bab 1 fungsi, grafik, dan limit filebab 1 fungsi, grafik, dan limit ma1103 matematika bisnis i...
TRANSCRIPT
Bab 1Fungsi, Grafik, dan Limit
MA1103 Matematika Bisnis I
Semester I Tahun 2018/2019
SBM K-
Dosen: Dr. Rinovia Simanjuntak
CAS Lt. 3
Fungsi adalah aturan yang mengaitkan setiap obyekdi himpunan A ke tepat satu obyek di himpunan B.
Himpunan A disebut domain fungsi, dan himpunanobyek hasil pengaitan di B disebut daerah hasil(range).
Fungsi
3
Relasi dalam fungsi dinotasikan dengan
π¦ = π(π₯),
di mana x dan y disebut variabel: y adalah variabel takbebas dan x adalah variabel bebas.
Contoh.
Perhatikan bahwa x dan y dapat diganti dengan huruflain. Sebagai contoh, fungsi di atas dapat ditulis sebagai
5
4)( 2 +== xxfy
42 += ts
Fungsi dalam Tabel Data
Tahun akademik n Tuition and Fees
1973 1 $1,898
1978 2 $2,700
1983 3 $4,639
1988 4 $7,048
1993 5 $10,448
1998 6 $13,785
2003 7 $18,273
6
Tabel 1.1 Rata-rata Tuition and Fees untuk Universitas Swasta di Amerika Serikat
Data dapat dinyatakan sebagai fungsif(n)= [rata-rata tuition and fees pada awal periode 5 tahunan ke-n]
Dengan demikian,
Domain dari f adalah himpunan bilangan bulat
7
273,18)7(,,700,2)2(,898,1)1( === fff
}7,....,2,1{=A
8
Kadangkala suatu fungsi didefinisikan melalui lebihdari satu formula, di mana setiap formula mendeskripsikan fungsi pada suatu subhimpunandari domain.
Contoh.
Tentukan f(-1/2), f(1), dan f(2).
+
β=
1 xif 13
1 xif 1
1
)(2x
xxf
Domain Alami
Domain alami dari fungsi f adalah himpunan semuabilangan real di mana f(x) terdefinisi dengan baik.
Contoh.
Tentukan domain alami dan daerah hasil fungsi berikut.
1.
2. 9
Terdapat 2 hal yang sering dipertimbangkan:1) pembagian dengan 0 2) akar genap dari bilangan negatif
21
1)(
xxf
β=
4 2)( += uug
Fungsi yang digunakan di Ekonomi
Fungsi permintaan (demand function) π = π·(π₯) adalahfungsi yang menghubungkan harga satuan π dari suatukomoditas terhadap banyaknya permintaan konsumer (π₯).
Fungsi penghasilan (total revenue function) adalah
π π₯ = ππππ¦ππ π’πππ‘ π‘ππππ’ππ βππππ π ππ‘π’ππ= π₯π = π₯π·(π₯)
Jika πΆ(π₯) adalah biaya produksi π₯ unit, maka fungsikeuntungan (profit function) adalah
π(π₯) = π (π₯) β πΆ(π₯) = π₯π·(π₯) β πΆ(π₯)
10
Hasil penelitian menunjukkan bahwa consumer akanmembeli π₯ ribu unit mesin kopi tertentu pada saat hargasatuan adalah π = β0.27π₯ + 51 dolar. Ongkos produksidari x ribu unit adalah πΆ π₯ = 2.23π₯2 + 3.5π₯ + 85 ribudollar.
a. Tentukan fungsi penghasilan dan keuntungan, π (π₯) and π(π₯), untuk proses produksi ini?
b. Nilai π₯ manakah yang memberikan keuntungan bagiproses produksi ini?
11
Contoh
Fungsi Komposisi
12
Diberikan dua fungsi π(π’) dan π(π₯), fungsi komposisi π(π(π₯))adalah fungsi dari π₯ yang diperoleh dengan mensubstitusi π’ =π(π₯) dalam formula π(π’).
Contoh.
Tentukan fungsi komposisi π(π(π₯)), dengan π π’ = π’3 + 1dan π(π₯) = π₯ + 1.
Bagaimana dengan π(π(π₯))?
Secara umum, π(π(π₯)) dan π(π(π₯)) tidak sama.
GrafikGrafik fungsi π memuat semua titik (π₯, π¦) dengan π₯merupakan anggota domain π dan π¦ = π(π₯).
Sistem koordinat, sumbu horisontal, sumbu vertikal.
2)( 2 ++β= xxxf
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
f(x) -10 -4 0 2 2 0 -4 -10
14
Titik potong
Titik potong terhadap sumbu π₯: π¦ = 0
Titik potong terhadap sumbu π¦: π¦0 = π 0 .
Contoh.
Tentukan titik potong terhadap sumbu π₯ dan π¦ untuk fungsi
15
2)( 2 ++β= xxxf
Uji Garis Vertikal
16
Suatu kurva adalah grafik dari fungsi jika dan hanya jika tidak ada garis vertikal yang memotong kurva lebih dari satu kali.
Parabola
Merupakan grafik dari persamaan kuadrat π¦ = π΄π₯2 +π΅π₯ + πΆ, dengan π΄ β 0.
Parabola berbentuk βUβ dan membuka ke atas jika π΄ > 0dan ke bawah jika π΄ < 0.
βTitik maksimumβ atau βminimumβ dari parabola disebut
verteks, dan terjadi pada π₯ = βπ΅
2π΄.
17
18
Contoh.
Pada suatu pabrik, suatu komoditas dapat dijual sehargaπ = 60 β π₯ dollar jika komoditas terebut diproduksisebanyak π₯ ratus unit.
Kapankah perhasilan akan mencapai nilai maksimum? Dan berapakah penghasilan maksimum tersebut?
Fungsi Pangkat, Polinom, dan Rasional
Fungsi pangkat: π π₯ = π₯π, di mana π bilangan real.
Fungsi polinom: π π₯ = ππ π₯π + ππβ1π₯
πβ2 +β―+ π1 π₯ + π0 , di mana
π adalah bilangan tak negative dan π0 , π1 , β¦ , ππ konstanta.
Jika ππ β 0, π disebut derajat dari polinom.
Fungsi rasional: Hasil bagiπ(π₯)
π(π₯)dari dua polinom π(π₯) dan π(π₯).
19
Perpotongan Dua Grafik
Kadangkala perlu ditentukan kapan dua fungsi memiliki nilaiyang sama.
20
Sebagai contoh, seorang ekonommungkin inginmenghitung hargapasar pada saatbanyaknya permintaan(demand) konsumensama denganbanyaknya penawaran(supply).
Fungsi Linear
22
Fungsi linear adalah fungsi yang berubah denganlaju konstan terhadap variabel bebasnya.
Grafik dari fungsi linear adalah suatu garis lurus.
Fungsi linear dapat dituliskan dalam persamaan
π¦ = ππ₯ + π, dengan π dan π konstanta.
Kemiringan Garis
Kemiringan dari garis (bukan garis vertical) yang melalui titik(π₯1, π¦1) dan (π₯2, π¦2) adalah
ππππ’ππβππ πππππ π¦
ππππ’ππβππ πππππ π₯=
βπ¦
βπ₯=
π¦2βπ¦1
π₯2βπ₯1
23
Persamaan GarisBentuk kemiringan β titik potong: Persamaan π¦ = ππ₯ + πadalah persamaan garis dengan kemiringan π dan perpotongan dengan sumbu-π¦ adalah (0, π).
Bentuk titik β kemiringan: Persamaan π¦ β π¦0 = π(π₯ β π₯0)adalah persamaan garis yang melalui titik π₯0, π¦0 dengankemiringan π.
24
Bentuk kemiringan β titik potong
3
1
)05.1(
)5.00(β=
ββ
+=m
2
1
3
1ββ= xy
Bentuk titik β kemiringan yang melalui titik (β1.5,0)
)5.1(3
10 +β=β xy
25
Tabel berikut memberikan prosentase dari pengangguran selamadekade 1991-2000. Gambarkan grafik dengan tahun (setelah tahun 1991) pada sumbu-π₯dan prosentase pengangguran pada sumbu-π¦.Apakah titik-titik tersebut memiliki pola?Berdasarkan data ini, dapatkah prosentase pengangguran di tahun2005 diperkirakan?
Number of Years Percentage of
Year from 1991 Unemployed
1991 0 6.8
1992 1 7.5
1993 2 6.9
1994 3 6.1
1995 4 5.6
1996 5 5.4
1997 6 4.9
1998 7 4.5
1999 8 4.2
2000 9 4.0
Garis Paralel dan Tegak Lurus
Misalkan π1 dan π2 adalah kemiringan dari dua garis takvertical πΏ1 dan πΏ2.
πΏ1 dan πΏ2 sejajar jika dan hanya jika π1 = π2.
πΏ1 dan πΏ2 tegak lurus jika dan hanya jika π1π2 = β1.
26
27
Contoh.
Misalkan πΏ adalah garis 4π₯ + 3π¦ = 3.
a. Tentukan persamaan garis πΏ1 yang sejajar dengan garis πΏ dan melalui titik π(β1,4).
b. Tentukan persamaan garis πΏ2 yang tegak lurus dengan garis πΏdan melalui titik π(2,β3).
Model Fungsional
Untuk menganalisa masalah dunia nyata, prosedur yang seringdilakukan adalah membuat asumsi yang menyederhanakanmasalah sehingga diperoleh deskripsi matematika.
Proses ini disebut pemodelan matematika dan masalah yang telahdimodifikasi berdasarkan asumsi yang menyederhanakan disebutmodel matematika.
29
Real-world
problem
Testing
Interpretation
Mathematical
model
adjustments
PredictionAnalysis
Formulation
Eliminasi Variabel
Kadang fungsi dapat disederhanakan dengan mengeliminasisuatu variabel.
Jika fungsi pada awalnya merupakan fungsi dengan 2 variabel, setelah dieliminasi akan menjadi fungsi dengan 1 variabel.
Contoh.
Suatu rest area akan dibangun di suatu jalan tol. Area tersebut berbentuk persegi panjang dengan luas 5,000 meter persegi dan akan dipagari pada 3 sisi yang tidak terletak pada jalan tol.
Ekspresikan panjang pagar yang diperlukan sebagai fungsidari panjang sisi yang tidak dipagari.
30
32
Pemodelan dalam Bisnis dan Ekonomi
Suatu pabrik memproduksi CD kosong dengan biaya produksi $2per CD. CD tersebut telah terjual dengan harga $5 per buah, pada saat konsumen membeli 4000 CD setiap bulan. Pabrik tersebutmerencanakan untuk menaikkan harga CD dan memperkirakanbahwa setiap kenaikan harga $1 akan mengurangi penjualansebanyak 400 CD per bulan.
a. Ekspresikan keuntungan bulanan dari pabrik sebagai fungsidari harga jual CD.
b. Sketsa grafik fungsi keuntungan. Berapakah harga yang berkorespondensi dengan keuntungan maksimum? Berapakahkeuntungan maksimum?
Kesetimbangan (Equilibrium) Pasar
)()( eee xSxDp ==
Hukum Permintaan (Demand) dan Penawaran (Supply)Dalam pasar bebas, penawaran biasanya akan menyamaipermintaan, dan pada saat hal tersebut terjadi, pasar dikatakanberada dalam keadaan setimbang (equilibrium).
Fungsi permintaan: π = π·(π₯)
Fungsi penawaran: π = π(π₯)
Harga kesetimbangan:
Kekurangan (Shortage): π·(π₯) > π(π₯)
Kelebihan(Surplus): π(π₯) > π·(π₯)
35
Contoh.
Suatu riset pasar menemukan bahwa pabrik akanmenawarkan π₯ unit dari suatu komoditas ke pasar ketikaharga komoditas tersebut adalah π = π(π₯) dolar per unit. Sebanyak unit yang sama akan diminta konsumen ketikaharganya adalah π = π·(π₯) dolar per unit, dengan fungsipermintaan dan penawaran sebagai berikut.
π π₯ = π₯2 + 14π· π₯ = 174 β 6π₯
a. Pada level produksi π₯ dan harga satuan π berapakah titikkesetimbangan terjadi?
b. Sketsa grafik penawaran dan permintaan, π = π(π₯) dan π = π·(π₯), dan berikan interpretasi Anda.
Analisa Impas (Break-Even)
37
Pada tingkat produksi yang rendah, produsen biasanya merugi,
namun pada tingkat produksi yang lebih tinggi, produsen bias
meraup keuntungan.
Titik impas (break-even point):
Titik pada saat penghasilan (total revenue) sama dengan biaya
produksi (total cost).
38
Contoh 1.
Suatu produsen menjual produk dengan harga $110 per unit. Biaya produksi terdiri dari overhead seharga $7500 ditambah biaya produksi $60 per unit.
a. Berapa unit yang harus dijual agar tercapai titik impas?
b. Berapakah keuntungan atau kerugian yang diperoleh jikadijual 100 unit.
c. Berapa unit yang harus dijual agar tercapai keuntungan$1250?
39
Contoh 2.
Suatu perusahaan penyewaan mobil memberikan harga$25 ditambah 60 sen setiap mil yang ditempuh. Sedangkan perusahaan kedua memberikan harga $30 ditambah 50 sen per mil. Perusahaan manakah yang memberikan penawaran terbaik?
Limit
Apa yang terjadi pada f(x) pada saat x mendekati suatu bilangan cyang bisa jadi tidak terletak pada domain f?
Ilustrasi.
Pada suatu pabrik, jika x persen dari kapasitas digunakan, maka
biaya produksi adalah πΆ π₯ =8π₯2β636π₯β320
π₯2β68π₯β960ratus ribu dolar.
Agar dapat dilakukan perawatan, perusahaan pemilik pabriktersebut memiliki kebijakan agar tidak lebih dari 80% kapasitaspabrik digunakan pada waktu tertentu.
Berapakah biaya produksi yang akan terjadi jika pabrik tersebutdigunakan kapasitasnya secara penuh dalam batas yang diperbolehkan?
41
42
Apakah jawaban pertanyaan ini adalah denganmemberikan nilai πΆ(80)?
Namun demikian, dapat dievaluasi nilai πΆ(π₯) untuk π₯yang mendekati 80 dari sebelah kiri (π₯ < 80) dan kanan(π₯ > 80):
x approaches 80 from the left β βx approaches 80 from the right
x 79.8 79.99 79.999 80 80.0001 80.001 80.04
C(x) 6.99782 6.99989 6.99999 7.000001 7.00001 7.00043
Terlihat bahwa πΆ(π₯) akan semakin dekat ke 7 pada saat π₯semakin dekat ke 80. Ini dapat dituliskan sebagai
limπ₯β80
πΆ π₯ = 7 .
Limit
Jika f(x) mendekati bilangan L pada saat x semakin mendekatic dari kedua arah, maka L adalah limit dari f(x) pada saat xmendekati c. Ini dinotasikan dengan
limπ₯βπ
π π₯ = πΏ
43
Contoh
Gunakan tabel untuk menduga nilai limπ₯β1
π₯β1
π₯β1.
Misalkan f x =π₯β1
π₯β1dan akan dihitung nilai π(π₯) untuk beberapa
nilai π₯ yang mendekati 1 dari kiri maupun kanan.
Dari tabel, terlihat bahwa π(π₯) mendekati 0.5 pada saat π₯ mendekati 1.
Atau, limπ₯β1
π₯β1
π₯β1= 0.5
44
xβ 1 β x
x 0.99 0.999 0.9999 1 1.00001 1.0001 1.001
f(x) 0.50126 0.50013 0.50001 0.499999 0.49999 0.49988
45
Tiga fungsi dengan limπ₯β3
π π₯ = 4.
Perlu diingat bahwa limit memberikan sifat fungsi di sekitartitik tertentu, namun belum tentu pada titik itu sendiri.
46
Apa yang terjadi pada fungsi berikut pada saat π₯mendekati 2?
Gambar (a): Fungsi tidak memiliki limit pada saat π₯mendekati 2.
Gambar (b): Fungsi tidak memiliki limit yang hingga
pada saat π₯ mendekati 2. Ini dinamakan limit tak
hingga.
Sifat Limit
)(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxfcxcxcx βββ
+=+
)(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxfcxcxcx βββ
β=β
constant any for )(lim)(lim kxfkxkfcxcx ββ
=
47
)](lim)][(lim[)]()([lim xgxfxgxfcxcxcx βββ
=
0)(lim if )(lim
)(lim]
)(
)([lim =
β
β
β
βxg
xg
xf
xg
xf
cx
cx
cx
cx
exists )](lim[ if )](lim[)]([lim p
cx
p
cx
p
cxxfxfxf
βββ=
Jika limπ₯βπ π π₯ dan limπ₯βπ
π π₯ ada, maka
Limit Fungsi Polinom dan Rasional
50
Jika π(π₯) dan π(π₯) adalah fungsi polinom, maka
dan
)()(lim cpxpcx
=β
0)( if )(
)(
)(
)(lim =β
cqcq
cp
xq
xp
cx
Contoh.
Tentukan2
1lim
2 β
+
β x
x
x
Bentuk Tak Tentu
51
Jika limπ₯βπ
π(π₯) = 0 dan limπ₯βπ
π(π₯) = 0, maka limπ₯βπ
π(π₯)
π(π₯)dikatakan
memiliki bentuk tak tentu.
Contoh.
Tentukan
a.
b.
23
1lim
2
2
1 +β
β
β xx
x
x
1
1lim
1 β
β
β x
x
x
Limit yang Melibatkan Ketakhinggaan
52
Limit di Tak Hingga
Jika π(π₯) makin mendekati πΏ pada saat π₯ membesartanpa batas, kita tulis limπ₯ββ π π₯ = πΏ .
Jika π(π₯) makin mendekati πΏ pada saat π₯ mengecil tanpa batas, kita tulis lim
π₯βββπ π₯ = πΏ .
53
Untuk konstanta π΄ dan π, dengan π > 0,
0lim and 0lim ==ββ+β kxkx x
A
x
A
Contoh.
1. Tentukan
2. Tentukan
2
2
21lim
xx
x
x +++β
15
283lim
4
24
+
+β
+β x
xxx
x
54
Limit Tak Hingga
Jika π(π₯) membesar atau mengecil tanpa bataspada saat π₯ mendekati π, maka kita tulis
Contoh.
Tentukan
)(limor )(lim xf xfcxcx
β=+=ββ
22 )2(lim
ββ x
x
x
Limit Sepihak
Jika π(π₯) mendekati πΏ pada saat π₯ mendekati π darikiri (π₯ < π), kita tulis
limπ₯βπβ
π(π₯) = πΏ
dan πΏ disebut limit kiri.
Jika π(π₯) mendekati π pada saat π₯ mendekati π darikanan (π₯ > π), kita tulis
limπ₯βπβ
π(π₯) = π
dan π disebut limit kanan.
56
Contoh.
Untuk fungsi
evaluasi limit sepihak dan
57
+
β=
2 if 12
2 if 1)(
2
xx
xxxf
)(lim2
xfx ββ
)(lim2
xfx +β
58
Eksistensi Limit
Limit ada jika dan hanya jika kedua limit sepihak
dan ada dan bernilai sama, sehingga
)(lim xfcxβ
)(lim xfcx ββ
)(lim xfcx +β
)(lim)(lim)(lim xfxfxfcxcxcx +β βββ
==
Contoh.
Tentukan2
1lim
2 β
+
β x
x
x
59
Pada π₯ = 1: ( )1
lim 0x
f xββ
=
( )1
lim 1x
f x+β
=
( )1 1f =
limit kiri
limit kanan
nilai fungsi
tidak ada! )(lim1
xfxβ
60
Pada π₯ = 2: limit kiri
limit kanan
nilai fungsi
( )2
lim 1x
f xββ
=
( )2
lim 1x
f x+β
=
( )2 2f =
ada!
Tapi tidak sama dengan π(2)!
)(lim2
xfxβ
61
Pada π₯ = 3: limit kiri
limit kanan
limit fungsi
( )3
lim 2x
f xββ
=
( )3
lim 2x
f x+β
=
( )3 2f =
ada!)(lim3
xfxβ
62
Ketidakadaan Limit Sepihak
Pandang fungsi
)/1sin()( xxf =
Pada saat π₯ mendekati 0 dari kiri atau kanan, π(π₯)berosilasi di antara β1 dan 1. Akibatnya kedua limit
sepihak di sekitar 0 tidak ada.
63
Kekontinuan
Suatu fungsi dikatakan kontinu jika grafiknya dapatdigambarkan dalam satu βtarikanβ (tidak ada lubangatau loncatan).
66
Fungsi π kontinu di π jika ketiga kondisi berikut terpenuhi:
a. π(π) terdefinisi
b. limπ₯βπ π(π₯) ada
c. limπ₯βπ
π(π₯) = π(π)
Jika π tidak kontinu di π, maka π diskontinu di titik tersebut.
67
f kontinu pada π₯ = 3.
Pada π₯ = 1:
Pada π₯ = 2:
Pada π₯ = 3:
)(lim)(lim11
xfxfxx
β+ ββ
)2()(lim)(lim22
fxfxfxx
=β+ ββ
)3()(lim)(lim33
fxfxfxx
==β+ ββ
diskontinu
diskontinu
kontinu
68
Kekontinuan Fungsi Polinom dan Rasional
Jika π(π₯) dan π(π₯) polinom, maka
)()(lim cpxpcx
=β
0)( if )(
)(
)(
)(lim =β
cqcq
cp
xq
xp
cx
Fungsi polinom dan rasional kontinu pada daerahdefinisinya.
69
Contoh.
1. Tunjukkan bahwa kontinu padaπ₯ = 3.
2. Tentukan di mana fungsi berikut tidak kontinu.
2
1)(
β
+=
x
xxf
70
Contoh.
Diskusikan kekontinuan dari fungsi-fungsi berikut.
β
+=
+
β==
1 if 2
1 if 1)( .
1
1)( .
1)( .
2
xx
xxxhc
x
xxgb
xxfa
71
Contoh.
1. Untuk nilai π΄ berapa saja, fungsi berikut akankontinu untuk semua bilangan real π₯?
2. Tentukan nilai π dan π sehingga fungsi berikutkontinu di mana-mana.
+β
+=
1 xif 43
1 if 5)(
2 xx
xAxxf
ββ+
=
1 if
11 if
1 if
)( 2
xbx
xbax
-xax
xf
72
Kekontinuan pada Selang
Fungsi π dikatakan kontinu pada selang buka π < π₯ < πjika π kontinu pada setiap titik π₯ = π dalam selangtersebut.
Fungsi π dikatakan kontinu pada selang tutup π β€ π₯ β€ π, jika π kontinu pada selang buka π < π₯ < π,limπ₯βπ+ π π₯ = π(π) dan lim
π₯βπβπ π₯ = π(π).
Contoh.
π π₯ = 1 β π₯2 kontinu pada β1,1 .