1 JJN

AYUDA MEMORIA PARA EL ESTUDIO DE

MATEMÁTICAS II - SISTEMAS

Potencias de la unidad imaginaria

i0 = 1 i1

= i i2 = −1 i3

= −i i4 = 1

Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber cuánto vale una

determinada potencia de i, se divide el exponente entre 4, y el resto es el

exponente de la potencia equivalente a la dada.

i22 = (i4

)5

· i2 = − 1

Números complejos en forma binómica; la forma binómica de un

número complejo es Z = a + bi.

Suma de números complejos: Se suman partes reales entre sí y

partes imaginarias entre sí.

(a + bi ) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i .

Resta de números complejos: Se restan partes reales entre sí y

partes imaginarias entre sí.

(a + bi ) − (c + di) = (a − c) + (b − d) i

(a + bi ) − (c + di) = (a − c) + (b − d) i

Multiplicación de números complejos: El producto de los

números complejos se realiza aplicando la propiedad

distributiva.

(a + bi ) · (c + d i) = (ac − bd) + (a d + bc) i

2 JJN

División de números complejos: Para dividir números complejos en

forma binómica se multiplica numerador y denominador por el

conjugado del denominador

Representación gráfica de números complejos

Los números complejos se representan en los ejes cartesianos. El eje X se llama eje real y el Y, eje imaginario. El número complejo a + bi se representa:

1 Por el punto (a,b), que se llama su afijo,

Los afijos de los números reales se sitúan sobre el eje real, X. Y los imaginarios sobre

el eje imaginario, Y.

3 JJN

Números complejos en forma Polar: z = r (α)

Módulo |r|: El valor absoluto del vector (hipotenusa).

Argumento α: El ángulo.

4 JJN

Dos números complejos son iguales si tienen el mismo módulo y el mismo argumento.

Números complejos conjugados

Dos números complejos son conjugados si tienen el mismo módulo y

opuestos sus argumentos.

Números complejos opuestos

Dos números complejos son opuestos si tienen el mismo módulo y sus argumentos se diferencian en π radianes.

Números complejos inversos

El inverso de un número complejo no nulo, tiene por módulo el inverso del módulo y por argumento su opuesto.

5 JJN

Números complejos en forma trigonométrica.

A partir de la forma polar es muy fácil pasar a una nueva forma

denominada trigonométrica.

a + bi = rα = r (cos α + i sen α) = r cis α

Multiplicación de números polares:

6 JJN

Division de números polares:

Potencia de un número polar:

Radicación de un número polar:

7 JJN

DERIVADAS INMEDIATAS

Función Derivada

y = c

= 0

y = x

= 1

y = xn

= n xn-1

y = un

= n un-1

y = u v

=

+v

y =

=

v≠0

y = u ± v± w

=

Y=u v

=

DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

Función Derivada

y = ln x

=

y = ln u

=

y = logax

=

=

logae logax =

y = logau

=

=

logae

logau =

y = ex

=

y = eu

= eu

y = ax

= ax ln a)

y = au

= au ln a)

8 JJN

DERIVADAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Función Derivada

y = sen

= cos

y = cos

= sen

y = tag

=

y = cotg

=

y = sec

= sec tag

y = csc

=

y = versin

“versin = 1 – cos ”

= sen

y = arc sen

=

√

y = arc cos

=

√

y = arc tag

=

y = arc cotg

=

y = arc sec

=

√

y = arc csc

=

√

y = arc versin

=

√

“Regla de la cadena.”

9 JJN

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

)

)

)

)

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS (2X)

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ( ⁄ )

√

√

√

Ángulo Seno Coseno Tangente Cotangente Secante Cosecante

-x -sen x cos x -tg x -ctg x sec x -csc x

ÁLGEBRA (EXPONENTES/RADICALES)

√

√

√

) √

√ √

)

⁄ (√

)

10 JJN

Funciones Exponenciales y logarítmicas

Funciones Exponenciales:

La función ) , en la que b > 0, b ≠ 1 y el exponente “x” es cualquier número real se llama “función exponencial” con base b.

Propiedades de los exponentes:

)

2

6

) 7

4 ) 8

Regla de la igualdad: = si y solo si x = y

El número de Euler e = (

) = (

)

= 2.7182818284590…….

Funciones Logarítmicas:

Si la función ) , en la que b > 0, b ≠ 1 y el exponente “x” es cualquier número

real se llama “función exponencial” con base b, entonces la inversa de esta función

) se llama función logarítmica de base b y se denota como , por lo que:

si y solo si

En otras palabras: el logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual

se debe elevar la base para obtener el número.

Propiedades de los logaritmos:

)

(

)

Para cambio de base

11 JJN

Teorema de Rolle:

Si una función es:

Continua en [a, b]

Derivable en (a, b)

Y si f(a) = f(b)

Entonces, existe algún punto c (a, b) en el que f'(c) = 0.

La interpretación gráfica del teorema de Rolle nos dice que hay un punto en el que la

tangente es paralela al eje de abscisas.

Teorema del valor medio o de Lagrange:

Si una función es:

Continua en [a, b]

Derivable en (a, b)

Entonces, existe algún punto c (a, b) tal que:

) ) )

La interpretación geométrica del teorema de Lagrange nos dice que hay un punto en el

que la tangente es paralela a la secante.

El teorema de Rolle es un caso particular del teorema de Lagrange, en el que

f(a) = f(b).

12 JJN

Funciones creciente, decreciente y constante.

Una función y = f(x) es creciente si “y” aumenta algebraicamente cuando “x”

aumenta.

Una función y = f(x) es decreciente si “y” disminuye algebraicamente cuando

“x” aumenta.

Una función y = f(x) es constante si “y” no cambia algebraicamente cuando

“x” aumenta.

Por lo que: “una función es creciente cuando su pendiente es positiva (+), es decir la

primera derivada es mayor que cero, es decreciente cuando su pendiente es negativa

(-), es decir la primera derivada es menor que cero y es constante cuando su

pendiente es igual a cero, es decir su primera derivada es igual a cero”.

13 JJN

Máximos y mínimos

Máximos y mínimos absolutos o globales.

Una función tiene su máximo global o absoluto en el punto x = x0, si la ordenada en ese punto es mayor o igual a las ordenadas de cualquier otro punto del dominio de la función. Una función tiene su mínimo global o absoluto en el punto x = x0, si la ordenada en ese punto es menor o igual a las ordenadas de cualquier otro punto del dominio de la función

Máximos y mínimos locales o relativos.

Una función f tiene un máximo relativo en el punto X0, si f(X0) es mayor o igual que los puntos próximos al punto. Una función f tiene un mínimo relativo en el punto X0, si f(X0) es menor o igual que los puntos próximos al punto.

1. Primer método para calcular máximos y mínimos de una función, principio de

la primera derivada. Regla guía de aplicaciones:

Primer paso. Hallar la primera derivada de la función

Segundo paso. Igualar la primera derivada a cero y se hallan las raíces reales de la ecuación resultante. Estas raíces son los valores críticos de la variable.

Tercer paso. Se consideran los valores críticos uno por uno, y se calculan los signos de la primera derivada para un valor un poco menor que el valor crítico y después para un valor un poco mayor que él. Si el signo de la derivada es primeramente positivo y después negativo la función tiene un máximo para ese valor crítico de la variable, en caso contrario, si el signo de la derivada es primeramente negativo y después positivo la función tiene un tiene un mínimo para ese valor crítico de la variable.

14 JJN

Si el signo no cambia, la función no tiene ni un máximo ni un mínimo para el valor crítico considerado.

Curvatura: concavidad y convexidad.

Diremos que una función es cóncava o presenta su concavidad hacia abajo, cuando a dos puntos cualesquiera, el segmento que los une queda por debajo de la curva. Análogamente diremos que una función es convexa o presenta su concavidad hacia arriba, cuando a dos puntos cualesquiera, el segmento que los une queda por encima de la curva.

Se saca la segunda derivada f ´´(x) y se compara con cero

2. Segundo método para calcular máximos y

mínimos de una función, principio de la segunda derivada.

Regla guía de aplicaciones:

Primer paso. Hallar la primera derivada de la función

Segundo paso. Igualar a cero la primera derivada y resolver la ecuación; las raíces reales son los valores críticos de la variable.

Tercer paso. Hallar la segundad derivada de la función

Cuarto paso. Sustituir en la segunda derivada, en lugar de la variable, uno por uno, cada uno de los valores críticos obtenidos. Si el resultado es negativo, la función tiene un máximo para ese valor crítico; si el resultado es positivo, la función tiene un mínimo para ese valor crítico.

Cuando f ’’ (x) = 0; o bien no existe máximo ni mínimo para ese valor crítico, o este procedimiento no es aplicable para esta función.

Puntos de inflexión

Los puntos en los que la curvatura de una función pasa de cóncava a convexa o viceversa se llaman puntos de inflexión.

Si f ´´(x0) = 0, entonces X0 es un punto de inflexión

Se saca la tercera derivada f ´´´(x0) y se compara con cero

15 JJN

A b