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Lugares geométricos en el plano

B Lugares geométricosen el plano1

1B

PÁGINA 3Evaluación diagnóstica

I. R. M.

1. Unidad geométrica mínima. No tiene longitud, área ni volumen.

2. La parte de una línea recta comprendida entre los puntos A y B.

3. Tramo de una recta que parte de C y se extiende indefi nidamente pasando por D.

4. Recta que pasa por E y F, que se extiende indefi nidamente en ambas direcciones.

II.

1. x = 2. 2. y =92

. 3. x = 9.

III.

Hexágono regular: P = 48 cm, a = 4 3 cm y A 166.28 cm2.

Trapecio: P = 22 u y A = 26 u2.

IV.

En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados levantados sobre los catetos es igual al cuadrado

levantado sobre la hipotenusa:

a2 + b2 = c2

A B

CD

EF

b

c

c

b2

c2

ba

a

a2

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2

B 1Lugares geométricos en el plano

DEFINIR ELEMENTOS DEL SISTEMADE COORDENADAS RECTANGULARES PÁGINA 4

I.

1. Pareja ordenada de números que señalan las proyecciones de un punto sobre los ejes coordenados.

2. Primera coordenada; coordenada x de un punto.

3. Segunda coordenada; coordenada y de un punto.

4. Una de las cuatro regiones en que los ejes x y y, mutuamente perpendiculares, dividen al plano.

IDENTIFICAR LAS COORDENADAS DE UN PUNTOEN EL PLANO CARTECIANO PÁGINA 4

I.

Tabla 1.1 Ejercicio de abscisas y ordenadas

Punto A B C D E F G H

Abscisa 3 − 1 0 − 2 − 3 2 1 − 2

Ordenada 2 3 1 0 − 3 − 132

32

Tabla 1.2 Ejercicio de coordenadas y su ubicacióncon respecto a los cuadrantes

Punto Coordenadas Cuadrante o eje

A 3, 2( ) I

B 1, 3( ) II

C 0, 1( ) eje y

D 2, 0( ) eje x

E 3, 3( ) III

F 2, 1( ) IV

G 1,32

IV

H 2,32

II

EJERCICIO 1

EJERCICIO 2

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3


GRAFICAR PUNTOS EN EL PLANO CARTESIANO.EL TRIÁNGULO DE PENROSE PÁGINAS 4 Y 5

I.

ACTIVIDAD 1

ENCONTRAR PUNTOS SIMÉTRICOS PÁGINAS 5 Y 6

I.

1. A '( 1, 2)

2. B '( 3, 1)

3. C '(4, 4)

4. D '( 5, 2)

III.

1. PX (x, y)

2. PY ( x, y)

3. PO x, y( ) 4. Q y, x( )

II.

PROBLEMA 1

J (7, –3)

B (1, 9)A (–1, 9)

L (6, –5)

C (–1, 5)

y

x

D (0, 3)

E (–2, –1)

I (–3, –3)H (–7, –3)

K (–6, –5)

G (4, –1)F (2, –1)

x

y

x

y

Bisectriz delcuadrante I

D’ A

B’ B

A’

D

C’

C

D’ A

B’ B

A’

D

C’

C

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4


DEFINIR SEGMENTO RECTILÍNEO Y SEGMENTO DIRIGIDO PÁGINA 6

I.

1. Porción de línea recta que une dos puntos. Se denota como AB en el caso de que A y B sean sus

extremos.

2. Es un segmento rectilíneo al que se le asigna un sentido. Distingue sus extremos como punto

inicial y punto fi nal. Se denota como AB.

APLICAR LAS PROPIEDADES DE SEGMENTOS RECTILÍNEOS PÁGINA 6

I.

1. BC = 3 2. BA = 5 3. DB = 4

II.

EJERCICIO 3

PROBLEMA 2

A D C B

CALCULAR VALORES ABSOLUTOS YDISTANCIAS DE PUNTOS SOBRE LA RECTA REAL PÁGINA 6

I. 3 = 3, 0 = 0 y 0.55 = 0.55

II.

1. d = 2 2. d = 10 3. d = 4

III.

EJERCICIO 4

—6 —3 —2 3 5 7

CALCULAR LA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOSEN EL PLANO PÁGINA 7

I.

1. AB = 10 3.16 2. BD = 1 3. CA = 65 8.06

EJERCICIO 5

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5


CLASIFICAR TRIÁNGULOS A PARTIRDE LA LONGITUD DE SUS LADOS

PÁGINAS 7 Y 8

I. R. L.

II.

EJERCICIO 6

III.

Dado que 5 3 8.7 y 5 2 7.1, entonces podemos aproximar las coordenadas de C y M como C 5, 8.7( ) y M 7.1, 7.1( ) . Luego, la medida de los lados de cada triángulo es:

a = BC = 5 0( )2+ 5 3 0( )2

= 5( )2+ 5 3( )2

= 100 = 100

b = 10

c = 10

p = QR = 6 8( )2+ 8 6( )2

= 2( )2+ 2( )2

= 8 = 2 2 2.8

q 19.8

r = 20

k = LM = 5 2 8( )2+ 5 2 6( )( )2

= 2 5 10 + 7 2( ) 19.9

l 19.9

m 2.8

III.

1. El ABC es: equilátero

2. El PQR es: escaleno

3. El KLM es: isósceles

x

y

R (6,8)

Q (8,6)

P (–8, –6)

C (–5, –8.7)

A (–10, 0)

M (–7.1, 7.1)

L (8, –6)

K (6, –8)

B (0, 0)

(–8, –6) (–8, –6)

BBB (0, 0) (0, 0) (0, 0)BBB (0, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 0)

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IDENTIFICAR PUNTOS QUE DIVIDENA UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA PÁGINAS 8 Y 9

I.

1. Punto E porque AB

EB=

2 27 2

= .

2. =23

no lo cumple ninguno de los puntos dados.

3. Punto C porque AC

CB=

3 22 2

= .

4. Punto D porque AD

DB=

7 22 2

= .

5. Punto A porque AA

AB=

05 2

= .

II.

1. Punto D porque BD

DA=

2 27 2

= .

2. Punto C porque BC

CA=

2 23 2

= .

3. =23

no lo cumple ninguno de los puntos dados.

4. Punto E porque BE

EA=

7 22 2

= .

5. Punto B porque BB

BA=

05 2

= .

PROBLEMA 3

IV.

1. Por ser equilátero, sus án-

gulos interiores miden 60º.

No contiene un ángulo

recto.

2. Se cumple el teorema de

Pitágoras:

p2 + q2 = r2 porque

2 2( )2+ 14 2( )2

= 20( )2

r es hipotenusa

PRQ = 90º

Sí contiene un ángulo

recto.

3. Este triángulos es isósceles

con los lados iguales for-

mando un ángulo agudo.

No contiene un ángulo

recto.

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III. R. M.

Considerando que A 1, 4( ) y B 6, 1( ), entonces el punto P que divide al segmento dirigido AB en la

razón =23

es P 3, 2( ).

DIVIDIR UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA PÁGINAS 9 Y 10

I.

1. P115

,35

Comprobación:

TP

PU=

5115

2

+ 335

2

2115

2

+ 635

2

=

1045

2345

=104234

=49=

23

.

2. Q32

,14

Comprobación:

Q divide externamente al segmento VW pues

< 0.

VQ

QW=

32

54

2

+14

12

2

132

2

+34

14

2

=

1812

=14=

12

.

EJERCICIO 7

II.

1. B314

,154

Comprobación:

AP

PB=

7 4( )2+ 2 5( )( )2

314

72

+154

22

=58584

= 4.

2. L176

,32

Comprobación:

KR

RL=

213

2

+23

1( )2

176

22

+32

23

2

=

5 23

5 26

= 2.

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8


ENCONTRAR EL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO PÁGINA 10

I.

1. PMPQ

= M83

,34

Comprobación:

PM

MQ=

583

2

+12

34

2

13

83

2

+ 234

2

=

100912100912

= 1.

2. B 4, 7( )

Comprobación:

AD

DB=

12

3( )2

+32

4( )2

12

42

+32

72

=

17021702

= 1.

EJERCICIO 8

DEDUCIR LA FÓRMULA PARA EL CENTROIDEDE UN TRIÁNGULO PÁGINA 11

I. R. L.

II.

1. Denota como A(x1 , y1 ), B(x2, y2 ) y C(x3, y3 ) a las coordenadas de los vértices.

2. PMBC= P

x2 + x3

2,y2 + y3

2 PM

AC= Q

x1 + x3

2,y1 + y3

2 PM

AB= R

x1 + x2

2,y1 + y2

2

a) R. M.

Gx1( ) + x2 + x3

21 +

,y1( ) + y2 + y3

21 +

= Gx1 + x2 + x3

3,y1 + y2 + y3

3

ENCONTRAR EL CENTROIDE PÁGINA 12

I.

G7 + 5( ) +

3,

3 +12+ 2

3= G

2+

3,

5 + 2 26

PROBLEMA 4

EJERCICIO 9

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9


ENCONTAR EL LUGAR GEOMÉTRICODE UN CONJUNTO DE PUNTOS PÁGINA 12

I.

1. L = (0,0), ( 1, 1), ( 2, 4), (3, 9){ } 3. L = (0,3), (3,6), (2,5), ( 1,2), ( 4, 1){ }

EJERCICIO 10

2. L = (1,0), (2,1), (3,2), ( 1, 2), (5,4){ } 4. L = (1, 1), (2, 4), (0,0), ( 3, 9), ( 2, 4){ }

L = x, y( ) | x , y = x2{ } L = x, y( ) | x , y = x + 3{ }

L = x, y( ) | x , y = x 1{ } L = x, y( ) | x , y = x2{ }

x

y

(–1, –1)

(3, –9)

(0, 0)

(–2, –4)

x

y

(3, 6)(2, 5)

(0, 3)(–1, 2)

(–4, –1)

x

y

(5, 4)

(3, 2)(2, 1)

(1, 0)(–1, –2)

x

y

(0, 0)(1, –1)

(2, –4)(–2, –4)

(–3, –9)

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10


CONSTRUIR LUGARES GEOMÉTRICOS CON CÍRCULOS PÁGINA 13

I. R. L.

II. Se presenta una construcción en GeoGebra del lugar geométrico resultante.

ACTIVIDAD 2

III. Se presenta una construcción en GeoGebra del lugar geométrico resultante.

IV. Se presenta una construcción en GeoGebra del lugar geométrico resultante.

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11


V. Se presenta una construcción en GeoGebra del lugar geométrico resultante.

CALCULAR PERÍMETROS Y ÁREAS DE TRIÁNGULOSA PARTIR DE SUS COORDENADAS PÁGINA 13

I. Grafi camos primero para saber cómo recorrer los vértices en un sentido positivo.

1. 2.

EJERCICIO 11

P = 10 + 68 + 34 17.2 u

A = 7 u2

P = 8 + 10 + 26 11.1 u

A = 4 u2

CALCULAR EL PERÍMETRO Y ÁREA DE POLÍGONOSCONVEXOS A PARTIR DE SUS COORDENADAS PÁGINA 13

I. Grafi camos primero para saber cómo recorrer los vértices en un sentido positivo.

1. 2.

EJERCICIO 12

P = 8 + 5 + 4 + 2 + 4 + 5 12.7 u

A = 11.5 u2

P = 10 + 5 + 8 + 10 + 5 13.6 uA = 12 u2

C (–3, 7)

B (2, 4)

A (5, 5)

A (–1, 6)

B (1, 4)

C (4, 5)

C (5, 3)

E (9, 4)

F (6, 1)D (8, 1)

B (9, 2)

A (7, 5)

E (–3, –1)

B (–1, –2)

A (–2, 2)D (0, 3)

C (1, 0)

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COMPARAR EL PERÍMETRO DE TRIÁNGULOSQUE TIENEN LA MISMA ÁREA PÁGINA 14

I. R. M.

Para T1 se tiene P 30.31 u y A = 4 u2.




II. R. M. (se ajustó la escala)

PROBLEMA 5

III.

1. Todos los triángulos tienen la misma área pues sus bases y alturas miden lo mismo.

2. Restringido a estas condiciones, es imposible construir un triángulo de área mayor.

VERIFICAR QUE UN PARALELOGRAMOSEA UN CUADRADO PÁGINA 14

I. R. L.

CONSTRUIR LA MEDIATRIZ COMO LUGARGEOMÉTRICO EN GEOGEBRA PÁGINA 15

I. R. M.

PROBLEMA 6

APPLICACIÓN 1

x

y

A (5,2)

–10 –6 –5 –1 1 5 6 10

2

1

T1 T2 T3 T4

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13


CONSTRUIR EL LUGAR GEOMÉTRICODE LOS BARICENTROS DE LOS TRIÁNGULOSINSCRITOS EN UNA CIRCUNFERENCIA PÁGINA 15

I. R. M.

APPLICACIÓN 2

PÁGINA 16

I. R. L.

PÁGINA 17

I. R. L.

II. R. L.

PÁGINA 18

I.

1. R. M.

a) una recta

b) una parábola

2. ... el origen.

II.

1. d A, B( ) 6.95 u.

2. P298

,3916

.

3. M =94

,118

.

Actividad HSE

Actividad de integración

Evaluación final

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14


III. Se trata de una cardioide por la forma de corazón que tiene.

IV. Grafi camos primero para saber cómo recorrer los vértices en un sentido positivo.

1. P = 85 +254

+1694

+ 109 28.66 u.

2. A = 33 u2.

P

y

x0−4 −2 −1−3−5 2 31 4 5

−2

−3

−1

2

3

1

−4

−5

−6

−7

22

11

22110−2−2 −1−1−3−3

−2−2

−3−3

−1−1−3−3

−3

C

B

D

A

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