bab matriks
TRANSCRIPT
BAB MATRIKS
A. PENGERTIAN MATRIKSMatriks adalah kumpulan bilangan yang disusun dalam bentuk baris dan kolom.Bilangan yang tersusun dalam baris dan kolom disebut elemen matriks.Nama matriks ditulis dengan menggunakan huruf kapital.Banyaknya baris dan kolom matriks disebut ordo matriks.Bentuk umum :
A =
elemen matriks pada baris 1, kolom 1 elemen matriks pada baris 1, kolom 2 elemen matriks pada baris 1, kolom 3
. . .
elemen matriks pada baris m, kolom nContoh :
B =
Ordo matriks B adalah B2 x 3
- 4 6
B. JENIS-JENIS MATRIKS1. Matriks baris
adalah matriks yang hanya memiliki satu barisContoh : A = [ 2 3 0 7 ]
2. Matriks kolom adalah matriks yang hanya memiliki satu kolom
Contoh : C =
3. Matriks persegiadalah matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama.
Contoh : A =
Diagonal samping Diagonal utama4. Matriks Identitas
adalah matriks persegi yang elemen-elemen pada diagonal utamanya 1, sedangkan semua elemen yang lainnya nol.Contoh :
A =
B =
5. Matriks segitiga atasadalah matriks persegi yang elemen-elemen dibawah diagonal utamanya nol.Contoh :
A =
6. Matriks segitga bawahadalah matriks persegi yang elemen-elemen diatas diagonal utamanya nol.Contoh :
B =
7. Matriks noladalah matriks yang semua elemennya nol.Contoh :
C =
C. TRANSPOSE MATRIKSadalah perubahan bentuk matriks dimana elemen pada baris menjadi elemen pada kolom atau sebaliknya.Contoh :
A =
At = AT = =
D. KESAMAAN MATRIKSDua matriks dikatakan sama jika, keduanya mempunyai ordo yang sama dan elemen-elemen yang seletak juga sama.Contoh :
A = B
=
Contoh : Tentukan nilai a dan b dari kesamaan matriks berikut
a.
3a = -12 a = -12/3 a = -42b = 9 b = 9/2 b = 4,5
b
4a + 5 = 2a4a – 2a = -5 2a = -5 a = -5/26a – 1 = 3b + 26(-5/2) – 1 = 3b + 2-15 – 1 = 3b + 2-16 = 3b + 2 3b = 18 b = 6
LATIHAN 1
1. Diketahui matriks A =
a. Tentukan ordo matriks Ab. Sebutkan elemen-elemen pada baris ke-2c. Sebutkan elemen-elemen pada kolom ke-3d. Sebutkan elemen a2.3
e. Sebutkan elemen a3.5
2. Tentukan nilai a dan b dari kesamaan matriks berikut :
a.
b.
c.
3. Tentukan nilai x, y, dan z dari kesamaan matriks berikut :
a.
b.
c.
4. Diketahui P = dan Q =
Jika P = QT, maka tentuka x – y
E. PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN MATRIKS1. PENJUMLAHAN MATRIKS
Dua matriks dapat dijumlahkan, jika keduanya berordo sama, dengan cara menjumlahkan elemen-elemen yang seletak.Contoh :
2. PENGURANGAN MATRIKSDua matriks dapat dikurangkan, jika keduanya beorodo sama, dengan cara mengurangkan elemen-elemen yang seletak.Contoh :
LATIHAN 21. Selesaikan operasi matriks berikut :
a.
b.
c.
d.
2. Diketahui P = , Q = , dan R =
Tentukan : a. P + Qb. Q - Rc. (P + Q) - Rd. P + (Q - R)
3. Tentukan matriks X nya, jika X berordo 2x2
a. X +
b. X -
c.
4. Tentukan x, y, w, dan z jika diketahui :
F. PERKALIAN MATRIKS1. PERKALIAN MATRIKS DENGAN BILANGAN REAL
Suatu matriks dikalikan dengan bilangan real k, maka setiap elemen matriks tersebut dikalikan dengan k.
Contoh :
2
2. PERKALIAN DUA MATRIKSDua matriks dapat dikalikan jika banyaknya kolom matriks sebelah kiri sama dengan banyaknya matriks sebelah kanan.
Am x n . Bp x q = Cm x q
n = p
Contoh :
1.
=
2.
3.
4.
LATIHAN 31. Jika X adalah matriks berordo 2x2, tentukan matriks X dari :
a. 2
b.
2. Diketahui A = dan B =
Jika A = 2BT, tentukan nilai a + b + c
3. Jika 3
Tentukan nilai p, q, r, dan s.4. Hitung perkalian matriks berikut :
a.
b.
c.
5. Diketahui matriks-matriks sebagai berikut :
A = , B = , C =
Tentukan :a. A.Bb. B.Ac. B.Cd. (A.B).Ce. A.(B.C)f. Buatlah kesimpulan untuk a dan b, serta d dan e
6. Jika P = , Q = , dan R =
Tentukan nilai d jika P + QT = R2
7. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan :
8. Tentukan nilai x dan y dari persamaan berikut :
G. DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS ORDO 2X2
Jika matriks A = , determinan dari matriks A dinotasikan det A atau
A = ad - bc
Invers matriks A dinyatakan dengan notasi A-1 =
Jika ad – bc = 0, maka matriks tidak mempunyai invers disebut matriks singular. Jika ad – bc 0, maka matriks mempunyai invers disebut matriks non singular.
o Nilai Suatu Determinan.
Definisi 1.3.1. (aturan SARRUS)Aturan ini khusus untuk menghitung determinan matriks bujur sangkar berukuran 2 x 2 dan 3 x 3.Misalkan A dan B adalah matriks yang masing-masing berukuran 2 x 2 dan 3 x 3.
A = , maka determinan matriks A adalah
Det(A) = = a11a22 - a12a21.
B = , maka determinan matriks B adalah
Det(B) =
= b11b22b33 + b12b23b31 + b13b21b32 - b31b22b13 - b32b23b11 - b33b21b12.
Contoh :
Diketahui A = , Tentukan determinan dan invers matriks A.
Det A = ad – bc = 2.3 – 5.1 = 6 – 5 = 1
A-1 =
A-1 = =
Contoh :
1. Tentukan determinan dari matriks:
Solusi:
2. Tentukan determinan dari matriks:
Solusi:
LATIHAN 4
1. Diketahui matriks A = , dan B =
Tentukan nilai x, jika Det A = Det B2. Tentukan nilai x nya :
a.
b.
3. Diketahui matriks A = , dan B =
Tentukan :a. A-1
b. B-1
c. A.Bd. B.Ae. A-1.B-1
f. B-1.A-1
g. (AB)-1
h. (BA)-1
i. Buatlah kesimpulan dari hasil tersebut
4. Diketahui B = , Tentukan :
a. A-1
b. A-1.Ac. A.A-1
d. Buatlah kesimpulan
H. PERSAMAAN MATRIKS1. A.X = B
A-1.A.X = A-1.BI.X = A-1.BX = A-1.BJadi jika A.X = B, maka X = A-1.B
2. X.A = B
X.A.A-1 = B.A-1
X.I = B.A-1
X = B.A-1
Jadi jika X.A = B, maka X = B.A-1
Contoh : Tentukan matriks X nya
1.
2.
I. PEMAKAIAN INVERS MATRIKSInvers matriks dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear.Contoh :Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan matriksx + 7y = 132x + 5y = 8jawab :
jadi x = -1, dan y = 2J. Transpose Matriks
Jika A = , maka transpose matriks A adalah AT =
K. Matriks Singularmatriks singular adalah matriks yang tidak mempunyai invers, karena nilai determinannya sama dengan nol
LATIHAN 51. Tentukan matriks X nya :
a.
b.
2. Tentukan matriks B nya :
3. Tentukan matriks X nya :
4. Tentukan nilai x + y, jika diketahui :
5. Dengan menggunakan matriks selesaikan sistem persamaan linear berikut :a. 2x – 3y = -1
x + 2y = 11b. 3x + y = 7
x – 3y = -1SOAL PENYELESAIAN
1. UN 2010 PAKET A
Diketahui matriks A =
dan B =
Jika A = B, maka a + b + c = …a. –7b. –5c. –1d. 5e. 7Jawab : e
SOAL PENYELESAIAN2. UN 2010 PAKET B
Diketahui matriks–matriks A =
,
B = , C = , dan
D = .
Jika 2A – B = CD, maka nilai a + b + c = …a. –6b. –2c. 0d. 1e. 8Jawab : c
3. UN 2009
Diketahui 3 matriks, A = ,
B = , C =
Jika A×Bt – C = dengan Bt
adalah transpose matriks B, maka nilai a dan b masing–masing adalah …a. –1 dan 2b. 1 dan –2c. –1 dan –2d. 2 dan –1e. –2 dan 1Jawab : a
4. UN 2008 PAKET A/B
Diketahui matriks P = ,
Q = , dan R = .
Jika PQT = R (QT transpose matriks Q), maka nilai 2x + y = …a. 3b. 4c. 7d. 13e. 17Jawab : e
SOAL PENYELESAIAN5. UN 2008 PAKET A/B
Diketahui matriks P = dan
Q = . Jika P–1 adalah invers
matriks P dan Q–1 adalah invers matriks Q, maka determinan matriks Q–1 P–1
adalah …a. 209b. 10c. 1d. –1 e. –209Jawab : c
6. UN 2007 PAKET ADiketahui persamaan matriks A = 2BT
(BT adalah transpose matriks B), dengan
A = dan B =
. Nilai a + b + c = …
a. 6b. 10c. 13d. 15e. 16Jawab d
7. UN 2007 PAKET B
Diketahui matriks A = ,
B = , dan AT = B dengan
AT menyatakan transpose dari A. Nilai x + 2y adalah … a. –2 d. 1
b. –1 e. 2c. 0 Jawab : c
8. UN 2006
Diketahui matriks A = dan
B = . Jika AT = B–1 dengan
AT = transpose matrik A, maka nilai 2x = … a. –8 d. 4b. –4 e. 8c. Jawab : e
SOAL PENYELESAIAN9. UN 2005
Diketahui matriks A = ,
B = , dan C = .
Hasil dari A+(B×C) = …
a.
d.
b.
e.
c.
Jawab : a10. UN 2004
Diketahui persamaan matriks
Nilai a dan b adalah …a. a = 1, b = 2b. a = 2, b =1c. a = 5, b = –2d. a = –2 , b = 5e. a = 4, b = –1Jawab : b
11. UAN 2003Nilai x2 + 2xy + y2 yang memenuhi
persamaan : adalah
…a. 1
b. 3c. 5d. 7e. 9Jawab : a
12. UN 2011 PAKET 12Diketahui persamaan matriks
.
Nilai x – y = …a. d.
b. e.
c. Jawab : e
SOAL PENYELESAIAN13. UN 2011 PAKET 46
Diketahui persamaan
.
Nilai x + y – z = …a. –5b. –3c. 1d. 5e. 9Jawab : c
14. UN 2011 PAKET 12
Diketahui matriks A = dan
B = . Jika AT = transpose
matriks A dan AX = B + AT, maka determinan matriks X = …a. –5b. –1c. 1d. 5e. 8Jawab : b
15. UN 2011 PAKET 46
Diketahui matriks A = dan
B = . Jika At adalah transpose
dari matriks A dan AX = B + At, maka
determinan matriks X = …a. 46b. 33c. 27d. –33e. –46Jawab : b