BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1. Peramalan

Peramalan adalah penggunaan data masa lalu dari sebuah variabel atau kumpulan

variabel untuk mengestimasi nilainya di masa yang akan datang. Peramalan Merupakan

bagian vital bagi setiap organisasi bisnis dan untuk setiap pengambilan keputusan

manajemen yang sangat signifikan. Peramalan menjadi dasar bagi perencanaan jangka

panjang perusahaan.

Dalam proses pengambilan keputusan tersebut, perusahaan seringkali

dihadapkan pada situasi dimana mereka harus melakukan peramalan untuk dapat

membuat keputusan yang paling tepat saat itu. Oleh karena itu dibutuhkanlah sebuah

program aplikasi yang dapat melakukan peramalan khususnya tentang nilai tukar rupiah

terhadap dollar Amerika.

Metode yang akan digunakan dalam peramalan ini adalah metode

WAW(Wavelet-ARMAX-Winter). Metode ini adalah penggabungan dari metode-

metode peramalan yang sudah beredar pada umumnya seperti metode ARMAX, metode

regresi harmonik, metode Holt Winters dan metode transformasi wavelet. Ketiga metode

ini akan dipakai secara simultan pada skala yang berbeda dalam fungsi waktu. Fungsi

waktu tersebut mula-mula diubah dengan teknik non-decimated wavelet transformation

(NDWT) ke dalam domain wavelet.

Secara umum peramalan yang akan dilakukan membagi tugas peramalan tersebut

menjadi tiga bagian yaitu:

8

a. Pada peramalan data frekuensi tinggi atau data yang dalam domain wavelet tidak

mengandung variabel tren dan variabel musiman akan ditangani oleh metode

ARMAX,

b. Peramalan data yang mengandung variabel tren diserahkan kepada metode Holt

Winters,

c. Sedangkan peramalan data yang mengandung variabel musiman akan dilakukan oleh

metode regresi harmonik.

Sehingga urutan pengerjaan peramalan nilai tukar rupiah terhadap dollar

Amerika adalah sebagai berikut:

a. Transformasi data historis yang akan dipakai ke dalam domain wavelet

menggunakan metode NDWT.

b. Lakukan peramalan nilai komponen tren menggunakan metode Holt Winters.

c. Lakukan peramalan nilai komponen musiman menggunakan metode regresi

harmonik dengan periode musiman yang telah diestimasi.

d. Gunakan metode ARMAX untuk melakukan peramalan komponen data berfrekuensi

tinggi pada domain wavelet.

e. Gabungkan ketiga peramalan yang telah dilakukan untuk mendapatkan peralaman

yang diinginkan. Langkah terakhir ini dapat dilakukan dengan invers transformasi

wavelet.

9

2.2. Metode WAW

2.2.1. Model ARMAX

Menurut Chen et al. (2004, pp4) model Auto-Regressive Moving Average atau

ARMA adalah salah satu proses pemodelan dari data historis yang statis dan tidak

mengandung variabel tren maupun variabel musiman.

Data historis yang statis atau disebut juga data stasioner adalah data yang

memiliki rata-rata dan bergerak dengan kecenderungan menuju ke rata-rata tersebut.

Sedangkan data yang tidak stasioner akan memiliki varians yang terus membesar.

Contoh dari data historis yang statis atau stasioner ditunjukkan pada Gambar 2.1 dan

2.2.

Gambar 2.1 Data historis yang stasioner atau statis

10

Gambar 2.2 Data historis yang tidak stasioner

Model ini sebenarnya merupakan gabungan dari banyak unsur dalam teori dan

banyak dipakai untuk tujuan peramalan. Model yang dikembangkan oleh Wold pada

tahun 1951 ini menggabungkan dua pola serial waktu yaitu model autoregressive atau

AR yang dikembangkan oleh Yule pada tahun 1926 dan model moving average atau

MA yang dikembangkan oleh Slutzky pada tahun 1937. Model ini biasa

direpresentasikan dengan ARMA(p,q) dengan p adalah order dari bagian AR dan q

adalah order dari bagian MA. Masing-masing bagian akan dijelaskan sebagai berikut.

Model ini memiliki beberapa keunggulan jika dibandingkan dengan model lain,

seperti:

11

a. Model ARMA disusun secara logis dan secara statistik memiliki tingkat keakuratan

yang tinggi,

b. Model ini memasukan banyak informasi dari data historis yang digunakan,

c. Model ini menaikan tingkat akurasi peramalan dan pada waktu yang sama menjaga

jumlah parameter seminimal mungkin.

Metode ini menggunakan pendekatan iteratif yang mengidentifikasi

kemungkinan model yang bermanfaat. Model terpilih, kemudian, dicek kembali dengan

data historis apakah telah mendeskripsikan data tersebut dengan tepat. Model “terbaik”

akan diperoleh apabila residual antara model peramalan dan data historis memiliki nilai

yang kecil, distribusinya random, dan independen.

2.2.2. Autoregressive (AR)

Model AR dapat ditulis:

Dimana c adalah konstanta, adalah parameter model AR, dan adalah

white noise(error). Dengan menganggap error atau adalah termasuk konstanta, maka

persamaan diatas dapat disederhanakan menjadi:

Model ini menggunakan data historis sebagai pembentuk pemodelan yang akan

dibuat. Oleh karena itulah model ini dinamakan model autoregressive.

12

2.2.3. Moving Average (MA)

Model MA dapat ditulis:

Dimana merupakan parameter model MA, dan , merupakan

error yang dihasilkan.

2.2.4. Autoregressive-Moving Average (ARMA)

Dan kombinasi dari AR(p) dan MA(q) dari model di atas akan menjadi ARMA(p,q)

sebagai berikut:

Dengan mengambil nilai awal =1, maka persamaan di atas dapat ditulis:

Lalu pindahkan kesisi kiri persamaan dan mengambil nilai =1,

maka persamaan di atas akan menjadi:

13

2.2.5. Autoregressive-Moving Average dengan input X (ARMAX)

Model ARMAX adalah generalisasi dari model ARMA. Model ARMAX

merupakan model ARMA yang dapat menerima variabel input eksternal X kedalam

persamaan. Sehingga metode ini tidak sepenuhnya bergantung pada data historis.

Metode ini lebih cocok dipakai pada fungsi waktu yang bersifat homogen dan tidak

memiliki persamaan tren dan musim. Oleh karena itu, dibutuhkan metode lain yang

dapat menangani variabel musiman dan variabel tren yang muncul yang akan dibahas

lebih lanjut pada bagian lain tulisan ini.

Dari persamaan yang sudah dihasilkan di atas, akan ditambahkan sebuah variabel

lagi untuk menangani input eksternal yaitu variabel . Maka persamaannya menjadi:

Persamaan diatas dapat disingkat menjadi:

Dimana adalah variabel input, adalah variabel output, dan adalah

white noise. Dengan mengambil nilai parameter =1, maka parameter A, B, dan C

masing-masing adalah:

14

Dan , , dan masing-masing adalah parameter yang sesuai dengan pemodelan

yang akan dibuat. Pada umumnya nilai p, q, dan r akan selalu sama, sehingga matriks

parameter akan mempunyai besar 3xn(dengan n banyaknya data historis yang

digunakan. Yaitu:

2.2.6. Regresi Harmonik

Regresi harmonik (regresi trigonometri, regresi cosinor) adalah sebuah model

regresi linier yang menggunakan variabel trigonometri, yang biasanya merupakan

variabel deret waktu, dalam persamaan yang digunakan. Regresi harmonik digunakan

untuk menangani kejadian berulang yang biasanya terjadi pada data historis yang

digunakan.

Menurut Young et al. (1999, pp1-3) regresi harmonik merupakan model

komponen yang belum terobservasi(unobserved components model). Dalam makalah

tersebut regresi harmonik berbentuk:

yt = Tt + Ct + St + f(ut)+ Nt + et

Dimana yt adalah data historis yang diobservasi; Tt adalah tren atau komponen

berfrekuensi rendah; Ct adalah komponen periode atau semiperiode yang periodenya

berbeda dengan yang terdapat pada unsur musiman pada data historis yang diobservasi;

15

St adalah komponen musiman; f(ut) menangkap pengaruh dari vektor variabel luar, jika

diperlukan ditambahkan hubungan stokastik, linear statis atau linear dinamis; Nt adalah

model gangguan stokastik (noise dengan model ARMA); et adalah komponen

‘irregular’, dimana untuk keperluan perhitungan biasanya didefinisikan berdistribusi

gaussian dengan nilai rata-rata nol dan varians σ = 2.

Dalam proyek peramalan ini regresi harmonik digunakan untuk memprediksi

nilai kelanjutan dari komponen musiman saja. Oleh karena itu dalam persamaan diatas,

yang dipakai dalah unsur St nya saja.

Model St yang lebih sederhana berbentuk:

Dimana p adalah periode musiman data historis yang digunakan, adalah

frekuensinya, dan = 3,1415…..

Sedangkan model yang lebih umum berupa:

Sedangkan jika nilai dari masing-masing parameter tergantung pada

variabel t, maka persamaan diatas akan menjadi:

Karena yt ≈ St, maka:

16

Model regresi harmonik sebenarnya mirip dengan model polinomial, tetapi

menggunakan fungsi trigonometri dari t untuk menggantikan fungsi pangkat dari t.

Model ini bersifat orthogonal antara satu bagian dengan bagian lainnya.

2.2.7. Metode Holt Winters

Menurut Prajakta (2004, pp3-8) metode Holt Winter adalah sebuah metode

peramalan yang dapat menerima inputan dari data historis yang mengandung variasi

unsur tren dan unsur musiman. Tetapi pada proyek peramalan ini metode Holt Winters

akan digunakan untuk meramalkan unsur tren dari data historis yang digunakan.

Metode ini tidak mengasumsi adanya struktur stokastik pada data historis dan

hanya meramalkan berdasarkan pada persamaan dasar.

Metode Holt Winters ini sebenarnya merupakan pengembangan dari metode

exponential smoothing yang sudah lama digunakan untuk keperluan peramalan.

2.2.8. Exponential Smoothing

Exponential smoothing adalah suatu prosedur yang secara kontinu merevisi

peramalan sesuai dengan pengalaman atau experimen yang telah dilakukan. Exponential

smoothing menghasilkan bobot yang menurun secara eksponensial seiring dengan

observasi yang semakin lama telah dilakukan. Dengan kata lain exponential smoothing

akan memberikan bobot yang lebih tinggi kepada observasi yang baru dari pada

observasi yang lama.

17

2.2.9. Single Exponential Smoothing

Menurut Kalekar (2004, pp3), single exponential smoothing juga bisa disebut

sebagai exponential smoothing sederhana. Metode ini digunakan untuk peramalan

jangka pendek, biasanya hanya berjangka waktu satu bulan ke depan. Model ini

mengasumsi bahwa data yang digunakan tidak mengandung tren ataupun pola

berkembang (biasa disebut data stasioner). Rumusan umumnya dapat dilihat sebagai

berikut:

2.2.10. Double Exponential Smoothing

Metode ini digunakan apabila data yang digunakan memperlihatkan unsur tren.

Exponential smoothing dengan tren bekerja seperti single exponential smoothing, hanya

saja akan ada dua komponen yang harus di revisi setiap periode yaitu komponen utama

dan komponen tren. Rumusan umumnya berbentuk sebagai berikut:

Ada beberapa metode dalam menentukan nilai awal untuk dan . secara

umum di set sama dengan . Sedangkan untuk , ada tiga metode yang dapat

digunakan:

=

18

=

=

2.2.11. Triple Exponential Smoothing

Pada tahap inilah exponential smoothing disebut sebagai metode Holt Winter.

Metode ini tidak hanya dapat memasukan unsur tren, tetapi juga dapat memasukan unsur

musiman pada data historis. Sehingga akan memperluas jangkauan data dapat

digunakan. Oleh karena itu metode ini memasukan parameter ketiga atau parameter

musiman.

Sebenarnya ada dua tipe persamaan Holt Winters yang akan digunakan yang

terletak pada persamaan musiman. Yang pertama adalah model musiman perkalian dan

yang kedua adalah model musiman pertambahan. Sedangkan dalam pembuatan program

peramalan nilai tukar rupiah terhadap dollar Amerika, lebih tepat digunakan model

musiman pertambahan. Hal ini dikarenakan nilai musiman yang terjadi bersifat

penambahan.

Fungsi peramalan yang menyertakan kedua variabel tren dan musiman dalam

perhitungan berbentuk:

Dimana an adalah komponen level permanen, bn adalah komponen tren linear,

Sn+t faktor musiman penambahan, dan adalah komponen error.

Nilai sebagai komponen level permanen didefinisikan sebagai berikut:

19

Dimana α = konstanta pertama

yt = persamaan awal dari data historis

St-d = persamaan musiman 1 musim sebelumnya

Sedangkan sebagai persamaan tren, didefinisikan sebagai berikut:

Dimana β = konstanta kedua

Dan sebagai persamaan musiman, didefinisikan sebagai berikut:

Dimana γ = konstanta kedua

Untuk keadaan mula-mula nilai , , dan didefinisikan sebagai berikut:

2.2.12. Transformasi Wavelet

Wavelet adalah sebuah pemodelan data dengan bentuk waktu dan frekuensi. Hal

ini sebenarnya memiliki ide yang sama dengan bentuk pemodelan fourier atau yang kita

kenal dengan fourier transform. Namun, pada analisis wavelet, ide pokoknya adalah

untuk menganalisa berdasarkan skala yang memainkan peran yang cukup penting dalam

sebuah analisis data. Analisis wavelet memproses data skala atau resolusi yang berbeda.

Maka hasil dari sebuah analisis wavelet adalah untuk melihat baik dalam skala besar

maupun skala kecil.

20

Transformasi wavelet menyelesaikan persoalan yang sering muncul tentang

perbedaan resolusi pada beberapa kasus. Gambar 2.3 biasanya digunakan untuk

menjelaskan bagaimana resolusi waktu dan frekuensi diinterpretasikan. Setiap kotak

pada Gambar 2.3 adalah nilai dari transformasi wavelet pada domain wavelet. Luas dari

semua kotak pada gambar tersebut adalah sama sesuai dengan teorema Heisenberg,

tetapi panjang dan lebarnya dapat berbeda merepresentasikan proporsi waktu dan

frekuensi. Semakin rendah frekuensinya, semakin panjang kotak yang dihasilkan; dan

memiliki resolusi frekuensi yang lebih baik, tetapi resolusi waktu yang kurang baik, dan

sebaliknya.

Gambar 2.3 Domain frekuensi-waktu dari transformasi wavelet

Perbedaan yang mendasar antara transformasi wavelet dan transformasi fourier

adalah dalam hal fungsi basis yang digunakan dalam transformasi. Fungsi wavelet

terlokalisasi dalam ruang yang artinya mampu untuk menggambarkan setiap detail dari

pergerakan data yang ada. Sementara fungsi fourier yang berbentuk fungsi sinus dan

21

cosinus tidak dapat melakukan hal ini. Lokalisasi ini membuat wavelet sangat cocok

untuk menangani bagian data yang diskontinu. Transformasi wavelet tidak memiliki

himpunan fungsi basis tertentu, tidak seperti transformasi fourier yang memiliki fungsi

basis berbentuk sinus dan kosinus. Oleh karena itu, transformasi wavelet, yang memiliki

kemungkinan tak terhingga untuk fungsi basis yang dapat digunakan, dapat memberikan

informasi yang tidak jelas kepada metode waktu-frekuensi lainnya seperti analisis

fourier.

Perbedaan resolusi waktu-frekuensi antara transformasi wavelet dan transformasi

fourier dapat diilustrasikan oleh Gambar 2.4 yang menunjukan fungsi basis dalam

domain waktu-frekuensi dari transformasi wavelet dan transformasi fourier.

Gambar 2.4 Perbedaan fungsi basis transformasi wavelet dan transformasi fourier

Grafik di sebelah kiri menunjukan contoh transformasi fourier yang memiliki

ukuran kotak yang sama untuk setiap tempat pada domain waktu-frekuensi. Sedangkan

grafik disebelah kanan adalah contoh transformasi wavelet. Kotak dengan waktu yang

22

lebih pendek cocok untuk menggambarkan keadaan diskontinu, sementara kotak dengan

waktu lebih panjang cocok untuk menggambarkan analisis frekuensi secara lebih detail.

Diantara berbagai metode transformasi wavelet yang ada, metode non-decimated

wavelet transform (NDWT) adalah metode yang cocok untuk memodelkan data historis

yang akan digunakan dalam peramalan. Metode NDWT termasuk ke dalam keluarga

transformasi wavelet diskrit yang menggunakan data diskrit sebagai data masukan.

2.2.13. Non-decimated wavelet transform

Ada dua jenis transformasi wavelet yaitu transformasi wavelet kontinu dan

diskrit. Menurut chen et al (2004, pp81-93), transformasi wavelet diskrit (TWD) adalah

transformasi wavelet yang sangat efisien dalam aspek penghitungan. Salah satu properti

intrinsik dari TWD adalah pengurangan koefisien wavelet, yang menghilangkan semua

koefisien lain pada level frekuensi yang sama. Transformasi bisa dilakukan dengan

koefisien yang tersisa, dan invers transformasi bisa didapatkan dengan sempurna. Tetapi

hal tersebut berakibat pada pergeseran nilai varians dari transformasi tersebut.

Pergeseran varians artinya bahwa TWD dari data histori tidak sama dengan hasil

pergeserannya. Hal ini ditunjukkan oleh Gambar 2.5. Data histori terdapat pada grafik

kiri atas dan hasil pergeserannya terdapat pada grafik kanan atas. Sedangkan TWD dari

masing-masing grafik terdapat dibawahnya. Sudah jelas bahwa koefisien TWD terlalu

berbeda bila didapatkan dengan menggeser data historis.

Non-decimated wavelet transform (NDWT), sesuai dengan namanya tidak

mengurangi jumlah koefisien wavelet yang digunakan. Metode ini dapat memberikan

informasi yang cukup banyak untuk dianalisis secara lebih akurat dan komprehensif

23

dengan jumlah koefisien wavelet yang tidak berkurang seiring dengan proses

transformasi. Oleh karena adanya jumlah koefisien yang cukup banyak, NDWT

membutuhkan tempat penyimpanan yang cukup besar dan jumlah perhitungan yang

cukup banyak.

Gambar 2.5 Perbedaan hasil TWD dari data asli dengan data yang sudah digeser

Domain wavelet membagi data historis menjadi dua bagian yaitu bagian

frekuensi tinggi (yang merupakan hasil dari filter tinggi (g)) dan bagian frekuensi rendah

(yang merupakan hasil dari filter rendah (h)). Bagian berfrekuensi tinggi merupakan

koefisien detail dari data historis. Sedangkan bagian berfrekuensi rendah merupakan

bagian smooth dari data historis.

Filter h dan g masing-masing didefinisikan sebagai fungsi rekursif h[r] dan g[r]

sebagai berikut:

24

Dimana merupakan faktor dilatasi. Operator gabungan dari dan

masing-masing adalah dan . Metode NDWT adalah pengaplikasian secara

sekuensial dari operator gabungan tersebut kepada data historis yang akan digunakan.

Jika c(J) merupakan data historis, dan maka:

Transformasi dari adalah sebuah vektor

untuk . Subvektor merupakan detail level dari

data berfrekuensi tinggi, sedangkan merupakan bagian smooth dari data historis

(data berfrekuensi rendah).

Jika banyaknya vektor input adalah , maka untuk setiap nilai ,

dan memiliki banyak yang sama. Jika data historis diasosiasikan dengan

fungsi maka koordinat ke-k dari adalah:

Maka koefisien dapat memberikan informasi pada skala dan lokasi k.

Algoritma dekomposisi ini dapat dilihat pada Gambar 2.6. Sedangkan algoritma

rekonstruksinya dapat dilihat pada Gambar 2.7.

25

Gambar 2.6 Algoritma dekomposisi data ke dalam domain wavelet

Gambar 2.7 Algoritma rekonstruksi domain wavelet kembali seperti semula

2.2.14. Metode WAW

Transformasi wavelet, sesuai dengan karakteristiknya yaitu penyaringan yang

sensitif terhadap skala, dapat mengubah data historis menjadi beberapa skala tertentu.

Hal ini dapat dimanfaatkan untuk memisahkan beberapa level skala dan untuk

mendeskripsikan level skala tersebut pada beberapa resolusi dalam domain wavelet. Ini

berarti wavelet dapat melihat dengan lebih detail pada skala waktu tertentu, yaitu dengan

26

memisahkan komponen tren dan komponen musiman dari data historis yang digunakan

tersebut.

Komponen tren “terletak” pada koefisien skala dan level detail yang

kasar(dengan frekuensi yang lebih rendah) seperti yang berlawanan yaitu komponen

berfrekuensi tinggi yang memerlukan detai waktu yang halus untuk dapat

mendeskripsikannya. Sedangkan komponen musiman terletak pada level menengah.

Dengan memisahkan level detail yang kasar, menengah dan halus ini, barisan data dapat

dipisahkan dari unsur tren dan unsur musiman yang mungkin ada pada data tersebut.

Data berfrekuensi tinggi ini tentu saja sudah bersifat tetap. Oleh karena itu bagian

ARMA dari model ARMAX dapat mendeskripsikan komponen berfrekuensi tinggi ini

dan pada saat yang sama, input dari ARMAX dapat menerima inputan dari luar yang

berguna bagi peramalan yang akan dilakukan.

Komponen utama dari data historis berada pada bagian data berfrekuensi tinggi,

komponen tren akan berada di bagian smooth (data berfrekuensi rendah), sedangkan

komponen musiman akan berada dibagian tengah di antara komponen utama dan

komponen tren.

Semua peramalan yang dilakukan, didasarkan pada domain wavelet yang sudah

dibentuk. Peramalan dari tren, musiman dan data berfrekuensi tinggi, akan digabungkan

menggunakan invers transformasi wavelet untuk mendapatkan peramalan akhir. Semua

proses peramalan ini dapat diringkas sebagai berikut:

1. Transformasi data historis yang akan dipakai sebagai input pada program

menggunakan metode NDWT untuk memisahkan komponen tren dan komponen

27

musiman yang mungkin ada pada data historis tersebut. Pemisahan ini dapat dilihat

pada domain wavelet.

2. Lakukan peramalan nilai komponen tren menggunakan metode Holt Winters.

Prediksi ini dilakukan pada bagian smooth dari dekomposisi wavelet yang

didapatkan.

3. Lakukan peramalan nilai komponen musiman menggunakan metode regresi

harmonik dengan periode musiman yang telah diestimasi.

4. Gunakan metode ARMAX untuk melakukan peramalan komponen data berfrekuensi

tinggi pada domain wavelet.

5. Gabungkan ketiga peramalan yang telah dilakukan untuk mendapatkan peralaman

yang diinginkan. Langkah terakhir ini dapat dilakukan dengan invers transformasi

wavelet.