bab 2 himpunan dan fungsi-sttb
TRANSCRIPT
-
8/18/2019 Bab 2 Himpunan Dan Fungsi-sttb
1/40
BAB 2 HIMPUNAN DAN FUNGSI
2.1 HIMPUNAN (SET)
• Himpunan ( set ) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda.
• Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
Cara Penyajian Himunan1. Enumerasi
Contoh 1.
- Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3,
4}.
- Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B =
{4, 6, 8, 10}.
- C = {u!ing, a, "mir, 10, pau}- R = { a, b, {a, b, !}, {a, c} }
- C = {a, {a}, {{a}} }
- K = { {} }
- Himpunan 100 bua# bilangan asli pertama: {1, 2, ...,
100 }
- Himpunan bilangan bulat $itulis sebagai {%, -2, -1, 0,
1, 2, %}.
Keanggotaan
x ∈ A : x merupaan anggota #impunan A&
x ∉ A : x buan merupaan anggota #impunan A.
-
8/18/2019 Bab 2 Himpunan Dan Fungsi-sttb
2/40
Contoh 2.
'isalan: A = {1, 2, 3, 4}, R = { a, b, {a, b, !}, {a,c} }
K = {{}}
'aa 3 A
( B {a, b, c} ∈ R
c ∉ R
{} ∈ K
{} ∉ R
Contoh 3. )ila P1 = {a, b}, P2 = { {a, b} }, P3 = {{{a,
b}}}, maa
a ∈ P1
a ∉ P2
P1 ∈ P2
P1 ∉ P3
P2 ∈ P3 2. Simbol-simbol Baku
P = #impunan bilangan bulat positif = { 1, 2,
3, ... }
N = #impunan bilangan alami *natural+ = { 1,
2, ... }
-
8/18/2019 Bab 2 Himpunan Dan Fungsi-sttb
3/40
Z = #impunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1,
2, ... }
Q = #impunan bilangan rasional
R = #impunan bilangan riil
C = #impunan bilangan omples
• Himpunan ang uniersal: semesta, $isimbolan$engan .
/onto#: 'isalan = {1, 2, 3, 4, (} $an A a$ala##impunan bagian $ari , $engan A = {1, 3, (}.
3. Notasi Pembentuk Himpunan
otasi: { x sarat ang #arus $ipenu#i ole# x }
Contoh .
*i+ A a$ala# #impunan bilangan bulat positif ang e!il$ari (
A = { x x a$ala# bilangan bulat positif lebi# e!il
$ari (}
atau
A = { x x P, x ( }
ang eialen $engan A = {1, 2, 3, 4}
*ii+ M = { x x a$ala# ma#asisa ang mengambil
ulia# 521(1}
. Diagram Venn
Contoh !.
-
8/18/2019 Bab 2 Himpunan Dan Fungsi-sttb
4/40
'isalan = {1, 2, %, , 8}, A = {1, 2, 3, (} $an B =
{2, (, 6, 8}.
7iagram enn:
!ar"inalitas
• 9umla# elemen $i $alam A $isebut ar$inal $ari#impunan A.
• otasi: n* A+ atau A
Contoh ".
(i) B = { x | x merupakan bilangan prima yang lebih kecil dari ! ",
atau B = {, #, $, %, &&, , &%, &'" maka B = *ii+ T = {u!ing, a, "mir, 10, pau}, maa T = (
(iii) A = {a, {a", {{a"" ", maka A = #
Himunan !osong
• Himpunan $engan ar$inal = 0 $isebut #impunanosong *null set +.
• otasi : ∅ atau {}
Contoh #.
*i+ E = { x x x }, maa n*E+ = 0
-
8/18/2019 Bab 2 Himpunan Dan Fungsi-sttb
5/40
*ii+ P = { orang n$onesia ang perna# e bulan },
maa n*P+ = 0
*iii+ A = { x x a$ala# aar persamaan ua$rat x 2 1 =
0 }, n* A+ = 0
• #impunan {{ }} $apat ;uga $itulis sebagai {∅}
• #impunan {{ }, {{ }}} $apat ;uga $itulis sebagai{∅, {∅}}
• {∅} buan #impunan osong arena ia memuat satuelemen aitu #impunan osong.
Himunan #agian ( Subset )• Himpunan A $iataan #impunan bagian $ari
#impunan B ;ia $an #ana ;ia setiap elemen A
merupaan elemen $ari B.
• 7alam #al ini, B $iataan superset $ari A.
• otasi: A ⊆ B
• 7iagram enn:
Contoh $.
-
8/18/2019 Bab 2 Himpunan Dan Fungsi-sttb
6/40
*i+ { 1, 2, 3} ⊆ {1, 2, 3, 4, (}
*ii+ {1, 2, 3} ⊆ {1, 2, 3}
*iii+ N Z R C
*i+ 9ia A = { * x , y + x y 4, x ≥0, y ≥ 0 } $an
B = { * x , y + 2 x y 4, x ≥ 0 $an y ≥ 0 }, maaB A.
%&'R&MA 1. ntu sembarang #impunan A berlau
#al-#al sebagai beriut:*a+ A a$ala# #impunan bagian $ari A itu sen$iri *aitu,
A A+.
*b+ Himpunan osong merupaan #impunan bagian $ari
A * A+.
*!+ 9ia A ⊆ B $an B ⊆ C, maa A ⊆ C
• A $an A A, maa $an A $isebut #impunan bagianta sebenarna *improper subset + $ari #impunan A./onto#: A = {1, 2, 3}, maa {1, 2, 3} $an ∅ a$ala#improper subset $ari A.
• A ⊆ B berbe$a $engan A ⊂ B
*i+ A ⊂ B : A a$ala# #impunan bagian $ari B tetapi A ≠B.
A a$ala# #impunan bagian sebenarna * proper
subset + $ari B.
/onto#: {1} $an {2, 3} a$ala# proper subset $ari
{1, 2, 3}
-
8/18/2019 Bab 2 Himpunan Dan Fungsi-sttb
7/40
*ii+ A ⊆ B : $igunaan untu menataan ba#a Aa$ala# #impunan bagian *subset + $ari B ang
memunginan A = B.
Himunan yang Sama
• A = B ;ia $an #ana ;ia setiap elemen Amerupaan elemen B $an sebalina setiap elemen
B merupaan elemen A.
• A = B ;ia A a$ala# #impunan bagian $ari B $an B
a$ala# #impunan bagian $ari A. 9ia ti$a $emiian,maa A ≠ B.
• otasi : A = B ↔ A ⊆ B $an B ⊆ A
Contoh (.
*i+ 9ia A = { 0, 1 } $an B = { x x * x < 1+ = 0 }, maa
A = B*ii+ 9ia A = { 3, (, 8, ( } $an B = {(, 3, 8 }, maa A =
B
*iii+ 9ia A = { 3, (, 8, ( } $an B = {3, 8}, maa A ≠ B
ntu tiga bua# #impunan, A, B, $an C berlau asioma
beriut:
*a+ A = A, B = B, $an C = C
*b+ ;ia A = B, maa B = A
-
8/18/2019 Bab 2 Himpunan Dan Fungsi-sttb
8/40
*!+ ;ia A = B $an B = C, maa A = C
Himunan yang E$i%alen
• Himpunan A $iataan eialen $engan #impunan B ;ia $an #ana ;ia ar$inal $ari e$ua #impunan
tersebut sama.
• otasi : A B ↔ A = B
Contoh 1).
'isalan A = { 1, 3, (, } $an B = { a, b, c, d }, maa
A B sebab A = B = 4
Himunan Saling &eas
• 7ua #impunan " $an ) $iataan saling lepas
*disjoint + ;ia e$uana ti$a memilii elemen angsama.
• otasi : A >> B
• 7iagram enn:
Contoh 11.
-
8/18/2019 Bab 2 Himpunan Dan Fungsi-sttb
9/40
9ia A = { x x P, x 8 } $an B = { 10, 20, 30, ... },
maa A >> B.
Himunan !uasa
• Himpunan uasa * power set + $ari #impunan A a$ala#suatu #impunan ang elemenna merupaan semua
#impunan bagian $ari A, termasu #impunan osong
$an #impunan A sen$iri.
• otasi : P* A+ atau 2 A
• 9ia A = m, maa P* A+ = 2m.
Contoh 12.
9ia A = { 1, 2 }, maa P* A+ = { , { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }}
Contoh 13.
Himpunan uasa $ari #impunan osong a$ala# P*∅+ ={∅}, $an #impunan uasa $ari #impunan {∅} a$ala#P*{∅}+ = {∅, {∅}}.
'erasi Tera"a Himunan
a. Irisan (intersection)
• otasi : A ∩ B = { x | x ∈ A $an x ∈ B }
-
8/18/2019 Bab 2 Himpunan Dan Fungsi-sttb
10/40
Contoh 1.
9ia A = {2, 4, 6, 8, 10} $an B = {4, 10, 14, 18},
maa A ∩ B = {4, 10}
*ii+ 9ia A = { 3, (, ? } $an B = { -2, 6 }, maa A B
= .
"rtina: A >> B
. *aungan (union)
• otasi : A ∪ B = { x | x ∈ A atau x ∈ B }
Contoh 1!.
*i+ 9ia A = { 2, (, 8 } $an B = { , (, 22 }, maa A B = { 2, (, , 8, 22 }
*ii+ A = A
+. !omlemen (complement )
• otasi : = { x | x ∈ , x ∉ A }
-
8/18/2019 Bab 2 Himpunan Dan Fungsi-sttb
11/40
Contoh 1".
'isalan = { 1, 2, 3, ..., ? },
;ia A = {1, 3, , ?}, maa = {2, 4, (,6, 8}
*++, ;ia A = { x x >2 P, x ? }, maa = { 1, 3, (, , ? }
Contoh 1#. 'isalan:
A = #impunan semua mobil buatan $alam negeri
B = #impunan semua mobil imporC = #impunan semua mobil ang $ibuat sebelum
ta#un 1??0
D = #impunan semua mobil ang nilai ;ualna urang
$ari @p 100 ;uta
E = #impunan semua mobil mili ma#asisa
uniersitas tertentu
*i+ Amobil ma#asisa $i uniersitas ini pro$usi $alamnegeri atau $iimpor $ari luar negeriB *E ∩ A+ ∪ *E ∩ B+ atau E ∩ * A ∪ B+
(ii) semua mobil produksi dalam negeri yang dibuat sebelum tahun
&''! yang nilai jualnya kurang dari *p &!! juta+ A ∩ C ∩ D
(iii) semua mobil impor buatan setelah tahun &''! mempunyai nilai
jual lebih dari *p &!! juta+
-
8/18/2019 Bab 2 Himpunan Dan Fungsi-sttb
12/40
". Selisi (difference)
• otasi : A < B = { x | x ∈ A $an x ∉ B } = " ∩
Contoh 1$.
*i+ 9ia A = { 1, 2, 3, ..., 10 } $an B = { 2, 4, 6, 8, 10 },
maa A < B = { 1, 3, (, , ? } $an B
-
8/18/2019 Bab 2 Himpunan Dan Fungsi-sttb
13/40
P = #impunan ma#asisa ang nilai u;ian CD $i
atas 80
= #impunan ma#asisa ang nilain u;ian "D $i
atas 80
eorang mahasisa mendapat nilai / jika nilai 01 dan nilai 0/
keduanya di atas !, mendapat nilai 2 jika salah satu ujian di atas !,
dan mendapat nilai 3 jika kedua ujian di baah !.
(i) emua mahasisa yang mendapat nilai /+ 4 P ∩ Q
(ii) emua mahasisa yang mendapat nilai 2+ 4 P ⊕ Q(iii) semua mahasisa yang mendapat nilai 3+ 4 0 5 ( P ∪ Q)
TE'-EMA 2. 2eda setangkup memenuhi si6at-si6at berikut4
*a+ A ⊕ B = B ⊕ A *#uumomutatif+
*b+ * A ⊕ B + ⊕ C = A ⊕ *B ⊕ C + *#uumasosiatif+
. Per$alian !artesian (cartesian product )
• otasi: A × B = {*a, b+ a ∈ A $an b ∈ B }
Contoh 2).
*i+ 'isalan C = { 1, 2, 3 }, $an D = { a, b }, maa
C × D = { *1, a+, *1, b+, *2, a+, *2, b+, *3, a+, *3,b+ }
-
8/18/2019 Bab 2 Himpunan Dan Fungsi-sttb
14/40
*ii+ 'isalan A = B = #impunan semua bilangan riil,
maa
A × B = #impunan semua titi $i bi$ang $atar
/atatan:1. 9ia A $an B merupaan #impunan ber#ingga, maa:
A × B = A . B.
2.Easangan berurutan *a, b+ berbe$a $engan *b, a+,
$engan ata lain *a, b+ ≠ *b, a+.
3. Eeralian artesian ti$a omutatif, aitu A × B ≠ B × A $engan sarat A atau B ti$a osong.
Ea$a /onto# 20*i+ $i atas, D × C = {*a, 1+, *a, 2+, *a, 3+,*b, 1+, *b, 2+, *b, 3+ } ≠ C × D.
4. 9ia A = ∅ atau B = ∅, maa A × B = B × A = ∅
Conto 21. isalkan
A = himpunan makanan = { s = soto, g = gado-gado, n = nasi
goreng, m = mie rebus "
B = #impunan minuman = { c = !o!a-!ola, t =
te#, d = es $aet }
)erapa bana ombinasi maanan $an minuman ang
$apat $isusun $ari e$ua #impunan $i atasF
9aab:
A × B = A⋅ B = 4 ⋅ 3 = 12 ombinasi $anminuman, aitu {*s, c+, *s, t +, *s, d+, *!, c+, *!, t +, *!, d+,
*n, c+, *n, t +, *n, d+, *m, c+, *m, t +, *m, d+}.
Contoh 21. 7aftaran semua anggota #impunan
beriut:
-
8/18/2019 Bab 2 Himpunan Dan Fungsi-sttb
15/40
*a+ P*∅+ *b+ ∅ × P*∅+ *!+ {∅}× P*∅+ *$+P*P*{3}++
7enyelesaian4
a P*∅+ = {∅}b ∅ × P*∅+ = ∅ *et: ;ia A = ∅ atau B = ∅ maa A ×
B = ∅+! {∅}× P*∅+ = {∅}× {∅} = {*∅,∅++"d#P*P*{3}++ = P*{ ∅, {3} }+ = {∅, {∅}, {{3}}, {∅,{3}} }
Pe-amatan 'e-as+ H+m/nan
Conto 22.
*i+ A *B1B2 ... Bn+ = * A B1+ * A B2+ ... * A Bn+
-
8/18/2019 Bab 2 Himpunan Dan Fungsi-sttb
16/40
*ii+ 'isalan A = {1, 2}, B = {a, b}, $an C = {α, β},maa
A × B × C = {*1, a, α+, *1, a, β+, *1, b, α+, *1, b, β+,*2, a, α+, *2, a, β+, *2, b, α+, *2, b, β+ }
Hu$um/u$um a"a Himunan
1. Huum i$entitas:
A = A A = A
2.Huum null>$ominasi:
A = A =
3.Huum omplemen:
A =
A =
4.Huum i$empoten:
A A = A
A A = A
-
8/18/2019 Bab 2 Himpunan Dan Fungsi-sttb
17/40
(.Huum inolusi:
= A
6. Huum penerapan
*absorpsi+:
A * A B+ = A A * A B+ = A
.Huum omutatif:
A B = B A A B = B A
8.Huum asosiatif:
A *B C+ = * A B+ C A *B C+ = * A B+ C
?. Huum $istributif:
A *B C+ = * A B+
* A C+ A *B C+ = * A B+* A C+
10. Huum 7e 'organ:
=
=
11. Huum 0>1
=
= ∅
P-+ns+ D/a0+tas
• Erinsip $ualitas: $ua onsep ang berbe$a $apat$ipertuaran namun tetap memberian ;aaban
ang benar.
/onto#: "D emu$i mobil $i iri $epannggris *;uga n$onesia+ emu$i mobil $i anan
$epan
Eeraturan:
*a+ $i "meria Deriat,- mobil #arus ber;alan $i bagian $anan ;alan,
-
8/18/2019 Bab 2 Himpunan Dan Fungsi-sttb
18/40
- pa$a ;alan ang berla;ur bana, la;ur $iriuntu men$a#ului,
- bila lampu mera# menala, mobil belo$anan bole# langsung
*b+ $i nggris,- mobil #arus ber;alan $i bagian $iri ;alan,- pa$a ;alur ang berla;ur bana, la;ur $anan
untu men$a#ului,- bila lampu mera# menala, mobil belo $iri
bole# langsung
Erinsip /a0+tas:Gonsep iri $an anan $apat $ipertuaran pa$a e$uanegara tersebut se#ingga peraturan ang berlau $i"meria Deriat men;a$i berlau pula $i nggris.
• *P-+ns+ D/a0+tas aa H+m/nan,. 'isalan %a$ala# suatu esamaan *identity + ang melibatan
#impunan $an operasi-operasi seperti , , $anomplemen. 9ia % $iperole# $ari % $enganmengganti → , → , → , → , se$anganomplemen $ibiaran seperti semula, maaesamaan % ;uga benar $an $isebut $ual $ariesamaan %.
1. Huum i$entitas:
A = A
7ualna:
A = A
2. Huum null>$ominasi:
A =
7ualna: A =
-
8/18/2019 Bab 2 Himpunan Dan Fungsi-sttb
19/40
3. Huum omplemen:
A =
7ualna:
A =
4. Huum i$empoten:
A A = A
7ualna: A A = A
(. Huum penerapan:
A * A B+ = A
7ualna: A * A B+ = A
6. Huum omutatif:
A B = B A
7ualna: A B = B A
. Huum asosiatif:
A *B C+ = * A B+ C
7ualna: A *B C+ = * A B+ C
8. Huum $istributif:
A *B C+=* A B+ * A C+
7ualna: A *B C+ = * A B+ * A C+
?. Huum 7e 'organ:
=
7ualna:
=
10. Huum 0>1
=
7ualna:
= ∅
Contoh 23. 7ual $ari * A B+ * A + = A a$ala#
* A B+ * A + = A.
-
8/18/2019 Bab 2 Himpunan Dan Fungsi-sttb
20/40
rinsip Inklusi-Eksklusi
0ntuk dua himpunan / dan B4
-
8/18/2019 Bab 2 Himpunan Dan Fungsi-sttb
21/40
A ∪ B = A 8 B 5 A ∩ B
A ⊕ B = A B < 2 A ∩ B
Contoh 2. )erapa banana bilangan bulat antara
1 $an 100 ang #abis $ibagi 3 atau (F
Eenelesaian:
A = #impunan bilangan bulat ang #abis $ibagi 3,
B = #impunan bilangan bulat ang #abis $ibagi (,
A ∩ B = #impunan bilangan bulat ang #abis $ibagi 3$an ( *aitu #impunan bilangan bulat ang
#abis $ibagi ole# GEG < Gelipatan Eerseutuan
Cere!il < $ari 3 $an (, aitu 1(+,
ang $itanaan a$ala# A ∪ B.
A = 100>3 = 33,B = 100>( = 20,
A ∩ B = 100>1( = 6
A ∪ B = A B < A ∩ B = 33 20 < 6 =4
9a$i, a$a 4 bua# bilangan ang #abis $ibagi 3 atau (.
ntu tiga bua# #impunan A, B, $an C, berlau
A ∪ B ∪ C = A B C < A ∩ B <
A ∩ C < B ∩ C A ∩ B ∩ C
ntu #impunan A1, A2, %, Ar , berlau:
-
8/18/2019 Bab 2 Himpunan Dan Fungsi-sttb
22/40
A1 ∪ A2 ∪ % ∪ Ar = Ai < Ai ∩ A j
Ai ∩ A j ∩ A$ % *-1+r -1 A1 ∩ A2 ∩ % ∩ Ar
Pa-t+s+
• Eartisi $ari sebua# #impunan A a$ala# seumpulan#impunan bagian ti$a osong A1, A2, % $ari A
se$emiian se#ingga:(a) A& ∪ A ∪ 9 = A, dan(b) Ai ∩ A j = ∅ untuk i ≠ j
Contoh 2!. 'isalan A = {1, 2, 3, 4, (, 6, , 8}, maa
{ {1}, {2, 3, 4}, {, 8}, {(, 6} } a$ala# partisi A.
-
8/18/2019 Bab 2 Himpunan Dan Fungsi-sttb
23/40
Himunan *an"a
• Himpunan ang elemenna bole# berulang *ti$a#arus berbe$a+ $isebut h+m/nan gana*multiset +.
/onto#na, {1, 1, 1, 2, 2, 3}, {2, 2, 2}, {2, 3, 4},
{}.
• M/0t+0+s+tas $ari suatu elemen pa$a #impunangan$a a$ala# ;umla# emun!ulan elemen tersebutpa$a #impunan gan$a. /onto#: M = { 0, 1, 1, 1, 0,0, 0, 1 }, multiplisitas 0 a$ala# 4.
• Himpunan *set + merupaan !onto# #usus $arisuatu multiset , ang $alam #al ini multiplisitas $arisetiap elemenna a$ala# 0 atau 1.
• Gar$inalitas $ari suatu multiset $i$eInisiansebagai ar$inalitas #impunan pa$ananna*eialen+, $engan mengasumsian elemen-
elemen $i $alam multiset semua berbe$a.
-
8/18/2019 Bab 2 Himpunan Dan Fungsi-sttb
24/40
'erasi Antara 0ua #ua Multiset
'isalanP $an
a$ala#
multiset :
1.P a$ala# suatu multiset ang multiplisitaselemenna sama $engan multiplisitas masimumelemen tersebut pa$a #impunan P $an .
3ontoh4 P = { a, a, a, c, d , d " dan Q ={ a, a, b, c, c ",
P Q = { a, a, a, b, c, c, d , d "
2.P a$ala# suatu multiset ang multiplisitaselemenna sama $engan multiplisitas minimumelemen tersebut pa$a #impunan P $an .
3ontoh4 P = { a, a, a, c, d , d " dan Q = { a, a, b, c, c "
P Q = { a, a, c "
3. E < a$ala# suatu multiset ang multiplisitaselemenna sama $engan:multiplisitas elemen tersebut pa$a P $iurangi
multiplisitasna pa$a , ;ia selisi#na positif
0, ;ia selisi#na nol atau negatif.
3ontoh4 P = { a, a, a, b, b, c, d , d , e " dan Q = { a, a, b, b, b, c,
c, d , d , f " maka P 5 Q = { a, e "
4.P , ang $i$eInisian sebagai ;umla# *sum+ $uabua# #impunan gan$a, a$ala# suatu multiset angmultiplisitas elemenna sama $engan pen;umla#an$ari multiplisitas elemen tersebut pa$a P $an .
3ontoh4 P = { a, a, b, c, c " dan Q = { a, b, b, d ",
P 8 Q = { a, a, a, b, b, b, c, c, d "
-
8/18/2019 Bab 2 Himpunan Dan Fungsi-sttb
25/40
Pem/t+an Pe-n4ataan Pe-+ha0 H+m/nan
• Eernataan #impunan a$ala# argumen ang
menggunaan notasi #impunan.
• Eernataan $apat berupa:
1.Gesamaan *identity +
/onto#: )utian A A ∩ *B ∪ C+ = * A ∩ B+ ∪ * A ∩C+B
2. mpliasi
/onto#: )utian ba#a A9ia " ∩ ) = ∅ $an " ⊆*) ∪ /+ maa selalu berlau ba#a " ⊆/B.
1. Pemu$tian "engan mengguna$an "iagram enn
Conto 23. isalkan A, B, dan C adalah himpunan. 2uktikan A ∩( B ∪ C ) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C ) dengan diagram :enn.
Bukti:
A ∩ *B ∪ C+ * A ∩ B+ ∪ * A ∩ C+
;edua digaram :enn memberikan area arsiran yang sama.
1erbukti baha A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C ).
-
8/18/2019 Bab 2 Himpunan Dan Fungsi-sttb
26/40
• 7iagram enn #ana $apat $igunaan ;ia#impunan ang $igambaran ti$a bana
;umla#na.
• 'eto$e ini men!ilustrasi$an etimbangmembutian fata. 7iagram enn ti$a $ianggapsebagai meto$e ang ali$ untu pembutian
se!ara formal.
2. Pemu$ti$an "engan mengguna$an tael $eanggotaan
Contoh 2#. 'isalan A, B, $an C a$ala# #impunan.
)utian ba#a A ∩ *B ∪ C+ = * A ∩ B+ ∪ * A ∩ C+.Bu$ti:
A B C B ∪C
A ∩ *B ∪C+
A ∩B
A ∩C
* A ∩ B+ ∪ * A ∩C+
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 1 1 0 1 1
1 1 0 1 1 1 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1
Garena olom A ∩ *B ∪ C+ $an olom * A ∩ B+ ∪ * A ∩ C+sama, maa A ∩ *B ∪ C+ = * A ∩ B+ ∪ * A ∩ C+.
-
8/18/2019 Bab 2 Himpunan Dan Fungsi-sttb
27/40
4. Pemu$tian "engan mengguna$an aljaar imunan.
Contoh 2$. 'isalan A $an B #impunan. )utian
ba#a * A ∩ B+ ∪ * A ∩ + = A
Bukti4
* A ∩ B+ ∪ * A ∩ + = A ∩ *B ∪ + *Huum$istributif+
= A ∩ *Huum omplemen+
= A *Huum i$entitas+
Contoh 2(. 'isalan A $an B #impunan. )utian
ba#a A ∪ *B
-
8/18/2019 Bab 2 Himpunan Dan Fungsi-sttb
28/40
*ii+ A ∩ * ∪ B+ = A ∩ B
Bu$ti:
*i+ A ∪ * ∩ B+ = * A ∪ + ∩ * A ∩ B+ *H. $istributif+
= ∩ * A ∩ B+ *H.omplemen+
= A ∪ B *H. i$entitas+
*ii+ a$ala# $ual $ari *i+
A ∩ * ∪ B+ = * A ∩ + ∪ * A ∩ B+ *H. $istributif+
= ∅ ∪ * A ∩ B+ *H.omplemen+
= A ∩ B *H. i$entitas+
5. Pemu$tian "engan mengguna$an "einisi
• 'eto$e ini $igunaan untu membutianpernataan #impunan ang ti$a berbentu
esamaan, tetapi pernataan ang berbentu
impliasi. )iasana $i $alam impliasi tersebut
ter$apat notasi #impunan bagian *⊆ atau ⊂+.
Contoh 31. 'isalan A $an B #impunan. 9ia A ∩ B =∅ $an A ⊆ *B ∪ C+ maa A ⊆ C. )utianJ
Bukti4
(i)
-
8/18/2019 Bab 2 Himpunan Dan Fungsi-sttb
29/40
(ii) ;arena x ∈ A dan A ∩ B = ∅, maka x ∉ B
-
8/18/2019 Bab 2 Himpunan Dan Fungsi-sttb
30/40
• Operasi yang dapat dilakukan pada tipe himpunan adalahoperasi gabungan, irisan, dan selisih seperti pada contoh berikut4
{gabungan}
HurufKu:=[‘A’, ‘C’, ‘D’] + [‘C’, ‘D’, ‘E’];
{irisan}
HurufKu:=[‘A’, ‘C’, ‘D’] * [‘C’, ‘D’, ‘E’];
{selisih}
HurufKu:=[‘A’, ‘C’, ‘D’] - [‘C’, ‘D’, ‘E’];
• ;i eanggotaan sebua# elemen $i $alam#impunan $ilauan $engan menggunaan opeator
in seperti !onto# beriut:
if ‘A’ in HurufKu then ...
• 7i $alam aas pemrograman Delp&i, set sering$igunaan untu mengin$iasian 'a!. 'isalna#impunan icon untu window:type
TBorder!o"=#$%&'s(e)Me"u, $%M%"%)%e,
$%Ma%)ae;
Huruf = set of TBoder!o";
-
8/18/2019 Bab 2 Himpunan Dan Fungsi-sttb
31/40
2.2 6UN*SI
>ungsi merupakan kejadian khusus dari relasi.
Hubungan antara 6ungsi, relasi dan hasilkali kartesian adalah sbb4
Hasilali
Gartesian@elasi5ungsi
-
8/18/2019 Bab 2 Himpunan Dan Fungsi-sttb
32/40
• uatu 6ungsi 6 dari himpunan ? ke himpunan @ (symbol 6 4 ?
A @) adalah suatu relasi dari ? ke @ dengan syarat baha
setiap elemen ∈ ? memiliki kaan yang tunggal di @.
• ? disebut daerah asal ( domain ) 6 dan @ disebut daerah tujuan
(kodomain) 6.
• ;aan dari elemen ∈ ? dinotasikan dengan 6() dan dibaca 4
+harga 6ungsi 6 di +. Himpunan semua harga 6ungsi 6 disebut
daerah hasil (range) t.
*ange 6 = {y ∈ @ | y = 6() untuk suatu ∈ ? "
/da beberapa 6ungsi yang sering digunakan 4
1. 6ungsi I"entitas
ungsi ini disebut 6ungsi identitas pada ? karena i mengaankan setiap
elemen ? ke elemen yang sama. Badi, seolah-olah 6ungsi i tidak
memberikan e6ek apa pun.
2. 6ungsi !onstan
-
8/18/2019 Bab 2 Himpunan Dan Fungsi-sttb
33/40
-
8/18/2019 Bab 2 Himpunan Dan Fungsi-sttb
34/40
dengan n = bilangan bulat tidak negati6, dan
a!, a&, 9, an = bilangan-bilangan riil, an E ! .
3. 6ungsi E$sonensial
ungsi eksponensial dengan basis b adalah 6ungsi dari bilangan riil * ke
bilangan riil positi6 * 8 yang dide6inisikan sbb 4
6 4 * A * 8 dengan 6() = b , ∀ ∈ *
Bika b F &, maka gra6ik 6ungsi 6() = b akan menaik.
-
8/18/2019 Bab 2 Himpunan Dan Fungsi-sttb
35/40
isalkan 6 dan g adalah 6ungsi-6ungsi dari ? ke @. >ungsi 6 sama dengan g
(ditulis 6 = g) bila dan hanya bila 6() = g() ∀ ∈ ?.
3ontoh 4
isalkan 6ungsi 6 4 * A * dan g 4 * A * dide6inisikan sbb 4
6() = (-&) (-) ∀ ∈ * dan
g() = 5 # 8 ∀ ∈ *
/pakah 6 = g I
ihat di papan 99
6ungsi Inje$ti
-
8/18/2019 Bab 2 Himpunan Dan Fungsi-sttb
36/40
6ungsi Surje$ti
-
8/18/2019 Bab 2 Himpunan Dan Fungsi-sttb
37/40
Prinsi !an"ang Merati ( Pigeon-hole Principle)
-
8/18/2019 Bab 2 Himpunan Dan Fungsi-sttb
38/40
>ungsi-6ungsi tersebut biasanya melibatkan argumen (atau dikenal
sebagai arameter ungsi).
>ungsi dapat dipanggil di sembarang tempat dalam program utama dengan
memasukkan argumen-argumen yang sesuai.
2.4 -E&ASI
-
8/18/2019 Bab 2 Himpunan Dan Fungsi-sttb
39/40
isalkan / dan 2 adalah himpunan. Hasil kali ;artesian / dengan 2
(imbol / 2) adalah himpunan semua pasangan berurutan (a,b) dengan
a ∈ / dan b ∈ 2.
/ 2 = {(a,b) | a ∈ /, b ∈ 2"
ecara umum, hasil kali ;artesian /&, /, 9, /n dide6inisikan sebagai 4
/& / 9 /n = {(a&,a, 9, an) | a& ∈ /&, 9, an
∈ /n"
-E&ASI PA0A HIMPUNAN
-
8/18/2019 Bab 2 Himpunan Dan Fungsi-sttb
40/40
* ∩ adalah himpunan semua pasangan berurutan (,y) ∈ / 2
sedemikian sehingga (,y) ∈ * atau(,y) ∈
* ∩ = {(,y)| (,y) ∈ * atau (,y) ∈ "
!'MP'SISI -E&ASI
S'A& > TU*AS