bab 2 landasan teori -...

6

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Analisis Numerik

Analisis numerik merupakan bagian dari bahan pelajaran mutakhir mengenai

pengolahan informasi (information processing). Data yang diberikan adalah informasi

masukan (input information), dan hasil yang diperlukan adalah informasi keluaran

(output information), sedangkan metode perhitungan tersebut dikenal sebagai algoritma

(algorithm). Unsur-unsur pokok ini yang terkandung di dalam sebuah diagram alir,

yakni:

Gambar 2.1. Diagram alir pengolahan informasi.

2.1.1 Metode Numerik

Metode numerik adalah salah satu alternatif pencarian jawaban dalam

permasalahan matematika yang tidak dapat diselesaikan secara analisis. Tujuan dari

metode ini adalah mencari metode yang terbaik untuk memperoleh jawaban yang

berguna dari persoalan matematika dan untuk menarik informasi yang berguna dari

berbagai jawaban yang dapat diperoleh.

Input Information

Algorithm Output Information

7

Menurut Djojodihardjo (2000, p2) dalam mengerjakan metode numerik terdapat

beberapa cara pendekatan, yaitu:

a. Pendekatan atau penyederhanaan perumusan persoalan sehingga dapat

dipecahkan secara eksak.

b. Mengusahakan diperolehnya jawab pendekatan dari persoalan yang

perumusannya eksak.

c. Gabungan dari kedua cara pemecahan diatas.

Pada umumnya metode numerik tidak mengutamakan diperolehnya jawaban

yang tepat, tetapi mengusahakan perumusan metode yang menghasilkan jawab

pendekatan yang memiliki selisih sebesar suatu nilai yang ditentukan berdasarkan

kesepakatan dari jawab eksak.

Menurut Djojodihardjo (2000, p12) proses pemecahan persoalan, pada umumnya

berlangsung dalam tiga tahap, yaitu:

a. Perumusan secara tepat dari model matematik dan model numerik yang berkaitan

b. Penyusunan metode untuk memecahkan persoalan numerik

c. Penerapan metode untuk menghitung jawaban yang dicari

8

Gambar 2.2 Proses pemecahan persoalan dalam metode numerik.

Metode Numerik memiliki 2 pengertian, dari segi:

1. Sains, Metode Numerik merupakan proses penyelesaian masalah matematik

menggunakan operasi aritmetik.

2. Seni, Metode Numerik merupakan suatu cara bagaimana memilih prosedur /

algoritma penyelesaian masalah yang paling sesuai.

Model matematik suatu sistem / proses fisis tidak selalu dapat diselesaikan secara

analitk, sedangkan penyelesaian analitik tidak selalu mudah dicari. Oleh karena itu,

diperlukan kemampuan berhitung dalam penyelesaian matematik. Akhir-akhir ini, operasi

matematik dalam volume yang besar tidak lagi merupakan masalah, karena adanya

9

dukungan teknologi komputer. Inilah alasan mengapa kita perlu mempelajari Metode

Numerik.

9

Penggunaan Metode Numerik untuk analisis, simulasi, dan desain teknik

pemrosesan dan sistem telah berkembang pada tahap yang sangat cepat pada beberapa

tahun belakangan ini. Ketersediaan tenaga perhitungan yang sangat cepat membuat

solusi numerik dari masalah-masalah teknis yang rumit, secara ekonomis dapat

diselesaikan.

Penggunaan Metode Numerik dalam perteknikan dapat dianggap sebagian sains,

sebagian seni. Prosedur yang sesuai buku tidak akan efektif dalam mempelajari metode

tersebut. Oleh karena itu, penulis harus menyelesaikan masalah menggunakan

pendekatan yang berbeda dan berbagai sistem piranti lunak dan percobaan dengan

berbagai parameter-parameter masalah tersebut.

Hasil berbeda yang didapatkan melalui proses ini akan membentuk dasar

percobaan untuk memilih metode yang sosok dan menafsirkan hasil-hasil bagi sebuah

masalah baru. .

Kebanyakan masalah-masalah analisis perteknikan melibatkan:

1. Pengembangan sebuah model matematika untuk merepresentasikan semua

karakteristik-karakteristik penting dari sistem fisis.

2. penurunan persamaan-persamaan utama dari model dengan menggunakan

hukum-hukum fisis, seperti persamaan ekuilibrium, hukum gerak Newton,

konservasi massa dan konservasi energi.

3. solusi persamaan-persamaan utama; dan

4. interpretasi solusi tersebut.

Berdasarkan sistem yang telah dianalisis dan model matematika yang digunakan,

persamaan-persamaan utama mungkin merupakan sebuah himpunan

peraamaanpersamaan aljabar linear atau non linear, sebuah himpunan persamaan-

10

persamaan transenden, sebuah himpunan persamaan-persamaan diferensial biasa atau

parsial, sebuah himpunan persamaan-persamaan homogen yang menuju masalah nilai

eigen, atau sebuah persamaan yang melibatkan integral atau turunan. Kita mungkin bisa,

atau mungkin tidak bisa untuk menemukan solusi persamaan utama secara analitik. Jika

solusinya dapat direpresentasikan dalam bentuk sebuah ekspresi matematika yang

tertutup, hal ini disebut sebuah solusi analitik. Solusi analitik menandakan solusi-solusi

tepat yang dapat digunakan untuk mempelajari kebiasaan sistem dengan berbagai

macam parameter-parameter. Sayangnya, hanya sedikit sistem praktis yang mengarah ke

solusi analitik, oleh karena itu solusi analitik penggunaannya terbatas. Dalam beberapa

masalah-masalah yang bertipe khusus, solusi grafis dapat ditemukan untuk mempelajari

kebiasaan sistem. Bagaimanapun juga, solusi grafis biasanya kurang akurat,

penggunaannya kaku, hanya dapat diimplementasikan jika dimensi masalahnya kurang

atau sama dengan tiga, dan membutuhkan waktu yang lebih lama. Solusi-solusi numerik

adalah hal-hal yang tidak dapat diekspresikan dalam bentuk ekspresi-ekspresi

matematika.. solusi ini hanya dapat ditemukan menggunakan jenis proses perhitungan

intensif yang cocok, yang dikenal sebagai Metode Numerik. Sebagai contoh, anggap

integral

∫ −=b

a

x dxxeI .2

1 (2.1)

nilai dari integral ini dapat diekspresikan secara analitik sebagai

( )22222

21

21

21

21

1baabb

ax eeeeeI −−−−− −=+−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= (2.2)

di lain pihak, integral

11

∫∫ −==b

a

xb

a

dxedxxfI .)(2

2 (2.3)

tidak memiliki solusi (analitik) tertutup.integral ini hanya dapat dievaluasi secara

numerik. Karena integral sama dengan daerah dibawah kurva f(x), maka nilainya bisa

diestimasi dengan memecah-mecah daerah di bawah kurva menjadi persegi-persegi kecil

dan menambah daerah-daerah persegi-persegi tersebut. (lihat Gambar2.3.). Karena

metode numerik melibatkan sejumlah besar perhitungan aritmatik monoton,

penggunaannya dan popularitas telah meningkat karena pengembangan dan keberadaan

komputer yang sangat bagus dan murah harganya. Metode Numerik dapat digunakan

untuk mencari solusi dari masalah teknik yang bahkan sangat rumit. Ketika solusi

analitik biasanya membutuhkan beberapa asumsi sederhana dari sistem fisis, solusi

numerik tidak membutuhkan asumsi-asumsi tersebut. Walaupun solusi numerik tidak

dapat menyediakan pendekatan yang cepat pada kebiasaan sistem fisis yang

disederhanakan, solusi ini dapat digunakan untuk mempelajari kebiasaan sistem fisis

yang sebenarnya.

Gambar 2.3 Evaluasi numerik integral I2.

12

2.2 Integrasi Numerik

Solusi dari banyak masalah-masalah teknik membutuhkan evaluasi sebuah

integral. Jika fungsi yang diintegralkan terlalu rumit atau jika nilai fungsinya hanya

diketahui pada nilai diskrit dari variabel independen, maka teknik integrasi numerik

digunakan. Pada dasarnya, variasi fungsi (yang diintegralkan) diasumsikan sebagai

sebuah polinomial sederhana daripada sebuah interval diskrit, dan lalu integral tersebut

dievaluasi sebagai jumlah daerah-daerah di bawah polinomial yang diasumsikan

daripada berbagai macam interval diskrit. Sebagai contoh, jika integral pasti seperti yang

terlihat pada Pers. (2.3), integral numeriknya dapat dievaluasi sebagai (Gambar 2.3)

83212 AAAAI ++++≈ L (2.4)

pentingnya integrasi numerik dapat dipahami dengan memperlihatkan berapa sering

perumusan soal-soal di dalam analisis terapan akan melibatkan turunan-turunan. Maka

wajarlah untuk menduga sebelumnya bahwa pemecahan soal-soal seperti itu akan

melibatkan integral. Untuk kebanyakan integral maka tidak ada representasi yang

mungkin dinyatakan dalam fungsi-fungsi elementer, sehingga aproksimasi akan menjadi

perlu.

Seringkali, banyak masalah-masalah teknik membutuhkan evaluasi dari integral

∫=b

a

dxxfI .)( (2.5)

dimana fungsi f(x) disebut integrand dan a dan b disebut limit dari integrasi. Jika fungsi

f(x) kontinu, terbatas, dan berada di antara jangkauan integrasi bxa ≤≤ , integral (I)

dapat di evaluasi menggunakan teknik matematika yang tersedia. Jika f(x) merupakan

fungsi sederhana seperti sebuah fungsi polinomial, sebuah fungsi eksponensial, atau

sebuah fungsi trigonometri, integral-integral ini terkenal dari kalkulus. Jika f(x)

13

melibatkan fungsi-fungsi yang lebih rumit, seringkali, tabel standar integral dapat

digunakan untuk mengevaluasi integral (I) dalam bentuk tertutup. Jika tersedia ekspresi

analitik atau bentuk tertutup untuk integral-integral, maka akan sangat berharga, karena

ekspresi tersebut pasti dan tidak ada kesalahan yang terlibat dalam evaluasinya. Sebagai

tambahan, akibat dari berubahnya beberapa parameter fisis dari masalah teknik pada

integral dapat dipelajari secara mudah. Ekspresi bentuk tertutup integral (I) dapat

digunakan untuk memverifikasi keakuratan integrasi numerik.

Di lain pihak, fungsi f(x) mungkin merupakan sebuah fungsi kontinu rumit yang

sulit atau tidak mungkin diintegrasi dalam bentuk tertutup; mungkin diketahui hanya

dalam sebuah bentuk tabel/daftar, dimana nilai x dan f(x) tersedia pada sejumlah titik-

titik diskrit pada interval a ke b. limit dari integrasi mungkin tak tebatas atau fungsi f(x)

mungin diskontinu atau mungkin menjadi tak terbatas pada beberapa titik pada interval a

ke b. pada semua kasus ini, integral (I) dapat dievaluasi hanya secara numerik.

Gambar 2.4 Integral sebagai daerah di bawah kurva.

14

Gambar 2.5 Evaluasi dari sebuah integral menggunakan jaring atau kertas grafik.

Integral dari sebuah fungsi f(x) diantara limit-limit a dan b pada dasarnya

menunjukkan daerah di bawah kurva f(x) diantara a dan b seperti yang diperlihatkan

pada Gambar 2.4. integrasi juga dikenal sebagai kuadratur. Sebuah pendekatan

sederhana, perseptif untuk mengevaluasi integral dalam Pers.(2.5) adalah dengan

meletakkan fungsi f(x) pada sebuah jaring atau kertas grafik dan hitung jumlah kotak

atau persegi yang mengestimasi daerah di bawah kurva f(x). (lihat Gambar 2.5). Hasil

dari banyaknya kotak-kotak dan daerah dari setiap kotak memberikan sebuah estimasi

dari seluruh jumlah daerah di bawah kurva (mis, integral, I). pengestimasian ini dapat di

buktikan, jika perlu, mengguanakan sebuah jaring yang lebih baik. Bagaimanapun juga

metode yang digunakan sangat tidak praktis dan tidak akurat di alam banyak kasus.

2.3 Sumber-sumber Kesalahan

Di dalam integrasi numerik, maka akan ada sumber-sumber kesalahan yang

biasa. Akan tetapi, kesalahan-kesalahan masukan di dalam nilai-nilai data y0,…,yn tidak

akan diperbesar oleh kebanyakan rumus integrasi, sehingga sumber kesalahan ini hampir

15

tidak begitu menyusahkan seperti halnya di dalam diferensiasi numerik. Kesalahan

pemotongannya, yang sama dengan

∫ −b

a

dxxpxy )]()([ (2.6)

untuk rumus-rumus yang paling sederhana, dan suatu komposit yang terdiri dari

potongan-potongan yang serupa untuk kebanyakan rumus lain, adalah penyumbang

kesalahan yang utama sekarang. Berbagai macam usaha telah dibuat untuk

memperkirakan kesalahan ini, tetapi kita masih mungkin memperbaiki perkiraan

tersebut. Sebuah pertanyaan yang berkaitan dengan ini adalah pertanyaan mengenai

konvergensi. Pertanyaan ini menanyakan apakah dihasilkan sebuah urutan untuk mana

limit kesalahan pemotongannya sama dengan nol, jika polinomial-polinomial yang

berderajat lebih tinggi digunakan secara terus menerus atau jika interval-interval hn yang

lebih kecil di antara titik-titik data dengan lim hn = 0 digunakan secara terus menerus. Di

dalam banyak kasus, di mana kaidah trapesoida dan kaidah Simpson adalah contoh-

contohnya yang istimewa, maka konvergensinya dapat dibuktikan. Juga, kesalahan

pembulatan akan mempunyai pengaruh yang kuat. Sebuah interval h yang kecil, berarti

akan merupakan perhitungan yang cukup banyak dan pembulatan yang cukup banyak.

Kesalahan-kesalahan algoitma ini akhirnya akan membuat konvergensi menjadi

kabur yang secara teoritis harus terjadi, dan di dalam praktek telah didapatkan bahwa

pengurangan h di bawah suatu tingkat tertentu akan menghasilkan kesalahan yang lebih

besar dan bukannya akan menghasilkan kesalahan yang lebih kecil. Jika kesalahan

pemotongannya menjadi dapat diabaikan, maka kesalahan-kesalahan pembulatan akan

mengumpul, yang akan membatasi ketelitian yang dapat diperoleh oleh sebuah metode

yang diberikan.

16

2.4 Rumus Newton-Cotes

Rumus-rumus Newton-Cotes adalah yang paling umum digunakan dalam metode

integrasi numerik. Rumus-rumus tersebut berdasarkan menempatkan kembali sebuah

fungsi rumit atau data tabel dengan beberapa fungsi yang mirip fungsi aslinya yang

dapat diintegrasikan secara mudah, yaitu,

,.)()( ∫∫ ≈=b

am

b

a

dxxpdxxfI (2.7)

dimana pm(x) merupakan fungsi yang mirip fungsi aslinya, biasanya diambil sebagai

derajat polinomial ke-m

,)( 012

21

1 axaxaxaxaxp mm

mmm +++++= −

− L (2.8)

dimana koefisien dari polinomial (konstan) 011 ,,,, aaaa mm L− diselesaikan seperti f(x)

dan pm(x) memiliki nilai yang sama pada sejumlah titip yang terbatas. Gbr 2.6

memperlihatkan pendekatan f(x) menggunakan 3 polinomial sederhana, yaitu, sebuah

konstan, sebuah garis lurus, dan sebuah parabola.

17

Gambar 2.6 Tipe-tipe yang berbeda dari pendekatan f(x).

2.4.1 Aturan Persegi

fungsi atau data dari f(x) juga dapat didekat menggunakan sebuah deret polinomial

bagian per bagian seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 2.7.. Pada pendekatan ini,

jangkauan integrasi bxa ≤≤ pertama kali dibagi menjadi sejumlah interval-interval

yang terbatas (n) atau strip-strip yang lebar tiap intervalnya adalah

n

abxh −=Δ= (2.9)

18

titik-titik diskrit di dalam jangkauan interval tersebut didefinisikan sebagai

1210 ,....,,, −= nxxxax , dan bxn = dengan

niihaxi ,...,2,1,0; =+= (2.10)

nilai dari fungsi f(x) pada titik diskrit xi diasumsikan diketahui sebagai fi (i=0,1,2,…,n).

Seperti yang diperlihatkan pada Gambar 2.7(a), pendekatan paling sederhana ke fungsi

f(x) adalah bagian polinomial dengan order 0 (mis, sebuah deret konstan) jelasnya, dari

Gambar 2.7(a) fungsi f(x) dapat didekati melalui interval 1+≤≤ ii xxx baik dengan nilai

fi atau fi+1. Jika nilai dari fi digunakan (mis, f(x) didekati oleh nilainya pada awal setiap

interval), daerah dibawah kurva f(x) dalam interval 1+≤≤ ii xxx diambil sebagai (fih)

dan maka dari itu, integral (I) dievaluasi sebagai

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛≈= ∑∫

−

=

1

0)(

n

ii

b

a

fhdxxfI (2.11)

di lain pihak, jika nilai fi+1 digunakan (mis, f(x) didekati oleh nilainya pada akhir setiap

interval), daerah di bawah kurva f(x) dalam interval 1+≤≤ ii xxx diambil sebagai (fi+1h)

an maka dari itu, integral (I) dievaluasi sebagai

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛≡⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛≈= ∑∑∫

=

−

=+

n

ii

n

ii

b

a

fhfhdxxfI1

1

01)( (2.12)

19

Gambar 2.7 Pendekatan f(x) oleh bagian dari polinomial berderajat 0 dan 1.

Untuk sebuah fungsi naik monoton, Pers. (2.11) merendahkan dan Pers. (2.12)

meninggikan nilai integral yang sebenarnya. Dalam praktek, aturan persegi menuju

kesalahan pemotongan yang besar untuk fungsi nonlinear umum f(x) dan, maka dari itu,

aturan ini tidak biasa digunakan. Bagaimanapun juga, metode ini disajikan untuk

mengilustrasikan konsep dasar yang digunakan dalam integrasi numerik dan rumus-

rumus Newton-Cotes. Sebuah bukti dalam keakuratan dari pendekatan bagian yang

konstan (aturan persegi) dapat diambil dengan menggunakan rata-rata nilai dari fi dan fi+1

dalam interval 1+≤≤ ii xxx seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.9 dalam kasus ini,

integral (I) dievaluasi sebagai

20

∑∫−

=

+ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

≈=1

0

1

2)(

n

i

iib

a

ffhdxxfI (2.13)

Gambar 2.8 Estimasi atas dan estimasi bawah dari I.

Gambar 2.9 Pendekatan f(x) oleh (fi+fi+1)/2 dalam 1+≤≤ ii xxx .

21

2.4.2 Aturan Trapezoidal

Aturan trapezoidal sering digunakan dalam aplikasi-aplikasi teknik karena

kesederhanaannya dalam mengembangkan sebuah program komputer. Metode ini

berhubungan dengan pendekatan ke f(x) oleh bagian polinomial dengan order satu {p1(x)

= c1x+c0}, yang dengan segmen-segmen garis lurus seperti yang ditunjukkan pada

Gambar2.7(b). pada kasus ini, daerah di bawah kurva f(x) di dalam interval

1+≤≤ ii xxx sama dengan daerah dari trapezoid, maka dari itu dinamakan aturan

trapezoidal. Dengan mengindikasikan daerah-daerah trapezoid sebagai I1,I2,…,In, maka

(Gambar 2.10)

.

2,...,

2

,...,2

,2

11

212

101

hffIdanhffI

hffIhffI

nnn

iii ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

−−

(2.14)

integral tersebut dapat dievaluasi sebagai

( ).22222

)( 12101

nn

n

ii

b

a

fffffhIdxxfI +++++=≈= −=∑∫ L (2.15)

Gambar 2.10 Aturan Trapezoidal.

22

Gambar 2.11 Kesalahan pemotongan Aturan Trapezoidal.

2.4.3 Kesalahan Pemotongan dalam Aturan Trapezoidal

Dasar kesalahan pemotongan dari aturan trapezoidal telah diberikan sebagai

( )abbfafdxxfEb

a

−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

−= ∫ 2)()()( (2.16)

dimana bagian pertama dari sebelah kanan Pers. (2.16) menyatakan integral yang tepat

dan bagian kedua merepresentasikan integral pendekatan yang diberikan oleh aturan

trapezoidal. Perhatikan bahwa hanya ada satu segmen yang dianggap dalam interval

untuk kemudahan. (lihat Gambar 2.11). Untuk menurunkan ekspresi yang lebih baik

untuk kesalahannya, kita menggunakan perpanjangan deret Taylor dari f(x) tentang titik

tengah dari jangkauan, 2

bax += :

.)(!2

)()()(2

L+′′+′+= xfyxfyxfxf (2.17)

disini .xxy −= , sebuah garis diatas menunjukkan sebuah turunan, dan fungsi f(x)

diasumsikan analitik dalam interval bxa ≤≤ . Persamaan (2.17) dapat digunakan untuk

mengekspresikan

23

,)(!2

)()()(2/

2/

2

dyxfyxfyxfdxxfh

h

b

a∫∫ − ⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

+′′+′+= L (2.18)

dimana y = -h/2 dan y = +h/2 dapat dilihat untuk berhubungan dengan x = a dan x = b.

dengan membawa keluar integrasi dalam Pers. (2.18), kita dapatkan

L

L

+′′+=

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′′+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′+= −−−∫

)(241)(

3)(

21

2)()()()(

3

2/2/

32/

2/

22/

2/

xfhxhf

yxfyxfyxfdxxf hh

hh

hh

b

a (2.19)

substitusi x = a dan x = b ke Pers (2.17) didapat

;)(22

1)(2

)()(2

L−′′⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+′−= xfhxfhxfaf (2.20)

;)(22

1)(2

)()(2

L+′′⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+′+= xfhxfhxfbf (2.21)

dimana nilai y pada x = a dan x = b diambil sebagai ;2hxaxx −=−=− dan

2hxbxx +=−=− . Tak ada (b – a) = h, bagian kedua pada sebelah kanan Pers.(2.16)

dapat diekspresikan sebagai

LL

L

+′′+=⎥⎦⎤+′′+

′++−′′+′⎢⎣⎡ −=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +

−

)(81)()(

81

)(2

)()(81)(

2)(

22)()()(

32

2

xfhxhfxfh

xfhxfxfhxfhxfhbfafab (2.22)

Substitusikan Pers. (2.19) dan (2.22) ke Pers. (2.16) dan potong bagian turunan yang

berorder lebih tinggi, menjadi

)(121

)(81)()(

241)(

3

33

xfh

xfhxhfxfhxhfE

′′−≈

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +′′+−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +′′+= L

rL

(2.23)

24

Ini menunjukkan bahwa kesalahan dari aturan Trapezoidal ( per segmen atau

langkah) proposional dengan )(xf ′′ dan h3. maka, kesalahan dapat dikecilkan dengan

mengecilkan nilai h = b – a.

Kesalahan dalam aturan trapezoidal banyak segmen, Pers. (2.15) dapat dicari

dengan menjumlahkan kesalahan-kesalahan dari segmen individual (x0,x1), (x1,x2),…,(xn-

1,xn). karena jangkauan integrasi dibagi menjadi n segmen-segmen yang sama, kita

mendapat n

abh −= dan maka itu

,)(121

1

3

∑=

′′⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−≈n

iixf

nabE (2.24)

dimana ix adalah titik tengah antara xi dan xi+1. Dengan mendeskripsikan sebuah nilai

rata-rata dari turunan kedua,

,)(11∑=

′′=′′n

iixf

nf (2.25)

Pers. (2.24) dapat ditulis sebagai

( ) ( ) ).(121

121 22

2

hOfhabfn

ababE =′′−−=′′⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−−≈ (2.26)

Ini menunjukkan bahwa kesalahan dari aturan trapezoidal banyak segmen, Pers.

(2.15), proposional dengan h2 (karena (b - a) tetap).

2.4.4 Kesalahan Pemotongan pada Aturan Persegi

Prosedur yang telah ada dapat digunakan untuk mengevaluasi kesalahan

pemotongan dalam aturan persegi. Kesalahannya dapat diekspresikan, untuk segmen

sederhana bxa ≤≤ , sebagai

25

hafdxxfEb

a

)()( −= ∫ , untuk Pers. (2.11) (2.27)

dan

hbfdxxfEb

a

)()( −= ∫ , untuk Pers. (2.12) (2.28)

dimana bagian pertama sebelah kanan dari Pers. (2.27) dan (2.28) menyatakan integral

yang sebenarnya dan bagian kedua merepresentasikan integral pendekatan yang

diberikan oleh aturan khusus persegi. Perpanjangan deret Taylor dari f(x) sekitar a

diberikan oleh

L+′′−+′−+= )(

!2)()()()()(

2

afaxafaxafxf (2.29)

integrasi dari Pers. (2.29) memunculkan

,6

)(2

)()(

6)(

2)()(

)(!2

)()()(

32

0

3

0

2

0

0

2

L

L

L

+′′+′+=

+′′+′+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+′′+′+=∫∫

hafhafhaf

yafyafyaf

dyafyafyafdxxf

hhh

hb

a

(2.30)

dimana y = x – a dan h = b – a. Maka Pers. (2.27) memberikan

.6

)(2

)(32

L+′′+′=hafhafE (2.31)

Secara sama, perpanjangan deret Taylor dari f(x) sekitar b dapat diekspresikan sebagai

L−′′−+′−−= )(

!2)()()()()(

2

bfxbbfxbbfxf (2.32)

Integrasi dari Pers (2.32) memunculkan

26

,6

)(2

)()(

6)(

2)()(

)(!2

)()()(

32

0

3

0

2

0

0

2

L

L

L

−′′+′−=

−′′+′−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−′′+′−=∫∫

hbfhbfhbf

ybfybfybf

dybfybfybfdxxf

hhh

hb

a

(2.33)

dimana y = b - x dan h = b – a. Maka Pers. (2.28) memberikan

.6

)(2

)(32

L−′′+′−=hbfhbfE (2.34)

Pers. (2.31) dan (2.34) mengindikasikan bahwa kesalahan dari aturan persegi per

langkah proposional ke h2 dan )(af ′ atau )(bf ′ . Dengan melanjutkan seperti pada

kasus aturan trapezoidal, kesalahan dalam sebuah aturan persegi banyak langkah dapat

diekspresikan sebagai

( ) ( ) fhabfn

ababE ′−=′⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=21

21 , untuk Pers.(2.27) (2.35)

dan

( ) ( ) fhabfn

ababE ′−−=′⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−−=21

21 , untuk Pers.(2.28) (2.36)

dimana f ′ da;am Pers. (2.35) dan (2.36) menyatakan nilai rata-rata dari turunan

pertama pada titik diskrit masing-masing 121 ,,,, −nxxxa K dan bxxx n ,,,, 121 −K . Ini

menunjukkan bahwa kesalahan dalam aturan persegi banyak langkah, Pers. (2.11) dan

(2.12) proposional ke h karena (b – a) tetap.

2.4.5 Aturan Simpson

Keakuratan aturan trapezoidal dapat dibuktikan dengan menurunkan besar

langkah h ( atau menaikkan banyaknya segmen n). bagaimanapun juga, kesalahan

27

pembulatan menaik dengan sebuah penurunan dalam besar langkah h. Cara lain

mendapatkan estimasi yang lebih akurat dari sebuah integral adalah dengan

menggunakan polinomial dengan order lebih tinggi untuk pendekatan fungsi f(x).

2.4.6 Aturan Simpson 1/3

Seperti yang sebelumnya integral

∫=b

a

dxxfI .)( (2.37)

dievaluasi menggunakan sebuah parabola atau polinomial berorder dua untuk

pendekatan f(x). asumsikan bahwa bxxxa iii ≤≤≤≤ +− 11 , ketiga titik (xi-1,fi-1), (xi,fi)

dan (xi+1,fi+1), seperti yang diperlihatkan pada Gambar 2.12, digunakan untuk

mendeskripsikan sebuah polinomial berderajat dua, p2(x). Dengan membuat polinomial

012

22 )( cxcxcxp ++= (2.38)

Gambar 2.12 Aturan Simpson 1/3.

melewati tiga titik yang ditunjukkan pada Gambar 2.12, konstantanya c0, c1, dan c2 dapat

dicari. Kita ambil titik asal pada xi (x=0 pada xi) jadi xi-1 dan xi+1 masing-masing

28

berhubungan dengan –h dan +h. pemilihan titik asal seperti ini tidak mempengaruhi

hasil akhir. Dengan menggunakan hubungan

Untuk xi-1,

;)()()( 012

2012

212 chchcchchcfhxp i +−=+−+−==−= − (2.39)

Untuk xi,

;)0()0()0( 0012

22 ccccfxp i =++=== (2.40)

Untuk xi+1,

012

2012

212 )()()( chchcchchcfhxp i ++=++=== + (2.41)

solusi dari Pers. (2.39) hingga (2.41) dapat ditemukan, yaitu

.,2

,22

011

1211

2 iiiiii fcdan

hffc

hfffc =

−=

+−= −++− (2.42)

Daerah dibawah polinomial berderajat dua p2(x) di antara xi-1 dan xi+1 dapat diditemukan

sebagai berikut:

( )

.232

)()(2

)(3

)(

03

2

02132

012

22

1

1

hchc

xcxcxc

dxcxcxcdxxpI

hh

hh

hh

h

h

x

x

i

i

+=

++=

++==

−−−

−∫∫

+

−

(2.43)

Dengan mensubstitusikan untuk c2 dan c0 dari Pers. (2.42), Pers. (255) memberikan

).4(3

222

32

11113

+−+− ++=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

= iiiiiii fffhhf

hfffhI (2.44)

bentuk “31 ” dalam aturan Simpson 1/3 berdasarkan keberadaan faktor “

31 ” dalam Pers.

(2.44). Perhatikan bahwa dua segmen digunakan untuk menurunkan Pers. (2.44). maka,

untuk sebuah aplikasi banyak tingkat dari aturan Simpson 1/3, kita perlu membagi

29

jangkauan bxa ≤≤ ke dalam n segmen-segmen dengan lebar yang sama n

abh −= .

Banyaknya segmen harus merupakan angka genap jadi Pers. (2.44) dapat diaplikasikan

untuk kelompok-kelompok dua segmen. Integral dalam Pers. (2.37) bisa dievaluasi

sebagai

,)(.)(2/

1∑∫=

≈=n

jj

b

a

IdxxfI (2.45)

dimana jI )( menyatakan nilai dari I berhubungan dengan j jumlah pasangan segmen

dan diberikan oleh Pers. (2.44) dengan i = 2j – 1. Pers. (2.44) dan (2.45) menuju ke

.243

2

,...6,4,2

1

,...5,3,10 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+++≈ ∑∑

−−

=n

n

ii

n

ii ffffhI (2.46)

2.4.7 Aturan Simpson 3/8

Dalam metode ini, integral dievaluasi dengan pendekatan fungsi f(x) oleh sebuah

polinomial berderajat tiga, p3(x), seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.13. Dengan

mengasumsikan polinomial p3(x) sebagai

012

23

33 )( cxcxcxcxp +++= (2.47)

konstantanya c0, c1, c2 dan c3 dapat dicari. Dengan membuat polinomial tersebut

melewati empat titik (xi-1,fi-1), (xi,fi), (xi+1,fi+1) dan (xi+2,fi+2). Dengan mengambil titik

asal pada xi (x=0 pada xi) jadi xi-1, xi+1 dan xi+2 dapat diasumsikan masing-masing

berhubungan dengan x = –h, h, dan 2h. pemilihan titik asal seperti ini tidak

mempengaruhi hasil akhir. Dengan menggunakan hubungan

Untuk xi-1,

;)( 012233

13 chcchchfhxp i +−+−==−= − (2.48)

30

Untuk xi,

;)0( 03 cfxp i === (2.49)

Untuk xi+1,

;)( 0122

33

13 chcchchfhxp i +++=== + (2.50)

Untuk xi+2,

0122

33

23 248)2( chcchchfhxp i +++=== + (2.51)

Gambar 2.13 Aturan Simpson 3/8.

Solusi dari Pers. (2.48) sampai (2.51) dapat dinyatakan sebagai

;0 ifc = (2.52)

( ) ;23661

1121 −++ −−+−= iiii ffffh

c (2.53)

( ) ;22

11122 +− +−= iii fff

hc (2.54)

( )11233 336

1−++ −+−= iiii ffff

hc (2.55)

31

Daerah ( I ) dibawah polinomoal berderajat tiga p3(x) diantara xi-1 dan xi+2 dapat

diditemukan sebagai berikut:

( )

).3()3(2

)9(3

)15(4

)()(2

)(3

)(4

)(

0213243

20

221232243

2

012

23

33

2

1

hchchchc

xcxcxcxc

dxcxcxcxcdxxpI

hh

hh

hh

hh

h

h

x

x

i

i

+++=

+++=

+++==

−−−−

−∫∫

+

−

(2.56)

Dengan mensubstitusikan dari c0 hingga c3 dari Pers. (2.52) hingga (2.55), Pers. (2.56)

memberikan

).33(8

3

36

2362

3223

633

415

112

1122

1133

1124

−++

−++

−+−++

+++=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+−

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−

=

iiii

iiiii

iiiiiii

ffffh

hfh

ffffhh

fffhh

ffffhI

(2.57)

bentuk “83 ” dalam aturan Simpson 3/8 berdasarkan keberadaan faktor “

83 ” dalam Pers.

(2.57). Perhatikan bahwa tiga segmen digunakan untuk menurunkan Pers. (2.57). maka,

untuk sebuah aplikasi banyak tingkat dari aturan Simpson 3/8, kita perlu membagi

jangkauan bxa ≤≤ ke dalam n segmen-segmen dengan lebar yang sama n

abh −= .

Banyaknya segmen harus merupakan kelipatan 3 jadi Pers. (2.57) dapat diaplikasikan

untuk kelompok-kelompok tiga segmen. Integral dalam Pers. (2.37) bisa dievaluasi

sebagai

,)(.)(3/

1∑∫=

≈=n

jj

b

a

IdxxfI (2.58)

32

dimana jI )( merepreentasikan nilai dari I berhubungan dengan j jumlah kelompok tiga

segmen dan diberikan oleh Pers. (2.57) dengan i = 3j – 2. Pers. (2.57) dan (2.58) menuju

ke

.2)(38

3 3

,...9,6,3

2

,...7,4,110 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++++≈ ∑∑

−−

=+ n

n

ii

n

iii fffffhI (2.59)

dapat ditunjukkan bahwa kesalahan pemotongan dalam penggunaan Pers. (2.59) dengan

order yang sama sengan aturan Simpson 1/3. tetapi penggunaan Pers. (2.59) memerlukan

banyaknya segmen merupakan kelipatan 3. maka, Pers. (2.59) jarang digunakan sendiri.

Seringkali kedua aturan Simpson 1/3 dan 3/8 digunakan bersamaan jadi banyaknya

segmen n, tidak perlu dibatasi sesuatu. Di lain pihak, bila banyaknya segmen ganjil,

aturan Simpson 3/8 dapat digunakan, misalnya, untuk tiga segmen pertama dan aturan

Simpson 1/3 dapat digunakan untuk banyaknya segmen genap sisanya.

2.4.8 Kesalahan Pemotongan pada Aturan Simpson

Seperti pada kasus trapzoidal, dasar kesalahan pemotongan dari aturan Simpson

1/3, melibatkan hanya dua segmen dalam interval a ke b, yang diberikan oleh

[ ] ,)()(4)(6

)( bfxfafabdxxfEb

a++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−= ∫ (2.60)

dimana bagian pertama dari sisi sebelah kanan Pers.(2.60) menyatakan integral yang

sebenarnya, dimana bagian kedua merepresentasikan integral pendekatan yang diberikan

oleh aturan Simpson 1/3 (lihat Gambar 2.14). kita dapat memperluas f(x) menggunakan

deret Taylor mengenai titik tengah dari jangkauan, x1, yaitu

,)(!5

)(4

)(!3

)(!2

)()()( 1

5

1

4

1

3

1

2

11 L+′′′′′+′′′′+′′′+′′+′+= xfyxfyxfyxfyxfyxfxf

33

(2.61)

dimana y = x – x1. Pers. (2.61) dapat digunakan untuk mengekspresikan integral dari f(x)

sebagai

,)(

!120)(

24

)(6

)(2

)()()(

1

5

1

4

1

3

1

2

11

dyxfyxfy

xfyxfyxfyxfdxxfh

h

b

a

⎭⎬⎫

+′′′′′+′′′′+

⎩⎨⎧

′′′+′′+′+= ∫∫−

L

(2.62)

dimana y = -h dan y = h masing-masing berhubungan dengan x = a dan x = b. dengan

mengeluarkan integrasi dari Pers. (2.62), kita dapatkan

.)(6

)(3

)(2

720)(

120)(

24)(

6)(

2)())(()(

1

5

1

3

1

6

1

5

1

4

1

3

1

2

11

L

L

+′′′′+′′+=

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′′′′′+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′′′′+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′′′+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′′+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′+=

−−−

−−−∫

xfhxfhxhf

yxfyxfyxf

yxfyxfyxfdxxf

hh

hh

hh

hh

hh

hh

b

a

(2.63)

Gambar 2.14 Kesalahan pemotongan Aturan Simpson.

Substitusikan x = a (y = -h), x = x1 (y = 0), dan x = b (y = h) ke Pers. (2.61)

menghasilkan

34

;)(

120)(

24

)(6

)(2

)()()(

1

5

1

4

1

3

1

2

11

L+′′′′′−′′′′+

′′′−′′+′−=

xfhxfh

xfhxfhxfhxfaf (2.64)

);()( 11 xfxf = (2.65)

.)(

120)(

24

)(6

)(2

)()()(

1

5

1

4

1

3

1

2

11

L+′′′′′+′′′′+

′′′+′′+′−=

xfhxfh

xfhxfhxfhxfbf (2.66)

sekarang bagian kedua dari sisi sebelah kanan dari Pers. (2.60) dapat diekspresikan,

menggunakan Pers. (2.64) hingga (2.66), menjadi

.)(12

)()(66

.)(120

)(24

)(6

)(2

)()(

)(4)(120

)(24

)(6

)(2

)()(6

1

4

12

1

1

5

1

4

1

3

1

2

11

11

5

1

4

1

3

1

2

11

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+′′′′+′′+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

⎥⎦

⎤+′′′′′+′′′′+

′′′+′′+′−++

++′′′′′−′′′′+

⎢⎢⎢

⎣

⎡′′′−′′+′−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

L

L

L

xfhxfhxfab

xfhxfh

xfhxfhxfhxf

xfxfhxfh

xfhxfhxfhxfab

(2.67)

Substitusikan Pers. (2.63) dan (2.67) ke dalam Pers. (2.60) dan potong bagian yang

melibatkan turunan yang lebih tinggi daripada pemberian kelima

35

).(901

)()(2880

1

)(212

16

)(26

)()(

)(260

1)(23

1)(2

2.

15

15

1

4

1

2

1

1

5

1

3

1

xfh

xfab

xfababxfababxfab

xfabxfabxfabE

′′′′−≈

′′′′−−≈

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡′′′′⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+′′⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+−−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡′′′′⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+′′⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

≈

(2.68)

ini menandakan bahwa kesalahan aturan Simpson 1/3 (per setiap pasangan segmen)

proposional ke h5 dan )( 1xf ′′′′ . Maka kesalahan akan jadi nol jika f(x) merupakan

sebuah polinomial berorder tiga, karena .0=′′′′f

kesalahan dalam aturan Simson 1/3 banyak segmen, Pers. (2.59), dapat ditemukan

dengan menjumlahkan kesalahan-kesalahan dari pasangan segmen individual (x0,x2),

(x2,x4), …, (xn-2,xn):

.)(90

1

,...5,3,1

5

∑−

=

′′′′−≈n

jjxfhE (2.69)

dengan mendeskripsikan sebuah nilai rata-rata dari turunan keempat, f ′′′′ , sebagai

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′′′′=′′′′ ∑

−

=

1

,...5,3,1)(2 n

jjxf

nf (2.70)

Pers. (2.69) dapat diekspresikan sebagai berikut:

).(

)(180

1290

1

4

4

5

hO

fabh

fnhE

≈

′′′′−−≈

′′′′−≈

(2.71)

Ini mengindikasikan bahwa kesalahan dalam aturan Simpson banyak segmen, Pers.

(2.46), proposional dengan h4, karena (b - a) tetap.

36

Dengan mengikuti pendekatan yang sama, kesalahan pemotongan dalam sebuah aturan

Simpson 3/8 banyak segmen juga dapat diperlihatkan proposional dengan h4.

2.5 Aturan Boole

Dalam metode ini, integral dievaluasi dengan pendekatan fungsi f(x) oleh sebuah

polinomial berderajat empat, p4(x). Dengan mengasumsikan polinomial p4(x) sebagai

012

23

34

44 )( cxcxcxcxcxp ++++= (2.72)

konstantanya c0, c1, c2, c3 dan c4 dapat dicari. Dengan membuat polinomial tersebut

melewati lima titik (xi-2,fi-2), (xi-1,fi-1), (xi,fi), (xi+1,fi+1) dan (xi+2,fi+2). Dengan mengambil

titik asal pada xi (x=0 pada xi) jadi xi-2, xi-1, xi+1 dan xi+2 dapat diasumsikan masing-

masing berhubungan dengan x = –2h, -h, h, dan 2h. pemilihan titik asal seperti ini tidak

mempengaruhi hasil akhir. Dengan menggunakan hubungan

Untuk xi-2,

;24816)2( 0122

33

44

24 chcchchchfhxp i +−+−==−= − (2.73)

Untuk xi-1,

;)( 012233

44

14 chcchchchfhxp i +−+−==−= − (2.74)

Untuk xi,

;)0( 04 cfxp i === (2.75)

Untuk xi+1,

;)( 0122

33

44

14 chcchchchfhxp i ++++=== + (2.76)

Untuk xi+2,

0122

33

44

24 24816)2( chcchchchfhxp i ++++=== + (2.77)

37

Solusi dari Pers. (2.73) sampai (2.77) dapat dinyatakan sebagai

ifc =0 (2.78)

( ) ;31

111 −+ −= ii ffh

c (2.79)

( ) ;16301624

1211222 ++−− −+−+−= iiiii fffff

hc (2.80)

( )112233 2212

1+−−+ −+−= iiii ffff

hc (2.81)

( )211244 46424

1++−− +−+−= iiiii fffff

hc (2.82)

Daerah ( I ) dibawah polinomial berderajat empat p4(x) diantara xi-2 dan xi+2 dapat

diditemukan sebagai berikut:

( )

).4()16(3

)64(5

)()(2

)(3

)(4

)(5

)(

03254

220

22

2122

3222

4322

54

2

201

22

33

444

2

2

hchchc

xcxcxcxcxc

dxcxcxcxcxcdxxpI

hh

hh

hh

hh

hh

h

h

x

x

i

i

++=

++++=

++++==

−−−−−

−∫∫

+

−

(2.83)

Dengan mensubstitusikan dari c0 hingga c3 dari Pers. (2.78) hingga (2.82), Pers. (2.83)

memberikan

).73212327(452

424

16301616

24464

564

2112

221123

32112

4

++−−

++−−

++−−

++++=

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−+−

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+−

=

iiiii

iiiiii

iiiii

fffffh

hfh

fffffh

hfffffhI

(2.84)

Formula Newton-Cotes untuk polinomial berderajat empat ini sering disebut dengan

aturan Boole.

38

2.5.1 Rumus Newton-Cotes secara Umum

Seperti yang telah dinyatakan sebelumnya, rumus-rumus Newton-Cotes

diturunkan dengan menggunakan sebuah polinomial dengan order m untuk pendekatan

fungsi f(x), maka,

,.)(.)( ∫∫ ≈b

am

b

a

dxxpdxxf (2.85)

dimana

.)( 012

21

1 cxcxcxcxcxp mm

mmm +++++= −

− L (2.86)

Rumus-rumus integrasi numerik yang berhubungan dengan m = 0 (aturan

persegi), m = 1 (aturan trapezoidal), m = 2 (aturan Simpson 1/3), m = 3 (aturan Simpson

3/8), dan m = 4 (aturan Boole) telah diturunkan di Bagian 2.4 dan 2.5. Rumus-rumus

yang berhubungan dengan polinomial berorder lebih tinggi juga dapat diturunkan.

Estimasi kesalahan yang berhubungan dengan rumus mana saja juga dapat diturunkan

seperti yang telah dilakukan sebelumnya. Sebuah ringkasan dari beberapa rumus-rumus

Newton-Cotes, bersama dengan estimasi keslahan yang berhubungan, diberikan pada

tabel 2.1

39

Tabel 2.1 Tabel beberapa rumus Newton-Cotes beserta estimasi kesalahannya.

2.6 Kuadratur Gauss

Sementara metode-metode dianggap memerlukan evaluasi dari integrand pada

interval yang sama, kuadratur Gauss dianggap memerlukan evaluasi integrand pada

interval tertentu, tapi tidak sama. kuadratur Gauss merupakan metode integrasi numerik

yang kuat dan keakuratannya jauh lebih tinggi daripada rumus-rumus Newton-Cotes.

Walau begitu, kuadratur Gauss tidak begitu berguna untuk mengintegrasikan fungsi

yang diberikan dalam bentuk tabel dengan interval equispace. Bentuk yang paling

terkenal dari kuadratur Gauss, dikenal sebagai kuadratur Gauss-Legendre, menggunakan

polinomial Legendre untuk pendekatan fungsi f(x). Metode ini menggunakan akar-akar

polinomial Legendre untuk melokasikan titik dimana integrand dievaluasi. Dalam

integrasi Gauss, integral dievaluasi dengan menggunakan rumus

40

,)(.)(1∑∫=

=n

ii

b

a

xfwidxxf (2.87)

Dimana n disebut banyaknya titik-titik Gauss, wi adalah koefisien yang tidak

diketahui, disebut juga weight, dan xi adalah nilai khusus dari x, disebut juga titik Gauss,

dimana integrand dievaluasi. Untuk n tertentu, nilai dari wi dan xi dipilih sehingga

rumusnya akan tepat untuk polinomial ke atas, termasuk derajat (2n – 1). Misalnya

untuk n = 2, nilai dari w1, w2, x1, dan x2 dipilih agar rumusnya memberikan nilai tepat

dari integral untuk polinomial hingga derajat tiga.

2.6.1 Perubahan Koordinat

Seperti yang terlihat pada Pers. (2.87), integrasi Gauss memerlukan jangkauan

integrasi dari -1 hingga +1. untuk kenyamanan notasi, anggap saja, koordinat asli y dan

jangkauan integrasi f(y) dari a ke b. Maka perubahan

ab

bayx−

−−=

2 (2.88)

Memberikan koordinat yang dinormalisasi x = -1, ketika y = a dan x = +1,

ketika y = b. Perubahan dari x ke y menjadi

2

)( baxaby ++−= (2.89)

Dengan memperhatikan bahwa dxabdy ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=2

, integral aslinya

∫b

a

dyf(y) dapat ditulis kembali sebagai

∑∫∫=−

−==

n

iii

b

a

yfwabdxdxdyyfdyyf

1

1

1

),(2

)()( (2.90)

41

Jika xi adalah titik Gauss dari koordinat yang dinormalisasi, nilai yang

berhubungan dengan yi dapat dinyatakan, menggunakan Pers. (2.89), sebagai

.2

)( baxaby ii

++−= (2.91)

Karena weight, wi , tetap sama, integral dapat dievaluasi menggunakan ekspresi

sisi sebelah kanan Pers. (2.90).

2.6.2 Ciri sebuah rumus Gauss

Pemikiran utama di belakang integrasi Gauss adalah bahwa di dalam pemilihan

sebuah rumus

∑∫=

n

iii

b

a

xyAdxxy1

)(~)( (2.92)

Maka mungkin merupakan hal yang bijaksana untuk tidak menetapkan argumen-

argumen xi yang tak berjarak antara sama. Banyak integral yang melibatkan fungsi-

fungsi analitik yang cukup dikenal yang dapat dihitung untuk sembarang argumen dan

dengan ketelitian yang cukup besar. Di dalam kasus-kasus seperti itu, maka akan

berguna bagi kita untuk menanyakan pilihan xi dan Ai yang manakah yang bersama-sama

akan memberikan ketelitian maksimum. Terbukti bahwa akan memudahkan kita untuk

membicarakan rumus yang sedikit lebih umum, yakni

∑∫=

n

iii

b

a

xyAdxxyxw1

)(~)()( (2.93)

dimana w(x) adalah fungsi bobot yang akan ditentukan kelak. Bila w(x) = 1 maka kita

memperoleh rumus asli yang lebih sederhana.

42

Satu pendekatan kepada rumus Gauss seperti itu adalah dengan mencari

ketelitian yang sempurna bila y(x) adalah salah satu dari fungsi-fungsi pangkat 1, x,

x2, ..., x2n-1. Ini menyediakan 2n persyaratan untuk menentukan 2n bilangan, yakni xi dan

Ai. Ternyata,

∫=b

aii dxxLxwA )()( (2.94)

Dimana Li(x) adalah fungsi pengali Langrangre. Argumen-argumen x1, ..., xn

adalah titik-titik nol dari polinomial pn(x) yang berderajat n yang termasuk pada sebuah

kelompok yang mempunyai sifat ortogonalitas

0)()()( =∫ dxxpxpxwb

amn untuk nm ≠ (2.95)

Polinomial-polinomial ini bergantung pada w(x). Dengan demikian maka

fungsi bobot tersebut akan mempengaruhi keduanya Ai dan xi tetapi tidak akan muncul

secara eksplisit di dalam rumus Gauss.

2.6.3 Rumus Gauss-Legendre

Rumus ini diperoleh bila w(x) = 1. inilah prototip metode Gauss. Sudah lazim

menormalisasikan interval (a,b) menjadi (-1,1). Maka polinomial-polinomial ortogonal

tersebut adalah polinomial-polinomial Legendre

nn

n

nn x

dxd

nxP )1(

!21)( 2 −= (2.96)

Dengan P0(x) = 1. Bilangan-bilangan xi adalah titik-titik nol dari polinomial ini

dan koefisien-koefisien tersebut adalah

43

[ ]21

2

2

)()1(2

in

ii xPn

xA

−

−= (2.97)

Tabel-tabel yang memberikan xi dan Ai biasanya tersedia, yang akan

disubstitusikan secara langsung ke dalam rumus Gauss-Legendre

∑∫=

n

iii

b

a

xyAdxxy1

)(~)( (2.98)

Berbagai sifat polinomial Legendre akan diperlukan di dalam pengembangan

hasil-hasil ini termasuk yang berikut:

0)(1

1

=∫−

dxxPx nk untuk k = 0, 1, ..., n-1 (2.99)

)!12()!(2)(

211

1 +=

+

−∫ n

ndxxPxn

nn (2.100)

[ ]12

2)(1

1

2

+=∫

− ndxxPn (2.101)

0)()(1

1

=∫−

dxxPxP nm untuk nm ≠ (2.102)

Pn(x) mempunyai n titik nol riil di dalam (-1,1)

)()()12()()1( 11 xnPxxPnxPn nnn −+ −+=+ (2.103)

[ ]∑=

++ −+=+−n

innnnii xPtPxPtPntPxPixt

011 )()()()()1()()()12()( (2.104)

∫− ++

−=

−

1

1 1 )()1(2)(

knk

n

xPndx

xxxP

(2.105)

)()()()1( 12 xnPxnxPxPx nnn −=+′− (2.106)

Perkiraan Lanczos mengenai besarnya kesalahan pemotongan untuk rumus

Gauss-Legendre akan dinyatakan dalam bentuk

44

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ′−−−++ ∑

=

n

iiii xyxAIyy

nE

1)()1()1(

121~ (2.107)

Dimana I adalah integral aproksimasi yang didapatkan dengan menggunakan

rumus n titik Gauss. Perhatikan bahwa suku ∑ melibatkan pemakaian rumus yang

sama kepada fungsi xy’(x). Perkiraaan kesalahan ini kelihatannya cukup teliti untuk

fungsi-fungsi yang licin.

2.6.4 Turunan dari Rumus Gauss Dua Titik

Rumus integrasi Gauss dua titik diberikan dari [Pers. (2.87) dengan n = 2]

),()(.)( 2211

1

1

xfwxfwdxxf +=∫−

(2.108)

Dimana evaluasi dari keempat w1, w2, x1, dan x2 yang tidak diketahui membutuhkan

penggunaan empat kondisi. Karena n = 2, rumusnya harus memberikan nilai yang tepat

bagi polinomial berorder tiga dan dibawahnya. Dengan memaksakan rumus agar tepat

untuk polinomial tersebut, f(x) = 1, x, x2, dan x3, kita dapatkan persamaan-persamaan

berikut:

Ketika f(x) = 1,

.)()(

21.)(

212211

1

1

1

1

wwxfwxfw

dxdxxf

+=+=

== ∫∫−− (2.109)

Ketika f(x) = x,

.)()(

02

.)(

22112211

1

1

1

1

21

1

xwxwxfwxfw

xdxxdxxf

+=+=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

−−−∫∫ (2.110)

45

Ketika f(x) = x2,

.)()(

32

3.)(

222

2112211

1

1

31

1

21

1

xwxwxfwxfw

xdxxdxxf

+=+=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

−−−∫∫ (2.111)

Ketika f(x) = x3,

.)()(

04

.)(

322

3112211

1

1

41

1

31

1

xwxwxfwxfw

xdxxdxxf

+=+=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

−−−∫∫ (2.112)

Karena limit integrasi, -1 dan +1 simetris sekitar x = 0, kita harap x1, x2 juga

simetris sekitar x = 0. dengan menganggap x2 = -x1, kita dapatkan lanjutan dari Pers.

(2.109) dan (2.110):

w1 = w2 = 1.

Nilai ini secara otomatis memenuhi Pers. (2.111) dan Pers. (2.112) memberikan

,312

1 =x

Dari situ kita dapatkan

896265773502691.03

11 ==x

Dan

896265773502691.03

112 −=−=−= xx

2.6.5 Prosedur Umum

Walaupun turunan dari rumus integrasi Gauss dua titik tidak rumit, turunan dari

sebuah rumus yang menggunakan lebih dari dua titik Gauss, lumayan sulit.

46

Bagaimanapun juga, prosedur umum untuk menemukan wi dan xi melibatkan beberapa

langkah berikut:

1. Titik-titik Gauss x1, x2, ..., xn adalah akar-akar dari polinomial Legendre dengan

derajat n, Pn(x). Polinomial-polinomial Legendre ortogonal pada interval [-1,1],

sehingga

∫−

≠=1

1

;0)()( mndxxPxP mn

Dan

{ } 0)()(1

1

2 ≠=∫−

ncdxxPn (2.113)

Dimana c(n) adalah sebuah konstan yang nilainya tergantung dari n. Polinomial-

polinomial Legendre dinyatakan dengan

P0(x) = 1,

P1(x) = x,

Dan

,...4,3,2);(1)(12)( 21 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

= −− nxPn

nxPxn

nxP nnn (2.114)

Secara umum, polinomial acak manapun yang berderajat n, pn(x), dapat

direpresentasikan dengan sebuah kombinasi linear dari polinomial Legendre

sebagai

∑=

=n

iiin xPxp

0),()( α (2.115)

Dimana iα adalah konstan.

47

2. Weight wi dapat dihitung sebagai

{ }

.)()1(2

21

2

in

ii xnP

xw

−

−= (2.116)

Walaupun komputasi biasa dari xi dan wi agak rumit, nilai-nilai dari xi dan wi

untuk berbagai nilai n telah dibuat dan diberikan dalam tabel 2.2.

Tabel 2.2 Tabel titik-titik Gauss, weight dan estimasi kesalahannya.

Nilai-nilai dalam tabel 2.2 didapat dari :

Rumus Gauss- Legendre 1 titik

∫−

−==1

1

1...,,1,0,0)( nkdxxx kπ

{ }.

)()1(2

21

2

kn

kk xnP

xw

−

−=

Untuk 1 titik, berarti n = 1.

Di sini polinomial π(x) tersebut adalah polinomial pangkat satu atau persamaan linear,

katakanlah π(x) = a + x. Integrasi akan menghasilkan

48

02 =a

Yang dengan cepat akan menghasilkan a = 0. Ini membuat

xx =)(π

Maka argumen kolokasinya adalah

0=kx

Dan

2=kw


∫−

−==1

1

1...,,1,0,0)( nkdxxx kπ

{ }.

)()1(2

21

2

kn

kk xnP

xw

−

−=


Di sini polinomial π(x) tersebut adalah polinomial pangkat dua atau persamaan kuadratik,

katakanlah π(x) = a + bx + x2 . Integrasi akan menghasilkan

,0322 =+a 0

32

=b

Yang dengan cepat akan menghasilkan b = 0, a = -1/3. Ini membuat

)3/1)(3/1()3/1()( 2 −+=−= xxxxxπ


896265773502691.0,896265773502691.03/1,3/1

−=−=kx

Dan

49

1,1=kw


∫−

−==1

1

1...,,1,0,0)( nkdxxx kπ

{ }.

)()1(2

21

2

kn

kk xnP

xw

−

−=


Di sini polinomial π(x) tersebut adalah polinomial pangkat tiga, katakanlah π(x) = a +

bx + cx2 + x3. Integrasi akan menghasilkan

,0322 =+ ca ,0

52

32

=+b 052

32

=+ ca

Yang dengan cepat akan menghasilkan a = c = 0, b = -3/5. Ini membuat

)5/3()5/3()5/3()( 3 −+=−= xxxxxxπ


414837745966692.0,0,414837745966692.05/3,0,5/3

−=−=kx

Dan

555565555555555.0,888898888888888.0,555565555555555.0=kw


∫−

−==1

1

1...,,1,0,0)( nkdxxx kπ

50

{ }.

)()1(2

21

2

kn

kk xnP

xw

−

−=


Di sini polinomial π(x) tersebut adalah polinomial pangkat empat, katakanlah π(x) = a +

bx + cx2 + dx3 + x4. Integrasi akan menghasilkan

,052

322 =++ ca ,0

52

32

=+ db ,072

52

32

=++ ca 072

52

=+ db

Yang akan menghasilkan b = d = 0, a = 3/35, c = -6/7. Ini membuat

33035

)35/3()7/6()(24

24

+−=

+−=

xxxxxπ


940538611363115.0,8484563399810435.0,848563399810435.0,940538611363115.0

3530215,

3530215,

3530215,

3530215

−−=

+−−−

+−=kx

Dan

474543478548451.0,625466521451548.0,625466521451548.0,474543478548451.0=kw


∫−

−==1

1

1...,,1,0,0)( nkdxxx kπ

{ }.

)()1(2

21

2

kn

kk xnP

xw

−

−=


51

Di sini polinomial π(x) tersebut adalah polinomial pangkat lima, katakanlah π(x) = a +

bx + cx2 + dx3 + ex4 + x5. Integrasi akan menghasilkan

,052

322 =++ eca ,0

72

52

32

=++ db ,072

52

32

=++ eca ,092

72

52

=++ db

092

72

52

=++ eca

Yang akan menghasilkan a = c = e = 0, b = 5/21, d = -10/9. Ini membuat

xxx

xxxx157063

)21/5()9/10()(35

35

+−=

+−=π


386649061798459.0,056835384693101.0,0,056835384693101.0,386649061798459.0

6370235,

6370235,0,

6370235,

6370235

−−=

+−−−

+−=kx

Dan

561892369268850.0,993664786286704.0,888895688888888.0,993664786286704.0,561892369268850.0=kw


∫−

−==1

1

1...,,1,0,0)( nkdxxx kπ

{ }.

)()1(2

21

2

kn

kk xnP

xw

−

−=


Di sini polinomial π(x) tersebut adalah polinomial pangkat lima, katakanlah π(x) = a +

bx + cx2 + dx3 + ex4 + fx5 + x6. Integrasi akan menghasilkan

52

,072

52

322 =+++ eca ,0

72

52

32

=++ fdb ,092

72

52

32

=+++ eca

,092

72

52

=++ fdb ,0112

92

72

52

=+++ eca 0112

92

72

=++ fdb

Yang akan menghasilkan b = d = f = 0, a = -5/231, c = 5/11, e = -15/11. Ini membuat

5105315231

)231/5()11/5()11/15()(246

246

−+−=

−+−=

xxxxxxxπ


031529324695142.0,662656612093864.0,831972386191860.0831972386191860.0,662656612093864.0,031529324695142.0 −−−=kx

Dan

791701713244923.0,481393607615730.0,726914679139345.0,726914679139345.0,481393607615730.0,791701713244923.0=kw

2.6.6 Estimasi Kesalahan

Kesalahan (E) dalam rumus Gauss n titik ( secara lebih akurat, rumus Gauss

Legendre) adalah

.11);(})!2){(12(

})!{(2 )2(3

412

<<−+

≈+

ξξnn

fnn

nE (2.117)

Seperti yang ditetapkan sebelumnya, rumus n titik mengintegrasikan sebuah

polinomial dengan derajat (2n – 1) secara tepat, karena turunan dari order (2n), f(2n),

adalah nol dalam kasus ini. Asumsikan skala dari order yang lebih tinggi menurun (atau

menaik secara lambat) dengan menaikkan nilai n, rumus Gauss secara signifikan lebih

akurat daripada rumus Newton-Cotes.

53

2.7 Aturan Adaptive Simpson

Banyak integrand berubah-ubah dalam kemulusan mereka dalam titik yang berbeda

pada interval integrasi [a,b]. Sebagai contoh, dengan

∫=1

0

dxxI

integrandnya memiliki kemiringan yang tak terbatas pada x = 0, tetapi fungsinya

berkelakuan baik pada titik x dekat 1. Kebanyakan metode integrasi numerik

menggunakan sebuah jaringan titik-titik node seragam, dimana, ketebalan dari titik-titik

node hampir menyamai keseluruhan integrasi interval. Hal ini termasuk campuran rumus

Newton-Cotes, kuadratur Gauss, metode Patterson dan integrasi Romberg. Ketika

integrand berkelakuan tidak baik pada beberapa titik α dalam interval [a,b], banyak

titik-titik node harus ditempatkan di dekat α untuk mengimbangi hal tersebut. Tetapi

hal ini menuntut lebih banyak titik-titik node yang perlu digunakan pada seluruh bagian

lain dari [a,b]. Integrasi adaptive mencoba untuk meletakkan titik-titik node berdasarkan

kelakuan bentuk integrand, dengan ketebalan titik-titik node menjadi lebih besar di dekat

titik-tik yang berkelakuan tidak baik.

Konsep dasar dari integrasi adaptive akan dijelaskan menggunakan aturan

adaptive Simpson yang disederhanakan. Untuk melihat lebih seksama mengapa

penempatan variabel itu perlu, anggap aturan Simpson dengan penempatan node-node

sebagai berikut:

( )∑ ∑∫= =

−−− ++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=≈=

−

2/

1

2/

121222

222 46

)()()(2

22

n

j

n

jjjj

jjn

x

x

fffxx

fIdxxffIj

j

dengan ( )

2222

12jj

j

xxx

+= −

− . Menggunakan [ ] )(~)()(180

)( )3()3(4

fEafbfhfE nn ≡−−≈ ,

54

∑=

−−−=−2/

1

)4(5222 )()(

28801)()(

n

jjjjn fxxfIfI ξ (2.118)

dengan jjj xx 222 <<− ξ . Secara jelas, pilih x2j – x2j-2 berdasarkan ukuran dari )()4(jf ξ ,

yang mana tidak diketahui secara umum. Jika f(4)(x) merubah sangat besar dalam jarak,

jangan tempatkan pada [a,b]

sebagai notasi, memperkenalkan

∫=β

αβα dxxfI )(,

2)(

24)(

3)1(,

αβββααβα−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+= hfffhI

2)1(

,)1(,

)2(,

αβγβγγαβα+

=+= III

untuk mendeskripsikan algoritma adaptive untuk menghitung

∫=b

a

dxxfI )(

kita gunakan definisi rekursif. Anggap bahwa diberikan ε > 0, dan kita ingin

menemukan sebuah integral pendekatan I dimana

ε<− II

mulai dengan menyatakan a=α dan b=β . Hitung )1(,βαI dan )2(

,βαI , jika

εβαβα <− )1(,

)2(, II (2.119)

lalu terima )2(,βαI sebagai pendekatan integral adaptive ke βα ,I . Atau sebaliknya nyatakan

integral adaptive untuk βα ,I sama dengan jumlah integral-integral adaptive untuk γα ,I

dan βγ ,I , 2/)( βαγ += , masing-masing dihitung dengan toleransi kesalahan ε / 2.

55

Pada implementasi sebenarnya sebagai sebuah program komputer, banyak

pembatasan tambahan yang termasuk sebagai pelindung, dan estimasi kesalahannya

biasanya jauh lebih rumit. Semua evaluasi fungsi ditangani secara hati-hati untuk

memastikan bahwa integrand tidak pernah dievaluasi dua kali pada titik yang sama. Hal

ini membutuhkan sebuah prosedur stack yang pintar untuk nilai-nilai f(x) yang harus

disimpan sementara karena akan dibutuhkan lagi di perhitungan yang akan datang.

2.8 Integrasi Numerik dalam Daerah Dua Dimensi

Dalam banyak situasi teknik dan praktis lainnya, kita perlu untuk mengevaluasi

integral daerah dengan dua atau tiga dimensi. Jika sebuah integral lipat dua harus

dievaluasi untuk daerah yang ditunjukkan pada Gambar 2.15, kita memiliki

,),(),()(

)(

dxdyyxfdydxyxfIA

b

a

xq

xp∫ ∫ ∫ ∫ ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

== (2.120)

Dimana A menyatakan daerah integrasi yang ditunjukkan pada Gambar 2.15 Pers.

(2.120) dapat diekspresikan sebagai

∫=b

a

dxxXI ,)( (2.121)

56

Gambar 2.15 Evaluasi dari sebuah integral lipat dua.

Dimana fungsi, X(x), adalah

..),()()(

)(∫=xq

xp

dyyxfxX (2.122)

Untuk mengevaluasi integral dalam Pers. (2.121), pertama-tama kita membagi

daerah integrasi menjadi n buah segmen yang memiliki lebar yang sama (hx) sepanjang

sumbu x, dan menjadi m buah segmen yang memiliki lebar yang sama sepanjang sumbu

y pada nilai tertentu dari xi. (Lihat Gambar 2.15). Lalu kita dapat menggunakan metode

integrasi apapun yang telah dideskripsikan dalam bagian sebelumnya. Misalnya,

kuadratur Gauss-Legendre yang digunakan, kita anggap integral lipat dua dalam bentuk

∫ ∫− −=

1

1

1

1),( dydxyxfI (2.123)

Dan dievaluasi seperti berikut

57

.),(

),(

),(),(

1 1

1 1

1

1 1

1

1

1

1

∑∑

∑ ∑

∫ ∑∫ ∫

= =

= =

− =− −

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==

n

i

n

jjiji

n

j

n

ijiij

n

iii

yxfww

yxfww

dyyxfwdydxyxfI

(2.124)

Disini, weight wi (wj) dan titik-titik Gauss xi (dan yj) sama seperti yang diberikan

dalam tabel 2.2. Perhatikan bahwa banyaknya titik integrasi pada setiap arah

diasumsikan sama. secara jelas, tidaklah diperlukan, dan tekadang, hal tersebut

merupakan keuntungan menggunakan berbagai jumlah titik integrasi pada setiap arah.

Integral dari Pers. (2.120), dimana limit integrasi bukan -1 dan +1, kita dapat

menggunakan perubahan koordinat sama dengan yang telah dideskripsikan dalam Pers.

(2.88) dan (2.89).

2.9 Volume Benda Putar

Penerapan integrasi dalam bidang teknik ada banyak sekali, salah satunya adalah

untuk menghitung volume benda putar. Benda putar adalah suatu benda yang dapat

dihasilkan dari suatu garis yang diputar 360 derajat mengelilingi suatu sumbu tertentu

dan benda tersebut simetris terhadap sumbu yang dikelilingi tersebut. garis tersebut

dapat berbagai macam, bisa garis lurus maupun berupa kurva.

Jika bentuk bidang yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu x, dan ordinat pada x

= a dan x = b diputarkan satu putaran penuh mengelilingi sumbu x, maka akan diperoleh

sebuah benda putaran yang simetris terhadap OX.

Misalkan V adalah volume benda putaran yang terbentuk

58

Gambar 2.16. Volume benda putaran yang terbentuk oleh fungsi f(x).

Untuk mendapatkan V, pertama-tama kita tinjau dahulu sebuah pita sempit

dalam bentuk bidang semula.

Gambar 2.17. Pita sempit dalam bentuk bidang.

Volume yang dibentuk oleh pita tersebut ≈ volume yang dibentuk oleh pita

persegi panjang di bawahnya, yaitu

xyV δπδ 2≈ (2.125)

Tepat, karena benda yang terbentuk berupa silinder pipih.

Jika seluruh bentuk bidang kita bagi-bagi menjadi sejumlah pita yang seperti

itu, setiap pita akan menghasilkan silindernya sendiri, masing-masing dengan volume

.2 xy δπ

59

Gambar 2.18 Benda putar dibagi menjadi beberapa pita silinder.

∴Volume total, ∑=

=

≈bx

ax

xyV δπ 2

Kesalahan dalam pendekatan di atas ditimbulkan oleh bagian luas di atas

persegi panjang yang menyebabkan benda putarannya nampak berundak-undak seperti

tangga. Tetapi jika 0→xδ , kesalahan ini hilang, sehingga akhirnya

∫=b

a

dxyV 2π (2.126)

Volume benda putaran yang terbentuk jika bentuk bidang yang dibatasi oleh

kurva y = f(x), sumbu x, dan ordinat pada x = a dan x = b diputarkan satu putaran penuh

mengelilingi sumbu y diberikan oleh

∫=b

a

dxyxV π2 (2.127)

60

2.10 Volume Benda Padat

Gambar 2.19 Benda padat yang diambil salah satu bagiannya.

Ambil bidang y = y0, y = y0 tegak lurus pada poros y. Penampang antara benda

dan y0 mempunyai luas Li (bidang arsir)

Gambar 2.20 Penampang antara benda dan y0.

Jika ada bidang di samping, maka luas bidang:

∑∫=

−→

Δ→Δ

=n

ii

Nn

a

b

xfiydxxf

1)(0)( lim ξ (2.128)

Sehingga dapat disimpulkan volume benda tipis yang tebalnya iyΔ dan luas Li

adalah iiii yyxL Δ.)( (luas * lebar). Maka, volume keseluruhan

61

∑=

=

Δ→Δ

n

iiiii

Nn

yyxLiy 1

.)(0lim (2.129)

Volume benda = ∫b

a

dyyxL ),(

∫=)(

)(

2

1

),(),(yg

yg

dxyxFyxL

Sehingga

Volume = dydxyxFb

a

yg

yg∫ ∫ ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ )(

)(

2

1

),( . Ini adalah Integral berulang (Iterated Integral)

Volume benda padat

V = dydxyxFb

a

yg

yg∫ ∫)(

)(

2

1

),( (2.130)

bab 2 landasan teori -...

Documents