bab vi konsep dasar teori diferensial

Dosen Pengasuh:

H.M. TAJUS SUBQI, S.E., M.M.

JURUSAN EKONOMI SYARIAH

INSTITUT ILMU KEISLAMAN ANNUQAYAH (INSTIKA)GULUK-GULUK SUMENEP

1

PENERAPAN TEORI DIFERENSIAL DALAM BISNIS DAN EKONOMI

B. PENERAPAN DALAM BISNIS DAN EKONOMI 1. Penerapan Teori Diferensial Biasa, diantaranya untuk

mencari : Laju Pertumbuhan (Fungsi Marjinal), Optimasi (Nilai Maksimum dan Minimum), Elastisitas titik: Analisis Fungsi dan Grafis.

2. Penerapan Diferensial Parsial, seperti menghitungPrice Elasticity of Demand, Cross Elasticity of Demand, dan Income Elasticity of Demand, menghitung Optimasiuntuk dua variabel serta mencari Marginal Rate of Technical Substitution.

21

3. Penerapan Diferensial Berantai, seperti dalam fungsiproduksi, menghitung Marginal Physical Product of Capital, Marginal Physical Product of Labor, Marginal Revenue Product of Capital dan Marginal Revenue Product of Labor.

Penerapan Teori Diferensial Biasa1. Laju Pertumbuhan (Fungsi Marginal)

Fungsi Marginal merupakan turunan pertama dari fungsi-fungsi total yang merupakan fungsi ekonomi. Fungsi Marginal menggambarkan laju pertumbuhan suatuvariabel terikat akibat perubahan variabel bebasnya. Secaraumum jika diberikan fungsi total sebagai berikut: y = f (x), maka diperolehlah fungsi Marginalnya dy/dx laju perubahany akibat perubahan x sebanyak 1 unit.

22

Lebih jauh lagi

Jika fungsi marginal itu hasilnya positif, dikatakan perubahansearah; artinya jika x bertambah 1 unit maka y akan bertambah pula atau sebaliknya jika x berkurang 1 unit maka y akan berkurang pula. Jika fungsi marginal hasilnya negatif, maka dikatakanperubahannya tidak searah, yang artinya jika x bertambah 1 unit, maka y berkurang atau sebaliknya jika x berkurang 1 unit maka y akan bertambah. Contoh soal : Marginal Pendapatan (Marginal Revenue) a. Fungsi permintan diberikan P = 3Q + 27,

di mana P: Price (harga) dan Q: Output.Bagaimanakah fungsi marginal pendapatannya (Marginal Revenue) dan berapa nilai marginal pendapatannya jikaperusahaan memproduksi 10 output, serta terangkan artinya.

23

Jawab : fungsi total pendapatan (Total Revenue)

R = P . Q R = (3Q + 27) . Q R = 3Q2 + 27Q

Fungsi marginal pendapatan (Marginal Revenue) MR = dR/dQ = 6Q + 27

Jika perusahan berproduksi pada tingkat output Q = 10 , maka MR = dR/dQ = 6Q + 27

= 6(10) + 27 = 60 + 27 = 87

Artinya : untuk setiap peningkatan penjualan Q yang dijual sebanyak 1 unit akan menyebabkan adanya tambahan pendapatan sebesar 87, sebaliknyauntuk setiap penurunan penjualan Q yang dijual sebanyak 1 unit akanbanyak menyebabkan adanya pengurangan pendapatan sebesar 87

24

b. Fungsi Permintaan diberikan Q = 6 - 5P, dimana P: Price (harga) dan Q: Penjualan. Bagaimanakah Fungsi marginal pendapatanya (Marginal Revenue) dan berapakah nilai marginal pendapatanya jika perusahaanmemproduksi baru 1 penjualan ,serta terangkan artinya. Jawab: Karena fungsi permintaanya Q = 6 - 5P, dimana harus diubah dahulumenjadi P = 6/5 –1/5Q Barulah mencari fungsi total pendapatan (Total Revenue): R = P . Q

R = (6/5 – 1/5Q) Q R = 6/5Q - 1/5Q2

Fungsi marginal pendapatan (Marginal Revenue): MR = dR/dQ = 6/5 - 2/5Q

Jika perusahaan berproduksi pada tingkat output Q = 1, maka MR= dR/dQ = 6/5 - 2/5.(1) = 6/5 - 2/5 = 4/5

25

artinya : untuk setiap peningkatan penjualan Q yang dijualsebanyak 1 unit akan menyebabkan adanya tambahanpendapatan sebesar 4/5, sebaliknya untuk setiappenurunan penjualan Q yang dijual sebanyak 1 unit akanmenyebabkan adanya pengurangan pendapatan sebesar 4/5

c. Fungsi Pendapatan Rata-rata (Average Revenue) diberikan AR = 80 – 4 Q Bagaimanakah fungsi marginal pendapatannya (Marginal Revenue) dan berapakah nilaimarginal pendapatannya jika perusahaan memproduksi 7 output, serta terangkan artinya. Jawab: ………………….

26

Jawab: Fungsi total pendapatan ( Total Revenue) :

TR = AR . Q = (80 – 4 Q) Q = 80 Q – 4 Q2

Fungsi marginal pendapatan (Marginal Revenue) : MR = dR/dQ = 80 - 8 Q

Jika perusahaan memproduksi pada tingkat output Q = 7, makaMR = dR/dQ = 80 - 8(7)

= 80 – 56 = 24 Artinya: untuk setiap peningkatan output Q yang di jual sebanyak 1 unit akan menyebabkan adanya tambahan pendapatan sebesar 24, sebaliknyauntuk setiap penurunan penjualan Q yang di jual sebanyak 1 unit akanmenyebabkan adanya pengurangan pendapatan sebesar 24.

27

Contoh soal: Marginal Biaya (Marginal Cost) d. Fungsi Total Biaya suatu perusahaan dinyatakan sebagai berikut:

C = Q3 - 4Q2 + 10Q + 75 Bagaimanakah fungsi marginal biayanya (Marginal cost) danberapakah nilai marginal biaya tersebut jika perusahaan memproduksi2 penjualan, serta terangkan arti. Jawab:

Fungsi total biaya (total biaya): C = Q3 - 4Q2 + 10Q + 75 Fungsi Marginal Biaya (marginal cost): C‟ = 3Q2 - 8Q + 10Jika perusahaan berproduksi pada tingkat penjualan Q = 2, maka MC = C‟= 3Q2 - 8Q + 10 = 3(2)2 - 8(2) + 10 = 12 – 16 + 10 = 6 Artinya: Untuk setiap peningkatan penjualan Q yang dijual sebanyak1 unit akan menyebabkan adanya tambahan biaya sebesar 6, sebaliknyauntuk setiap penurunan penjualan Q yang dijual sebanyak 1 unit akanmenyebabkan adanya pengurangan biaya sebesar 6.

28

2. Optimasi Satu Variabel (Nilai Ekstrim Maksimum atau Minimum) Dalam masalah optimasi, ada dua pertanyaan yang senantiasadiajukan. Misalkan untuk fungsi dengan satu variabel y= f(x), permasalahannya: a. Berapakah “x” yang akan memberikan “y” optimum? Jika itu telah

terjawab, maka pertanyaan selanjutnya baru bisa dijawab yaitu: b. Berapakah “y” yang optimum tersebut? Untuk menjawab pertanyaan pertama, langkah-langkahnya dijelaskandibawah ini: Untuk fungsi yang mengandung satu variabel y= f(x)

29

Contoh: memaksimasi total pendapatan (total revenue) a. Harga jual barang P = - 2Q + 16, tentukan berapa output yang

harus diproduksi dan dijual agar diperoleh total pendapatanmaksimum. Jawab: Fungsi total pendapatan: P = - 2Q + 16

R = P . Q = (- 2Q + 16) Q R = - 2Q2 + 16Q

Langkah pertama mencari turunan pertama fungsi total pendapatan kemudian dibuat = 0

R’ = - 4Q + 16 = 0 4Q = 16

Q = 4

30

Agar dijamin bahwa jika menjual sebanyak Q = 4 maka akandiperoleh total pendapatan maksimum, maka lakukanlah langkahkedua yaitu mencari turunan kedua fungsi total pendapatan:

R” = - 4 Ternyata R” = - 4 < 0 Sehingga diperoleh nilai maksimum.

Jadi output yang harus diproduksi dan dijual agar diperoleh total pendapatan maksimum yaitu sebanyak 4. Total pendapatan maksimumnya:

R = - 2Q2 + 16Q R = - 2(4)2 + 16(4) R = 32

Jadi ketika menjual produk sebanyak 4, maka akan diperoleh total pendapatan maksimum sebesar 32.

31

Contoh soal: Memaksimasi Marginal Pendapatan(marginal revenue)

b. Harga jual barang P = 16 - 2Q, tentukan berapa output yang harusdiproduksi dan dijual agar diperoleh marginal pendapatanmaksimum. Berapakah marginal pendapatan maksimum tersebut? Jawab: Fungsi permintaan: P = 16 - 2Q Fungsi total pendapatan: R = P . Q = (16 - 2Q) Q

= 16Q – 2Q2

Fungsi marginal pendapatan: MR = 16Q - 2Q2

Turunan pertama: MR’ = 16 - 4Q = 0 16 = 4Q Q = 4

Turunan kedua: MR” = - 4 < 0 32

Jadi output yang harus diproduksi dan dijual agar diperolehmarginal pendapatan maksimum sebanyak 4. Marginal pendapatan maksimumnya: MR = 16Q - 2Q2

= 16(4) - 2(4)2 = 48

Contoh Soal: Meminimumkan Total Biaya (Total Cost) c. Biaya total dinyatakan dengan C(Cost) = 5Q2 - 1000Q + 85000

Pada tingkat produksi berapakah akan menyebabkan total biaya minimum? Berapakah total biaya minimum tersebut? Jawab:

33

Jawab: C = 5Q2 - 1000Q + 85000 C’= 10Q – 1000 = 0

10Q = 1000 Q = 100

C” = 10 > 0 Jadi total biaya minimum akan tercapai jikaberproduksi sebanyak 100 unit.

Total biaya minimumnya sebesar: C = 5Q2 - 1000Q + 85000 C = 5(100)2 - 1000(100) + 85000 C = 35000 Jadi total biaya minimumnya sebesar: 35000

34

Contoh soal: Meminimasi Marginal Biaya (Marginal Cost) d. Biaya total dinyatakan dengan:

C (Cost) = Q3 -90Q2 + 2800Q + 56500 Pada tingkat produksi berapakah akan menyebabkan marginal biaya minimum? Berapakah marginal biaya minimum tersebut? Jawab: Fungsi total biaya: C = Q3 - 90Q2 + 2800Q + 56500 Fungsi marginal biaya: MC = 3Q2 - 180Q + 2800

Turunan pertama: MC’= 6Q – 180 = 0 6Q = 180 Q = 30 Turunan kedua: MC” = 6 > 0

35

Jadi output yang harus diproduksi agar diperoleh marginal biaya minimum sebanyak 30. Marginal biaya minimum:

MC = 3Q2 - 180Q + 2800 = 3(30)2 - 180(30) + 2800 = 100

Jadi marginal biaya minimum akan tercapai jika berproduksisebanyak 30 unit = 100

36

Contoh soal : Memaksimasi laba/keuntungan/profit e. Diberikan fungsi permintaan dan fungsi biaya masing2 sbb:

P = 1000 - 2Q Dan C = Q3 - 59Q2 + 1315Q + 2000 Berapakah produk yang harus di produksi dan di jual sehinggadapat di peroleh laba yang maksimum ? Berapakah labamaksimum tersebut ? Jawab: Fungsi pendapatan: R = P . Q

R = (1000 - 2Q) . Q R = 1000 Q - 2 Q2

Fungsi biaya: C = Q3 - 59Q2 +1315Q + 2000 Fungsi laba: Laba = Pendapatan – biaya

Laba = (1000Q - 2Q2) - (Q3 - 59Q2 + 1315Q + 2000) Laba = - Q3 + 57Q2 - 315Q – 2000

37

Turunan pertama: Laba’ = -3Q2 + 114Q - 315 = Q2 - 38Q + 105 = (Q - 3) (Q - 35) = 0

(Q1 = 3 Dan Q2 = 35) Turunan kedua: Laba” = - 6Q + 114

Untuk Q1 = 3, maka turunan kedua = - 6(3) + 114 = 96 > 0 Berartijika di produksi output sebanyak 3, maka labanya akan minimum. Untuk Q2 = 35, maka turunan kedua = - 6(35) + 114 = - 96 < 0 Berarti jika di produksi output sebanyak 35, maka labanya akanmaksimum. Laba maksimumnya sebesar :

Laba = - Q3 + 57Q2 - 315Q - 2000 = - (35)3 + 57(35)2 - 315(35) - 2000 = 13925

Jadi dengan memproduksi dan menjual output sebanyak 35 akan diperoleh laba maksimum sebanyak : 13925

38

Contoh soal: Memaksimasi Penerimaan Pajak Salah satu sumber penerimaanpemerintah adalah dengan penarikan pajak, misalnya pajakpenjualan yang di kenakan pemerintah terhadap setiap unit yang diproduksi dan di jual oleh pengusaha. Pemerintah berupaya untuk memaksimumkan penerimaan pajaktersebut. Untuk itu pemerintah harus menentukan berapa tarif pajakyang akan di berlakukannya sehingga akan di peroleh pajakmaksimum. Total pajak yang akan di terima perintah : T = t. Q* di mana t = tarif pajak yang di kenakan pemerintah dan

Q*= Jumlah output yang diproduksi dan dijualpengusaha sehingga di peroleh laba maksimum, yang telah mempertimbangkan biaya pajak.

39

Dari sudut pandang pengusaha setelah ada pengenaan pajak daripemerintah:

Laba = pendapatan – (biaya + pajak) = R – (C + T), = R – C – T = R – C – t Q ,

dimana ….R: Pendapatan C: Biaya T: PajakQ: Tingkat output yang di produksi dan di jual oleh

pengusaha, yang memberikan laba maksimum setelahmempertimbangkan adanya pajak penjualan dan pemerintah.

40

f. Total pendapatan dan total biaya di berikan sebagai berikut : R = 15Q - 2Q2 dan C = 3Q Berapakah tarif pajak yang sebaiknya di kenakan pemerintahkepada pengusaha agar pemerintah memperoleh total pajakmaksimum ? Berapakah total pajak maksimum yang diperoleh ? Jawab: Dari sudut pandang pengusaha:

Laba = R – C – t Q = (15 Q – 2 Q2)– 3Q – t Q = -2 Q2 + 12Q – t Q

. 41

Turunan pertama: Laba‟ = - 4Q + 12 – t = 0 12 – t = 4Q

4Q = 12 - t Q = 12 - t

4 Q* = 3 – ¼ t

Turunan ke dua: Laba = - 4 < 0 Jadi dengan memproduksisebanyak Q* = 3 – ¼ t, pengusaha akan memperoleh labamaksimum

42

Dari sudut pandang pemerintah: Pajak: T = t (3 – ¼ t) = 3t – 1/4 t2

Turunan pertama: T’ = 3 – ½ t = 0 – ½ t = -3 t = -3 : -1/2 t = 6

Turunan ke dua : T” = -½ Jadi tarif pajak yang memberikan total pajak maksimum = 6 Karena Q* = 3 - ¼ t

= 3 – 1/4(6) = 3 – 1,5 = 1,5

Maka total pajak maksimum: T = t . Q* = 6 . 1,5 = 9

Jadi total pajak yang yang di terima pemerintah sebesar: 9 43

Contoh soal: g. Fungsi penerimaan dan fungsi biaya suatu produk dinyatakan

sebagai berikut: R = 360 Q – 10,5 Q2 Dan C = 100 Q – 4 Q2 Berapakah produk harus dibuat dan dijual perusahaan agar di

peroleh laba maksimum? Berapakah laba maksimum tersebut? Jika pemerintah ingin memperoleh pajak penjualan yang

maksimum, berapakah tarif pajak yang harus di kenakanpemerintah kepada perusahaan tersebut?

Berapakah total pajak maksimum yang di dapat pemerintah? Berapakah laba maksimum yang di terima perusahaan setelah

di kenakan pajak ? 44

Jawab:Dari sudut pandang pengusaha: Laba = R – C – tQ

= (360Q – 10,5Q2)– (100 Q – 4 Q2) – tQ= 360Q – 10,5Q2 – 100 Q + 4Q2 – tQ= 260Q – 6,5Q2 – tQ

Turunan pertama Laba’ = 260 – 13Q – t = 0 260 – t = 13Q

Q = (260 – t)/13 Q*= 20 – 1/13 t

Turunan ke dua Laba” = - 13 < 0 Jadi dengan memproduksi sebanyak Q* = 20 – 1/13 t, pengusahaakan memperoleh laba maksimum

45

Dari sudut pandang pemerintah:Pajak: T = t Q*

= t (20 – 1/13 t) = 20 t – 1/13 t2

Turunan pertama : T’ = 20 – 2/13 t = 0 20 = 2/13 t

t = 130 Turunan ke dua : T’’ = - 2/13 Jadi taruf pajak yang memberikan total pajak maksimum = 130 Karena Q* = 20 – 1/13t

= 20 – 1/13(130) = 20 – 10 = 10

46

Maka Total pajak maksimum: T = t . Q*

= 130 . 10 = 1300 Jadi total pajak yang di terima pemerintah sebesar 1300. Laba maksimum yang di terima oleh pemerintah besarnya:

Laba = 260Q – 6,5Q2 – tQ= 260 (10) – 6,5(10)2 – (130)(10) = 2600 – 65 – 1300 = 1235

Jadi pemerintah menerima laba maksimum sebesar 1235

47

Elastisitas Titik: Analisis Fungsi dan Grafis. Elastisitas mengukur derajat kepekaan variabel terikat akibatadanya perubahan variabel bebasnya. Misal: y = f(x), makaseberapa jauh perubahan y akibat perubahab x di sebut“elastisitas y terhadap x”. Di tulis Eyx. Analisis fungsiUntuk menghitung besarnya elastisitas terhadap x, jika diketahuifungsinya, digunakan Rumus: Eyx = y/y atau Eyx = y/ x

x/x y/x untuk perubahan yang kecil rumusnya menjadi : Eyx=dy/dx

y/x

48

bab vi konsep dasar teori diferensial

Education