INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITCNICOSANTIAGO MARIOSEDE BARCELONAESCUELA DE INGENIERA CIVIL

Diseo de diagramas de fuerza axial, corte y momento

Bachiller:Luis F. Fernandez Z. C.I.: 25.451.173Mecnica Esttica-Seccin CB

Agosto, 2015ndiceIntroduccin3Fuerza cortante, Fuerza Axial y Momento Flector4Ejemplo7Conclusin19Bibliografa20

IntroduccinLas vigas son elementos cuya disposicin en las estructuras es principalmente horizontal, aunque tambin pueden ser inclinadas, pero que en todo caso tienen la importante funcin de servir de apoyo de otros miembros estructurales que le transmiten las cargas verticales generadas por la gravedad, las cuales actan lateralmente a lo largo de su eje. Gracias a estos elementos se pueden construir todo tipo de maquinarias y estructuras, tales como chasis de vehculos, soporte de maquinarias, vigas de puentes y edificaciones, etc. Esta condicin hace que las vigas estn sometidas a esfuerzos diferentes a la tensin simple, representados por los esfuerzos de flexin. En este caso las fuerzas externas pueden variar de una seccin a otra a lo largo de la viga, adems la disposicin de ellas, las condiciones de soporte y la geometra, genera en el interior de la misma la aparicin de cuatro fuerzas llamadas resistentes. Si consideramos un sistema espacial tenemos: 1- Fuerza Cortante: se produce con direccin perpendicular al eje de la viga y su efecto es similar al generado por una tijera al cortar un papel, es decir una fuerza cortante paralela a la cara de la seccin de la viga. 2- Fuerza Axial: se produce cuando la disposicin de las fuerzas externas no es totalmente perpendicular al eje de la viga, existiendo componentes de ellas a lo largo del eje. Cuando aparece esta fuerza junto con la flexin, se genera un esfuerzo combinado de flexin con esfuerzo axial. Este estudio est fuera del alcance del presente trabajo.3- Momento Flector: es una fuerza del tipo par, que contribuye a equilibrar la rotacin del slido en un eje perpendicular a su eje y fuera de su plano, y que produce sobre la viga un efecto de curvatura a largo de su eje.

Fuerza cortante, Fuerza Axial y Momento FlectorLos modelos estudiados hasta ahora involucraban la estabilidad y equilibrio externo de la estructura.Para completar el anlisis se hace necesario el conocimiento de las fuerzas internas en cada uno de los elementos que componen el sistema estructural.En este caso nos referiremos a los elementos tipo viga.Sabemos que en los elementos tipo viga las fuerzas internas involucran tres incgnitas: una fuerza axial, una fuerza cortante y un momento, por lo tanto conociendo las fuerzas de extremo y aplicando el mtodo de las secciones en cualquier punto de la viga nos dara como resultado un tramo de viga estticamente determinado con tres ecuaciones estticas disponibles y tres incgnitas por determinar.Observemos que la clave es conocer las fuerzas de extremo de elemento, es decir, aquellas que se ejercen en las uniones con otros elementos pertenecientes al sistema estructural y de ah proceder a determinar las fuerzas internas por la esttica.Podemos concluir que el elemento a analizar es estticamente determinado as pertenezca a un sistema indeterminado.Esto explica porque la metodologa y el objetivo de los mtodos de anlisis es determinar las fuerzas de unin y de ah seguir con el anlisis independiente de cada elemento.Teniendo en cuenta estas consideraciones podemos aislar un elemento tipo viga, considerarlo con sus fuerzas extremas como fuerzas de reaccin y analizarlo hasta encontrar las fuerzas internas:

Notemos que al partir el elemento una seccin ejerce sobre la otra fuerzas equivalentes a un apoyo de empotramiento, podemos decir, que las conexiones que se generan a lo largo del elemento son uniones rgidas y las fuerzas en cada seccin son iguales y de sentido contrario.

Para el estudio de los elementos tipo viga se utilizar la siguiente convencin:Cortante:Lasfuerzas cortantes positivas son aquellas que producen una rotacin horaria del elemento

Momento:Losmomentos positivos son aquellos que producen concavidad haca arriba en el elemento horizontal o tracciones en la fibra inferior.Para elementos verticales esta convencin se puede complicar un poco por lo tanto regir el criterio de dibujar el diagrama de momentos para la caratraccionada.

Fuerza axial: Se considera una fuerza axial positiva cuando ella implica traccin en el elemento.Las acciones de las fuerzas internas en vigas se ilustran mejor por medio de diagramas de fuerza axial (P), diagramas de fuerza cortante (V) y diagramas de momento flector (M).Los diagramas representan la variacin de estas fuerzas a lo largo del elemento, dibujando en lasabscisasla longitud del elemento y en las ordenadas el valor de la fuerza interna.Para axial y cortante los valores positivos se dibujan por encima del elemento pero para los momentos se dibujar el diagrama para el ladotraccionadodel elemento, as, si el elemento es horizontal el lado positivo del diagrama estar para abajo.La convencin para momentos rige para cualquier ubicacin de este en el espacio y es independiente del origen escogido, ya sea este en el extremo derecho o izquierdo del elemento.

Relacin entre momento cortante y cargaEn el caso de cargas distribuidas actuando perpendicular al elemento se puede encontrar una relacin con las fuerzas internas de cortante y momento por medio del siguiente anlisis de una seccin infinitesimal del elemento.

Aplicando equilibrio a la seccin de viga indicada tenemos:

Integrandoa ambos lados, tenemos:

Lavariacin del cortante en un tramo de viga dado es igual al rea bajo la curva de carga.(Noteque el equilibrio se hizo con la carga negativa, por lo tanto no se debe involucrar otra vez su signo en la ecuacin).DividiendopordLa ambos lados tenemos:,donde podemos decir que la pendiente a la curva del diagrama de cortante es igual al negativo de la carga distribuida.Ahora con la ecuacin de momentos tenemos:

Considerandouna longitud muy pequea del trozo de viga analizado, el trmino condL2se aproxima a cero, y la ecuacin nos queda

Integrando:

Dedonde la segunda integral representa el rea bajo la curva del diagrama de cortantes en un tramo de viga dado y podemos concluir que la variacin del diagrama de momentos en un tramo de vigas es igual al rea bajo la curva del diagrama de cortante.Dividiendo a ambos lados pordL,tenemos:

Dondela pendiente del diagrama de momentos en cualquier punto es igual al valor del cortante en ese punto.EjemploDibujar los diagramas de cortante, momento y curva elstica tentativa:Para los diagramas de momento se verificar la convencin haciendo el ejercicio ubicando el origen en ambos extremos del elemento.Determinar en cada caso el eje coordenado de las ordenadas de la grfica de momentos.De qu depende la orientacin del eje de momentos?Es esta nica para un elemento dado?Podra determinar una manera fcil de orientar los ejes en elementos verticales y horizontales de acuerdo con la convencin fijada. Cmo sera esa orientacin en un marco?En las estructuras tipo marco se sugiere trabajar encontrando primero las fuerzas de extremo de los elementos y despus aplicar equilibrio a cada uno.Con estos ejercicios se pretende tomar conciencia de los momentos de continuidad en los nudos.

Viga simplemente apoyada:

Tomaremos el ejemplo de un elemento simple, con fuerzas de extremo equivalentes a uniones de articulacin.Se pide encontrar los diagramas de momento y corte.Se debe partir por encontrar las fuerzas de extremo del elemento y se recalca que el elemento, as pertenezca a un sistema estructural compuesto, debe estar en equilibrio esttico, cumplir con las ecuaciones de equilibrio, considerando tanto las fuerzas de extremo o unin al sistema como las fuerzas externas actuando sobre l. Fuerzas de reaccin:

Fuerzas internas:Aplicacin del mtodo de las secciones.

Note que el trminoes la seccin en el extremo izquierdo del elemento, por lo tanto este se puede expresar como

Construccin del diagrama de corte: Sabemos que el elemento est en equilibrio por lo tanto el diagrama empieza en cero y termina en cero. Cuando hay fuerzas puntuales estas implican un brinco igual a su valor en el diagrama de corte (variacin brusca de este), el brinco se da en la misma direccin de la carga puntual aplicada. Recordemos que el valor w es la pendiente del diagrama de cortante.

Empezando por el lado izquierdo tenemos:

Notemos que la seccin del extremo se convierte en el cortante, as podramos decir que Va = AyyVb= ByPunto donde el corte es cero:Sientonces igualando V = 0 y despejando x, tenemos:

Elpunto de cortante cero se encuentra dividiendo el cortante de extremo por la carga w.Otra relacin interesante es que nosotros podemos obtener el cortante en cualquier punto restando al cortante de extremo lo que llevamos de carga encima del tramo estudiado (w.x).Construccin del diagrama de momentos: El diagrama empieza en cero y termina en cero. Cuando hay momentos de extremo o puntuales se interrumpe la continuidad del diagrama presentndose un brinco en ste. Si el momento puntual es positivo, el brinco ser negativo y viceversa.

Recordemos que el valor del cortante es igual a la pendiente del diagrama de momentos.Retomando el ejemplo inicial y empezando por el lado izquierdo de la viga tenemos:

Segn la convencin fijada los momentos positivosproducentracciones en la parte inferior, por eso se coloca el eje positivo para abajo.Notemos que con las pendientes se puede trazar fcilmente el diagrama de momentos, inclusive nos muestra la curvatura.Sabemos que un momento positivo produce concavidad hacia arriba, por lo tanto la curvatura ser hacia arriba. Determinemos el valor del momento mximo considerando que este se presenta cuando el cortante es cero (siempre una pendiente igual a cero muestra los puntos mximos y mnimos de una curva). cuando, reemplazando en la ecuacin de momentos tenemos:

Para

Otros tipos de vigas:

CORTEMOMENTO

Puntos crticos en un diagrama de momentos:Asumiendo que los elementos estudiados pertenecen a un sistema estructural complejo, analizaremos una viga con momentos en ambos extremos que representan la unin con otros elementos o su continuidad despus de un apoyo.

LLuz del elemento

WCarga distribuida, w

VeCortante esttico debido a la carga w.Se denomina esttico porque se calcula como si el elemento no tuviera continuidad

VhCortantehiperesttico. Debido a los momentos de unin o continuidad.El signo depende de los valores de los momentos pero siempre deben formar un par de fuerzas.

Vtotal

M-MaMbMomentos de continuidad, por lo general para cargas distribuidas hacia abajo producen momentos negativos o lo que es lo mismo, tracciones en la fibra superior.En caso de columnas se debe analizar bien el signo

M+Momento mximo, si los momentos de continuidad son muy grandes y la carga es pequea no alcanza a dar valores positivos.Calculando por ambos lados debe dar el mismo valor

PIPuntos de inflexin

Otro mtodo

a) Trace los Diagramas de Corte y Momento Flector de la viga en cantiliver mostrada.

Corte: Relacin Carga Corte Tramo AC: Carga: 0 Pendiente: 0 Intensidad: ctte Tramo CB: Carga: Triang Pendiente: (-) Intensidad: crece negativamente. VA: Reaccin: 3.750 Kg VC = VA + (rea) carga AC = 3.750 Kg + 0 = 3.750 Kg VB = Vc + (rea) carga BC = 3.750 Kg 3.750 Kg = 0 Momento: Relacin Corte Momento Tramo AC: corte: rectang Pend: (+) Intens.: ctte Tramo CB: corte: Parab. Pend: (+) Intens.: Decrece. MA = -18.750 de signo negativo, visto como Momento Flector. MC = MA + (rea) AC corte = -18.750 + 3.750 3 = -7.500 Kg-m MB = MC + (rea) CB corte = -7.500 + 2/3 x (3.750 3) = 0

b) Hacer el diagrama de Fuerza Cortante y de Momento Flector de la viga simplemente apoyada mostrada.

Definimos los tramos originados por las cargas puntuales, en este caso 4. Por ser la viga simtrica de cargas verticales las reacciones externas son: Ay = Ey = Fi/2 = 500 Kg

Corte: Secuencia de izquierda a derecha. El corte de arranque en A es el valor de la reaccin, de signo +Para todos los tramos: La relacin entre carga y corte son: Carga: 0 Pendiente: 0 Intensidad: ctte

Igual para los dems tramos. Obsrvese que la carga puntual produce un salto en el diagrama de corte con el mismo valor de la carga; si la carga es negativa el escaln de la derecha baja y viceversa.

Momento Flector: El Momento de arranque en A es cero, puesto que el apoyo articulado no genera momento, para los tramos AB y BC, la relacin entre Corte y Momento son:Corte: (+) Pendiente: (+) Intensidad: ctte MB = MA + (rea) AB corte = 0 + 500 x 2 = 1.000 MC = MB + (Area) BC corte = 1.000 + 300 2 = 1.600

Para los tramos CD y ED la relacin entre Corte y momento son:

Corte: (-) Pendiente: (-) Intensidad: ctte MD = MC + (rea) CD corte = 1.600 - 300 2 = 1.000 ME = MD + (rea) DE corte = 1.000 500 2 = 0

Cuando no hay fuerzas tipo par, aplicadas en la viga, el diagrama de momentos no tiene saltos

Conclusin En la mayora de los casos, las cargas son perpendiculares al eje de la viga y nicamente ocasionaran corte y flexin sobre esta. Cuando las cargas no formen ngulo recto con la viga, tambin producirn fuerzas axiales en ella. Por lo general, las vigas son barras prismticas rectas y largas. El diseo de una vaga para que soporte de la manera ms efectiva las cargas aplicadas es un procedimiento que involucra dos partes: 1) determinar las fuerzas cortantes y los momentos flectores producidos por las cargas, y 2) seleccionar la seccin transversal que resista de la mejor forma posible a las fuerzas cortantes y a los momentos flectores que se determinaron en la primera parte. Aqu se estudiara la primera parte del problema de disear vigas, la segunda parte corresponde al estudio de la mecnica de materiales.

Bibliografa

Anlisis de elementos tipo Vigas. Documento en lnea. Disponible en: http://estructuras.eia.edu.co/estructurasI/elementos%20viga/ELEMENTOS%20TIPO%20VIGA.htm Consultado el 03/08/2015

TEORA Y PRCTICAS DE RESISTENCIA DE MATERIALES PARA ESTUDIANTES DE INGENIERA. VIGAS. Documento en lnea. Disponible en:http://soyu-cing.jimdo.com/app/download/6205782178/TEORIA_Y_PRACTICA_DE_RESISTENCIA_DE_MATERIALES-_VIGAS.pdf?t=1350188615. Consultado el 04/08/2015.