BAB 5

POSTULAT KESEJAJARAN

EUCLIDES

SUWIDIYANTI(043174233)

ANA RAHMAWATI(………………)

ARIF LIKMAN H(…………….)

Jika dua garis dipotong oleh sebuah garis transversal sedemikian hingga membuat

jumlah sudut dalam sepihak kurang dari dua sudut siku-siku, maka kedua garis itu berpotongan pada

pihak yang Jumlah sudut dalam sepihaknya kurang dari 2 sudut siku-siku

Postulat Kesejajaran

Euclid

P

h

mg

Q

1

1

Sudut luar suatu segitiga lebih besar daripada sudut dalamYang tidak bersisihan dengan sudut luar tersebut

Teorema 5.1

Diketahui : Segitiga ABC dan D perpanjangan BC

Buktikan : (i) ACD > A

(ii) ACD > B

Bukti :A

B CD

A

B CD

Kasus i F

E

No Pernyataan Alasan

1

2

3

4

5

6

7

8

E titik tengah AC

BE diperpanjang melalui E sedemikian hingga BE = EF

AEB = CEF

AE = EC

Δ AEB Δ CEF

BAE = FCE

ACD > FCE

ACD > BAE = A

Setiap segmen mempunyai titik tengah

Segmen dapat diperpanjang

Sudut bertolak belakang

Akibat langkah 1

S-sd-s

Sudut-sudut yang bersesuaian

Keseluruhan lebih besar dari bagiannya

Akibat langkah 6 dan 7

Kasus ii

No Pernyataan alasan

1

2

3

4

5

6

7

8

A

B CD

H

M

N

Perpanjang AC melalui C ke H

M titik tengah BCPerpanjang AM melalui M sedemikian hingga AM = MN

AMB = CMN

BM = MC

Δ AMB Δ CMN

ABM = MCN

BCH > NCM

Segmen dapat diperpanjang

Segmen mempunyai titik tengah

segmen dapat diperpanjang

Sudut bertolak belakang

M titik tengah BC

S- sd-s

Sudut-sudut yang bersesuaian

Keseluruhan lebih besar dari bagiannya

No Pernyataan alasan

9

10

11

A

B CD

H

N

M

BCH > ABM

BCH = ACD

ACD > ABM = B

Akibat langkah 7 dan 8

Sudut bertolak belakang

Akibat langkah 9 dan 10

Jika dua garis dipotong oleh sebuah garis transversal sedemikian hinggamembentuk sepasang sudut Dalam

berseberangan yang sama, maka kedua garis tersebut sejajar

Teorema 5.2

Deketahui: garis l. m dan k

garis l adalah garis transversal

garis l memotong k dan m dititik A dan B

A1= B2

Buktikan : garis k // m

Bukti :

C C

A A

B B

k

m

k

m

1 1

2 2

No pernyataan Alasan

1

2

3

4

5

Andaikan k dan m tidak sejajar, maka keduanya berpotongan di titik C

Pengandaian

Akan membentuk segitiga ABC Akibat langkah 1

A1 > B2, pada segitiga yang letak

titik C disebelah kanan Teorema 5.1

A1= B2 Diketahui

Terjadi kontradiksi pada langkah 3 dan 4, jadi pengandaian salah, yang benar k // m

Akibat 5.1

Dua garis yang tegak lurus pada garis yang sama adalah sejajar

Diketahui : Misalkan l tegak lurus m di titik A,

l tegak lurus n dititik B

Buktikan : n // m

Bukti :

ml

n

A

B

3

1

No Pernyataan Alasan

1

2

3

4

A3 = 90 ° l tegak lurus m

B1 = 90 ° l tegak lurus n

Akibat langkah 1 dan 2 B1 = A3 = 90 °

B1 dan A3 adalah sudut berseberangan dalam maka m//n

Teorema 5.2

Hanya ada satu garis tegak lurus pada garis tertentuyang melalui satu titik diluar garis tersebut

Akibat 5.2

Diketahui : garis m, titik P diluar garis m

Buktikan : hanya ada satu garis yang tegak lurus

garis m melalui P

Bukti :

m

P

n k

Andaikan ada dua garis yang tegak lurus m yang melalui P, misal k dan n, n k

Pengandaian

n dan k berpotongan di P Akibat langkah 1

n tegak lurus m, k tegak lurus m, maka n // k

No Pernyataan Alasan

1

2

3

4

Akibat 5.1Berdasarkan langkah 2 dan 3 terjadi kontradiksi, jadi pengandaian salah

Jika titik P tidak pada garis k, maka ada sedikitnyaSatu garis lurus yang melalui P yang sejajar k

Akibat 5.3

Diketahui : Titik P dan garis k

Buktikan : Garis m // k, m melalui P

Bukti :

Qk

P m

Dari P ditarik garis yang lurus k dengan titik kakinya Q

Buat garis m yang melalui P dan tegak lurus PQ m // k , ( akibat 5.1)

Jumlah dua sudut segitiga kurang dari 180°

Teorema 5.3

Diketahui : Misalkan ΔABC

Buktikan : A + B < 180°

Bukti:D

B

A

C

No Pernyataan Alasan

1

2

3

4

5

Perpanjang CB melalui B ke D, maka ABD adalah sudut luar ΔABC

Segmen dapat diperpanjang

ABD = 180° - B

Teorema 5.1

Sudut berpelurus

ABD > A

180° - B > A Akibat langkah 2 dan 3

A + B < 180 ° Ekuivalen