AZƏRBAYCAN RESPUBLİKASI KƏND TƏSƏRRÜFATI NAZİRLİYİ

AZƏRBAYCAN DÖVLƏT AQRAR UNİVERSİTETİ

MÜHƏNDİSLİK fakültəsi

ELEKTRİK MÜHƏNDİSLİYİ kafedrası

Mühazirəçi: T.E.N., PROF. İ.M.Əliyev

FƏNN: AVTOMATİKANIN ƏSASLARI

Mühazirə 20

MÖVZU: AVTOMATİK İDARƏETMƏ SİSTEMLƏRİNİN DAYANIQLIĞININ TƏYİNİ. CƏBRİ VƏ TEZLİK DAYANIQLIQ KRİTERİYALARI

P L A N

1. Dayanıqlıq anlayışı.

2. Dayanıqlığın riyazi qiymətləndirilməsi.

3. Dayanıqlıq kriteriyaları: Vışneqradski, Raus, Hurvis, Mİxaylov, Naykvist.

4. Nəqliyyat gecikməli avtomatik tənzimləmə sisteminin dayanıqlığının təyini.

ƏDƏBİYYAT

1. A.Ə.Əfəndizadə Avtomatik idarəetmə nəzəriyyəsi. Bakı 1981.

2. Г.И.Головинский. Основы автоматики М.1987.

3. В.И.Загинайлов, Л.Н.Шеповалова. Основы автоматики. М.2001.

GƏNCƏ 2011

AVTOMATİK İDARƏETMƏ SİSTEMLƏRİNİN CƏBRİ VƏ TEZLİK

DAYANIQLIQ KRİTERİYALARI

Dinamik sistemə təsir edən ani qüvvələr kəsildikdən sonra əgər sistem əvvəlki dinamik

vəziyyətinə qayıdarsa, ona dayanıq sistem deyilir.

Hər hansı bir səbəbdən müvazinətdən çıxarılmış tənzimləmə sistemi müəyyən zaman

içərisində özü öz müvazinət vəziyyətini bərpa edərsə, belə sistemə dayanıq sistem deyilir.

Dayanıqlıq dinamik sistemlərin əsas müsbət xassəsidir. Dinamik sistemlərin dayanıqlığı

ziyazi üsullarla təyin olunur.

Sistemin dayanıqlığını təyin etmək üçün:

1. Onun diferensial tənliyi qurulur;

2. Diferensial tənlik həll edilir;

3. Əgər diferensial tənliyin xarakteristik tənliyinin kökləri mənfi işarəli həqiqi köklər

alınarsa, onda həmin sistem dayanıqlı olur.

Dinamik sistemlərin tənliklərini həll etmədən onların dayanıqlı olub-olmamasını təyin

edən şərtlərə dayanıqlıq kriteriyaları deyilir.

Kriteriyalar cəbri və tezlik kriteriyalarına bölünür. Cəbri kriteriyalara Raus, Hurvis,

Vişneqradski, tezlik kriteriyalarına isə Mixaylov və Naykvist kriteriyaları aiddir.

XƏTTİ AVTOMATİK İDARƏETMƏ SİSTEMLƏRİNİN

DAYANIQLIQ ŞƏRTLƏRİ

Əgər sistemin xarakteristik tənliyinin bütün əmsalları müsbətdirsə, istənilən tərtibli

sistem dayanıqlı olacaqdır.

Tutaq ki, sistemin tənliyi aşağıdakı kimidir:

(1)

Xarakteristik tənlik sistemin xüsusi operatoruna bərabərdir:

(2)

Burada x və y - zamana görə dəyişən giriş və çıxış kəmiyyətləridir.

Belə tənliyin idarəedilən kəmiyyətə nəzərən həli aşağıdakı cəm şəkilində təsəvvür oluna

bilər.

(3)

Burada Ys – ümumi halda x giriş kəmiyyətindən asılı olmayan bircinsli diferensial

tənliyin inteqralı;

Ys – x giriş kəmiyyətindən asılı olan qeyri-cinsli diferensial tənliyin xüsusi inteqralıdır.

Başqa sözlə, Ys – sistemin sərbəst hərəkətini, daha doğrusu sistemin müvazinət

vəziyyətindən çıxarılmış hərəkətini, - isə həyəcanın təsiri ilə sistemdə yaranmış məcburi

hərəkəti xarakterizə edir.

Sistemin dayanıqlığı onun sərbəst hərəkətinin xarakterindən asılıdır.

Əgər müəyyən vaxtdan sonra sistemdə sərbəst hərəkət sönürsö, daha doğrusu

(4)

Olarsa, onda sistem dayanıqlı olacaqdır.

Sistemin sərbəst hərəkətinin qiyməti və xarakteri

(5)

tənliyi ilə təyin olunur.

Burada xarakteristik tənliyin kökləridir.

Ci – sabit əmsallardır.

Sərbəst hərəkətin xarakteri köklərin növündən (həqiqi, kompleks, xəyali) və işarəsindən

asılıdır.

1) onda (6)

2) onda (7)

3) onda (8)

Şək.1-də göstərilmiş qrafiklərdən görünür ki, hansı hallarda sistemin hərəkəti sönən və

sönməyən olur.

Əgər xarakteristik tənliyin bütün kökləri mənfi işarəli həqiqi hissəyə malikdirsə

onda sistem dayanıqlıdır (şək. 1 a və 1 b).

3 - neytral

Şək.1. Sistemin sərbəst hərəkətinin qrafikləri:

1 a – xarakteristik tənliyin köklərinin sırf həqiqi halı üçün;

1 b – kompleks köklər üçün; 1 c – sırf xəyali köklər üçün.

Əgər xarakteristik tənliyin kökləri müsbət həqiqi hissəyə malikdirsə , onda sistem

dayanıqsızdır (Şək. 1a və 1 b).

Əgər xətti sistem öz kökləri içərisində cüt sırf xəyali kökləri malikdirsə, onda sönməyən

rəqslər yaranır, sistemin özü isə d dayanıqlıq sərhədində olur. (Şək. 1 c).

Xarakteristik tənliyin kökləri çox vaxt kompleks müstəvidə nöqtələr şəkilində qrafiki

olaraq göstərilir. Bu halda müstəvi, köklər müstəvisi adlanır (şək.2)

Şək. 2. Dayanıqsız (şək.2a) və dayanıqlı (şək.2 b) ATS-in kompleks müstəvidə

xarakteristik tənliyinin köklərinin yerləşməsi.

Kompleks köklər cüt qoşmna köklər olub həqiqi oxa nəzərən simmetrik yerləşirlər.

α

jω

0α

a b

jω

0

1-dayanıq 2- dayanıqsız

F

F

F

Maadam ki, mənfi həqiqi hissəli bütün köklər kompleks dəyişən müstəvidə xəyali oxdan

solda yerləşirlər, onda xətti sistemin dayanıqlıq şərtini aşağıdakı kimi ifadə etmək olar:

Xətti sistem yalnız o vaxt dayanıqlı olacaqdır ki, onun xarakteristik tənliyinin bütün

kökləri solda yerləşsinlər.

DAYANIQLIĞIN CƏBRİ KRİTERİYALARI

1. Vişneqradski kriteriyası

1876-cı ildə Vişneqradski üçüncü tərtibli tənliklə təsvir olunan tənzimləmə sisteminin

dayanıqlığını təyin edən metodu ilk dəfə təklif etmişdir.

Tənzimləmə sisteminin tənliyi

(1)

Yeni dəyişən daxil etsək :

Onda (1) tənliyi aşağıdakı şəkli alacaqdır.

(2)

Burada

Vişneqradski parametrli adlanır.

A və B parametrləri müstəvisində AB=1 hiperbolasını qurular. Bu dayanıqlığın sərhəd

vəziyyətini əks etdirir. AB=1 olduqda avtomatik tənzimləmə sistemi sönməyən harmonik rəqslər

edir. (olduqda) sahəsi sistemin dayanıqlı olmasına uyğun uyğun gəlir, sahəsi isə

dayanıqsız vəziyyətə müvafiq olur.

Şəkil 3. Vışneqradski diaqramı.

Dayanıqlıq sahəsi Vışneqradski tərəfindən I, II, III sahəciklərinə bölünmüşdür. I

sahəcikdə keçid prosesləri rəqsi, II sahəcikdə monoton, III sahəcikdə isə aperiodik xarakter slır.

Beləliklə Vışneqradski kriteriyasına görə ATS-in dayanıqlı olması üçün A və B

parametrlərinin hasilinin vahiddən böyük olması lazım və kafidir, yəni olmalıdır.

2 nöqtəsində A=3, B=3 olduqda (2) xarakteristik tənliyi aşağıdakı şəkli alacaqdır.

Burada bütün köklər yaxud olacaqdır.

q = 1 olduğundan

Dayanıqlıq sahəsi Vişneqradski tərəfindən I, II, III sahə altına bölünmüşdür. Onlar

əyrilərlə əhatə olunmuşdur. Əyrilərin təxmini tənlikləri:

1-2 əyrisi:

2-4 əyrisi:

2-4 əyrisi:

2 nöqtəsində A=3; B=3.

RAUS DAYANIQLIQ KRİTERİYASI

Tənzimləmə nəzəriyyəsinin ehtiyacı ilə (tələbilə) əlaqədar olaraq Maksvelin təklifi ilə

Raus tərəfindən (1874-1875) bu cəbri kriteriya işlənilib hazırlanmışdır.

Raus kriteriyası məsələni həll edərkən yerinə yetirilən riyazi əməliyyatların

ardıcıllığından ibarət olub sistemin

Xarakteristik tənliyinin təhlili üçün ən sadə metoddur.

Tənlik elə yazılır ki, a0 əmsalı sıfırdan böyük olsun. Sonra xarakteristik tənliyin

əmsallarından ibarət olan cədvəl tərtib olunur. Bunun üçün cüt əmsalların sətiri, onun altında isə

tək əmsalların sətiri yazılır.

Aşağıda duran sətirlərdə yerdə qalan əmsallar yuxarıda yerləşən əmsallar vasitəsilə ifadə

olunur. Cədvəldə cəmi n+1 sətir olur.

Burada

və s.

Cədvəl

Sütu

nlar

ın

sayı

S ə t i r l ə r i n s ı r a s a y ı

1 2 3 4 5

1 . . .

2 . . .

3 . . .

4 . . . . . .

5 . . . . . . . . .

6 . . . . . . . . . . . . . . .

Raus dayanıqlıq kriteriyası belə ifadə olunur: əgər Raus cədvəlinin birinci sütununun

bütün elementlərinin işarəsi a0 əmsalının işarəsilə eyni olarsa, yəni a0>0,

b0>0, b1>0, c0>0, c1>0 və s. Onda sistem dayanıqlı olur.

Raus 1877-ci ildə istənilən tərtibli xarakteristik tənliyin köklərinin işarəsini təyin edən

qaydanı müəyyən etmişdir.

HURVİTS DAYANIQLIQ KRİTERİYASI

Bu kriteriyanı buxar və hidravlik turbinlərin tənzimləmə nəzəriyyəsi məsələlərini tədqiq

edən məşhur çex (slovak) alimi Stodolanın təklifi ilə alman alimi Hurvits 1895-ci ildə

yaratmışdır. Hurvits həmin ildə istənilən tərtibli xarakteristik tənliyin kökləri haqqında ümumi

mühakimə (mülahizə metodunu) vermişdir.

Hurvits kriteriyası sadə olduğundan geniş yayılmışdır. Kriteriya sistemin diferensial

tənliyinin əmsalları əsasında qurulmuş bir determinantdan ibarətdir.

Fərz edək ki,Ş avtomatik sistemin xarakteristik tənliyi verilmişdir.

Bu n tərtibli diferensial tənliyin xarakteristik tənliyidir. Tənliyin , , . . . əmsalları

məlum olmalıdır. Əmsalları sabit olan diferensial tənliklərə kriteriya tətbiq olunur.

Δn Hurvitsin baş determinantı adlanır.

Hurvits kriteriyasına görə avtomatik sistemin dayanıqlı olması üçün

olduğundan olmalıdır. Odur ki, determinantını yoxlamağa ehtiyac

yoxdur.

Hurvits kriteriyasına beş və beşdən yuxarı tərtibli tənliklər üçün istifadə etmək çətindir.

Bu hallarda dayanıqlığın Mixaylov yaxud amplitud-faza (Naykvist) kriteriyasından istifadə

etmək tövsiyə olunur.

MİXAYLOV DAYANIQLIQ KRİTERİYASI

Mixaylov dayanıqlıq kriteriyası 1938-ci ildə təkilf olunmuşdur.

Qapalı avtomatik sistemin xarakteristik tənliyi əvvəlcədən məlim olmalıdır.

Xarakteristik tənlik M(p) vektoruna bərabər edilir:

Sistemin hodoqrafının tənliyini almaq üçün sonuncu bərabərlikdə yazmaq

lazımdır. Onda tənlik bu şəkildə olar.

Həqiqi və xəyali hissələri ayırsaq, alarıq.

Həqiqi və xəyali hissələri üçün aşağıdakıları alarıq:

tezliyinə 0-dan ∞-a qədər qiymət verib kompleks müstəvidə Mixaylov hodoqrafı

adlanan əyrini qururuq. Sistemin dayanıqlı olması üçün tezliyi 0÷∞-a qədər dəyişdirildikdə

M( vektorunun hodoqrafı kompleks müstəvidə həqiqi oxun müsbət tərəfində yerləşən

nöqtədən başlayıb, saat əqrəbinin əksinə fırlanaraq, sıfırdan keçməmək şərtilə ardıcıl n rübdən,

yəni (I, II, III, IV, I, II) keçməsi lazım və kafidir. N-ci rübdə hodoqraf sonsuzluğa doğru

getməlidir. Hodoqraf-yunanca hodos-yol, hərəkət, istiqamət + qraf – deməkdir. Hodoqraf

anlayışını Y.Hamilton daxil etmişdir. Nöqtənin trayektoriyası radius – vektorun hodoqrafıdır.

Şək. 4-də n=1, 2, 3, 4 , 5 qiymətləri üçün dayanıqlı sistemlərin hodoqrafları

göstərilmişdir.

Şək.4. n= 1, 2, 3, 4, 5 qiymətləri üçün dayanıq sistemlərin hodoqrafları.

Dayanıqlıq sərhəddində və dayanıqsız sistemlərin hodoqrafları şək.5. və şək.6-da

göstərilmişdir.

Şək.5. Dayanıqlıq sərhədində olan Şək.6. Dayanıqsız sistemlərin

sistemin hodoqrafı hodoqrafları

MİXAYLOV KRİTERİYASINDAN ÇIXAN NƏTİCƏLƏR

Avtomatik sistem yalnız və yalnız 0 zaman dayanıqlı olur ki, tezlik 0÷∞-a qədər

dəyişdikdə və polinomlarının kökləri bir-birini növbə ilə əvəz etsinlər və

həqiqi ədədə bərabər olsunlar.

Şək.7. Sistem dayanıqlıdır.

Şək.8. Sistem dayanıqlığın sərhəddində yerləşir.

Şək.9. Sistem dayanıqsızdır.

NAYKVİST DAYANIQLIQ KRİTERİYASI

Naykvist dayanıqlıq kriteriyası 1932-ci ildə təklif edilmişdir. Bu kriteriya açıq sistemin

amplitud-faza tezlik xarakteristikasına əsasən qapalı sistemin dayanıqlı olub-olmaması barədə

mühakimə yürütməyə imkan verir ki, bu da hesablamanı xeyli asanlaşdırır.

Fərz edək ki, aşağıdakı qapalı avtomatik idarəetmə sistemi verilmişdir.

Şək.10. Qapalı avtomatik idarəetmə sisteminin struktur sxemi.

Qapalı avtomatik idarəetmə sistemini Q nöqtəsində qırıq açıq sistem alırıq. Bu hal üçün

açıq sistemin ötürmə funksiyası

olacaqdır.

P yerinə yazırıq. Açıq sistemin tezlik xarakteristikasını alırıq.

Həqiqi və xəyali hissələri bir-birindən ayırsaq alarıq:

Burada

K və T kəmiyyətlərinin qiymətlərini yerinə yazıb, tezliyinə 0÷∞-a qədər qiymətlər

verib R( ) və I ( )-nı təyin edirik. Alınmış qiymətlərə görə amplitud – faza tezlik

xarakteristikasını qururuq.

Naykvist kriteriyasına görə qapalı avtomatik idarəetmə sistemi o vaxt dayanıqlı olur ki,

vektorunun hodoqrafı tezlik 0÷∞-a qədər dəyişdikdə -1; j0 koordinatlarına malik olan

nöqtəni əhatə etməsin.

Aşağıda dayanıqlı və dayanıqsız sistemlərin amplituda – faza tezlik xarakteristikaları

göstərilmişdir.

Şək.11. Dayanıqlı sistemin amplituda- faza Şək.12. Dayanıqsız sistemin

tezlik xarakteristikası amplituda-faza tezlik

xarakteristikası

GECİKMƏYƏ MALİK OLAN AİS-İN DAYANIQLIĞININ

TƏYİNİ

Gecikməyə malik olan sistemə iki növ bəndin – gecikməyən və gecikən bəndlərin ardıcıl

birləşməsi kimi baxmaq olar.

Gecikməyə malik olan açıq sistemin struktur sxemi aşağıda verilmişdir.

X(P) Y(P)1 Y(P)W (P)o

Şək.13. Y (P)1

Bu sxemdə (1) – baxdığımız sistemdə gecikməyən bəndlərin ötürmə

funksiyası,

(2) isə gecikən bəndin ötürmə funksiyasıdır.

Sistemin ötürmə funksiyası

(3) olmacaqdır.

qəbul etdikdə sistemin kompleks tezlik funksiyasını aşağıdakı şəkildə alarıq.

(4)

Polyar koordinat sistemində olduğunu bildikdə (4) ifadəsini

aşağıdakı kimi yaza bilərik.

(5)

(5) ifadəsindən görürük ki, gecikməyə malik olan sistemin AFX-nı qurmaq üçün, həmin

sistemin gecikmə nəzərə alınmadan qurulan AFX-nın bütün radius-vektorlarını saat əqrəbinin

istiqamətində bucağı qədər döndərmək lazımdır. (Şək. 14.a.).

Aldığımız AFX-nın nöqtəsinə görə vəziyyətinə əsasən (Naykvist

dayanıqlıq kriteriyasına görə) sistemin dayanıqlığı barədə fikir söyləyə bilərik.

Fərz edək ki, AFX-sı nöqtəsini əhatə etmir. Mərkəzi koordinat

başlanğıcında, radiusu vahid olan çevrə çəkək (şək.14.b.). Bu vahid çevrənin

xarakteristikası ilə görüşdüyü nöqtəni a ilə işarə edək. Bu nöqtənin tezliyini ilə, 0a radius

vektorunun – R( ) oxunun mənfi hissəsi ilə əmələ gətirdiyi bucağı isə ilə işarə edək. Bütün

radius vektorların saat

a b

Şəkil 14. Gecikməyən sistemin görə (a) gecikən sistemin

qurulması və gecikmənin böhran müddətinin təyini (b)

Əqrəbi istiqamətində dönmə bucaqlarını qəbul etməklə gecikməyə malik olan sistemin

amplituda – faza xarakteristikasını quraq. (Şək.14.b.). Bu zaman 0 a radius – vektoru

da saat əqrəbi istiqamətində bucağı qədər dönəcəkdir. Nə qədər ki, (6) bərabərliyi

ödənilir, sistemin amplituda – faza xarakteristikası (-1; j 0 ) nöqtəsini əhatə etmir, yəni

sistem dayanıqlı olur.

Əgər (7) olarsa, onda sistem dayanıqlıq sərhəddində olur. Bu səbəbdən

(8) nisbəti kritik gecikmə vaxtı adlanır.

(9)

Olduqda sistem dayanıqsız olur.

Deməli, yuxarıda dediklərimizdən belə nəticə çıxır ki, gecikməyə malik olan sistem açıq

halda dayanıqlıdırsa, onda sistemin qapalı halda da dayanıqlı olması üçün sistemin amplituda –

faza xarakteristikası (-1; j 0 ) nöqtəsini əhatə etməməlidir.

Əgər gecikməsi nəzərə alınmayan qapalı sistem dayanıqsızdırsa, onda əksər hallarda

gecikmə nəzərə alındıqda da həmin sistem dayanıqsız olacaqdır.

Əgər vahid çevrə, gecikməsi nəzərə alınmayan sistemin amplituda – faza

xarakteristikasını bir neçə nöqtədə kəsirsə, onda dayanıqsız olan bu sistem -ın bəzi

qiymətlərində dayanıqlı ola bilər.

Şəkil .Sistemin sərbəst hərəkətinin qrafikləri:

a- xarakteristik tənliyin sırf həqiqi kökləri üçün.

b- kompleks köklər üçün.

c- sırf xəyali köklər üçün.