bab 3(3) spl - hanungnindito.files.wordpress.com · dimana a1, a2, …, an dan b ... eselon baris...
TRANSCRIPT
• Persamaan linear adalah persamaan dimanapeubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti sin, cos, dll.), perkalian, pembagian dengan peubah lain atau dirinyasendiri.sendiri.
• Secara umum persamaan linear untuk n peubahx1, x2, …, xn dapat dinyatakan dalam bentuk:
dimana a1, a2, …, an dan b adalah konstanta-konstanta real.
1 1 2 2 ... n na x a x a x b+ + + =
Persamaan Linear
• x + 2y = 5000
• 3x + y = 10000
• 2x - 3y + 5z = 30
Bukan Persamaan Linear
• x2 – 2y = 3
• sinx + 2 cos y = 0
• 3e2x – sin (x+y) = 10• 2x - 3y + 5z = 30
• x1 + x2 + x3 + x4 = 0
• 3e2x – sin (x+y) = 10
• Himpunan berhingga dari persamaan-persamaan
linear dalam peubah x1, x2, …, xn dinamakan sistem
persamaan liniear
• Sebuah sistem sembarang yang terdiri dari m
persamaan linear dengan n bilangan tak diketahui
dapat dituliskan dalam bentuk:
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 22 2 2
1 1 2 2
...
...
...
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
+ + + =
+ + + =
+ + + =
M M M M
• Sistem persamaan linear tersebut dapat ditulis dalam
bentuk :
11 11 1
11 11 2
n
n
a a a
a a a
L
L
M M O M
1
2
b
b
= M
1
2
x
x
M
• atau
AX = B
dimana: A dinamakan matriks koefisien
X dinamakan matriks peubah
B dinamakan matriks konstanta
1 1m m mna a a
M M O M
Lm
b
=
M
nx
M
• Sintem Persamaan Linear dapat dituliskan dalam
bentuk matriks yang diperbesar (augmented
matrix) sebagai berikut:
11 1 12 2 1 1... n na x a x a x b+ + + = 11 12 1 1... na a a b
• Contoh
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 22 2 2
1 1 2 2
...
...
...
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
+ + + =
+ + + =
+ + + =
M M M M
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
...
...
n
n
m m mn m
a a a b
a a a b
M M M M
2 8
2 3 1
3 7 4 10
x y z
x y z
x y z
+ + =
− − + =
− + =
1 1 2 8
1 2 3 1
3 7 4 10
− − −
• Solusi sebuah sitem persamaan linear (SPL) adalah
himpunan bilangan Real dimana jika disubstitusikan
pada peubah suatu SPL akan memenuhi nilai
kebenaran SPL tersebut.
• Contoh:
x – 2y = 7
2x + 3y = 7
{x = 5 , y = -1} merupakan solusi dari SPL tersebut
• Kemungkinan solusi dari sebuah sistempersamaan linear (SPL) adalah:
– SPL mempunyai solusi tunggal
– SPL mempunyai solusi tak hingga banyak– SPL mempunyai solusi tak hingga banyak
– SPL tidak mempunyai solusi
y = x
y = 2x - 2(2, 2) merupakan titik potong dua garis
tersebut
Tidak titik potong yang lain selain titik
tersebut
y
2
Artinya : SPL 2x – y = 2
x – y = 0
Mempunyai solusi tunggal, yaitu x = 2, y = 2
tersebut
(2, 2)x
1 2
2
Perhatikan SPL
x – y = 0
2x – 2y = 0
Jika digambar dalam kartesius x – y = 0
2x – 2y = 0y
� Terlihat bahwa dua garis tersebut adalah berimpit
� Titik potong kedua garis banyak sekali disepanjang garis tersebut
� Artinya:
SPL diatas mempunyai solusi tak hingga banyak
x
Perhatikan SPL
x – y = 0
2x – 2y = 2
Jika digambar dalam kartesius
yy = x y = x – 1
� Terlihat bahwa dua garis tersebut adalah sejajar
� Tak akan pernah diperoleh titik potong kedua garis itu
� Artinya: SPL diatas TIDAK mempunyai solusi
x1
• Eliminasi Gauss merupakan prosedur
sistematik yang digunakan untuk
memecahkan sistem persamaan linear.
• Prosedur ini didasarkan pada gagasan untuk• Prosedur ini didasarkan pada gagasan untuk
mereduksi matriks yang diperbesar
(augmented marrix) menjadi bentuk yang
sederhana
1. Jika baris tidak terdiri seluruhnya
dari nol, maka bilangan taknol
pertama dalam baris tersebut
adalah 1. (kita namakan ini 1
utama)
1 1 2 9
2 4 3 1
3 6 5 0
− −
utama)
2. Jika terdapat baris yang seluruhnya
terdiri dari nol, maka kelompokkan
baris seperti ini di bawah matriks.
1 1 2 9
2 4 3 1
0 0 0 0
−
3. Dalam sembarang dua baris yang
berurutan yang seluruhnya tidak
terdiri dari nol, maka 1 utama dalam
baris yang lebih rendah terdapat
lebih jauh ke kanan dari satu utama
1 1 2 9
2 1 3 1
3 6 5 0
− −
lebih jauh ke kanan dari satu utama
dalam baris yang lebih tinggi.
4. Masing-masing kolom yang
mengandung satu utama
mempunyai nol di bawah satu
utamanya.
1 4 3 7
0 1 6 2
0 0 1 5
5. Masing-masing kolom yang
mengandung satu utama mempunyai
nol di atas satu utamanya
1 0 0 1
0 1 0 2
0 0 1 3
• Sembarang matriks yang memiliki sifat 1, 2, 3, dan 4
dikatakan berada dalam bentuk eselon baris
(Eliminasi Gauss).
• Jika matriks tersebut juga memiliki sifat 5 maka
dikatakan berada dalam bentuk eselon baris
tereduksi. (Eliminasi Gaus – Jordan)
• Pecahkanlah sistem persamaan linear
berikut dengan menggunakan eliminasi
Gaus-Jordan
2 8
2 3 1
3 7 4 10
x y z
x y z
x y z
+ + =
− − + =
− + =
1 0 7 17 1 0 7 17 1 0 0 37
− + − +b b b b
1 2
2
1 3
1 1 2 8 1 1 2 8 1 1 2 8
1 2 3 1 0 1 5 9 0 1 5 93
3 7 4 10 0 10 2 14 0 10 2 14
+ − − − − − − − +
− − − − − − −
b bb
b b
2 1 3 1
3
2 3 3 2
1 0 7 17 1 0 7 17 1 0 0 371
0 1 5 9 0 1 5 9 0 1 0 110 552
0 0 52 104 0 0 1 2 0 0 1 2
− + − + − − − − − + +
− −
b b b bb
b b b b
Jadi solusi dari SPL x = 3
y = 1
z = 2
2 8
2 3 1
3 7 4 10
x y z
x y z
x y z
+ + =
− − + =
− + =
Tetentukan solusi dari SPL berikut dengan Eliminasi Gauss-Jordan
1. -2x - 3y - 4z = 2 2. 4x + 6y - 3z = 1
x + 3y = 1 -3x - 7y + 2z = 3
2x + 5y + z = -1 x + 2y - z = 12x + 5y + z = -1 x + 2y - z = 1
3. 3x - 5y + 2z = 2 4. -3x + 4y - 13z = 1
-2x + 3y + 4z = 3 -x + 2y - 3z = 1
x - 2y + z = 1 2x - y + 11 z = 1
Misalkan SPL ditulis dalam bentuk AX = B, yaitu :
n
n
aaa
aaa
MOMM
L
L
21111
11111
x
x
M
2
1
=b
b
M
2
1
Jika determinan A tidak sama dengan nol
maka solusi dapat ditentukan satu persatu (peubah
ke-i, xi)
nnnn aaa L11
nx
nb
• Hitung determinan A (|A|)
• Tentukan Ai � matriks A dimana kolom ke-i
diganti oleh Matriks B.
Contoh : a b aContoh :
• Hitung |Ai|
• Solusi SPL untuk peubah xi adalah
1 12 1
2 21 21
2
n
n
n n nn
b a a
b a aA
b a a
=
L
L
M M O M
L
11 1 1
11 2 22
1
n
n
n n nn
a b a
a b aA
a b a
=
L
L
M M O M
L
det( )
det( )i
i
Ax
A=
• Pecahkanlah sistem persamaan linear berikut
dengan menggunakan aturan cramer
2 8
2 3 1
x y z
x y z
+ + =
− − + =
• Solusi: Bentuk SPL menjadi AX = B
2 3 1
3 7 4 10
x y z
x y z
− − + =
− + =
1 1 2 8
1 2 3 1
3 7 4 10
x
y
z
− − = −
• det (A) = |A|(ekspansi kofaktor baris ke-1)
8
1
10
B
=
1 1 2
1 2 3
3 7 4
= − − −
A
x
X y
z
=
• det (A) = |A|(ekspansi kofaktor baris ke-1)
2 3 1 3 1 21 1 27 4 3 4 3 7
1( 8 21) 1( 4 9) 2(7 6)
13 13 26 52
− − − −= − +
− −
= − + − − − + +
= + + =
A
1
8 1 2
1 2 3
10 7 4
= − −
A 1
2 3 1 3 1 28 1 27 4 10 4 10 7
8( 8 21) 1(4 30) 2( 7 20)
8(13) 26 26 156
− −= − +
− −
= − + − − + − +
= + + =
A
2
1 8 2
1 1 3
= − A
2
1 3 1 3 1 11 8 210 4 3 4 3 10
− −= − +A
2 1 1 3
3 10 4
= −
A 1(4 30) 8( 4 9) 2( 10 3)
26) 104 26 52
= − − − − + − −
= − + − =
3
2 1 1 1 1 21 1 87 10 3 10 3 7
1( 20 7) 1( 10 3) 8(7 6)
13 13 104 104
− − − −= − +
− −
= − + − − − + +
= − + + =
A
3
1 1 8
1 2 1
3 7 10
= − − −
A
= = =
= = =
1
2
det( ) 1563
det( ) 52
det( ) 521
det( ) 52
Ax
A
Ay
A
Solusi dari SPL
x = 3
y = 1
2 8
2 3 1
x y z
x y z
+ + =
− − + =
= = =3
det( ) 52
det( ) 1042
det( ) 52
A
Az
A
z = 23 7 4 10x y z− + =
Bentuk umum:11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
0
0
0
n n
n n
m m mn n
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
+ + + =
+ + + =
+ + + =
L
L
M M M M
L
• SPL homogen merupakan SPL yang konsisten,
� selalu mempunyai solusi.
• Solusi SPL homogen dikatakan tunggal jika solusi itu adalah
• Jika tidak demikian,
SPL homogen mempunyai solusi tak hingga banyak.
(biasanya ditulis dalam bentuk parameter)
1 1 2 2 0m m mn n
a x a x a x+ + + =L