5

BAB II

TEORI DASAR IMPLEMENTASI METODE DEKOMPOSISI

GROOM-BAILEY PADA TENSOR IMPEDANSI

MAGNETOTELLURIK

2.1 Konsep Awal Metode Magnetotelurik

Metode magnetotellurik merupakan teknik sounding induktif pasif dengan

cara mengukur variasi medan magnet dan medan listrik alami di permukaan untuk

mendapatkan informasi distribusi konduktivitas bawah permukaan. Medan

elektromagnetik (medan EM) yang berdifusi ke bawah permukaan bumi berasal dari

sumber alami yaitu aktivitas elektromagnetik di ionosfer maupun di atmosfer. Respon

bumi atau benda anomali di bawah permukaan akan berbeda berdasarkan

konduktivitas anomali tersebut.

Medan elektromagnetik yang berasal dari ionosfer memiliki frekuensi yang

rendah, yaitu bernilai lebih kecil dari 1 Hz. Frekuensi rendah ini sangat bermanfaat

untuk melakukan pemetaan struktur bawah permukaan yang sangat dalam.

Sedangkan medan elektromagnetik yang berasal dari atmosfer memiliki frekuensi

yang tinggi, yaitu bernilai lebih besar dari 1 Hz. Frekuensi tinggi ini sangat

bermanfaat untuk melakukan pemetaan struktur yang dangkal.

Ionosfer merupakan suatu lapisan yang berjarak 75 km sampai 550 km di atas

permukaan bumi. Lapisan ini terdiri dari beberapa lapisan ionisasi dan gas konduktif.

Medan EM yang berada di lapisan ini berasal dari interaksi medan magnet bumi dan

solar wind yang menghasilkan arus yang besar berdasarkan hukum Lorentz: = × . Solar wind terdiri dari partikel bermuatan q yang diemisi oleh matahari ke

bumi dengan suatu kecepatan v.

6

Atmosfer merupakan suatu lapisan yang berjarak 75 km di atas permukaan

bumi. Atmosfer terdiri dari beberapa lapisan yang resistif elektrik. Medan EM yang

berasal dari lapisan ini berasal dari badai petir dan transmisi gelombang radio.

Ionosfer juga berperilaku sebagai pandu gelombang sehingga frekuensi yang

dihasilkan tidak hanya mengalami interferensi konstruktif atau beresonansi tetapi

juga mengalami interferensi destruktif atau anti resonansi. Spektrum frekuensi dari

interferensi destruktif menghasilkan band energi rendah yang disebut dead-band.

Frekuensi dead-band berada di 0.5 Hz sampai 5 Hz dan daya spektrum terrendah

berada di frekuensi 1 Hz.

2.2 Persoalan Studi Metode Elektromagnetik

Resistivitas merupakan parameter yang penting dalam studi metode

elektromagnetik. Resistivitas batuan akan memberikan respon yang berbeda dari

medan EM primer yang diberikan sehingga hal tersebut akan menggambarkan

struktur anomali yang ingin diketahui. Resistivitas suatu batuan dipengaruhi oleh

litologi, porositas, temperatur dan fluid content. Perbedaan parameter-parameter

tersebut menyebabkan variasi resistivitas pada struktur geologi sehingga kita dapat

mengamati anomalinya.

Resistivitas batuan dapat juga diamati dari sifat listrik batuan. Aliran atau

transmisi arus listrik oleh pembawa muatan bebas digolongkan menjadi tiga macam

yaitu konduksi secara elektronik, konduksi elektrolitik dan konduksi dielektrik.

Konduksi elektronik terjadi di batuan atau mineral yang mempunyai banyak elektron

bebas sehingga arus listrik dialirkan oleh batuan atau mineral tersebut oleh elektron-

elektron bebas itu. Kondisi elektrolitik terjadi jika batuan atau mineral bersifat porus

dan pori-pori tersebut terisi cairan-cairan elektrolitik. Pada kondisi ini arus listrik

dibawa oleh ion-ion elektrolit. Sedangkan konduksi dielektrik terjadi jika batuan atau

mineral bersifat dielektrik terhadap arus listrik yaitu terjadi polarisasi saat bahan

dialiri listrik.

7

2.3 Asumsi-asumsi Untuk Metode Magnetotellurik

Asumsi-asumsi yang perlu diperhatikan untuk induksi elektromagnetik di

permukaan bumi, disederhanakan oleh (Cagniard, 1953; Keller dan Frischknecht,

1966)

a. Memenuhi Persamaan Maxwell.

b. Bumi tidak membangkitkan medan elektromagnetik tetapi hanya mendisipasi atau

menyerap.

c. Semua medan diperlakukan secara konservatif dan analitik dari sumbernya.

d. Sumber medan yang digunakan dibangkitkan oleh sistem arus ionosfer skala besar

yang relatif jauh dari permukaan bumi, sehingga dapat diperlakukan sebagai

gelombang bidang elektromagnetik uniform saat datang pada permukaan bumi.

e. Muatan bebas dijaga tidak terakumulasi di suatu lapisan bumi. Pada suatu bumi

multi dimensi, muatan dapat terakumulasi di sepanjang diskontinuitas. Hal ini

membangkitkan fenomena non-induktif yang dikenal static shift.

f. Muatan terkonservasi dan bumi berlaku sebagai konduktor ohmic, yang memenuhi

Persamaan

=

J adalah rapat arus listrik total (A/m2), σ adalah konduktivitas medium (sm-1) dan

E adalah medan listrik (Vm-1).

g. Medan listrik displacement adalah quasi-statik untuk sounding periode MT. Oleh

karena itu dalam proses induksi elektromagnetik (proses difusi) di bumi, arus

displacement fungsi waktu (dibangkitkan dari efek polarisasi) tidak diperlukan

dibandingkan arus konduksi fungsi waktu.

8

h. Beberapa variasi permitivitas elektrik dan permeabelitas dari batuan diasumsikan

tidak diperlukan dibandingkan variasi konduktivitas bulk batuan.

2.4 Konsep Gelombang MT dan Fungsi Transfer

Persamaan Maxwell terdiri dari empat Persamaan yaitu:

a. Hukum Faraday : di sekitar medan magnet yang berosilasi terhadap waktu terdapat

medan listrik yang berotasi

× = − (2.1)

b. Hukum Ampere atau hukum Biot Savart : Arus listrik atau muatan yang mengalir

dapat menghasilkan medan magnetik yang berrotasi di sekitarnya.

× = μ + μ ε (2.2)

c. Hukum Coulomb : Muatan listrik dapat menghasilkan medan listrik di sekitarnya.

. = ; ρ = (2.3)

d. Magnet tidak pernah monopol

. = 0 (2.4)

Asumsi dasar :

a. Medium linier, isotropis homogen; sifat-sifat listrik bukan merupakan fungsi

waktu, temperatur dan tekanan.

b. Permeabelitas medium sama dengan permeabelitas dalam vakum (µ = µ0).

c. Memenuhi hubungan = !; # = $; =

E = intensitas medan listrik (V/m); B= induksi magnet (Wb/m2 (tesla)); D=

perpindahan dielektrik (C/m2); H= intensitas medan magnet (A/m); µ= permeabelitas

relatif magnetik medium; µ0 = permebelitas vakum (4π.10-7 H/m); $= permitivitas

9

dielektrik relatif, permitivitas pada vakum (8,85 .10-12F/m); Q= muatan listrik (C); =

konduktifitas (S/m).

Persamaan Faraday untuk domain frekuensi eiωt , dengan menerapkan

hubungan = !; # = $; = , dengan Persamaan medan = %&'( dan ! = !%&'(, maka Persamaan (2.1) dan (2.2) menjadi

× = −iµω-

× - = .σ + iεω/

× + i- = 0 ⟹ i = iµω → impedivitas

× - − j = 0 ⟹ j = σ+ iεω → admitivitas

Curl dari Persamaan (2.1) dan (2.2)

× . × / + . × / = 0 (2.5)

× . × !/ − × :#:( = × (2.6)

atau

× . × / + µ . × -/ = 0 (2.7)

× . × !/ − $ ::( . × / = × (2.8)

Substitusi Persamaan (2.1) dan (2.2) ke (2.7) dan (2.8)

× . × / + $ :;:( + ::( = 0 (2.9)

× . × !/ + $ :;!:(; + µ - = 0 (2.10)

10

Identitas vektor

× . × </ = .. </ − =<

Untuk daerah non-konduktif atau bebas muatan . = 0 dan sifat dipol magnet . ! = 0 maka Persamaan (2.9) dan (2.10) menjadi

= − $ :;:(; − ::( = 0 (2.11)

=! − $ :;!:(; − µ - = 0 (2.12)

Jika kita pilih variasi waktu sinusoidal ( biasa dipakai di MT )

.>/ = ? %&'(; @@> = AB

!.>/ = C %&'(; @!@> = AB!

B = frekuensi sudut = 2 π f

Maka Persamaan (2.11) dan (2.12) menjadi

= + . $B= − i B/ = 0 (2.13)

=- + . $B= − i B/! = 0 (2.14)

Atau

= + D= = 0 (2.15)

=- + k=! = 0 (2.16)

Ini adalah persamaan gelombang elektromagnetik untuk propagasi vektor medan

magnet dan medan listrik pada medium homogen isotropis yang memiliki

11

konduktivitas σ, permeabelitas µ, dan permitivitas relatif dielektrik ε dalam domain

frekuensi dan disebut juga persamaan Helmholtz E dan H.

Prospek EM dalam geofisika

• Material bumi .10GHI/K ≤ ≤ 10HI/K/

• Frekuensi < 105 Hz

• Arus perpindahan lebih kecil dari arus konduksi $B= ≪ B.

Sehingga

= − ::( = 0 (2.17)

=! − µ - = 0 (2.18)

∇= − i B = 0 (2.19)

∇=- − i B! = 0 (2.20)

Persamaan (2.17) dan (2.18) adalah persamaan difusi gelombang elektromagnetik

dalam material bumi.

Solusi dari persamaan difusi

:;:O; − i B = 0

@=-@P= − i B! = 0

Solusi

= ER %G&.STG'(/ + EG %&.STR'(/ (2.21)

12

- = HR %G&.STG'(/ + HG %&.STR'(/ (2.22)

k = α+ iβ ∝= B W $2 Y1 + =$=B=Z[ =\ + 1]

[ =\

^ = B _ $2 Y1 + =$=B=Z − 1`[ =\

Dalam material bumi

∝= ^ = aB 2 b[ =\

D = a'cd= b[ =\ + A a'cd= b[ =\ (2.23)

= ER %G&eT eGβO efω (2.24)

- = HR %G&eT eGβO efω (2.25)

Sehingga E dan H meluruh dalam arah z positif.`

Konsekuensi :

a. ^ real sehingga eGβO akan semakin kecil untuk z semakin besar. Amplitudo

gelombang teratenuasi sebesar e-1 (37%) pada suatu jarak δ dalam medium

maka diperoleh skin depth (g). Dengan = maka diperoleh

g = h ='cdi[ =\ = 503 a1 l\ b[ =\. (2.26)

b. %G&eT = cos.oP/ − ApAq.oP/; gelombang teratenuasi terhadap kedalaman.

c. efω = cos.ωt/ − ApAq.ωt/; gelombang bervariasi sinusoidal terhadap waktu.

13

d. Karena ::r = ::s = 0 ; maka Ex dan Hy memiliki amplitudo bervariasi pada

bidang yang tegak lurus sumbu z. Gelombang bidang, walaupun amplitudo

berubah tetapi perambatan selalu ke sumbu z.

Gelombang magnetotellurik terpolarisasi dalam bidang xy dan menjalar dalam

arah z. Persamaan medan H dengan amplitudo θcos0HH xo = dan θsinoyo HH =

dapat ditulis menjadi :

Cr = .C cos t/%GeT cos.B> − oP/ Cs = .C sin t/%GeT cos.B> − oP/ (2.27)

Dari Persamaan ∇ × ! = + $ @ @>⁄

?r = 1 .komponen x dari ∇ × ! / = 1 _− @Cs@P `

= − 1 .C sin t/%GeTv−o cos.B> − oP/ + o pAq .B> − oP/w = √2 ed .C sin t/%GeT cos aB> − oP + yzb (2.28a)

Dengan cara yang sama diperoleh

?s = √2 ed .C sin t/%GeT cos aB> − oP + yzb (2.28b)

Dari Persamaan (2.28a) dan Persamaan (2.28b) :

|~= = |~= = 2 aedb= = B (2.29)

14

Jika kita asumsikan σ menjadi konduktivitas efektif dalam sebuah kedalaman

penetrasi D , maka bisa diperoleh aproksimasi dari D dan σ , dengan mengganti z∂

∂

dengan [ dan

T

πω 2= , Persamaan (2.27), (2.28) dan ( 2.29) memberikan :

≈ [d ~| ≈ [d.'c/ ;⁄ = .'cd/ ;⁄'c = [=yc |~ (2.30a)

≈ [=yc |~= = [=yc ||= (2.30b)

Secara umum dapat ditulis menjadi :

= [=yc ℵ = [=yc || (2.31a)

= [=yc ℵ= = [=yc ||= (2.31b)

dengan ℵ adalah yx HE / atau xy HE /

Jika kita ambil 7104 −== xo πµµ dan kemudian dengan satuan : miliVolt per km

untuk ε , gamma(nT) untuk ℵdan kilometer untuk D, maka diperoleh :

= [=y .5/[ =⁄ km (2.32a)

= [ ℵ= = [ ||= ΩK (2.32b)

= resistivitas.

Pada kenyataannya medium bumi non homogeny maka resistivitas yang ditinjau

merupakan resistivitas semu.

15

2.5 Konsep Polarisasi Medan Listrik dan Medan Magnet

Konsep fisika yang menjelaskan induksi gelombang pada sebuah

diskontinuitas adalah konservasi arus. Menunjukkan model 2-D sederhana dengan

kontak vertikal antara 2 daerah yang berbeda konduktivitas, σ1 dan σ2. Rapat arus di

daerah batas adalah

s = ?s (2.33)

Akibat perbedaan konduktivitas arus terkonservasi di sepanjang batas sehingga

menyebabkan medan listrik, Ey, diskontinu. Sedangkan komponen elektromagnetik

lain kontinu di daerah batas.

Gambar 2.1 Ilustrasi polarisasi E dan B. (F. Simpson dan K. Bahr, 2005).

Variasi medan di sepanjang strike tidak berubah a:|:r = 0, :~:r = 0b karena

konduktivitas sepanjang strike konstan. Dari Persamaan (2.1) dan (2.2) maka

diperoleh

× = −μ ∂-∂t

ı a − O b + a O − b + k a − b = −iωμı H + H + k HO

(2.34a)

16

× ! =

ı a − O b + a O − b + k a − b = σı E + E + k EO (2.34b)

Medan magnet dan medan listrik saling orthogonal yaitu suatu medan listrik

yang sejajar dengan strike akan menginduksi medan magnet yang tegak lurus strike

dan di bidang vertikal, sedangkan suatu medan magnet yang sejajar strike akan

menginduksi medan listrik yang tegak lurus strike dan bidang vertikal. Oleh karena

itu Persamaan (2.34a) dan (2.34b) dapat dipasangkan ke dua mode bebas, yaitu

medan listrik yang sejajar strike (polarisasi E) dan medan magnet yang sejajar strike

(polarisasi B).

Polarisasi E atau disebut juga mode Transverse Elektrik (TE mode)

menggambarkan aliran arus yang sejajar dengan strike dengan komponen medan

elektromagnetik Ex, Hy, dan Hz :

Polarisasi E ¡ = = iωμHO O = −μ = −iωμH − O = σE

¢ (2.35a)

Polarisasi B atau disebut juga mode Transverse Magnetik (TM mode)

menggambarkan aliran arus yang tegak lurus dengan strike dengan komponen medan

elektromagnetik Bx, Ey, dan Ez :

Polarisasi B

¡ = −σEO O = σE − O = −iωμH

¢ (2.35b)

17

Ketika Ey diskontinu di sepanjang kontak vertikal maka impedansi Zyx (rasio ?s Cr⁄ ) dan Zyy (rasio ?s Cs⁄ ) yang diasosiasi Ey juga menjadi diskontinu. Untuk

menyederhanakan persoalan kasus 2-D maka Zyy sama dengan nol sehingga hanya

komponen Zyx yang diamati. Dari Persamaan (2.33) medan Ey terjadi diskontinuitas

akibat Zyx adalah σ2/σ1. Dengan demikian, berdasarkan Persamaan (2.31b) maka

resistivitas semu yang tegak lurus strike ρyx dengan besarnya (σ2/σ1)2 juga diskontinu.

Sebagai konsekuensi diskontinuitas yang ditunjukkan ρyx, resistivitas yang

diperoleh dari polarisasi B lebih baik dibandingkan resistivitas polarisasi E, karena

polarisasi E diasosiasi medan magnet vertikal. Medan magnet vertikal dibangkitkan

oleh gradient konduktivitas lateral dan dan daerah batas, dan variasi spasial dari rasio

Hz/Hy dapat digunakan untuk memperoleh kontras konduktivitas lateral dari

polarisasi E.

18

Gambar 2.2 (a) Perbandingan resistivitas semu dari polarisasi E dan B dan fasa sebagai fungsi

jarak dari kontak vertikal untuk periode 0.1 s dan 10 s. (b) resistivitas semu dan fasa impedansi

sebagai fungsi dari periode pada jarak-0.3, -1.3, -5.3 dan -19.3 (sepanjang qurter-space 10 Ωm)

dari kontak vertikal. (c) resistivitas semu dan fasa impedansi sebagai fungsi dari periode pada

jarak-0.3, -1.3, -5.3 dan -19.3 (sepanjang quarter-space 1000 Ωm) dari kontak vertikal. (F.

Simpson dan K. Bahr, 2005).

2.6 Arah Induksi

Arah induksi adalah representasi rasio kompleks (real dan imajiner) dari

komponen medan magnet vertikal dan horisontal. Ketika medan magnet vertikal

dibangkitkan oleh gradient konduktivitas lateral, arah induksi dapat digunakan untuk

menarik kesimpulan keberadaan atau ketidakberadaan variasi konduktivitas lateral.

19

Parkinson convention adalah titik vektor menuju konsentrasi arus internal, sedangkan

wiese convention adalah titik vektor keluar dari konsentrasi arus internal. Vektor

tersebut seringkali dikenal dengan vektor tipper, karena transformasi medan magnet

horisontal ke bidang vertikal memenuhi hubungan:

CT.B/ = .r.B/ s.B// £Cr.B/Cs.B/¤ (2.36)

Dalam kasus 2-D, arah induksi diasosiasi dengan polarisasi E (bandingkan

Persamaan 2.35a dan 2.35b). Kemudian batas insulator dan konduktor memperluas

sebuah arah induksi yang bangkit di mode bumi 2-D di mana orientasinya tegak lurus

batas tersebut, dan besarnya sebanding dengan intensitas konsentrasi anomali arus

(Jones dan Prices, 1970), yang dapat ditentukan kembali oleh besar gradient

konduktivitas atau diskontinuitas.

Gambar 2.3 (a) model 2-D dengan anomali konduktif 5 Ωm dan half-space 100 Ωm. (b) Medan

magnet vertikal melintang pada anomali konduktif 2-D. (c) Arah induksi Parkinson. (F. Simpson

dan K. Bahr, 2005).

2.7 Tensor Impedansi dan Tinjauan Dimensionalitas.

Metode MT adalah suatu metode pasif yang terdiri dari pengukuran fluktuasi

medan listrik (E) dan magnetik (H) pada arah orthogonal di permukaan bumi.

20

Komponen orthogonal dari medan listrik dan magnet horisontal dihubungkan dengan

tensor impedansi

£?r?s¤ = aPrr PrsPsr Pssb £CrCs¤ (2.37)

adalah fungsi transfer dan merupakan bilangan kompleks. Setiap komponen,zij dari

memiliki besaran dan fasa

¥.B/ = [c¦' §P&¨.B/§= (2.38)

Ѳ.B/ = >ªqG[ £«¬ ­T®¯.'/°±²­T®¯.'/° ¤ (2.39)

Z berisi informasi tentang dimensionalitas dan arah. Untuk kasus 1-D di mana

konduktivitas berubah terhadap kedalaman, elemen diagonal dari tensor impedansi,

zxx dan zyy bernilai nol, untuk komponen non-diagonal besarnya sama tetapi tandanya

berlawanan.

Kasus 1-D ³Prr = Pss = 0Prs = −Psr ¢ (2.40)

Untuk kasus 2-D, konduktivitas berubah sepanjang arah horisontal dan kedalaman.

Kasus 2-D

Prr = −PssPrs ≠ −PsrPrr = Pss = 0¢ (2.41)

Prr = Pss = 0 jika x atau y sejajar strike

Untuk kasus 3-D Prr ≠ Pss ≠ 0; Prs ≠ −Psr ≠ 0 (2.42)

?r = PrrCr + PrsCs

?s = PsrCr + PssCs

21

2.8 Pendahuluan Dekomposisi Groom-Bailey

Tensor impedansi terukur sering sekali tidak sesuai dengan tensor impedansi

2-D yang ideal. Di mana tidak ada rotasi sumbu koordinat sedemikian elemen tensor

diagonal keduanya bernilai nol. Hal ini terjadi karena (i) data error akibat induksi 1-

D atau 2-D, (ii) karena induksi 3-D, atau (iii) karena induksi 1-D atau 2-D terpadukan

dengan pengaruh distorsi galvanik telurik (bebas frekuensi). Pada penulisan ini

dibahas mengenai pengaruh anomali 3-D yang menghasilkan distorsi galvanik

terhadap regional 2-D.

Pada saat ini pengaruh induksi 1-D atau 2-D yang terpadukan dengan distorsi

telurik 3-D, perlu dipertimbangkan untuk meningkakan kualitas data. Keberadaan

distorsi menyebabkan ketidak-sesuaian tensor impedansi terukur dengan tensor

impedansi 2-D sebenarnya, dan metode rotasi atau dekomposisi belum ada yang

sesuai untuk kasus ini. Sejumlah alternatif metode dekomposisi (yaitu Eggers, 1982;

Spitz, 1985; La torraca et al, 1986; Yee and Paulson, 1987) tidak dapat

menyederhanakan asumsi mengenai model fisis dan sangat banyak parameter yang

digunakan untuk menunjukkan data tensor. Dalam kasus induksi 1-D atau 2-D

terpadukan dengan hamburan galvanik 3-D, maka dekomposisi umum tidak optimal

untuk penyederhanaan model dasar.

Penentuan strike elektromagnetik regional dipengaruhi oleh distorsi galvanik

(Swift, 1967). Dimensionalitas dari suatu anomali konduktif bergantung pada skala

observasi. Respon induktif elektromagnetik menjadi lemah dan dilanjutkan dengan

respon non-induktif (galvanik) saat skin-depth gelombang melebihi dimensi anomali.

Data elektromagnetik yang mengandung efek galvanik digambarkan dengan model

superimposisi dan dekomposisi di mana data dipisahkan dari suatu respon non-

induktif akibat dari heterogenitas multidimensi dengan dimensi lebih lecil dari skala

induktif (daerah lokal), dan respon yang disebabkan struktur oleh 1-D atau 2-D

(daerah regional). Dalam beberapa kasus, menentukan strike elektromagnetik

22

melibatkan pemisahan tensor impedansi terukur ke dalam matrik yang

merepresentasikan bagian induktif dan non-induktif. Bagian induktif berisi suatu

tensor terdiri dari komponen kompleks yaitu magnitude dan fasa, sedangkan bagian

non-induktif menunjukkan perilaku DC, dan digambarkan oleh suatu tensor distorsi,

dengan komponen-komponennya harus real dan tidak bergantung frekuensi.

Gambar 2.4 Persoalan dimensionalitas (F. Simpson dan K. Bahr, 2005)

Superposisi dari regional 1-D model bumi berlapis dengan suatu struktur

anomali konduktif berskala kecil di permukaan (Larsen, 1975). Jika ukuran anomali

lebih kecil dibandingkan kedalaman penetrasi, p, dari medan elektromagnetik, maka

tensor impedansi diasosiasi dengan model umum Larsen yaitu

£?r?s¤ = ¶ a 0 P−P 0b £CrCs¤

= a·[[ ·[=·=[ ·==b a 0 P−P 0b £CrCs¤ (2.43)

23

Dengan Z adalah impedansi regional dari model 1-D Cagniard dan ¶ adalah suatu

tensor distorsi real, yang menggambarkan aksi galvanik (daripada induktif) dari

penghambur lokal pada medan listrik. Persamaan (2.43) berisi enam derajat

kebebasan-empat parameter distorsi real dan suatu impedansi kompleks, di mana data

terukur dapat dijelaskan oleh model yang menyediakan hanya lima derajat

kebebasan-empat amplitudo dan satu fasa. Oleh karena itu, amplitudo absolut

impedansi tidak dapat dipisahkan dari parameter distorsi. Hal ini ekuivalen dengan

keadaan faktor pergeseran statis yang secara matematis tidak dapat ditentukan dari

impedansi terukur.

Gambar 2.5 (a) model superimposisi Larsen (1975) (Persamaan 2.42) dengan anomali kecil di

permukaan mendistorsi regional model 1-D berlapis. (b) model superimposisi Bahr (1988) (Persamaan

2.46) dengan anomali sekal kecil dekat permukaan mendistorsi model regional 2-D. (F. Simpson dan

K. Bahr, 2005)

Jika suatu data dapat dijelaskan dengan model (Larsen, 1975), maka seluruh

elemen dari impedansi terukur seharusnya memiliki fasa yang sama. Perbedaan fasa

antar dua bilangan kompleks dapat ditentukan menggunakan komutator:

¸¹, º» = Im.º ¹∗/

24

= Re ¹ Im º − Re º Im ¹ (2.44)

Karena itu pengukuran misfit invariant rotasional untuk model Larsen adalah

= .|[, I=| + |I[, =|/[ =⁄ |=|⁄ (2.46)

I[ = Prr + Pss ; I= = Prs + Psr ; [ = Prr − Pss ; = = Prs − Psr

Pada kasus tertentu dua model komplemen dari Swift dan Larsen (Persamaan

2.46) cukup menjelaskan impedansi terukur. Suatu sistem koordinat seharusnya

memiliki, (i) komponen off diagonal (zxy dan zyx) dari tensor impedansi yang berbeda

fasa (disebabkan oleh perbedaan struktur konduktivitas sepanjang dan tegak lurus

strike), dan komponen diagonal (zxx dan zyy) diabaikan; atau (ii) seluruh elemen dari

tensor impedansi menunjukkan fasa yang sama, tetapi komponen diagonal tidak nol.

Seperti yang ditunjukkan oleh (Ranganayaki, 1984), fasa MT bergantung kuat pada

arah di mana medan listrik terukur, dan keberadaan impedansi terukur memiliki

komponen diagonal dan berbeda fasa, hal itu tidak berlaku dalam model Swift

ataupun model Larsen.

Bahr (1988) mengajukan suatu model superimposisi (dekomposi) yang lebih

lengkap. Dalam model ini, heterogenitas multidimensi dengan dimensi lebih kecil

dari panjang skala induktif data pada suatu struktur regional 2-D, dan data dipisahkan

ke suatu ‘lokal’, respon non-induktif (galvanik), dan suatu ‘regional’, respon induktif.

Sehingga tensor impedansi diperluas menjadi:

£?r?s¤ = ¶ £ 0 P½,r′s′P½,s′r′ 0 ¤ £CrCs¤

= a−·[=P½,s′r′ ·[[P½,r′s′−·==P½,s′r′ ·=[P½,r′s′b £CrCs¤ (2.46)

Di dalam setiap kolom hanya terjadi satu fasa, karena asumsi distorsi galvanik

memerlukan elemen dari tensor distorsi, ¶ harus real dan tidak bergantung frekuensi.

25

Pada suatu sistem koordinat tertentu, fasa dari dua impedansi regional zn,xy dan zn,yx

akan dipadukan, karena dalam kasus ini tensor elemen adalah kombinasi linier dari

zn,xy dan zn,yx. Dalam suatu koordinat tertentu diperoleh:

= ^e¶ = ^e¾ (2.47)

Distorsi galvanik dapat memberikan informasi mengenai proses induksi 2-D

dan informasi itu dapat dicapai dengan menerapkan suatu keadaan medan (Bahr,

1988). Suatu sistem regional tensor impedansi terukur dipengaruhi oleh distorsi

galvanik dari struktur 3-D yang tidak teratur dan arus elektrik terinduksi berskala

besar dalam struktur regional 1-D atau 2-D. Meskipun model ini tidak sesuai untuk

seluruh frekuensi set data, tapi sesuai untuk rentang frekuensi tertentu ketika definisi

suatu skala regional dapat berbeda terhadap rentang frekuensi yang berbeda.

Berdasarkan pendekatan dekomposisi fisis yang dilakukan (Bahr, 1988),

Groom-Bailey (1989) melakukan faktorisasi parameter distorsi menjadi empat

parameter yang mempengaruhi suatu medan regional. Dekomposisi ini untuk

memisahkan parameter lokal dan regional, dengan asumsi di mana struktur regional

2-D dan struktur lokal hanya menyebabkan hamburan galvanik terhadap medan

listrik, dan dikerjakan dalam bentuk suatu hasil faktorisasi. Dekomposisi Groom-

Bailey ini yang dibahas lebih rinci dalam penulisan ini.

2.9 Hamburan Elektromagnetik 3-D Skala Kecil

Prinsip dasar hamburan medan listrik dan medan magnet yang disebabkan oleh

anomali kecil, dijelaskan oleh (Chave dan Smith, 1994), dengan suatu Persamaan

medan, yaitu

26

.¿/ = .¿/ − AB À ÁÂ ′Ã.¿, ¿ ′/g.¿′/.¿′/Ä ′+ ∇ 1 ∇. À ÁÂ ′Ã.¿, ¿′/Ä ′ g.¿′/.¿ ′/

(2.48)

Dengan ?.¿/ adalah medan listrik regional, g adalah anomali konduktivitas dalam

volume V’, Ã.¿, ¿′/ adalah fungsi green.

Suku kedua dari Persamaan di atas menunjukkan medan listrik yang

disebabkan oleh induksi pada suatu anomali, sedangkan suku ke tiga merupakan

medan listrik yang dipengaruhi muatan galvanik di suatu anomali permukaan. Jika

anomali berskala kecil maka suku kedua diabaikan karena kurang berpengaruh

dibandingkan suku ketiga. Kemudian suku ketiga dapat dinyatakan dalam o?

dengan menganggap .¿ ′/ sama dengan .¿/ dan o merupakan tensor real dengan

orde 2x2 dan tidak bergantung frekuensi. Dengan demikian medan listrik total

merupakan hasil dari suatu tensor distorsi real 2x2 yang tidak bergantung frekuensi

dan medan listrik regional.

= + o = ¶ (2.49)

Persamaan medan magnet yang dipengaruhi distorsi dapat diperoleh dengan

melakukan operasi curl pada Persamaan (2.48), sehingga diperoleh

!.¿/ = ! + ∇ × Å ÁÂ′Ã.¿, ¿′/g.¿′/.¿′/Ä′ (2.50)

Dengan asumsi yang sama di mana .¿ ′/ sama dengan .¿/ maka Persamaan

medan H menjadi

H= ! + # (2.51)

Dan D adalah tensor real 2x2 yang tidak bergantung pada frekuensi.

27

Dengan memperhatikan pengaruh distorsi pada gelombang elektromagnetik

maka diperoleh suatu Persamaan baru yang berhubungan dengan impedansi di mana

impedansi regional Z0 dengan impedansi distorsi Z, dapat dinyatakan dengan

Æ = ÇÆ.È + #Æ/G[ (2.52)

Dengan E0 = Z0H0 dan E = ZH.

Untuk saat ini pengaruh distorsi medan magnetik diabaikan sehingga D = 0 dan untuk

selanjutnya pembahasan mengenai dekomposisi Groom-Bailey meninjau pengaruh

distorsi telurik yang dominan.

2.10 Model Distorsi

Hubungan medan listrik regional rata-rata er dan medan magnet regional rata-

rata hr dengan struktur konduktivitas regional 2-D memenuhi hubungan

ÉÊ = Æ=ËÊ = a 0 ª−Ì 0b ËÊ (2.53)

Dengan a dan b adalah elemen impedansi untuk struktur 2-D regional rata-rata.

Dengan adanya tinjauan keberadaan anomali 3-D yang menyebabkan distorsi

galvanik maka medan e dan h terukur pada beberapa titik terganggu oleh variasi lokal

dari nilai regionalnya. Medan listrik e sangat terpengaruh oleh muatan lokal yang

terakumulasi pada gradient konduktivitas atau daerah batas. Sedangkan medan

magnet h tidak terpengaruh karena tidak berhubungan dengan rata-rata spasial dari

rapat arus telurik. Jadi penyederhanaan asumsi dapat dilakukan dengan h = hr. Oleh

sebab itu e harus dihubungkan dengan er oleh suatu tensor distorsi C

(Bahr, 1988)

É = ÇÉÍ = a·[ ·=·H ·zb ÉÊ (2.54)

28

Struktur distorsi diasumsikan berinduktif lemah dan seluruh elemen dari C dapat

diasumsikan real. Maka diperlukan empat parameter real untuk menunjukkan

keberadaan distorsi. Model fisis untuk suatu permukaan 3-D inhomogen sesuai

dengan model II (Berdichevsky dan Dmitriev, 1976), dengan C didefinisikan sebagai

Ç = ÎÏr.r/ Ïr.s/Ïs.r/ Ïs.s/Ð (2.55)

Empat parameter bebas diperlukan untuk menunjukkan tensor distorsi umum.

Gambar 2.8 menunjukkan suatu model regional dan distorsi. Suatu daerah konduktif

pertengahan (ditandai dengan titik-titik) terletak pada suatu lapisan bawah terisolasi

(putih). Di dalam daerah pusat lingkaran terdapat suatu daerah permukaan konduktif

tinggi yaitu swamp (hitam). Pengukuran dilakukan pada pusat swamp. Arus telurik

regional terputarkan (twist) dengan suatu sudut Ѳt. Pemanjangan suatu swamp

menyebabkan anisotropi sejajar sumbu utama dan tegak lurus arah a. Penerapan

transformasi pada setiap operasi distorsi tersebut terhadap medan listrik regional

menghasilkan suatu hubungan akhir dari medan listrik terukur dengan regional, yang

ditunjukkan dengan

É = ÇÉÍ = ÑΛÒÓÔÉÊ (2.56)

Ç = £cos t¥ −sin t¥sin t¥ cos t¥ ¤ £Õ[ 00 Õ=¤ £ cos t¥ sin t¥−sin t¥ cos t¥¤ £cos t( −sin t(sin t( cos t( ¤

(2.57)

Matrik T adalah twist, Q dan transposenya QT merotasi sumbu utama dari swamp

dan Λ merupakan suatu anisotropi yang disebabkan oleh pemanjangan dan kontras

konduktivitas dari swamp. Dengan demikian terdapat empat parameter real t¥, t(, λ1

dan λ2 yang perlu diketahui.

29

Faktorisasi (Persamaan 2.57) sangat menjelaskan model distorsi namun sulit

untuk direpresentasikan karena keempat parameter tersebut tidak diperoleh dari

tensor impedansi terukur. Solusi eksak dari C yang tidak dapat ditentukan pada kasus

distorsi galvanik 2-D dapat diperoleh dengan melakukan dekomposisi

(parameterisasi) dari tensor impedansi yaitu dengan memisahkan bagian elemen

tensor yang dapat ditentukan dan yang tidak dapat ditentukan (Zhang et al., 1987).

Gambar 2.6 Model distorsi dan regional (Groom dan Bailey, 1989)

Dengan hubungan

É = Æ¬Ë (2.58)

dan Zm adalah tensor impedansi terukur. Dalam sistem regional atau sumbu utama,

kita dapat tunjukkan tensor impedansi terukur dengan Persamaan (3.11) dan (3.12)

Ƭ = ÇÆ= (2.59)

Atau dalam sistem sumbu pengukuran

Ƭ = ÖÇÆ=Ö¾ (2.60)

30

Dengan C merupakan tensor distorsi dalam sistem sumbu utama induktif regional,

dan R adalah matrik rotasi yang merotasi vektor-vektor dengan sudut t terhadap

sistem sumbu terukur dari sistem sumbu pengukuran regional.

Meskipun faktorisasi tensor impedansi terukur mendasari suatu model fisis,

parameter dari faktorisasi ini tidak dapat ditentukan secara unik dari data terukur. Hal

ini disebabkan terdapat sembilan parameter yang diperlukan: satu sudut rotasi pada R,

empat elemen tensor distorsi, dan dua impedansi kompleks. Andaikan suatu

transformasi,

Æ=′ = ×= = £Ø[ 00 Ø=¤ Æ= (2.61)

Ç′ = ÇÙG[ (2.62)

Dengan w1 dan w2 adalah bilangan real tidak nol. Faktorisasi baru menjadi

Ƭ = ÖÇ′Æ′ÚÖÛ (2.63)

Hal ini ekuivalen dengan Zm (Persamaan 2.60), ketika C’ real dan Z’2 dalam bentuk

2-D ideal. Pada kenyataannya dapat ditunjukkan bahwa matrik diagonal W

menghasilkan bentuk umum yang tidak unik.

2.11 Faktorisasi Tensor Distorsi

Representasi matrik yang sesuai ini mengikuti contoh (Spitz, 1985) dan

diperkenalkan suatu modifikasi matrik spin pauli, yaitu

Ü = a1 00 1b (2.64a)

Ý[ = a0 11 0b (2.64b)

Ý= = a0 −11 0 b (2.64c)

31

ÝH = a1 00 −1b (2.64d)

Suatu tensor M orde 2 dapat dinyatakan dalam penjumlahan matrik (Persamaan 2.64)

yaitu

Þ = αß + α[Ýà + α=ÝÚ + αHÝH (2.65)

Sedangkan faktorisasi dari C menghasilkan

Ç = ÃÛá< (2.66)

g adalah suatu skalar dan faktor tensor T, S, A didefinisikan dengan

Û = âÚ.Ü + >ÝÚ/ (2.67a)

á = âà.Ü + %Ýà/ (2.67b)

< = âã.Ü + pÝH/ (2.67c)

Faktor normalisasi Ni ditetapkan agar T, S, dan A secara individual dapat bertahan

ketika diterapkan ke suatu medan listrik acak terpolarisasi secara isotropis, yaitu

â[ = 1 √1 + %=⁄ (2.68a)

â= = 1 √1 + >=⁄ (2.68b)

âH = 1 √1 + p=⁄ (2.68c)

Adapun tujuan normalisasi untuk memastikan setiap elemen T, S, dan A tetap

terbatasi selama proses komputasi.

Beberapa pengertian fisis dalam faktorisasi ini dapat ditentukan dengan

menguji pengaruh dari setiap faktor pada medan listrik regional (yaitu medan listrik

regional pada sistem koordinat alami dari struktur regional 2-D). Tensor anisotropi

atau tensor pemisahan

32

< = âã.Ü + pÝH/ = âã a1 + p 00 1 − pb (2.69)

merentangkan dua komponen medan dengan faktor berbeda, membangkitkan suatu

anisotropi yang berhubungan dengan distorsi dan keberadaan anisotropi tensor

impedansi induksi regional Z2 sepanjang sumbu yang sama. Distorsi anisotropi ini

tidak dapat terbedakan dari anisotropi induktif kecuali dalam keadaan ketika

anisotropi Z2 diketahui. Gambar (2.7b) menunjukkan pengaruh A pada suatu

keseluruhan vektor-vektor satuan untuk s positif.

Tensor shear (dinamakan sesuai dengan analogi teori deformasi)

á = âà.Ü + %Ýà/ = âà a1 %% 1b (2.70)

mengembangkan anisotropi pada sumbu di mana sumbu utama induktif regional

terbagi dua. Pengaruh S pada keseluruhan vektor satuan ditunjukkan oleh gambar

2.7b untuk shear e positif. Perubahan sudut maksimum terjadi untuk vektor-vektor

sejajar dengan sumbu utama. Suatu vektor pada sumbu x dalam gambar dibelokkan

searah jarum jam dengan sudut shear tan-1e, dan suatu vektor sepanjang sumbu y

dibelokkan berlawanan arah jarum jam dengan besar sudut yang sama.

Pengaruh dari tensor twist

Û = âÚ.Ü + >ÝÚ/ = âÚ a1 −>> 1 b (2.71)

secara sederhana untuk merotasi vektor medan listrik searah jarum jam dengan sudut

twist tan-1t. Twist t dikarakterisasi dengan sudut twist фs= tan-1t.

Terakhir, g menunjukkan suatu keseluruhan penskalaan medan listrik. Hal ini

diperlukan karena hasil A, S, dan T ternormalisasi akan berbeda dari tensor distorsi C

sesungguhnya. g lebih merupakan suatu ‘site gain’.

33

Gambar 2.7 (a) susunan data MT yang diambil pada pusat konduktif swamp (hitam) yang dilingkupi

oleh regional konduktif pertengahan (abu-abu) dan suatu isolator (putih). t( menunjukkan arah strike

dari suatu swamp dengan ‘twist’ arus telurik. Anomali juga ditentukan oleh efek shear dan anisotropis

dari data. (b) pengaruh dari operator twist, shear, anisotropis terhadap medan regional . (Groom dan

Bailey, 1989)

Baik g ataupun A dapat ditentukan secara terpisah dari Z2, dengan Z’2= g A

Z2 dipandang seperti tensor impedansi 2-D ideal (yaitu memiliki elemen diagonal

nol). Dua impedansi utama ditentukan dalam Z’ 2 akan secara terpisah terskalakan

dengan sesuatu yang tidak diketahui tetapi merupakan faktor bebas frekuensi.

Keuntungan faktorisasi ini adalah bagian C yang tidak diketahui diserap ke tensor

impedansi yang ditentukan tanpa merusak bentuk tensor 2-D ideal.

Jika distorsi telurik tidak bergantung frekuensi, penyerapan g, A ke dalam Z2

tidak akan mengubah bentuk kurva resistivitas semu ataupun fasa, dengan demikian

kita dapat menentukan secara tepat kecuali terdapat pergesaran statis. Dalam metode

34

konvensional, tidak hanya penyerapan g, A ke dalam Z2 tetapi juga T dan S, dengan

demikian mengubah dari tensor ideal 2-D.

Faktorisasi C menggunakan nilai real g, t, e, s dan ketidak-unikkan untuk C

yang berubah-ubah. Sebagai contoh dekomposisi klasik nilai eigen dan vektor eigen

dari suatu matrik persegi tidak akan menghasilkan nilai real dari nilai eigen dan

vektor eigen jika matrik tidak memiliki properti yang pasti. Hal yang sama, tidak ada

jaminan di mana hasil faktorisasi dalam (Persamaan 3.24) tetap ada jika s, t, e dan g

yang diperlukan menjadi real.

Ç = äå.[R²;/.[R;/.[Ræ;/ × £.1 + p/.1 − >%/ .1 − p/.% − >/.1 + p/.% + >/ .1 − p/.1 + >%/¤ (2.72)

Untuk kasus distorsi lemah (t, e dan s kurang dari satu), maka faktorisasi

dapat diaproksimasi dengan mudah. Jika seluruh bentuk kedua dan ketiga e, s, dan t

diabaikan, maka diperoleh

Ç = a·[ ·=·H ·zb ≈ Ã a1 + p % − >% + > 1 − pb (2.73)

Dengan demikian diperoleh

à ≈ çRçè= (2.74a)

% ≈ ç;RçéçRçè (2.74b)

p ≈ çGçèçRçè (2.74c)

> ≈ çéGç;çRçè (2.74d)

Ini merupakan bentuk operator yang digunakan oleh (Larsen, 1975). Pada keadaan

distorsi lemah, model regional 1-D (Larsen, 1975,1977) dapat sangat sederhana

35

menghitung twist, shear, anisotropi dan kemungkinan menggeser impedansi 1-D

tetapi bukan site gain.

Untuk distorsi umum, Persamaan (2.72) harus disesuaikan. Hal tersebut

ditunjukkan di mana keberdaaan dua solusi secara umum dari Persamaan ini dan

hanya satu yang memiliki arti secara fisis.

Persamaan (2.72)

Ç = Ã′ £.1 + p/.1 − >%/ .1 − p/.% − >/.1 + p/.% + >/ .1 − p/.1 + >%/¤ (2.75a)

dengan g’ sudah termasuk faktor normalisasi. Asumsikan C dengan bentuk

Ç = £·[ 0·H 0¤

atau

Ç = £0 ·=0 ·z¤

Untuk kasus khusus ini di mana Persamaan (3.30) s ≠ ±1

Jika c4 ≠ 0,

ê = ç;çè = ²G([R(² (2.75b)

Dan jika c1 ≠ 0,

^ = çéç = ²R([G(² (2.75c)

Kasus khusus untuk c1 = 0 atau c4 = 0 memiliki dua solusi yang secara jelas tidak

dibahas di sini. Jika γ = β, maka terdapat satu solusi: t= 0 dan

% = ê = ^ Ã = çRçè= p = çGçè=ë (2.76a)

36

Jika γ = -β, solusi hanya e= 0, dan

> = −ê = ^ Ã = çRçè= p = çGçè=ë (2.76b)

Jika γ ≠ β dan γ ≠ -β, maka Persamaan (2.75) dapat diperoleh dengan Persamaan

kuadrat dari e dan t

.ê + ^/%= + 2%.1 − ê^/ − .^ + ê/ = 0 (2.77a)

.ê − ^/>= + 2>.1 + ê^/ − .ê − ^/ = 0 (2.77b)

Solusi real,

> = .ìíR[/±å.[Rì;/.[Rí;/ìGí (2.78a)

% = .ìíG[/±å.[Rì;/.[Rí;/ìRí (2.78b)

solusi untuk t dengan akar kuadrat positif sebagai t+, sedangkan solusi lain t-, dan

berlaku juga untuk e.

>R>G = −1 %R%G = −1

dan dua set solusi (e1, t1) = (e+, t-) dan (e2, t2) = (e-, t+).

Dengan demikian dapat ditunjukkan di mana γβ = -1 saat t = ±1 dan γβ = 1

saat e = ±1. Perkecualian untuk solusi pasangan, di salah satu solusi, |%| > 1, dan

yang lain |%| < 1. Berlaku juga untuk solusi di mana |>| > 1, dan yang lain |>| < 1.

Secara lebih spesifik, dapat ditunjukkan (g, t, e, s) adalah suatu solusi, maka (-g, -t-1, -

e-1, s-1) merupakan solusi juga.

Kedua solusi tidak dapat selalu terbagi menjadi solusi distorsi ‘kecil’ |>, %| < 1 dan

‘besar’ |>, %| > 1. Namun, jika

0 ≤ |ê^| ≤ 1

37

maka

|>=| < |>[| |%=| < |%[|

dan solusi di atas merupakan solusi distorsi kecil yang berbeda dengan solusi distorsi

besar. Namun, jika |ê^| > 1, maka solusi merupakan jenis distorsi perpaduan. Di

mana satu solusi memiliki shear kecil dan twist yang besar sedangkan yang lain twist

kecil dan shear besar. Pada saat |%| ≤ 1, pengaruh dari operator shear (2.70)

menyebabkan suatu sudut shear yang lebih besar dari 45° menjadi tidak berarti.

Pembatasan ini agar diperoleh suatu solusi unik dari faktorisasi ketika shear memiliki

magnitude kurang dari satu.

Penyelesaian dari keunikkan memerlukan shear dan site gain yang ditentukan

secara unik dari tensor distorsi. Untuk menentukan faktor anisotropi suatu tensor

distorsi yang diketahui, (20’) menghasilkan

[Rñ[Gñ = a[R(²[G(²b ççè (2.79)

Jika te ≠ 1 dan c4 ≠ 0 (kasus khusus di mana te = 1 dan c4 = 0 dapat ditentukan

dengan mudah). Persamaan (3.37) memberikan solusi

p[ = .çGçè/R²(.çRçè/.çRçè/R²(.çGçè/ (2.80a)

dan

p= = [ñ (2.80b)

Terakhir, parameter g ditentukan dengan mengalikan C dengan S-1 T-1. T

inverse diperoleh saat determinannya 1+t2 dan t real. S inverse diperoleh jika e ≠±1.

38

(Kasus ini dipandang secara terpisah) Menghasilkan suatu matrik diagonal g A dan

penjumlahan dari setiap elemen menghasilkan

2Ã&′ = [[G²®;[R(®; ¸·[.1 + %&>&/ − ·=.%& + >&/ − ·.%& − >&/ + ·z.1 − >&%&/» (2.81)

dengan i=1,2.

Hanya satu dari dua solusi untuk dekomposisi tensor distorsi yang dapat

diterima secara fisis. Pembahasan ini sangat diperlukan untuk menetapkan parameter

yang digunakan (g, e, t, s) yang pada kenyataannya terdefinisi dengan baik melalui

faktorisasi yang diajukan ini.

2.12 Dekomposisi Tensor Impedansi

Jika persamaan dekomposisi (2.66) suatu tensor distorsi disubstitusikan ke

Persamaan (2.59) menghasilkan:

Ƭ = Ã Ö Û á < Æ=Ö¾ (2.82)

Jika Z’2= g A Z2, maka

Ƭ = Ö Û á Æ′=ÖÛ (2.83)

Persamaan (2.83) terdiri dari 7 parameter real, yaitu (1 dan 2) bagian real dan

imajiner dari impedansi utama mayor a (atau ekuivalen dengan resistivitas semu

mayor dan fasa), (3 dan 4) bagian real dan imajiner impedansi utama minor b (atau

ekuivalen dengan resistivitas semu minor dan fasa), (5) asimut t resistivitas semu

mayor, (6) sudut shear фe = tan-1e, dan (7) sudut twist фt = tan-1t.

Untuk menghitung parameter-parameter dari suatu tensor impedansi terukur,

secara eksplisit harus berhubungan dengan data dari perkalian dekomposisi. Datum

Zm merupakan penjumlahan koefisien dekomposisi αi, yaitu

39

Ƭ = [= .oÜ + o[Ý[ + o=Ý= + oHÝH/ (2.84)

dan

o = rr + ss (2.85a)

o[ = rs + sr (2.85b)

o= = sr − rs (2.85c)

oH = rr − ss (2.85d)

Hasil dekomposisi Persamaan (2.83) akan membentuk Persamaan-Persamaan sistem

non linier, yaitu:

o = > + %g (2.86a)

o[ = .g − %>/ cos 2t − .>g + %/ sin 2t (2.86b)

o= = − + %>g (2.86c)

oH = −.>g + %/ cos 2t − .g − %>/ sin 2t (2.86d)

dengan definisi

= ª + Ì dan g = ª − Ì (2.87)

yang merupakan penjumlahan dan pengurangan impedansi utama. Ambiguitas sudut

90° dapat diselesaikan dengan menggunakan ketentuan |ª| > |Ì|, dengan a adalah

resistivitas semu utama mayor dan t adalah asimut medan listrik yang berasosiasi

antara 0° dan 90°.

Suatu dekomposisi tensor (Persamaan 2.86) yang unik diperoleh jika model

fisis tensor impedansi tepat dan tidak terdapat noise (setelah ambiguitas untuk

ketentuan regional azimuth diselesaikan dan pembatasan shear rendah dibuat untuk

40

solusi faktorisasi C). Pada prakteknya, data eksperimen mengandung noise atau

deviasi dari model fisis tidak akan tepat sesuai dengan dekomposisi. Dalam kasus ini,

suatu solusi dari delapan Persamaan real (2.86) untuk tujuh parameter dekomposisi

harus dicapai dengan prosedur penyesuaian least-square.

2.13 Tinjauan Tensor Impedansi Bersifat Isotropi atau Anisotropi

(Swift, 1967) mendefinisikan suatu indikator 3-D, skew, yaitu

|Γ| = − e¦e; (2.88)

Γ bernilai

Γ = (dR²òdG²(ò (2.89)

Saat induksi 2-D, Persamaan (2.89) dengan skew bernilai nol dan merupakan fungsi

dari frekuensi jika terdapat distorsi. Terdapat dua kasus ekstrem yaitu jika tensor

impedansi Z2 diperoleh dari dekomposisi baru bersifat isotropis (yaitu tidak ada

pengaruh dari anisotropi distorsi dan anisotropi induktif). Maka δ = 0 dan

Γ = > = tan ó( (2.90)

Kasus kedua jika Z2 sangat anisotropi, sehingga |ª| ≫ |Ì| dan g ≈ , maka

Γ = (R²[G²( = tan.ó( + ó²/ (2.91)

Sehingga definisi sudut skew γ menjadi tan-1 Γ (catatan, hal ini berbeda dengan sudut

skew yang didefinisikan oleh LaTorraca et al., 1986 dan Eggers, 1982). Sudut skew

merupakan suatu aproksimasi dari estimasi sudut twist dan shear. Sehingga data MT

tidak diterima pada basis skew besar jika induksi 2-D alami. Dekomposisi baru yang

diajukan di atas akan mengidentifikasi situasi tersebut dan boleh atau tidaknya

menggunakan data tersebut.

41

Metode konvesional mencakup impedansi dan strike induktif dengan

meminimumkan

§rr′ §= + §ss′ §=

sebagai suatu fungsi dari sudut rotasi koordinat t’ (Swift, 1967; Sims dan Bostick,

1969). Hal ini ekuivalen dengan meminimumkan |oH.t′/|= (Spitz, 1985, Sims dan

Bostick, 1969). Sebagai suatu fungsi dari sudut rotasi koordinat terpilih t’

oH.t′/ = −.>g + %/ cos 2.t − t′/ − .g − %>/ sin 2.t − t′/ (2.92)

Meminimumkan |oH|= yang ditunjukkan oleh Persamaan (2.92) dengan fungsi dari t’

tidak akan menghasilkan strike induktif (t) sebenarnya jika terdapat distorsi. Dengan

Z2 anisotropi tinggi .g ≈ /, α3 dapat dibuat nol, sehingga

t ′ = t + 12 tanG[ £ > + %1 − %>¤ = t + 12 ê

= t + [= .ó( + ó²/ (2.93a)

Kemudian diperoleh asimut berbeda dari strike induktif dengan setengah sudut skew.

Implikasi umum dari kasus ini yaitu kesalahan asimut dari metode konvensional

berorde sama dengan sudut skew.

Untuk kasus isotropi .g ≈ 0/, α3 menjadi nol, sehingga

t ′ = t + [= tanG[ a[(b = t ± yz + [= ó( (2.93b)

jika t tidak bernilai nol.

Untuk kasus khusus anisotropi tinggi, impedansi utama diperoleh sesuai

dengan perkalian skalar dari impedansi 2-D sesungguhnya, a(ω) dan b(ω), di mana Ì.B/ ≪ ª.B/. Gunakan suatu tensor impedansi dari Persamaan (2.83) dalam proses

42

dekomposisi konvensional (Swift) dengan sedikit manipulasi aljabar di mana

impedansi a’ dan b’ diperoleh dengan metode konvensional yaitu

ª′.B/ ≈ ª.B/ h.[G²(/.[Rçõñ ì/R.²R(/ñ&½ ì= i (2.94a)

Ì′.B/ ≈ ª.B/ h.[G²(/.[Gçõñ ì/G.²R(/ñ&½ ì= i (2.94b)

Dengan demikian diperoleh impedansi mayor secara tepat dengan suatu faktor

penskalaan yang tidak bergantung frekuensi jika model benar. Impedansi utama

minor tidak diperoleh secara tepat seluruhnya namun nilainya ditentukan oleh

impedansi utama mayor dikalikan dengan faktor penskalaan.

Instruksi lain kasus khusus yaitu distorsi lemah (e, t dan s seluruhnya kurang

dari satu-satuan) pada suatu regional bumi isotropi. Pada kasus ini , bentuk kedua dan

ketiga dari e, t dan δ/σ dapat diabaikan, sehingga aproksimasi Persamaan (3.44)

menjadi

o ≈ > (2.95a)

o[ ≈ g cos 2t − % sin 2t (2.95b)

o= ≈ − (2.95c)

oH ≈ −% cos 2t − g sin 2t (2.95d)

Jika shear e nol, |oH.t′/|=diminimisasi dengan t ′ = t, dan metode

konvensional akan memperoleh strike induktif yang benar. Metode konvensional

memperoleh impedansi utama yang benar dalam kasus ini (kecuali pergeseran statis).

Skew (α0/α2) bergantung pada twist dan sebagian pada shear, sedangkan shear

merupakan parameter penting dalam penentuan validitas metode konvensional.

Metode konvensional memberikan hasil yang tepat ketika skew tidak nol, dan tidak

tepat saat skew nol (t=0) jika shear tidak nol.

43

2.14 Distorsi 2-D atau Distorsi Kuat

(Zhang et al., 1987) telah menerapkan ide fisis yang sama seperi (Bahr, 1988)

untuk kasus khusus di mana struktur distorsi 2-D alami. Untuk perbandingan, kita

menguji kasus distorsi kuat (bukan 2-D) dengan dekomposisi yang diajukan disini.

Dengan menganggap pengaruh tensor T S pada medan listrik regional dihasilkan oleh

Z2 h. Jika distorsi kuat (|%| mendekati satu), S sangat mempolarisasi medan listrik

sepanjang asimut π/4 terhadap sistem koordinat induktif utama (atau –π/4 jika shear

negatif). Tensor twist T kemudian merotasi polarisasi sumbu ini dengan sudut twist.

Arah polarisasi medan listrik kuat dari koordinat pengukuran azimut akhir adalah

tö = t + ó( ± yz (2.96)

dengan tanda dipilih sesuai dengan shear. tö didefinisikan sebagai arah distorsi atau

strike lokal; arah tersebut akan tegak lurus struktur distorsi kuat. Distorsi strike dapat

digunakan sebagai parameter dekomposisi pada twist, yang berisi seluruh informasi

mengenai twist dan menggambarkan secara langsung struktur distorsi. Hasil di atas

(Persamaan 2.96) dapat diturunkan untuk distorsi 2-D menggunakan hasil dari

(Zhang et al., 1987) untuk bentuk tensor distorsi 2-D (memiliki 3 parameter bebas

dan simetris) dan suatu kondisi distorsi kuat .|%| ≈ 1/.

2.15 Indikator Induksi 3-D

Asumsi distorsi 3-D yang bekerja pada induksi 2-D tidak dapat diterapkan

pada seluruh kasus, tetapi hanya berlaku pada kasus ini. Terdapat dua cara di mana

deviasi dari model distorsi ideal dapat dideteksi. Model distorsi menuntun ke suatu

dekomposisi hanya dengan tujuh parameter real, oleh karena itu tidak sesuai dengan

tensor impedansi yang mungkin, di mana diperlukan delapan parameter untuk

44

menggambarkannya. Akar rata-rata kesalahan relatif penyesuaian ÷ dekomposisi

yaitu

÷= = ∑ ∑ §ù®¯Gù®¯§;;ú;®ú∑ ∑ §ù®¯§;;ú;®ú (2.97)

Dengan Zij dan û&¨ merupakan elemen tensor terukur dan termodelkan. Parameter

error harus lebih kecil dari satu. Parameter tersebut dapat dihitung pada setiap

frekuensi dan kemudian dapat digunakan untuk menetapkan rentang frekuensi di

mana model distorsi ideal secara signifikan terdapat error. Nilai estimasi ÷ tidak nol

jika data error diperhitungkan. Suatu uji chi-square konvensional dengan satu derajat

kebebasan digunakan untuk menilai signifikansi jika error Z diasumsikan terdistribusi

normal. Hal ini tidak hanya digunakan untuk menilai validitas model, (Bahr, 1988)

telah menetapkan perbedaan pengukuran deviasi dari model ini.

Cara kedua untuk memperkirakan deviasi dari model ideal dengan menguji

kebergantungan frekuensi dari parameter distorsi. Jika model distorsi ideal

merupakan model yang realistik pada suatu rentang frekuensi, parameter ini akan

teraproksimasi tidak bergantung frekuensi. Suatu struktur yang berperilaku sebagai

bagian struktur regional induktif pada frekuensi tinggi mungkin berperilaku sebagai

suatu struktur distorsi tidak bergantung frekuensi pada banyak frekuensi rendah.