axisymmetric poroelastic fe modeling of intervertebral

12
Iranian Journal of Biomedical Engineering 5 (2011) 21-32 * Corresponding author Address: Mohammad Haghpanahi, Biomechanics Research Lab, Faculty of Mechanical Engineering, Iran University of Science and Technology, IUST St., Hengam Ave., Resalat Sq., Tehran, Iran Tel: +98 21 77240540, +98 9123189581 Fax: +98 21 77240488 E-mail: [email protected] Axisymmetric Poroelastic FE Modeling of Intervertebral Disc for Investigation of Lumbar Spine Biomechanics M. Nikkhoo 1 , M. Haghpanahi 2 , J. L. Wang 3 , M. Parnianpour 4 1 Ph.D Candidate, Biomechanics Research Lab, Faculty of Mechanical Engineering, Iran University of Science and Technology, Tehran, Iran, [email protected] Institute of Biomedical Engineering, National Taiwan University, Taipei, Taiwan, [email protected] 2 Associate professor, Biomechanics Research Lab, Faculty of Mechanical Engineering, Iran University of Science and Technology, Tehran, Iran 3 Professor, Institute of Biomedical Engineering, National Taiwan University, Taipei, Taiwan, [email protected] 4 Professor, Industrial and Management Engineering Department, Hanyang University, Ansan, South Korea Biomechanics Research Lab, Faculty of Mechanical Engineering, Sharif University of Technology, Tehran, Iran, [email protected] _______________________________________________________________________________________ Abstract Prediction of the relationship between different types of mechanical loading and the failure of the intervertebral disc is so important to identify the risk factors which are difficult to study in vivo and in vitro. On the basis of finite element methods some of these issues may be overcome enabling more detailed assessment of the biomechanical behavior of the intervertebral disc. The objective of this paper is to develop a nonlinear axisymmetric poroelastic finite element model of lumbar motion segment and show its capability for studying the time-dependent response of disc. After comparison of the response of different models in quasi-static analysis, the poroelastic model of intervertebral disc is presented and the results of short-term, long-term creep tests and cyclic loading were investigated. The results of the poroelastic model are in agreement with experimental ones reported in the literature. Hence, this model can be used to study how different dynamic loading regimes are important as risk factors for initiation of intervertebral disc degeneration. Keywords: Spine; Finite Element; Intervertebral Disc; Porous Media Theory; Time-Dependent Response © Copyright 2012 ISBME, http://www.ijbme.org DOI: 10.22041/ijbme.2011.13138

Upload: others

Post on 24-Feb-2022

6 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Iranian Journal of Biomedical Engineering 5 (2011) 21-32

*Corresponding author

Address: Mohammad Haghpanahi, Biomechanics Research Lab, Faculty of Mechanical Engineering, Iran University of Science and Technology, IUST St., Hengam Ave.,

Resalat Sq., Tehran, Iran Tel: +98 21 77240540, +98 9123189581

Fax: +98 21 77240488

E-mail: [email protected]

Axisymmetric Poroelastic FE Modeling of Intervertebral Disc for Investigation

of Lumbar Spine Biomechanics

M. Nikkhoo1, M. Haghpanahi2 , J. L. Wang3, M. Parnianpour4

1 Ph.D Candidate, Biomechanics Research Lab, Faculty of Mechanical Engineering, Iran University of Science and Technology,

Tehran, Iran, [email protected]

Institute of Biomedical Engineering, National Taiwan University, Taipei, Taiwan, [email protected]

2 Associate professor, Biomechanics Research Lab, Faculty of Mechanical Engineering, Iran University of Science and Technology,

Tehran, Iran

3 Professor, Institute of Biomedical Engineering, National Taiwan University, Taipei, Taiwan, [email protected]

4 Professor, Industrial and Management Engineering Department, Hanyang University, Ansan, South Korea

Biomechanics Research Lab, Faculty of Mechanical Engineering, Sharif University of Technology, Tehran, Iran,

[email protected]

_______________________________________________________________________________________

Abstract

Prediction of the relationship between different types of mechanical loading and the failure of the

intervertebral disc is so important to identify the risk factors which are difficult to study in vivo and

in vitro. On the basis of finite element methods some of these issues may be overcome enabling more

detailed assessment of the biomechanical behavior of the intervertebral disc. The objective of this

paper is to develop a nonlinear axisymmetric poroelastic finite element model of lumbar motion

segment and show its capability for studying the time-dependent response of disc. After comparison of

the response of different models in quasi-static analysis, the poroelastic model of intervertebral disc is

presented and the results of short-term, long-term creep tests and cyclic loading were investigated.

The results of the poroelastic model are in agreement with experimental ones reported in the

literature. Hence, this model can be used to study how different dynamic loading regimes are

important as risk factors for initiation of intervertebral disc degeneration.

Keywords: Spine; Finite Element; Intervertebral Disc; Porous Media Theory; Time-Dependent Response

© Copyright 2012 ISBME, http://www.ijbme.org

DOI: 10.22041/ijbme.2011.13138

91-11، 1931 بهار، 1، شماره پنجم، دوره زيستيمجله مهندسي پزشکي

دار مکاتباتعهده

: كدپستي، کيومكانيقاتي بيشگاه تحقيآزما ،کيمكان يمهندس، دانشكده رانيعلم و صنعت ا، دانشگاه ابان دانشگاه علم و صنعتيابان هنگام، خيدان رسالت، خيم، تهراننشاني:

31331-31811

[email protected]پيام نگار: ،02344210188 دورنگار:، 02321382183، 02344210110تلفن:

11

ای برای بررسي مدلسازی المان محدود تقارن محوری پروالاستيک ديسک بين مهره

رفتار بيومکانيکي ستون فقرات كمری

4محمد پرنيان پور، 9جا لين وانگ، *1محمد حق پناهي ،1محمد نيکخو

تهران، علم و صنعت ايراندانشگاه ، مهندسي مکانيکدانشکده ، یدكتردانشجوی

وانيپه، تايوان، تايتو مهندسي پزشکي، دانشگاه ملي تايانست[email protected], [email protected]

تهران، علم و صنعت ايراندانشگاه ، مهندسي مکانيک،دانشکده دانشيار1

[email protected]دانشگاه ملي تايوان، تايپه، تايوانانستيتو مهندسي پزشکي، ،استاد3 ، انسان، كره جنوبي، هنيانگدانشگاه ، مهندسي صنايع و مديريتدانشکده ،استاد4

[email protected]دانشکده مهندسي مکانيک، دانشگاه صنعتي شريف، تهران

_______________________________________________________________________________________

چکيده -بسيار مهم استتعوامل ريسک كه برای شناسايي -ایضايعات ديسک بين مهرهانواع بارهای مکانيکي با بيني نحوة ارتباطپيش

هتای المتان محتدودروشهای جسد انسان بسيار مشکل است. نمونه بر روی موجودات زنده يا بر روی صرفاً با انجام آزمايش

لتاا هتد .از ديسک حاصل كنتدتری را شود و رفتار بيومکانيکي دقيقدر مطالعات ياد شده محسوب يمناسب حلراهتواند مي

اصلي اين مقاله، استخراج مدل المان محدود تقارن محوری پروالاستيک غيرخطي يک بخش حركتي ناحيه كمری ستون فقترات

مختلتف نتايج مدلهای رفتاری ةبر مبنای آن به مطالعه رفتار بيومکانيکي وابسته به زمان آن پرداخت. پس از مقايس تا بتواناست

هتای مدت، خزش بلند متدت و بارگتااریخزش كوتاههای شريح مدل پروالاستيک، نتايج بارگااریو ت در تحليل شبه استاتيک

بيني مدل در تحقيق مبين صحت پيش منابعهای آزمايشگاهي موجود در . تطابق مناسب نتايج با يافتهشده است ارزيابي ایچرخه

طالعته تتوان بته ممتي ،گااری شدهاين مدل صحه ةبرپايراين . بنابوابسته به زمان يک بخش حركتي استه رفتار بيومکانيکي ئارا

پرداخت.ای ديسک بين مهره تخريبيند اهای ديناميکي مختلف به عنوان عوامل ريسک در شروع فرنقش بارگااری

رفتار وابسته به زمان ،های متخلخلتئوری محيط ،ایديسک بين مهره ،المان محدود ،ستون فقرات :واژگاندكلي

© Copyright 2012 ISBME, http://www.ijbme.org

DOI: 10.22041/ijbme.2011.13138

(5!��6&����;����

1Biot��������������������������������������������������������������������������������2Simon et al.���������������������3Shirazi-Adl et al.������������������������������������������������������������������ 4Wu et al.

5Lee et al�������������������������������������������������������������������������6Laible et al. ����������������������������� 7Iatridis et al. �������������������������������������������������������������� 8Natarajan et al.

9Ehlers et al. ������������������������������������������� 10Schmidt et al.

�! ���7�

����(��6 7�8��89(�� �:������;�<=�8> ��; ����13�� �

.3�8� ?�� @<'�� �� "�� ���� A��� �"� <B9�� C�?D� ; �

� E &&'�"�� ��� C��� �FG� ���� �� ;�D�: ��� 8H� �$��

� ; ����IG� �J5�� ; �B (���"���"�� K(J'��(7L�

�@��(��: �B<���$��"! ���(���8��"!J ��E � H�"D��BJD

!7?G��(���� &&'�� ���7�� �; �����"!7?G�"��������"

"����� �� �� 8B7��� �%� ��� ����� "G(!���= �� MN�� ; �

8��$� �"G(!���!������O� ��� � ���� �� ;���G� ; �

���=]*[LP�>�����$�: ���J5�P��� �7�����BJD�"� &&'�

Q�%���������!�<���� B ��$��MN����R'��; �"S?9���

��"�=�:�T<��Q�%�: ��"����@��(��:BO � �;������ ��

;���GU'�� ��� �$V� ; ��� �� �� � A��� $�� ?��G�E =�>

W ��X����� L G��� "� ���� ; �7��� :BO � ;���� � DP�

������ �� ��!�<�� �� B �� R'�� � �7� �� 8���� E &&'�

Q�%���� ��L8�YJ��: ���;� $�������8���8��$��F��� 7

���D�; ����IG�$��8�����"� �9�Z�B5��; ���(�[ \B�

��������.��� X�P������ :�� #J �� E � H�$�� "7 �� ;�

�;��]D� ��Z�B5��; �< ^��F&��"�������"!� !��; ����

�"!� � �F �$%� � A��� �� _ O������� � ���$� �(9(��;�����

8�(<�� ;������ @!��� � J�� � J��� �J9� ; �� L�:<�� 8�

8`7� �� ;$ J���� �(a��;$ �8'�� ;���� ; �;��]D����7

"�� ���(����@>�`� ��"�E �� X�� ����7 �� ���7� � � L���� �]�

b �� "�����D� $�� ;� $� ������ ��BJ�� "� &&'�� ; �P�

8��$� $�� "�5�� "����� 8�� ��� �(� ; �B� �O� "����; �

����� :�� ; �!J �� ;$ J���� �� #� !�(�� E �� X��;�

�C(X�����=����� L�� <���;$ J����;���� �7c��:�������'�

E��&O��(B��"B=�>�F5����; ����� ����@`N�8���8��$��F�

� $ d%� #B�V�� �� �� � J���7����]1[� L� :�T<��� BO�

�����:��#J ��� �$�8��8BJ���;$ J����"������;�� � ��

8`7�#B�V�(!J ��;� BO��b�����7�;$ ����]+�,[�L�: �

� 8=� ���� "� >� ��� $�� ;� J�8BO �F �$%� ; ��� � ��� �

���=�8=� ����8`7� ;�����8�� ���� ; �BO �� "�N��� U ��7� ;$ �

C��ed�[(\������:��; �!J ���� �����$��"`=����;�

"���� 9���b ��$ O�6N����f��;$ J����������(��(7�L�;���

�����:��#J ��"BN��b g�"������O�;��@���$��b ����(7

"��h� ��% ����� ��"�(�8�����(7������ �G�:�L�: ��� ��

����� :�� ; �!J �� �BJ�� 8=� ���� i5���8�� � �� ;�

�(7�8BO�D��a�����;$ O���j��BJ��# �E�(��L�$��;�����

�#J ���� �O��ed�8�<9�$������; �BO ��;$ J�������� &&'�

�����:�;���;�(k��$��U'������@5�5B��; ��������]3[�L��

#B�V���G� ;�(k����-���� 8= �a�� $�� 8BO�DP�E( �*����

� b �*4,*�����-�F��� !<�� �� �(< �� � �� :���1]. [���

� b �*4/3�#J �� ;$ J���� ;����:�� ; �������� ;���� fB��

� ����=�b� ��� h��5B��� ;���� "����� �(� N� $�� �%� ��� 8=

�(�� ��7� �� fB��� "!� � �� L�E &&'�� ��� 8����� ��� b��� : �

���D��;$��7��a��"f�B5��; ���� !<����b��+]2[�������

��� !<�,]/[��� !<�� �� "�� �3

]4[��� !<�� �� @`�� �.]*0[��

��� !<�� �� l ���� 2]**[��� !<�� �� � 9�� � �� �/

]*1 [��

��� !<�� �� $����4]*+[�� �<7�� ���� !<�� �*0

]*,[���<��

�7� ����� L�(9�� ��: ��� E &&'�� $�� "<=� ��������7� � A���

��� #J �� ;� B �? �� � BO���b `N� ��� #B�V���G� b��� �

;��]D� ��"!� � ��; ����=�"��������� L�����"� >����: �

;��]D� �� �� ��7� 8S���� ; ����� 8=8'��Z�B5�� ; ��;��]D

�����;��]D� �� ��� ���� m B�� �� ���� [ � ; ������ 8�

���%�����L�����:��#J ��� �$�8��8BJ����� BO��"O�n�$�����;�

�b `N;��]D� ���; 8�j�;��89(�������7���� ���E � H�

?������j��������"��������L��

�#B�V���G�b���# �h��5B���8� &��: ��"����C����]�

�"X�d���;��]D�8'�;��]D� ��b `N�����%Z�B5��; ��

���� �� G���P��E��&O��(B��� �$�8��8BJ����� BO����(B���%���

GF� "����=�� �%� 6`�� 8�� ��� 8��� XP�;��]D� �� F&��; �

�O� o��7� ��� #J �� @��(�� ��(��� 8�� Z�B5�� "!� � �����

Q �5�������:��#J ��;�����GL��

��

© Copyright 2012 ISBME, http://www.ijbme.org

1

������p<=�8p> ��:!���"�

����:p��#pJ ��"�(� p�%���(������(9(��69��������

�"` �&��8����� ��M� X��b���"������ ������<=�8> ��;�

������_ <&BpJ��#pJ ��o pf���

����$���8��(Bp���#p �E�(p�

���8p9(�� p�

�q?9�Z\�

��Qp����8�

��� p������;�

�����q?p9�"�(� p�%�$��8pBO�D���b�p��"�=�r�n

����

��� &�� 8� ��� ;�('�� �� &�� b��� ��� ��7� �� 7�� 8T� �j

�U ��7��]�

��� ;�('�

�:�T<�

�� �9

�Z�B5��; ��5��@�'����9

�;�

��sB�� ;���� b��� 8`���� �� " A� 9� ; ��sB�� ;���� ��� 8`���

11Pore Fluid Pressure

��

������p<=�8p> ��:!���"�

����:p��#pJ ��"�(� p�%���(������(9(��69��������

�"` �&��8����� ��M� X��b���"������ ������<=�8> ��;�

������_ <&BpJ��#pJ ��o pf���

����$���8��(Bp���#p �E�(p�

�7�h��5B���;��L���8p9(�� p�

"H���8'f��8���`J��@!7�"����*,��q?9�Z\�

��t1�u��Qp����8�

���p����� p������;�

�������q?p9�"�(� p�%�$��8pBO�D���b�p��"�=�r�n

���#J ��;�('���� &��"�����b��L4-L5��

��� &�� 8� ��� ;�('�� �� &�� b��� ��� ��7� �� 7�� 8T� �j

�7�;$ J�L�U ��7��]�

" A� 9� 8=� �7� Z ���� E�(�� : �� 8�� ;$������ ;�('�

������ �(9�� L�:�T<�

" �B��� P'f�� ���� �9

�Z�B5��; ��5��@�'����9

� ;�('�� �� &�� ; �� <��� $�� ;�/���D�;�

��sB�� ;���� b��� 8`���� �� " A� 9� ; ��sB�� ;���� ��� 8`���

Fluid Pressure���������������������12Galerkin Weighted Residual Method

"��� � \��8�� X��8��89(�� �������p<=�8p> ��:!���"�

����:p��#pJ ��"�(� p�%���(������(9(��69��������

�"` �&��8����� ��M� X��b���"������ ������<=�8> ��;�

�7�8BO�D��a����L������_ <&BpJ��#pJ ��o pf���

���8p��b�p��;$ p�����$���8��(Bp���#p �E�(p�

�����7�h��5B���;�

"H���8'f��8���`J��@!7�"����

�v� <7�; �t*�u��

�:p��#J ��"������ ������b���"�=�r�n���p��

�����q?p9�"�(� p�%�$��8pBO�D���b�p��"�=�r�n

�#J ��;�('���� &��"�����b��

��� &�� 8� ��� ;�('�� �� &�� b��� ��� ��7� �� 7�� 8T� �j

�����:��#J ��$��"<��"��������;��7�;$ J

" A� 9� 8=� �7� Z ���� E�(�� : �� 8�� ;$��

�"H���P'f��8���`J������� �(9�

�;�`O�" �B��� P'f�� �

�L�Z�B5��; ��5��@�'����9

� ;�('�� �� &�� ; �� <��� $�� ;�

��sB�� ;���� b��� 8`���� �� " A� 9� ; ��sB�� ;���� ��� 8`���

�7��� fB��L��

Galerkin Weighted Residual Method

"��� � \��8�� X��8��89(�� �

����:p��#pJ ��"�(� p�%���(������(9(��69��������

�"` �&��8����� ��M� X��b���"������ ������<=�8> ��;�

L4��7�8BO�D��a���

���� p�� p���%�o �7���8p��b�p��;$ p�

:��#J ��:�� ���> J�����

"H���8'f��8���`J��@!7�"����

�7�;$ J����"B=�>�L@!7��v� <7�; �

�:p��#J ��"������ ������b���"�=�r�n

*u-������q?p9�"�(� p�%�$��8pBO�D���b�p��"�=�r�n

�<=�8> ��"B=�>��

1u-��#J ��;�('���� &��"�����b��

��� &�� 8� ��� ;�('�� �� &�� b��� ��� ��7� �� 7�� 8T� �j

�����:��#J ��$��"<��"����

" A� 9� 8=� �7� Z ���� E�(�� : �� 8�� ;$��

�b ��� �9�"H���P'f��8���`J�

> �� $��� :�P�8BJ���> �P�

�7�8BO�D��a�����b �L

����� :�� #J �� ;�('�� �� &�� ; �� <��� $�� ;�

��sB�� ;���� b��� 8`���� �� " A� 9� ; ��sB�� ;���� ��� 8`���

�@5�5��� �Ot�@!7+�u�7��� fB��

Galerkin Weighted Residual Method

"��� � \��8�� X��8��89(�� �

�:�T<�����:p��#pJ ��"�(� p�%���(������(9(��69��������

�����"` �&��8����� ��M� X��b���"������ ������<=�8> ��;�

�#J �L4-L5

���� p�� p���%�o �7

:��#J ��:�� ���> J�

�� &��8��"H���8'f��8���`J��@!7�"����

�7�;$ J����"B=�>

�:p��#J ��"������ ������b���"�=�r�n

"�����L��

�@!7t*

�<=�8> ��"B=�>

�@!7t1

��

��� &�� 8� ��� ;�('�� �� &�� b��� ��� ��7� �� 7�� 8T� �j

�����:��#J ��$��"<��"����

" A� 9� 8=� �7� Z ���� E�(�� : �� 8�� ;$��

�b ��� �9

> �� $��� :�P

����$%�7�8BO�D��a�����b

����� :�� #J �

��sB�� ;���� b��� 8`���� �� " A� 9� ; ��sB�� ;���� ��� 8`���

�@5�5��� �O

��

��g��� �!� ��

Galerkin Weighted Residual Method����������������13ABAQUS

�����8p=��p���8p��������p���O ��# �;�

����pa����;��p���]�

��� 9��

�����Pp G��p��#Bp�V���G�;�(pk�

�l �� ��@�'��8�����(�

��p�����7�o `7��E��f>�@���b �� ��8=��$���w��"!B�V��L

��=�>���� 9�$ O���O��s�� ��Q� �B��@5�5B��; �X'����

���(��"����PX����8���

�����p=�>��$��p���; p&��U�����$��E� `��;�(k��: ������� fB��

��8pX�����

( )1 1 1 0n n n n− ∇ + − + − − =��

��

� �@5�5�� Q �Hk�

"�������

�**���f�

b ��$ O������

�x��� $�� �� fB��� �

��D��sB��� �j�:BO�D�a������

EV� ���$���

�b�������= >

"������

�l �� �

� �� �� �� �

M 0

0 0

��� F �� �4�-.�

��������.��H�������A�6���������g�

ABAQUS ��������������������������������������������������

�����8p=��p���8p��������p���O ��# �;�

�����b �� ����7�o `7��@5�5B��;� B ��L����pa����;��p���]�

�b ��$ O�����yY�������O ��: ��"�N���U ��7�:BO�D��� 9��

�����Pp G��p��#Bp�V���G�;�(pk�

�l �� ��@�'��8�����(�

��p�����7�o `7��E��f>�@���b �� ��8=��$���w��"!B�V�

��=�>���� 9�$ O���O��s�� ��Q� �B��@5�5B��; �X'����

���(��"����PX����8���

�����p=�>��$��p���; p&��U�����$��E� `��;�(k��: ������� fB��

���b p��$ pO��t��PpX���1�u��8pX�����

) ( )1 1 1 0T

s s sn n n nσ ρ ρ− ∇ + − + − − =

f f fn p n n nρ ρ∇ + − − =b��

= −q v u��

� ��� 9� $ O� ��� F��n�� �@5�5�� Q �H

� ��� 9�$ O�"� �jb��;���"���

@5�5��"� ��� �O �

��b ��$ O�K B7fv�b ��$ O�����

����L�x��� $�� �� fB��� �

��D��sB��� �j�:BO�D�a����

@5�5��� �O���" A� 9�;��$%�89���8��uEV� ���$�

�X�����P��b�������= >

l ��X���Pt,u�"����

����E S?9���U�����: ��h��5B��P�<9��l �� �

� �� � � �� �� �� � � �� �� �� � � �� �� � � �� � � �� �

0 0UM 0+ + =

0 0 C CPUP PP

��

�� �

z(= ��� ;� A�� ��?O�*+� F �� �

�������������.��H�������

��������������������������������������������������

���5��6��8&�3���8���������8p=��p���8p��������p���O ��# �;�

�����b �� ����7�o `7��@5�5B��;� B �

�b ��$ O�����yY�������O ��: ��"�N���U ��7�:BO�D

�(7�b <���;$ J�������� ��L�����Pp G��p��#Bp�V���G�;�(pk�

"���8B�(G�; ��l �� ��@�'��8�����(�

��p�����7�o `7��E��f>�@���b �� ��8=��$���w��"!B�V�

��=�>���� 9�$ O���O��s�� ��Q� �B��@5�5B��; �X'����

"���(9�� %�L]����(��"����PX����8���

�����p=�>��$��p���; p&��U�����$��E� `��;�(k��: ������� fB��

��PpX���*�u���b p��$ pO��

���L��

(11 1 1 0

s s sn n n nσ ρ ρ−

− ∇ + − + − − =b k q u

1

f f fn p n n nρ ρ−∇ + − − =b vk q �

( )f

n= −q v u�

� ��� 9� $ O� ��� F��

��� ��� 9�$ O�"� �j

���� 9�$ O�K B7p�@5�5��"� ��� �O

��b ��$ O�K B7

"�� � ��� ��� "����� ��������

:=��D�"�$����� �*1��� ����D��sB��� �j�:BO�D�a����

@5�5��� �O���" A� 9�;��$%�89���8�

�h��5B���"B5��; �J �� �"����(7�

�8��#B�V���G����'��� <��� ��@!7l �

����E S?9���U�����: ��h��5B��

�������%�8<<H����@ef��8�L��� �� �� � � � � �� �� � � � � �� �� � � � � �� �� � � �� � � �

0 0 K K FUU UP U+ + =0 K

U

PP P

�� �

���� $�� ;���� @>� ;���z(= ��� ;� A�� ��?O�

������������� �������

�������������������������������������������������� 14 Transversal Plane

���5��6��8&�3���8�������:��#J ������8p=��p���8p��������p���O ��# �;�

�����b �� ����7�o `7��@5�5B��;� B �

�b ��$ O�����yY�������O ��: ��"�N���U ��7�:BO�D

�(7�b <���;$ J�������� �

U'��#� !��b(��"���8B�(G�; �

��p�����7�o `7��E��f>�@���b �� ��8=��$���w��"!B�V�

��=�>���� 9�$ O���O��s�� ��Q� �B��@5�5B��; �X'����

8��b ��$ O����"`J��"���(9�

�����p=�>��$��p���; p&��U�����$��E� `��;�(k��: ������� fB��

��� 9�$ O�;���t��PpX���

�"����t�PX���+�u���

)1 1 1 0s s s

n n n nσ ρ ρ− ∇ + − + − − =b k q u��

0f f f∇ + − − =v�

� ��%� ��� 8=�s�� ��� 9� $ O� ��� F��

� �;� ]G{(f��Q �H�s

���9��>��u������� 9�$ O�K B7

��b ��$ O�"� �jfv����b ��$ O�K B7

"�� � ��� ��� "����� ����

:=��D�"�$����� �

@5�5��� �O���" A� 9�;��$%�89���8�

�h��5B���"B5��; �J �� �

�8��#B�V���G����'��� <��

('�v�����E S?9���U�����: ��h��5B��

�������%�8<<H����@ef��8�� � � �� �� � � �� �� � � �� �� � � � � �� �

K K FUUU UP U+ + =P F0 K PPP

���� $�� ;���� @>� ;���

������7��� fB��L��

������������� ��

��

Transversal Plane

�! ���5��6��8&�3���8�������:��#J �

�����b �� ����7�o `7��@5�5B��;� B �

�b ��$ O�����yY�������O ��: ��"�N���U ��7�:BO�D

�(7�b <���;$ J�������� �

U'��#� !��b(��

��p�����7�o `7��E��f>�@���b �� ��8=��$���w��"!B�V�

��=�>���� 9�$ O���O��s�� ��Q� �B��@5�5B��; �X'����

8��b ��$ O����"`J�

�����p=�>��$��p���; p&��U�����$��E� `��;�(k��: ������� fB��

��� 9�$ O�;���

�"����

t*u��

t1u��

t+u��

� ��%� ��� 8=

� �;� ]G{(f��Q �H

���9��>��

��b ��$ O�"� �j

�q�"�� � ��� ��� "����� ����

"N ��:=��D�"�$����� �

�;�t@5�5��� �O���" A� 9�;��$%�89���8�

�h��5B���"B5��; �J �� �

�8��#B�V���G����'��� <��

� %� L('�

�������%�8<<H����@ef��8�

t,u��� �� �� �� �

���� $�� ;���� @>� ;���

������7��� fB��

© Copyright 2012 ISBME, http://www.ijbme.org

(5!��6&����;����

15McNally et al.

A

��

���@!7t+u-��� <��/���D�;������7�8BO�D��a�����;��; ��5�

�����:��#J ��Z�B5��;�t���" A� 9�; ��sB��;�������8`���

@5�5��� �O��sB��;����b���8`���u��

������$V@�'��8=��(7��={��� J>�?�������������

�" A� 9���F�����?��; �`�������7�� �� <���89��8����

�� A���7��o(<A�� ��b���� �������*1,00��� <��/���D�;�

F�� ������ $�� @&BJ�� ��7� � � �� "� $��� �� A��� ;����

� �� fB��� ;���� E `� '��7]*3[L����� �J5�� � D� ��

�#J ��"!� !�(��� BO��"�����8��;�('���� &��;$ J���

�����:��8B���G�;� �O�"!� B���8`7�;��]D� ��b `N����;�

�7� L� ��6� ���� � &�� M&'�;�� �� ���B�"� D��$�� E� fB�

��� G#B�V��w �� �#B�V�� b��� ; ��B��#B�V���G� �

���� ��7� x��?D� L� ��b��9�t*u���&���8BO�D���; ��B��� G

�69����$�]+�2�*1�*,[���#B�V��w ���#B�V��b���8����

#B�V���G-�;�B��� G� E �� X�� $�� lG� 8=��: �� ��

M&'��7���"G�������"`� ���m B���-����%�������7L�: ����

7� @�'�8`� ���D� F �$%� �� M� X�� �#� B��#���� "� �

��� !<�*3� �O�� �� ��;*000��#J ��"� N(O�RX��8��:�(�

:������#J �� b(n� ��� ��7� � A �� F��� |��7� b <��� ;�

� ��D�8`� '��L�@!7������7������� ������(<�t,u��8J &�

"!� B��� ;��]D� �� ��� ���%� ����� m B������b��� 8�� ��

� "� �� �$%� m B�� �� ��7� � � ;� B �t#�"� ����

��� !<�]*.[�u"��� �����.��

��

��

��

��

��

��

�b��9t*u-��b���8�����69����$��8BO�D���; ��B��� G�� � &�

�#B�V���G���#B�V��w ���#B�V�]+��2��*1��*,[��

;�(k�� ��B��� G�� � &�

Elastic

NP E=1 MPa�=0.1

AF E=2.5 MPa�=0.1

EP E=20 MPa�=0.1

Hyperelastic NP C10: 0.12MPa C01: 0.09MPa

AF C10: 0.56MPa C01: 0.14MPa

Poroelastic

NP E=1 MPa�=0.1 Porosity: 0.78

Permeability: 3E-16 m4/Ns

AF E=2.5 MPa�=0.1 Porosity: 0.71

Permeability: 3E-16 m4/Ns

EP E=20 MPa�=0.1 Porosity: 0.80

Permeability: 7E-15 m4/Ns

��

���� i5���8=�� �� ;�('�� �� &�� ���'�� � <��� b��

�� �� "����� b����"�� �(���� ��7� ��� ��� m B�� ���(�

FG�"�(`N�@� N��>�������"� �� �$%�E �� X��"����=�L� �

� Q� ��� K 5B��;��]D� �� ��� ��B��� G8`7� ; ���#� B��

�� �� ;� B �� ; ������� #B�V�� ; ����� �(T<�� ;�

FG�?��#B�V��w �����"�(`N�@� N�_ B`J��"��8S����"����=L��

��

� ��@!7t,u-�����"!� B���;��]D� ��������%������m B��8J &�

"� �� �$%�m B�� ����7�� �;� B ��b���8���

��

B!�� ��P��� �$� 8�� 8BJ���� � BO�� 8=� ���� : �� 89(�� @� N

�����:��#J ��;� ���@� N�#B�V��w ����#B�V��; ����

�(�� ���(5�� 89(�� L� �]�8=� �(X� <���7� �� 7�|���a���� ;���

����� :�� #J �� "�N��� U ��7� :BO�D;����$ O� ��� $�� "`=��

"�� �� 9� �� b �� �f�� ;$ J���� ��� ���(��7 ���b��� �

��G;��]D� �� ��� #B�V�� =� "!� � �� ; ���(�� ���(� ��L

© Copyright 2012 ISBME, http://www.ijbme.org

������������� ���������������.��H�������A�6���������g��� �!� ��

16Short-Term Creep����������������������������������������������������������17Tyrrell et al.���������������������

h�

1�-*�-�� �(=�x?�;��]D� �E��*.��

�"����� ;���� ��7� � � ;�('�� �� &�� ���'�� � <��� b��

���9� �E��� � �(=� "7?� ;��]D� �� ������ ��� b��� �'�

8`7"� �� �$%� E �� X�� ���� $�� "! � ;$ �in vivo�

�(9(�-��8=F��� !<����b��*2]10[��� A����������-���� fB��

�7�L�: ����F �$%��"� 57��;������8=�� ��t� ����(9����

U�(B�� ������ u���� ��7� � A��|����� "����� �'�� [ 57�

�� BJ �� �� >��"�`�������� ��9� 8�,0�� ��D(�=E��� 8��10�

� 8��� 8&N���B7���� E��� 8�� lw�*0�� 8&N��%��;��� ��� ��

�:�$��B7�]D��(��8��� �T<��"��"N �� �� BJ ��E����� ��L

�$����� ��F �$%�:>���MN��;�D����N��N�F� =���?�� ��%

� "����� [ 57�� ���7� L8`7� ;����x?� �J�� ;$ �

� �(=�� ��������;� �O�;���� ���7�� �E��/00��;����:�(�

$ �v�� ��������;� �O�;����:�T<����;��]D� �,,0��:�(�

$ ��;���v������;������ ��7�8BO�D��aL��

� ����� : ��RX�� ;��� ��� ��(�! � � �O� E�(�� 8�

"� N(O�� ����L4�� b <�����7� L����7� � � ;��]D� �� b <��� �

t� @!73� u;$��� U ��7� ��7� �� �%� @�'�� ;���� b��� ��L

;$��� U ��7�" A� 9� �(9�� ���� @� 7� b������ ;�('�

�� �9��(9��:�T<����;�('���� &��U����b ��� �9

��$%�> �� $��� :�� b �P�8BJ���;�`O� 8> ���8'f�� �

�(���" �B��L

���@!7t3u-�8`7����b���8����7�b <���;�('��;��]D� ��;$ �

E���� �(=�x?��

�����b <�����9P���f��$������F �?O���x?�;��]D� �

�8�/00�$ �����:�(�v��"� �$*��Q7�# �E�(��8����8� y

� b <���7� L� ;���� lw�/00�� ;���� :�(�*100���� y� 8� y

�7�8B7���8��L��

$ �����:�T<�v��"n��;������ �*��# �E�(��8�����8� y

"f���Q7���$�����/00��8��:�(�,,0�����O �@�&��:�(�

� ;���.00�� ���&�� ��� 8� y,,0��7� 8B7��� 8��� �� y� :�(��L

F�� ��M� X������'��� <���b��@�'����7�� �;�����7���

B������:��#J ��;�('��" A� 9�m�;�L4-L5��h��5B��

���7�L�����(9(��E �cn�� ��M� X�6� ����M&'�]*1[��#

�8> �� E��s�� $�� "7 �� E��&O� �(B�� o f���� E��s�� �(�

� ;�<="�� ��������(7�"�� }�O� �]�� �����?� G� # � �(7

� ;�('�� " A� 9� ��7� � � F �$%� ��� �N� E��s��#J �

����� :�� ;�L4-L5����� L����(<�� ��7� � � � � &�� @ �`�� �

� @!7t.u�J &�P���� #B�V���G� ���'�� � <��� b��� m B�

�m B�P�� X���F��� !<����b��]*2[�"��� ���������L�� 7

� �={�8�� �`J�� �N� F� =� ����� E�(�� 8�� m B�� 8=� ���

��7������ �$�����t�F �$%���(��[ 57���N�:�� �*233�

"��B�������(���uL��

���@!7t.u-�F �$%������'��� <���b���m B��8J &���������������������

in vivo�E���� �(=�x?�;��]D� �����b������D��

� $�� ���� 8=� �(�� �%� :`�� m B�10����� y� ;��]D� �� 8&N�

�#B�V���G�b��32~0�FG�����N�F� =�����"��"����=|�

�� ���D� F �$%� ��� ���&�� : �� 8!�%� b >� ���>� b�.+~0�

������7�x��?D������L$ ����v��� <���b���m B��;������ �

� ���>� ���'�04~0����� ��7� x��?D� m B�� $�� �B��� ����

�F �$%in vivo����� L����o(H(��: ��8=��J� >����: �

� ��� �(9(�� ; ����� "��6� ������� ��� ?�� M&'�

"���(7]*1[�L> ��"����� �O�F �?O�� �P��;���>� ��8BJ�

"���=� �� ��� ��� ;�B��� ��D$ �� ;������ �� �$ �� ��� ��(�|�

© Copyright 2012 ISBME, http://www.ijbme.org

(5!��6&����;����

18Long-Term Creep

i

�: ��$�� ��B��� G�:�����b������� J! �U ��7�b <���@���8�� ��

�;����(����� ��=�L������$V�8=��(7��={�� �O����=�8O H�

� "��(�t�$��� ��� @5�5�� � �O� ��(<�� 8O H�� � � u� �s������j

�@�'�� � �$� F �?O�� 8�� ���� �� ��!�� � A �� m B�� ��� "�(J'�

�7��A���L"��b >�������#B�V���G�b���8=��O�D�8AB����(�

"����7�� �;�('���� &��#J ��� �$�8��8BJ����"�=�� BO�����(�

:�����;��]D� �����;�FG����E���� �(=�x?�; ��"����=L��

��

1�-1�-�E�������x?�;��]D� �*/��

���7�� �;�('���� &�����'��� <���b��� �;����@�'����

��E��������"7?�;��]D� �����������b����'��"�����;���

8`7���9�"� �� �$%�E �� X��$���� ��"�5��;$ �in vivo�

�(9(�-��8=F��� !<����b��]*2[������� A�������-���� fB���7L��

� : �E��� 8`� �$%�� "� 57�� ;��� ��� $��� 8� `7� # �� ����

�������tU�(B�������� ����(9�����u�;('��8���������7�� A��

�8=*.��� BJ ���� �������/�����(��� ��������: ��b(n���

1,���`y����O��: ���N���?���� ���7����� L8`7�;����;$ �

� �� ������ ;� �O� ;���� ���7� � � E������� x?� �J�/30�

(�$ ��;����:�v�� ��������;� �O�;����:�T<����;��]D� �,,0�

$ �� ;���� :�(�v��7� 8BO�D� �a�� ��� ;������ �� L�8�� ����� : �

� ����� " V �� RX�� ;��� ��� ��(�! � � �O� E�(�L4��b <��

���7�L�b���;��]D� ��b <��� �t�@!72�u;$���U ��7�����b��

;����� �� �%� @�'��7� L� 8����� b <��� ��9��x?� ;��]D� �

� 8�� �f�� $�� ���� F �?O�/30�$ �� ��� :�(�v�� "� �$*��8�� ��8� y

� b <��� Q7� # � E�(��7� L� ;���� lw�/30��;���� :�(�

32.00��� ��"N ��8� y� L�"n� �;������ �� �$ �����:�T<�*���8� y

"f���Q7�# �E�(��8������$�����/30��8��:�(�,,0��:�(�

����O �@�&�E���8��1//00�����&�����8� y,,0���� y�:�(�

�7�8B7���8��L��

��

���@!7t2u-�8`7����b���8����7�b <���;�('��;��]D� ��x?�;$ �

E���������

F�� ��M� X������'��� <���b��@�'����7�� �;�����7���

����� :�� #J �� ;�('�� " A� 9� m B�� ;�L4-L5��h��5B��

���7� L�7� �� 7�� 8T�%� M� X��?� G� # ��� �N� E��s�� ����: ��

� ;�('�� " A� 9� F �$%����� :�� #J ��;�L4-L5����� L� �

� ��7� � � � � &�� @ �`�� ��� @!7� ���(<�t/u��� <��� b��� m B�

� �� #B�V���G� ���'�P�� X��� F��� !<�� �� b��]*2[��8J &�

������7L��

���@!7t/u-��F �$%������'��� <���b���m B��8J &�in vivo�����D

E��������x?�;��]D� �����b����

�"n������7�� A ��" A� 9�@� =����`9����'��� <���b��/�

"<�� � ��� ;������ �� �� �� ���������`9� ���� o(H(�� : �� ��

E �� X��"������@� =�in vitro�]*/[�������7���� ���?��L

$ �� ��� " A� 9� ���`9� ���� ��� "�� ��� m B�� v���� ;������ �

�����: �%�����(9(��; 6� ���"����� ���?��M&'��(7]*1[�L

"���]��� �;�('���� &��#B�V���G�b���8=��O�D�8AB����(�

���7�?�"��:��#J ��� BO��"�����������"�(`N�@� N�m B�����(�

����;��]D� �����;������� ���E��������; �L��

��

��

© Copyright 2012 ISBME, http://www.ijbme.org

������������� ���������������.��H�������A�6���������g��� �!� ��

19Cyclic Loading 20Li et al. 21Swelling Pressure

j�

��! �!��3�&X`����Y0H�3&����

� ;�('�� �� &�� ���'�� � <��� b��� �;���� @�'�� ��;����

�� X������:��#J ��� BO�P�b `N����;�;��]D� ��; �8�j�;��

�7��� fB��� L8��"�=��(n�E �� X�8<��"� �7�D�:`��������%

;��]D� �� 8=� ; �8�j�;��t: G� l� =�O� �� x ����� u������ �

Q�%��������@� �������(���8��E����; ������:��#J �;�

� �<=� 8> �� ; ����� 8�� mB����BJ�� L���7� � � "!� � �� ; �� �

> �������<��; ������ A �������c�P�" �B���E 'f����;�`O��

]s���('����P�������" �?��8��F&��?��#J ��L�� BO��"������]�

����� :�� #J �� "!� !�(�� " � �7� ;���� ;�@��(���X����

;��]D� ��; �8�j�;����������(���" V ���<���$��L�$��@`N

;��]D� �����b���$����(B��8!�%�; �8�j�;��� �� fB����=��� �

�"�����;��]D� ��o(��: �����b����'��(7�L:<��8�����(a��

�E �cn��������$��"! �����(9(��"� �� �$%6� �������M&'�

;��]D� �� ; �8�j�;��8�(<�� ;��� ��� ; ������ :�� #J ��;�

� J����J9�-�"��8=�F��� !<���10]*4[����(�������� A��-�� =�8�

������7�L�: ����F �$%������:��#J ��� BO��;��]D� �����;�

� ��������: G�l� =�O� ��"7 ������ ���'��;� �O*���?���*~0�

���?���0*~0��"� $���?����7��� �Y�"!� � ��; �� ���y�"����

�(7� L8`7� ;���� ;��]D� �� ;$ �8�j�;��J &�� �P�� �� m B�

FG����7�� A���F �$%�� �,00��b <���b���8��"��(��7������

���8�j��8���>�: ��V �������?��: �.*3�������F �?O��:�(�

: G��8���>�: ��*/3���7������@�&��:�(�t��>����:��;���

�������: G���V �,+0��7�8BO�D��a����:�(��Lu�@!7t4u��� ^�

�����7�� �;��]D� ��"��� ������L

��

���@!7t4u-�8`7����b���8����7�b <���;�('��;��]D� ��� ��;$ �

8�j�;���

�;����F �$%�: �+0�8�j�� ��������Z�B5��l� =�O�8����

*���?���*~0����?���0*~0��?����7�� A���L�8����7�� �;��]D� �

� ����� " V �� RX�� ;��� ��� ��(�! � � �O� E�(�L4��b <��

�7� L@�'�� : �� ��� ;$��� U ��7�� �E�(�� 8����(9�� ���

" A� 9���� ;�('�� �� &�� U� ��� b �� � �9� �� ;�('�

> �� $��� :�� b �� ��$%� � �9� �(9�� :�T<�P�8BJ���> �P�

���;�`O�" �B���P'f��7�8BO�D��a�����L�@5�5��� �O�:�T<�

� �� ������ ;$��+~0��:�� #J �� "9� � r(X�� ��� b !� G� ��

����� b <��� ;�� �O� : �� ��7�8`7� ���(B�"��(�� � �O� $ �1*�

�7 ���O �L

� $�� ���� 8=� �(�� �%� :`�� b��� m B�+0�8�j���;��]D� �

"��F �?O��l� =�O�F� =� ��;�('��" A� 9�� � &�=��� � ��8

F �$%�������%������m B��; ���"�]*4[�������&� X�� L�;���

J &�P�� m B�� �� b��� $�� ���%� ���� 8�� � � &�� "<=F �$%in

vitro!� � ��"B5���<=���" A� 9���������J&��@� >�$��"

�$������" ��+0�8�j��h��5B���7�LFG��"!� � ��"B5��"��

��l� =�O�;����#B�V���G����'��� <���b���; �*���?���*~0�

� �� ?���0*~0�?���� Q���� 8�� �� �����0+3~1����B�� ��� :�(�� ��

/20~*�����B�����:�(�� ��,+,~*���B�����:�(�� ����(������L

F �$%� ��� � � &�� : ��; ��� "�]*4[�� :�� #J �� ;��������;�

� ������ Q���� 8�� ;�<=� 8> �3*~0���,1~1����B�� ��� :�(�� ��

,3~0���1+~1�����B�����:�(�� ��+*~0���.1~*�����:�(�� ��

���� ��(�� �B�� L� @!7� ���(<�t*0u�J &�P��� <��� b��� m B�

�m B����#B�V���G����'�� X�P���"�]*4[�"��� ��������L��

���@!7t*0u-��#B�V���G�b���$�����%������"!� � ��"B5��� � &�

�"��"� �� �$%��J��m B���]11[��

��

�@!7����8=��(X� <�t*0�u"����� ���#B�V���G�b�����(7

� &���������p7�� p �F p�$%�m pB�� p����7������8��(��;�('���

�����FpG����"�� p���"p�=�� pBO���������"`p� ���"��(5<���"p��

© Copyright 2012 ISBME, http://www.ijbme.org

(5!��6&����;����

22Adams et al.

g

"��"���]��|��=�����#Bp�V���G����'��� <���b����'����(�

;��]ppD� ��; pp�8pp�j�;���ppO�D�8ppAB����L��"pp�����$��lppG

��� &��#B�V���G����'��� <���b���$��8���������b����'�

�:��#J ��"!� !�(��� BO��"�����;����;�('���p������;�

����� fBp���8p��$����� �O����;������ ����;��]D� ��b(n��p7�L

�b(n����;��]D� ��� ^�1,���� p���������;��]pD� ���@� p7/�

�;� �O�� �� ��b� ����>��B����� �+30����:�(�*.���� �

�����;� p�O�� p�� p��b� p���U�(B��"! ?O��� �O�@� 7��� �O

*000���;� p�O�� �� ��b� ���V ��"! ?O��� �O���:�(�*.00�

:�(�]*,[�8`7��;$ p���p7�L���Mp&'��$��Fp5��:p �������$ p�v�

�b���� �j� ��"! ?O��� �O��"p�������(��;��]D� ��Z�B5�

�m B�����;��]D� ��� ^��F&�� ���O�D����N������p�%��p���8p��

�:`��(7�L�� ��8������ >������*000����:�(�*.00���:�(p�

���E���"�V(n�� ��E�(��8�������;��]pD� ��;�p����� >���

8�j�;���$ �� ����������; �1������ �10���� �O�8&N���V p�

�,0�8&N�� �OU�(B������7�b <���b���8��L������,����p� >

����;��]D� ���m B��8J &����9*000�"��8<� �:�(��� �L

@!7�; �t**u�� �t*+u���� p��������7�� �;��]D� ��; �< ^�

"�����L��

��

���@!7t**u-�;��]D� ��E���"�V(n�; �tV ����U�(B���� �Ou��

��

���@!7t*1u-��;��]D� �8�j�;�����8B� ���

���@!7t*+u-�;��]D� �8�j�;��t10����V ���� �O�8&N,0��8&N�

U�(B���� �Ou��

;$���U ��7�b <��� ��-�����@`N��<JN����8T�%�M� X�

8'��;��]D� �����������b���;��]D8�j�;���7��� 7��-��b��

�@�'����7��� 7��;��]D� ��� ^��� �j����������7�L�b���m B�

� ���'�� � <��8J &�� E�(�� 8�� #B�V���G���(<�� ��� ;��

@!7�; �t*,u���t*3u�������7������� ��L��

���@!7t*,u-��;��]D� �� ��#B�V���G����'��� <���b���m B��PJ &�

8�j�;��8B� �����E���"�V(n�; �� �� ���

���@!7t*3u-��;��]D� �� ��#B�V���G����'��� <���b���m B��PJ &�

8�j�;��# � �E���"�V(n�; �� �� ��8B���

8=� �(X� <��"�� ��� �� '�� " ��� ;�('�� " A� 9� ��(7�8`�

� ��������Q����8����7+,/~*��2,0~*��34.~*���,/4~*�"����B�

����L�m B�F �$%�; ��?���%����D11]10�1*[��8=��(���%���� �

:�� #J �� o f���� F� =� ��?������"�V(n� ;��]D� �� ��� ;�

© Copyright 2012 ISBME, http://www.ijbme.org

������������� ���������������.��H�������A�6���������g��� �!� ��

��

� E��*000�� :�(�� t"! ?O� ;� �� �� �Ou�� $�� ���+���� �

� �����+~0�1~*�"��� �B�]10[�� $�� ���� �.�������� �� �

+,~0�3+~*�"����B�]1*[�������(��L�� �; �� �$����� � &��: �

���'��� <���b��������7�� ��������Q����8��#B�V���G*.~*���

1.~*�"�����'�����8=�������(���B�v����7�� �� � &����L��

��

�! ��/�'�30/`���F5��# �"!� !����!�<����� B ��MN����R'��� �7

J�� $�� "! � E��&O� �(B�� "B=�>S������ " � �7� ��� ���� @

Q�%�; �"S?9�Q�%�: ��"����@��(��:BO ��� �;�����F� =

�@��(��X�����L�� X�P������:��#J ��E � H�$��"7 ��;�

�;��]D� �� Z�B5�� ; �< ^�� F&�� "����� �� "!� !�� ; ����

�"!� � �F �$%�� A��� �� _ O����;������ ����$��(9(��;�����

8�(<����� @!��� � J�� � J��� �J9� ; �� L��(a��� :<�� 8�

8'�� ���'�� � <��� ; ����� ��7� ;��]D���@>�`� ��"����

� K(J'�� ��7� � � E �� X�"����(7� L�U ��7� ���=� b��� ;���

�����:��#J ��"�N���b ��$ O����$��"`=���:BO�D��a������;�

��� 9��tU'��;�(k��$���� fB��@5�5B��; ��uFG��;����"���

�� =�� J����%�� �$�8��8BJ����� BO��;� BO��; ������ ��$������

���� � L:<�� 8����(�� 8�� ��B��� 8� &�� : �� ��� �(a��P��b��� #

?9�# �$��"X�d�#B�V���Gq��8 G���� ��7�8B���G�"B=�>

�8�� X�����E��&O��(B��� �$�8��8BJ����� BO����(B���%��=L�lw��

;��]D� �� b `N� ��� b��� : �8`7� Z�B5�� ; ��x?� �"!� B��

�;��]D� ����E��������x?��E���� �(=8�j�;������ ��8J &�

F �$%�; �in vivo�� �in vitro�8'��� ;��]D�7� L�m B�

8`7�� ;$ �F �$%�; ��� 8=� �(�� �%� :`�� ��7� � � : ��b��

"�� ;�('�� �� &�� #B�V���G���� ��� "�(`N� @� N� m B�� ���(�

����� :�� #J �� � �$� 8�� 8BJ���� � BO�� "�������� ;�

;��]D� ��"��� ���"!� � ��; �����L8�������� G���P��b���: �

;��]D� �� ��� E��&O� �(B�� � �$� 8�� 8BJ���� � BO�� ; �8�j�;��

�7� 8�� X�� 8��$��� L���� #J �� "G(!���= �� � BO�� 8J &�� �

;��]D� �"�� Z�B5�� ; ���$ �� F� =� �� 8=� �O�D� 8AB�� ��(�

8�j�"��F� =�#J ����� ��7�� A ��" A� 9���?��� � L�8�

� � ��"B5���� ��E� `������:��#J ��"!�� ^��$��"�� ��;�

�;��]D� �8�j�;������ L��(�� �M&'��: ��"����C��P��#

8'��b���?9�# �$�� ��7�;��]Dq��"B=�>���(��� BO��8=����

������7���� ���;^(�(�(� !�F �$%� ��8`7�"�(�8�����;$ �

��=�L"9���8��89(�� ���]�('���a��b���: ���� ��; �v���s�

�O@5�5�� � ('�� �� �v�F��� 6 $(���� ��F��IG�; ��� "�%�8�

��� XP�;��]D� �� F&��@��(�� ��(��� 8�� Z�B5�� "!� � �� ; �

�X��O� o��7� ���� �� Q �5������� :�� #J �� ;��8B���G

�7����(L��

��

F@&0���[1] Hart L.G., Deyo R.A., Cherkin D.C., Physician

office visits for low back pain. Frequency, clinical

evaluation, and treatment patterns from a U.S.

national survey; Spine, 1995; 20: 11-19.

[2] Belytschko T., Kulak R.F., Schultz A., Finite

element stress analysis of an IVD; J. Biomech.,

1972; 7: 277-285.

[3] Wang J.L., Parnianpour M., Shirazi-Adl A., Engin

A.E., Li S., Patwardhan A., Development and

validation of a viscoelastic finite-element model of

an L2–L3 motion segment; Theor. and Appl.

Fracture Mech., 1997; 28: 81–93.

[4] Wang J.L., Parnianpour M., Shirazi-Adl A., Engin

A.E., Viscoelastic finite-element analysis of a

lumbar motion segment in combined compression

and sagittal flexion: Effect of loading rate; Spine,

2000; 25: 310–318.

[5] Natarajan R.N., Williams J.R., Andersson G.B.,

Recent advances in analytical modeling of lumbar

disc degeneration; Spine, 2004; 29: 2733–2741.

[6] Simon R.B., Wu J.S., Carlton M.W. , Kazarian

L.E., France E.P., Evans J.H., Zienkiewicz O.C.,

Poroelastic dynamic structural models of rhesus

spinal motion segments; Spine, 1985; 10: 494–

507.

[7] Argoubi M., Shirazi-Adl A., Poroelastic creep

response analysis of a lumbar motion segment in

compression; J. Biomech., 1996; 29: 1331-1339.

[8] Wu J.S., Chen J.H., Clarification of the mechanical

behavior of spinal motion segments through a

three-dimensional poroelastic mixed finite element

model; Med. Eng. and Physics, 1996; 18: 215–24.

[9] Lee C.K., Kim Y.E., Lee C.S., Hong Y.M., Jung

J.M., Goel V.K., Impact response of the IVD in a

finite element model; Spine, 2000; 25: 2431–2439.

[10] Laible J.P., Pflaster D.S., Krag M.H., Simon B.R.,

Haugh L.D., A poroelastic-swelling finite element

model with application to the intervertebral disc;

Spine, 1993; 18: 659–670.

[11] Iatridis J.C., Laible J.P., Krag M.H., Influence of

fixed charge density magnitude and distribution on

the intervertebral disc; J. Biomech. Eng., 2003;

125: 12–24.

[12] Williams J.R., Natarajan R.N., Andersson G.B.J.,

Inclusion of regional poroelastic material

properties better predicts biomechanical behavior

of lumbar discs subjected to dynamic loading; J.

Biomechanics, 2007; 40: 1981–1987.

© Copyright 2012 ISBME, http://www.ijbme.org

(5!��6&����;����

��

[13] Ehlers W., Challenges of porous media models in

geo and biomechanical engineering including

electro chemically active polymers and gels; Eng.

Sci. Appl. Math., 2009; 1: 1-24.

[14] Schmidt H., Shirazi-Adl A, Galbusera F., Wilke

H.J., Response analysis of the lumbar spine during

regular daily activity-A finite element analysis, J.

Biomecanics, 2010.

[15] Nikkhoo M., Haghpanahi M., Parnianpour M.,

Wang J.L, An Axisymmetric Poroelastic Model

for Description of the Short-Term and Long-Term

Creep Behavior of L4-L5 Intervertebral Disc,

Proc. of the 1st Middle East Conference on

Biomedical Engineering (MECBME’11), 2011;

pp. 308-311, UAE.

[16] McNally D.S., Adams M.A., Goodship A.E., Can

intervertebral disc prolapse be predicted by disc

mechanics?, Spine, 1993; 18: 1525–1530.

[17] Tyrrell A.R., Reilly T. et al., Circadian variation in

stature and the effects of spinal loading, Spine,

1985; 10: 161–164.

[18] Busscher I., Van Dieen J.H., Van der Veen A.J.,

Kingma I., Meijer G.J., Verkerke G.J., Veldhuizen

A.G., The effect of creep and recovery on the in

vitro biomechanical characteristics of human

multi-level thoracolumbar spinal segments,

Clinical Biomechanics, 2011; 26(5): 438-44.

[19] Li S., Response of human intervertebral discs to

prolonged axial loading and low-frequency

vibration, PhD thesis, University of Illinois at

Chicago, 1994.

[20] Adams M.A., McMillan D.W., Green T.P., Dolan

P., Sustained loading generates stress

concentration in lumbar intervertebral discs, Spine,

1996; 21: 434-438.

[21] Adams M.A., Dolan P., Hutton W.C., Diurnal

variations in the stresses on the lumbar spine,

Spine, 1987; 12: 130-137.

[22] Kojic M., Filipovic N., Stojanovic B., Kojic N.,

Computer Modeling in Bioengineering, John

Wiley & Son, 2008.

��/�M��

8=� �(X� <��X���� 8�� ��7� �� 7�� 8� &�� :B�� ��P����(�� "���

�; &��U�����$��E� `��;�(k��: ������� fB���=�>��$������;���

� �� 9� $ OtX���P�*� u� b �� $ O� �tX���P�1� u� �� :�T<�X���P�

�"����tX���P�+�u���L��

X����8T� �jP�t1�uPX����z ���������t+u��J (���PpX������t,u�

"��@� >��(7�X�����D���P�t,u��@5�5��Q �H������tnu��K�H

lw��|���=�X���� �P�t*u��6<9��=�X���P�t3u�"������� %)��

t,u��1 0f

f fpn

ρρ ρ−−∇ + − − − =b k quq � ��

��t3u��0T

fσ ρ ρ ρ∇ + − − =b u q�� ���

� ��%����8=��@=�F���:`���������p���"`=���"� �j�8p=�

�U����� ��Q����8�t.u���t2u��"p��Z ������(p7�L����p� y�����p�m�

M`n?��X���P�t/u��"��� ����=�������; �p����E�(p��8p�� p����� p�O

�8B�(G�b������"����(=]���F&�����L��

t.u��( )1 sn n pσ σ= − − m��t2u��( )1 s fn nρ ρ ρ= − +��t/u��[ ]1 1 1 0 0 0

T=m��

X���P�"����O�7���l (��8X����z ���������b ��"�B�(G�����(�

X����E�(��8�Pt4u��7(�]11[)��

t4u��( ) 0T

v p s fQ Q Q Qρ ρ+ + + + ∇ =q�����%����8p=Qv��Qp�Q����Qs��Qpp����8pp��F��pp=���pp��:pp`�

��������b p��;� ]pG��=��p���@p5�5B���p� 9�;� ]G��=�����"<A>

�=������p��F�p���py���'��@5�5B���� 9�;� ]G�������BpJ���y� p��

�U����t*0u�� �t*+u��Z ���"����(7)��

��

t*0u��Tv

v f f

eQ

tρ ρ

∂ ∂= =

∂ ∂

em

t��t**u��1

p f

s

n pQ

K tρ

− ∂=

∂��t*1u��f

f

n pQ

K tρ

ρ ∂=

∂��t*+u��

3

f T

s

s

QK t

ρ σ ′∂= −

∂m

��X���P��pX���� ��M� X���� 9�$ O�;����;� B �P�t*,u��p���

��%����8=σ ′���F���"����� ���y����(7 ��X���P�t*3u���Zp ���

"pp���(pp7�L�:pp�T<�CE����pp� 9�#Bpp�V��;� B pp��l �� pp�

��@pp5�5B�e����"pp�=�F��pp=ep���pp� 9������pp7�� ppA ��F��pp=

�8=�����b ��� �O�8X����8��@5�5B���PpX���� p��t*.u���Zp ���

"���(7)��

t*,u��( )E pσ ′ = −C e e��

t*3u��pσ σ′ = +m��t*.u��

3

p

s

pK

= −m

e

���U�����Q=���$�4�� �*1��*,���*.�"����(�PX�����"�B�(G

����b ��7(��:�j)��

© Copyright 2012 ISBME, http://www.ijbme.org

������������� ���������������.��H�������A�6���������g��� �!� ��

���

t*2u��T

2

10

3 9

ET

s s f s

n np

K K K K

� �� � −∇ + − + + − = � � � �

T T Em C m C mq m e� �

��"N ��x���$�� �� fB��� ���:BO�D�a�������:=��D�"�$����� �

��D��sB��� �j�;�t@5�5��� �O���" A� 9�;��$%�89���8��u

EV� ���$����h��5B���"B5��; �J �� �"����(7�X�����P���= >

�8��"J �� ��E�(��8��#B�V���G����'��� <���b�����@!7�

X���Pt*/u�"����� %)��

t*/u��� �� � � �� � � �� � � �� �� � � �� � � �� � � �� �� � � �� � � �� � � �� � � �� � � �� � � � � �� � � �

0 0 K K FU UM 0 UU UP U+ + =P F0 0 C C 0 K PPU

U

PP PP P

P

�� �

�� �

��X����;��������"J �� ��� � &�P�t*/u��U�����r�7�8�t*4u�� �

t1.u���BJ�)��

t*4u����T

u u

V

dVρ= M N N

��t10u��( )

3

T ET T

p

sV

dVK

= − − PU

m CC N m B

��t1*u��

2

1( )

9

T ET

p p

s f sV

n ndV

K K K

−= + − PP

m C mC N N

��t11u��T E

V

dV= − UUK B C B

��t1+u��( )

3

ET

p

sV

dVK

= + UP

C mK B m N

��t1,u��1T

p p

V

k dV−= ppK N N

��t13u��T T T

u u up

V V V

dV dV dVρ ρ= + − − uF N b N t B � K P

��t1.u��T T

p

V

dV= pF N n q

����%����8=B���" A� 9�F��=�@ �`��l �� �b����"����;���t�

����"'X��;���� L�(O�EV� ���@>�;����-�X����������8=P�

t12u���t1/u�������7�����%�-�x���$��� ��; ��b���B����;�D

� ;����(7� �� fB��� L� $�� �� fB��� � �� : �� ��x����W� �(�

����b���B��� J������� B��L��

t12u��UU UP UMU + K U + K P = F����

t1/u��PU PP PP P

C U + C P + K P = F� ���

X����������: ��� ��P�t12u���t1/u�" A� 9�� � &���tU�u�� �O��

�@5�5�tP�u� �����7�b <���;$���U ��7���;��]D� ��b `N���

�8`� '�� Z�B5��"� �$�; �� D� ��|��(7�� 8�8�(D�;��������� 8=

7 �����<��m B��� D���L��

© Copyright 2012 ISBME, http://www.ijbme.org