bab i pendahuluan · 2013. 5. 3. · penyebaran data diatas ketajaman analisisnya lebih nyata dalam...
TRANSCRIPT
VARIABILITY (Wanda Puspita) Page 1
BAB I
PENDAHULUAN
Dalam penyelidikan data sering kali kita membutuhkan informasi yang lebih
banyak dari pada hanya mengetahui salah satu tendensi sentral saja. Misal kita ingin
mengetahui bagaimana penyebaran tiap-tiap nilai dari tendensi sentral itu.
Analisis menggunakan tendensi sentral diharapkan lebih bisa dirasakan lebih maju
satu tahap lagi tidak hanya sekedarnya saja dengan mengetahui frekuensi dari data yang
diteliti. Perhatikan contoh berikut ini :
Nilai ujian statistik 5 mahasiswa kelas A adalah 71,75,79,77,73
Nilai ujian statistik 5 mahasiswa kelas B adalah 45,60, 90,85,95
Nilai rata-rata atau mean dari data diatas adakah sama yaitu 75, tetapi kenyataan
kedua kelompok data diatas adalah berbeda, oleh karena itu kita perlu menganalisis lebih
lanjut lagi dari penyebaran data diatas agar mempunyai arti yang sama dalam statistik.
Dari contoh diatas, agar dapat diketahui analisis data lebih lanjut atau kelihatan
penyebaran data diatas ketajaman analisisnya lebih nyata dalam distribusi frekuensinya
maka perlu kita lakukan ukuran yang dapat digunakan untuk analisis penyebaran data
yaitu variabilitas data (data of variability) atau ukuran penyebaran data (Measure of
dispertion).
Dalam mempelajari penyebaran data, kita akan menemui istilah Kuartil. Untuk
lebih memahami pengtitungan yang berkaitan dengan kuartil, maka alangkah baiknya kita
mempelajari terlebih dahulu apa itu kuartil dan bagaimana cara mencari kuartil dari
suatu data. Maka dari itu, kami membagi penjelasan materi ini ke dalam dua pokok
pembahasan, yaitu ukuran letak data, yang berisi pembahasan mengenai kuartil dan desil,
dan ukuran penyebaran data yang berisi range dan macam-macam deviasi.
VARIABILITY (Wanda Puspita) Page 2
BAB II
PEMBAHASAN
I. UKURAN LETAK DATA
A. Kuartil
Ada tiga macam kuartil yaitu:
Kuartil pertama (Q1) Adalah suatu nilai dalam distribusi yang membatasi 25 %
frekuensi di bagian bawah distribusi dari 75% frekuensi bagian atasnya .
Kuartil kedua (Q2) Adalah suatu nilai dalam distribusi yang membatsi 50%
frekuensi di bagian bawah distribusi dari 50% frekuensi bagian atas.
Kuartil ketiga (Q3)Adalah suatu nilai dalam distribusi yang membatasi 75%
frekuensi di bagian bawah distribusi dari 25% frekuensi bagian atasnya.
1. Mencari Kuartil Data Tunggal
Rumus Quartil data tunggal :
Qn = 𝜆 +( ⁄
)
Keterangan:
Qn = Kuartil ke-n, disini quartil ada 3, maka n=1, 2, dan 3
𝜆 = Lower limit (batas bawah nyata dari skor yang mengandung Qn
N = Number of cases (jumlah individu)
b = Frekuensi kumulatif yang terletak dibawah score yang mengandung Qn
i = frekuensi aslinya yang mengandung Qn
Perhatikan contoh soal di bawah ini.
VARIABILITY (Wanda Puspita) Page 3
Jawab :
1) Q1 = ⁄ N
= ⁄ 80
= 20
(terletak pada nilai 55)
Kemudian tentukan nilai
nyatanya, yaitu:
𝜆 = 54,50 fi = 8 fkb= 16
Kemudian subsitusikan pada
rumus:
Q1 = + ( ⁄ –
)
= 54,50 + (
)
= 54,50 + 0,5
Q1 = 55
2) Q2 = ⁄ N
= ⁄ 80
= 40
(terletak pada nilai 65)
Kemudian tentukan nilai
nyatanya, yaitu:
𝜆 = 64,50 fi =14 fkb=33
Kemudian subsitusikan pada
rumus:
Q2 = + ( ⁄ –
)
= 64,50 + (
)
= 64,50 + 0,50
Q2 = 65
3) Q3 = ⁄ N
= ⁄ 80
= 60
(terletak pada nilai 75)
Kemudian tentukan nilai
nyatanya yaitu:
𝜆 = 74,50 fi = 8 fkb=56
Kemudian subsitusikan pada
rumus:
Nilai(x) b
95 2 80 =N
90 3 78
85 5 75
80 6 70
75 8 64
70 9 56
65 14 47
60 9 33
55 8 24
50 6 16
45 5 10
40 3 5
35 2 2
VARIABILITY (Wanda Puspita) Page 4
Q3 = + ( ⁄ –
)
= 74,50 + (
)
= 74,50 + 0,50
Q3 = 75
2. Mencari Kuartil Data Berkelompok
Rumus yang digunakan
Qn = 𝜆 + i ( ⁄ –
)
Qn = kuartil ke-n, disini kuartil ada 3, maka n = 1,2, dan 3
𝜆 = lower limit ( batas bawah nyata dari skor yang mengandung Qn )
N = Number of cases (jumlah individu)
fkb = frekuensi kumulatif yang terletak di bawah skor yang mengandung Qn
fi = frekuensi aslinya yang mengandung Qn
i = interval class atau kelas interval
Contoh :
Misalnya nilai dari 80 Mahasiswa mata kuliah statistik dalam table 4.2.
distribusi frekuensi, carilah Q1 , Q2 , Q3 !
VARIABILITY (Wanda Puspita) Page 5
Interval Frekuensi
(f) fkb
78-80 2 80=N
75-77 2 78
72-74 3 76
69-71 4 73
66-68 5 69
63-65 10 64
60-62 17 54
57-59 14 37
54-56 11 23
51-53 6 12
48-50 4 6
45-47 2 2
Total 80 = N
Jawab:
1) Q1 = ¼ N
= ¼ x 80
= 20 (terletak pada nilai 54-56)
Kemudian tentukan nilai nyatanya
yaitu:
𝜆 = 54,5 fi = 8 fkb =16
Kemudian subtitusikan pada rumus:
Q1 = 𝜆 + i ( ⁄ –
)
= 53,5 + (
)
= 53,5+2,19
Q1 = 55,69 (dibulatkan, = 56)
Q1 = 56
2) Q2 = ⁄ N
= ⁄ x 80
= 40 (terletak pada nilai 60-62)
Kemudian kita tentukan nilai
nyatanya yaitu:
𝜆 = 59,50 fi = 17 fkb = 37
Kemudian substitusikan pada
rumus:
Q2 = 𝜆 + i ( ⁄ –
)
= 59,5 + 3 (
)
= 59,50 + 0,56
Q2 = 60,1 (dibulatkan = 60)
Q2 = 60
3) Q3 = ¾ N
= ¾ x 80
= 60 (terletak pada nilai 63-65),
Kemudian kita tentukan nilai
nyatanya yaitu:
𝜆 = 62,50 fi =10 fkb= 56
Kemudian substitusikan pada
rumus:
VARIABILITY (Wanda Puspita) Page 6
Q3 = 𝜆 + i ( ⁄ –
)
= 62,50 + 3 (
)
= 62,50 + 1,2
Q3 = 63,7 (dibulatkan menjadi 64)
Q3= 64
B. Desil
Istilah desil biasanya kita kenal dengan nama decile dan dilambangkan dengan
D. Ada sembilan buah desil yaitu desil pertama sampai desil sembilan, jadi jika
dilambangkan desilnya adalah D1, D2, D3, D4, D5, D6, D7, D8, dan D9.
a. Desil pertama adalah suatu titik yang membatasi 10% frekuensi yang terbawah
dalam distribusi.
b. Desil kelima adalah suatu titik yang membatasi 50% frekuensi yang terbawah
dalam distribusi.
c. Desil kedelapan adalah suattu titik yang membatasi 80% frekuensi yang terbawah
dalam distribusi.
Salah satu fungsi desil adalah membagi bagian distribusi menjadi 10 bagian yang
sama besar yang selanjutnya digunakan untuk penempatan subjek penelitian yang tepat pada
tempatnya.
1. Desil Data Tunggal
Rumus yang di gunakan
Dn = λ + ( ⁄
)
Keterangan:
Dn = Desil ke- n, disini desil ada 9, maka n= 1,2,3,4,5,6,7,8,dan 9.
λ = lower limit ( batas bawah nyata dari skor yang mengandung Qn )
N = Number of cases (jumlah individu)
b = frekuensi kuulatif yang terletak di bawah skor yang mengandung Qn
VARIABILITY (Wanda Puspita) Page 7
f i = frekuensi aslinya yang mengandung Qn
Contoh :
Misalnya kita akan menghitung Desil ke-1 (D1), ke-5 (D5), dan ke-9 (D9) dari data
yang tertera pada tabel 4.1 yang di dapatkan nilai kwartil-kwartilnya.
TABEL 4.3
Jawab:
1) Mencari D1
D1 = 1/10 N
= 1/10 x 80
= 8
terletak pada skor 45. Maka:
λ = 44,5 fi = 5 fkb = 5.
Kemudian di subtitusikan pada rumus:
D1 = λ + ( ⁄
)
= 44,5 + (
)
= 44,5 + 0,6
= 45,1 (dibulatkan, = 45)
D1 = 45
2) Mencari D5
D5 = 5/10 N
= 5/10 x 80
= 40 (terletak pada skor 45)
Maka:
λ = 64,5 fi = 14 fkb = 33
Kemudian di subtitusikan pada rumus:
D5 = λ + ( ⁄
)
= 64,5 + (
)
= 64,5 + 0,5
D5 = 65
3) Mencari D9
D9 = 9/10 N
= 9/10 x 80
= 72 (terletak pada skor 85).
Maka:
λ = 84,5 fi = 5 fkb= 70.
Kemudian di subtitusikan pada rumus:
Nilai (𝑥) kb
95 2 80 = N
90 3 78
85 5 75
80 6 70
75 8 64
70 9 56
65 14 47
60 9 33
55 8 24
50 6 16
45 5 10
40 3 5
35 2 2
VARIABILITY (Wanda Puspita) Page 8
D9 = λ + ( ⁄
)
= 84,5 + (
)
= 84,5 + 0,4
= 84,90 (dibulatkan = 85)
D9 = 85
2. Desil Data Berkelompok
Rumus yang digunakan:
Dn = λ + 𝑖 ( ⁄
)
Keterangan:
Dn = Desil ke- n, disini desil ada 9,
maka n = 1,2,3,4,5,6,7,8,dan 9.
λ = lower limit ( batas bawah nyata dari
skor yang mengandung Qn )
N = Number of cases (jumlah individu)
b = frekuensi kumulatif yang terletak di
bawah skor yang mengandung Qn
𝑖 = frekuensi aslinya yang mengandung
Qn
i = interval kelas atau kelas interval
Contoh: Dari tabel 4.2 kita akan
menghitung D3 dan D7 .
Interval
Frekuensi
( ) kb
78-80 2 80 = N
75-77 2 78
72-74 3 76
69-71 4 63
66-68 5 69
63-65 10 64
60-62 17 54
57-59 14 37
54-56 11 23
51-53 6 12
48-50 4 6
45-47 2 2
Total 80 = N
Jawab:
1. Mencari D3
D3 = 3/10 N
= 3/10 x 80
= 24 (terletak pada nilai 57-59).
Maka :
λ= 56,5 fi = 14 fkb = 23
Kita subtitusikan kedalam rumus:
D3 = λ + 𝑖 ( ⁄
)
= 56,5 +3 (
)
= 56,5 +0,2
= 56,7 (dibulatkan, = 57)
D3 = 57
2. Mencari D7
D7 = 7/10 N
= 7/10 x 80
= 56 (terletak pada nilai 63-65)
VARIABILITY (Wanda Puspita) Page 9
Maka:
λ= 62,5 fi = 10 fkb = 56
Kita subtitusikan ke dalam rumus:
D7 = λ + 𝑖 ( ⁄
)
= 62,5 + 3 (
)
= 62,5 + 0
= 62,5 (dibulatkan, = 63)
D7= 63
VARIABILITY (Wanda Puspita) Page 10
II. UKURAN PENYEBARAN DATA
A. Pengertian Ukuran Penyebaran Data
Ukuran penyebaran data merupakan suatu harga yang menunjukan besar kecilnya
variasi sekelompok data. Macam ukuran penyebaran data dalam statistik yang dapat
digunakan untuk mengetahui penyebaran data adalah Luas penyebaran atau Variasi atau
Homoginitas Data atau Stabilitas Data. Sedang dalam ukuran penyebaran data yang sering
digunakan dalam dunia statistik pendidikan adalah Range, Deviasi, Varian, dan Ukuran
Penyebaran Relatif yang akan dibicarakan lebih lanjut pada bahasan selanjutnya.
B. Macam-macam Ukuran Penyebaran Data
Diatas sudah dijelaskan bahwa macam-macam ukuran penyebaran data yaitu Range,
Deviasi, Varian, dan ukuran penyebaran data Relatif. Untuk deviasi juga ada beberapa jenis
yaitu Deviasi Kuartil, Deviasi rata-rata, dan Deviasi standar. Dilihat dari relevansinya, dalam
pembahasan selanjutnya akan dibahas masalah Range, Deviasi, dan Varian.
1. Range
Range adalah jarak antara nilai data tertinggi dengan nilai data yang terendah.
Lambang range adalah R. Rumus yang digunakan dalam mencari range :
R = H - L
Dimana: R = Range
H = Highest score (nilai tertinggi)
L = Lowest score (nilai terendah)
Contoh :
No.
Ujian Nama
Nilai yang dicapai R=H-L
B.indo B.inggris IPA
1 Andi 55 75 90 35
2 Karto 55 80 85 30
3 Safi’i 50 75 95 45
VARIABILITY (Wanda Puspita) Page 11
Kegunaan Range :
Jika kita ingin mengetahui sebaran data dalam waktu yang sangat singkat
dengan mengabaikan faktor ketelitian dari sebaran data.
Kelemahan Range :
Range sangat tergantung pada nilai ekstrim data, besar kecilnya range untuk
menentukan nilai tertinggi dan nilai terendah. Dengan demikian semakin sedikit
range-nya maka semakin mudah dicari sebaran datanya dan semakin besar range-nya
semakin sukar untuk dicari sebaran datanya.
Range tidak memperhatikan sebaran datanya. Yang diperhatikan adalah hanya
nilai tertinggi dan nilai terendah sehingga dalam aplikasinya range jarang digunakan
dalam penelitian, lebih lanjut dalam analisis statistik.
2. Deviasi
Dalam kamus besar bahasa Indonesia istilah Deviasi diartikan sebagai
Penyimpangan. Dalam dunia statistik istilah deviasi adalah simpangan atau selisih dari
masing-masing skor atau interval dari nilai rata-rata hitung (Deviation from the Mean)
Lambang dalam deviasi biasanya sesuai dengan lambang nilai/skor data, tetapi
pada deviasinya lambangnya kecil. Misalnya lambang skor atau nilai adalah “X” maka
lambang Deviasinya adalah “x”; lambang nilai atau skor “Y” maka lambang Deviasinya
adalah “y”.
Dalam pembahasan sebelumnya sudah kita bahas sedikit tentang diviasi yaitu
dengan member tanda (+) yang berada di atas nilai meannya dan member tanda minus (-)
yang berada di bawah nilai meannya. Istilah deviasi yang diberi tanda (+) biasanya
disebut dengan Deviasi Positif dan Deviasi yang diberi tanda minus (-) disebut Deviasi
Negatif.
VARIABILITY (Wanda Puspita) Page 12
Perlu diingat dalam pencarian mean atau nilai rata-rata hitung ada dua macam
yaitu mean data tunggal dan mean data kelompok. Disini kita cermati data kita apakah
data tunggal atau data kelompok.
Perhatikan contoh deviasi berikut ini:
Rumus Mx:
Mx =
=
Mx = 6
Dari contoh dapat kita lihat “x” atau Deviasi berasal dari “X” atau ilai. Maka
jelas untuk lambang Deviasi adalah dilambangkan dengan huruf kecil yaitu “x” dari nilai
atau “X” dan rumus deviasi adalah selisih antara nilai dengan mean dari ilai atau x = X
– M.
2.1 Deviasi Rata-Rata/Mean Deviation
Dalam penggunaaan deviasi agar bisa digunakan sebagai ukuran variabilitas
maka kita abaikan tanda-tanda aljabar yaitu tanda Plus (+) dan Minus (-), karena
kalau kita lihat dari contoh di atas jumlah dari deviasi adalah nol (∑x = 0), dalam
pengabaian tanda aljabar itu dimaksudkan agar terdapat harga mutlak dari deviasi
Nilai
(X) f
Deviasi
x = X-Mx
10 1 10-6 = +4
9 1 9-6 = +3
8 1 8-6 = +2
7 1 7-6 = +1
6 1 6-6 = 0
5 1 5-6 = -1
4 1 4-6 = -2
3 1 3-6 = -3
2 1 2-6 = -4
54 = ∑X 9 = ∑f = N 0 = ∑x
Deviasi Positif
Deviasi Positif
Deviasi Positif
Deviasi Negatif
Deviasi Negatif
Deviasi Negatif
Deviasi Negatif
Deviasi Positif
Jumlah Defiasi
pasti = 0
VARIABILITY (Wanda Puspita) Page 13
tersebut sehingga didapatkan rata-ratanya. Dengan demikian yang dimaksud Deviasi
rata-rata adalah jumlah harga mutlak deviasi dari tiap-tiap skor atau nilai yang dibagi
dengan banyaknya individu atau frekuensi itu sendiri.
Rumus yang digunakan deviasi rata-rata adalah
MD =
Dimana : MD = Mean Deviation atau deviasi rata-rata
∑x = Jumlah deviasi rata-rata
N = Number of cases (Jumlah Individu)
Dalam pencarian mean deviation atau deviasi rata-rata ada dua macam yaitu cara
mencari deviasi rata-rata tunggal dan cara mencari deviasi rata-rata kelompok.
a. Mencari Deviasi rata-rata data Tunggal
Mencari Deviasi rata-rata data tunggal dengan skornya mempunyai
frekuensi satu
Misalnya dalam tinggi badan 10 siswa dalam masing-masing kelas A
dan B seperti table berikut ini. Dalam mencari deviasi rata-ratanya yang
mempunyai jumlah nilai atau skornya tinggi badan sama tetapi mempunyai
deviasi rata-rata berbeda.
Tabel Deviasi Rata-rata Tinggi Badan Kelas A
Tinggi Badan (X) f Deviasi
(x = X-Mx)
150 1 -15.8
155 1 -10.8
157 1 -8.8
160 1 -5.8
163 1 -2.8
167 1 1.2
172 1 6.2
176 1 10.2
178 1 12.2
VARIABILITY (Wanda Puspita) Page 14
180 1 14.2
1658 10 88
Mx =
= 658
0 = 165.8 MD =
=
= 8,8
Mencari deviasi rata- rata data tunggal yang nilai frekuensi lebih
dari satu
Rumus: MD=
MD = Mean Deviation atau Deviasi rata- rata
∑fx = Jumlah perkalian frekuensi dengan deviasi
N = Number of cases (jumlah individu)
Contoh:
Misalnya usia guru SMP Banyuwangi dalam usia antara 35 sampai
45 yang terdapat pada tabel. Kita cari deviasi rata- ratanya.
Tabel penghitungan Deviasi Rata Usia Guru SMP Banyuwangi
Usia
(X) F X
x
(X - Mx) x
45 2 90 5 10
44 4 176 4 16
43 5 215 3 15
42 6 252 2 12
41 8 328 1 8
40 10 400 0 0
39 8 312 -1 -8
38 6 228 -2 -12
37 5 185 -3 -15
36 4 144 -4 -16
35 2 70 -5 -10
Total N= 60 ∑ X= 2400 - ∑ x= 122
VARIABILITY (Wanda Puspita) Page 15
Langkahnya sebagai berikut:
1. Mencari mean dari data tunggal dengan rumus
Mx =
=
= 40
2. Mencari deviasi, dengan masing- masing skor atau nilai dengan
rumus x = X-Mx
3. Mengalihkan masing- masing banyaknya frekuensi ( ) dengan
nilai deviasi- deviasi masing- masing skor atau nilai, sehinggga
didapatkan x dengan mengabaikan tanda aljabar (Plus dan
Minus) atau menjumlahkan harga mutlaknya sehingga kita
dapatkan ∑ x= 122 (pada kolom 5)
4. Menghitung deviasi rata- rata atau Mean Deviation dengan rumus
MD =
=
= 2,033
b. Mencari Deviasi Rata- rata Data Berkelompok
Rumus: MD =
MD = Mean Deviation atau Deviasi rata- rata
∑fx = Jumlah perkalian frekuensi dengan deviasi
N = Number of cases (jumlah individu)
Langkah- langkahnya sebagai berikut:
1. Menentukan Midpoint atau nilai tengah masing- masing interval (X)
2. Mengalihkan masing- masing banyak frekuensi ( ) dengan nilai midpoint,
sehingga di dapatkan X, kemudian menjumlahkan nilai X menjadi
∑ X.
VARIABILITY (Wanda Puspita) Page 16
3. Mencari meannya dari data tunggal dengan rumus: Mx =
4. Mencari Deviasi tiap- tiap interval dengan rumus: x= X-Mx
5. Mengalihkan masing- masing banyaknya frekuensi ( ) dengan nilai
deviasi- deviasi tiap- tiap interval, sehingga didapatkan x menjadi x.
6. Menghitung deviasi rata- rata atau Mean Deviation dengan rumus
MD =
Contoh:
Misalnya nilai dari 70 siswa matematika seperti pada tabel data
kelompok di bawah ini dan kita ingin mencari devisi rata- ratanya.
Interval
Nilai X X
x
(X - Mx) x
70-74 2 72 144 20 40
65-69 4 67 268 15 60
60-64 9 62 558 10 90
55-59 12 57 684 5 60
50-54 16 52 832 0 0
45-49 12 47 564 -5 -60
40-44 9 42 378 -10 -90
35-39 4 37 148 -15 -60
30-34 2 32 64 -20 -40
Total N= 70 - X= 3640 - x= 500
1. Menentukan Midpoint atau nilai tengah masing- masing interval
(X) (lihat kolom 3)
2. Mengalihkan masing- masing banyak frekuensi ( ) dengan nilai
midpoint, sehingga di dapatkan X, kemudian menjumlahkan nilai
X menjadi ∑ X. (pada kolom 4)
3. Mencari meannya dari data tunggal dengan rumus:
Mx =
=
= 52
4. Mencari Deviasi tiap- tiap interval dengan rumus: x= X-Mx (pada
kolom 5)
VARIABILITY (Wanda Puspita) Page 17
5. Mengalihkan masing- masing banyaknya frekuensi ( ) dengan
nilai deviasi- deviasi tiap- tiap interval, sehingga didapatkan x
menjadi x. (pada kolom 6)
6. Menghitung deviasi rata- rata atau Mean Deviation dengan rumus
MD =
=
= 7,14
2.2 Deviasi Standar (Standard Deviation)
Deviasi standar atau standard deviation adalah pengembangan dari deviasi
rata-rata. Deviasi standar atau standart deviation dilambangkan dengan SD / 𝛅.
Rumus deviasi standar adalah :
SD = √ ∑X
SD = (Standard Deviation) Deviasi Standar
𝑥 = Jumlah deviasi standar setelah di kuadratkan dari masing-masing deviasi.
N = Number of cases (jumlah individu)
a) Mencari Deviasi Standar Data Tunggal
Mencari deviasi standar data tunggal yang masing-masing skor atau nilai
mempunyai frekuensinya satu.
Contoh :
Perhatikan table 5.3 yang sudah dicari deviasi rata-ratanya, kemudian
kita cari standar deviasi.
Tinggi badan
(X) F
Deviasi
(x = X-Mx) X
2
150 1 -15.8 249.64
155 1 -10.8 116.64
157 1 -8.8 77.44
VARIABILITY (Wanda Puspita) Page 18
160 1 -5.8 33.64
163 1 -2.8 7.84
167 1 1.2 1.44
172 1 6.2 38.44
176 1 10.2 104.04
178 1 12.2 148.84
180 1 14.2 201.64
1658 10 = N 0 =∑ x 979.6 = ∑x2
Langkah-langkahnya :
1. Mencari meannya dengan :
MX =
=
= 16,58
2. Mencari deviasi masing-masing nilai (x) dengan rumus x = X – Mx ( lihat
kolom 3)
3. Mengkuadratkan masing-masing deviasi yang sudah di dapat pada
langkah 2 menjadi ∑ x2, kemudian menjumlahkan x
2 menjadi x
2 = 979,6
4. Mencari standar deviasi dengan rumus :
SD = √ X
= √
979,6
= 97,6 ( Disederhanakan menjadi 10)
Ternyata SD-nya lebih tinggi dari pada MD-nya. Dan kalau kita cermati
dengan teliti tingkat ketelitiannya dari SD lebih teliti dari MD dalam
perhitungannya.
Mencari deviasi standar data tunggal yang masing-masing skor atau
nilai mempunyai frekuensinya lebih dari satu :
Contoh :
Perhatikan table dibawah ini.
Usia
(X) f fX x x
2 fx
2
45 2 90 5 25 50
44 4 176 4 16 64
43 5 215 3 9 45
42 6 252 2 4 24
41 8 328 1 1 8
40 10 400 0 0 0
VARIABILITY (Wanda Puspita) Page 19
39 8 312 -1 1 8
38 6 228 -2 4 24
37 5 185 -3 9 45
36 4 144 -4 16 64
35 2 70 -5 25 50
Total 60 = N 2400 =∑fX - 110 =∑x2 382 = ∑fx
2
Langkah-langkahnya sebagai berikut :
1. Mengalikan masing-masing antara X dengan f (lihat kolom 3)
2. Mencari meannya dengan rumus mean yaitu :
Mx =
=
= 40
3. Mencari deviasi masing-masing nilai (X) dengan rumus x = X - Mx
(lihat kolom 4).
4. Mengkuadratkan masing-masing deviasi yang sudah di dapat pada langkah
4. Menjadi X2
(lihat kolom 5).
5. Mengalihkan banyaknya frekuensi (f) dengan X2 menjadi FX
2. Kemudian
menjumlahkan semua FX2 menjadi ∑ fx
2 (kolom 6).
6. Mencari standar deviasi dengan rumus :
SD = √
= √
= √ = 2,524
b) Mencari Deviasi Standar (Standar Deviation) data berkelompok.
Mencari deviasi standar (Standart Deviation data berkelompok dengan
metode panjang
Rumus yang digunakan:
SD = √
Dimana
SD = Deviasi Standar atau Standar Deviation
∑f𝑥 = Jumlah seluruh perkalian frekuensi dengan deviasi standar
setelah dikuadratkan dari masing-masing interval.
VARIABILITY (Wanda Puspita) Page 20
N = Number of cases (jumlah individu)
Contoh:
Misalkan data yang tertera pada table 5.7 kita cari deviasi standarnya dengan
metode panjang.
Tabel 5.10 Perhitungan Standar Deviasi Metode Panjang
Interval
Nilai f X f.x x f
70-74 2 72 144 20 400 800
65-69 4 67 268 15 225 900
60-64 9 62 558 10 100 900
55-59 12 57 684 5 25 300
50-54 16 52 832 0 0 0
45-49 12 47 564 -5 25 300
40-44 9 42 378 -10 100 900
35-39 4 37 148 -15 225 900
30-34 2 32 64 -20 400 800
Total N= 70 - ∑fx= 3640 - ∑f = 5800
Langkah-langkahnya sebagai berikut:
1. Menentukan Midpoint (X) atau nilai tengah masing-masing kolom, (lihat kolom
3)
2. Mengalikan nilai Midpoint (X) atau nilai tengah frekuensi (f) sehingga didapat
Fx, Kemudian menjumlahkan Fx-nya sehingga diperoleh ∑fx= 3640 (lihat kolom
4)
3. Mencari Mean dengan rumus:
Mx =
=
= 52
4. Mencari Deviasi masing-masing midpoint (X) dengan rumus
X = X – Mx (lihat kolom 5)
5. Menguadratkan masing-masing nilai deviasi (x) menjadi (x2) . lihat kolom 6
VARIABILITY (Wanda Puspita) Page 21
6. Mengalikan antara nilai frekuensi (f) dengan masing-masing deviasi yang telah
dikuadratkan (x2) sehingga didapatkan fx
2. Kemudian menjumlahkan semua fx
2
sehingga didapat ∑f𝑥 = 5800
7. Mencari standar deviasi dengan rumus:
SD = √
= √
= √ = 9,1
Mencari Deviasi standar ( Standar Deviation ) data kelompok singkat.
SD= 𝑖 √
(
)
Dimana
SD = Deviasi standar atau Standar Deviasi
∑fx = Jumlah perkalian frekuensi dengan deviasi standar dari
masing-masing interval
∑fx2
= Jumlah perkalian frekuensi dengan deviasi standar setelah
dikuadratkan dari masing-masing interval
N = Number of cases (jumlah individu)
Contoh:
Misalkan data yang tertera pada table 5.7. Kita cari deviasi standarnya
dengan metode singkat.
Tabel 5.11. Perhitungan Standar Deviasi Metode Singkat
Interval
Nilai f X X f . x f .
70-74 2 72 5 10 25 50
65-69 4 67 3 12 9 36
60-64 9 62 2 18 4 36
55-59 12 57 1 12 1 12
50-54 16 52 (Mx) 0 0 0 0
45-49 12 47 -1 -12 1 12
VARIABILITY (Wanda Puspita) Page 22
40-44 9 42 -2 -18 4 36
35-39 4 37 -3 -12 9 36
30-34 2 32 -4 -8 16 32
N= 70 - ∑x = 1 ∑fx = 2 - ∑f = 250
Langkah – langkahnya sebagai berikut :
1. Menentukan Midpoint (X) atau nilai tengah pada masing=masing interval
(kolom 3).
2. Mencari Mean perkiraan dengan rumus 1/2 N. Karena N= 70, maka
1/2 x
70 = 35
3. Mencari deviasi masing-masing dengan memberi tanda plus untuk di atas
mean perkiraan dan memberi tanda minus di bawah mean perkiraan,
Ingat!
Urutan nilai +1. +2, +3, +4, dan seterusnya. Di atas mean perkiraan
penandaan tanda plus dan urutan -1, -2, -3, -4, dan seterusnya di bawah
mean perkiraan penandaan tanda plus. Lihat kolom 4
4. Mengalikan frekuensi masing-masing dengan deviasinya sehingga
didapatkan fx, lihat kolom 5.
5. Menguadratka masing-masing nilai deviasi (x) menjadi (x2), lihat kolom 6.
6. Mengalikan antara nilai frekuensi (f) dengan masing-masing deviasi yang
telah dikuadratkan (x2) sehingga didapatkan fx
2. Kemudian menjumlahkan
semua fx2 sehingga
didapatkan ∑ fx
2 = 250
7. Mencari standar deviasi dengan rumus:
SD = 𝑖 √
(
)
SD = 5 . √
(
)
SD = 5. √
SD = 5 . √
SD = 5 . 1,82
VARIABILITY (Wanda Puspita) Page 23
SD = 9,1 (hasilnya sama persis dengan cara panjang)
BAB III
KESIMPULAN
Berikut ini akan di paparkan kembali secara umum rumus-rumus yang telah kita bahas bersama
pada pembahasan sebelumnya.
1. Kuartil
Kuartil data tunggal : Qn = 𝜆 +( ⁄
)
Kuartil data kelompok : Qn = 𝜆 + i ( ⁄ –
)
2. Desil
Desil data tunggal : Dn = λ + ( ⁄
)
Desil data kelompok : Dn = λ + 𝑖 ( ⁄
)
VARIABILITY (Wanda Puspita) Page 24
3. Deviasi
Deviasi Rata-Rata : MD =
Deviasi Standar : SD = √ ∑X