bab-viii-sifat-sifat-magnetik-dan-efek-kemagnetan-dari-arus.doc

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Lenni, ST 1MEDAN ELEKTOMAGNETIK

BAB VIII

SIFAT-SIFAT MAGNETIK DAN EFEK

KEMAGNETAN DARI ARUS

8.1 Sifat-sifat Magnetik

Sifat-sifat magnetik atau besaran-besaran magnetik dan interaksi yang terjadi

antara besaran yang satu dengan besaran lainnya dan interaksi antara besaran

magnetik dan besaran listrik penting sekali dimengerti dengan seksama, karena hasil

interaksi ini atau efek yang ditimbulkannya dapat menghasilkan tenaga atau energi

yang dibutuhkan oleh kehidupan manusia adalah produk vektor antara arus listrik

dengan rapat fluks magnetik; energi torsi adalah produk vektor antara momen

magnetik dengan vektor rapat fluks magnet yang merupakan prinsip kerja dari motor-

motor listrik. Besaran-besaran magnetik yang banyak dijumpai yaitu : fluks magnetik

(m); rapat fluks magnetik (B); intensitas medan magnetik (H); magnetisasi (M); momen

magnetik; vektor energi torsi; dan besaran-besaran yang berkaitan dengan sifat bahan

atau medium adalah permeabilitas absolut (), permeabilitas relatif (r), suseptibilitas

magnetik. Besaran magnetik yang berkaitan dengan komponen pasif adalah induktansi

(L) dan induktansi timbal balik (M). Fluks magnetik (m), dalam sistem satuan standar

internasional skala besar (MKS) dinyatakan dalam satuan Weber (Wb) dan dalam

skala kecil (CGS) dinyatakan dalam satuan Maxwell (Mx), yaitu banyaknya garis-garis

induksi yang melalui permukaan tegak lurus seluas A. Garis-garis fluks magnetik tidak

berakhir di muatan magnetik tetapi garis-garis ini membentuk loop tertutup, dengan

demikian, hukum Gauss untuk medan magnetik adalah

dimana :

m B . dA

0A

(8.1)

B = vektor rapat fluks magentik, dengan satuan Wb/m2 atau tesla (T) dalam MKS;

dan Mx/cm2 atau Gauss (Ga) dalam CGS

dA = elemen luas (m2 atau cm2)

Fluks magnetik m yang dipancarkan dari permukaan seluas A oleh vektor rapat fluks

magnetik B yang homogen atau serba sama adalah

atau

m B . dA

WbA

(8.2)

m = BA cos (8.3)

dengan B = vektor rapat fluks magnet serba sama (T), dA = vektor elemen luas (m2)

8.2 Hubungan B, H dan M

Hubungan antara vektor rapat fluks magnetik B dengan vektor intensitas medan

magnetik H dan vektor magnetisasi M :B H 0 rr H 0 xm 1H, atau

dimana :

B H

M0

(8.4)

H = vektor intensitas medan magnetik (A/m)

M = vektor magnetisasi (A/m)

= permeabilitas absolut medium (H/m)

0 = permeabilitas absolut ruang vakum atau udara bebas = 12,57 x 10-7 H/m

r = permeabilitas relatif medium (tidak memiliki dimensi)

xm = r – 1 = suseptibilitas magnetik (tidak memiliki dimensi)

Vektor magnetisasi M didefinisikan sebagai jumlah vektor-vektor momen

magnetik yang dimiliki oleh masing-masing atom suatu bahan (A/m2) per satuan

volume (m3).

Permeabilitas relatif untuk berbagai bahan atau medium memiliki nilai yang

berbeda-beda, untuk bahan ferromagnetik keras r memiliki orde 103, untuk bahan

ferromagnetik lunak (besi lunak, ferrit) nilainya lebih kecil daripada 100, untuk bahan

paramagnetik r sekitar 1, sedangkan untuk bahan diamagentik nilainya lebih kecil

daripada 1. Udara dan ruang vakum termasuk medium paramagnetik.

8.3 Efek Kemagnetan Arus Listrik

Rapat fluks magnet yang dihasilkan disekitar kawat konduktor yang dialiri arus

listrik I dapat diperoleh melalui : (1) hukum Biot-Savart, (2) hukum integral Ampere, (3)

definisi vektor potensial magnetik dan hubungan antara vektor rapat fluks magnetik

dengan vektor potensial magnetik. Hukum Biot-Savart adalah produk vektor sehingga

rapat fluks magnetik disekitar kawat konduktor yang dialiri arus akan diperoleh dalam

bentuk vektor langsung, sedangkan hukum integral Ampere adalah produk skalar

sehingga kita tidak langsung mendapatkan besaran vektor dan besaran yang dihitung

adalah intensitas medan magnetik bukan rapat fluks magnetik, meskipun antara B dan

H terdapat hubungan langsung B = H. Dengan menggunakan konsep hubungan

antara vektor potensial magnetik A dengan vektor rapat fluks magnet B untuk

mendapatkan nilai vektor B yang sesungguhnya juga memerlukan kecermatan dan

pemahaman yang baik.


Hukum Biot-Savart

Hukum Biot-Savart yang dinyatakan dalam bentuk integral vektor adalah

dimana :

B = vektor rapat fluks magnetik (T)

B

I d I x a r

4r 2 (8.5)

= permeabilitas magnetik medium (H/m)

= 0r

0 = 4 x 10-7 H/m = permeabilitas ruang vakum atau udara bebas

r = permeabilitas relatif (tidak memiliki dimensi)

IdI = vektor elemen arus (A . m), arah vektor searah arus I

ar = vektor satuan arah r, r jarak dari elemen arus IdI ke titik dimana B ingin diketahui

Dengan melibatkan K (vektor kerapatan arus permukaan, A/m) atau melibatkan

J (vektor kerapatan arus, A/m2)

IdI = KdS = Jdv (8.6)

dimana :

dS = elemen luas permukaan (m2) bidang yang dilalui arus permukaan K

dV = elemen penambahan volume (m3), maka hukum Biot Savart dapat ditulis :

atau

B

B

K dS x a r

4r 2

J d vx a r

4r 2

(8.7)

(8.8)

Untuk kawat lurus yang panjangnya tak terhingga dan terbentang di sepanjang

sumbu-z dari z = - ke z = + serta dialiri arus searah I, seperti Gambar 8.1. Hukum

Biot-Savart di titik P

B I d z a z x a

r

4r 2

(8.9)


2

d

az

a P

zr

IdI = Idz = Idzaz

ar

Gambar 8.1. Kawat lurus disepanjang sumbu-z dialiri arus listrik I

Harga absolut B adalah

z d B

Idz s in Iad z atau B

I a 4r 2 4r 3 4a z 2

1

3 / 2

a

zdimana

Jadi,

= cot , untuk z = -, = 1800 dan untuk z = +, = 00

a

B I

4a

0 I d cos

180 0

Di ruang vakum atau udara bebas, dimana = 0, maka

B 0 I ,2a

B 0 I

a2a

(8.10)

Untuk kawat lingkaran dengan jari-jari R, dialiri arus I di medium udara bebas, Hukum

Biot-Savart menjadi

B 0 I d I x a r

4r 2 0 I Rda xa r

4r

dimana r2 = R2 + z2; arah vektor B tegak lurus bidang yang melalui r dan adl, sehingga

R Bz dalam arah sumbu-z positif = B Sin = B , atau

IR 2

r 2 IR 2


B 0

4 R 2 z 2 3 / 20

2R 2 z 2

0


B IR 2

0 z

2R 2 z 2 3 / 2 (8.11)

Di pusat lingkaran dimana z = 0 maka

B z 0 I

a2R

z

(8.12)

Hukum Integral Ampere

Di dalam hukum integral Ampere, hubungan antara arus I dengan intensitas medan

magnetik yang dihasilkan disekitar kawat konduktor yang dialiri arus I mengikuti

persamaan integral berikut ini.

dimana :

I H .

dI

(8.13)

dI = vektor elemen jarak yang searah dengan lintasan yang dilalui H,

untuk kawat lurus yang dilalui I, dI = da,

= jarak dari kawat ke lintasan yang dilalui H

H = Ha = vektor intensitas medan magnetik yang dihasilkan oleh I

Dengan demikian persamaan hukum integral Ampere menjadi

I Ha . da (8.14)

Karena hasil kali antara dua buah vektor satuan yang sama a . a = 1, dan perubahan

sudut dari 0 ke 2 radian, maka persamaan (8.14) menjadi

1

2

I Hd H 20

atau H 2

. Sehingga kita peroleh vektor intensitas medan magnetik

dan vektor rapat fluks magnetik

H 1

a2

B H I

a2

(8.15)

(8.16)

Vektor Potensial Magnetik


Vektor potensial magnetik dengan simbol besaran A didefinisikan sebagai

A 0 I d I

4r(8.17)

dimana :

0 = permeabilitas ruang vakum/udara = 4 x 10-7 H/m,

IdI = vektor elemen arus diferensial

r = jarak dari vektor elemen arus diferensial ke titik dimana vektor potensial magnetik

dihitung atau titik P (, , z)

Ambil arus mengalir di sepanjang sumbu-z dari z = - ke z = +, sehingga IdI di titik O

(0, 0, 0) adalah Idzaz, seperti diperlihatkan pada Gambar 8.2.

z =

d Az

P (, , z)

rz

y

x

z = -

Gambar 8.2. Hubungan antara vektor elemen arus diferensial di sumbu-z dengan

vektor potensial magnetik dAz di titik P (, , z)

Bentuk diferensial dari persamaan (8.17) :

dA 0 I d za z

0 I d za z (8.18)z 4r 4 2 z 2 1/ 2

Hubungan antara elemen diferensial vektor rapat fluks magnetik dB dengan elemen

diferensial vektor potensial magnetik dAz didefinisikan sebagai

dB x dA z

Di dalam sistem koordinat silinder tiga dimensi, persamaan (8.19) menjadi

(8.19)

z

dA dAz dAz dAz

dB dB a dB a dBz a z

a z z

a

dA z

dA z a (8.20)

Untuk kawat lurus di sepanjang sumbu-z yang dialiri arus I hanya terdapat komponen

dB di dalam arah vektor satuan a sehingga persamaan (8.20) menjadi

dAz dAz

dAz

dB a z

a (8.21)

dan 0 sehingga dari persamaan (8.21) diperolehz

dB a dA z

I d z 0 a

atau

z

4 2 z 2 3 / 2

d dB

I 0 . , jika z

tan dengan batas z = - hingga z = +

4 z1

3 / 2

2

Sesuai dengan

;

maka diperoleh

2 2

90 0

I I IB

0 cos d 0 ; B 0 a (8.22)90 0 4 2 2

8.4 Potensial Magnetik Skalar

Hubungan antara potensial magnetik skalar dengan vektor intensitas medan

magnetik didefinisikan sebagai

H = -Vm (8.23)

Selanjutnya, divergensi dari persamaan (8.23) adalah

Div H = . H = . Vm = 0 (8.24)

atau

2Vm = 0 (8.25)

Div H = 0 diperoleh dari hukum Gauss untuk medan magnetik pada persamaan (8.1)

dan teorema divergensi :

x

z

m S luas

B.dS

.B dVV volume

Dari persamaan ini diperoleh . B = 0 atau u . H = 0 dan . H = 0.

Persamaan (8.25) adalah persamaan Laplace untuk medan magnetik. Perbedaannya

dengan persamaan Laplace untuk potensial listrik adalah potensial listrik merupakan

fungsi berharga tunggal dari posisi, sedangkan Vm bukanlah fungsi tunggal dari posisi.

8.5 Teorema Stoke

Teorema stoke mengubah bentuk integral garis menjadi integral permukaan.

Sebagai contoh, integral Ampere menjadi

I H .dI

Dari definisi arus listrik I diperoleh

x H

.dSS luas

(8.26)

I J . dS (8.27)

Dari persamaan (8.26) dan persamaan (8.27) ini diperoleh hukum Ampere bentuk

diferensial :

J = x H = curl H (8.28)

Hukum Ampere bentuk diferensial ini juga termasuk salah satu dari empat persamaan

Maxwell untuk medan tunak.

Curl H dalam tiga dimensi untuk :

1. Sistem koordinat kartesian :

x H H z

H y a

H x H z a

H H y x a (8.29)

y z z x y x y

2. Sistem koordinat silinder :

H H H H H H x H z a z a a (8.30) z z

z

3. Sistem koordinat bola :

1 H s in

H 1 H

r

r H

x H r sin

a r sin rr

a (8.31)

rH

rr

H r ar

BAB IX

GAYA MAGNETIK, TORSI MAGNETIK,

MAGNETISASI, HUKUM INDUKSI

9.1 Gaya Magnetik

Gaya magnetik, dinamakan juga gaya Lorentz, adalah gaya yang bekerja pada

muatan titik q yang bergerak dengan kecepatan v dalam medium yang dipengaruhi

oleh vektor rapat fluks magnetik homogen B. Gaya magnetik ini adalah hasil kali antara

vektor kecepatan dengan vektor rapat fluks magnetik dikalikan dengan titik muatan q.

Jadi vektor gaya Lorentz dapat dinyatakan sebagai

F = qv x B (9.1)

Dalam sistem satuan standar internasional skala besar :

q = titik muatan C

v = kecepatan titik muatan (m/s)

B = rapat fluks magnetik (Wb/m2, atau tesla, T)

F = gaya magnetik (N)

Dalam suatu medium yang tidak hanya dipengaruhi oleh vektor rapat fluks

magnetik homogen B, namun juga dipengaruhi oleh vektor intensitas medan listrik E,

seperti halnya di dalam lapisan ionosfer bumi, maka gaya total yang bekerja pada titik

muatan q terdiri dari gaya Coulomb dan gaya magnetik yang bekerja secara simultan :

F = q (E + v x B) (9.2)

Vektor gaya diferensial dF yang bekerja pada unsur muatan diferensial dq yang

bergerak dengan kecepatan v di dalam vektor rapat fluks magnetik yang homogen B

adalah

dF = dq v x B (9.3)

dimana : dq = v dV, v = kerapatan muatan ruang (C/m3)

Dengan demikian kita peroleh


dF = v dV v x B (9.4)

Karena v v = J = vektor rapat arus, maka dari persamaan (9.4) diperoleh vektor

elemen diferensial gaya magnetik sebagai hasil kali dari vektor rapat arus J dengan

vektor rapat fluks magnetik B dikalikan dengan elemen diferensial volume dV.

dF = J x B dV (9.5)

Oleh karena J dV = K dS = IdI maka persamaan (9.5) menjadi

dF = J x B dS (9.6)

dimana :

K = vektor kerapatan arus permukaan (A/m)

dS = elemen diferensial luas permukaan yang dilalui K

atau

dF = IdI x B (9.7)

Melalui integrasi, persamaan (9.7) akan menjadi

..

F IdI x B IdI x B

atau

F = II x B (9.8)

yang merupakan gaya magnetik yang bekerja pada kawat lurus yang panjangnya I dan

dialiri arus konstan I serta dipengaruhi oleh vektor rapat fluks magnetik homogen B.

FPersamaan (9.8) dapat juga dinyatakan dengan gaya per satuan panjang F .1

1

F = I x B (9.9)

9.2 Torsi Magnetik

Torsi magnetik adalah besaran vektor yang memegang peranan penting di

dalam teknik dan teknologi kelistrikan. Sebagai contoh, di dalam sebuah motor listrik,

energi yang dihasilkan adalah energi torsi magnetik, yaitu produk vektor antara vektor

momen magnetik kumparan yang memiliki N lilitan, luas A, dan dialiri arus I dengan

vektor rapat fluks magnetik homogen B dari suatu magnet permanen. Di bidang

instrumentasi, sebagai contohnya adalah sebuah ampere meter tipe magnet permanen

kumparan putar dimana nilai arus I yang diukur sebanding dengan energi torsi

magnetik dan keluarannya sebanding dengan sudut dari kumparan penahan. Vektor

energi torsi magnetik didefinisikan sebagai


= m x B J (9.10)

dimana :

B = vektor rapat fluks magnetik dalam satuan tesla (T)

m = vektor momen magnetik dalam satuan ampere-meter kuadrat (Am2)

Vektor momen magnetik adalah suatu besaran vektor yang dapat dibangkitkan oleh 3

cara :

1. Sebuah magnet permanen dengan vektor panjang L (vektor jarak dari kutub

selatan ke kutub utara) dan kuat kutub utara U ampere-meter akan memiliki

momen magnetik

M = U L Am2 (9.11)

dengan L = panjang dalam satuan meter (m). Energi yang mengembalikan posisi

jarum kompas dengan vektor fluks magnet bumi B. Ketika jarum kompas kita beri

usikan, kutub utaranya akan menunjuk ke arah timur sehingga menghasilkan

momen magnetik m = UL = Ulaz A . m2. Magnet bumi B = -2 x 10-3ay T. Dengan

demikian, besar energi torsi maksimum yang akan memutar jarum kompas kembali

ke posisi seimbang adalah |+2 x 10-3 Ulax|.

2. Sebuah kawat lingkaran berjari-jari R terletak di bidang XOY dengan pusat

lingkaran di titik asal O (0, 0, 0) dan dialiri arus listrik I = IaA, maka dibangkitkan

vektor momen magnetik m di pusat lingkaran :

m = IA = R2 Iaz Am2 (9.12)

dengan R = jari-jari, dalam satuan m. Hubungan antara vektor arah m dengan

vektor arah I mengikuti hukum tangan kanan: Bila tangan kanan digenggam, maka

arah ibu jari adalah arah vektor momen magnetik m dan arah keempat jari lainnya

adalah arah arus I.

3. Sebuah muatan listrik bebas, misalnya +e (1,602 x 10-19 C), yang bergerak dalam

suatu orbit lingkaran berjari-jari R dan memiliki periode gerak T akan menghasilkan

momen magnetik m di pusat lingkaran sebesar

dimana :

R = jari-jari orbit; m

m R 2 e

aT

m

Am 2 (9.13)

e = muatan proton = 1,602 x 10-19 C

T = periode; s

m

Hubungan antara arah m dengan arah kecepatan gerak melingkar e juga mengikuti

hukum tangan kanan, bila tangan kanan digenggamkan maka arah ibu jari adalah arah

vektor m, sedangkan arah kecepatan muatan e adalah arah keempat jari lainnya.

9.3 Magnetisasi

Vektor magnetisasi dengan simbol besaran M di dalam bahan-bahan

ferromagnetik didefinisikan sebagai jumlah vektor-vektor momen magnetik dari atom-

atom atau molekul-molekul bahan per satuan volume. Harga absolut dari vektor

magnetisasi tergantung dari harga suseptibilitas magnetik bahan tersebut. Magnetisasi

selain memiliki pengertian suatu besaran fisis dengan satuan A/m dalam sistem satuan

standar internasional skala besar (MKS) juga memiliki pengertian suatu proses

pengutuban arah-arah momen-momen dipole magnetik dari atom-atom atau molekul-

molekul bahan tersebut, khususnya pada bahan ferromagnetik, yang menyebabkan

bahan ferromagnetik yang semula bukan magnet setelah dimagnetisasi akan menjadi

magnetik dengan kutub utara dan selatan tertentu, sesuai dengan arah besaran vektor

intensitas medan magnetik H yang melakukan fungsi magnetisasi itu. Vektor intensitas

medan magnetik H yang melakukan fungsi magnetisasi itu harus memenuhi syarat

harga yang sama atau lebih besar daripada harga jenuh H bahan ferromagnetik, yang

dapat diamati dari kurva B – H histeresisnya. Untuk bahan ferromagnetik lunak atau

besi lunak, proses magnetisasi dapat dilakukan oleh intensitas medan H yang relatif

lebih kecil dari pada yang dibutuhkan oleh bahan-bahan ferromagnetik keras atau baja.

Hubungan B, H dan M ditunjukan oleh persamaan (9.14) berikut ini :

B H 0 r H 0 1 xm

Hatau

Vektor magnetisasi :

B H x

0

H H M

(9.14)

M xm H (9.15)

dimana xm = suseptibilitas magnetik = ( (r 1) , tidak memiliki dimensi, dan r adalah

permeabilitas relatif bahan (tidak memiliki dimensi). Nilai suseptibilitas magnetik suatu

bahan dipengaruhi oleh suhu. Untuk bahan-bahan ferromagnetik, suseptibilitas

magnetiknya adalah fungsi temperatur absolut (T K) yang ditunjukkan oleh persamaan

(9.16), yang dinamakan juga relasi Curie-Weiss.

N

m

dimana :

C = konstanta Curie =2

0 0 m

3k

x C T TC

(9.16)

(9.17)

0 = permeabilitas vakum = 1,257 H/m

N0 = konstanta Avogadro

k = konstanta Boltzmann

mm = momen magnetik rata-rata molekul paramagnetik

T = suhu absolut dalam skala Kelvin (K), TC suhu Curie, tergantung jenis bahan

Untuk bahan paramagntik, dimana konstanta Curie ditunjukkan oleh persamaan

(9.17), hasil studi yang sistematik oleh P. Curie pada akhir abad 19 menunjukan bahwa

suseptibilitas paramagnetik berbanding terbalik dengan suhu absolut.

x C

m T

(9.18)

Untuk bahan-bahan diamagnetik, harga suseptibilitas diamagnetiknya (xD)

adalah kecil sehingga efek yang ditimbulkannya terhadap sifat-sifat magnetik bahan

tidak signifikan. Bahan diamagnetik bersifat menolak kehadiran medan magnet dari

luar. Contoh medium-medium diamagnetik adalah gas-gas mulia (Ar, Ne, He) dan

bahan-bahan alkali (Li, Na, K), kalsium, antimon, bismuth, dan grafit.

9.4 Hukum Induksi Lenz/Faraday

Sebelum hukum induksi Lenz atau hukum induksi Faraday diperkenalkan,

dunia ini belum mengenal adanya penerangan listrik karena azas dari pembangkit

listrik, apapun jenisnya, adalah berdasarkan hukum induksi Lenz atau Faraday. Hukum

induksi Faraday, atau singkatnya hukum Faraday, mengatakan bahwa gaya gerak

listrik induksi (GGL induksi; EMF induksi) yang dibangkitkan pada suatu rangkaian

adalah sama dengan negatif dari mulai numerik perubahan fluks magnetik terhadap

waktu yang melalui rangkaian itu.

Hukum induksi Faraday : EMF d

Volt dt(9.19)


Negatif dari laju perubahan fluks terhadap waktu memiliki satuan Weber per

sekon atau volt. Bila rangkaian itu memiliki N buah lilitan maka hukum induksi Faraday

menjadi

EMF N d

Volt dt(9.20)

H.F.E. Lenz (1804-1864) seorang ilmuwan bangsa Jerman tanpa sepengetahuan dan

kerja sama dengan Faraday dan Henry mengemukakan hukum yang sama pada waktu

yang hampir bersamaan. Hukum induksi Lenz mengatakan bahwa apabila ada

perubahan fluks magnetik terhadap perubahan waktu pada suatu rangkaian atau loop

tertutup maka akan dibangkitkan tegangan induksi (EMF induksi) dimana arah

polarisasinya harus menghasilkan fluks induksi i yang arahnya berlawanan dengan

arah perubahan fluks magnetik terhadap perubahan waktu penyebabnya. Hubungan

antara arah polarisasi EMF induksi dengan fluks induksi i diperoleh dengan

memperhatikan arah induksi yang dihasilkan EMF induksi. Arah arus induksi dan arah

fluks induksi i dapat diketahui dengan bantuan hukum tangan kanan.

Hukum Tangan Kanan: Bila tangan kanan digenggamkan maka arah ibu jari adalah

arah fluks induksi i, sedangkan arah ke empat jari lain menunjukkan arah perputaran

arus I.

Untuk menentukan arah perubahan fluks magnetik terhadap perubahan waktu, atau

dmenentukan arah , maka perhatikan hal berikut :

dt

d

2 1 (9.21)dt t

d

t2 t1

Bila 2 - 1 positif, maka arah

Bila 2 - 1 negatif, maka arah

searah 2 atau 1.dt

dberlawanan dengan arah 2 atau 1.

dt

bab-viii-sifat-sifat-magnetik-dan-efek-kemagnetan-dari-arus.doc

Documents