Az analízis néhány alkalmazása

SZAKDOLGOZAT

Eötvös Loránd Tudományegyetem

Természettudományi kar

Szerz®: Fodor Péter

Szak: Matematika Bsc

Szakirány: Matematikai elemz®

Témavezet®: Sikolya Eszter, adjunktus

Eötvös Loránd Tudományegyetem, Természettudományi kar

Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék

Budapest, 2010

Tartalomjegyzék

1. Bevezet® 3

2. Egyváltozós függvények 4

2.1. Hozzárendelés megadása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2. Egyváltozós valós függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3. Értelmezési tartomány, értékkészlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4. Gra�konok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.5. Elemi függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3. Di�erenciálszámítás 10

3.1. Határérték . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2. Derivált . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.3. Geometriai értelmezés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.4. Mechanikai értelmezés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.5. Közgazdaságtani értelmezés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.6. Di�erenciálhatóság . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.7. Di�erenciálási szabályok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.8. Példa szorzat és hányados deriválási szabályára közgazdaságtanban . . . . . . . 18

3.9. Példa di�erenciálási szabályokra �zikában . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.10. Magasabb rend¶ deriváltak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.11. Magasabb rend¶ deriváltak térgörbéknél . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4. Integrálszámítás 24

4.1. Határozatlan integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.2. Példa határozatlan integrálra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.3. Mechanikai példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.4. Általános integrálási szabályok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.5. Határozott integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.6. Határozott integrál tulajdonságai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.7. Példa területszámításra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1

4.8. Ívhossz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.9. Forgástestek köbtartalma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.10. Forgástestek palástjának felszíne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.11. Mechanikai és egyéb �zikai alkalmazások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.12. Közgazdaságtani alkalmazások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5. Összefoglalás 40

6. Irodalomjegyzék 41

2

1. Bevezet®

Szakdolgozatom célja bemutatni az egyik leggyakrabban alkalmazott matematikai

szakterület, a matematikai analízis néhány alkalmazását. Mivel a téma teljes bemutatására

nem lenne elegend® egyetlen szakdolgozat, így csak néhány kiválasztott területet és alkalma-

zást érintek, legf®képpen a két legalapvet®bb analízisbeli m¶velet, a deriválás és az integrálás

el®fordulásait különböz® területeken. Egyéb matematikai ágak közül geometriában, természet-

tudományokon belül �zikában, valamint más tudományok közül közgazdaságtanban mutatok

be példákat. Ez a három látszólag sokban különböz® tudományágban gyakran el®fordulnak a

matematikai analízis tételei, érzékeltetve annak széleskör¶ felhasználhatóságát. El®ször rövi-

den ismertetem a függvényekkel való kapcsolatukat, majd rátérek a di�erenciálszámítás és az

integrálszámítás néhány alkalmazására.

Az analízisbeli tételeket és de�níciókat saját jegyzeteim, valamint Obádovics J.

Gyula: Matematika, és Sydsæter-Hammond: Matematika közgazdászoknak cím¶ könyvek alap-

ján írtam. A geometriai részeknél saját jegyzeteim mellett Obádovics J. Gyula fentebb említett

könyve és Rados Gusztáv: Analízis és geometria cím¶ könyve volt segítségemre. El®bbi szin-

tén hasznosnak bizonyult �zikai példák terén néhány más jegyzet mellett. A közgazdaságtani

részeknél a Sydsæter-Hammond könyvet, valamint a MIT nyitott kurzusait vettem �gyelembe.

Az ábrákat saját magam készítettem.

3

2. Egyváltozós függvények

2.1. Hozzárendelés megadása

Állandónak azt a mennyiséget nevezzük, amelynek számértéke a vizsgálat során

nem változik, változónak pedig azt, amely a vizsgálat közben különböz® értékeket vehet fel. A

matematikai analízis a változó mennyiségekkel és a közöttük fennálló összefüggésekkel (függ-

vénykapcsolatokkal) foglalkozik.

A változók közötti hozzárendelést különböz® módokon is megadhatjuk: Táblázattal,

gra�konnal, vagy analitikusan (képlettel). Az analitikus módon megadott függvények közül

az y = f(x) alakúakat explicit, a g(x, y) = 0 alakúakat implicit, az y = y(t), x = x(t)

egyenletrendszerrel megadottakat paraméteres el®állítású függvényeknek nevezzük.

Egy hozzárendelés táblázattal való megadására példa az 1. táblázat, amely a ház-

tartásoknak nyújtott forint fogyasztási hitelek szezonálisan igazított új szerz®déseinek összegét

ábrázolja hiteltípus szerinti bontásban 2009 októbere és 2010 februárja között. 1 [3]

1. táblázat.

Hónap 2009. okt 2009. nov 2009. dec 2010. jan 2010. feb

Személyi hitel (milliárd Ft) 11,24 9,60 9,21 9,60 11,97

Gra�konnal való ábrázolásra tekintsük példának a hasznossági függvényt, melyet a

közgazdaságtan számos területén, leggyakrabban a mikroökonómiai fogyasztáselméletben hasz-

nálnak. A hasznossági függvény matematikai eszközökkel igyekszik modellezni a gazdaság egy

szerepl®jének � bizonyos esetekben a társadalom egészének � meghatározott javakhoz kapcso-

lódó preferenciáit.

Egy n változós hasznossági függvény általános alakban így írható fel:

U(x) = (x1, x2, ..., xn)

Gra�konnal ábrázolva n = 1 esetén:1Forrás: Magyar Nemzeti Bank honlapja - http://www.mnb.hu/Resource.aspx?ResourceID=

mnbfile&resourcename=hu0906_fogyasztasi_HUF

4

1. ábra

Képlettel való megadásra �zikában rengeteg példát találunk, elég csak az egyenletes

mozgás v = stösszefüggésére gondolni, ahol v jelöli a sebességet, s az utat, t az id®t.

2.2. Egyváltozós valós függvények

Azt mondjuk, hogy y az x egyérték¶ függvénye, ha x minden lehetséges értékéhez

y-nak egy egyértelm¶ módon meghatározott értéke tartozik. Az x lehetséges értékei alkotják

a függvény értelmezési tartományát, az y értékek pedig az értékkészletét. Az x a függvény

argumentuma, vagyis a független változó, az y a függvényérték, vagy függ® változó.

A közgazdaságtanban az x-et gyakran nevezik exogén, y-t endogénváltozónak.

Az y függ® változó és az x független változó közötti függvénykapcsolatot az y = f(x),

y = F (x), y = g(x), y = ϕ(x) stb. vagy y = y(x) egyenlettel adjuk meg. Az x = a adott

számértékhez tartozó f(a) függvényérték a függvény helyettesítési értéke az a helyen.

A függvény jelölésére az f(x), F (x), g(x), ϕ(x) stb. szimbólumokat használjuk, ahol

x a független változó.

Fizikában gyakran el®fordul, hogy az id®t tekintjük változónak, amit legtöbbször

t-vel jelölünk, így a függvény alakja például: f(t), F (t), stb. A periodikus mozgás például

szinusz görbével írható le.

Geometriai alakzatok megadásánál, transzformációknál el®forduló függvényeknél a

változó általában mint koordináta van értelmezve.

5

Közgazdaságtani példa függvényre:

Tegyük fel, hogy egy termékfajta x darabjának forintban számított el®állítási költ-

sége

C(x) = 50x√x+ x2.

Számítsuk ki a költséget, ha az adott termékb®l rendre 9, 16, 25, valamint a darabot állítunk

el®.

Ha abból indulunk ki, hogy a cégünk a darabot termel, akkor számítsuk ki a termelés 1 darab-

bal való növelésének költségét.

Megoldás: 9 darab termék esetén az el®állítási költséget úgy kapjuk meg, ha a C(x)-et megadó

formulában az x helyére 9-et helyettesítünk:

C(9) = 50 · 9√

9 + ·92 = 50 · 9 · 3 + 81 = 1431.

Hasonlóképpen:

C(16) = 50 · 16√

16 + 162 = 50 · 16 · 4 + 256 = 3456.

C(25) = 50 · 25√

25 + 252 = 50 · 25 · 5 + 625 = 6875.

C(a) = 50a√a+ a2.

a+ 1 darab termék esetén az el®állítási költség C(a+ 1), tehát a költségnövekmény:

C(a+ 1)− C(a) = 50(a+ 1)√a+ 1 + a2 − (50a

√a+ a2)

= 50(a+ 1)√a+ 1 + a2 − 50a

√a− a2

= 50[(a+ 1)√a+ 1− a

√a].

2.3. Értelmezési tartomány, értékkészlet

A függvény de�niálásakor az értelmezési tartományt is meg kell adni. Például a ter-

mészetes alapú logaritmusfüggvény (g(x) = lnx) értelmezési tartománya a (0,∞) intervallum.

A fenti közgazdaságtani példában a C(x) = 50x√x + x2 függvényt a 0, 1, 2, ..., xmax számo-

kon értelmeztük, mivel darabszámról volt szó, és ahol xmax a termékek el®állítható maximális

6

száma, avagy x-et folytonos változónak tekintve a természetes értelmezési tartomány a [0, xmax]

intervallum.

Az adott értelmezési tartományon belül az f függvény által felvett f(x) értékek

összességét a függvény értékkészletének nevezzük. Például a természetes alapú logaritmusfügg-

vény értékkészlete a valós számok, a példában szerepl® C(x) = 50x√x + x2 függvényé pedig a

0, 51, ..., C(xmax) számok halmaza.

A geometriai transzformációs függvények pontokhoz pontokat rendelnek, így ebben

az esetben a függvény értékkészlete és értelmezési tartománya felfogható ponthalmazként is.

2.4. Gra�konok

Az y = f(x) függvényt a Descartes-féle derékszög¶ koordinátarendszerben is ábrá-

zolhatjuk, melynek vízszintes tengelyét x-tengelynek, függ®leges tengelyét y-tengelynek nevez-

zük. A független változó megfelel® értékéhez meghatározzuk a függ® változó megfelel® értékét

és így egy pontot kapunk. Az összes ilyen pont által meghatározott megoldáshalmaz a koordi-

nátarendszerben egy görbét ad, aminek a neve az egyenlet gra�konja.

Az f függvény gra�konja azon (x, f(x)) pontok összessége, ahol x a függvény argu-

mentuma és f(x) a hozzá tartozó függvényérték, x pedig végigfut f teljes értelmezési tartomá-

nyán. Az egyváltozós függvény egy olyan szabály, amely az értelmezési tartományból rendel

számokat az értékkészletbeli számokhoz.

Egy függvény az értelmezési tartomány bármely x pontjához nem rendelhet egynél

több értéket. Ebb®l következik, hogy az x-tegely bármely pontján átmen® függ®leges egyenes

a függvény gra�konját legfeljebb egy pontban metszheti.

Amikor egy empirikus hozzárendelést függvénnyel próbálunk szemléltetni, mérési

egységeket kell választanunk az egyes mennyiségekb®l. Nem mindegy, hogy az id®t órában,

vagy percben, a pénzt forintban vagy euróban mérjük. Az emberek különböz® mennyiségek

közti kapcsolatról alkotott benyomása könnyen befolyásolható más-más mérési egységekkel. A

2. ábra gra�konjai ugyanazt a függvényt ábrázolják, mindkét esetben az id® évben, a fogyasztás

milliárd $-ban van megadva.

7

2. ábra

Példa gra�kon transzformálására:

Egy adott évben egy x forintot keres® polgárnak f(x) = x2 jövedelemadót kell

�zetnie. A kormány az adók leszállítására kétféle terv közül választhat: Az els® szerint a

polgárok még az adó kiszámítása el®tt 40 forintot levonhatnak az adóalapjukból. A másik

változatban a teljes adózandó jövedelem után kell kiszámítani az adót, majd minden adózó

személy 2000 forinttal csökkentheti az adó értékét. A két változatot szeretnénk gra�kusan

ábrázolni, és meghatározni azt az x∗ jövedelmet, amelyre ezek ugyanazt az adót eredményezik.

3. ábra

A T = f(x) = x2 adófüggvényb®l indulunk ki. Az els® változat szerint x az adóalap és 40 a

levonás, tehát a csökkentett adóalap x−40, vagyis a be�zetend® adó (x−40)2. A T adófüggvény

8

gra�konját 40 egységgel jobbra tolva kapjuk meg a T1 = (x−40)2 gra�konját. A másik esetben

az eredeti T függvényt 2000 egységgel kell lefelé tolnunk, így jutunk a T2 = x2 − 800 függvény

gra�konjához. A keresett x∗ jövedelmet az

(x− 40)2 = x2 − 2000

egyenlet megoldásával kaphatjuk meg, melyb®l kijön, hogy x∗ = 45.

2.5. Elemi függvények

Elemi függvényeknek nevezzük azokat a függvényeket, amelyek az elemi alapfügg-

vényekb®l számtani m¶veletekkel és összetett függvények képzése útján el®állíthatók. Az elemi

alapfüggvények a következ®k:

1. Hatványfüggvények: y = xn alakú függvények, ahol n valós szám.

2. Exponenciális függvények: y = ax alakú függvények, ahol a pozitív szám.

3. Logaritmusfüggvények: y = logax alakú függvények, ahol a > 0, de a 6= 1.

4. Trigonometrikus függvények: y = sinx, y = cosx, y = tg x, y = ctg x alakú függvények.

5. Ciklometrikus vagy arkuszfüggvények: y = arc sinx, y = arc cos x, y = arc tg x, y = arc ctg x

alakú függvények.

9

3. Di�erenciálszámítás

3.1. Határérték

Az a környezetében (a-ban nem feltétlenül) értelmezett y = f(x) függvény határér-

téke x → a esetén (azaz ha x a-hoz tart) A ∈ R, ha az x-szel a-hoz közelítve, f(x) A-tól vett

különbsége 0-hoz tart. Vagyis:

limx→a

f(x) = A,

ha bármilyen kicsi pozitív ε számhoz létezik olyan pozitív δ szám, amelyre |f(x) − A| < ε,

amennyiben |x− a| < δ.

Egyoldali határértékek:

Bal oldali határérték: Az a bal oldali környezetében értelmezett y = f(x) függvény

bal oldali határértéke x→ a− esetén (azaz ha x balról a-hoz tart) A, ha az x-szel balról a-hoz

közelítve, f(x) a-tól vett különbsége 0-hoz tart. Vagyis:

limx→a−

f(x) = A,

ha bármilyen kicsi pozitív ε számhoz létezik olyan pozitív δ szám, amelyre |f(x) − A| < ε,

amennyiben −δ < x− a < 0.

Jobb oldali határérték: Az a jobb oldali környezetében értelmezett y = f(x) függ-

vény jobb oldali határértéke x → a+ esetén (azaz ha x jobbról a-hoz tart) A, ha az x-szel

jobbról a-hoz közelítve, f(x) a-tól vett különbsége 0-hoz tart. Vagyis:

limx→a+

f(x) = A,

ha bármilyen kicsi pozitív ε számhoz létezik olyan pozitív δ szám, amelyre |f(x) − A| < ε,

amennyiben 0 < x− a < δ.

Egy függvénynek pontosan akkor létezik a-ban határértéke, ha az ugyanitt vett jobb

és bal oldali határértékek léteznek és megegyeznek.

limx→a

f(x) = A↔ limx→a−

f(x) = A és limx→a+

f(x) = A

10

Kiterjesztett határértékfogalom:

Az a környezetében (a-ban nem feltétlenül) értelmezett y = f(x) függvény határér-

téke x→ a esetén (azaz ha x a-hoz tart) +∞, ha az x-szel a-hoz közelítve, f(x) nagyobb lesz

bármely K > 0 számnál. Vagyis:

limx→a

f(x) = +∞,

ha bármely pozitív K számhoz létezik olyan pozitív δ szám, amelyre f(x) > K, amennyiben

|x− a| < δ.

Az a környezetében (a-ban nem feltétlenül) értelmezett y = f(x) függvény határér-

téke x → a esetén (azaz ha x a-hoz tart) −∞, ha az x-szel a-hoz közelítve, f(x) kisebb lesz

bármely K < 0 számnál. Vagyis:

limx→a

f(x) = −∞,

ha bármely negatív K számhoz létezik olyan pozitív δ szám, amelyre f(x) < K, amennyiben

|x− a| < δ.

Végtelenben vett határérték:

Az y = f(x) függvény pozitív végtelenben vett határértéke A, ha minél nagyobb

x-et véve, f(x) A-tól vett különbsége 0-hoz tart. Vagyis:

limx→+∞

f(x) = A,

ha bármilyen kicsi pozitív ε számhoz létezik olyan pozitív K szám, amelyre |f(x) − A| < ε,

amennyiben x > K.

Az y = f(x) függvény negatív végtelenben vett határértéke A, ha minél kisebb x-et

véve, f(x) A-tól vett különbsége 0-hoz tart. Vagyis:

limx→−∞

f(x) = A,

ha bármilyen kicsi pozitív ε számhoz létezik olyan negatív K szám, amelyre |f(x) − A| < ε,

amennyiben x < K.

11

Közgazdaságtani példa: Az átlagos �x költség a kibocsátás hiperbolikus függvénye,

határértéke az x = 0 helyen +∞, +∞-ben pedig 0.

4. ábra

3.2. Derivált

Egy y = ax + b egyenlet¶ egyenes meredekségét az a szám méri, amit az egyenes

iránytangensének nevezünk. Minél nagyobb az abszolút értéke, annál meredekebb. Ha negatív,

akkor az egyenes balról jobbra haladva lefelé esik, ha pozitív szám, akkor n®. Egy tetsz®leges

függvény meredekségét úgy de�niáljuk, hogy adott pontjában az érint® meredekségét tekintjük.

A függvény egy (x0, f(x0)) pontbeli meredekségét, f ′(x0)-t a függvény x0-beli deriváltjának

nevezzük. Ha veszünk egy másik pontot a függvény görbéjén (x+ h, f(x+ h)) koordinátákkal,

ahol h egy tetsz®legesen kicsi pozitív szám, akkor a két pontot összeköt® szel® meredeksége:

m =f(x0 + h)− f(x0)

h,

amit az f függvény x0 ponthoz tartozó különbségi hányadosának nevezünk, és aminek határér-

téke a függvény (x0, f(x0)) pontban vett meredeksége, ha h → 0. Ez megadható a következ®

képlettel is:

f ′(x0) = limh→0

f(x0 + h)− f(x0)

h

A deriváltat nem csak érint® meredekségeként értelmezhetjük. Egy y = f(x) függ-

vény adott x = x0 pontban az f(x0) értéket veszi fel. Ha x0 h-val változik (vagyis x0 + h-ra),

12

értéke f(x0 + h) lesz, a függvényérték megváltozása így f(x0 + h)− f(x0). Ha leosztunk h-val,

megkapjuk az y átlagos megváltozását:

f(x0 + h)− f(x0)

h

Ez f különbségi hányadosa vagy di�erenciahányadosa, melynek határértékét véve h→ 0 esetén

ismét f deriváltját avagy di�erenciálhányadosát kapjuk. Eszerint f ′(x0)-t értelmezhetjük az f

x0 pontban vett pillanatnyi megváltozásaként is. Az

f ′(x0)

f(x0)

hányadost pedig f x0-beli arányos megváltozásának nevezzük.

Egyéb jelölések:

Ha y x függvénye, akkor a deriváltjára használható a di�erenciál jelölés is:

dy

dx= dy/dx

Például:

y = 3x2 + 4x eseténdy

dx= 6x+ 4.

A t (=id®) függvényében vett derivált jelölésére legtöbbször az s(t) jelölést használ-

ják, leginkább �zikában. Ugyanitt a mennyiség változását általában ∆t jelöli.

3.3. Geometriai értelmezés

13

5. ábra

Tekintsünk egy y = f(x), x0 helyen deriválható függvényt. Húzzuk meg az f(x0) és

az f(x1) pontokon átmen® s szel®t. A szel® iránytangense:

f(x1)− f(x0)

x1 − x0

.

Az f(x0) ponton keresztül lefektetünk egy olyan ϕ hajlásszög¶ e egyenest, hogy

tgϕ = f ′(x). Ekkor a φ szög (e és s közbezárt szöge) tetsz®legesen kicsi ω szögnél kisebb, ha

az x1 elég közel van x0-hoz, vagyis

limx1→x0

φ = 0,

ugyanis:

Forgassuk el az e egyenest az f(x0) pont körül α < ω szöggel pozitív és negatív

irányba, e1, e2 egyenesekbe. φ1 jelölje az (e1, x), φ2 az (e2, x) szögeket(azaz e1 és e2 x-tengellyel

bezárt szögét).

tg φ2 < f ′(x0) < tg φ1.

Ha x0 és x1 elég közel vannak, a di�erenciahányadosra is fennáll az egyenl®tlenség:

tg φ2 <f(x1)− f(x0)

x1 − x0

< tg φ1.

Tehát az s szel® az f(x0) ponttól x tengely menti pozitív irányban (jobbra) az e1

egyenes alatt, negatív irányban (balra) az e2 egyenes felett van, így:

φ < α < ω.

Vagyis limx1→x0 φ = 0 azt jelenti, hogy az e egyenes az s szel® határhelyzete, ha

x1 → x2. Ezt a határhelyzetet a függvény gra�konjának f(x0)-beli értint®jének nevezzük. Az

x0 helyen deriválható y = f(x) függvény gra�konjának x0 helyen vett érint®jének iránytangense

f ′(x), azaz

tgϕ = f ′(x).

14

3.4. Mechanikai értelmezés

Tekintsünk egy egyenesvonalú mozgást végz® pontot. A pont által megtett utat

jelölje s(t). A t+ ∆t id® alatt s(t+ ∆t) és a ∆t id® alatt ∆s = s(t+ ∆t)− s(t) utat tesz meg.

Ekkor felírhatjuk a különbségi hányadost:

∆s

∆t=s(t+ ∆t)− s(t)

∆t

A pont v sebessége a t id®pillanatban:

v(t) = lim∆t→0

∆s

∆t= lim

∆t→0

s(t+ ∆t)− s(t)∆t

= s(t).

A ∆t id®közre es® átlagos sebességváltozás határértéke a pillanatnyi sebességvál-

tozás, azaz a gyorsulás. Görbe vonalú mozgás esetén a gyorsulásra vektorként tekintünk, a

sebességvektor id® szerinti deriváltjaként:

a =∆v

∆t,

ahol a a gyorsulásvektor (ms2), v a sebesség (m

s), t az id® (s). A t pillanatban a gyorsulást tehát

így kaphatjuk meg:

a = lim∆t→0

v(t+ ∆t)− v8t)

∆t.

Példa:

A Föld gravitációja közelében, ha a közegellenállás elhanyagolható, a szabadon es®

testek egyenletesen gyorsulnak. Ezt az állandót nevezzük gravitációs gyorsulásnak, és g-vel

jelöljük. Magyarországon az értéke körülbelül 9, 81ms2.

Az s = g2t2 útképlet¶ szabadon es® test sebességét a következ®képpen határozhatjuk

meg:

s(t+ ∆t) =g

2(t+ ∆t)2 =

g

2(t2 + 2t∆t+ ∆t2),

v = lim∆t→0

s(t+ ∆t)− s(t)∆t

= lim∆t→0

g2(t2 + 2t∆t+ ∆t2)− g

2t2

∆t=

=g

2lim

∆t→0

2t∆t+ δt2

∆t=g

2lim

∆t→0(2t+ ∆t) = gt.

Vagyis a szabadon es® test sebessége a t pillanatban v = g · t.

15

3.5. Közgazdaságtani értelmezés

Mikrogazdaságtanban TC-vel jelöljük a teljes költséget, TR-rel a teljes bevételt,

valamint Tπ-vel a teljes pro�tot, ami el®áll a teljes bevétel és a teljes költség különbségeként

(Tπ = TR − TC). Ezek deriváltjait határköltségnek (MC), határbevételnek (MR) és határ-

pro�tnak (Mπ) nevezzük:

MC =teljes költség változásatermelés változása

MR =teljes bevétel változásamennyiség változása

Mπ =teljes pro�t változásamennyiség változása

Ha C(x) = x egység el®állításának költsége, akkor a C ′(x) határköltséget így kaphatjuk meg:

C ′(x) = limh→0

C(x+ h)− C(x)

h.

Nagy mennyiség¶ termék esetén h = 1 "elhanyagolhatóan kicsi", 0-ra kerekíthet®. Ebb®l a

C ′(x) ≈ C(x+ 1)− C(x)

1= C(x+ 1)− C(x)

közelít® egyenl®tlenséget kapjuk.

Példa: Egy vállalat egy termékére vonatkozó költségfüggvénye C(x) = x2 + 5x+ 10.

Miközben x 10-r®l 10 + h-ra változik, a változás átlagos mértéke:

C(10 + h)− C(10)

h=

(10 + h)2 + 5(10 + h) + 10− (100 + 50 + 10)

h=

=160 + 25h+ h2 − 160

h=

25h+ h2

h= 25 + h

Amennyiben h 0-hoz tart, ez az érték 25-höz közelít. Másképpen számolva pedig, C ′(x) = 2x+5,

melybe 10-et helyettesítve C ′(10) = 25.

További közgazdasági példa a deriváltra a fogyasztási határhajlandóság, amely meg-

mutatja, hogy mennyivel n® a fogyasztás, ha a jövedelem egységnyivel növekszik: a fogyasztási

függvény jövedelem szerinti els® deriváltja.

Illetve a munka határtermelékenysége (vagy határterméke), ami azt mutatja meg,

hogy mennyivel változik a termelés a munka mennyiségének egy egységgel való növekedésekor,

vagyis nem más, mint a termelési függvénynek a munka mennyisége szerinti deriváltja.

16

A közgazdászok derivált helyett gyakran használnak elaszticitást. Ha f(x) 6= 0

x-ben deriválható függvény, akkor f x pontbeli elaszticitása:

Elx =x

f(x)f ′(x).

Az elaszticitást jelölése lehet még Elxy vagy εyx, ha a függvény y = f(x) formában

van megadva.

3.6. Di�erenciálhatóság

A folytonosság a di�erenciálhatóság szükséges (de nem elégséges) feltétele, azonban

a valóságban gyakran nem tudjuk megmérni vagy megvalósítani a független változó tetsz®le-

gesen kicsi megváltozásait. Bizonyos mennyiségeket csak adott id®közönként határoznak meg,

napi, havi, vagy éves adatokról is beszélhetünk, valamint gyakran egy függvényt csak egész

értékeiben de�niálnak. Ezekben az esetekben a függvényt egy másik, közelít® függvénnyel he-

lyettesíthetjük, amely már di�erenciálható.

Például a 6. ábrán a munkanélküliek száma látható Budapesten 2000-t®l 2009-ig

(ezer f®ben), minden egyes évre2 [4]. A bal oldali gra�konon csak az éves értékek vannak

bejelölve, a jobb oldalon pedig ezek már egy di�erenciálható függvénnyel vannak közelítve.

6. ábra - A munkanélküliek száma Budapesten 2000-2009 (ezer f®)

3.7. Di�erenciálási szabályok

1. Konstans függvény deriváltja egyenl® 0-val:

f(x) = A⇒ f ′(x) = 0, ahol A ∈ R konstans.

2Forrás: Központi Statisztikai Hivatal honlapja - http://portal.ksh.hu/pls/ksh/docs/hun/xstadat/

xstadat_eves/tabl6_02_01_02i.html

17

2. Ha y(x) = f(x) + g(x) és z(x) = f(x)− g(x) akkor:

y′(x) = [f(x) + g(x)]′ = f ′(x) + g′(x),

z′(x) = [f(x)− g(x)]′ = f ′(x)− g′(x).

3. Ha f és g di�erenciálható függvények x-ben, akkor y = f · g is di�erenciálható x-ben, és

y(x) = f(x) · g(x)⇒ y′(x) = f ′(x) · g(x) + f(x) · g′(x).

4. Az 1.-b®l és a 2.-b®l következik:

y(x) = A+ f(x)⇒ y′(x) = f ′(x), ahol A ∈ R konstans.

5. Az 1.-b®l és a 3.-ból következik:

y(x) = A · f(x)⇒ y′(x) = A · f ′(x), ahol A ∈ R konstans.

6. Ha f és g di�erenciálható függvények x-ben, g(x) 6= 0, akkor y = f/g is di�erenciálható

x-ben, és

y(x) =f(x)

g(x)⇒ y′(x) =

f ′(x) · g(x)− f(x) · g′(x)

g(x)2, ha g(x) 6= 0.

7. Összetett függvény deriváltja:

y(x) = (f(g(x)))′ = f ′(g(x)) · g′(x).

8. Hatvány deriválási szabálya:

f(x) = xa ⇒ f ′(x) = a · xa−1, ahol a ∈ R konstans.

3.8. Példa szorzat és hányados deriválási szabályára közgazdaságtan-

ban

Példa szorzat deriválási szabályára: Tegyük fel, hogy egy adott áru egységnyi id®

alatt termelt mennyisége és ára is az id® (t) függvénye. Legyen x(t) a t id®pillanatban vett

termelt mennyiség/nap ráta, p(t) pedig az áru t id®pillanatbeli ára.

18

Ekkor:

R(t) = p(t) · x(t) a napi bevétel.

Ezt lederiválva a következ®t kapjuk:

R = p(t) · x(t) + p(t) · x(t).

Ez a következ®képpen értelmezhet®: Ha p(t) és x(t) is változik, akkor a bevétel változása

két dologból tev®dik össze: Az egyik az ár változása, amely arányos a termelt mennyiséggel:

p(t) · x(t), a másik pedig a termelt mennyiség változása, ami az árral arányos: p(t) · x(t).

Ha ezt elosztjuk a napi bevétellel, akkor megkapjuk a jövedelem arányos mértékét:

R

R=p(t) · x(t) + p(t) · x(t)

p(t) · x(t)=p(t)

p(t)+x(t)

x(t).

Vagyis a bevétel arányos növekedési mértéke az ár arányos növekedési mértékének

és a termelés mennyiségének arányos növekedési mértékének az összege.

Példa hányados deriválási szabályára: Tekintsük a q darab termék el®állításához

szükséges TR(q) teljes bevételt. Az átlagbevételt úgy kapjuk, ha ezt elosztjuk q-val: AR(q) =TR(q)q

. A marginális, vagy határbevétel pedig a teljes bevétel deriváltja (MR(q) = TR′(q)). Ha

vesszük az átlagbevétel megváltozását (deriváltját), a következ® képletet kapjuk:

d

dq

(TR(q)

q

)=q · TR′(q)− TR(q)

q2=

1

q

(TR′(q)− TR(q)

q

)=

1

q(MR(q)− AR(q)) .

Ebb®l következik, hogy ha a termelt mennyiség pozitív (q > 0), akkor:

MR(q) > AR(q)→ AR(q) n®,

MR(q) < AR(q)→ AR(q) csökken,

MR(q) > AR(q)→ AR(q) maximális.

Hasonlóképpen bevétel helyett költségfüggvénnyel számolva - ahol TC(q) a teljes költség, TC ′(q) =

MC(q) a határköltség, AC(q) = TC(q)q

az átlagköltség - a következ® összefüggéseket kapjuk meg:

MC(q) > AC(q)→ AC(q) n®,

MC(q) < AC(q)→ AC(q) csökken,

MC(q) > AC(q)→ AC(q) minimális.

19

3.9. Példa di�erenciálási szabályokra �zikában

Tekintsük a különböz® közegben található A és B pontokat, valamint a közöttük

haladó fénysugarat az alábbi ábrán:

7. ábra - Hullámtörés közeghatáron történ® áthaladásnál

A töréspontot (X0-t), valamint a beesési szöget (αb-t) és a törési szöget (αt-t) sze-

retnénk meghatározni.

A hullám haladási ideje:

τAB = τAX0 + τX0B =s1

c1

+s2

c2

=

=

√a2 + (X0 −XA)2

c1

+

√b2 + (XB −X0)2

c2

,

ahol c1 a fény terjedési sebessége az els® közegben és c2 a terjedési sebessége a második közegben.

A Fermat-elv3 kimondja, hogy a fénysugár A pontból B pontba mindig olyan úton

jut el, amelyen a terjedési id® minimális. Tehát ahol

dτABdX0

= 0.

Deriválnunk kell tehát a√a2+(X0−XA)2

c1+

√b2+(XB−X0)2

c2összeget. (Megjegyzés: Szél-

s®értékekr®l ebben a szakdolgozatban nincs külön fejezet, [2] 643-649. oldalán található b®vebb

3Arthur Schuster, An Introduction to the Theory of Optics, London: Edward Arnold, 1909; 43. oldal -

Letölthet® verzió: http://www.archive.org/details/theoryoptics00schurich

20

információ a függvény minimuma és maximuma, illetve a deriválás kapcsolatáról.) Itt kerül-

nek el® a di�erenciálási szabályok. El®ször a 2. szabályt alkalmazzuk: az összeg két tagját

külön-külön kell deriválnunk, majd összeadnunk. Els®ként tekintsük√a2+(X0−XA)2

c1-t. A c1 itt

konstansnak számít, mivel X0 szerint deriválunk, így 1c1

-et kiemelhetjük az 5. szabály miatt.√a2 + (X0 −XA)2 összetett függvény, így a 7. szabály kerül el®. A küls® függvény a négyzet-

gyök, amit 12-ik hatványnak is vehetünk, a 8. szabályt �gyelembe véve hajtjuk véve a deriválást.

A küls® függvény deriváltja tehát 12· 1√

a2+(X0−XA)2. A bels® függvényben a2 konstans, az 1.

szabály miatt elt¶nik, így (X0−XA)2-t kell deriválnunk. A négyzetre emelést elvégezve kapjuk,

hogy X02 − 2X0XA +XA

2. Itt XA2 konstans, a 4. szabály szerint elt¶nik, a 8. szabály szerint

X02 deriváltja 2X0, az 5. szabály értelmében −2X0XA -ból pedig −2XA lesz. Mindent össze-

vetve azt kapjuk, hogy az összeg els® tagjának deriváltja 1c1· 1

2· 2X0−2XA√

a2+(X0−XA)2. A szabályokat

hasonlóképpen alkalmazva a második tagra 1c2· 1

2· −2XB+2X0√

b2+(XB−X0)2jön ki. τAB deriváltja tehát:

dτABdX0

=1

c1

· X0 −XA√a2 + (X0 −XA)2

− 1

c2

· XB −X0√b2 + (XB −X0)2

= 0.

Ebb®l ha ismerjük v1-et és v2-t, akkor meghatározhatjuk X0-t is. Valamint a két szög szinusza:

sinαb =X0 −XA√

a2 + (X0 −XA)2, valamint sinαt =

XB −X0√b2 + (XB −X0)2

.

Megjegyzés: Ezekb®l a következ® összefüggést is megkapjuk (Snellius-Descartes fénytörési tör-

vénye):sinαbsinαt

=c1

c2

= n1,2, ahol n1,2 a két közeg relatív törésmutatója.

3.10. Magasabb rend¶ deriváltak

Az y = f(x) függvény deriváltjának deriváltját második deriváltnak vagy második

di�erenciálhányadosnak nevezik és f ′′(x)-szel, d2ydx2

-tel vagy d2f(x)dx2

-tel jelölik. Ezt ismét (vagyis

harmadszorra) deriválva a harmadik deriváltat kapjuk, melynek jelölése f ′′′(x), illetve d3ydx3

vagyd3f(x)dx3

. A negyedik deriváltnál a jelölés: f (4)(x), d4ydx4

vagy d4f(x)dx4

.

Az n-edik derivált jelölése tehát: f (n)(x), dnydxn

vagy dnf(x)dxn

. Az n-et a derivált rendjé-

nek nevezik.

A t szerinti második deriváltat legtöbbször s-sel szokás jelölni, a t szerinti harmadik

deriváltat pedig...s -sel.

21

3.11. Magasabb rend¶ deriváltak térgörbéknél

Tekintsünk egy r(t) = x(t)i+ y(t)j + z(t)k görbét. (i, j, k az x, y z irányú egység-

vektorok.) Feltesszük, hogy r kétszer deriválható.

A görbe sebességvektora a pálya érint®jének irányába mutat, az érint®vektor tehát

a görbe deriváltja: r. Az érint® irányú egységvektor jelölése:

t =r

|r|

Az elmozdulás id® szerinti második deriváltja a gyorsulás: r. A gyorsulásvektor

felbomlik egy érint® irányú komponensre, amelynek tangenciális gyorsulás a neve, valamint egy

mer®leges komponensre, amit centripetális gyorsulásnak nevezünk.

A sebesség (r) és a gyorsulás (r) meghatároz egy síkot, amelyet simulósíknak neve-

zünk. Ennek egységnyi hosszú normálisa (érintési pontban állított mer®legese) a binormális,

amely a következ®képpen számítható ki:

b =r × r|r × r|

(Itt × a vektriális szorzatot jelöli: |a × b| = |a||b| sinϕ, ahol ϕ az a és b vektorok

közbezárt szöge.)

Az érint® és binormális által meghatározott sík a rekti�káló sík.

A centripetális gyorsulás irányú vektort f®normális vektornak nevezzük, a követke-

z®képpen számítható ki:

n =r

|r|= b× t

A t, b, n egymásra mer®leges egységektorok, amelyeket kísér® triédernek, vagy kísér®

háromélnek szoktak nevezni.

De�niálhatjuk a görbe görbületét (érint® irányváltozásának sebességét) is a követ-

kez®képpen:

g =|r × r||r|3

Valamint torzióját (simulósík elfordulásának sebességét):

T =r · r · ...r|r × r|2

22

(Itt · a skaláris szorzatot jelöli: a ·b = |a||b| cosϕ, ahol ϕ az a és b vektorok közbezárt

szöge.)

23

4. Integrálszámítás

4.1. Határozatlan integrál

Legyen f egy I véges vagy végtelen intervallumból R-be képez® függvény: f : I → R.

Ekkor az F : I → R függvényt az f primitív függvényének nevezzük I-n, ha F di�erenciálható

I-n és F ′(x) = f(x) x ∈ I-re.Egy f függvény összes primitív függvényeinek halmazát f határozatlan integráljának

nevezzük. Jelölése: ∫f(x)dx.

Mivel F ′ = f esetén (F+C)′ is igaz, ahol C ∈ R konstans, így minden integrálható függvénynek

végtelen sok primitív függvénye van, amelyek csak az additív konstansban térnek el egymástól.

4.2. Példa határozatlan integrálra

Szeretnénk meghatározni azokat a görbéket, amelyek bármely pontjának vett érin-

t®jének iránytangense megegyezik a pont x-tengelyen felvett értékével.

Ha a görbe egyenlete y = f(x), akkor az érint® iránytangense f(x) deriváltja:

m = y′ = f ′(x).

Amit mi keresünk:

y′ = x.

Meg kell tehát adnunk y-t, itt jön képbe az integrálás m¶velete:

y =

∫x dx =

x2

2+ C,

ahol C konstans. Mivel x2

2parabola, így a különböz® értéket felvev® C-k miatt (y-tengely

mentén) felfelé és lefelé eltolt parabolasereget kapunk.

4.3. Mechanikai példa

Egy pont az id®vel arányosan növekv® sebességgel egyenesvonalú mozgást végez.

Szeretnénk meghatározni egy bizonyos id®közben a pont által megtett út hosszát.

24

Mint korábban megállapítottuk, az útfüggvény (s) id® (t) szerinti deriváltja a mozgás

sebessége (v):

v =ds

dt.

A feladat szerint a sebesség arányosan n® az id®vel: v = k · t. Tehát s-nek t szerintideriváltja adott, mint t függvénye. Ebb®l következ®en:

s =

∫kt dt =

kt2

2+ C.

Egy t = t1 id®pillanatban megtett út s1 = kt12

2+ C, egy t = t2 id®pillanatban

megtett út s1 = kt22

2+ C.

Vagyis a t2 − t1 id® alatt megtett út

s2 − s1 =k

2(t2

2 − t12).

4.4. Általános integrálási szabályok

1. Homogenitás: ∫af(x) dx = a

∫f(x) dx, ahol a ∈ R konstans.

2. Additivitás:∫[f(x) + g(x)− h(x)] dx =

∫f(x) dx+

∫g(x) dx−

∫h(x) dx.

3. Parciális integrálás:∫f(x)g′(x) dx = f(x)g(x)−

∫f ′(x)g(x) dx, ahol f(x) és g(x) di�erenciálható függvények.

4. Helyettesítéses integrálás: ∫f(x) dx =

∫f [g(t)]g′(t) dt.

5. Hatvány integrálása:∫xa dx =

1

a+ 1xa+1 + C, ha a 6= −1 és a ∈ R.

25

4.5. Határozott integrál

Legyen [a, b] egy R-n értelmezett zárt intervallum. Ezen intervallum felosztásának

nevezzük P -t, ha:

P = xi : a = x0 < x1 < ... < xn = b, (n ∈ N),

ahol xi jelöli az i-edik osztópontot, [xi−1, xi] az i-edik intervallumot, valamint xi−xi−1 az i-edik

intevallum hossza, ||P || = max1≤i≤n(xi − xi−1) pedig a P felosztás �nomsága. Továbbá legyen

f : [a, b]→ R kolátos függvény, ti ∈ [xi−1, xi] (i = 1...n) közbens® értékek. Ekkor az f függvény

P felosztáshoz és t = (t1, ..., tn) közbens® érték rendszerhez tartozó integrálközelít® összeg :

s(f, P, t) =n∑i=1

f(ti)(xi − xi−1).

Az f : [a, b]→ R korlátos függvény Riemann integrálható az [a, b] intervallumon, ha

létezik olyan N ∈ R szám, amelyre bármilyen kicsi ε > 0-hoz létezik δ(ε), hogy

|s(f, P, t)−N | < ε, ha ||P || < δ(ε)

minden t = (t1, ..., tn) közbens® érték rendszer mellett teljesül. Ezt az N számot az f függvény

[a, b]-n vett Riemann integráljának nevezzük. Jelölése:∫ b

a

f(x) dx

Itt a az integrálás alsó, b pedig a fels® határa. Ennél a képletnél már meghatározott

az additív konstans, ugyanis: ∫ a

x=a

f(x) dx = 0.

Tegyük fel, hogy f : [a, b]→ R folytonos az [a, b] intervallumon és F : [a, b]→ R az

f egy primitív függvénye [a, b]-n. Ekkor a Newton-Leibniz formula:∫ b

a

f(x) dx = F (b)− F (a) = [F (x)]ba.

26

F (x) =∫f(x) dx esetén d[F (x)+C]

dx= f(x), tehát a határozatlan integrál az x változó

függvénye, de a határozott integrál nem függ az x változótól, csupán a b fels® és a alsó határ

függvénye.

Geometriai jelentése: a határozott integrál az x tengely, a függvénygörbe, valamint

az x = a és x = b egyenesek által határolt el®jeles terület.

4.6. Határozott integrál tulajdonságai

1. Homogenitás: ∫ b

x=a

Af(x) dx = A

∫ b

x=a

f(x) dx, ahol A ∈ R konstans.

2. Additivitás:∫ b

x=a

[f(x) + φ(x)− ϕ(x)] dx =

∫ b

x=a

f(x) dx+

∫ b

x=a

φ(x) dx−∫ b

x=a

ϕ(x) dx

3. A határok felcserélésével az integrál el®jelet vált:∫ b

x=a

f(x) dx = −∫ a

x=b

f(x) dx.

4. Ha a < c < b, akkor: ∫ b

x=a

f(x) dx =

∫ c

x=a

f(x) dx+

∫ b

x=c

f(x) dx.

4.7. Példa területszámításra

Szeretnénk meghatározni az x2

a2+ y2

b2= 1 ellipszis T területét.

Írjuk át a görbe egyenletét x = x(t), y = y(t) paraméteres alakra. Vegyük a

következ® helyettesítést: y = [f(x)] = y(t), dx = x(t)dt:

T =

∫ b

x=a

f(x)dx =

∫ t2

t=t1

y(t)x(t)dt.

Az elipszis paraméteres egyenletrendszere x = a cos t, y = b sin t.

Elegend® az ellipszis negyed területét kiszámítani:

dx = −a sin t dt, valamint t1 =π

2és t2 = 0.

27

T

4=

∫ 0

t=π2

b sin(−a sin t) dt = −ab∫ 0

t=π2

sin2 t dt =

= −ab∫ 0

t=π2

1− cos 2t

2dt = −ab

2

[t− sin 2t

2

]0

π2

=abπ

4.

Ebb®l pedig:

T = abπ.

4.8. Ívhossz

Egy görbe kerületét is meghatározhatjuk a következ® módon:

Ha az y = f(x) függvény az [a, b] intervallumon di�erenciálható, és f ′(x) [a, b]-n

folytonos, akkor a függvénygörbe L ívhossza az intervallumon:

L =

∫ b

x=a

√1 + (y′)2(x) dx.

Illetve az x = x(t), y = y(t) (t ∈ [a, b]) paraméteres egyenletrendszerrel megadott

görbe esetén az ívhossz:

L =

∫ t2

t=t1

√x2 + y2 dt.

Például ki szeretnénk számolni az x2 + y2 = r2 alakban megadott r sugarú kör

kerületét. El®ször fejezzük ki y-t:

y =√r2 − x2.

Majd deriváljuk az egyenletet:

y′ = − x√r2 − x2

.

Ebb®l megkapjuk ds-t:

ds =

√1 +

x2

r2 − x2dx =

√r2

r2 − x2dx =

r√r2 − x2

dx.

Itt is elég egy negyed körívre elvégezni. Legegyszer¶bb azt az ívet választani, ahol

y > 0 és x > 0. Itt a határok: x = 0 és x7r. Így:

L

4=

∫ r

x=0

r√r2 − x2

dx.

28

Vezessük be az x = rt, dx = r dt új változót. Ekkor az új határok t = 0 és t = rr

= 1

lesznek. A negyed körív hossza tehát:

L

4=

∫ 1

t=0

r2

√r2 − r2t2

dt =

∫ 1

t=0

r√1− t2

dt = r

∫ 1

t=0

1√1− t2

dt = r[arcsin t]10 =rπ

2.

A kör teljes ívhossza ennek négyszerese:

L = 4rπ

2= 2rπ.

4.9. Forgástestek köbtartalma

Legyen tn egy r sugarú, m magasságú egyenes körhenger alpkörébe írt n-szög terü-

lete, a megfelel® köré írt sokszög területe Tn. A tn terület¶ sokszögre szerkesztett m magasságú

egyenes hasáb a henger beírt, a Tn terület¶ sokszögre szerkesztett, szintén m magasságú egye-

nes hasáb a henger köré írt hasáb. A beírt hasáb köbtartalma Vb = mtn, a köré írt hasáb

köbtartalma Vk = mTn.

A henger köbtartalma legyen V . Ebben az esetbenmtn < V < mTn, de limn→+∞ tn =

r2π, limn→+∞ Tn = r2π, így V = mr2π, tehát azt a jól ismert képletet kaptuk, amely szerint a

henger köbtartalma az alapkör területének és a magasságnak szorzata.

Ebb®l következik, hogy az y = f(x) görbét x-tengely körüli (360 fokos) forgatással

el®állított forgástest köbtartalma x = a és x = b határok között:

V = π

∫ b

x=a

y2(x) dx.

Ha a görbe x = x(t), y = y(t) (t ∈ [a, b]) paraméteres egyenletrendszerrel van

megadva, akkor dx = x(t) dt, ezért:

V = π

∫ t2

t=t1

y2(t)x(t) dt.

Tetsz®leges zárt felülettel határolt test köbtartalma is meghatározható egy adott S

síkkal párhuzamos és attól x távolságra lév® metszetének T (x) területének segítségével. Ha a

két metsz®sík távolsága S-t®l a és b.

A testet osszuk fel S-t®l a = x0 < x1 < ... < xi < ... < xn = b távoságra lév®

metsz®síkokkal. T (ξi) alapterület¶ és (xi+1 − xi) magasságú hengerrel adható meg az i-edik

29

réteg köbtartalma: T (ξi) az xi < ξi < xi+1 alkalmas megválasztásával. Az egész réteges test

köbtartalma:n−1∑i=0

T (ξi)(xi1 − xi).

Ennek határértéke a test köbtartalma: V =∫ bx=a

T (x) dx.

Például számítsuk ki az x2

a2+ y2

b2= 1, x > 0, a, b 6= 0 ellipszisív elforgatásával

keletkezett fél ellipszoid köbtartalmát:

y = b

√1− x2

a2, ebb®l:

V = π

∫ a

0

b2

(1− x2

a2

)dx = πb2

[x− x3

3a2

]a0

=2ab2π

3.

4.10. Forgástestek palástjának felszíne

Egy y = f(x) (a ≤ x ≤ b) egyenlettel megadott görbe x-tengely körüli elforgatásával

keletkezett forgástest felszíne az ábrán látható csonkakúpok palástjainak felszínének összege:

7. ábra

Egy csonkakúp palástfelszíne:

∆F =2πy(x) + 2πy(x+ ∆x

2

√∆x2 + ∆y2 =

= π[y(x) + y(x+ δx)]

√1 +

(∆y

∆x

2)δx.

30

Mivel dFdx

= lim∆x→0∆F∆x

= 2πy√

1 + (y′)2(x) dx, így a teljes test felszínét a követ-

kez®képpen kaphatjuk meg:

F = 2π

∫ b

x=a

y(x)√

1 + (y′)2(x) dx.

Ha az x = x(t), y = y(t) paraméteres egyenlettel adtuk meg a görbét, akkor ds =√x2 + y2 dt. Ekkor tehát:

F = 2π

∫ t2

t=t1

y(t)√x2 + y2 dt.

Például az r sugarú gömb felszíne:

Forgassuk el az x2 + y2 = r2 kört az x-tengely körül, így megkapjuk a gömböt.

Ebb®l y =√r2 − x2, y′ = −x√

r2−x2 , ds =√

1 + x2

r2−x2 dx = r√r2−x2 . A határok x1 = −r, x2 = r.

Vagyis a felszín:

F = 2π

∫ r

x=−r

√r2 − x2

r dx√r2 − x2

= 2πr

∫ r

x=−rdx = 2πr[x]r−r = 2πr(2r) = 4r2π.

4.11. Mechanikai és egyéb �zikai alkalmazások

Fizikában, azon belül mechanikában nagyon sok helyen találkohatunk integrállal.

Ezek közül néhány példa:

1. Homogén síkrész els®rend¶ vagy sztatikai nyomatéka x-tengelyre:

Mx =1

2

∫ b

x=a

y2(x) dx,

illetve y-tengelyre:

My =

∫ b

x=a

xy(x) dx.

Homogén lemez súlypontjának koordinátái:

xs =

∫ bx=a

xy(x) dx∫ bx=a

y(x) dx, ys =

12

∫ bx=a

y2(x) dx∫ bx=a

y(x) dx.

31

Például határozzuk meg az x = a cos t, y = b sin t ellipszis x-tengely feletti fél lapjának a súly-

pontját. A homogén síkrészre vonatkozó képletek átírhatóak paraméteres egyenletrendszerrel

megadott görbék esetére:

Mx =1

2

∫ b

x=a

y2(x) dx =1

2

∫ t2

t=t1

y2(t)x(t) dt =1

2

∫ 0

t=π

b2sin2t(−a sin t) dt =

−1

2ab2

∫ 0

t=π

(1− cos2 t) sin t dt = −1

2ab2

[− cos t+

cos3t

3

]0

π

=2

3ab2.

Az ellipszis félterülete 4.7 Példa területszámításra cím¶ részben kijött eredmény

alapján abπ2, így:

ys =2ab2

3abπ2

=4b

3πés xs = 0 az y-tengelyre való szimmetria miatt.

2. Homogén görbeív els®rend¶ vagy sztatikai nyomatéka x-tengelyre:

Mx =

∫ b

x=a

y(x)√

1 + (y′)2(x) dx,

valamint y-tengelyre:

My =

∫ b

x=a

x√

1 + (y′)2(x) dx.

Az ívsúlypont koordinátái:

xs =

∫ bx=a

x√

1 + (y′)2(x) dx∫ bx=a

√1 + (y′)2(x)dx

, ys =

∫ bx=a

y(x)√

1 + y′ 2(x) dx∫ bx=a

√1 + (y′)2(x) dx

.

Például határozzuk meg az y = chx láncgörbe x1 = 0 és x2 = 1 közötti ívének súlypontját.

Mx =

∫ b

x=a

y(x)√

1 + (y′)2(x) dx =

∫ 1

x=0

chx√

1 + sh2 x dx =

∫ 1

x=0

ch2 x dx =

=

∫ 1

x=0

ch 2x+ 1

2dx =

1

2

[sh 2x

2+ x

]1

0

=1

2

[sh 2

2+ 1− 0

]=

sh 2

4+

1

2≈ 3, 62686

4+

1

2≈ 1, 4067.

My =

∫ b

x=a

x√

1 + (y′)2(x) dx =

∫ 1

x=0

x√

1 + sh2 x dx =

∫ 1

x=0

x chx dx =

32

= [x shx]10 −∫ 1

x=0

shx dx = [x shx− chx]10 = sh 1− ch 1 + ch 0 = −e−1 + 1 ≈ 0, 6321.

L =

∫ b

x=a

√1 + (y′)2(x) dx =

∫ 1

x=0

√1 + sh2 x dx =

∫ 1

0

chx dx = [shx]10 = sh 1 ≈ 1, 1752.

xs =My

L≈ 0, 6321

1, 1752≈ 0, 5379 és ys =

Mx

L≈ 1, 4067

1, 1752≈ 1, 197.

3. A homogén forgástest els®rend¶ vagy sztatikai nyomatéka az (y, z) síkra, ha az x-tengely a

forgástengely:

Myz = π

∫ b

x=a

xy2(x) dx.

A forgástengelyen lév® súlypont y-tengelyt®l vett távolsága:

xs =

∫ bx=a

xy2(x) dx∫ bx=a

y2(x) dx.

Például forgassuk el az x2

a2+ y2

b2= 1, x > 0 ellipszisívet az x-tengely körül, majd határozzuk

meg a keletkezett fél ellipszoid súlypontját.

y2 = b2

(1− x2

a2

).

A határok: x = 0 és x = a, ebb®l:

Myz = π

∫ b

x=a

xy2(x) dx = πb2

∫ a

x=0

x

(1− x2

a2

)dx = πb2

[x2

2− x4

4a2

]a0

=πb2a2

4.

A a 4.9 Forgástestek köbtartalma cím¶ részben kijött képlet alapján a fél ellip-

szoid köbtartalma: V = 2ab2π3

.

xs =Myz

V=

πb2a2

42ab2π

3

=3

8a.

33

4. Homogén forgásfelület els®rend¶ vagy sztatikai nyomatéka az (y, z) síkra, ha az x-tengely a

forgástengely:

Myz = 2π

∫ b

x=a

xy(x)√

1 + (y′)2(x) dx.

A forgástengelyen lév® súlypont y-tengelyt®l vett távolsága:

xs =

∫ bx=a

xy(x)√

1 + (y′)2(x) dx∫ bx=a

y(x)√

1 + (y′)2(x) dx.

Például forgassuk el az y =√x parabola (0 ≤ x ≤ 2) ívét az x-tengely körül, majd határozzuk

meg a keletkezett forgási paraboloidfelület súlypontját.

y′ =1

2√x, ds =

√1 + (y′)2 dx =

√1 +

1

4xdx.

Myz = 2π

∫ b

x=a

xy(x)√

1 + (y′)2(x) dx = 2π

∫ 2

x=0

x√x

√1 +

1

4xdx = 2π

∫ 2

x=0

x

√x+

1

4dx.

Helyettesítéssel: x+ 14

= t2, dx = 2t dt.

A határok: x = 0 esetén t = 12, x = 2 esetén t =

√2 + 1

4= 3

2. Vagyis:

Myz = 2π

∫ 33

t= 12

2

(t2 − 1

4

)t2 dt = 4π

[t5

5− t3

12

] 32

12

≈ 4π · 1, 2417,

valamint a 4.10 Forgástestek palástjának felszíne cím¶ részben kijött képlet

alapján:

F = 2π

∫ 2

x=0

√x1 +

1

4xdx = 2π

∫ 2

x=0

(x+

1

4

) 12

dx = 2π

[2

3

(x+

1

4

) 32

]2

0

≈ 2π · 2, 1667,

így:

xs =Myz

F≈ 4π · 1, 2417

2π · 2, 1667=

2, 4834

2, 1667≈ 1, 4617.

34

5. Folyadékba merített függ®leges lemez egyik oldalára ható nyomóer® kiszámítása:

A γ fajsúlyú folyadékba merített függ®leges lemez felszínt®l x távolságra lev® y∆x

felületelemére γ xy ∆x elemi nyomóer® hat. A lemez egyik oldalára ható összes P nyomóer® a

következ® képlettel számítható ki:

P = limn→∞

n∑i=1

γxiyi∆xi = γ

∫ b

a

xy dx.

8. ábra

Például tekintsünk egy 3 méter hosszú, 9 méter átmér®j¶, vízszintesen elhelyezett, a feléig vízzel

töltött csövet. Szeretnénk meghatározni a víz nyomását a cs® tengelyére mer®leges zárólapokra

(a cs® végeit zárják le). Válasszuk a koordinátarendszert a következ® módon:

9. ábra

Eszerint a zárólapok egyenlete x2 + y2 = 9, vagyis y =√

9− x2, valamint γ = 1000,

35

a határok pedig a = 0 és b = 3. Egy zárólapra ható nyomóer®:

P1 = 1000

∫ 3

x=0

x√

9− x2 dx = −1000

3

[(9− x2)

32

]3

0=

1000

3· 27 = 9000,

a két zárólapra együttesen P = 2 · 9000 = 18000 kilopascal.

4.12. Közgazdaságtani alkalmazások

1. Valutatartalék

Ha F (t) jelöli egy ország devizakészletét a t id®pontban és F di�erenciálható, az

id®egység alatti deviza-változás f(t) = F (t).

Ha f(t) > 0, akkor a t id®pontban nettó devizaáramlás történik az országba, ha

f(t) < 0, akkor pedig devizakiáramlás. A devizakészletekben [t0, t1] id®intervallumban történt

változás a következ®képpen is megadható:

F (t1)− F (t0) =

∫ t1

t=t0

f(t) dt.

Tekintsük az alábbi példát:

10. ábra

Az ábrán a t0 és t′ pontok között nettó devizabeáramlás, t′ és t′′ között, nettó devizakiáramlás

történik.

2. Jövedelemeloszlás

Jelölje F (r) azoknak a személyeknek az arányát, akik legfeljebb r dollárnyi jövede-

lemmel rendelkeznek. Vagyis n f®s népesség esetén n · F (r) az r dollárnyi jövedelm¶ek száma.

36

Legyen r0 a legalacsonyabb és r1 a legmagasabb jövedelem. Ekkor az F függvényt szeretnénk

meghatározni az [r0, r1] intervallumban. F itt a meghatározás alapján nem feltétlenül di�e-

renciálható, illetve folytonos. Viszont megfelel®en nagy közösség esetén található egy olyan

folytonosan deriválható F , ami jó becslést ad a jövedelemeloszlásra. Legyen tehát F deriváltja

f , vagyis:

f(r) = F ′(r) minden r ∈ (r0, r1) esetén.

A derivált de�níciója szerint f(r)∆r ≈ F (r + ∆r)− F (r) bármely kicsi ∆r esetén,

tehát f(r)∆r körülbelül azon egyének aránya, akiknek r és r + ∆r közötti a jövedelmük.

f -et jövedelems¶r¶ségfüggvénynek, F -et pedig a hozzá tartozó eloszlásfüggvénynek

nevezzük.

Feltesszük, hogy f egy adott népesség folytonos jövedelemeloszlási függvénye, amely-

nek értékkészlete az [r0, r1] intervallum. r0 ≤ a ≤ b ≤ r1 esetén∫ br=a

f(r) dr azon személyek

aránya, akiknek a jövedelme az [a, b] intervallumba esik. Következésképpen n∫ br=a

f(r) dr pedig

azon személyek száma, akiknek a jövedelme az [a, b] intervallumba esik.

Szeretnénk azoknak a személyeknek az összjövedelmét meghatározni, akik a és b kö-

zötti keresettel rendelkeznek. Jelölje M(r) azoknak az összjövedelmét, akik legfeljebb r dollárt

keresnek. Tekintsük az [r, r+ ∆r] intervallumot, amelybe körülbelül nf(r)∆r egyén jövedelme

esik bele és ez a jövedelem ≈ r, így az összjövedelmük M(r+ ∆r)−M(r) ≈ nrf(r)∆r. Vagyis:

M(r + ∆r)−M(r)

∆r≈ nrf(r).

Ha ∆r → 0, akkor M ′(r) = nrf(r). Így n∫ br=a

rf(r) dr = M(b) −M(a), vagyis

n∫ br=a

rf(r) dr azoknak a személyeknek az összjövedelme, akiknek az egyéni jövedelmük [a, b]

intervallumba esik.

Az összjövedelem és az [a, b] jövedelemintervallumba tartozó személyek közötti arány

ezen személyek átlagjövedelme (m). Vagyis:

m =

∫ br=a

rf(r) dr∫ br=a

f(r) dr.

A valódi jövedelemeloszlást jól közelíti például a Pareto-eloszlás. A legfeljebb r

dollár jövedelm¶ személyek aránya itt:

f(r) = Br−β,

37

ahol B és β konstans és β empirikus becslése 2, 4 < β < 2, 6. Ha r 0-hoz közeli, akkor ez nem

értelmes β ≥ 1-re, mert∫ br=a

f(r) dr →∞ ha r → 0.

3. Jövedelemelosztás befolyásolása

Feltesszük, hogy egy társadalom tagjainak egy olyan árut árulnak, aminek a kereslete

csak a p ártól és az egyén r jövedelmét®l függ. p ár esetén D(p, r) az r jövedelm¶ egyén folytonos

keresleti függvénye, valamint a ≤ r ≤ b, a jövedelemelosztás f(r). Ebben az esetben szeretnénk

meghatározni a p áron kínált áru összkeresletét.

Legyen T (r) azoknak az összes kereslete, akik legfeljebb r jövedelemmel rendelkez-

nek. Az [r, r + ∆r] intervallumba körülbelül nf(r)∆r egyén jövedelme esik, akiknek jövedelme

nagyjából D(p, r), ezért összkeresletük ≈ nD(p, r)f(r)∆r. Ez viszont T (r+ ∆r)− t(r). Vagyismivel T (r + ∆r)− T (r) ≈ nD(p, r)f(r)∆r, így

T (r + ∆r)− T (r)

∆r≈ nD(p, r)f(r).

Ha ∆r → 0, akkor T ′(r) = nD(p, r)f(r). A határozott integrál de�níciójából:

T (b)− T (a) = n

∫ b

r=a

D(p, r)f(r) dr.

T (b) − T (a) a népesség ezen áru iránti (p-t®l függ®) összkereslete. x(p)-vel jelölve

tehát a teljes kereslet:

x(p) =

∫ b

r=a

nD(p, r)f(r)dr.

4. Folyamatos jövedelemáramlás diszkontált jelenértéke

Tekintsük a bevételt folyamatosnak a t = 0 id®pont és a t = T id®pont között. t-ben

f(t) dollár/év sebességgel. A kamatot r kamatláb mellett folyamatosan t®késítjük. Legyen P (t)

a [0, t] id®intervallumban történ® ki�zetések össz-jelenértéke, vagyis P (T ) pénzmennyiséget kell

befektetnünk t = 0-ban, hogy az f(t) jövedelemáram folyamatos befektetését fedezze a [0, T ]

intervallumban. Tetsz®leges dt szám esetén a [t, t+ dt] intervallumban befolyt pénz jelenértéke

P (t+ dt)−P (t). Elég kicsi dt-nél ennek a pénznek a jelenértéke nagyjából f(t) dt, diszkontált

38

jelenértéke (PDV - angolul Present Discounted Value) pedig körülbelül f(t)e−rt dt. Tehát

P (t+ dt)− P (t) ≈ f(t)e−rt dt, illetve

P (t+ dt)− P (t)

dt≈ f(t)−rt.

Ha dt→ 0, akkor P ′(t) = f(t)e−rt.

A határozott integrál de�níciójából:

P (T )− P (0) =

∫ T

t=0

f(t)e−rt dt.

Viszont P (0) = 0, így a [0, T ] intervallumbeli, f(t) dollár/év sebesség¶, folyamatos

jövedelemáramlás diszkontált jelenértéke t = 0 id®pontban rögzített r kamatlábú folyamatos

kamatt®késítés mellett:

PDV =

∫ T

t=0

f(t)e−rt dt.

Ez az egyenlet a [0, T ] id®intervallumbeli f(t) jövedelemáram értékét adja meg t = 0-

ban. t = T -ben a kamat r kamatláb folyamatos t®késítése mellett erT∫ Tt=0

f(t)e−rt dt. Az erT

konstans, így bevihetjük az integrálba:∫ Tt=0

f(t)er(T−t) dt. Ezt nevezzük a jövedelemáramlás

diszkontált jöv®értékének (FDV - angolul Future Discounted Value). Vagyis:

FDV =

∫ T

t=0

f(t)er(T−t) dt.

Az [s, T ] id®intervallumban eszközölt folyamatos jövedelemáramlás diszkontált ér-

téke (DV - angolul Discounted Value) t = s id®pontban, rögzített r kamatláb esetén, folyamatos

kamatt®késítés mellett:

DV =

∫ T

t=s

f(t)e−r(t−s) dt.

Például határozuk meg az 5 éven keresztül évi 2000 dollár jövedelem PDV -jét és FDV -jét

évente t®késített r = 5% = 0.05 kamat mellett:

PDV =

∫ 5

t=0

2000e−0.05t dt =

[2000

(−e−0.05t

0.05

)]5

0

=2000

0.05(1− e−0.25) ≈ 8847.97

FDV = e0.05·5PDV ≈ e0.25 · 8847.97 ≈ 11361.02

39

5. Összefoglalás

Szakdolgozatom néhány példát mutatott az analízis más tudományágakban való fel-

használására, ugyanakkor érdemes megjegyezni, hogy ez csak egy kis szelete volt az ismert

alkalmazásoknak. Analízissel kapcsolatban fontos még szót ejteni a függvények maximum-

és minimumhelyeinek vizsgálatáról, a deriválás és integrálás legtöbb természettudományi és

mérnöki eljárásban való el®fordulásáról, valamint a parciális di�erenciálegyenletekr®l. Egy kis

ízelít®t láthattunk vektoranalízisb®l is, ami a geometria és az analízis kapcsolatáról tanúsko-

dik, valamint �zikából, ahol mechanikán, h®tanon és a szakdolgozatban említett más témákon

kívül még rengeteg helyen el®fordulnak analízisbeli tételek alkalmazásai a természeti jelenségek

leírásában. A gazdasági felhasználások pedig rámutatnak, hogy gyakorlati haszna is lehet ezen

tudásnak, akár mindennapjainkban is segíthet döntések meghozatalában.

40

6. Irodalomjegyzék

[1] Arthur Schuster, An Introduction to the Theory of Optics, London: Edward Arnold, 1909

- Letölthet® verzió: http://www.archive.org/details/theoryoptics00schurich

[2] Központi Statisztikai Hivatal honlapja http://portal.ksh.hu/pls/ksh/docs/hun/xstadat/

xstadat_eves/tabl6_02_01_02i.html

[3] Magyar Nemzeti Bank honlapja http://www.mnb.hu/Resource.aspx?ResourceID=mnbfile&resourcename=

hu0906_fogyasztasi_HUF

[4] MIT Open Courses - Course 14.01 - Principles of Microeconomics Fall 2007 - Lecture 3

http://ocw.mit.edu/courses/

[5] Obádovics J. Gyula: Matematika, Kilencedik kiadás, M¶szaki Könyvkiadó, Budapest, 1974

[6] Dr. Rados Gusztáv: Analizis és geometria, Franklin-társulat, Budapest, 1919

[7] Sydsæter-Hammond: Matematika közgazdászoknak, Aula Kiadó Kft., 1998

[8] Tóth András Kísérleti Fizika jegyzete 2007, Budapesti M¶szaki Egyetem - "Hullámok vissza-

ver®dése és törése" http://mono.eik.bme.hu/~vanko/labor/kisfiz/tananyag.htm

41

Köszönetnyilvánítás

Köszönöm Sikolya Eszternek, hogy még az utolsó pillanatokban is id®t szánt rám és hasznos

tanácsokkal látott el dolgozatomat illet®en. Továbbá köszönöm mindenkinek, hogy türelemmel

és megértéssel voltak, amíg én a szakdolgozatomat írtam.

42