bab 4 kamiran
TRANSCRIPT
BAB 4 KAMIRAN
4.1 ANTI KAMIRAN PEMBEZAAN DAN KAMIRAN TAK TENTU
Proses untuk mendapat semula fungsi daripada pekali pembezaannya merupakan songsangan bagi operasi pembezaan. Proses ini disebut sebagai proses mencari anti pembezaan. Dengan perkataan lain, jika dapat dicari suatu fungsi F(x) dengan pekali pembezaannya ialah f(x) iaitu F’(x) = f(x), maka F(x) dikatakan suatu anti pembezaan bagi f(x).
Takrif 4.1 (Anti Pembezaan)
Fungsi F(x) dikatakan suatu anti pembezaanbagi suatu fungsi f(x) jika
F’(x) = f(x)
Untuk setiap x dalam domain f.
Teorem 4.1 (Kewujudan Anti Pembezaan)
Jika F’(x) = f(x)pada setiap titik dalam sebarang selang [a , b], maka setiap anti pembezaan G bagi f dalam [a , b] adalah berbentuk
G(x) = F(x) + C,
Dengan C pemalar sembarangan untuk semua x Î[a , b].
Daripada Teorem 4.1 jelas bahawa proses mendapatkan anti pembezaan tidak akan menghasilkan fungsi yang unik. Sebaliknya akan terhasil satu set fungsi-fungsi yang berbeza pada nilai pemalarnya. Proses mendapatkan anti pembezaan ini biasanya dissebut sebagai pengamiran.
Takrif 4.2 (Kamiran Tak tentu)
Set semua anti pembezaan bagi fungsi f(x) dinamakan kamiran tak tentu bagi f terhadap x, dilambang sebagai
simbol merupakan tatatanda kamiran, f(x) disebut fungsi yang dikamirdan x ialah pembolehubah kamiran.
Daripada Teorem 4.1 dan Takrif 4.2, jika F’(x) = f(x)untuk semua x, maka
http://www.oocities.org/enotebvp/bab4/bab_4_kamiran.htm
(4.1)
Pemalar C disebut pemalar kamiran dan persamaan (4.1) dibaca sebagai ‘kamiran tak tentu bagi f terhadap xialah F(x) + C’. Daripada penjelasan yang di atas, dapat dibuat kesimpulan bahawa setiap rumus pembezaan
adalah setara dengan suatu rumus kamiran
Contoh
4.2 ALJABAR KAMIRAN TAK TENTU
Teorem 4.2 (sifat Asas Kamiran Tak Tentu)
a)Pemalar k boleh dikeluarkan daripada tanda kamiran, iaitu
b) Kamiran hasil tambah (dan hasil tolak) bersamaan dengan hasil tambah (atau hasil tolak) kamiran, iaitu
4.3 TEOREM ASAS KALKUKLUS KAMIRAN
Teorem 4.3 (Teorem Asas Kalkulus)
Jika suatu fungsi f(x)adalah selanjar di dalam selang [a,b], maka
dengan F(x) ialah sebarang fungsi sehingga f’(x) = f(x) untuk semua x Î[a,b].
Untuk menyelesaikan kamiran tentu, boleh juga diselesaikan kamiran tak tentu terlebih dahulu. Setelah jawapan diperoleh, masukkan pula had-had kamiran yang diberi.
Teorem 4.4 (Sifat Asas Kamiran Tentu)
http://www.oocities.org/enotebvp/bab4/bab_4_kamiran.htm
Jika f(x) dan g(x)ialah fungsi selanjar di dalam selang [a,b], maka
a) , jika f(a) wujud
b)
c)
d)
e) , dengan a≤c≤b
f)
Contoh
4.4 KAEDAH PENGAMIRAN
4.4.1 Kamiran Dengan Kaedah Gantian
Kaedah ini merupakan kaedah pertama yang perlu dicuba dalam proses menyelesaikan sesuatu kamiran. Tujuan kaedah ini ialah untuk menukar ungkapan yang dikamir kepada suatu ungkapan dalam bentuk kamiran asas.
Andaikan u ialah suatu fungsi boleh beza terhadap x, maka
(4.5)
Untuk menentusahkan rumus ini, misalkan F merupakan suatu anti pembezaan bagi f, supaya
atau bentuk yang setara,
(4.6)
http://www.oocities.org/enotebvp/bab4/bab_4_kamiran.htm
Oleh kerana u merupakan suatu fungsi yang boleh beza terhadap x, dengan petua rantai diperoleh
atau bentuk yang setara,
(4.7)
Rumus (4.5) diperoleh daripada (4.6) dan (4.7). Pada umumnya kamiran yang ingin diselesaikan adalah bentuk
Daripada rumus (4.5) kamiran ini dapat diungkap dalam bentuk
Dengan pilihan yang tepat u=g(x), kamiran di sebelah kanan lebih mudah untuk diolah berbanding dengan kamiran asal. Jika tidak kamiran akan menjadi rumit.
Langkah-langkah kaedah gantian
Langkah 1
Buat pilihan untuk u, andaikan u = g(x)
Langkah 2
Dapatkan
Langkah 3
Lakukan gantian u = g(x), du=g’(x)dx.
Pada peringkat ini, keseluruhan kamiran mestilah dalam sebutan u, iaitu tiada lagi sebutan x. jika langkah ini tidak dapat dilakukan, buat pilihan yang lain untuk u.
Langkah 4
http://www.oocities.org/enotebvp/bab4/bab_4_kamiran.htm
Selesaikan kamiran yang diperoleh.
Langkah 5
Gantikan semula u dengan g(x),supaya jawapan terakhir dalam sebutan x.
Contoh
4.4.2 Kaedah Bahagian Demi Bahagian
Kamiran bahagian demi bahagian merupakan suatu kaedah untuk mempermudahkan kamiran yang melibatkan pendaraban fungsi-fungsi aljabar dan transeden misalnya
kamiran bahagian demi bahagian diperoleh daripada rumus pembezaan hasil darab
Apabila dikamirkan terhadap x diperoleh
dan seterusnya
atau ringkasnya
4.4.3 Kamiran dengan kaedah pecahan separa
Seperti yang telah diketahui, polinomial nisbah adalah bentuk yang rumit dan mungkin juga sukar untuk dikamirkan. Tetapi, polinomial ini mungkin menjadi lebih mudah dikamirkan jika dapat ditulis sebagai hasil tambah beberapa polinomial nisbah yang mudah, iaitu dengan menggunakan kaedah pecahan separa.
4.5 KAMIRAN FUNGSI TRIGONOMETRI
http://www.oocities.org/enotebvp/bab4/bab_4_kamiran.htm
4.5.1 Kuasa Ganjil bagi sin x dan kos x
Untuk nilai n = 1,2,3,...... Dengan gantian u = kos x, diperoleh
=
=
=
=
bentuk yang mudah dikamirkan.
Begitu juga dengan gantian u= sin x, diperoleh
=
=
=
=
bentuk yang mudah dikamirkan.
4.5.2 Kuasa Genap bagi sin x dan kos x
Identiti bersama dengan gantian tertentu digunakan untuk menyelesaikan masalah kamiran yang melibatkan fungsi trigonometri kos x dan sin x dengan kuasa genap, iaitu
=
dan juga
http://www.oocities.org/enotebvp/bab4/bab_4_kamiran.htm
=
4.5.5 Kuasa Genap atau Ganjil bagi tan x dan kot x
Identiti digunakan untuk menyelesaikan kamiran yang melibatkan fungsi trigonometri tan xdan kot x, iaitu
dan juga
Dengan identiti tersebut, diperoleh
Seterusnya, dengan gantian u= tan x kamiran menjadi
Dengan cara yang sama, dengan gantian u = kot x diperoleh
4.5.7 Kuasa Genap bagi sek x dan kosek x
http://www.oocities.org/enotebvp/bab4/bab_4_kamiran.htm
Identiti berserta dengan piawai
digunakan untuk menyelesaikan masalah ungkapan sek x dan kosek x
Dengan gantian u = tan x, diperoleh
bentuk yang mudah dikamirkan.
Begitu juga
Dengan gantian u = kot x, diperoleh
bentuk yang mudah dikamirkan.
4.6 KAMIRAN FUNGSI HIPERBOLIK
Kamiran fungsi hiperbolik akan dirujuk kepada jadual 4.2. Manakala kamiran bagi fungsi hiperbolik yang lebih rumit akan diselesaikan kaedah pengamiran yang telah dibincangkan sebelum ini. Untuk menyelesaikan masalah kamiran bagi fungsi hiperbolik , identiti-identiti fungsi hiperbolik akan digunakan.
4.7 KAMIRAN FUNGSI TAK NISBAH
Kebanyakan fungsi tak nisbah boleh dikamirkan dengan menggunakan kaedah yang telah dibincangkan sebelum ini. Bagaimanapun, perbincangan ini tidak memberikan sebarang kaedah yang umum. Selain daripada itu, tidak ada satu cara yang komprehensif untuk menyelesaikan kamiran tersebut.
http://www.oocities.org/enotebvp/bab4/bab_4_kamiran.htm
4.7.1 Kamiran Melibatkan
Dalam bahagian ini akan dibincangkan kaedah untuk mengamirkan suatu ungkapan aljabar yang hanya mengandungi satu ungkapan tak nisbah berbentuk
. Pada amnya, ungkapan ini boleh dikamirkan dengan menggunakan gantian .
4.7.2 Kamiran Melibatkan
Pada amnya dengan menulis ungkapan dalam bentuk lengkap kuasa
dua, iaitu ungkapan boleh ditukarkan kepada satu bentuk berikut
Kita akan pertimbangkan terlebih dahulu kamiran dengan yang berbentuk
Perhatikan bahawa apabila ungkapan yang dikamir mengandungi salah satu daripada bentuk ini, punca kuasa dua boleh dihapuskan dengan menggunakan identiti-identiti trigonometri dan gantian yang berikut
Ungkapan Gantian
Contoh
http://www.oocities.org/enotebvp/bab4/bab_4_kamiran.htm