bab ii landasan teori - eprints.unisnu.ac.ideprints.unisnu.ac.id/1552/3/bab ii.pdf · bab ii...
TRANSCRIPT
6
BAB II
LANDASAN TEORI
2.1 Optimalisasi
Optimalisasi adalah serangkaian proses untuk mendapatkan gugus kondisi
yang diperlukan untuk mendapatkan hasil terbaik dalam situasi tertentu.
Berdasarkan pendekatan normatif dapat diketahui bahwa optimasi mengindikasi
penyelesaian terbaik suatu masalah yang disarankan pada tujuan maksimasi atau
minimasi melalui fungsi tujuan (Nasendi dan Anwar, 2005).
Optimalisasi merupakan persoalan menentukan nilai variabel-variabel
suatu fungsi menjadi maksimum atau minimum dengan memperhatikan
keterbatasan-keterbatasan yang ada. Keterbatasanbiasanya meliputi semua faktor
produksi yang digunakan dalam proses produksi seperti tenaga kerja, uang dan
material yang merupakan input dari suatu waktu dan uang.
2.2 Produksi
Produksi adalah suatu proses pengubahan bahan baku menjadi produk jadi.
Produk yang dihasilkan bisa berupa barang yaitu benda yang berwujud atau
benda yang tidak berwujud sehingga produk yang dihasilkan dapat diterima dan
dinikmati oleh konsumen.
Produksi merupakan penciptaan atau penambahan faedah bentuk, waktu
dan tempat atas faktor-faktor produksi sehingga lebih bermanfaat bagi
pemenuhan kebutuhan manusia. Proses transformasi atau perubahan bentuk,
faktor-faktor produksi tersebut disebut proses produksi.
7
Produksi adalah pengubahan bahan-bahan dari sumber-sumber menjadi
hasil yang diinginkan oleh konsumen, hasil itu dapat berupa barang ataupun jasa.
Dengan demikian produksi merupakan konsep yang lebih luas dari pada
manufaktur (pengolahan), karena pengolahan hanyalah sebagai ”bentuk khusus”
dari produksi. Jadi dengan demikian pedagang besar, pengecer, dan lembaga-
lembaga yang meyediakan jasa juga berkepentingan dengan produksi (Daryanto,
2012: 41).
Istilah “produksi” sering berkaitan dengan istilah “produktivitas” namun
bukan berarti produktivitas merupakan fasilitas yang aktif. Produktivitas adalah
sebuah konsep yang menggambarkan hubungan antara hasil (jumlah barang atau
jasa yang diproduksi) dengan sumber (jumlah tenaga kerja, modal, tanah, energi,
dan sebagainya) untuk meghasilkan hasil tersebut.
2.3 Program Linier
Program linear merupakan teknik aplikasi dari matematika yang disusun
oleh George B. Dantzig di tahun 1947 pada saat memimpin Air Force Statistical
control’s Combat Analysis Branch di Pentagon. Pada saat Dantzig menganalisis
masalah perencanaan air force, dia menyadari dapat merumuskan sistem
ketidaksamaan linear, hal diatas merupakan awal pemberian nama untuk teknik
“program dalam struktur linear”, yang belakangan disederhanakan menjadi
program linear.
Menurut Sri Mulyono (2004) Program linear (Linear Programming yang
disingkat LP) merupakan salah satu teknik Operating Research yang digunakan
paling luas dan diketahui dengan baik. Program Linear merupakan metode
8
matematika dalam mengalokasikan sumber daya yang langka untuk mencapai
tujuan.
Definisi sederhana program linear adalah suatu teknik aplikasi matematika
dalam menentukan pemecahan masalah yang bertujuan untuk memaksimumkan
atau meminimumkan sesuatu yang dibatasi olehbatasan-batasan tertentu, dimana
hal ini dikenal juga sebagai teknik optmalisasi (Sukanto Reksohadiprodjo dan
Indriyo Gitosudarmo, 2009).
Berdasarkan definisi tersebut diatas, maka dalam program linear akan
melibatkan model yang mendeskripsikan tujuan dan model yang yang
mendeskripsikan batasan-batasannya. Adapun model yang dimaksud adalah
suatu fungsi yang berderajat satu, yaitu fungsi linear.
Terdapat karakteristik-karakteristik yang biasa digunakan dalam persoalan
program linear, yaitu (Tjutju Tarliah Dimyati dan Ahmad Dimyati, 1992:18-20):
1. Variabel keputusan
Variabel keputusan adalah variabel yang menguraikan secara lengkap
keputusan-keputusan yang akan dibuat.
2. Fungsi tujuan
Fungsi tujuan merupakan fungsi dari variabel keputusan yang akan
dimaksimumkan (untuk pendapatan atau keuntungan)atau
diminimumkan (untuk ongkos).
3. Pembatas atau fungsi kendala
Pembatas merupakan kendala yang dihadapi sehingga kita tidak bisa
menentukan harga-harga variabel keputusan secara sembarang.
9
4. Pembatas tanda
Pembatas tanda adalah pembatas yang menjelaskan apakah variabel
keputusannya diasumsikan hanya berharga nonnegatif atau variabel
keputusan tersebut boleh berharga positif, juga negatif (tidak terbatas
dalam tanda).
Secara umum menurut Sri Mulyono (2004) untuk menyelesaikan
pemrograman linier akan digunakan karasteristik-karasteristik sebagai berikut:
1. Variabel Keputusan (decision variables)
Variabel keputusan adalah variabel persoalan yang akan
mempengaruhi nilai tujuan yang akan dicapai. Maka dalam proses
pemodelan, penemuan variabel keputusan tersebut harus dilakukan
terlebih dahulu sebelum merumuskan fungsi tujuan dan kendala-
kendalanya.
2. Fungsi Tujuan (objective function)
Menyelesaikan model pemrograman linier, tujuan yang harus dicapai
harus diwujudkan ke dalam sebuah fungsi matematika linier yaitu,
fungsi tersebut dimaksimumkan atau diminimumkan terhadap
kendala-kendala yang ada.
3. Fungsi Kendala (constrains)
Fungsi pembatas atau sering disebut juga sebagai fungsi kendala.
Fungsi ini merupakan bentuk penyajian secara matematis pembatasan-
pembatasan kapasitas yang tersedia yang akan dialokasikan secara
10
optimal keberbagai kegiatan. Fungsi batasan juga merupakan
hubungan linier dari variabel-variabel keputusan, yang menunjukan
keterbatasan sumber daya atau pedoman yang dimiliki.
4. Pembentukan Model Matematika
Model matematika merupakan representasi kuantitatif tujuan dan
sumber daya yang membatasi sebagai fungsi variabel keputusan.
Model matematika permasalahan optimasi terdiri dari dua bagian
model, yaitu fungsi tujuan dan fungsi kendala/sumber daya yang
membatasi.
Data mengenai alokasi sumber daya sebuah proses produksi dapat
disajikan dalam bentuk tabel guna mempermudah dalam pembentukan model
matematikanya, seperti disajikan dalam Tabel 2.1 berikut ini :
Tabel 2.1 Data yang dibutuhkan untuk Model Pemrograman Linier
Meliputi Alokasi Sumber Daya untuk Aktivitas
Sumber Daya
Penggunaan Perunit Variabel
Keputusan Jumlah tiap
Sumber Daya
yang tersedia
Produksi (Aktivitas)
1 2 3 ... N
1 a11 a12 a13 ... a1n b1
2 a21 a22 a23 ... a2n b2
... ... ... ... ... ... ...
M am1 am2 am3 ... Amn Bm
Kontribusi Perunit
Variabel terhadap
Z c1 c2 c3 ... Cn
Sumber data:Jumarin, 2012.
11
Secara umum, model linear programming dapat dinyatakan sebagai
berikut:
1. Fungsi Tujuan
Memakasimumkan atau meminimumkan :
Z =c1x1 + c2x2 + ... + cnxn
2. Memenuhi syarat kendala :
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn(=, ≤, ≥) b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn(=, ≤, ≥)b2
…
am1x1 + am2x2 + … + amnxn(=, ≤, ≥)bm
x1, x2, …, xn ≥ 0
Fungsi pembatas bisa berbentuk persamaan (=) atau pertidaksamaan (≤
atau ≥).
Fungsi pembatas disebut juga sebagai konstrain. Konstanta (baik
sebagai koefisien maupun nilai kanan) dalam fungsi pembatas maupun
pada tujuan dikatakan sebagai parameter model.
Simbol x1, x2, ..., xn (xi) menunjukkan variabel keputusan. Jumlah
variabel keputusan (xi) oleh karenanya tergantung dari jumlah kegiatan
atau aktivitas yang dilakukan untuk mencapai tujuan. Simbol
c1,c2,...,cn merupakan kontribusi masing-masing variabel keputusan
terhadap tujuan, disebut juga koefisien fungsi tujuan pada
modelmatematiknya.Simbol a11, ...,a1n,...,amn merupakan penggunaan
per unit variabel keputusan akan sumber daya yang
12
membatasi, atau disebut juga sebagai koefisien fungsi kendala pada
model matematiknya.
Simbol b1,b2,...,bm menunjukkan jumlah masing-masing sumber daya
yang ada. Jumlah fungsi kendala akan tergantung dari banyaknya
sumber daya yang terbatas.Pertidaksamaan terakhir (x1, x2, …, xn≥ 0)
menunjukkan batasan non negatif (Wahyuni, 2008:124-125).
Asumsi dasar yang menjadi ciri khas dari model linear programming
menurut(Tjutju Tarliah Dimyati dan Ahmad Dimyati, 1992:26-27) adalah :
1. Asumsi kesebandingan (proportionality)
a. Konstribusi setiap variabel keputusan terhadap fungsi tujuan adalah
sebanding dengan nilai variabel keputusan.
b. Kontribusi suatu variabel keputusan terhadap ruas kiri dari setiap
pembatas juga sebanding dengan nilai variabel keputusan itu.
2. Asumsi penambahan (additivity)
a. Konstribusi setiap variabel keputusan terhadap fungsi tujuan
bersifat tidak bergantung pada nilai dari variabel keputusan yang
lain.
b. Kontribusi suatu variabel keputusan terhadap ruas kiri dari setiap
pembatas bersifat tidak bergantung pada nilai dari variabel
keputusan yang lain.
3. Asumsi pembagian (divisibility)
Dalam persoalan linear programming, variabel keputusan boleh
diasumsikan berupa bilangan pecahan.
13
4. Asumsi kepastian (certainty/deterministic)
Setiap parameter, yaitu koefesien fungsu tujuan, ruas kanan, dan
koefesien teknologis, diasumsikan dapat diketahui secara pasti.
2.4 Metode Simpleks
2.4.1. Pengertian Metode Simpleks
Metode simpleks pertama kali diperkenalkan oleh George B. Dantzig
pada tahun 1947 dan telah diperbaiki oleh para ahli lain. Metode ini
menyelesaikan masalah program linear melalui perhitungan-ulang (iterasi)
dimana langkah-langkah perhitungan yang sama diulang berkali-kali sampai
solusi optimal dicapai.
Metode Simpleks merupakan suatu algoritma yang digunakan untuk
pemecahan berbagai masalah linier rogramming (LP). Pemecahan masalah
dengan menggunakan metode ini sangat mengguntungkan bagi pengguna karena
tidak hanya fungsi tujuan dan nilai optimum dari variable dapat kita ketahui tapi
kita juga dapat memberikan interpretasi ekonomi dan melakukan analisis
sensitivitas. Metode simplex lebih efisien serta dilengkapi dengan suatu “test
criteria” yang bisa memberitahukan kapan hitungan harus dihentikan dan kapan
harus dilanjutkan sampai diperoleh suatu “optimal solution” (maximum profit,
maximum revenue, minimum cost, etc). Pada umumnya dipergunakan table-
tabel, dari table pertama yang memberikan pemecahan terakhir yang
memberikan pemecahan dasar permulaan yang fisibel (initial basic feasible
solution) sampai pada pemecahan terakhir yang memberikan optimal solution.
Yang lebih menarik ialah bahwa semua informasi yang diperlukan (test criteria,
14
nilai variabel-variabel, nilai fungsi tujuan) akan terdapat pada setiap tabel, selain
daripada itu nilai fungsi tujuan dari suatu tabel akan lebih besar/kecil atau sama
dengan tabel sebelumnya (Harsuko Riniwati, 2015).
Metode simpleks (sering disebut dengan algoritma simpleks) adalah
prosedur matematika berulang untuk menyelesaikan soal pemrograman linier
dengan cara menguji titik sudut daerah yang memenuhi kendala-kendala
sehingga ditemukan sudut ektrim yaitu titik sudut yang akan memaksimumkan
atau meminimumkan fungsi tujuan (Siswanto, 2007).
Metode simpleks adalah suatu prosedur ulang yang bergerak dari satu
jawab layak basis ke jawab berikutnya sedemikian rupa sehingga harga fungsi
tujuan terus menaik (dalam permasalahan maksimisasi). Proses ini akan
berkelanjutan sampai dicapainya jawab optimal (jika ada) yang memberi harga
maksimum (P. Siagian, 2006:85).
Metode simpleks digunakan untuk memecahkan masalah pada
pemrograman linier yang terdiri dari tiga variabel atau lebih, sehingga tidak bisa
diselesaikan dengan menggunakan metode grafik karena terlalu rumit
untukdiselesaikan. Pengertian metode simpleks menurut Heizer Jay dan Rander
Barry (2005 : 674) (Tri Harjiyanto,2004) mengemukakan bahwa : “The simplex
method is actually an algorithm (or a set of instructions) with wich we examine
corner point in a methodical fashion until we arrive at the best solution highest
profit or lowest cost”. Artinya : “Metode simpleks merupakan suatu algoritma
(atau serangkaian perintah) yang digunakan untuk menguji titik sudut dalam
suatu cara tertentu sehingga sampai pada solusi terbaik dengan keuntungan yang
15
paling tinggi atau biaya yang paling rendah”.
Ada beberapa hal yang harus diperhatikan bahwa kendala yang terdapat
dalam fungsi kendala model program linear dapat dibedakan dengan tanda
hubungan matematis berupa :
1. Fungsi kendala dengan pertidaksamaan ≤ dalam bentuk umum, diubah
menjadi persamaan (=) dengan menambahkan satu variabel slack.
2. Fungsi kendala dengan pertidaksamaan ≥ dalam bentuk umum, diubah
menjadi persamaan (=) dengan mengurangkan satu variabel surplus.
3. Fungsi kendala dengan persamaan dalam bentuk umum, ditambahkan
satuartificial variabel (variabel buatan).
2.4.2. Penyelesaian dengan Metode Simpleks
Langkah-langkah penyelesaian dengan metode simpleks adalah sebagai
berikut (P. Siagian, 2006) :
1. Mengubah fungsi tujuan dan batasan
Semua fungsi tujuan dan batasan diubah ke bentuk persamaan
(standar),dengan cara fungsi tujuan diubah menjadi fungsi implisit, yaitu
fungsi tujuan digeser ke kiri dan menambah variabel penolong (slack) pada
fungsi kendala.
Contoh :
Z = 3X1 + 5X2 diubah menjadi Z - 3X1 - 5X2= 0
Pada bentuk standar, semua batasan mempunyai tanda ≤. Ketidaksamaan
ini harus diubah menjadi kesamaan. Caranya dengan menambah slack
variable. Variable slack ini adalah Xn+1, Xn+2, ....Xn+m. Karena tingkat
16
atau hasil kegiatan-kegiatan yang ada di awali oleh X1 dan X2, maka
variable slack dimulai dari X3, X4 dan seterusnya.
2X1 ≤ 8 menjadi 2X1 + X3 = 8
3X2 ≤ 15 menjadi 3X2 + X4 = 15
6X1 + 5X2 ≤ 15 menjadi 6X1 + 5X2 + X5 = 30
Berdasarkan perubahan persamaan-persamaan di atas dapat disusun
formulasi yang diubah, sebagai berikut :
Fungsi tujuan : Maksimumkan Z - 3X1 - 5X2
Batasan-batasan : 2X1 + x3 = 8
3X2 + x4 = 15
6X1 + 5x2 + x5 = 30
2. Menyusun persamaan-persamaan ke dalam tabel simpleks
Setelah formulasi diubah kemudian disusun ke dalam tabel, dalam bentuk
simbol seperti tampak pada tabel 2.2, sedangkan untuk contoh seperti
terlihat pada tabel 2.3.
Tabel 2.2 Simpleks Dalam Bentuk Simbol
Var. Dasar Z X1 X2 ..... Xn S1 S2 ..... Sn NK
Z 1 0 0 ..... -Cn 0 0 0 0 0
Xn+1 0 a11 a12 ..... a1n 1 0 0 0 b1
Xn+2 0 a21 a22 ..... a2n 0 1 0 0 b2
..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .....
Xn+m 0 am1 am2 ..... amn 0 0 0 1 bm
Sumber data : P.siagian, 2006.
17
NK adalah nilai kanan persamaan, yaitu nilai di belakang tanda sama
dengan. Untuk batasan 1 sebesar 8, batasan 2 sebesar 15, dan batasan 3
sebesar 30.
Tabel 2.3 Tabel Simpleks untuk Contoh Kasus
Variabel dasar Z X1 X2 X3 X4 X5 NK
Z 1 -3 -5 0 0 0 0
X3 0 2 0 1 0 0 8
X4 0 0 3 0 1 0 15
X5 0 6 5 0 0 1 30
Sumber:Tjutju Tarliah Dimyati-Ahmad Dimyati, 1992.
Setelah data disusun di dalam tabel kemudian diadakan perubahan-
perubahan agar dapat mencapai titik optimal dengan langkah selanjutnya.
3. Memilih kolom kunci
Caranya dengan memilih kolom yang mempunyai nilai pada garis
fungsitujuan yang bernilai negatif dengan angka terbesar. Dalam hal ini
kolom X2 dengan nilai pada baris persamaan tujuan -5.
Tabel 2.4 Tabel Pemilihan Kolom Kunci
Variabel dasar Z X1 X2 X3 X4 X5 NK
Z 1 -3 -5 0 0 0 0
X3 0 2 0 1 0 0 8
X4 0 0 3 0 1 0 15
X5 0 6 5 0 0 1 30
Sumber:Tjutju Tarliah Dimyati-Ahmad Dimyati, 1992.
18
4. Memilih baris kunci
Pilih baris yang mempunyai limit ratio (indeks) dengan angka positif
terkecil.
𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡 𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜(𝑖𝑛𝑑𝑒𝑘𝑠) =𝑁𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑘𝑜𝑙𝑜𝑚 𝑁𝐾
𝑁𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑘𝑜𝑙𝑜𝑚 𝑘𝑢𝑛𝑐𝑖
Untuk baris batasan 1 besarnya indeks 8/0 = ~ , baris batasan 2 sebesar
15/3 = 5 dan baris batasan 3 sebesar 30/5 = 6. Dalam hal ini baris yang
mempunyai indeks positif dengan anngka terkecil adalah batasan ke-2.
Nilai yang masuk dalam kolom kunci dan juga termasuk dalam baris
kunci disebut anngka kunci.
Tabel 2.5 Cara Memilih Baris Kunci
Variabel dasar Z X1 X2 X3 X4 X5 NK
Z 1 -3 -5 0 0 0 0
X3 0 2 0 1 0 0 8
X4 0 0 3 0 1 0 15
X5 0 6 5 0 0 1 30
Sumber:Tjutju Tarliah Dimyati-Ahmad Dimyati, 1992.
5. Mengubah nilai-nilai baris kunci
Nilai baris kunci diubah dengan cara membaginya dengan angka kunci.
Baris baru kunci = baris kunci : angka kunci
Seperti terlihat pada tabel 2.6 dibawah ini (0/3 = 0, 3/3 = 1, 0/3 = 0, 1/3
=1/3, 0/3 = 0, 15/3 = 5. Gantilah variabel dasar pada baris itu dengan
variabel yang terdapat di bagian atas kolom kunci (X2).
19
Tabel 2.6 Cara Mengubah Nilai-Nilai Baris Kunci
Variabel dasar Z X1 X2 X3 X4 X5 NK
Z 1 -3 -5 0 0 0 0
X3 0 2 0 1 0 0 8
X4 0 0 3 0 1 0 15
X5 0 6 5 0 0 1 30
Variabel dasar Z X1 X2 X3 X4 X5 NK
Z 1
X3 0
X2 0 0 1 0 1/3 0 5
X5 0
Sumber:Tjutju Tarliah Dimyati-Ahmad Dimyati, 1992.
6. Mengubah nilai-nilai selain pada baris kunci sehingga nilai-nilai kolom
kunci(selainbaris kunci) = 0
Untuk mengubahnya menggunakan rumus :
Baris baru = baris lama – (koefisien per kolom kunci) nilai bari baris
kunci.
Untuk contoh kasus di atas, nilai baru baris pertama (Z) adalah :
-3 -5 0 0 0, 0
-5 0 1 0 1/3 0, 5
Nilai baru -3 0 0 5/3 0, 25
Baris ke-2 (batasan 1)
2 0 1 0 0, 8
0 0 1 0 1/3 0, 5
Nilai baru 2 0 1 0 0, 8
Baris ke-4 (batasan 3)
6 5 0 0 1, 30
5 0 1 0 0/3 0, 5
Nilai baru 6 0 0 -5/3 1, 5
20
Nilai-nilai baru tersebut dipakai untuk melengkapi isi tabel 2.6 bagian
bawah, dan hasilnya dapat dilihat pada tabel 2.7.
Tabel 2.7 Tabel Pertama Nilai Lama Dan Tabel Kedua Nilai Baru
Variabel dasar Z X1 X2 X3 X4 X5 NK
Z 1 -3 -5 0 0 0 0
X3 0 2 0 1 0 0 8
X4 0 0 3 0 1 0 15
X5 0 6 5 0 0 1 30
Z 1 -3 0 0 5/3 0, 25
X3 0 2 0 1 0 0, 8
X2 0 0 1 0 1/3 0 5
X5 0 6 0 0 -5/3 1 5
Sumber:Tjutju Tarliah Dimyati-Ahmad Dimyati, 1992.
7. Melanjutkan perbaikan-perbaikan atau perubahan-perubahan.
Ulangi langkah 3 - 6, sampai semua nilai pada fungsi tujuan bernilai
positif.
2.4.3. Istilah-Istilah dalam Metode Simpleks
Beberapa Istilah yang digunakan dalam metode simpleks penjelasannya
diantaranya sebagai berikut:
1. Iterasi
Tahapan perhitungan dimana nilai dalam perhitungan itu tergantung dari
nilai tabel sebelumnya.
2. Variabel non basis
Variabel yang nilainya diatur menjadi nol pada sembarang iterasi. Dalam
terminologi umum, jumlah variabel non basis selalu sama dengan derajat
bebas dalam sistem persamaan.
21
3. Variabel basis
Variabel yang nilainya bukan nol pada sembarang iterasi. Pada solusi
awal,variabel basis merupakan variabel slack (jika fungsi kendala
menggunakanpertidaksamaan <) atau variabel buatan (jika fungsi
kendala menggunakanpertidaksamaan > atau =). Secara umum, jumlah
variabel batas selalu samadengan jumlah fungsi pembatas (tanpa fungsi
non negatif).
4. Solusi atau Nilai Kanan (NK)
Nilai sumber daya pembatas yang masih tersedia. Pada solusi awal, nilai
kananatau solusi sama dengan jumlah sumber daya pembatas awal yang
ada, karenaaktivitas belum dilaksanakan.
5. Variabel Slack
Variabel yang ditambahkan ke model matematik kendala untuk
mengkonversikan pertidaksamaan < menjadi persamaan (=).
Penambahan variabel ini terjadi padatahap inisialisasi. Pada solusi awal,
variabel slack akan berfungsi sebagai variabelbasis.
6. Variabel Surplus
Variabel yang dikurangkan dari model matematik kendala
untukmengkonversikan pertidaksamaan > menjadi persamaan (=).
Penambahan variabelini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal,
variabel surplus tidak dapatberfungsi sebagai variabel bebas.
22
7. Variabel Buatan
Variabel yang ditambahkan ke model matematik kendala dengan bentuk
> atau = untuk difungsikan sebagai variabel basis awal. Penambahan
variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Variabel ini harus bernilai 0
pada solusi optimal, karena kenyataannya variabel ini tidak ada. Variabel
ini hanya ada di atas kertas.
8. Kolom Pivot (Kolom Kerja)
Kolom yang memuat variabel masuk. Koefisien pada kolom ini akan
menjadi pembagi nilai kanan untuk menentukan baris pivot (baris kerja).
9. Baris Pivot (Baris Kerja)
Salah satu baris dari antara variabel baris yang memuat variabel keluar.
10. Elemen Pivot (Elemen Kerja)
Elemen yang terletak pada perpotongan kolom dan baris pivot. Elemen
pivot akan menjadi dasar perhitungan untuk tabel simpleks berikutnya.
11. Variabel Masuk
Variabel yang terpilih untuk menjadi variabel basis pada iterasi
berikutnya.Variabel masuk dipilih satu dari antara variabel non basis
pada setiap iterasi. Variabel ini pada iterasi berikutnya bernilai positif.
12. Variabel Keluar
Variabel yang keluar dari variabel basis pada iterasi berikutnya dan
digantikan dengan variabel masuk. Variabel keluar dipilih satu dari
antara variabel basis pada setiap iterasi dan bernilai 0.
23
2.5 Analisis Dual
Analisa dual dilakukan untuk mengetahui penilaian terhadap sumberdaya
yang ada dan menilai keputusan proses produksi dengan melihat kekurangan
(slack) atau kelebihan (surplus) dan nilai dualnya. Nilai dual menunjukkan
perubahan yang akan terjadi pada fungsi tujuan apabila sumberdaya berubah
sebesar satu satuan. Dual value menunjukkan bahwa penambahan satu satuan
sumberdaya akan meningkatkan nilai fungsi tujuan sebesar nilai dual valuenya.
Variabel slack akan berhubungan dengan batasan dan mewakili jumlah
kelebihan sisi kanan dari batasan tersebut dibandingkan sisi kiri. Sedangkan,
variabel surplus merupakan batasan kelebihan sisi kiri dibandingkan sisi kanan
(Liya Asrina dan Migunani, 2013).
Nilai slack atau surplus menunjukkan status sumber daya yang digunakan
apakah sumber daya berlebih atau berkurang.Apabila nilai slack atau surplus
lebih besar dari nol dan nilai dualnya sama dengan nol, maka sumberdaya
tersebut dikategorikan sebagai sumberdaya yang sifatnya berlebih atau tidak
menjadi kendala. Sumber daya yang temasuk dalam kendala bukan pembatas,
yaitu kendala yang tidak habis dipakai dalam proses produksi serta tidak
mempengaruhi fungsi tujuan jika terjadi penambahan sebesar satu satuan.
Apabila nilai slack atau surplus dan nilai dualnya sama dengan nol maka artinya
penambahan atau pengurangan semberdaya tidak akan berpengaruh terhadap
nilai solusi optimalnya.
24
2.6 Analisa Sensitivitas
Analisis sensitivitas merupakan analisa yang berkaitan dengan perubahan
parameter untuk melihat berapa besar perubahan dapat ditolerir sebelum solusi
optimal mulai kehilangan optimalitasnya. Jika suatu perubahan kecil dalam
parameter menyebabkan perubahan drastis dalam solusi, maka dikatakan bahwa
solusi adalah sensitif terhadap nilai parameter itu. Sebaliknya jika perubahan
parameter tidak mempunyai pengaruh besar terhadap solusi maka dapat
dikatakan solusi relatif intensif terhadap nilai parameter tersebut. Melalui
analisis sensitivitas dapat dievaluasi pengaruh perubahan-perubahan parameter
dengan sedikit tambahan perhitungan berdasarkan tabel simpleks optimum
(Taha,2007:77).
Dalam analisis sensitivitas, perubahan-perubahan parameter
dikelompokkan menjadi:
1. Perubahan koefisien fungsi tujuan untuk variabel non basis
2. Perubahan koefisien fungsi tujuan untuk variabel basis
3. Perubahan pada ruas kanan suatu pembatas
4. Perubahan kolom untuk suatu variabel non basis
5. Penambahan suatu variabel atau aktivitas baru
6. Penambahan suatu pembatas baru
Analisis sensitivitas diperlukan untuk mengetahui sejauh mana pengaruh
perubahan pada dua parameter input dalam program linier yaitu nilai fungsi
tujuan atau keuntungan maksimum dan ketersediaan sumberdaya. Perubahaan
nilai koefisian fungsi tujuan jika masih dalam batas perubahan akan menjamin
25
tidak adanya perubahan pada solusi optimal, dengan kata lain tingkat produksi
untuk X1,X2..Xn tetap sama namun keuntungan maksimumnya yang berubah.
Perubahan nilai ketersediaan sumberdaya dalam batas perubahan akan menjamin
tidak adanya perubahan pada nilai dual price dari kendala, namun nilai tingkat
produksi dan keuntungan dapat berubah.
Analisi sensitivas merupakan analisis untuk mengetahui akibat atau
pengaruh dari perubahan yang terjadi pada parameter-parameter linier
programming terhadap solusi optimal yang telah dicapai. Untuk lebih
memahami perhatikan contoh di bawah ini :
Z = 60 X1 + 30 X2 + 20 X3
Berdasarkan : 8𝑋1 + 6 𝑋2 + 𝑋3 ≤ 48
4X1 + 2 X2 + 1,5 X3 ≤ 20
2𝑋1 + 1,5 𝑋2 + 0,5 𝑋3 ≤ 8
X1, X2, X3 ≥ 0
Tabel 2.8 Hasil dari Tabel Optimal
BV Z X1 X2 X3 S1 S2 S3 Solusi
Z 1 0 5 0 0 10 0 280
S1 0 0 -2 0 1 2 -8 24
X3 0 0 -2 1 0 2 -4 8
X1 0 1 1,25 0 0 -0,5 1,5 2
Sumber:Tjutju Tarliah Dimyati-Ahmad Dimyati, 1992.
Dari tabel diatas dapat di artikan sebagai berikut :
BV = {S1, x3, x1}; NBV = {x2, S2, S3}
𝑋𝐵𝑉 = 𝑆1𝑋3𝑋1
; 𝑋𝑁𝐵𝑉𝑋2𝑆2𝑆3
Yang merupakan m x 1
26
1. Perubahan koefesien fungsi tujuan untuk variabel nonbasis
Pada contoh di atas , satu-satunya variabel keputusan nonbasis adalah X2,
koefisien X2 adalah C2 = 30. Jika C2 berubah, bagaimana pengaruhnya
terhadap solusi optimal, harga-harga C2 manakah yang menyebabkan BV
= {S1, X3, X1} tetap optimal. Perubahan C2 dari 30 menjadi (30 + ∆)
tidak mengubah harga B-1
dan b. Karena itu, ruas kanan untuk BV, yaitu
B-1
b,tidak akan berubah sehingga BV tetap fisibel. Karena C2 adalah
variabel nonbasis, maka CBV juga tidak akan berubah. Dengan
demikian, BV akan tetap optimal jika ^C2 ≥ 0, dan BV akan menjadi sub
optimal jika ^C2 ≤ 0. Harga z mungkin dapat diperbaiki dengan
memasukkan X2 ke dalam basis.
CBV B-1
= [ 0 20 60 ] 1 2 −80 2 −40 −0,5 1,5
= [ 0 10 10 ]
Sehingga ^C2 = [ 0 10 10 ] 62
1,5 - ( 30 + ∆) = 35 – 30 - ∆ = 5 - ∆
Agar ^C2 ≥ 0 dan BV tetap optimal, maka (5 - ∆) harus ≥ 0 atau ∆ ≤ 5.
Sebaliknya jika harga ^C2 akan < 0 jika ∆ >5 sehingga BV tidak lagi
optimal. Artinya, jika harga C2 naik atau turun sebesar 5 atau kurang,
maka BV akan tetap optimal, tetapi jika naik atau turunnya lebih besar
dari 5 maka BV tidak lagi optimal.
27
2. Perubahan koefisien fungsi tujuan untuk variabel basis.
Misalkan C1 berubah dari 60 menjadi (60 + ∆). Maka CBV yang baru
adalah [ 0 20 (60 + ∆) ] sehingga:
CBVB-1 = [ 0 20 (60 + ∆) ] 1 2 −80 2 −40 −0,5 1,5
= [ 0 10 -0,5 10 + 1,5 ∆ ]
Sehingga koefisien baris 0 menjadi:
a. ^C2 = CBVB-1
a2 – c2
= [ 0 10 -0,5∆ 10 + 1,5 ∆ ] 62
1,5 − 30 = 5 + 1,25∆
b. Koefisien S2 = elemen kedua dari CBV B-1
= 10 – 0,5∆
c. Koefisien S3 = elemen ketiga dari CBV B-1
= 10 + 0,5∆
Dengan demikin, BV akan tetap optimal jika :
5 + 1,25∆ ≥ 0 atau ∆ > -4
10 – 0,5∆ ≥ 0 atau ∆ < 20
20 + 1,5∆ ≥ 0 atau ∆ > - 20/3
3. Perubahan pada ruas kanan pembatas
Jika perubahan pada ruas kanan menyebabkan paling sedikit ada satu
ruas kanan pada tabel optimal yang menjadi beharga negatif, maka solusi
saat ini tidak lagi fisibel, dan karenanya tidak lagi optimal. Sebagai
contoh, jika b2 berubah dari 20 menjadi (20 + ∆) maka ruas kanan
menjadi :
28
B-1
b = 1 2 −80 2 −40 −0,5 1,5
4820 + ∆8
= 24 + 2 ∆8 + 2 ∆2 − 0,5 ∆
Solusi basis akan tetap optimal jika :
24 + 2∆ ≥ 0 atau ∆ ≥ -12
8 + 2∆ ≥ 0 atau ∆ ≥ -4
2 - 0,5 ∆ ≥ 0 atau ∆ ≤ 4
Dengan kata lain soslusi basis akan tetap optimal jika -4 ≤ ∆ ≤ 4. Dengan
demikian, sepanjang (20 – 4) ≤ b2 ≤ (20 + 4) atau 16 ≤ b2 ≤ 24, solusi
basis akan tetap fisibel dan optimal, tetapi harga z tentu saja akan
berubah.
4. Perubahan kolom variabel nonbasis
a2 = 62
1,5 berubah menjadi a2 =
522
Perubahan tidak akan mengubah baik B-1
ataupun b sehingga ruas kanan
tabel optimal juga tidak akan berubah. Yang akan berubah adalah ^C2< 0.
Tetapi jika ^C2≥ 0, maka solusi basis saat ini akan tetap optimal dengan
berubahnya kolom a2, maka :
^C2= [ 0 10 10 ] 522 − 43 = −3 < 0
Karena ^C2< 0, maka solusi basis saat ini tidak lagi optimal. Kolom a2
untuk pembatas pada tabel optimal menjadi :
29
B-1
a2 = 1 2 −80 2 −40 −0,5 1,5
522 =
−7−42
Karena ^C2< 0, maka x2 akan menjadi variabel basis pada solusi optimal
yang baru.
5. Penambahan suatu aktivitas
Misalkan akan dibuat produk ke-4 sehingga formulasi menjadi :
Maksimumkan : z = 60 X1 + 30 X2 + 20 X3 + 15 X4
Berdasarkan : 8 X1 + 6 X2 + X3 + X4< 48
4 X1 + 2 X2 + 1,5 X3 + X4< 20
2 X1 + 1,5 X2 + 0,5 X3 + X4< 8
X1, X2, X3, X4> 0
Ruas kanan seluruh pembatas dan koefisien baris 0 untuk variabel yang
lama tidak akan berubah, karena itu solusi basis saat ini akan tetap
optimal jika ^C4 ≥ 0.
Dari formulai di atas kita peroleh :
^C4 = [ 0 10 10 ] 111 − 15 = 5 > 0
Karena ^C4 > 0, maka solusi basis saat ini tetap optimal sehingga produk
ke-4 sebaiknya tidak dibuat.
6. Penambahan pembatas baru
Jika suatu pembatas baru ditambahkan, maka kita akan berada pada salah
satu dari ketiga kasus berikut :
30
Kasus 1 : solusi optimal saat ini memenuhi pembatas baru.
Kasus 2 : solusi optimal saat ini tidak memenuhi pembatas baru,
tetapi persoalan tetap mempunyai solusi fisibel.
Kasus 3 : pembatas baru menyebabkan persoalan tidak mempunyai
solusi fisibel.
Contoh kasus 1 :
Misalkan pada contoh soal ditambahkan pembatas X1 + X2 + X3< 11
maka solusi basis saat ini, yaitu X1 = 2, X2 = 0, + X3 = 8 dan z = 280
akan memenuhi pembatas baru tersebut. Karena solusi basis saat ini tetap
fisibel dan z tetap 280 maka solusi ini tetap optimal.
Contoh kasus 2 :
Misalkan pada contoh soal ditambahkan pembatas X2 ≥ 1. Karena saat ini
X2 = 0, maka solusi saat ini tidak lagi fisibel. Untuk mencari solusi
optimal yang baru, ubahlah ketidaksamaan X2 ≥ 1 menjadi persamaan X2
– S4 = 1, kemudian kalikan dengan (-1) sehingga diperoleh – X2 + S4 = -
1. Tambahkan pembatas kedalam tabel sehingga diperoleh :
Tabel 2.9 Tabel Penambahan Batas
BV Z X1 X2 X3 S1 S2 S3 S4 Solusi
Z 1 0 5 0 0 10 0 0 280
S1 0 0 -2 0 1 2 -8 0 24
X3 0 0 -2 1 0 2 -4 0 8
X1 0 1 1,25 0 0 -0,5 1,5 0 2
S4 0 0 -1 0 0 0 0 1 -1
Sumber:Tjutju Tarliah Dimyati dan Ahmad Dimyati, 1992.
31
Tabel 2.10 Tabel Hasil Optimal Dual Simpleks
BV Z X1 X2 X3 S1 S2 S3 S4 Solusi
Z 1 0 0 0 0 10 10 5 275
S1 0 0 0 0 1 2 -8 -2 26
X3 0 0 0 1 0 2 -4 -2 10
X1 0 1 0 0 0 -0,5 1,5 1,25 0,75
X2 0 0 1 0 0 0 0 -1 1
Sumber:Tjutju Tarliah Dimyati dan Ahmad Dimyati, 1992.
Jika pembatas X2 ≥ 1 ditambahkan terhadap persoalan semula, solusi
optimal akan menjadi z = 275, X3 = 10, X1 = 0,75, dan X2 = 1.
Contoh kasus 3 :
Misalkan pada contoh ditambah pembatas X1 + X2 ≥ 12 sehingga
diperoleh X1 + X2 – S4 = 12 atau X1 – X2 + S4 = -12.
Sehingga tabel akan menjadi seperti dibawah ini :
Tabel 2.11 Tabel Penambahan Batas
BV Z X1 X2 X3 S1 S2 S3 S4 Solusi
Z 1 0 5 0 0 10 10 5 280
S1 0 0 -2 0 1 2 -8 -2 24
X3 0 0 -2 1 0 2 -4 -2 8
X1 0 1 1,25 0 0 -0,5 1,5 1,25 2
S4 0 0 -1 0 0 0 0 -1 -12
Sumber:Tjutju Tarliah Dimyati-Ahmad Dimyati, 1992.
Agar X1 tetap menjadi basis, hilangkan X1 pada baris S4 dengan cara
mengganti baris 4 dengan (baris 3 + baris 4). Hasilnya adalah sebagai
berikut :
32
EV
BV Z X1 X2 X3 S1 S2 S3 S4 Solusi
Z 1 0 5 0 0 10 0 0 280
S1 0 0 -2 0 1 2 -8 0 24
X3 0 0 -2 1 0 2 -4 0 8
X1 0 1 1,25 0 0 -0,5 1,5 0 2
S4 0 0 0,25 0 0 -0,5 1,5 1 -10 LV
EV
BV Z X1 X2 X3 S1 S2 S3 S4 Solusi
Z 1 0 10 0 0 0 40 20 80
S1 0 0 -1 0 1 0 -2 4 -16
X3 0 0 -1 1 0 0 2 4 -32 LV
X1 0 1 1 0 0 0 0 -1 12
S2 0 0 -0,5 0 0 1 -3 -2 20
BV Z X1 X2 X3 S1 S2 S3 S4 Solusi
Z 1 0 0 10 0 0 60 60 -240
S1 0 0 0 -1 1 0 -4 0 16
X2 0 0 1 -1 0 0 -2 -4 32
X1 0 1 0 1 0 0 2 3 -20
S2 0 0 0 -0,5 0 1 -4 -4 36
Pada tabel terakhir kita memperoleh X1 + X3 + 2 S3 + 3 S4 = -20.
Padahal, X1 ≥ 0, X3 ≥ 0, 2S3 ≥ 0 dan 3S4 ≥ 0. Sehingga ruas kiri dari
persamaan di atas tidak mungkin – 20. Artinya jika pada persoalan
semula ditambahkan pembatas X1 + X2 ≥ 12, maka persoalan menjadi
tidak mempunyai solusi fisibel.
2.7 QMFor Windows
Program QMfor windows merupakan paket program komputer untuk
menyelesaikan persoalan-persoalan metode kuantitatif, manajemen sains, atau
riset operasi. QMfor windows merupakan gabungan dari program terdahulu DS
33
dan POMfor windows, jadi jika dibandingkan dengan program POMfor
windowsmodul-modul yang tersedia pada QM for windows lebih banyak. Namun
ada modul-modul yang hanya tersedia pada program POM for windows atau
hanya tersedia di program DSfor windows dan tidak tersedia di QMfor
windows(Harsuko Riniwati, 2015).
Program QM for Windows menyediakan modul-modul dalam area
pengambilan keputusan bisnis. Modul yang tersedia pada QMfor windows
meliputi :
1. Assigment
2. Breakeven/Cost-Volume Analysis
3. Decision Analysis
4. Forecasting
5. Game Theory
6. Goal Programming
7. Integer Programming
8. Inventory
9. Linier programming
10. Markov Analysis
11. Material Requirement Planning
12. Mixed Integer Programming
13. Networks
14. Project Management (PERT/CPM)
15. Quality Control
34
16. Simulation
17. Transportation
18. Waiting lines
2.8 Langkah-Langkah Menjalankan QMFor Windows
1. Buka aplikasi QMfor windows. Kemudian akan muncul jendela Tip of the
day, bila ingin segera memulai program, anda dapat klik OK.
2. Dari menu QM, klik module > Linier Programming
Gambar 2.1Pemilihan Penyelesaian Masalah
3. Klik file new, kemudian > akan muncul tampilan seperti berikut:
Gambar 2.2 Step Awal Lembar Kerja Awal QMFor Windows
35
4. Isi identitas data yang ada, identitas data terdiri dari :
4.1 Tittle:judul masalah
4.2 Number of constrainst:jumlah fungsi batasan yang ada pada kasus
4.3 Number variables: jumlah variabel yang ada
4.4 Objective maximize or minimize:tujuan yang ingin di capai:
maksimalisasi laba atau minimlisasi biaya)
4.5 Klik OK, maka akan muncul tampilan berikut:
Gambar 2.3Step Ke Dua Isian Lembar Kerja QMFor Windows
5. Klik “Solve” untuk mengetahui hasilnya,jika ingin hasil kelimanya tampil
dapat dilakukan dengan cara klikWindows > Title.
Gambar 2.4 Step Ke Tiga Out Put Hasil Proses
36
2.9 Kajian Penelitian Terdahulu
Penelitian terdahulu yang digunakan sebagi rujukan adalah penelitian
tentang pengambilan keputusan mengenai permasalahan produksi dengan model
linier programming.
Penelitian sejenis pernah dilakukan oleh Teguh Sriwidadi dan Erni
Agustina (2013), yang meneliti mengenai Analisis Optimalisasi Produksi dengan
Linear Programming melalui Metode Simpleks. PD Utama Jaya Plasindo
memiliki beberapa masalah atau kendaladalam perencanaan produksi. Fluktuasi
permintaan barang yang tidak menentu dari satu periode ke periodelain
menyebabkan kekurangan atau kelebihan produksi.Analisismenggunakan
Metode Simpleks yang merupakan salah satu Linear Programming merupakan
alat yang digunakan untuk penyelesaian masalah sehingga dapatmemaksimalkan
laba. Hasil penelitian menunjukkan bahwa total laba keseluruhan yang diperoleh
PD Utama Jaya Plasindo dariproduk gesper plastik untuk per harinya yaitu Rp.
837.600 dan untuk per bulannya dengan 20 hari masa aktifRp. 16.752.000
dengan asumsi perolehan laba sesuai dengan fungsi tujuan dan fungsi kendala
tetap.
Metode linier programming juga pernah dilakukan oleh Denny Sindi
Pratama, dalam penelitiannya menganalisis mengenai Optimalisasi Produksi
Industri Sambal Menggunakan Pemrograman Linier (Optimalization Of
Production Industrial Sauce Using Linear Programming).Tujuan penelitian ini
adalah memaksimalkan keuntungan dengan memproduksijumlah kuantitas
produksi yang tepat dari semua produk. Berdasarkan hasil penelitian,
37
keuntungan maksimal yang diperoleh sebesar Rp.234.347.800 dengan kombinasi
dari semua produk sambal. Kombinasi produk sambalyang harus diproduksi
sebanyak 45.835 unit sachet, produk botol kecil 140 ml sebanyak54.675 unit,
produk botol sedang 320 ml sebanyak 59.418 unit, produk botol besar 600ml
sebanyak 7.684 unit, produk jerigen 5 kg sebanyak 603 unit, dan produk
botolsedang seafood 320 ml sebanyak 5.791 unit. Hasil analisis sensitivitas bila
diasumsikanterjadi peningkatan biaya produksi tanpa adanya peningkatan harga
jual sekitar 26%dan dengan peningkatan harga jual sekitar 27%.
Penelitian yang dilakukan oleh Sri Desiana Shintya Dewi,dkk (2014).
mengenai Analisis Sensitivitas Dalam Optimalisasi Keuntungan Produksi
Busana dengan Mengguanakan Meode Simpleks. Tujuan dari penelitian ini
adalah untukmengetahui keuntungan maksimal yang diperoleh dalam produksi
busana di Garmen Lsmenggunakan formulasi model simpleks serta mengetahui
hasil analisis sensitivitasterhadap perubahan-perubahan koefisien fungsi tujuan
dan konstanta ruas kanan fungsikendala pada model simpleks. Setelah dilakukan
penerapan metode simpleks, keuntungan maksimal yangdiperoleh Garmen Ls
dalam sehari meningkat sebesar Rp. 865.264,00 dari Rp.1.027.920,00 menjadi
Rp. 1.893.184,00 dengan banyak produksi dress payung 34 buah,celana aladdin
XL 68 buah, celana aladdin XXL 60 buah, celana aladdin ¾ 96 buah,dress kerut
26 buah, dan daster haji 26 buah. Berdasarkan hasil analisis sensitivitas,
keuntungan akan tetap berada pada kondisioptimal apabila perubahan koefisien-
koefisien fungsi tujuan bernilai lebih kecil atau sama dengan koefisien fungsi
tujuan pada model awal .
38
Beberapa hal yang membedakan penelitian yang dilakukan oleh peneliti
dengan penelitian terdahulu, disajikan dalam bentuk tabel 2.12 berikut ini:
Tabel 2.12 Perbandingan antara Kajian Terdahulu dengan Peneliti
No
Nama
Penulis,
tahun
Judul Kesimpulan
1 Teguh
Sriwidadi
dan Erni
Agustina,
2013
Analisis Optimalisasi
Produksi
Dengan Linear
Programming Melalui
Metode Simpleks
Total laba keseluruhan yang diperoleh
PD Utama Jaya Plasindo dari
produk gesper plastik untuk per harinya
yaitu Rp. 837.600 dan untuk per
bulannya dengan 20 hari masa aktif
Rp. 16.752.000 dengan asumsi
perolehan laba sesuai dengan fungsi
tujuan dan fungsi kendala tetap.
2 Denny
Sindi
Pratama
Optimalisasi Produksi
Industri Sambal
Menggunakan
Pemrograman Linier
(Optimalization Of
Production Industrial
Sauce Using Linear
Programming)
Produk sambal yang harus diproduksi
sebanyak 45.835 unit sachet, produk
botol kecil 140 ml sebanyak 54.675 unit,
produk botol sedang 320 ml sebanyak
59.418 unit, produk botol besar 600 ml
sebanyak 7.684 unit, produk jerigen 5 kg
sebanyak 603 unit, dan produk botol
sedang seafood 320 ml sebanyak 5.791
unit.
3 Sri Desiana
Shintya
Dewi,dkk
(2014).
Analisis Sensitivitas
Dalam Optimalisasi
Keuntungan Produksi
Busana dengan
Mengguanakan Meode
Simpleks
Keuntungan maksimal yangdiperoleh
Garmen Ls dalam sehari meningkat
sebesar Rp. 865.264,00 dari
Rp.1.027.920,00 menjadi Rp.
1.893.184,00 dengan banyak produksi
Dress Payung 34 buah,
Celana Aladdin XL 68 buah, Celana
Aladdin XXL 60 buah, Celana Aladdin
¾ 96 buah, Dress Kerut 26 buah, dan
Daster Haji 26 buah.
Berdasarkan hasil analisis sensitivitas,
keuntungan akan tetap berada pada
kondisi optimal apabila perubahan
koefisien-koefisien fungsi tujuan
bernilai lebih kecil atau sama dengan
koefisien fungsi tujuan pada model
awal.
4 Alam Putri
(2017)
Optimalisasi Produksi
Carang Madu
Menggunakan Metode
Inier Programming
Rencana penelitian menganalisis
menggunakan metode linier
programming di Home Industry Sumber
Barokah.
38