BAB I

PENDAHULUAN

Di samping besaran-besaran pokok seperti massa, waktu, suhu, panjang,

intensitas cahaya, kuatarus, dan jumlah zat, masih ada satu hal lagi dalam ilmu

matematika yang perlu diketahui yaitu: sifat yang menyangkut arah. Hukum

Newton yang membahas tentang gerak, biasanya kita pelajari  ada 3, dimana

ketiga hokum tersebut sering menjadi acuan kita untuk meninjau suatu gerak.

Oleh karena itu besaran-besaran tersebut masih dapat dibagi dalam dua

golongan yaitu: besaran Skalar dan besaran Vektor. Besaran Skalar: adalah

besaran yang hanya ditentukan oleh besarnya atau nilainya saja. Contoh: panjang,

massa, waktu, kelajuan, dan sebagainya. Besaran Vektor: adalah Besaran yang

selain ditentukan oleh besarnya atau nilainya, juga ditentukan oleh arahnya.

Contoh: kecepatan, percepatan, gaya dan sebagainya. Dua buah vector dikatakan

sama apabila keduanya memiliki panjang dan arah yang sama. Dua Buah Vektor

disebut sejajar (paralel) apabila garis yang merepresentasikan kedua buah vector

sejajar.

1

BAB II

PEMBAHASAN

VEKTOR

A. PENGERTIAN VEKTOR DAN PENYAJIAN VEKTOR

1. Vektor adalah segmen garis berarah yang berarah mempunyai besaran.

Vector adalah besaran yang mempunyai arah. Misalnya: kecepatan,

momen, gaya, percepatan, gerak dan lain sebagainya.

2. Skalar adalah suatu besaran yang tidak mempunyai arah. Misalnya:

panjang, luas, gerak, suhu, energi, volume, kalori, bilangan-bilangan real

dan sebagainya.

a) PenyajianVektor

1) Penyajian secara geometris

Secara geometris, suatu vector yang dapat digambarkan sebagai

sebuah garis berarah pada salah satu ujungnya. Panjang garis itu

menyatakan besar.

1.1)

A

O

2

Ruas garis berarah AO mewakili vector OA

dimana O disebut titik pangkal (intial point) dan

A sebagai titik terminal. Vector AO diwakili

oleh vector ā. Sehingga dinyatakan dengan OA

= ā.

1.2) B

u

A

1.3)

a

e

1.4) P

P

O

3

PenulisanVektor, jika suatu ruas garis

menghubungkan titik A dan B dari A ke B.

Maka vector itu ditandai dengan AB. Titik A

dan B (huruf tebal) atau dengan AB atau AB

(atau AB dan AB) dan dibawahnya a seperti u

atau u. jadi vector AB= u. vector nol. Symbol

vector nol adalah O. dan vector nol adalah

vector yang mempunyai panjang nol dan

arahnya tidak tentu.

Vektor satuan simbolnya ialah ē yaitu vektor

yang panjangnya satuan panjang dan arahnya

sesuai dengan vector yang dibicarakan jadi|ē|=

I. vector satuan yang arahnya sama dengan ā

adalah ē = ā I|ā|. Dengan kata lain, vector satuan

dari vector ā ialah ē = ā I|ā|.

Setiap ruas garis yang menghubungkan dua titik

dari titik O ketitik ujung P (maka lambing

vektornya sesuai dengan noma titik ujungnya

yang ditulis dengan huruf kecil misalnya OP = p.

jadi vector posisi titik p ialah p. Vector posisi

titik A ialah ā dan seterusnya.

1.5)

A

O

b) Penyajian secara analisis

Secara penyajian analisis sebuah vector disajikan oleh n-tupel terurut

bilangan real, yaitu U = [a1 , a2 , a3 , ……… ..an ] dan n adalah bilangan

asli. Bilangan real a, untuk I < I <n disebut komponen ke- I dari vector

U .Untuk n = 2, dikatakan bahwa vector berada diruang dimensi 2 dan

untuk n = 3 vektor berada diruang dimensi 3. Jadi untuk n = 2, U =

[a1 , a2 ] dan n = 3, U = [a1 , a2 , a3 ].

B. VEKTOR DIBIDANG RUANG R2 DAN R3

1. Vector dibidang R2dan vector basis dalam bidang

Untuk menyatakan suatu vector dibidang sebagai pasangan terurut

dibidang bilangan real, diperlukan pemahaman konsep vector-vektor basis

dalam bidang misalkan Î dan Î adalah vector-vektor dengan panjang satu-

satuan, vector Î berimpit dengan sumbu x positif dan vector Î berimpit

dengan sumbu y positif. Jelas bahwa vector Î dan Î tidak terletak pada

sebuah garis yang sama. Sehingga diketahui itu dikatakan tak-kalinier.

Sekarang misalkan diketahui titik p dibidang atau di R-2 dengan kordinat

(3,3) titik (3,3) disajikan dalam system kordinat cartesius sebagaimana

diperlihatkan pada gambar. Dengan demikian, ruas-ruas garis berarah OA

dan OB dapat dinyatakan sebagai berikut:

4

Arahnya pergeseran suatu vector dinotasikan

dengan pasangan bilangan yaitu (ob) sebagai

contoh pergeseran titik p ke o. yaitu 5

satuan ke kanan dan 3 satuan keatas. Yang

dinotasikan dengan(53)dimana a = 5 dan b =

3. Disebut elemen/anggota vector PQ.

OA = 3ί dan OB = 2ί

Dengan menggunakan aturan penjumlahan vector-vektor yang dinyatakan

dalam bentuk garis berarah. Makadi peroleh hubungan:

OP = OA + AP

OP = OA + AB sebab AP = OB

OP = 3ί + 2ί

Perhatikan bahwa terdapat korespondensi atu rankesepadanan antara

koorinat titik p (3,3) vector OP = 3ί + 3ί.

y

y p (x,y)

B p(3,3)

3ί yί r

jί 3ί ί xί

0 ί (b) x

0 ί (a) A x

Maka:

OP = OA + AP

OP = OA + OB sebab AP = AB

OP = √ x2+ y2

|OP| = = √32+32

|OP| = = √9+9

|OP| = = √18

Ada beberapa istilah yang perlu dipahami diantaranya adalah sebagai

berikut:

a. Bilangan-bilangan x dan y disebut sebagai komponen-komponen

vector r. dan bilangan-bilangan itu berpadanan dengan koordinat titik

(x,y)

b. Vektor-vektor ί dan ί disebut sebagai vector basis dibidang atau di R-2

dalam sumbu x positif dansumbu y positif.

5

c. Untuk mengingat cara penulisan vector r = xί + y ί dapat dinyatakan

dalam berikut:

1) Vector baris sebagai r = (x, y) atau

2) Vektor kolom sebagai r = ( xy ).

Maka AO mewakili vector ā =[ xa

ya]dan OB mewakili vector b = [ xb

yb] maka AB = b-ā = [ xb

yb]- [ xa

ya] = [ x¿¿ yb− ya ] dengan titik pangkal di A

(xa,ya) dan titik ujung B (xb,yb).

Rumus:

AB = [ x¿¿ yb− ya ]

2. Vektor dalam dimensi tiga (R3)

a) Koordinat ruang dimensi tiga

Koordinat ruang dimensi tiga terdiri dari sumbu-sumbu OX, OY, dan

OZ yang satu dengan sama lain saling tegak lurus. Sebuah titik dalam

ruang dimensi tiga disajikan dalam pasangan berurutan (x,y,z)

misalkan koordinat cartesius p (2,2,3) vector posisi titik p adalah AP

= P.

p (x,y,z)

zx

3 r2

y

k

0 2 xr

Vector satuanpadasumbu x:ί = [100]

6

yx

a)

Vector satuanpadasumbu y:ί = [010]dan

Vector satuan pada 2: k = [001]Secara analisis vector OP = P dapat disajikan sebagai OP=P [223] = 2

[100] + 2 [010] + 3 [001]P = 2ί + 2j + 3k

Secara umum jika koordinat titik p (a1, a2, a3) maka:

- Vector posisi p adalah OP = P = [a1

a2

a3] atau

P = a1ί + a2ί + a3k.

- Besaran vector OP adalah|OP| = |P| = √a12 ,+a2

2 ,+a32

C. OPERASI ALJABAR VEKTOR

1. Penjumlahan dan pengurangan vector

Diketahui vector ā = [a1

a2]= a1ί +a2j dan vector b = [b1

b2]= b1ί +b2j.

a) Penjumlahan vector ā dan b lakukan dengan menjumlahkan elemen-

elemen yang sejenis

Vector perpindahan AB ini merupakan penjumlahan dari vector-vektor

perpindahan OA dengan vector perpindahan AB, jadi AB=OA + AB

atau c = ā +b. misalkan ini divisualisasikan pada gambar berikut:

B

B ā+b b

b c =

7

O ā A o ā A

Secara geometris atau diagram vector resukan c = ā + b dapat

ditentukan melalui dua cara yaitu menggunakan.

a. Aturan segitiga

b. Aturan jajar genjang

b) Sifat-sifat penjumlahan dua vector

Definisi vector nol adalah suatu vector yang besarnya atau panjangnya

sama dengan nol dan arahnya sebarang. Vector nol dituliskan dengan

notasi O.

Sifat-sifat penjumlahan vector.

a. Sifat komulatif = ā + b = b + ā

b. Sifat asosiatif = (ā+b) + c = ā + (b+c)

2. Dalam operasi penjumlahan vector dapat sebuah unsure identitas atau

unsure satuan (o + ā = ā + o = ā)

3. Dalam operasi penjumlahan vector setiap vector mempunyai lawan bagi

vector itu. ā adalah lawan bagi b. (dan sebaliknya) maka sifatnya adalah: ā

+ b = o.

c) Pengurangan vector ā dan b. dilakukan dengan mengurangi elemen-

elemen yang sejenis. Misalkan: diketahui ā dan b. Pengurangan atau

selisih vector ā dengan lawan dari vector b. ditulis.

a-b = a + (-b)

a-b = [a1

a2]-[b1

b2]a-b = [a1−b1

a2−b2]= ¿ί + (a1-b2)ί

D. PERBANDINGAN

Andaikan titik membagi vektor AB dengan perbandingan AP: PB = M: n

seperti gambar dibawah ini. Kegunaan vector positif adalah untuk menentukan

8

letak suatu titik pada suatu vector. Oleh karena itu untuk menentukan letak

titik (koordinat) p, kita menentukan vector posisititik p yaitu p.

ya

p

ā p b

b

o x

Jadi, jika AP: PB m: n maka vector-vektor posisi titik P adalah P = nā+mb

m+n

a. Rumus Perbandingan

Maka rumusnya adalah:

A (X1,Y1,Z1) dan B (X2,Y2,Z2) maka:

M [X2

Y 2

Z2] + n [X1

Y 1

Z1]

Koordinat titik P adalah[m x1+n x1

m+n:

m y2+n y1

m+n:

m z2+m z1

m+n ]1. Vector posisi titik A dan B masing-masing dinyatakan dengan a dan b.

nyata vector posisi titik p. dengan a dan b. Jika:

a. Titik p membagi AB didalam dengan perbandingan 3:2

b. Titik p membagi AB diluar dengan perbandingan 3:2

Jawab:

Misalkan vector posisi titik p adalah p.

a. Perhatikan seketsa dibawah ini

9

nm

AP: PB = m:n

N AP = m PB

N (p-ā) = m ( b – p )

N p- nā = mb- mp

(m+n) p = nā + mb

P = nā+mb

m+n

A P D

P= 3 b+2 a

3+2=2

5a+ 3

5b

b. Perhatikan seketsa dibawah ini

A P

B

P= 3 b+(−2)a

3+(−2)=−2+3 b

E. PERKALIAN SEKALAR DUA VEKTOR (OPERASI DOT)

a

o

O b

f

Q

s

Tentukan hasil kali scalar

Jika |a|= 5, |b|= 6 dan

a.b = 5x6 cos 60

= 30 x 0,5

= 15.

a) Sifat-sifat hasil scalar dua vector

1. Dua vector yang sejajar

10

Hasil kali sekalar dua vector a dan b yang ditulis

a:b didefinisikan sebagai|a||b|cos Q, dimana Q

adalah sudut antara vector a dan b.

a-b = |a||b| cos ө

Salah satu penggunakan perkalian scalar dari dua

vector dalam pelajaran fisika adalah menentukan

besar usaha U, yang dilakukan oleh gaya f.

terhadap suatu benda yang berpindah sejauh s.

Rumus: U = f.s

a.b = |a| |b| cos oo

= |a||b|.1

= |a| |a|

c a b

b) Dua vector yang saling tegak lurus

2. Jika a dan b merupakan dua vector yang saling tegak lurus maka:

b a.b = |a| |b| cos 900

= |a| |b|.1

= |a| |a|

O a

c) Dua vector yang berlawanan arah. Jika a dan b merupakan dua vector yang

arahnya berlawanan maka:

b o a

d) Tanda hasil kali sekalar dan vector

Tanda dari hasil kali scalar dua vector ditentukan oleh besar sudut yang

dibentuk oleh dua vector-vektor tersebut. d

Besar sudut (Q) Tanda

O0 < Q 900 Positif

Q = 900 Nol

900 < Q < 1800 Negatif

k j

e) Sifat komutatif a.b = b.a

11

a.b = |a| |b| cos 1800

= |a| |b|.(-1)

= −|a| |a|

a.b = |a| |b| cos ө dan b.a = |b| |a| cos ө

oleh karena |a| |b| = |b| |a|, maka a.b = b.a

f) Sifat distributive a. (b+c), = a.b+a.c

b) Perkalian scalar dua vector dalam bentuk komponen

Misalkan vector a dan b dinyatakan dengan bentuk sempel sebagai

berikut:

a = a1i + a2i + a3k dan b = b1i + b2i + b3k.

Maka:

a.b (a1i + a2i + a3k) . (b1i + b2i + b3k)

Dengan menggunakan sifat distributive dan hasil kali sekalar 2 vektor

basis yang saling tegak lurus dan searah yaitu:

i.i = I.j.j = I.k.k= I, i.j = o, i.k = o, j.k = o

Maka, perkalian sekalar diatas dapat disajikan pada table berikut ini:

a.b b1i b2j b3k

a1j

a2j

a3k

a1b1

0

0

0

a2b2

0

0

0

a3b3

Dengan demikian, kita peroleh rumus hasil kali sekalar dua vector

adalah (a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3).

Soal:

Diberikan vector-vektor sebagai berikut:

ā = [124 ] b = [540 ]a. Tentukan ā.b

12

b. Tentukan ā. ā

Jawab:

a. ā.b = [124 ].[540 ] = (1.5) + (2.4) + (4.0)

= 5 +8+4

ā.b = 13

c) ā. ā = [124 ]. [124 ] = 1 +4+ 16 = 21

Sedangkan |ā|2 = I2 +22 +42 = 21

Jadi, ā. ā = |ā|2.

F. SUDUT ANTARA DUA VEKTOR

Salah satu penerapan dari hasil kali sekalar dua vector adalah untuk

menentukan besar sudut antara dua vector (baik vector-vektor dibidang

maupun vector-vektor diruang) penerpaan ini dapat ditentukan denan mengacu

definisi hasil kali scalar dan vector.

Rumus mencari hasil kali scalar dua vector:

ā.b = x1.x2 + y1.y2 +z1.z2.

¿ā∨¿ = √ xa2+ y a2+ za2

¿b∨¿ = √ xb2+ yb2+z b2

Maka menghasilkan:

ā.b = ¿ā∨¿ ¿b∨¿ cos ө

cos ө = ā .b

|b|.∨ā∨¿¿

a. Sudut antara dua vector dibidang

Misalkan vector ā = [ x1

y1] dan vector b = [ x2

y2] adalah vector-vektor

dibidang yang dinyatakan dalam bentuk vector kolom.

- Hasil kali vector ā dengan b:

ā.b = x1.x2 + y1.y2

13

- Panjang vector ā:

|ā| = √ x12+ y1

2

- Panjang vector b:

|b| = √ x22+ y2

2

Subsitusikan ā.b, |ā|, dan |b| diatas kepersamaan cos ө = ā .b|b|

maka diperoleh cos ө = x1 x2+ y1 y2

√x12+ y1

2 √x22+ y2

2

Maka ā = [ x1

y1] dan vector b = [ x2

y2]b. Rumus sudut antara dua vector diruang

Misalkan vector ā = [ x1

y1

z1] dan vector b = [ x2

y2

z2]

Jika ө menyatakan besar sudut antara vector ā dengan vector b, maka

kosinus sudut ө ditentukan dengan rumus.

Cos ө = x1 x2+ y1 y2+z1 z2

√x12+ y1

2+z12+√x2

2 y22+z2

2

- Hasil kali vector ā dengan kolom

ā.b = x1 x2+ y1 y2+z1 z2

Panjang vector |ā| =

|ā| = √ x12+ y1

2+z12

Panjang vector |b| =

|b| = √ x22+ y2

2+z22

Contoh soal:

14

Diketahui vector ā = [ 21

−3] dan vector b = [−13

−2]a. Hitunglah ā.b. |ā| dan |b|

b. Tentukan besar sudut antara vector ā dengan vector b.

Jawab:

a. ā.b = [ 21

−3] . [−13

−2] = 2x (-1) + 1x3 + (-3) x (-2) =7

- |ā|=√¿¿ = √14

- |b| = √¿¿ = √14

b. Dengan menggunakan rumus kosinus sudut antara dua vector

Cos ө = ā .b

|ā|.|b| = 7

√14 √14 =

7

√14 =

12

ө = 600

Jadi, besar sudut vantara vector ā dan vector b sama dengan 600

G. PROYEKSI VEKTOR PADA VEKTOR LAIN (ARTHOGONAL)

a. Proyeksi scalar orthogonal

Perhatikan gambar berikut ini:

A

a

ө

o c c B

b

Panjang ruas garis OC adalah |OC| = |OA|cos ө

|OC| = |a| cos ө …………. ..1

cosӨ = a . b

|a||b|………………. 2

Maka dari (1) dan (2) diperoleh

15

Vector OA = a dan OB = b serta sudut antara

vector a dan b adalah ө.

Jika garis OA diperoyeksikan kegaris OB dan

misalkan hasil proyeksi diwakili oleh OC, maka

pada OCA siku-siku c.

|OC| = |a| a . b

|a||b|=a .b

|b|

|OC| = a .b|b| = a.

b|b|

Dimana b|b| adalah vector satuan di b. jadi panjang proyeksi a ke b adalah:

|c| = a .b|b|

Jika lambing vector proyeksi dari suatu vector ke vector lainnya adalah c

maka:

1. Panjang proyeksi vector ā ke b adalah |c| = a .b|b| dan

2. Panjang proyeksi vector b ke ā adalah |c| = b .a|a|

b. Vector proyeksi

Perhatikan kembali gambar diatas tadi, vector proyeksi ā terhadap b adalah

OC = c=e. vector proyeksi OC berimpit dengan vector b. sehingga:

OC = |OC| x vector satuan b.

C = [ a .b|b| ] [ b

|b|] = [ a .b

|b|2 ]b.

Jadi vector proyeksi ā dan b dinyatakan dengna rumus:

C = [ a .b

|b|2 ]b atau [ a .b|b| ] b

|b|

Soal:

1. Diketahui vector ā = [21] dan vector b = [34 ] adalah vector-vektor

dibidang yang disajikan dalam bentuk vector kolom.

16

a. Tentukan proyeksi sekalar orthogonal dari vector ā pada arah

sekalar b dan proyeksi sekalar orthogonal dari vector b pada arah

vector ā.

b. Tentukan proyeksi vector orthogonal dari vector ā pada arah vector

b dan proyeksi scalar orthogonal dari vector b pada arah ā.

Jawab:

Proyeksi scalar orthogonal vector ā pada arah b. ditentukan oleh:

|c| = ā .b|b| = 2 x 3+1x 4

√¿¿¿ =

105

= 2

Jadi proyeksi scalar orthogonal vector ā pada arah b adalah |c| =2

Proyeksi scalar orthogonal vector b pada arah vector ā adalah

ditentukan:

|d| = ā .b|a| = 2 x 3+1 x 4

√¿¿¿ =

10

√5 = 2 √5

Jadi proyeksi scalar orthogonal vector b pada arah vector ā adalah ≠

|d|= 2 √5

2. Proyeksi vector orthogonal vector ā pada arah vector b ditentukan

oleh:

C = [ ā . b

|b|2 ] b = 2 x 3+1 x 4√¿¿¿

[ 34 ] =

25

[ 34 ]

Jadi proyeksi vector orthogonal vector ā pada arah vector b adalah

C = 25

[ 34 ]

Proyeksi vector orthogonal vector b pada arah vector ā. Ditentukan

oleh:

|d| = [ ā . b

|b|2 ] ā = ¿ = [21] = [42 ]

17

Jadi proyeksi vector orthogonal vector b pada arah vector ā adalah d =

[42 ]

H. VALIDITAS PEMBUKTIAN

Pembuktian-pembuktian yang telah kita bicarakan diatas merupakan

pembuktian yang berlangsung dalam suatu argument yang valid. Premis

dalam suatu argument yang valid. Paling sedikit ada satu premis atau vector

dalam menentukan sekalar dan vector berdasarkan arah. Maka vector

mengatakan suatu luas yang searah ata u berarah.

Maka setiap barisan scalar seperti temperature, tekanan, masa dan

sebagainya selalu diartikan dengan vector. Disamping disebutkan lanjuanya

disebutkan juga arahnya dan mempunyai arah.

18

BAB III

KESIMPULAN

Dari pembahasan makalah diatas, maka dapat penulis simpulkan bahwa

mata kuliah vector matematika, mempelajari beberapa hal yang berkaitan dengan

vector seperti kecepatan, muatan, gaya percepatan beratr, dan vector dapat

dinyatakan dalam bentuk ruas garis berarah akan dijelaskan yang melalui ilustrasi.

Dan yang menghubungkan penulisan vector, vector nol, dan secara analisis yang

melalui nilai bilangan riel.

19