bab 7-grup.pdf

Bab VII Pengantar Teori Grup

BAB VII

Pengantar Teori Grup

1. Kata pengantar

Pada materi sebelumnya telah dipelajari tentang himpunan, relasi biner,

perkalian kartesian secara teori maupun contoh implementasinya. Teori-teori tersebut

akan bermanfaat untuk pembahasan teori grup dan ring. Pada grup dan ring akan

menggunakan relasi biner maupun perkalian kartesian terhahap dua atau lebih

himpunan.

2. Kompetensi :

Setelah mempelajari materi ini mahasiswa dapat menerapkan sifat-sifat grup

pada permasalalah komputer.

3. Pokok Bahasan : Pengantar Teori Grup

Sub Pokok Bahasan :

Sistem Aljabar

Pengantar Teori Grup

Grub Bagian

Pembangkit dan Teori Kepangkatan

Koset dan Teorema Lagrange

Grup Permutasi dan Teorema Burnside

Kode dan Kode Grup

4. Kegiatan Belajar

Contoh kasus misalkan warna rambut seseorang dipengaruhi oleh warna

rambut kedua orangtuanya diilustrasikan sebagai berikut.

Matematika diskrit VII-1


ibu ayah

terang gelap

terang terang gelap

gelap gelap terang

anak

Maka jelas warna rambut anak dengan kedua orang tuanya dapat dinyatakan dalam

bentuk sebuah fungsi dari A x A ke A, A = { terang, gelap}.

Misal diketahui dua himpunan A dan B suatu fungsi dari A x A ke B

dinamakan operasi biner pada himpunan A. sering dijumpai fungsi A x A ke A,

keeadaan seperti ini disebut dengan operasi biner tertutup. Pada contoh warna

rambut anak operasi yang ada bersifat tertutup.

4.1. Sistem Aljabar

Secara intuitif menyatakan bahwa operasi biner menspesifikasikan suatu

cara untuk menggabungkan dua unsur untuk menghasilkan unsur ke tiga. Suatu

operasi biner dapat di deskripsikan dengan menggunakan operasi fungsi. Misal f

suatu fungsi dari A x A ke A maka f(a1, a2) merupakan bayangan dari pasangan

(a1, a2) yang ada dalam A x A.

Suatu himpunan bersama-sama dengan sejumlah operasi pada himpunan itu

membentuk sistem aljabar (algebraic system). Pada tulisan ini akan digunakan notasi

sistem aljabar (A, * , • , dan ) dimana A adalah himpunan, * , • , dan adalah

operasi pada himpunan A. Perhatikan himpunan bilangan asli N bersama-sama

dengan operasi penjumlahan + dan ’ . ’ membentuk sistem aljabar dengan dua

operasi yaitu (N, + , . ) 4.2. Pengantar teori grup

Misal * sebuah operasi biner pada himpunan A, operasi * dikatakan asosiatif jika Matematika diskrit VII-2


(x * y) * z = x * (y * z)

Definisi 7.1. : Misal (A, * ) suatu sistem aljabar dengan * merupakan operasi

biner pada A maka (A, * ) dinamakan semigrup apabila dipenuhi syarat

1. ’ * ’ merupakan suatu operasi tertutup

2. ’ * ’ merupakan suatu operasi asosiatif

Contoh 7.1.: Himpunan A merupakan himpunan bilangan bulat, A = { 2, 4, 6.... }

maka ( A, + ) memenuhi semigrup.

Jawab. : Karena ’ + ’ merupakan operasi tertutup didalam A ( penjumlahan

antara bilangan genap anggota himpunan A atau (A , +) merupakan bilangan genap

anggota himpunan A ) dan dipenuhi operasi asosiatif maka (A, +) adalah semi

grup.

Contoh 7.2.: S merupakan himpunan berhingga, misal S = {a, b, c}, A himpunan

tidak kosong dari S, A = { a, b, c, aa, ab, ac, ....aaa, bbb,...} maka (A, .) adalah semi grup.

Jawab. : Karena ’ . ’ merupakan operasi tertutup didalam A yaitu a . b operasi

biner dan anggota dari A. Operasi a . b merupakan penyambungan string a

dan b misalkan aa . abc = aaabc, (aa.bb) . cc = aa . (bb . cc) = aabbcc sifat

asosiatif dipenuhi maka ( A, . ) adalah semi grup.

Keidentikan

Misal (A, * ) suatu sistem aljabar dengan * operasi binernya suatu unsur e

dinamakan keindentikan kiri ( left identity ) jika untuk semua a di dalam A, e* x

= x. Secara umum misal e1 suatu keindentikan kiri dan e2 keindentikan kanan

untuk sistem aljabar (A, * ). Karena e1 sutatu keindentikan kiri maka e1 * e2 = e2

dan karena e2 sutatu keindentikan kanan maka e1 * e2 = e1. Jadi e1 = e2

kesimpulan jika e merupakan keindentikan kiri maka e juga merupakan



keindentikan kanan atau sistem tidak mempunyai keindentikan kanan sama sekali.

Begitu pula sebaliknya jika e merupakan keindentikan kanan maka e juga

merupakan keindentikan kiri atau sistem tidak mempunyai keindentikan kiri sama

sekali. Jadi dalam suatu operasi biner paling banyak hanya mempunyai satu unsur

keidentikan atau disebut dengan unsur netral.

Contoh 7.3.: Diberikan sistem aljabar sebagai berikut

* a b c d

a d a b c

b a b c d

c a b c c

d a b c d

Gambar . 7.1. Sistem Aljabar

unsur b dan d merupakan unsur keidentikan kiri yaitu b * a = a, b * b = b, b

* c = c, b * d = d, d * a = a, d * b = b, d * c = c serta d * d = d.

Contoh 7.4.: Diberikan sistem aljabar sebagai berikut

* a b c d

a a b d c

b b a c d

c c d a b

d d d b c

Gambar . 7.2. Sistem Aljabar

unsur a merupakan unsur keidentikan kanan yaitu a * a = a, b *a = b, c * a

= c dan d * a = d.



Contoh 7.5.: Misalkan ( N, + ) suatu sistem aljabar, N merupakan himpunan

bilangan asli dan operasi ’+’, merupakan operasi penjumlahan biasa maka 0

merupakan unsur keidentikan.

Jawab : Sangat jelas bahwa 0 merupakan unsur keindentikan kiri maupun kanan

dari N. Contohnya 1 + 0 =1 atau 0 + 1 = 1 hal ini berlaku untuk semua

anggota N , untuk setiap x anggota N maka x + 0 = 0 + x = x.

Definisi 7.2.: Suatu system aljabar (A,*) dengan * sebagai operasi biner pada A,

(A,*) disebut monoid jika dipenuhi :


2. ’* ’ merupakan suatu operasi asosiatif

3. Sistem tersebut mempunyai unsur keidentikan

Invers

Misal (A,*) suatu sistem aljabar dengan elemen keidentikan e dan x anggota

himpunan A maka suatu unsur y dinamakan kebalikan kiri ( left inverse) dari x

apabila y * x = e. Dan b dinamakan kebalikan kanan ( right inverse) unsur x apabila

x * y = e.

Definisi 7.3.: Suatu system aljabar (A,*) dengan * sebagai operasi biner pada A,

(A,*) disebut grup jika dipenuhi :


2. ’* ’ merupakan suatu operasi asosiatif

3. Sistem tersebut mempunyai unsur keidentikan

4. Setiap unsur di dalam A mempunyai invers

Contoh 7.6. : Karena dipenuhinya sifat asosiatif di dalam grup maka kebalikan kiri

suatu unsur juga merupakan kebalikan kanan unsur tersebut.

Bukti : Misalkan y suatu kebalikan kiri untuk x dan z suatu kebalikan kiri untuk y

serta e unsur keidentikan. Karena

(y * x) * y = e * y = y



maka diperoleh z * ((y * x) * y) = z * y = e

Karena operasi asosiatif, maka

z*((y * x) * y)=((z * y)*x)*y

= (e*x)*y

= x * y

Sehingga x * y = e.

Jadi y juga merupakan kebalikan kanan untuk x.

Untuk selanjutnya menyatakan invers dari x dinyatakan x -1.

Contoh 7.7 : Perhatikan sistem aljabar ( I, + ) dengan I adalah himpunan semua

bilangan bulat dan + operasi penjumlahan yang biasa. Maka (I, +) adalah

sebuah grup dengan 0 sebagai unsur keidentikan dan invers unsur n adalah -n.

Contoh 7.8 : Diberika sistem aljabar (G, ⊕ ), G = {GENAP, GANJIL} dan ⊕

merupakan oerasi biner yang didefinisikan

⊕ Genap Ganjil

Genap Genap Ganjil

Ganjil Ganjil Genap

Dengan kata ’GENAP’ merupakan unsur keidentikan dan kata ’GENAP dan

GANJIL’ merupakan invers bagi dirinya sendiri maka (G, ⊕ ) adalah suatu grup,

Contoh 7.9 : Perhatikan rotasi bangun-bangun geometrik pada sebuah bidang datar.

misalkan

R = { 00, 600, 1200, 1800, 2400 , 3000 } menyatakan enam kemungkinan cara

untuk memutar bangun geometrik pada bidang datar, yaitu memutar gambar

bersangkutan sebesar 00, 600, 1200, ... 3000 . Misalkan tanda * sebuah operasi biner

sedemikian rupa sehingga untuk a dan b di dalam R, a * b adalah rotasi sudut

yang besarnya sama dengan rotasi a diikuti dengan rotasi b. (R, *) merupakan Matematika diskrit VII-6


sebuah grup dengan 00 sebagai unsur keidentikan, invers rotasi 600 adalah rotasi

3000 , invers 1800 adalah dirinya sendiri, dan seterusnya.

Komutatip Misalkan * sebuah operasi biner pada A. Operasi * dikatakan komutatif apabila

y * x = y * x

untuk semua x, y didalam A.

Contoh 7.10 : Misalkan A menyatakan himpunan orang-orang dan Δ suatu operasi

biner demikian sehingga a Δ b yang lebih tinggi di antara a dan b serta sama

dengan a jika a dan b sama tingginya maka jelas, A bukan operasi yang komutatif.

Suatu grup (A, *) dinamakan grup komutatif atau grup Abel jika * adalah

suatu operasi komutatif. (kata Abel adalah nama matematikawan dari Norwegia

tahun 1802-1829). Suatu grup (A, *) dikatakan terhingga (finite) jika A adalah suatu

himpunan terhingga, dan dikatakan takhingga (infinite) jika A adalah suatu himpunan

takhingga. Ukuran himpunan A dinamakan ordo grup tersebut.

4.3 Grupbagian

Definisi 7.4. : Misalkan (A,*) sebuah sistem aljabar dan B suatu himpunan bagian

dari A Sistem aljabar (B,*) dinamakan sistembagian (subsystem) dari (A,*).

Misalkan (N, +) adalah sebuah sistem aljabar yang menggambarkan penjumlahan

bilangan-bilangan asli, E adalah himpunan semua bilangan genap jelas bahwa (E, +)

merupakan suatu sistembagian dari (N, +).

Misalkan (A, *) sebuah grup, dan B sebuah himpunan bagian dari A maka

(B, *) dinamakan grupbagian (subgroup) jika (B, *) juga merupakan suatu grup.

Untuk memeriksa apakah (B,*) suatu grupbagian atau bukan yang perlu dilakukan

1. Kita harus memeriksa apakah * merupakan suatu operasi tertutup pada B

atau bukan.



2. ’*’ telah diketahui merupakan operasi yang asosiatif.

3. Karena hanya ada suatu unsur e di dalam A sedemikian sehingga

e * x = x * e = x untuk semua x di dalam A, kita tinggal memeriksa apakah

e ada di dalam B atau tidak. Dengan kata lain, unsur keidentikan bagi sistem

(A, *) harus ada di dalam B untuk menjadi unsur keidentikan bagi (B, *).

4. Karena invers setiap unsur di dalam A bersifat tunggal maka untuk setiap

unsur y di dalam A , harus diperiksa bahwa invers juga ada di dalam B.

Contoh 7.11.: Misalkan (I, +) sebuah sistem aljabar, dengan I adalah himpunan

semua bilangan bulat dan + adalah operasi penjumlahan yang biasa maka jelas

bahwa (I, +) adalah sebuah grup. Lebih lanjut, jika E adalah himpunan semua

bilangan genap berarti himpunan E merupakan bagian dari I, maka (E, +)

merupakan sebuah grupbagian.

Teorema 7.1: Diketahui (A, *) sebuah grup dan B sebuah himpunanbagian dari A.

Jika B suatu himpunan terhingga, maka (B, *) merupakan suatu grupbagian dari

(A, *) jika operasi * tertutup pada B.

BUKTI. : Misalkan a sebuah unsur di dalam B. Jika operasi * tertutup pada

himpunan B maka unsur-unsur a, a2 , a3, ... semuanya pasti ada di dalam B.

Karena B suatu himpunan berhingga, berdasarkan pigeonhole principle, maka

pastilah ai = aj untuk i dan j tertentu, i < j. Ini berarti ai = ai * a j-i dengan demikian

a j-i merupakan unsur keidentikan untuk (A, *), dan ia ada di dalam B. Jika j - i >

1, maka karena a j-i = a * a j-i-1, dapat disimpulkan bahwa a j-i-1 adalah kebalikan

unsur a, dan ia ada di dalam B. Jika j - i = 1, maka ai = ai * a, sehingga a

merupakan unsur keidentikan dan sekaligus invers bagi dirinya sendiri. Jadi,

ketertutupan operasi * pada B menjamin bahwa (B, *) merupakan suatu

grupbagian.

4.4. Pembangkit dan Evaluasi Perpangkatan

Diketahui (A, *) sebuah sistem aljabar. Pada dimana A adalah himpunan

warna - warna dan operasi biner * menghasilkan kombinasi dua warna misalnya Matematika diskrit VII-8


merah * kuning = jingga. Apabila diketahui himpunan bagian warna - warna di dalam

A dan kita ingin tahu semua warna yang bisa diperoleh melalui semua kemungkinan

kombinasi dari warna-warna yang kita miliki. Selain itu, perhatikan grup (0o, 60o,

120o, 180o, 240 o, 300 o) yang menggambarkan rotasi bangun-bangun geometrik pada

bidang datar. Misalkan kita hanya bisa memutar bangun-bangun itu 120o setiap kali

rotasi 120o beberapa kali akan menghasilkan rotasi-rotasi ( 0o, 60o, 120o, 180o, 240 o)

Akan tetapi seandainya kita hanya bisa memutar 60o setiap kali, maka rotasi 60o

berturut-turut akan menghasilkan semua rotasi yang ada di dalam himpunan (0o, 60o,

120o, 180o, 240 o, 300 o)

Diketahui (A, *) adalah sebuah sistem aljabar, dengan * sebagai operasi

binernya. B = {al, a2, ...} adalah suatu himpunanbagian dari A. Misalkan Bl,

himpunanbagian dari A yang mengandung B (artinya B ⊆ B1) maupun semua unsur

ai * aj untuk semua ai dan aj di dalam B. Maka B1, dinamakan himpunan yang

dibangkitkan langsung Oleh B. Begitu pula misalkan B2 menyatakan himpunan yang

dibangkitkan secara langsung Oleh B1, ..., dan Bi+1 menyatakan himpunan yang

dibangkitkan secara langsung Oleh Bi . Selanjutnya, misalkan B• menyatakan

gabungan (union) dari B, B1, B2, ... Sistem aljabar. (B•, *) dinamakan sistembagian

yang dibangkitkan Oleh B, dan suatu unsur dikatakan dibangkitkan Oleh B jika unsur

itu ada di dalam B•. Perhatikan bahwa * merupakan suatu operasi yang tertutup pada

B•. Jadi, untuk suatu grup (A, *), jika B• ternyata merupakan suatu himpunan

berhingga (finite set), maka (B•, *) akan merupakan suatu grupbagian. Jika B• = A, B

dinamakan himpunan pembangkit (generating set) bagi sistem aljabar. (A, *).

Pada contoh tentang penggabungan warna himpunan pembangkit ialah suatu

himpunan bagian dari himpunan wama-warna yang gabungannya akan menghasilkan

semua warna yang ada di dalam himpunan asalnya.

Pada contoh tentang rotasi bangun-bangun geometrik, [60o] adalah suatu

himpunan pembangkit.

Definisi 7.5. : Suatu grup yang memiliki himpunan pembangkit yang terdiri dari satu

unsur saja dinamakan grup siklik (cyclic group).

Contoh 7.12: Gambar 7.4. menunjukkan sebuah grup siklik dengan {b} sebagai

salah satu himpunan pembangkitnya. Matematika diskrit VII-9


* a b c d

a a b c d

b b c d a

c c d a b

d d a b c

Gambar 7.4.

Perhatikan bahwa {c} juga merupakan himpunan pembangkit. Pada contoh rotasi

bangun-bangun geometrik, grup ((0o, 60o, 120o, 180o, 240 o, 300 o), *) juga merupakan

sebuah grup siklik.

Misalkan (A, *) sebuah grup siklik dan {a} suatu himpunan pembangkit bagi

(A, *) maka unsur-unsur di dalam A dapat diucapkan sebagai a, a , a . ... Karena

opera-sinya asosiatif, ai * aj = aj* ai = ai+ j , yang berarti setiap grup siklik adalah

komutatif.

Contoh 7.13 : Misalkan B suatu himpunan pembangkit bagi sistem aljabar (A, *).

Untuk suatu unsur a di dalam A, kita ingin tahu berbagai cara membangkitkan unsur a

itu. Yang dimaksud dengan membangkitkan unsur a ialah memperoleh a melalui

operasi berturut-turut terhadap unsur-unsur di dalam himpunan pembangkit tadi salah

satu cara membangkitkan a dapat dinyatakan melalui suatu barisan unsur-unsur di

dalam A

a1 a2 a3 ... ar

sedemikian rupa sehingga ar = a, dan setiap ai 1≤ i ≤ r, dapat katakan sebagai ai * ak ,

dengan ai dan ak berasal dari B atau berada di sebelah kiri ai di dalam barisan

unsur-unsur tadi. Karena suatu barisan r unsur seperti di atas ada kaitannya dengan

pembangkitan unsur a melalui r kali penerapan operasi * terhadap unsur-unsur di

dalam himpunan pembangkit dan unsur-unsur yang telah dibangkitkan, akan menarik

sekali kalau kita bisa memperoleh barisan yang pendek yang akan membangkitkan

suatu unsur tertentu. Yang menjadi masalah bagaimana memperoleh prosedur yang



efisien untuk menghitung perpangkatan xn bagi suatu x tertentu dan suatu bilangan

bulat positif n.

Contoh 7.14: Perhatikan sistem aljabar ( I, +), dengan I adalah himpunan semua

bilangan bulat positif dan + operasi penjumlahan biasa maka jelas bahwa B = { 1 }

merupakan himpunan pembangkit bagi sistem ini.

Untuk suatu bilangan bulat n tertentu, kita ingin tahu berbagai cara untuk

membangkitkan n ini. Misalnya, barisan berikut menunjukkan beberapa cara untuk

membangkitkan bilangan 9:

2 3 4 5 6 7 8 9

2 3 4 5 9

2 4 8 9

Suatu barisan unsur-unsur di dalam I yang menuntun pada pembangkitan

suatu bilangan bulat n dinamakan rantai penjumlahan (addition chain) bagi n.

Kaitan antara rantai penjumlahan bagi n dan suatu prosedur untuk mengevaluasi xn

untuk suatu nilai x tertentu menjadi sangat jelas mengingat bahwa. xj . xk. = x j+k.

Sebagai ilustrasi untuk menentukan suatu rantai penjumlahan terpendek bagi

suatu bilangan bulat n.

4.5. Koset dan Teorema Lagrange

4.5.1. Koset kiri dan kanan

Perhatikan contoh rotasi bangun-bangun geometrik, misalkan suatu rotasi awal

00 atau 1200 atau 2400 akan diikuti dengan rotasi 600. Kita ingin tahu semua

kemungkinan total rotasi sudutnya. Misalkan (A, *) adalah sebuah sistem aljabar

dengan * sebagai operasi binernya, dengan a sebuah unsur di dalam A dan H

sebuah himpunan bagian dari A. Koset kiri (left coset) H relatif terhadap a, yang

dilambangkan dengan a* H adalah himpunan {a * x | x ∈ H). Begitu pula, koset

kanan (right coset) H relatif terhadap a, dilambangkan dengan H * a adalah

himpunan { x * a | x ∈ H).



Banyak yang dapat dikatakan mengenai koset bila kita membatasi pada

koset-koset di dalam grup. Misalkan (A, *) sebuah grup dan (H, sebuah grupbagian

dari (A, *) maka diperoleh teorema berikut.

Teorema 7.2: Misalkan a * H dan b* H adalah dua koset bagi H. Terdapat dua

kemungkinan yang dihadapi yaitu a * H dan b* H saling terpisah atau keduanya

sama.

Bukti : Misalkan a * H dan b * H saling terpisah, dan mempunyai f sebagai suatu

unsur bersama, berarti terdapat h1 dan h2 di dalam H sedemikian rupa sehingga f =

a * h1 = b * h2, sehingga a = b * h2 * . Untuk sembarang unsur x di dalam a * H,

karena x = a * h

11h −

3 untuk h3 tertentu di dalam H, maka diperoleh x = b*h2* * h11h −

3

yang merupakan suatu unsur di dalam b * H sebab h2* * h11h −

3 adalah sebuah unsur di

dalam H. Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan bahwa setiap unsur di dalam b *

H juga merupakan unsur di dalam a * H. Jadi, kita simpulkan bahwa kedua himpunan

a * H dan b * H adalah sama.

Misalkan (A, *) adalah sebuah grup, dan (H, *) adalah sebuah grupbagian

dari (A, *). Karena (A, *) adalah sebuah grup, maka untuk sembarang a di dalam A

dan h1 dan h2 di dalam H (h1 ≠ h2 ), maka kita memperoleh a * h1 ≠ a * h2. Dengan

demikian, ukuran (banyaknya unsur) suatu koset bagi H sama dengan ukuran H itu

sendiri. Selain itu, karena H mengandung unsur keidentikan grup tersebut, jika kita

cari semua koset kiri ( kanan) yang dimiliki Oleh H, berarti semua unsur di dalam A

telah tercakup. Dengan demikian, kita dapat menyimpulkan bahwa koset-koset kiri

bagi H membentuk suatu sekatan (partisi) bagi A, dengan setiap bloknya mempunyai

jumlah unsur yang sama. Jadi, ukuran himpunan A sama dengan banyaknya koset kiri

yang berbeda bagi H dikalikan dengan ukuran H. Dengan kata lain:

Teorerna 7.3 (Lagrange) Ordo suatu grupbagian membagi habis ordo grup

induknya, asalkan grup induknya ini berordo terhingga.



Akibat dari teorema Lagrange ini, pertama, grup yang berordo bilangan prima tidak

mempunyai grupbagian yang tidak trivial. Dengan demikian, suatu grup berordo

prima pasti bersifat siklik, dan setiap himpunan yang terdiri dari satu unsur selain

unsur keidentikan merupakan suatu himpunan pembangkit.

4.6. Grup Permutasi Dan Teorema Burnside

Di dalam pasal ini dipelajari suatu jenis grup yang penting. Suatu fungsi satu-satu dari

himpunan S ke atas dirinya sendiri (onto itself) dinamakan pemutasi himpunan S

tersebut.

Akan digunakan notasi bagi permutasi himpunan {a, b c, d} yang

memetakan a ke b, b ke d, c ke c, dan d ke a; di barisan atas unsur-unsur himpunan

itu dituliskan dalam urutan sembarang, sedangkan di barisan bawah bayangan suatu

unsur dituliskan di bawah unsur itu sendiri.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛bdcaabcd

Untuk suatu himpunan S yang mempunyai n buah unsur, misalkan A adalah

himpunan semua n! permutasi unsur-unsur himpunan S. Selanjutnya kita definisikan

suatu operasi biner ο pada A yang berupa komposisi dua fungsi dengan catat bahwa

operasi biner ο adalah suatu operasi yang tertutup pada A.

Contoh 7.15: Misalkan π1 dan π2 keduanya adalah permutasi unsur-unsur

himpunan

S = (a, b, c, ..., x, y, z), tunjukkan bahwa π1 ο π2 adalah suatu permutasi

himpunan S.

Jawab : Untuk menjawab permasalahan ini kita cukup menunjukkan bahwa

tidak ada dua unsur di dalam S yang dipetakan ke unsur yang sama oleh π1 ο π2.

Misalkan bahwa π2 memetakan unsur a ke b sedangkan π1 , memetakan unsur b ke c.

Dengan demikian, π1 ο π2 akan memetakan unsur a ke c. Misalkan x adalah suatu

unsur sembarang yang bukan a. karena π2 adalah suatu permutasi himpunan S,

berarti π2 memetakan x ke suatu unsur yang bukan b katakanlah y. Begitu pula, π1



memetakan y ke suatu unsur yang bukan c, katakanlah z maka π1 ο π2 memetakan x

ke z.

Sehingga dapat disimpulkan bahwa π1 ο π2 selalu memetakan dua unsur yang

berbeda (misalnya a dan x) ke dua unsur yang berbeda pula (misalnya, c dan z), Oleh

karena itu merupakan suatu permutasi himpunan S.

Ilustrasi contoh soal 7.15 misalkan

π1 = , π⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛adbcabcd

2 = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛bacdabcd

diperoleh π1 ο π2 = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛bdcaabcd

operasi biner ‘ο’ memenuhi sifat asosiatif. Artinya untuk sembarang permutasi π1 ,

π2 dan π3 unsur-unsur suatu himpunan, berlaku (π1 ο π2 ) ο π3 = π1 ο ( π2 ο π3 ).

Untuk mengetahui ini misalkan π3 memetakan a ke b π2 memetakan b ke c, dan π1

memetakan c ke d. Karena π1 ο π2 memetakan b ke d, (π1 ο π2) ο π3 memetakan a

ke d. Begitu pula, karena π2 ο π3 memetakan a ke c, π1 ο ( π2 ο π3 ) memetakan a

ke d

selanjutnya misalkan

π1 = , π⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛adbcabcd

2 = dan π⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛bacdabcd

3 = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛bdacabcd

maka

(π1 ο π2) ο π3 = = = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛bacdabcd

adbcabcd

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛bdacabcd

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛dabcabcd

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛bdacabcd

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛acdbabcd

dan π1 ο ( π2 ο π3 ) = = = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛adbcabcd

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛bdacabcd

bacdabcd

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛adbcabcd

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛adbcabcd

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛acdbabcd

ini berarti (A, ο) adalah sebuah grup, dengan permutasi yang memetakan setiap unsur

didalam S ke dirinya sendiri bertindak sebagai unsur keidentikan, dan kebalikan



(inverse) suatu permutasi π ialah permutasi yang memetakan kembali π (a) ke a

untuk semua a di dalam S.

Contoh 7.16: Misal, S = {a, b c, d } unsur keidentikan untuk (A, ο) adalah

kebalikan adalah .

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛abcdabcd

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛bacdabcd

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛cabdabcd

Suatu grup bagian dari (A, ο) biasanya dinamakan grup permutasi himpunan S.

4.7. Kode Dan Kode Grup

4.7.1. Kode

Masalah pengkodean pada dasarnya adalah permasalahan merepresentasikan

pesan-pesan yang berbeda dengan barisan - barisan berbeda yang terdiri dari huruf-

huruf suatu alfabet. Kata kode diartikan sebagai kumpulan kata-kata yang

digunakan untuk mempresentasikan pesan-pesan yang berbeda. Suatu kata dalam

sebuah kode juga dinamakan katakode(codeword), sedangkan yang dimaksud

dengan kode blok adalah kode yang terdiri atas kata kata yang panjangnya sama.

Pemilihan kode blok adalah kemampuannya untuk memperbaiki kesalahan. Dalam

proses pengiriman dapat terjadi gangguan, gangguan tersebut dapat menyebabkan

sebagian angka 1 dalam kata kode diterima sebagai angka 0 begitu pula sebaliknya

angka 0 diterima sebagai angka 1. Hal ini mengakibatkan pesan yang dikirim tidak

sama dengan pesan yang diterima. Misalkan A menyatakan himpunan semua

barisan biner yang panjangnya n notasi ⊕ menyatakan operasi biner pada himpunan

A, x dan y elemen himpunan A. maka x ⊕ y menyatakan suatu barisan dengan

panjang n yang mempunyai angaka 1 pada posisi x dan y yang berbeda dan 0 pada

posisi x dan y yang sama.

Contoh 7.17 : Diberikan barisan biner x = 00101 dan y = 10110

maka

x ⊕ y = 10011

Diberikan x sebuah kata dalam himpunan A, bobot x dilambangkan w(x) yang

menyatakan banyak angka 1 didalam x.



Contoh 7.18: - bobot barisan biner 111000 adalah 3 (banyak angka 1 pada barisan

biner adalah tiga).

- bobot barisan biner 1001100 adalah 3 (banyak angka 1 pada

barisan biner adalah tiga).

Untuk sembarang x dan y elemen himpunan A, jarak antara x dan y

dilambangkan d(x,y) sedangkan bobotnya x ⊕ y adalah w(x ⊕ y). Jarak antara dua

kata adalah posisi dimana keduanya berbeda.

Contoh 7.19 : - barisan biner 1110000 dan 1001100 mempunyai jarak 4

- barisan biner 1110000 dan 000111 mempunyai jarak 7

Untuk sembarang x dan y d(x,y) = d(y, x). Untuk sembarang x, y dan z didalam A

maka

d(x,y) ≤ d(x, z) + d(z, y).

Bukti :

w(u ⊕ v) ≤ w(u) + w (v) sehingga diperoleh

w(x ⊕ y) = w(x ⊕ z ⊕ z ⊕ y)

≤ w(x ⊕ z) + w( z ⊕ y)

maka d(x,y) ≤ d(x, z) + d(z, y).

Misalkan G sebuah kode blok. Jarak G didefinisikan sebagai jarak minimum antara

pasangan-pasangan katakode yang berbeda di dalam G. Jarak kode blok berkaitan

sangat erat dengan kemampuannya mengoreksi kesalahan, misalkan sehubungan

dengan dikirimnya sebuah katakode di dalam G, kata y telah diterima. Masalah yang

kita hadapi adalah menentukan dari y katakode yang dikirimkan.

Contoh 7.20: Asumsikan pada kasus sederhana yaitu bahwa y merupakan salah

satu katakode yang ada di dalam G. Secara cepat akan disimpulkan bahwa kata

sesungguhnya yang dikirimkan adalah y, karena kita mengasumsikan bahwa di



dalam proses pengiriman, kesalahan bisa terjadi di dalam posisi yang mana pun.

Salah satu katakode di dalam G mungkin saja menjadi kata yang sesungguhnya

terkirim. Pada saat diputuskan bahwa kata yang dikirimkan adalah y, secara

diam-diam kita telah mengasumsikan bahwa bila sebuah kata dikirimkan, lebih

besar kemungkinannya tidak terjadi kesalahan daripada terjadi kesalahan.

Akan dicoba suatu cara bagaimana menentukan kata yang dikirimkan untuk setiap

kata y yang diterima, yaitu misalkan x1, x2,… xn adalah kata-kata kode yang ada di

dalam G, akan dihitung peluang bersyarat P(xi | y) untuk i = 1, 2, ..., N; P(xi | y)

adalah peluang bahwa xi adalah kata yang dikirimkan bila ternyata bahwa y adalah

kata yang diterima. Jike P(xk | y) adalah yang terbesar di antara semua peluang

bersyarat yang kita hitung tadi kita akan menyimpulkan bahwa xk adalah kata

sesungguhnya yang dikirimkan. Kriterium demikian untuk menentukan kata yang

sesungguhnya dikirimkan dikenal sebagai kriterium pengdekodean kemungkinan –

maksimum (maximum-likelihood decoding criterion). Penghitungan peluang

bersyarat P(xi | y) bisa sangat rumit sebab peluang itu bergantung pada banyak faktor

di dalam sistem komunikasi tersebut.

Sebagai alternatif dikenalkan kriterium lain yang dapat digunakan untuk

menentukan kata yang dikirimkan yaitu kriterium pengdekodean jarak-minimum .

Hitung d(xi , y) untuk i = 1, 2, ... I N, dan disimpulkan bahwa xk adalah kata yang

dikirimkan Jika d(xk , y) merupakan yang terkecil di antara semua jarak yang dihitung.

Ini dikenal sebagai kriterium pengdekodean jarak-minimum (minimum-distance

decoding criterion).

Jika diasumsikan bahwa terjadinya kesalahan di dalam posisi-posisi itu bebas

satu sama lain, dan bahwa peluang terjadinya satu kesalahan adalah p, maka P(xi | y)

= (1 - p)n-t pt, dalam hat ini t adalah jarak antara. xi dengan y.

Untuk p < 1/2 semakin kecil d(xi,, y), semakin besar nilai P(xi | y) ini berakibat

kriterium pengdekodean jarak-minimum menjadi sama dengan kriterium

pengdekodean kemungkinan-maksimum. (Dalam kasus demikian, kesimpulan bahwa

kata yang dikirimkan adalah y bila kata yang diterima y adalah sebuah katakode dapat

dibenarkan)



Perlu dicatat bahwa suatu kode yang berjarak 2t + 1 dapat mengoreksi t atau kurang

kesalahan pengiriman bila kriterium pengdekodean jarak minimum diikuti. Misalkan

sebuah katakode x dikirimkan dan kata y diterima. Jika terjadi kesalahan tidak lebih

dari 1/2 selama pengiriman, maka kita peroleh

d(x, y) ≤ ½

Misalkan x, sebuah katakode yang lain. Karena

d(x, xj ) ≥ 2t + 1

dan d(x, xj) ≤ d(x, y) + d(y, xj) maka d(y, xj) ≥ t + 1

Jadi, kriterium pengdekodean jarak-minimum akan memilih x sebagai kata yang

dikirimkan.

4.7.2. Kode Grup

Suatu himpunan bagian G dari himpunan A dinamakan kode grup jika (G, ⊕)

merupakan suatu grupbagian dari (A,a), dimana A adalah himpunan barisan-barisan

biner yang panjangnya n. Berikut ini akan di tunjukan bahwa jarak himpunan G sama

dengan bobot minimum kata-kata bukan-nol yang ada di dalam G, karena ini akan

lebih mudah untuk menghitung jarak suatu kode grup sebab tidak lagi perlu

menghitung jarak antara semua kemungkinan pasangan kata-kata yang berbeda di

dalam G.

Misalkan x sebuah kata bukan-nol di dalam G.

Karena w(x) = d(x,0) , karena 0 ada di dalam G, maka diperoleh peroleh

w(x) ≥ min [d(y, z)] untuk y, z ∈ G

Akan tetapi untuk sembarang y dan z di dalam G, karena

d(y, z) = w(y ⊕ z)



karena y ⊕ z juga ada di dalam G, kita peroleh

d(y, z) ≥ min [w(x)], x ∈ G, x ≠ 0

sehingga

min[w(x)] ≥ min [d(y, z)] untuk x ≠ 0, x, y, z ∈ G

min d(y, z) ≥ min [w(x)], untuk x ≠ 0, x, y, z ∈ G

maka diperoleh

min [w(x)] = min [d(y, z)] untuk x ≠ 0, x, y, z ∈ G

Cara lain kode grup yang lebih efisien untuk menentukan kata yang

dikirimkan, setiap kata yang diterima berdasarkan kriterium pengdekodean jarak-

minimum. Misalkan (G, ⊕) adalah sebuah kode grup dan y adalah kata yang

diterima. Karena d(xi , y) = w(xi ⊕ y) pembobot bagi kata di dalam koset G ⊕ y

merupakan jarak antara kata-kata kode di dalam G dengan y. Misalkan e adalah kata

dengan pembobot terkecil di dalam G ⊕ y, e = xj ⊕ y, dengan xj ada di dalam G.

Maka berdasarkan kriterium pengdekodean jarak-minimum e ⊕ y = xj , merupakan

kata kode yang dikirimkan untuk semua y di dalam koset G ⊕ y. Maka prosedur

pengkodean dapat dinyatakan sebagai berikut:

a. Tentukan semua koset bagi G.

b. Untuk setiap koset, ambillah kata dengan pembobot terkecil yang akan

dinamakan pemimpin koset tersebut (leader of the coset).

c. Untuk suatu kata y yang diterima, e ⊕ y diputuskan sebagai kata yang

dikirimkan, dengan e sebagai pemimpin koset yang mengandung y.

Contoh 7.21: Misalkan G adalah himpunan bilangan biner berhingga yaitu G =

(10000, 0011, 1101, 1110). Tunjukkan bahwa (G, ⊕) adalah sebuah grup .

Jawab : Koset-koset yang berbeda untuk G dinyatakan sbb:



0000 0011 1101 1110

1000 1011 0101 0110

0100 0111 1001 1010

0010 0001 1111 1100

Berdasarkan kriterium pendekodean jarak-minimum, kata 1011 yang diterima

akan dikodekan sebagai 0011, kata 1010 yang diterima akan didekodekan sebagai

1110, dan kata 1111 yang diterima akan didekodekan sebagai 1101 atau 1110

bergantung pada manakah yang dipilih, 0010 atau 0001, sebagai pemimpin koset yang

mengandung kata 1111.

Resume :

1. Misal (A, * ) suatu sistem aljabar dengan * merupakan operasi biner pada A

maka (A, * ) dinamakan semigrup apabila dipenuhi syarat

a) * merupakan suatu operasi tertutup

b) * merupakan suatu operasi asosiatif

2.Keidentikan ,(A, * ) suatu sistem aljabar dengan * operasi binernya suatu unsur e

dinamakan keindentikan kiri ( left identity) jika untuk semua a di dalam A,

e* x = x.

3.Monoid, suatu system aljabar (A,*) dengan * sebagai operasi biner pada A, (A,*)

disebut monoid jika dipenuhi :

a) ’ * ’ merupakan suatu operasi tertutup

b) ’* ’ merupakan suatu operasi asosiatif

c) Sistem tersebut mempunyai unsur keidentikan

4. Kebalikan (invers), (A,*) suatu sistem aljabar dengan unsur keidentikan e, dan

x anggota himpunan A maka suatu unsur y dinamakan kebalikan kiri ( left

inverse) dari x apabila y * x = e, dan y dinamakan kebalikan kanan ( right

inverse) unsur x apabila x * y = e.



5.Grup, suatu system aljabar (A,*) dengan * sebagai operasi biner pada A, (A,*)

disebut grup jika dipenuhi :

a) ’ * ’ merupakan suatu operasi tertutup

b) ’* ’ merupakan suatu operasi asosiatif

c) Sistem tersebut mempunyai unsur keidentikan

d) Setiap unsur di dalam A mempunyai invers

6. Komutatip, misalkan * sebuah operasi biner pada A. Operasi * dikatakan

komutatif apabila

y * x = y * x

untuk semua x, y didalam A.

7. Grupbagian, misalkan (A,*) sebuah sistem aljabar dan B suatu himpunan bagian

dari A Sistem aljabar (B,*) dinamakan sistembagian (subsystem) dari (A,*).

8. Grup siklik, suatu grup yang memiliki himpunan pembangkit yang terdiri dari satu

unsur saja dinamakan grup siklik (cyclic group).

9. Koset, misalkan (A, *) adalah sebuah sistem aljabar dengan * sebagai operasi

binernya, dengan a sebuah unsur di dalam A dan H sebuah himpunan bagian dari

A. Koset kiri (left coset) H relatif terhadap a, yang akan dilambangkan dengan a*

H, ialah himpunan {a * x | x ∈ H}. Begitu pula, koset kanan (right coset) H relatif

terhadap a, dilambangkan dengan H * a, ialah himpunan { x * a | x ∈ H}.



Referensi :

1. Liu, C. L.: "Introduction to Combinatorial Mathematics," McGraw-Hill Book Company, NewYork, 1968.

2. Paley, H., dan P. M. Weichsel: "A First Course in Abstract Algebra," Holt,

Rinehart and Winston,New York, 1966. 3. Peterson, W. W., dan E. J. Weldon, Jr.: "Error-correcting Codes," edisi ke-2, Mrr

Press, Cambridge, Mass., 1972. Latihan :

7.1. Misalkan N himpunan semua bilangan asli untuk masing-masing berikut ini

tentukan

apakah suatu operasi yang asosiatif atau tidak:

a). a • b = masks (a, b) b). a • b = min (a, b + 2) c). a • b = a + b + 3

d). a • b = a + 2b

min (a, b) jika min (a, b) < 10

e). a • b = masks (a, b) jika min (a, b) ≤ 10

7.2. Misalkan (A, *) sebuah sistem aljabar, dengan * sebagai operasi binernya, dan

untuk sembarang a dan b di dalam A, a * b = a.

a). Tunjukkan bahwa * suatu operasi yang asosiatif. b). Dapatkah menjadi suatu operasi yang komutatip

7.3. Misalkan (A, sebuah sistem aljabar, sedemikian rupa sehingga untuk sernua a, b,

c, d di dalam A

a * a = a

(a * b) * (c * d) = (a * c) * (b * d)



Tunjukkan bahwa

a * (b * c) = (a * b) * (a * c).

7.4. Misalkan Zn, menyatakan himpunan bilangan-bilangan bulat { 0, 1, 2,... , n – 1}.

Misalkan suatu operasi biner pada Zn sedemikian rupa sehingga

a ⊗ b = sisa pembagian ab oleh n

a). Buatlah tabel bagi operasi ⊗ untuk n = 4.

b). Tunjukkan bahwa untuk sembarang n, (Zn, ⊗) adalah suatu semigrup.

7.5. Misalkan (A, •) sebuah semigrup, dan misalkan a sebuah unsur di dalam A.

Perhatikan suatu operasi biner pada A sedemikian rupa sehingga, untuk setiap

x dan y di dalam A, x y = x • a • y

Tunjukkan bahwa merupakan suatu operasi yang asosiatif. 7.6. Misalkan (A, •) sebuah semigrup. Salain itu, untuk setiap a dan b di dalam A, jika

a ≠ b, maka a • b ≠ b • a.

a). Tunjukkan bahwa untuk setiap a di dalam A, a • a = a b). Tunjukkan bahwa untuk setiap a, b di dalam A, a • b • a = a c). Tunjukkan bahwa untuk setiap a, b, c di dalam A.

a • b• c = a • c

Petunjuk: Perhatikan bahwa a • b = b• a berimplikasi a = b. 7.7. Misalkan (A, •) sebuah semigrup. Tunjukkan bahwa, untuk a, b, c di dalam A,

jika

a • c = c •a dan b • c = c • b, maka (a • b) • c = c • (a • b).

7.8 Misalkan ({a, b},•) . sebuah semigrup dengan a • a = b. Tunjukkan bahwa:

a). a • b = b • a

b). b•.b = b



7.9 Misalkan (A, •) sebuah semigrup komutatif. Tunjukkan bahwa jika a • a = a

dan b • b = b, maka (a • b) • (a • b) = a • b.

7.10. Misalkan (A, •) sebuah semigrup. Tunjukkan bahwa jika A sebuah himpunan

terhingga, maka ada a di dalam A sedemikian rupa sehingga a • a = a.

7.11. Misalkan (A, •) sebuah semigrup. Selain itu, misalkan ada unsur a di dalam A

sedemikian rupa sehingga untuk setiap x di dalam A, ada u dan v di dalam A

yang memenuhi relasi

a • u = v • a = x

Tunjukkan bahwa ada unsur keidentikan di dalam A.

7.12. Misalkan (A, •) sebuah semigrup dan e sebuah unsur keidentikan kiri. Selain itu,

untuk setiap x didalam A ada di dalam A sedemikian rupa sehingga • x = e .

^x

^x

a). Tunjukkan bahwa untuk sembarang a, b, c di dalam A, jika a • b = a • c,

maka

b = c.

b). Tunjukkan bahwa (A, •) adalah sebuah grup dengan cara menunjukkan

bahwa e adalah sebuah unsur keidentikan. Petunjuk: Perhatikan bahwa •

x• • x = e .

^x

^x

7.13. Misalkan (A, *) sebuah sistem aljabar sedemikian rupa sehingga untuk semua a,

b di dalam A

(a* b) * a = a

(a * b) * b = (b * a) * a

a). Tunjukkan bahwa a * (a * b) = a * b untuk semua a dan b

b). Tunjukkan bahwa a * a = (a* b) * (a * b) untuk semua a dan b.

c). Tunjukkan bahwa a * a = b* b untuk semua a dan b.

d). Misalkan e menyatakan unsur a * a. Tunjukkan bahwa e* a = a dan a * e = e



7.14. Grupoid pusat (central grupoid) ialah sebuah sistem alabar (A, *) dengan *

sebagai operasi binernya dan

(a * b) * (b * c) = b

untuk semua a, b, c di dalam A.

a). Tunjukkan bahwa

a * ((a* b) *c) = a* b

(a * (b* c)) * c = b *c

di dalam sutu grupoid pusat.

b). Misalkan (A, *) sebuah sistem aljabar dengan * sebagai operasi binernya

dan

(a * ((b * c) * d)) * (c * d) = c

7.15. Misalkan G adalah himpunan bilangan biner berhingga yaitu G = (00000,

11111). Buatlah table koset untuk menunjukkan bahwa G benar-benar dapat

mengoreksi semua kesalahan pengiriman tunggal ( single - transmissions -

error ) maupun pengiriman ganda ( doble - transmissions - error ).


bab 7-grup.pdf

Documents