy jednak nasze rozważania do przyszłych stanów układu). Innymi słowy to, jaki będzie stan układu w przyszłości zależy wyłącznie od tego, jaki jest stan układu w teraźniejszości. Możliwe jest jednak inne podejście do zagadnienia – globalny punkt widzenia związany z zasadami wariacyjnymi.

Zasada najmniejszego działania jest najbardziej ogólnym sformułowaniem praw ruchu układów mechanicznych.29 Zgodnie z nią każdy układ mechaniczny może być scharakteryzowany przez pewną funkcję, zwaną funkcją Lagrange’a L zależną od położeń, pędów i czasu. Definiujemy wielkość S, zwaną „działaniem” w następujący sposób:

S=∫t1

t 2

Ldt,

gdzie t1 i t2 oznaczają chwile odpowiadające początkowemu i końcowemu stanowi układu. Zgodnie z zasadą najmniejszego działania ruch odbywa się po takiej trajektorii, dla której działanie S jest najmniejsze.30 Jest to globalny (całkowy) punkt widzenia, w odróżnieniu od lokalnego (różniczkowego), ponieważ obliczając działanie i poszukując minimum (ogólniej – ekstremum) tej wielkości, musimy uwzględnić zarówno początkowy, jak i końcowy stan układu. Można to sobie przedstawić w

29 Por. L. Landau, E. Lifszyc, Mechanika, tłum. S. Bażański, PWN, Warszawa 1961, s. 10.

30 Ogólniej rzecz biorąc poszukujemy ekstremum tej całki, w pewnych wypadkach może to być maksimum, a nie minimum.

94

sposób następujący: cząstka poruszając się z A do B ma „do wyboru” wiele różnych dróg. „Wybiera” ona taką drogę, dla której działanie S jest najmniejsze. Niekiedy zasada najmniejszego działania zwana jest „zasadą lenistwa natury” – spadanie ciał, kształt kropli cieczy, trajektorię promieni świetlnych w niejednorodnym optycznie ośrodku itd. można wyjaśnić zasadą najmniejszego działania.

Rys. … Ilustracja zasady najmniejszego działania.

Podobne rozumowanie można zastosować w mechanice kwantowej i jest ono punktem wyjścia Feynmanowskiego ujęcia mechaniki kwantowej, zwanego całkowaniem po trajektoriach albo sumą po historiach.31 Pomijając szczegóły matematyczne istotę tego ujęcia można przedstawić następująco: rozważamy pewną wielkość K, zwaną propagatorem, która jest równa sumie amplitud prawdopodobieństwa odpowiadającym trajektorii czasoprzestrzennej cząstki między punktami A i B. Obliczamy działanie wzdłuż każdej z możliwych dróg. Jeżeli działanie wzdłuż pewnych dróg jest większe niż kwant działania Plancka ℏ , to wkłady do amplitudy prawdopodobieństwa znoszą się wskutek

31 Por. R. P. Feynman, QED …; M. Heller, Mechanika kwantowa dla filozofów, s. 71n.

95

interferencji destruktywnej. Jeśli jednak dla pewnej drogi występuje konstruktywna interferencja prawdopodobieństw, to pozostałe wkłady można zaniedbać. W odróżnieniu od interpretacji kopenhaskiej, w której pojęcie trajektorii czasoprzestrzennej cząstki nie ma określonego sensu, w interpretacji Feynmana zostaje ono zachowane, ale w pewnym specyficznym sensie: cząstka poruszająca się z punktu A do punktu B eksploruje wszystkie możliwe drogi.

INTERPRETMACJA TRANSAKCYJNA

Interpretacja ta została sformułowana przez Johna Cramera,32 a inspiracją dla niej jest elektrodynamika Wheelera–Feynmana. Już w rozwiązaniach równań klasycznej elektrodynamiki Maxwella mamy dwa zbiory rozwiązań – fale opóźnione oraz tzw. fale wyprzedzone. Te ostatnie można interpretować jako fale poruszające się wstecz w czasie. W standardowych zastosowaniach odrzuca się te rozwiązania, jako pozbawione sensu fizycznego – efekt „nadmiarowości” formalizmu matematycznego.

W mechanice kwantowej jednak, obliczając prawdopodobieństwo rezultatu pomiaru jakiejś wielkości fizycznej posługujemy się

następującym wzorem: P(a i)=|⟨Ψ i|Ψ ⟩|2. We wzorze tym wektor stanu

(ket) jest mnożony przez odpowiedni wektor bra, który jest sprzężeniem zespolonym do keta. Przypomnijmy, że liczbę sprzężoną do liczby z=x+iy wyrażamy wzorem z=x−iy . W wyrażeniu na sprzężenie zespolone wektora stanu (funkcji falowej) w mechanice kwantowej znak „minus” pojawia się przy parametrze reprezentującym czas, zatem – formalnie rzecz biorąc – sprzężony wektor stanu może być interpretowany jako fala poruszająca się wstecz w czasie. Ten matematyczny fakt stanowi podstawę interpretacji transakcyjnej.

Przewidywania interpretacji transakcyjnej są dokładnie takie same, jak przewidywania interpretacji kopenhaskiej. Funkcja falowa nie jest jednak

32 J. G. Cramer, Transactional interpretation of quantum mechanics, „Reviews of Modern Physics” 1986, Vol. 58, No. 2, p. 647-687.

96

rozumiana jako twór czysto abstrakcyjny, ale jako realna fala fizyczna poruszająca się do przodu w czasie i (jej sprzężenie zespolone) wstecz w czasie. Rozważmy rzecz na przykładzie eksperymentu z dwiema szczelinami. Jego opis w kategoriach interpretacji transakcyjnej wygląda następująco: źródło (emiter) emituje falę („falę propozycję”), która z prędkością światła przechodzi przez układ szczelin i dociera do ekranu (absorbera). Absorber wysyła falę o ujemnej energii („falę potwierdzenie”) wstecz w czasie, która interferuje z „falą propozycją”. Urzeczywistnia się jedna z możliwości zgodnie z kwantowomechanicznymi regułami obliczania prawdopodobieństwa. Ponieważ jedna fala porusza się do przodu w czasie, druga zaś wstecz w czasie, proces ten wydaje się atemporalny (tak jakby cząstka poruszająca się przez układ szczelin „wiedziała”, czy są otwarte dwie szczeliny, czy tylko jedna).

Zdaniem Cramera interpretacja transakcyjna pozwala na poglądowy opis zachowania mikroobiektów (jeśli zaakceptujemy fale przemieszczające się wstecz w czasie) i pozwala pozbyć się kategorii obserwatora wraz ze związanej z nią dyskusją na temat zależności wyników eksperymentów od naszych świadomych decyzji. Na przykład w eksperymencie Wheelera z opóźnionym wyborem unikamy dość kłopotliwego wniosku, że nasze decyzje mają wpływ na to, co się dzieje w przeszłości. Podobnie, redukcja wektora stanu w eksperymencie myślowym z kotem Schrödingera „nie musi czekać, aż obserwator zajrzy do środka, nie ma takiego momentu, w którym kot jest na pół żywy i na pół martwy”.33

DEKOHERENCJA

Model dekoherencji zaproponowany został przez polskiego fizyka Wojciecha Żurka.34 W interpretacji kopenhaskiej wprowadza się podział

33 J. Gribbin, Kotki Schrödingera, czyli poszukiwanie rzeczywistości, tłum. J. Bieroń, Zysk i S-ka, Poznań 1999, s. 266.

34 W. Żurek, Decoherence and the Transition from Quantum to Classical, „Physics Today” 1991, Vol. 44, p. 36-44; W. Żurek, Decoherence and the Transition from

97

na „kwantowy obiekt” i „klasyczny przyrząd pomiarowy”. Jednak „granica” między kwantową a klasyczną „rzeczywistością” nie jest dobrze zdefiniowana. Bohr twierdził, że przyrząd pomiarowy musi być obiektem makroskopowym, to znaczy takim, że w jego opisie można pominąć, z praktycznego punktu widzenia, efekty kwantowe, takie jak superpozycja stanów.35 Rezultaty pomiarów wyrażamy zawsze w kategoriach fizyki klasycznej. Pozostaje jednak otwartym pytanie o to, kiedy następuje „wyłonienie się świata klasycznego”,36 albo – inaczej mówiąc – dlaczego nie obserwujemy na co dzień interferujących kul bilardowych lub żywo-martwych kotów.

Interpretacja kopenhaska prowadzi również do pewnego problemu zauważonego już przez von Neumanna. Otóż przyrząd pomiarowy również składa się z atomów i cząstek elementarnych, czyli z obiektów, które podlegają prawom mechaniki kwantowej. Jeżeli tak, to podczas pomiaru przyrząd może znaleźć się w superpozycji stanów przyrządu i mierzonego obiektu, zatem aby pomiar mógł zostać wykonany i aby nastąpiła redukcja wektora stanu, należałoby wprowadzić kolejny przyrząd, który również może znaleźć się w superpozycji stanów… Otrzymujemy zatem regressus ad infinitum – pomiar nie mógłby zostać zakończony bez jakiegoś dodatkowego elementu, takiego jak… akt świadomości obserwatora. To oczywiście wikła nas w jeszcze bardziej złożony niż problem pomiaru w mechanice kwantowej, problem relacji między umysłem a materią. Ponadto według interpretacji kopenhaskiej redukcja wektora stanu jest procesem natychmiastowym, co stanowi pewien problem – przynajmniej przy próbach realistycznej interpretacji wektora stanu – w związku z podstawowymi założeniami teorii względności.

Zgodnie z interpretacją Żurka, za proces redukcji wektora stanu odpowiedzialne jest oddziaływanie układu kwantowego ze środowiskiem, które tworzą inne cząstki elementarne, a także pola grawitacyjne,

Quantum to Classical – Revisited, [w:] http://vvkuz.ru/books/zurek.pdf; S. Szpikowski, Podstawy mechaniki kwantowej…, s. 378-385.

35 N. Bohr, Fizyka atomowa a wiedza ludzka, s. …36 Por. R. Penrose, Nowy umysł cesarza…, s.

98

całkowicie bez potrzeby wprowadzania do mechaniki kwantowej kategorii świadomego obserwatora. Dekoherencja stanu kwantowego powodowana przez wpływ otoczenia zapobiega trwaniu superpozycji.37 Proces redukcji wektora stanu nie jest procesem natychmiastowym, lecz procesem fizycznym, którego prędkość zależy od wielkości rozważanego układu. Obliczenia przeprowadzone przez Żurka pokazują, że dla obiektu makroskopowego o masie rzędu 1 g i rozmiarach rzędu 1 cm czas, w którym oddziaływanie środowiska powoduje dekoherencję jest rzędu 10-23

s, natomiast dla cząstki o masie i rozmiarach rzędu elektronu (10-23 g, 10-13

cm) proces taki może trwać 1014 s.38 Przy obiektach o dużej masie i rozmiarach (dużych w porównaniu z masami i rozmiarami elementarnych składników materii) następuje bardzo szybki (wykładniczy) zanik kwantowych superpozycji i przejście do jednego ze stanów klasycznych.

W interpretacji tej „pomiaru” wykonuje po prostu środowisko, czyli oddziaływanie układu kwantowego z innymi obiektami, a sam pomiar nie jest szczególnie wyróżnionym rodzajem oddziaływania. Nie ma zasadniczej różnicy między światem klasycznym a kwantowym – jest ciągłe przejście poprzez szereg stanów pośrednich.

QBISM

QBism to skrót od nazwy interpretacji mechaniki kwantowej zwanej Quantum Bayesianism – kwantowy bayesjanizm.39 Nazwa pochodzi stąd, że w teorii prawdopodobieństwa Bayesa prawdopodobieństwo jest rozumiane jako stopień przekonania w odniesieniu do pojedynczego zdarzenia, bez żadnych apriorycznych założeń na temat jego częstości. Zdaniem zwolenników tej interpretacji wszelkie paradoksy mechaniki kwantowej powstają na skutek niewłaściwej interpretacji funkcji falowej i pojęcia prawdopodobieństwa. QBism proponuje powrót do

37 S. Szpikowski, Podstawy mechaniki kwantowej, s. 381.38 W. Żurek, Decoherence and the Transition from Quantum to Classical – Revisited,

[w:] http://vvkuz.ru/books/zurek.pdf p. 14.39 C. M. Caves, C. A. Fuchs, R. Schack, Quantum probabilities as Bayesian

probabilities, [w:] http://arxiv.org/pdf/quant-ph/0106133v2.pdf.

99

zdroworozsądkowego obrazu świata i eliminację kwantowych paradoksów dzięki subiektywnej interpretacji funkcji falowej, która jest wyłącznie wyrazem wiedzy obserwatora i w tym sensie istnieje tylko w umyśle indywidualnego fizyka. W szczególności funkcji falowej nie odpowiada żadna rzeczywistość, nawet rozumiana jako „tendencja do realizacji zdarzeń” (Heisenberg). Pojęcie prawdopodobieństwa interpretowane jest w czysto subiektywny sposób, jako miara przekonania, że nastąpi określone zjawisko.

Gdy stosujemy pojęcie prawdopodobieństwa do takich zdarzeń, jak na przykład rzut monetą, to możemy stosować interpretację częstościową – w wystarczająco długiej serii rzutów odsetek orłów i reszek będzie wynosił około 50% i w tym sensie mówimy, że prawdopodobieństwo poszczególnego zdarzenia (wyrzucenia orła lub reszki) wynosi ½. Możemy to określić mianem obiektywnej interpretacji prawdopodobieństwa. Jeżeli natomiast mówimy na przykład, że prawdopodobieństwo wystąpienia opadów określonego dnia wieczorem wynosi 60%, albo że kandydat X na prezydenta na 70% szans na zwycięstwo w wyborach, wówczas, ponieważ tego typu zdarzenia są niepowtarzalne, to nie możemy stosować interpretacji częstościowej. Prawdopodobieństwo wyraża wówczas stopień naszego subiektywnego przekonania odnoście do zaistnienia przyszłych stanów rzeczy. Taką interpretację prawdopodobieństwa określamy mianem subiektywnej.

Zwolennicy QBismu proponują czysto subiektywną interpretację prawdopodobieństwa i funkcji falowej w mechanice kwantowej, co ma stanowić „lekarstwo na kwantowe absurdy”.40 Rozważmy przypadek kota Schrödingera: wedle zwolenników omawianej interpretacji kot jest żywy albo martwy, a redukcja wektora stanu (czy też kolaps funkcji falowej) oznacza po prostu, że obserwator kierując się nowymi informacjami w sposób skokowy zmienił swoją ocenę prawdopodobieństwa.

40 Por. H. C. von Baeyer, Kwantowe paradoksy? Są tylko w naszych umysłach, „Świat Nauki” 2013, nr 7, s. 33-37.

100

INTERPRETACJA STATYSTYCZNA

Istotą interpretacji statystycznej mechaniki kwantowej jest założenie, że teoria ta w ogóle nie stosuje się do pojedynczych zdarzeń, lecz jest teorią zespołów statystycznych. Oznacza to, że jeżeli wykonujemy pomiar na układzie kwantowym, to należy przyjąć, że w istocie wykonujemy pomiar na zespole identycznie przygotowanych obiektów. Otrzymujemy zatem po jednym wyniku dla każdego z identycznie przygotowanych obiektów. Rezultat pomiaru przyjmuje zatem postać rozkładu prawdopodobieństwa możliwych wyników pomiarów.41 Zgodnie z tą interpretacją poszukujemy wyłącznie rozkładu statystycznego i nie interesujemy się pojedynczymi zdarzeniami.

41 P. C. W. Davies, Duch w atomie, s. 127. [Terlecki, 1953] i Błochincew [Błochincew, 1953].

101