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Controllo di Azionamenti Elettrici

Lezione n°8Corso di Laurea in Ingegneria dell’Automazione

Facoltà di IngegneriaUniversità degli Studi di Palermo

Azionamenti elettrici con motore in corrente alternata

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svantaggi del motore in corrente continua: ingombro, elevati costi di manutenzione, limiti di sovraccarico e di massimo valore della tensione di alimentazione;

primi tentativi di utilizzo del motore asincrono negli azionamenti a velocitàvariabile: alimentazione mediante convertitori rotanti con tensioni di ampiezza e frequenza variabile (difficoltà nella realizzazione dei dispositivi di controllo, bassa affidabilità e alti costi di impianto);

Il motore asincrono negli azionamenti a velocità variabile

evoluzione dell’elettronica di potenza (transistor bipolari, MOSFET e IGBT) che ha condotto a dispositivi di comando dei motori in corrente alternata (inverter) con alto grado di affidabilità e costo contenuto;

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Il motore asincrono negli azionamenti a velocità variabile (2)

per effettuare lo studio del comportamento statico e dinamico dei motori in corrente alternata si assumono, in genere, alcune ipotesi semplificative che consistono nel trascurare le eventuali anisotropie presenti nel circuito magnetico, nel considerare il circuito magnetico lineare e nel supporre che tutte le perdite siano dovute solo alle correnti statoriche e rotoriche (cioè, assumere nulle le perdite nel ferro)

risulta conveniente ricorrere ad una schematizzazione bifase equivalente, secondo due assi ortogonali, che permette di ottenere una semplificazione delle equazioni differenziali che descrivono il comportamento dinamico del motore;

negli azionamenti con motore asincrono, il cui utilizzo si estende in un campo di potenza notevolmente ampio (da pochi kW fino a qualche MW), la macchina più utilizzata è quella con rotore a gabbia;

in alcune applicazioni di elevata potenza, che richiedono un limitato campo di variazione della velocità, si fa spesso ricorso a motori a rotore avvolto con controllo sul circuito di rotore;

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il motore asincrono trifase è il motore elettrico strutturalmente più semplice e più compatto; dal punto di vista elettrico esso è composto da due circuiti, uno fisso con lo statore e uno rotante con il rotore, elettricamente separati e magneticamente accoppiati;

il circuito di statore è costituito da un avvolgi mento trifase; il circuito di rotore può essere anche esso realizzato con un avvolgi mento trifase che, nel normale funzionamento del motore, è chiuso in corto circuito (motore a rotore avvolto) oppure può essere ottenuto con un insieme di barre conduttrici disposte longitudinalmente al rotore e saldate da ambo i lati del rotore a due anelli conduttori (rotore a gabbia );

anche nel caso in cui il rotore sia a gabbia, è però possibile schematizzare l'avvolgimento di rotore come un avvolgi mento trifase chiuso in corto circuito;

Il motore asincrono negli azionamenti a velocità variabile (3)

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sia nel caso di rotore avvolto che in quello di rotore a gabbia, il motore asincrono trifase può essere rappresentato mediante il seguente circuito elettrico:

Modello del motore asincrono

circuito di statore:statore di circuito del propria resistenza =tsR

monofase toavvolgimenciascun di propria induttanza =tsL

statore di tiavvolgimen due trainduttanza mutua =sM

circuito di rotore:rotore di circuito del propria resistenza =trR

monofase toavvolgimenciascun di propria induttanza =trL

rotore di tiavvolgimen due trainduttanza mutua =rM

ijsrij MM γcos =

rotore di j quello e

statore di i toavvolgimenl' trainduttanza mutua =ijM

induttanze mutue:

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Schematizzazione bifase equivalente:

Modello del motore asincrono (2)

tiRv t d

d 11 1

φ+=t

iRv t dd 2

2 2φ+=

tiRv t d

d 33 3

φ+=

( )321 1 iiMiLt ++=φ

( )312 2 iiMiLt ++=φ

( )213 3 iiMiLt ++=φ

Ipotesi di linearità dei circuiti magnetici:

monofase toavvolgimenciascun di propria induttanza =tL

tiavvolgimenduetrainduttanza mutua=M

Il comportamento del circuito può essere studiato mediante un sistema di tre equazioni differenziali tra loro dipendenti. Tale sistema può essere semplificato ricorrendo alla schematizzazione bifase equivalente, che consente di ottenere un sistema composto da tre equazioni differenziali indipendenti.

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Schematizzazione bifase equivalente:

Modello del motore asincrono (3)

nella trasformazione bifase equivalente, le variabili (tensioni, correnti e flussi) sono rappresentate, invece che dalle loro componenti secondo gli avvolgimenti l, 2 e 3, dalle componenti secondo tre avvolgimenti fittizi α, β e ole componenti di ciascuna variabile, riferite a tali avvolgimenti, sono legate a quelle riferite agli avvolgi menti 1, 2 e 3 mediante le seguenti trasformazioni lineari:

( )

+−= 321 2

132 xxxxα ( )322

1 xxx −=β ( )32131 xxxxo ++=

le precedenti equazioni rappresentano una trasformazione biunivoca; infatti, dalle componenti xα xβ e xo è possibile ricavare le componenti x1 x2 e x3 mediante le seguenti equazioni

( )oxxx 2 26

11 += α ( )oxxxx 2 3

61

2 ++−= βα ( )oxxxx 2 36

13 +−−= βα

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Modello del motore asincrono (4)Schematizzazione bifase equivalente:

applicando la trasformazione alle equazioni che descrivono le componenti v1, v2 e v3 ed esplicitando in funzione delle componenti vα, vβ, e vo della tensione si ottiene:

tiRv t d

d

ααα

φ+=t

iRv t dd

β

ββφ

+=t

iRv ooto d

d

φ+=

ripetendo lo stesso procedimento per le equazioni che descrivono i flussi si ottiene:

( ) ααφ iMLt −= ( ) ββφ iMLt −= ( ) oto iML 2 +=φ

le equazioni precedenti coincidono con quelle che descrivono il comportamento di un sistema composto da due avvolgimenti (α e β) uguali e perpendicolari tra loro e, quindi, non concatenati e da un terzo avvolgimento (o) a sua volta non concatenato con i precedenti, purché i parametri di tali avvolgi menti siano legati a quelli dell'avvolgimento trifase dalle seguenti relazioni:

to RRR == ( ) MLL t −= ( ) 2 MLL to +=

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Modello del motore asincrono (5)Schematizzazione bifase equivalente:

si può osservare che, nel caso di collegamento a triangolo, la somma delle tensioni v1, v2 e v3 applicate all'avvolgimento trifase è nulla e, quindi, anche la tensione vo risulta nulla; dualmente, nel caso di collegamento a stella senza neutro, la somma delle tre correnti i1, i2e i3 (e, quindi, la corrente io risulta nulla)

poiché l'avvolgimento o non si concatena con nessun altro avvolgimento, quando l'avvolgimento trifase è alimentato con solo tre fili sia la tensione vo che la corrente io sono nulle ed èsufficiente, nella schematizzazione bifase, considerare solo gliavvolgimenti α e β; il modello bifase equivalente risulta costituito dalle seguenti due equazioni differenziali:

tiRv t d

d

ααα

φ+=t

iRv t dd

β

ββφ

+=

e dai seguenti legami tra le componenti del flusso e della corrente:

ααφ iL = ββφ iL =

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Modello del motore asincrono (6)Schematizzazione bifase equivalente:

si vuole ora determinare come si modificano le relazioni che legano tra loro le componenti della tensione, della corrente e del flusso quando, invece delle proiezioni secondo gli assi αe β, si considerano le proiezioni secondo due assi ortogonali d e q fittizi e rotanti con velocità angolare ω

qd

dd tiRv φωφ

dd

−+=

θθ βα sin cos xxxd +=

dd iL =φ qq iL =φ

θθ βα cos sin xxxq +−=

θθα sin cos qd xxx −= θθβ cos sin qd xxx +=

dq

qq tiRv φω

φ

dd

++=

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Modello del motore asincrono (7)Schematizzazione bifase equivalente:

è possibile effettuare una schematizzazione equivalente ad un avvolgimento trifase mediante una coppia di avvolgi menti α e β, fissi rispetto all'avvolgimento trifase e ortogonali tra loro, e un avvolgimento o che non si concatena con nessuno dei due precedenti

inoltre è possibile prendere in considerazione, invece delle componenti della tensione, della corrente e del flusso secondo gli assi α e β, le componenti delle stesse grandezze secondo due assi ortogonali d e q fittizi e rotanti con velocità ω rispetto all'avvolgimento reale; in quest'ultimo caso, però, occorre tener conto, nelle equazioni differenziali che legano le componenti della tensione, della corrente e del flusso, dei termini di moto

la schematizzazione bifase equivalente (con assi fissi o rotanti) può essere adottata anche nel caso in cui l'avvolgimento trifase abbia un numero di coppie polari "p" diverso dall'unità; in questo caso, però, la velocità angolare ω deve essere espressa in radianti elettrici al secondo, cioè deve essere pari alla velocità angolare degli assi rotanti moltiplicata per il numero di coppie polari

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Modello del motore asincrono (8)

Schematizzazione bifase equivalente con assi fissi con lo statore:

applicando agli avvolgimenti di statore e di rotore la schematizzazione bifase equivalente secondo una coppia di assi ortogonali α e β fissi con lo statore, si ottiene lo schema bifase equivalente del motore asincrono

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Modello del motore asincrono (9)

Schematizzazione bifase equivalente con assi fissi con lo statore:l'avvolgimento di rotore è cortocircuitato, le tensioni vrα, vrβ e vro sono nulle; gli avvolgimenti rα e rβ risultano quindi chiusi in corto circuito mentre l'avvolgimento ro, non essendo concatenato con nessun altro avvolgimento, può essere soppressolo statore è alimentato con solo tre fili, quindi anche l'avvolgimento so può venire soppresso

tss RR =

( )stss MLL −=

trr RR =

( )rtrr MLL −= omologhi rotore di e

statore di tiavvolgimen trainduttanza mutua 23

=

== srM ML

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Modello del motore asincrono (10)

Schematizzazione bifase equivalente con assi fissi con lo statore:per ricavare le equazioni differenziali che descrivono il comportamento dinamico delle componenti secondo gli assi α e β delle variabili elettriche e magnetiche del motore, occorre considerare che avendo scelto gli assi α e β fissi con l'avvolgimento di statore, essi ruotano con una velocità pari a – ω rispetto all'avvolgi mento di rotore (essendo ω la velocità angolare del rotore espressa in radianti elettrici al secondo)

tiRv ssss d

d

ααα

φ+=t

iRv ssss d

d

βββ

φ+= β

αα φωφ

rr

rr tiR

dd0 ++= α

ββ φω

φr

rrr t

iR d

d0 −+=

αααφ rMsss iLiL +=

βββφ rMsss iLiL +=

αααφ rrsMr iLiL +=

βββφ rrsMr iLiL +=

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Modello del motore asincrono (11)

Schematizzazione bifase equivalente con assi fissi con lo statore:dal modello della macchina asincrona è possibile ricavare l'espressione della coppia elettromagnetica effettuando un bilancio energetico;

moltiplicando ambo i membri della prima equazione per isα , i membri della seconda per isβ, quelli della terza per irα e quelli della quarta per irβ e sommando membro a membro le equazioni ottenute, si ottiene

( ) ( )

( )αββα

ββ

αα

ββ

αα

βαβαββαα

φφω

φφφφ

rrrr

rr

rr

ss

ss

rrrsssssss

ii

it

it

it

it

iiRiiRiviv

d

dd

dd

dd

d

22

22

−+

+++++

++++=+

assorbita elettrica potenza =+ ββαα ssss iviv

( ) ( ) Joule effettoper dissipata potenza22

22 =+++ βαβα rrrsss iiRiiR

magnetico circuito nel ataimmagazzin potenza d

dd

dd

dd

d =+++ ββ

αα

ββ

αα φφφφ

rr

rr

ss

ss i

ti

ti

ti

t

( ) macchina dalla generata meccanica potenza =− αββα φφω rrrr ii

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Modello del motore asincrono (12)

Schematizzazione bifase equivalente con assi fissi con lo statore:

coppia elettromagnetica generata dalla macchina:

( )αββα φφ rrrr iipc −=

polari coppie di numero =p

esprimendo la coppia elettromagnetica generata dalla macchina in funzione delle sole componenti dei flussi o di quelle di corrente si ottiene:

( )βαβα φφφφ rssrMrs

M

LLLLpc 2 −

−=

( )βαβα rssrM iiiiLpc −=

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Modello del motore asincrono (13)

Schematizzazione bifase equivalente con assi solidali con il rotore:

βα

αα ωφφs

ssss t

iRv −+=d

d

tiR rrr d

d0 α

αφ+=

tiR rrr d

d0

ββ

φ+=

αβ

ββ ωφφ

ss

sss tiRv ++=

dd

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Modello del motore asincrono (14)

Schematizzazione bifase equivalente con assi rotanti a velocità qualsiasi:

sqasd

sdssd tiRv φωφ

dd

−+=

( ) rqard

rdr tiR φωωφ

dd0 −−+=

sdasq

sqssq tiRv φω

φ

dd

++=

se si considerano le componenti della tensione, delle correnti e dei flussi secondo una coppia di assi d e q ortogonali tra loro e rotanti con una velocità angolare qualsiasi (indicata con ωa il comportamento dinamico dei circuiti elettromagnetici del motore èdescritto dalle seguenti equazioni differenziali:

( ) rdarq

rqr tiR φωω

φ

dd

0 −++=

rdMsdssd iLiL +=φ

rqMsqssq iLiL +=φ

rdrsdMrd iLiL +=φ

rqrsqMrq iLiL +=φ

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Modello del motore asincrono (15)

Schematizzazione bifase equivalente con assi rotanti a velocità qualsiasi:se si esplicitano le componenti delle correnti si ottiene:

s

rdrsdsd L

Ki

σ

φφ −=s

rqrsqsq L

Ki

σφφ −

=

r

sdsrdrd L

Ki

σ

φφ −=r

sqsrqrq L

Ki

σφφ −

=

r

Mr L

LK =s

Ms L

LK = sr KK 1−=σ

( )rqsdsqrds

rL

Kpc φφφφσ

−=

( )rqsdsqrdM iiiiLpc −=

coppia elettromagnetica generata dalla macchina:

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Modello del motore asincrono (16)

in genere, si utilizza la schematizzazione con assi rotanti alla velocità ωa (con ωapari alla pulsazione delle tensioni di alimentazione) quando il dispositivo di controllo è collegato allo statore e interessa, essenzialmente, mettere in evidenza l'effetto della prima armonica della tensione di alimentazione

si utilizza la schematizzazione con assi fissi con lo statore quando il dispositivo di controllo è collegato allo statore e si desidera mettere in evidenza l'influenza dell'effettivo comportamento del dispositivo di alimentazione

si utilizza la schematizzazione con assi solidali al rotore nel caso in cui il dispositivo di controllo sia connesso al rotore

sostituendo nelle equazioni differenziali che descrivono il comportamento dinamico del motore secondo assi rotanti a velocità qualsiasi ai termini in cui compaiono le derivate delle componenti dei flussi, le loro espressioni in funzione delle componenti delle correnti, si ottiene:

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sqard

Msd

ssdssdiLiLiRv φω dt d

dt d −++= sda

rqM

sqssqssq

iL

iLiRv φω

dt d

dt d

+++=

( ) rqard

rrdrsd

MiLiRiL φωω dt d

dt d0 −−++= ( ) rda

rqrrqr

sqM

iLiR

iL φωω

dt d

dt d

0 −+++=

Modello del motore asincrono (17)

sommando e sottraendo al secondo membro della prima equazione il termine LM disd/dt, a quello della seconda il termine LM disq/dt, a quello della terza il termine LM dird/dt e a quello della quarta il termine LM dirq/dt, si ottiene:

( )sqa

rdsdM

sdssdssd

iiLiLiRv φωσ dt

ddt d −+++=

( )sda

rqsqM

sqssqssq

iiL

iLiRv φωσ

dt d

dt d

++

++=

( ) ( ) rqardsd

Mrd

rrdriiLiLiR φωωσ

dt d

dt d 0 −−+++=

( ) ( ) rdarqsq

Mrq

rrqrii

Li

LiR φωωσ dt

ddt d

0 −++

++=

statore di edispersion di induttanza =−= Mss LLLσ

rotore di edispersion di induttanza =−= Mrr LLLσ

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Modello del motore asincrono (18)Circuito equivalente bifase della macchina asincrona, valido in regime comunque variabile

( )sqa

rdsdM

sdssdssd

iiLiLiRv φωσ dt

ddt d −+++=

( )sda

rqsqM

sqssqssq

iiL

iLiRv φωσ

dt d

dt d

++

++=

( ) ( ) rqardsd

Mrd

rrdriiLiLiR φωωσ

dt d

dt d 0 −−+++=

( ) ( ) rdarqsq

Mrq

rrqrii

Li

LiR φωωσ dt

ddt d

0 −++

++=

23

Modello del motore asincrono (19)

Modello in forma di spazio di stato con i flussi come variabili di stato

sdrds

rsqasd

s

sd vT

KT

+++−= φσ

φωφσ

φ

1

dt d

sqrqs

rsq

ssda

sq vT

KT

++−−= φσ

φσ

φωφ

1

dt d

( ) rqardr

sdr

srdTT

K φωωφσ

φσ

φ 1

dt d −+−=

( ) rqr

rdasqr

srq

TTK φ

σφωωφ

σφ

1

dt d

−−−=

statorica tempodi costante=sT rotorica tempodi costante=rT

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Modello del motore asincrono (20)

Modello in forma di spazio di stato con le correnti statoriche e i flussi

rotorici come variabili di stato

++++

−+−= sdrqrrdr

rsqassds

rss

sd vKTKiLiL

TTLi φωφωσσ

σ 11

1

dt d

++−

−+−−= sqrqr

rrdrsqs

rssdas

s

sq vTKKiL

TTiL

Li

φφωσωσσ

11 1

dt d

( ) rqardr

sdr

MrdT

iT

L φωωφφ 1 dt

d −+−=

( ) rqr

rdasqr

Mrq

Ti

TL φφωω

φ 1 dt

d−−−=