7/26/2019 B7-8 Solucion

1/5

Taller 6 Bloque 7-8

MAT-021

Departamento de Matematica

Universidad Tecnica Federico Santa Mara

29 de abril de 2016

1. En un triangulo de lados a, b y c se traza la bisectriz del angulo, denotadatc.Demuestre que

tc= c sen() sen()

sen(/2) (sen() + sen())

Donde, y, son los angulos opuestos a los lados a, b y c respectivamente

Solucion

Consideremos al bisectriz al angulo opuesto al lado c, que llamaremos

Si tc es la bisectriz del angulo.Por el teorems del seno, tenemos:

sin()

tc=

sin(/2)

p p= sin(/2)tc

sin()

Ademas,

sin()

tc=

sin(/2)

q q= sin(/2)tc

sin()

Luego, como c = p+q, tenemos

c=sin(/2)tc

sin() +

sin(/2)tc

sin()Finalmente

tc= c sin()sin()

sin(/2)(sin() + sin())

7/26/2019 B7-8 Solucion

2/5

2. Calcule, en caso que exista, el siguiente lmite

lmx2

x+ 1 3x3 + 19

4 x2

Solucion

lmx

2

x+ 1 3x3 + 19

4

x2 = lm

x

2

x+ 1 3x3 + 19

(4 x2)

(x+ 1)2 + (x+ 1) 3x3 + 19 + ( 3

x3 + 19)2

(x+ 1)

2

+ (x+ 1)

3x3

+ 19 + (

3x3

+ 19)

2

= lmx2

3(x2 +x 6)(2 x)(2 +x)

(x+ 1)2 + (x+ 1) 3

x3 + 19 + ( 3

x3 + 19)2

=

lmx2

3(x+ 3)(2 +x)

(x+ 1)2 + (x+ 1) 3

x3 + 19 + ( 3

x3 + 19)2

= 536

7/26/2019 B7-8 Solucion

3/5

3. Calcular, en caso que exista, el siguiente lmite

lmx

2

x

cot(x)

2cos(x)

Solucion

Seau = x 2 , tenemos el siguiente lmite en la variebleu

lmu

0

u+ 2cot(u+

2

)

2 cos(u+

2

)= lm

u

0

(u+ 2 ) cos(u)

sin(u)

/2

sin(u)

=

= lmu0

1

sin(u)

u cos(u)

2cos(u) +

2

= lm

u0

u cos(u)sin(u)

2

1 cos(u)

sin(x)

=

lmu0

usin(u)

cos(u) 2

(1cos(u))

x

sin(x)x

= 1

Luego tenemos que

lmx2

x+ 1 3x3 + 19

4 x2 = 1

7/26/2019 B7-8 Solucion

4/5

Control Taller Bloque 7-8

MAT-021

Departamento de Matematica

Universidad Tecnica Federico Santa Mara

Nombre :

Nombre :

Nombre :

Nombre :

1. Tres personas A,B y C se encuentran en una cancha formando un triangulo. Si A se encuentra a x mtsde C y C se encuentra a 10m de B . Adem as los angulos de los vertices en que se encuentran A y B son30 y respectivamente. Calcule a que distancia se encuentra A de C y a la que se encuentra A de Ben funcion del angulo.

Solucion

A partir del problema, tenemos el siguiente triangulo, donde c y x son las distancias que debemoscalcular (10pts)

Por teorema del seno, tenemos:x

sin()=

10

sin(30)Entonces

x= 20 sin() (10pts)

En el mismo triangulo, tenemosc

sin(150 ) = 10

sin(30)

Entoncesc= 20sin(150 ) (10pts)

Por otra parte sin(150 ) = 12cos() +32 sin()

Finalmente tenemos que

c= 201

2cos() +

3

2 sin()

(10pts)

Las distancia entre A y C es 20 sin() metros y

La distancia entre B y A es 20

12cos() +

32 sin()

metros (10pts)

7/26/2019 B7-8 Solucion

5/5

2. Calcule, en caso que exista, el siguiente lmite

lmx0

1 + sen(2x)

1 + sen(x)

x

Solucion

lmx0

1 + sen(2x)

1 + sen(x)

x = lm

x0

1 + sen(2x)

1 + sen(x)

x

1 + sin(2x) +

1 + sin(x)

1 + sin(2x) +

1 + sin(x)

= (

= lmx0

sen(2x) sin(x)x

1 + sin(2x) +

1 + sin(x) =20pts lm

x0sin(x)

x

(2 cos(x) 1)1 + sin(2x) +

1 + sin(x)

=12

(10pts)