bab iii kontrol pada struktur iii.1 klasifikasi kontrol...
TRANSCRIPT
BAB III
KONTROL PADA STRUKTUR
III.1 Klasifikasi Kontrol pada Struktur
Sistem kontrol aktif adalah suatu sistem yang menggunakan tambahan energi luar.
Sistem kontrol aktif dioperasikan dengan sistem kalang-terbuka maupun kalang-
tertutup. Sistem kontrol aktif kalang-terbuka adalah sistem dimana gaya kontrol
ditentukan oleh kondisi awal sistem. Ini berarti bahwa gaya kontrol diketahui
sebelumnya dari informasi yang diberikan oleh konfigurasi sistem, keadaan awal, dan
gangguan yang diberikan. Sistem kontrol aktif kalang-tertutup adalah sistem dimana
gaya kontrol tergantung pada keadaan sistem pada saat itu. Sehingga kontrol aktif
kalang-tertutup dapat disebut juga sistem kontrol umpan balik. Sistem kontrol umpan
balik merupakan sistem yang cocok digunakan dalam aplikasi teknik sipil, karena
adanya ketidaktentuan parameter struktur dan beban yang diterima struktur.
Sistem kontrol pasif tidak membutuhkan tambahan energi luar dalam beroperasi.
Banyak sistem kontrol pasif bekerja sebagai kontrol kalang-tertutup. Setiap
mekanisme kontrol membangkitkan gaya kontrol yang dibutuhkan bila struktur
diganggu atau responnya melebihi batas-batas tertentu. Dengan demikian keadaan
struktur pada saat itu adalah satu-satunya yang memaksa mekanisme kontrol untuk
membangkitkan gaya yang dibutuhkan untuk mengontrol keadaan struktur
berikutnya. Klasifikasi kontrol struktur digambarkan pada gambar berikut:
Gambar III.1 Klasifikasi kontrol pada struktur
14
III.2 Klasifikasi Kontrol Aktif pada Struktur
Sistem kontrol aktif pada struktur mempunyai konfigurasi dasar seperti yang
diperlihatkan secara skematis sebagai berikut:
Gambar III.2 Diagram skematik kontrol aktif pada struktur
Konfigurasi tersebut terdiri dari:
• Sensor-sensor yang diletakkan di berbagai tempat pada struktur untuk
mengukur gaya luar atau respon struktur atau keduanya
• Alat untuk memproses informasi yang diukur dan menghitung gaya kontrol
yang diperlukan berdasakan suatu algoritma kontrol.
• Aktuator, biasanya digerakkan oleh sumber energi luar untuk menghasilkan
gaya kontrol yang dibutuhkan,
Pada kontrol kalang-tertutup, maka hanya respon struktur yang diukur dengan
dimonitor secara kontinyu dan informasi ini digunakan untuk memberikan koreksi
yang kontinyu terhadap gaya kontrol yang diberikan. Sedangkan pada mekanisme
kontrol kalang-terbuka, maka besarnya gaya luar yang diukur. Pada kasus dimana
informasi keduanya, yaitu respon struktur dan besarnya gaya luar digunakan untuk
merencanakan gaya kontrol, maka istilah closed-open-loop digunakan.
15
Peralatan yang dapat digunakan dapat diklasifikasikan dalam empat kategori, yaitu
peredam massa aktif, tendon aktif, penambahan massa, redaman, kekakuan, dan
kontrol pulsa.
Penyerap dinamik atau peredam massa dapat dirangkaikan dengan sumber energi luar
dan sebuah aktuator elektrohidrolik untuk membentuk peredam massa. Aktuator
dioperasikan sebagai kontrol aktif. Algoritma kontrol aktif diimplementasikan dengan
menggunakan bantuan komputer.
Tendon aktif atau kabel digunakan dengan menarik tendon dengan menggunakan
hydraulic rams. Gaya internal dibangkitkan, yang digunakan untuk menyesuaikan
deformasi struktur. Sensor perpindahan dan kecepatan digunakan untuk memonitor
respon akibat gaya luar. Jika respon melebihi batas tertentu, pengontrol menentukan
penyesuaian yang dibutuhkan dengan penambahan algoritma kontrol, dan
mengaktifkan aktuator hidrolik yang menegangkan tendon.
Kategori ketiga dari sistem kontrol aktif untuk bangunan tinggi adalah penambahan
struktur tambahan yang dipasang pada puncak bangunan yang mirip dengan sayap
pesawat terbang dengan geometri yang dapat berubah-ubah. Struktur tambahan ini
dapat bergerak dan posisinya dihitung berdasar pengukuran deformasi pada saat itu.
Kontrol pulsa merupakan kategori ke-empat dalam kontrol aktif pada struktur. Pulsa
diberikan selama periode waktu yang pendek dalam bentuk udara dan jet gas atau
tendon prestressed. Dorongan ini diberikan dengan menggunakan pembangkit pulsa
yang diletakkan pada posisi yang berbeda-beda pada struktur. Dorongan ini diberikan
pada struktur dalam interval waktu diskrit, dan intensitasnya dihitung berdasar
algoritma kontrol yang berdasar pengukuran respon pada lokasi yang berbeda-beda
pada struktur.
III.3 Peredam massa pasif dan peredam massa aktif
Respon bangunan bertingkat tinggi terhadap beban dinamis, gempa bumi, dan angin
merupakan hal penting dalam perencanaan struktur. Diantara bermacam-macam
peralatan kontrol yang telah dikembangkan, suatu alat kontrol pasif yang berdasarkan
penggunaan massa tambahan sebagai sistem penyerap energi telah dipelajari secara
16
intensif dan sudah dipasang pada beberapa bangunan bertingkat tinggi. Alat kontrol
itu disebut dengan peredam massa pasif (tuned mass damper).
Adapun beberapa contoh-contoh bangunan yang menggunakan TMD (tuned mass
damper) adalah sebagai berikut:
- Hancock Tower di Boston, Massachusetts. Dengan reduksi respon struktur
50%
- Bangunan Citicorp Center di Manhattan, New York. Dengan reduksi respon
struktur 40%.
- Chiba Port Tower di Chiba. Dengan reduksi respon struktur antara 40% - 50%
- Sydney Tower, di Sydney. Dengan reduksi respon struktur antara 40% - 50%
- Higashimyama Sky Tower di Nagoya. Dengan reduksi respon struktur antara
30% - 50%
Sebuah TMD terdiri dari massa inersia yang dikerjakan pada lokasi bangunan dengan
pergerakan maksimum, biasanya diletakan pada lantai atas. TMD meneruskan gaya
inersia ke rangka bangunan untuk mereduksi getarannya yang keefektivitasannya
dihitung berdasarkan karakteristik dinamik dan jumlah dari massa tambahan yang
bekerja.
Dalam perkembangan kontrol vibrasi dari struktur, kontrol pasif disukai karena
kemudahannya dan ketahanannya, yaitu alat yang tetap berfungsi tanpa sumber energi
dari luar dan tidak memiliki resiko yang signifikan dalam menyebabkan kondisi yang
tidak stabil.
Akan tetapi tanpa kegunaan dari mekanisme kontrol, kontrol pasif ini tidak mampu
mengatur variasi pada berbagai parameter dari sistem. Sehingga dikembangkan
kontrol aktif dengan alat yang lebih kecil yang mampu mengontrol vibrasi pada
struktur dengan respon yang berubah-ubah. Sistem inersia yang dilengkapi dengan
sebuah analisis kontrol dengan komputer untuk mengukur signal respon dan
menghasilkan gaya kontrol, berdasarkan umpan balik dari kecepatan dan percepatan
dari struktur yang sering juga disebut peredam massa aktif .
17
Adapun beberapa contoh-contoh bangunan yang menggunakan ATMD (active tuned
mass damper) adalah sebagai berikut:
- Kansai Int’L Airport Control Tower di Osaka. Dapat mereduksi respon
struktur akibat angin sebesar 50%.
- LTC Bank of Japan di Tokyo. Mereduksi percepatan maksimum akibat angin
sampai 50%.
- Ando Nishikicho Building di Tokyo. Mereduksi perpindahan dan percepatan
pada arah x sebesar 58% dan 69% dan juga perpindahan pada arah y sebesar
30% dan percepatan sebesar 52%.
- Osaka Resort City (ORC) 200 Symbol Tower di Osaka. Mereduksi respon
struktur 1/2 sampai 1/3.
- Shinjuku Park Tower di Tokyo. Dengan reduksi respon struktur 50% selama
terjadi angin topan pada 1996.
Walaupun sistem kontrol aktif ini menghasilkan massa redaman yang lebih kecil dan
memiliki tingkat efisiensi yang lebih tinggi, tetapi kelemahan dari sistem ini adalah
biaya operasi dan perawatan yang lebih mahal dari kontrol pasif.
III.3.1 Peredam Massa Pasif
Peredam massa pasif telah dipelajari secara teoristik sejak tahun 1928 oleh
Ormondroyd dan Den Hartog. Idenya adalah meletakan suatu osilator kecil pada
sistem yang akan dikendalikan responnya (sistem utama) dan kemudian mengatur
frekuensi osilator tersebut sedemikian sehingga energi getaran pada sistem utama
ditransfer ke osilator. Pengaturan frekuensi osilator umumnya dilakukan dengan
menyesuaikan massa osilator sehingga sistem peredam ini disebut tuned mass damper
(TMD). Gambar berikut mendeskripsikan sistem struktur TMD secara skematis:
18
Gambar III.3 Sistem Bangunan TMD
Dalam Gambar III.3, bangunan dimodelkan sebagai sistem berderajat kebebasan
tunggal dengan massa m, konstanta redaman c, dan konstanta pegas k, yang masing-
masing merepresentasikan massa, redaman, dan kekakuan ragam pertama dari
bangunan itu; f(t) merepresentasikan pengaruh luar, misalnya gaya angin; md, cd, dan
kd masing-masing merepresentasikan massa, redaman, dan kekakuan yang
berhubungan dengan TMD ini membentuk sisitem dinamik baru berderajat kebebasan
dua.
Persamaan gerak sistem bangunan TMD dapat ditulis sebagai berikut:
(3.1) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−++
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−++
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅
⋅
⋅⋅
⋅⋅
0)t(f
yx
kkkkk
yx
ccccc
yx
m00m
dd
dd
dd
dd
d
x(t) dan y(t) masing-masing menyatakan perpindahan dari massa m dan massa md
terhadap suatu sumbu refrensi tetap.
Agar respon sistem utama (struktur gedung) dapat diminimalkan, maka karekteristik
md dan kd harus diatur besarnya sehingga optimum. Faktor-faktor yang
mempengaruhi kinerja TMD adalah sebagai berikut:
1. rasio antara massa TMD dan massa sistem utama
mmd=µ
19
2. rasio frekuensi
ωω
= dr ,
dimana d
dd m
k=ω
3. rasio redaman dari sistem TMD
dd
dd m2
cω
=ξ
Menurut Den Hartog parameter-parameter optimum TMD adalah sebagai berikut:
- rasio frekuensi
µ+
=1
1fopt (3.2)
- rasio damper peredam
)1(83
opt,d µ+µ
=ζ (3.3)
Sehingga nilai optimum dari redaman dan kekakuan peredam adalah sebagai berikut:
mfk 22optopt Ω= (3.4)
mf2c optoptopt Ωζ= (3.5)
Dimana:
µ = rasio massa tuned terhadap massa lantai
Ω = frekuensi natural struktur
m = massa peredam
20
III.3.2 Peredam Massa Aktif
Peredam massa aktif merupakan penyempurnaan dari sistem kontrol pasif, yaitu
TMD. Model struktur utama dengan sistem ATMD dapat dilihat pada gambar
berikut:
Gambar III.4 Sistem bangunan ATMD
Dari Gambar III.4 terlihat sistem TMD dihubungkan dengan aktuator (pembangkit
gaya) yang aktifitasnya dikontrol oleh komputer. Aktuator inilah yang
membangkitkan gaya kontrol u(t). Prinsip kontrol umpan balik digunakan untuk
menentukan u(t). Persamaan gerak ATMD dapat ditulis sebagai berikut:
)t(u11
0)t(f
yx
kkkkk
yx
ccccc
yx
m00m
dd
dd
dd
dd
d ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−
+⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−++
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−++
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅
⋅
⋅⋅
⋅⋅
(3.6)
III.4 Analisis Ruang Keadaan
Langkah pertama dalam studi analisis adalah memodelkan sistem tersebut dengan
menggunakan model matematik. Sesuai dengan konsep, karena kemampuannya yang
dapat menggambarkan sistem tentang kondisi sistem saat itu yang dinyatakan dengan
keadaan (state) sistem. Sesuai dalam notasi dan analitis, karena pendekatan state-
space menggunakan matriks vektor yang memberikan persamaan sistem dan
membentuk solusi dalam penulisan yang kompak. Kesesuaian pendekatan state-space
21
dalam solusi numerik dengan analitis adalah suatu keuntungan tambahan, khususnya
bagi sistem yang berubah terhadap waktu (time-varying), dan untuk sistem non linier.
Dalam menganalisis sistem dinamik, persamaan diferensial yang khusus diperlukan
untuk menghubungkan variabel-variabel dinamik dengan turunannya dalam beberapa
tingkat (orde). Dengan metode state-space, semua persamaan diferensial dalam model
matematika dalam orde berapapun, dapat dinyatakan sebagai persamaan diferensial
tingkat satu, yaitu hanya variabel dinamik dan turunan pertamanya (terhadap waktu)
saja.
Dalam notasi vektor, dengan menggunakan definisi vektor keadaan dan vektor
kontrol, model dinamika linier dinyatakan sebagai:
utBztAdtdzz )()( +==
⋅
Dimana A(t) dan B(t) adalah matriks yang diberikan oleh
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
)(...)()(............
)(...)()()(...)()(
)(
21
22221
11211
tatata
tatatatatata
tA
kkkk
k
k
(3.7)
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
)(...)()(............
)(...)()()(...)()(
)(
21
22221
11211
tbtbtb
tbtbtbtbtbtb
tB
klkk
l
l
Matriks A(t) selalu merupakan matriks bujursangkar (k x k), sedangkan matriks B(t)
tidak selalu bujursangkar. Banyak sistem memiliki jumlah input l lebih kecil dari
jumlah variabel keadaan.
Bila sistem time-invariant, matriks A dan B tidak merupakan fungsi terhadap waktu.
Kontrol pada struktur merupakan sistem dinamik linier dan time-invariant. Sehingga
persamaan dinamik menjadi:
BuAzz +=⋅
(3.8)
22
Dimana A dan B adalah matriks konstan.
Persamaan gerak sistem struktur n-DOF yang dibebani dengan beban gempa
dan dikontrol dengan gaya kontrol U(t) adalah sebagai berikut:
)(tx g
⋅⋅
(3.9) (t)UH(t)x1..M-Kx(t)(t)xC(t)xM g +=++⋅⋅⋅⋅⋅
Dimana M, C, dan K berturut-turut adalah nxn matriks massa struktur, nxn matriks
redaman, dan nxn matriks kekakuan struktur. x(t), turunan pertama dan keduanya
berturut-turut adalah perpindahan, kecepatan, dan percepatan. 1 adalah n-vektor
dengan elemennya 1, U(t) adalah r-vektor gaya kontrol, dan H adalah nxr matrik
yang mendefinisikan lokasi gaya kontrol.
Persamaan 3.9 disusun dalam bentuk persamaan 2n-state space, dimana sistem
persamaan difrensial orde-2 dapat diubah menjadi persamaan nonlinier difrensial
orde-1 sebagai berikut:
(3.10) (t)xW)t(BU)t(AZ)t(Z g
⋅⋅⋅
++=
Dimana Z(t) adalah 2n-vektor state:
(3.11) ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡= ⋅
)t(X
)t(X)t(Z
A adalah matrik 2n x 2n dengan susunan berikut:
(3.12) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
= −− CMKMI0
A 11
B adalah matrik 2n x r, dan W adalah 2n-vektor sebagai berikut:
(3.13) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡= − HM
0B 1
(3.14) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
= − 1.MM0
W 1
23
III.5 Kontrol Optimal
Suatu sistem kontrol yang optimal adalah suatu sistem yang desainnya
mengoptimalkan (meminimumkan atau memaksimumkan, tergantung kasusnya) nilai
fungsi sebagai indeks-perfomansi (performance-index).
Konsep pengoptimalan sistem kontrol terdiri dari pemilihan indeks-performansi dan
desain yang menghasilkan sistem kontrol optimal yang dibatasi oleh faktor-faktor
pembatas (constraint) secara fisis.
Dalam perancangan suatu sistem kontrol optimal, ada tujuan yang ditetapkan untuk
sistem kontrol yang akan dibuat, yang dibatasi oleh beberapa ukuran deviasi dari
keadaan ideal. Ukuran ini biasanya didapatkan dari kriteria optimasi, atau indeks-
performansi. Indeks-performansi adalah fungsi yang nilainya menunjukkan
bagaimana baiknya perilaku sistem aktual dibandingkan dengan perilaku yang
diinginkan.
Dalam banyak hal, kelakuan sistem dioptimalkan dengan memilih gaya kontrol u(t)
dengan cara meminimumkan (atau memaksimumkan, tergantung kasusnya) indeks-
performansi. Pemilihan indeks-performansi yang sesuai adalah penting, karena untuk
sistem yang berderajat besar indeks ini menentukan sifat sistem kontrol optimal yang
dihasilkan. Oleh karena itu, sistem kontrol yang dihasilkan adalah linier, non-linier,
stationer atau time varying, akan tergantung dari bentuk indeks ini. Indeks ini harus
diformulasikan berdasarkan hal-hal yang dibutuhkan. Masalah kebutuhan biasanya
tidak hanya kebutuhan kinerja (performance) sistem, tetapi juga dibatasi oleh bentuk
kontrol, sehingga dapat direalisasikan secara fisik.
Untuk suatu kasus tertentu, penggunaan teori optimal dalam pemilihan indeks-
performansi untuk perancangan sistem mengalami hambatan dengan adanya
perbedaan antara kemungkinan analitis dengan kegunaan praktis. Dengan demikian,
sangat diperlukan bahwa kriteria untuk kontrol optimal tidak berasal dari matematis,
tetapi dari pandangan praktis. Pada umumnya pemilihan indeks-performansi juga
mempertimbangkan kesepakatan antara evaluasi yang menentukan dari perilaku
sistem dan masalah matematis yang mudah dipecahkan.
24
Memilih indeks-performansi yang sesuai untuk masalah yang ada sangat sulit,
khususnya untuk masalah yang kompleks.
III.5.1 Konsep Kontrol Optimal Klasik
Beberapa macam tipe kontrol struktur aktif adalah sebagai berikut:
• Kontrol Closed Loop. Kontrol ini bekerja dengan cara memonitor respon
struktur secara terus menerus dan informasi ini digunakan untuk mengoreksi
gaya kontrol yang diberikan secara terus menerus.
• Kontrol Open Loop atau disebut juga kontrol umpan maju adalah bila gaya
kontrol ditentukan hanya berdasarkan gaya luar yang diukur. Untuk struktur
yang dibebani dengan eksitasi gempa dilakukan dengan mengukur percepatan
gempa pada dasar struktur.
• Kontrol Closed Open Loop. Kontrol ini bekerja dengan menggunakan
informasi respon struktur dan gaya luar digunakan bersama-sama untuk
mendesain gaya kontrol.
Dalam teori kontrol optimal klasik, gaya kontrol U(t) dipilih sedemikian sehingga
indeks performansi yang didefinisikan sebagai:
(3.15) [ ] dt)t,U,U,Z,Z(Jt,t),t(Z),t(ZJJf
0
t
t2f0f01
⋅⋅
∫+=
Diminimumkan dengan kondisi batas persamaan 3.9. Indeks performansi J
mempunyai 2 (dua) suku. Suku pertama, J1 adalah fungsi kondisi awal dan akhir yang
hanya bergantung dari waktu awal dan akhir, yaitu hanya dievaluasi pada dua kondisi
tersebut saja. Suku kedua adalah integral yang dievaluasi sepanjang interval waktu
kontrol.
Pada persamaan 3.15, J adalah suatu fungsi skalar yang diminimumkan terhadap U(t)
untuk memenuhi kondisi batas yang ditentukan oleh persamaan 3.9. Kondisi batas
lainnya juga dapat dipilih, misalnya batas toleransi respon struktur (perpindahan dan
kecepatan), yaitu:
b)t(Z ≤ (3.16)
25
Bentuk indeks performansi yang biasanya digunakan dalam kontrol struktur adalah
dalam bentuk kuadratik Z(t) dan U(t). Dengan t0 = 0, yaitu:
(3.17) ( dt)t(RU)t(U)t(QZ)t(ZJf
i
t
t
TT∫ += )
Interval waktu [0,tf] didefinisikan lebih lama dari eksitasi gaya luar. Q adalah matrik
2n x 2n semi definit positif, dan R adalah r x r matrik definit positif.
Solusi kontrol optimal yang didefinisikan oleh persamaan 3.9 dengan kondisi batas
persamaan 3.9 adalah dengan membentuk Lagrangian dengan menggandengkan dua
persamaan ini dengan pengali lagrangian yang merupakan fungsi waktu, sebagai
berikut:
dt)t(Z-(t)xW)t(BU)t(AZ)t()t(RU)t(U)t(QZ)t(Zft
0g
TTT∫ ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++λ++=α
⋅⋅⋅
(3.18)
Dimana λ(t) adalah 2n-vektor yang merupakan costate variable (atau pengali
lagrangian).
Syarat perlu yang mendefinisikan kontrol optimal didapat dari variasi pertama α,
yaitu:
dtuu
zz
)0(z)0()t(z)t(tf
0
TT
ffT ∫
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡δ
∂Η∂
+δ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂Η∂
+λ+δλ+δλ−=δα⋅
(3.19)
Dimana H adalah Hamiltonian yang didefinisikan oleh integral pada persamaan 3.18.
Karena Z(0) = Z0, suatu konstan, maka Zδ (0)=0. Untuk memenuhi = 0, maka: δα
u∂Η∂ =0, 0 ≤ t ≤ tf (3.20)
0z
)t( =∂Η∂
+λ⋅
(3.21)
Dengan kondisi batas:
(tTλ f) = 0 (3.22)
Persamaan 3.20 sampai 3.22 adalah syarat perlu untuk kontrol optimal.
Dengan menyelesaikan persamaan-persamaan diatas, maka:
26
(3.23) ),t(QZ2)t(A)t( T −λ−=λ⋅
0)t( fT =λ
)t(BR21)t(U T1 λ−= − (3.24)
Untuk kasus umum, yaitu gaya kontrol U(t) atau λ(t) ditentukan berdasarkan respon
dan eksitasi gaya luar, maka:
)t(q)t(Z)t(P)t( +=λ , 0)t( f =λ (3.25)
Dimana suku pertama persamaan 3.25 menunjukan kontrol close-loop, dan suku
kedua kontrol open-loop.
Matrik P(t) dan vektor q(t) yang tidak diketahui dapat ditentukan dengan
mensubstitusikan persamaan 3.25 ke persamaan 3.21, 3.23, dan 3.24, sehingga
didapat:
)t(q)t(ZQ2)t(PA)t(PBBR)t(P21A)t(P)t(P TT1
⋅−
⋅
+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++−+
0)t(xW)t(P)t(qABBR)t(P21
gTT1 =+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −−
⋅⋅− (3.26)
III.5.1.1 Kontrol Closed Loop
Untuk kasus dimana gaya kontrol ditentukan berdasarkan respon struktur saja, dalam
hal ini q(t) = 0, maka persamaan 3.26 direduksi menjadi:
)t(ZQ2)t(PA)t(PBBR)t(P21A)t(P)t(P TT1
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++−+ −
⋅
0)t(xW)t(P g =+⋅⋅
, (3.27) 0)t(P f =
Bila eksitasi dasar sama dengan nol, maka persamaan 3.27 menjadi:
0Q2)t(PA)t(PBBR)t(P21A)t(P)t(P TT1 =++−+ −
⋅
, 0)t(P f = (3.28)
Dalam teori kontrol optimal, persamaan 3.28 adalah persamaan Riccati, dan P(t)
adalah matrik Riccati. Karena P(t) ditentukan pada t = tf, maka persamaan 3.28
diselesaikan dengan cara mundur terhadap waktu. Dengan mensubstitusikan q(t) = 0
27
ke persamaan 3.21, maka vektor gaya kontrol U(t) mempunyai hubungan linier
dengan Z(t), yaitu:
)t(Z)t(G)t(Z)t(PBR21)t(U T1 =−= − (3.29)
Dimana G(t) adalah matrik pengali,
)t(PBR21)t(G T1−−= (3.30)
Sudah dikatakan bahwa matrik Riccati pada persamaan 3.28 hanya tergantung dari
karakteristik struktur dan matrik bobot Q dan R. Untuk struktur, pengalaman
menunjukan bahwa matrik Riccati P(t) tetap konstan selama eksitasi gempa dan
menurun secara cepat menuju nol saat mendekati tf. Sehingga P(t)=P, dan = 0,
sehingga persamaan 3.28 menjadi:
)t(P⋅
0Q2PAPBPBR21PA TT1 =++− − (3.31)
Dengan demikian faktor pengali G(t) juga menjadi konstan:
PBR21G)t(G T1−−== (3.32)
Dengan mensubstitusikan persamaan 3.32 ke persamaan 3.21, maka didapat:
(3.33) [ ] (t)xW)t(ZBGA)t(Z g
⋅⋅⋅
++=
Dari persamaan 3.33 diatas dapat dilihat bahwa pengaruh kontrol closed-loop adalah
dalam memodifikasi struktur dimana sistem matrik diubah dari A menjadi [ ]BGA +
(system closed-loop).
Karena penurunan persamaan 3.28 dilakukan dengan asumsi bahwa eksitasi dasar
sama dengan nol, maka gaya kontrol optimal closed-loop untuk struktur yang
dibebani gempa. Ini akan merupakan gaya kontrol optimal jika = 0. (t)xg
⋅⋅
28
III.5.1.2 Kontrol Open Loop
Untuk kontrol optimal open-loop, vektor kontrol tergantung hanya dari eksitasi
gempa, dalam hal ini gaya kontrol tidak bergantung dari respon struktur Z(t). Dengan
demikian persamaan 3.21 menjadi:
)t(q)t( =λ (3.34)
Dan persamaan 3.26 direduksi menjadi:
, )t(QZ2)t(qA)t(q T −−=⋅
0)t(q f = (3.35)
Yang identik dengan persamaan 3.27. Dengan demikian gaya kontrol adalah:
)t(qBR21)t(U T1−−= (3.36)
Dan persamaan 3.9 akan menjadi:
)t(xW)t(qBBR21)t(AZ)t(Z g
T1⋅⋅
−⋅
+−= , Z(0) = 0 (3.37)
Vektor state Z(t) dan vektor q(t) dapat diselesaikan dari persamaan 3.35 dan 3.36.
Tetapi kontrol open-loop tidak dapat diimplementasikan untuk kontrol struktur
karena q(t) harus dicari secara mundur dari waktu akhir tf. Hal ini mengharuskan
eksitasi gempa harus diketahui sebelumnya, dimana tidak mungkin dilakukan. (t)xg
⋅⋅
III.5.1.3 Kontrol Closed-Open Loop
Bila gaya kontrol U(t) seperti dinyatakan persamaan 3.21, maka gaya kontrol yang
didapat dikatakan kontrol optimal closed-open-loop. Dalam hal ini, vektor kontrol
dihitung dari respon struktur yang diukur dan percepatan gempa. Matrik Riccati P
dan vektor q(t) didapatkan dari persamaan 3.26 sebagai berikut:
0Q2PAPBPBR21PA TT1 =++− − (3.38)
0)t(xW)t(P)t(qAPBR21)t(q g
T1 =+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −−
⋅⋅−
⋅
(3.39)
29
Tidak seperti halnya kontrol closed-loop, dimana matrik pengali didapatkan dengan
mengabaikan eksitasi gempa, maka kontrol optimal closed-open-loop yang diberikan
oleh persamaan 3.38 dan 3.39 menggunakan informasi eksitasi gempa.
Tetapi kontrol optimal closed-open-loop tidak dapat dilaksanakan, karena q(t) dalam
persamaan 3.39 harus dicari solusinya secara mundur dari waktu akhir tf, yang
menunjukan bahwa riwayat waktu percepatan gempa harus diketahui
sebelumnya, dan hal ini tidak mungkin dilakukan.
(t)xg
⋅⋅
30