*II. Kinematika Robot (Manipulator) 2.1 Matrik Transformasi Posisi dan OrientasiDefinisi : Kinematika : Studi analitis pergerakan lengan robot (robot arm) terhadap sistem kerangka koordinat referensi yang diam/bergerak tanpa memperhatikan gaya yang menyebabkan pergerakan tersebut.terdapat dua topik pembahasan kinematikaDirect/Forward Kinematics : (angles to positions)Diketahui : panjang setiap link dan sudut setiap jointInformasi yang akan diperoleh : posisi dari ujung lengan robot dalam kerangka 3 DInverse Kinematics : (Positions to angles)Diketahui : panjang setiap link, posisi ujung lengan robotInformasi yang akan diperoleh : sudut masing joint untuk dapat mencapai posisi tersebut

*

Definisi : Terminologi Kinematika Link, Joint, End-effector, gripper (lihat kuliah yang lalu)Base : Link (Link 0) yang terhubung pada kerangka koordinat diam (fixed) biasanya terhubung langsung pada sistem kerangka koordinat cartesian (world coordinate)Kinematic chain : sejumlah link yang dihubungkan oleh joint (yang membentuk sebuah manipulator)Open kinematic chain : sejumlah link yang memiliki hubungan kerangka koordinat yang terbuka (acyclic)Mixed kinematic chain : sejumlah link yang memiliki hubungan tertutup

*Open KinematicMixed Kinematic

*Review : Vector dan Matriks Dot Product: Representasi Geometri: Vektor Satuan (Unit Vector)Vector dalam arah vektor yang dipilih dengan magnituda = 1. Representasi vektor :

*Review : Vector dan Matriks TerminologiSquare matrix A adalah Matriks A (n x n), disebut, Matriks A berorde n (square matrix of order n) merupakan matriks yang memiliki jumlah baris dan kolom sama (m = n)Diagonal Matrix adalah square matrix, dengan elemen aij = 0 jika i jIdentity matriks (Matriks Identitas) adalah diagonal matrix dimana nilai elemen aij = 1 jika i = jSymetric Matrix (Normal Matrix) adalah square matrix dimana nilai transpose adalah nilai matrik itu sendiri, A = AT atau elemen aij = ajiSkew Matrix adalah square matrix dimana nilai elemen aij = - aji atau jika A adalah Skew Matrix maka A = - AT Sebuah symetric matrix A dapat dibuat dari sebuah non-symetric matrix B, dengan operasi A = B + BT/2Orthogonal Matrik adalah AT = A-1

*Review : Vector dan Matriks Matrix Multiplication:Matriks A (m x n) dan Matriks B (n x p), dapat dikalikan jika jumlah kolom Matriks A sama dengan jumlah baris Matriks B.Perkalian matriks tidak secara umum tidak bersifat komutatif (Non-Commutative Multiplication) AB is NOT equal to BA Matrix Addition:

*Review : Vector dan Matriks Matrix Determinant

.

Cofactor

Inverse Matrix : (matriks cofactor dibagi dengan determinant)

*Matrix dan Vector Review Karakteristik MatriksInverse of a diagonal Matrix

Inverse dari symmetrical matrix adalah symmetrical matrixInverse dari non-symmetrical matrix adalah non-symmetrical matrixInverse dari perkalian matriks adalah .Rank sebuah matriks A (m x n) = orde dari sub matriks A terbesar dengan determinan = 0Sebuah matrik dengan orde yang lebih besar dari Rank adalah matriks Singular Jika | A | 0, maka Matriks A adalah non singularMatriks yang non singular memiliki inverse

* Transformasi Dasar Dua persoalan Transformasi :Bagaimana menghitung nilai sebuah titik terhadap sebuah KK tertentu yang mengalami rotasi Penentuan Matrik Rotasi DasarBagaimana menghitung nilai sebuah titik tehadap sebuah KK tertentu yang mengalami translasi/pergeseran Penentuan Vektor Translasi Matrik Rotasi DasarPerhatikan dua buah Kerangka Koordinat (KK) 0XYZ dan 0UVW yang pada saat awal berimpitOXYZ merupakan KK diamOUVW merupakan KK bergerakTitik P ikut bergerak bersama KK OUVW Pada saat KK OUVW bergerak/berputar, titik pusat (origin) selalu berimpit dengan titik pusat KK OXYZ (coincident)

* Matrik Rotasi DasarTitik P dapat direpresentasikan dalam nilai koordinat terhadap KK OXYZ maupun KK OUVW, pUVW = (pu, pv, pw)T pXYZ = (px, py, pz)TPersoalannya adalah bagaimana menghitung matrik transformasi (3 x 3) yang akan mentransformasikan koordinat pUVW menjadi nilai koordinat yang dinyatakan terhadap KK OXYZ pXYZ = R pUVW

* Matrik Rotasi Dasartitik pUVW dan pXYZ , masing-masing dapat dinyatakan dalam nilai komponen vektor, yang menyatakan proyeksi titik P terhadap masing-masing sumbu dari KK pXYZ = px ix + py jy + pz kz)pUVW = pu iu + pv jv + pw kw)i, j, k = vektor satuan dalam arah sumbu KK Berdasarkan definisi dari Dot product

* Matrik Rotasi DasarPersamaan sebelumnya dapat diekspresikan ke dalam bentuk matrik

Dengan cara yang sama, kita dapat memperoleh nilai koor dinat pUVW terhadap koordinat pXYZ, pUVW = Q pXYZ

* Matrik Rotasi DasarKarena Dot Product bersifat komutatifQ = R-1 = RTQR = RTR = R-1R = I Q, R disebut matrik transformasi orthogonalDisebut juga matrik transformasi orthonormal karena elemen-elemen nya berupa vektor satuan (unit vector)

* Matrik Rotasi Dasar Rotasi Terhadap Sumbu Y Rotasi Terhadap Sumbu Z Rotasi Terhadap Sumbu X

* Matrik Rotasi Dasar Rotasi Terhadap Sumbu X pXYZ = Rx, pUVW ix iu

* Matrik Rotasi Dasar Rotasi Terhadap Sumbu Y pXYZ = Ry, pUVW jy jv

* Matrik Rotasi Dasar Rotasi Terhadap Sumbu Z pXYZ = Rz, pUVW kz kw

* Matrik Rotasi Dasar (Contoh)Diketahui dua buah titik auvw = (4,3,2)T dan buvw = (6,2,4)T terhadap KK OUVW hitunglah nilai titik tersebut terhadap KK OXYZ (axyz dan bxyz) jika KK OUVW diputar terhadap sumbu OZ sebesar 60o

* Matrik Rotasi Dasar (Contoh)Diketahui dua buah titik axyz = (4,3,2)T dan bxyz = (6,2,4)T terhadap KK OXYZ hitunglah nilai titik tersebut terhadap KK OUVW (auvw dan bovw) jika KK OUVW diputar terhadap sumbu OZ sebesar 60o

* Matrik Rotasi KompositMatrik rotasi dasar dapat dikalikan untuk menyatakan rotasi terhadap beberapa sumbu dari Kerangka KoordinatMengingat bahwa perkalian matriks tidak bersifat komutatif, maka urutan rotasi terhadap beberapa sumbu menjadi penting Contoh 1, Pada saat awal KK OXYZ dan KK OUVW berimpit. Hitunglah nilai matrik rotasi, apabila KK OUVW berturut-turut :diputar terhadap sumbu OX sebesar sudut , kemudiandiputar terhadap sumbu OZ sebesar sudut , kemudiandiputar terhadap sumbu OY sebesar sudut

* Matrik Rotasi KompositContoh 2, Pada saat awal KK OXYZ dan KK OUVW berimpit. Hitunglah nilai matrik rotasi, apabila KK OUVW berturut-turut :diputar terhadap sumbu OY sebesar sudut , kemudiandiputar terhadap sumbu OZ sebesar sudut , kemudiandiputar terhadap sumbu OX sebesar sudut

* Matrik Rotasi KompositPada saat awal dua buah KK tersebut berimpit (coincident) dengan demikian matrik rotasi adalah matrik Identitas/Satuan, IBila KK OUVW diputar terhadap salah satu sumbu dari KK OXYZ lakukan proses perkalian premultiply sesuai dengan matriks rotasi dasar dan urutannya Bila KK OUVW diputar terhadap salah satu sumbu dari KK nya sendiri (OUVW) lakukan proses perkalian postmultiply sesuai dengan matriks rotasi dasar dan urutannya KK OUVW (bergerak) selain dapat diputar terhadap KK OXYZ (referensi/diam) dapat pula diputar terhadap sumbunya sendiri (sumbu OU, sumbu OV atau sumbu OW)Aturan umum untuk menghitung matriks transformasi komposit yang mencakup dua kemungkinan rotasi diatas (berputar terhadap sumbu KK diam atau KK dirinya sendiri) adalah :

* Matrik Rotasi KompositContoh, Pada saat awal KK OXYZ dan KK OUVW berimpit. Hitunglah nilai matrik rotasi, apabila KK OUVW berturut-turut :diputar terhadap sumbu OY sebesar sudut , kemudiandiputar terhadap sumbu OW sebesar sudut , kemudiandiputar terhadap sumbu OU sebesar sudut Perhatikan contoh diatas menghasilkan nilai matrik rotasi komposit yang sama dengan contoh sebelumnya namun berbeda dalam urutan rotasi

* Rotasi Terhadap Sumbu SembarangSelain rotasi terhadap sumbu-sumbu dari KK (diam atau bergerak) dapat juga terjadi rotasi sebesar sudut terhadap sebuah sumbu sembarang. OR, yang memiliki komponen vektor rx, ry, rz melalui titik pusat (origin) KK. Salah satu keuntungan dengan cara rotasi terhadap sumbu sembarang adalah tidak diperlukan rotasi terhadap beberapa sumbu dari KK. Untuk menurunkan matrik rotasi, Rr, , pertama kali perlu dilakukan beberapa kali rotasi terhadap sumbu KK OXYZ agar sumbu OR searah dengan sumbu OZ. Kemudian lakukan rotasi terhadap sumbu OR (atau sumbu OZ) dengan sudut dan terhadap sumbu KK OXYZ untuk mengembalikan sumbu OR ke posisi semula

* Rotasi Terhadap Sumbu SembarangUntuk mensejajarkan Sumbu OR dengan sumbu OZ dapat dilakukan dengan cara memutar sumbu OR terhadap sumbu OX sebesar sudut (sumbu OR sekarang berada di bidang XZ) kemudian diputar terhadap sumbu OY sebesar sudut - (Sumbu OR sejajar dengan sumbu OZ). Setelah diputar terhadap sumbu OZ (atau sumbu OR) sebesar , kembalikan lagi sumbu OR ke posisi semula dengan cara membalik urutan diatas dengan sudut yang berlawanan

* Rotasi Terhadap Sumbu SembarangDengan demikian, Matrik Rotasi ,Rr, , yang merepresentasikan putaran terhadap sumbu sembarang dapat dinyatakan menjadi Dimana :

* Rotasi Terhadap Sumbu SembarangCONTOH : Hitunglah matrik rotasi Rr, yang merepresentasikan putaran sebesar sudut terhadap vektor r = (1, 1, 1)T Karena vektor r bukan vektor satuan maka komponen vektornya perlu dinormalisasi sepanjang sumbu-sumbu utama dari KK OXYZ, yaitu : Dengan mensubstitusi persamaan diatas dengan persamaan sebelumnya , diperoleh :

* Rotasi Dengan sudut EuleurPerputaran sudut dari sebuah KK seringkali dinyatakan dalam perputaran sudut Euler, yaitu , , dan terhadap KK referensi Terdapat 3 sistem perputaran sudut Euleur yang pada dasarnya perbedaannya terletak pada urutan putarannya. Tiga sistem perputaran ditunjukkan dalam Tabel dibawah ini

UrutanSudut Euler Sistem ISudut Euler Sistem IISudut Euler Sistem III (Roll, Pitch and Yaw1 Terhadap sumbu OZ Terhadap sumbu OZ Terhadap sumbu OX2 Terhadap sumbu OU Terhadap sumbu OV Terhadap sumbu OY3 Terhadap sumbu OW Terhadap sumbu OW Terhadap sumbu OZ

* Rotasi Dengan sudut Euleur Sistem IPerputaran ini dapat dinyatakan dalam KK OXYZ (KK referensi) dengan urutan : Terhadap OZ sebesar Terhadap OX sebesar , dan Terhadap OZ sebesar

* Rotasi Dengan sudut Euleur Sistem IIPerputaran ini dapat dinyatakan dalam KK OXYZ (KK referensi) dengan urutan : Terhadap OZ sebesar Terhadap OY sebesar , dan Terhadap OZ sebesar

* Rotasi dengan sudut Euleur Sistem III (Roll, Pitch,Yaw, RPY)

*Matriks Transformasi HomogenMatrik Rotasi (3 x 3)

Vector Translasi (3 x 1)

Matrik Homogen (4 x 4)

*Matrik Transformasi HomogenBentuk Matrik hanya translasi

Bentuk Matrik rotasi saja

Aturan matrik transformasi homogen bentuk komposit sama dengan aturan sebelumnya untuk bentuk rotasi/translasi terhadap KK diam atau KK berputar.

*2.2 Metoda Denavit Hatenberg (DH)Pada umumnya robot berupa serial-link manipulator yang terdiri dari sekumpulan benda tegar (rigid bodies), disebut link, dalam sebuah untaian (chain) yang dihubungkan oleh joint. Setiap Joint memiliki satu derajat kebebasan (degree-of-freedom, dof) yang dapat berotasi atau bertranslasiSeringkali robot manipulator diklasifikasikan dalam nilai dof. Misalnya robot 5 dof, artinya robot memiliki 5 joint yang dapat digerakan secara bebasSebuah manipulator n joint, diberi nama Joint 1 sampai dengan Joint n, memiliki n+1 link, diberi nama Link 0 s/d Link n. Link 0, disebut Link Base, biasanya diam (fixed). Link n, disebut end effector Joint i menghubungkan Link i-1 dengan Link i. Setiap linki memiliki sebuah kerangka koordinat (KKi).

*Denavit-Hartenberg (D-H) digunakan untuk menggambarkan hubungan Transformasi (homogen) antara sebuah link dengan link tetangganya.Secara garis besar terdapat 4 tahap Menetapkan Kerangka Koordinat (KK)Setiap linki memiliki sebuah kerangka koordinat (KKi) : 1) Arah sumbu Zi-1 2) Arah sumbu Xi3) Arah Sumbu Yi 4) Posisi Titik pusat KKi Menetapkan Parameter DH Menghitung Matrik Transformasi Homogen Setiap Link Menghitung Persamaan Kinematik langsung (direct kinematic)

*Arah sumbu Zi-1 berimpit dengan sumbu pergerakan dari joint iPenetapan Kerangka Koordinat

*Arah sumbu XiApabila sumbu Zi-1 dan Zi berpotongan, arah sumbunya sejajar dengan Zi-1 X Zi (Cross product)Apabila Zi-1 dan Zi paralel, maka arah sumbunya sejajar dengan garis tegak lurus bersama dari Zi-1 menuju ke Zi. Penetapan Kerangka Koordinat

* Arah Sumbu Yi mengikuti aturan tangan kananPenetapan Kerangka Koordinat

*Titik pusat KKi Pada titik potong antara sumbu Z i-1 dengan Zi di sumbu ZiTitik potong garis tegak lurus bersama antara Z i-1 dengan Zi.Penetapan Kerangka Koordinat

*Penetapan Parameter DHTerdapat 4 parameter ai (link length); Jarak dari titik potong antara sumbu Zi-1 dengan sumbu Xi menuju titik pusat KKi sepanjang sumbu Xi (atau jarak terpendek antara sumbu Zi-1 dengan sumbu Zi ) ai (link twist); Sudut dari sumbu Zi-1 menuju sumbu Zi terhadap sumbu Xi (menggunakan aturan tangan kanan)

di (link offset); Jarak dari titik pusat KK i-1 menuju ke titik potong antara sumbu Zi-1 dengan sumbu Xi sepanjang sumbu Zi-1 qi (joint angle); Sudut dari sumbu Xi-1 menuju sumbu Xi terhadap sumbu Zi-1 (menggunakan aturan tangan kanan)

LINK PARAMETER (Lokasi relatif 2 buah sumbu di dalam Ruang)JOINT PARAMETER

*Penetapan Parameter : ai (link length)ai (link length); Jarak dari titik potong antara sumbu Zi-1 dengan sumbu Xi menuju titik pusat KKi sepanjang sumbu Xi. (atau jarak terpendek antara sumbu Zi-1 dengan sumbu Zi )Jarak dari sumbu Zi-1 ke sumbu Z i sepanjang garis tegak lurus bersama (common perpendicular)Common perpendicular adalah jarak terpendek dua buah garis dalam ruang.Common perpendicular tidak selalu terletak di dalam link.Jika sumbu ZI-1 dan Sumbu Zi berpotongan ai = 0Tidak didefinisikan untuk Joint Prismatic, ai = 0

z1z2a2x2

*Penetapan Parameter : i(link twist)ai (link twist); Sudut dari sumbu Zi-1 menuju sumbu Zi terhadap sumbu Xi Sudut offsetBiasanya kelipatan dari 90o Sumbu Zi-1 // Zi, ai = 0a2z1z2x2

*Penetapan Parameter : di (link offset)di (link offset); Jarak dari titik pusat KK i-1 menuju ke titik potong antara sumbu Zi-1 dengan sumbu Xi sepanjang sumbu Zi-1 Berupa variabel untuk untuk Joint Prismatic (translasi)Penetapan Parameter : qi (Joint Angle)Sudut dari sumbu Xi-1 menuju sumbu Xi terhadap sumbu Zi-1 (menggunakan aturan tangan kanan) Berupa Variabel untuk Joint rotasi

*Robot PUMA 560

*Robot Stanford

*Setelah parameter (a, , d, ) setiap link telah ditentukan, persamaan matriks homogen dapat dibangun untuk membentuk hubungan antar KK terdekat (adjacent), atau hubungan KK i dengan KK i-1, dimana i menyatakan link ke i, yang pada prinsipnya adalah membuat agar kedua KK koordinat tersebut berimpit, yaitu melalui urutan operasiPutar sebesar sudut i terhadap sumbu Zi-1 agar sumbu Xi-1 dengan sumbu Xi sejajar/paralel Translasikan sejauh di sepanjang sumbu Z i-1 agar sumbu X i dan sumbu Xi-1 berimpit (coincidence)Translasikan sejauh ai sepanjang sumbu Xi agar kedua titik pusat berimpitPutar sebesar sudut i terhadap sumbu Xi agar kedua KK berimpitPerhitungan Matrik Transformasi Homogen

*Bentuk InverseUntuk joint berputar ai, i dan di adalah konstanta, i variabel memenuhi hubungan : i-1 A i = Tz,d Tz, Tx,a Tx,

*Bentuk InverseUntuk joint prismatic ai, i dan i adalah konstanta, di variabel memenuhi hubungan : i-1 A i = Tz, Tz,d Tx,

*Contoh Matrik Transformasi untuk Robot PUMA dimana semua jointnya berputar

*Persamaan Kinematik untuk ManipulatorMatriks Transformasi homogen 0Ti yang menyatakan lokasi KK ke i terhadap kerangka koordinat dasar (base, KK ke 0) merupakan rantai perkalian dari matrik transformasi i-1Ai dan diekspresikan sebagai : Dimana[xi, yi, zi] = Matrik orientasi KKi pada link i terhadap KK dasar/base . Merupakan matriks 3x3, terletak disebelah kiri atas dari 0Ti pi = Vektor posisi yang berarah dari titik pusat KK dasar menuju titik pusat KK i. Merupakan vektor 3x1, terletak disebelah kanan atas dari 0Ti

*Persamaan Kinematik untuk ManipulatorSebagai contoh, untuk i = 6, matrik transformasi T = 0A6, yang menyatakan posisi dan orintasi dari ujung lengan robot terhadap KK dasar (matriks ini seringkali disebut arm matrix), yang berbentuk :

*Persamaan Kinematik untuk ManipulatorDimana (diasumsikan bentuk tangan parallel-jaw)n = Normal vector, arah tegak lurus terhadap jari dari tangan robot s = Sliding vector, searah dengan pergerakan jari, gripper open/close a = Approach vector, arah tegak lurus dengan telapak/muka tangan p = Position vector, arah dari titik pusat KK dasar menuju titik pusat KK tangan

*Persamaan Kinematik untuk Robot PUMADimana

*Persamaan Kinematik untuk Robot PUMAPersamaan Arm Matrix, 0T6

Kinematika Balik Manipulator Kinematika Balik (Invers Kinematic) merupakan formulasi untuk menghitung sudut dari joint apabila Posisi Ujung lengan (end-effector) diketahui Beberapa metoda untuk menghitung invers kinematikInvers Transform Screw AlgebraGeometri

Kinematika Balik Manipulator (Pendekatan Geometri, Studi Kasus PUMA 560)Geometric Approach (Lee and Ziegler, 1984) 3 derajat pertama untuk mencapai posisi 3 derajat berikutnya untuk mencapai orientasiShoulderElbowWrist

Kinematika Balik Manipulator (Pendekatan Geometri, Studi Kasus PUMA 560)Beberapa Definisi :

Kinematika Balik Manipulator (Pendekatan Geometri, Studi Kasus PUMA 560) Konfigurasi Robot berdasarkan definisi diatas Konfigurasi dapat dinyatakan dalam indikator

Kinematika Balik Manipulator (Pendekatan Geometri, Studi Kasus PUMA 560) Solusi untuk 3 Joint PertamaPerhatikan posisi p dimana 3joint pertama berpotongan dengan 3 joint terakhir, yang memenuhi hubungan : Yang berhubungan denganvektor posisi dari transformasi 0T4

Kinematika Balik Manipulator (Pendekatan Geometri, Studi Kasus PUMA 560) Solusi Sudut Joint 1Jika vektor posisi p diproyeksikan terhadap bidang x0y0 diperoleh beberapa persamaan sbb :

Kinematika Balik Manipulator (Pendekatan Geometri, Studi Kasus PUMA 560) Solusi Sudut Joint 1Indeks superscript (L dan R) pada sudut joint menyatakan konfigurasi Left dan Right Arm Fungsi cosinus dan sinus untuk konfigurasi Left/Right ArmPersamaan diatas dapat diekspresikan ke dalam bentuk persamaan dengan menggunakan indikator ARM (Left/Right) menjadi

Kinematika Balik Manipulator (Pendekatan Geometri, Studi Kasus PUMA 560) Diperoleh Sudut Joint 1

Kinematika Balik Manipulator (Pendekatan Geometri, Studi Kasus PUMA 560) Solusi Sudut Joint 2Jika vektor posisi p diproyeksikan terhadap bidang x1y1 diperoleh beberapa nilai sudut joint 2 sesuai dengan 4 konfigurasi lengan : (lihat Tabel)

Kinematika Balik Manipulator (Pendekatan Geometri, Studi Kasus PUMA 560) Solusi Sudut Joint 2Dari tabel diatas nilai sudut joint 2 dapat ekspresikan ke dalam bentuk persamaan dengan menggunakan indikator ARM dan ELBOW sbb : Dari gambar geometri diperoleh beberapa persamaan

Kinematika Balik Manipulator (Pendekatan Geometri, Studi Kasus PUMA 560) Solusi Sudut Joint 2Dari persamaan diatas dapat diperoleh bentuk cosinus dan sinus dari sudut Joint 2 adalah : Diperoleh Sudut Joint 2

Kinematika Balik Manipulator (Pendekatan Geometri, Studi Kasus PUMA 560) Solusi Sudut Joint 3Jika vektor posisi p diproyeksikan terhadap bidang x2y2 diperoleh beberapa nilai sudut joint 3 sesuai dengan 4 konfigurasi lengan (lihat tabel) :

Kinematika Balik Manipulator (Pendekatan Geometri, Studi Kasus PUMA 560) Solusi Sudut Joint 3Dari tabel diatas sudut joint 3 dapat diekspresikan ke dalam bentuk persamaanBentuk sinus dan cosinus persamaan diatas : Diperoleh Sudut Joint 3

Kinematika Balik Manipulator (Pendekatan Geometri, Studi Kasus PUMA 560)Atur joint 4 sedemikian rupa sehingga rotasi terhadap joint 5 akan mensejajarkan (align) sumbu dari joint 6 dengan vektor approach yang telah ditentukan (given)Atur joint 5 untuk mensejajarkan sumbu joint 6 dengan vektor approachAtur joint 6 untuk mensejajarkan vektor sliding (atau y6) dan vektor normalKriteria diatas diekspresikan ke dalam bentuk operasi terhadap vektor : Solusi untuk 3 Joint Terakhir

Kinematika Balik Manipulator (Pendekatan Geometri, Studi Kasus PUMA 560) Solusi untuk 3 Joint TerakhirShoulderElbowWrist

Kinematika Balik Manipulator (Pendekatan Geometri, Studi Kasus PUMA 560) Solusi Sudut Joint 4Perhatikan gambar proyeksi KK 0X4Y4Z4 ke bidang X3Y3 dan tabel yang menggambarkan orientasi WRIST yang dinyatakan dalam indikator

Kinematika Balik Manipulator (Pendekatan Geometri, Studi Kasus PUMA 560) Solusi Sudut Joint 4Dari gambar tadi terlihat hubungan persamaan Dimana vektor x3 dab y3 adalah vektor kolom dari 0T3Dengan demikian solusi dari sudut joint 4

Kinematika Balik Manipulator (Pendekatan Geometri, Studi Kasus PUMA 560) Solusi Sudut Joint 5Perhatikan gambar proyeksi KK 0X5Y5Z5 ke bidang X4Y4 memenuhi hubungan persamaan :Dimana vektor x4 dan y4 adalah vektor kolom dari 0T4Dengan demikian solusi dari sudut joint 5

Kinematika Balik Manipulator (Pendekatan Geometri, Studi Kasus PUMA 560) Solusi Sudut Joint 6Perhatikan gambar proyeksi KK nsa ke bidang X5Y5 memenuhi hubungan persamaan :Dimana vektor y5 adalah vektor kolom dari 0T5 dan n, s adalah vektor normal dan vektor sliding 0T6Dengan demikian solusi dari sudut joint 6

*Kinematika Mobile RobotPosture: position(x, y) and orientation

*Jenis RodaFixed wheelCentered orientable wheelOff-centered orientable wheel (Caster wheel)Swedish wheel:omnidirectional property

*Fixed wheelKecepatan Titik P

Titik P tidak dapat berpindah menuju arah tegak lurus bidang roda

xy dimana, ax : vektor satuan arah sumbu X

*Centered orientable wheelsKecepatan titik P ax : vektor satuan arah sumbu x ay : vektor satuan arah sumbu y

dimana,

*Kecepatan Titik P ax : Vektor satuan arah sumbu x ay : Vektor satuan arah sumbu y

dimana,Off-Centered orientable wheels(caster wheels)

*Swedish wheelKecepatan Titik P ax : Vektor satuan arah sumbu x as : Vektor satuan arah pergerakan dari roller

dimana,

*1. Differential DriveD : panjang titik tengah robot dari awal menuju akhir pergerakan

*Posture robot

v : Kecepatan linier robotw : Kecepatan sudut robot(x,y) : Posisi robot : Orientasi robotControl Input

Differential Drive

*Differential Drive Kecepatan Linier roda kanan Kecepatan Linier roda kirir Jari2 nominal masing2 rodaR instantaneous curvature radius trayektori robot (Jarak dari ICC ke titik tengah antara dua roda).Property: pada setiap saat, roda kiri dan kanan harus mengikuti trayektori disekitar ICC dengan kecepatan sudut yang sama

*Differential DriveKendala NonholonomicPersamaan Kinematik Hubungan antara input kendali dengan kecepatan rodaModel Posture : Model kinematik terhadap KK bumi

*Differential DriveModel kinematik dalam KK robot

*2. Tricycle Variabel Kendali :steering direction (t)angular velocity of steering wheel ws(t)

ICC harus terletak pada garis yang melewati sumbu roda belakang

*Tricycle Jika roda kemudi bersudut (t) terhadap rah garis lurus, mobile robot akan berotasi sebesar kecepatan sudut (t) terhadap ICC yang terletak pada jarak R sepanjang garis lurus sumbu roda belakang

*Tricycled: Jarak roda depan ke as roda belakang

*Tricycle Model Kinematik dalam KK Robot

*Tricycle Model Kinematik dalam KK Bumi

*3. Synchronous DriveVariabel kendali (independent)v(t), (t) ICC selalu terletak di tak hingga arah orientasi kemudi menentukan arah dari ICC

*4. Ackerman SteeringThe Ackerman Steering equation:

:

*Ackerman SteeringEquivalent:

*Model Kinematik Input KendaliXY : forward vel : steering vel

*Model Kinematik XYnon-holonomic constraint: : forward velocity : steering velocity

*********(Eq1)(Eq2)Eq1-Eq2 ***********