avaliaÇÃo de ensaios experimentais de cisalhamento em vigas...

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo

RONALDO ISHIHARA

AVALIAÇÃO DE ENSAIOS EXPERIMENTAIS DE

CISALHAMENTO EM VIGAS DE CONCRETO

ARMADO SEM ARMADURA TRANSVERSAL À LUZ

DAS NORMAS

CAMPINAS

2017

RONALDO ISHIHARA

ANÁLISE DE ENSAIOS EXPERIMENTAIS DE

CISALHAMENTO EM VIGAS DE CONCRETO

ARMADO SEM ARMADURA TRANSVERSAL À LUZ

DAS NORMAS

Volume: 01/01

Dissertação apresentada à Faculdade de

Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo

da Universidade Estadual de Campinas

como parte dos requisitos exigidos para

obtenção do título de Mestre em Engenharia

Civil, na área de Estruturas e Geotécnica.

Orientador: Prof. Dr. Leandro Mouta Trautwein

ESTE EXEMPLAR CORRESPONDE À VERSÃO FINAL.

DISSERTAÇÃO DEFENDIDA PELO ALUNO RONALDO

ISHIHARA, E ORIENTADA PELO PROF. DR. LEANDRO

MOUTA TRAUTWEIN.

CAMPINAS

2017

FICHA CATALOGRÁFICA

FOLHA DE APROVAÇÃO

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo

AVALIAÇÃO DE ENSAIOS EXPERIMENTAIS DE

CISALHAMENTO EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO SEM

ARMADURA TRANSVERSAL À LUZ DAS NORMAS

Ronaldo Ishihara

Dissertação de Mestrado aprovada pela Banca Examinadora, constituída por:

Prof. Dr. Leandro Mouta Trautwein

Presidente e Orientador

Universidade Estadual de Campinas

Prof. Dr. Luiz Carlos de Almeida

Universidade Estadual de Campinas

Prof. Dr. Antônio Carlos dos Santos

Universidade Federal de Uberlândia

A Ata da defesa com as respectivas assinaturas dos membros encontra-se no processo de

vida acadêmica do aluno.

Campinas, 10 de abril de 2017.

AGRADECIMENTOS

Dedico meus sinceros agradecimentos à minha família e aos meus amigos que

acompanharam de perto a evolução deste trabalho. Ao meu orientador Leandro, cujo apoio

e paciência foram primordiais para esta realização. À Pat, minha esposa e parceira: muito

obrigado.

"Often the hands will solve a mystery that the intellect has struggled with in vain."

Carl G. Jung

RESUMO

Modelos de predição de resistência ao cisalhamento de elementos em concreto

armado são estudados por pesquisadores há mais de um século, apresentando linhas de

pesquisa diferentes. Neste contexto, os critérios para dimensionamento apresentados nas

normas e modelos de cálculo atualmente têm como base conceitos baseados na analogia

da treliça generalizada de Mörsch ou na teoria do campo de compressão modificado. O

dimensionamento de uma seção de viga de concreto armado a partir destes diferentes

modelos pode apresentar resultados que divergem significativamente. Dentro deste cenário,

o objetivo deste estudo é avaliar os métodos de cálculo vigentes e realizar uma análise

paramétrica da influência das variáveis: taxa de armadura longitudinal de flexão, resistência

do concreto, altura útil e relação altura útil/distância entre o apoio e a carga pontual aplicada,

na resistência ao cisalhamento do concreto. Os modelos de cálculo a serem analisados e

comparados são os apresentados na NBR 6118/2014, ACI 318/2014, CEB-FIP

ModelCode/2010, CSA A.23.3/2004 e EN 1992-1-1/2004. A avaliação dos métodos é

realizada por meio da comparação com resultados experimentais de vigas encontrados na

literatura, compilados num banco de dados composto por 797 vigas ensaiadas,

selecionadas de forma a atender os pré-requisitos de seção sem armadura transversal e

cuja ruptura ocorreu por cisalhamento. A análise dos critérios de cálculo é realizada

comparando-se as cargas de ruptura apresentadas nestes ensaios e os valores resistentes

calculados para cada método. O estudo paramétrico é realizado com base nos resultados

experimentais, isolando-se a influência de cada variável estudada. Ao final do trabalho

realizado conclui-se que, embora haja variação tanto no desempenho das equações de

cisalhamento apresentadas quanto no desvio dos resultados apresentado pelas mesmas em

função dos parâmetros, é possível afirmar que a norma EN 1992-1-1/2004 resultou no

melhor desempenho em termos gerais.

Palavras-chave: Concreto armado; vigas; cisalhamento; normas; resultados experimentais.

ABSTRACT

Prediction models for shear strength of elements in reinforced concrete have been studied by

researchers for more than a century, resulting in different lines of research. In this context,

the design criteria presented in codes and models are based currently on concepts based on

the generalized Mörsch’struss analogy or on the modified compression field theory. The

design of a section of a reinforced concrete beam from these different models might produce

results that diverge significantly. In this scenario, the objective of this study is to evaluate

present calculation methods and to perform a parametric analysis of the influence of the

variables: longitudinal reinforcement ratio, concrete strength, effective depth and the ratio

effective depth / distance from support and the punctual load applied, on the concrete’s

shear strength. The calculation models to be analyzed and compared are presented in NBR

6118/2014, ACI 318/2014, CEB-FIP ModelCode / 2010, CSA A.23.3 / 2004 and EN 1992-1-1

/ 2004. The evaluation of the methods is realized by comparing it’s results with experimental

results of beams found in the literature, compiled in a database composed of 797 beams,

selected in order to meet the prerequisites: section without transverse reinforcement and with

shear failure. The analysis of the calculation criteria is performed by comparing the failure

loads presented in these tests and the result values for each code. The parametric study is

performed based on the experimental results, isolating the influence of each studied variable.

At the end of the work, it is concluded that, although there is a variation both in the

performance of the presented shear equations’ codes and in the deviation of the results

presented by them according to the parameters, it is possible to affirm that the results from

EN 1992-1-1 / 2004 code were the best in general.

Keywords: Reinfoced concrete; beams; shear; codes; experimental results.

LISTA DE FIGURAS

Figura 2-1 – Analogia da treliça clássica como apresentada por Ritter (adaptado de Ritter, 1899) .................................................................................................................................... 26 Figura 2-2 – Considerações de Mörsch para a treliça clássica (adaptado de Mörsch, 1902) 26 Figura 2-3 – Modelo da treliça clássica ................................................................................ 27 Figura 2-4 – Treliça generalizada proposta por J. Schlaich (adaptado de Schlaich, 1987) ... 28 Figura 2-5 – Modelo da treliça generalizada ......................................................................... 28 Figura 2-6 – Forças atuantes em viga fissurada ................................................................... 29 Figura 2-7 – Representatividade dos paineis ensaiados (adaptado de Bentz, 2006) ............ 33 Figura 2-8 – Equações da Teoria do Campo de Compressão Modificado (adaptado de Bentz, 2006) ......................................................................................................................... 34 Figura 2-9 – Influência da taxa de armadura longitudinal na resistência ao cisalhamento (adaptado de Hedman, O.; Losberg, A., 1978) ..................................................................... 55 Figura 2-10 – Influência da taxa de armadura longitudinal na resistência ao cisalhamento (adaptado de Leonhardt, F., 1979) ....................................................................................... 55 Figura 2-11 – Influência da taxa de armadura longitudinal na resistência ao cisalhamento (Fusco, 2008) ....................................................................................................................... 57 Figura 2-12 – Influência da altura útil na resistência ao cisalhamento (adaptado de Leonhardt, F., 1979) ............................................................................................................. 59 Figura 2-13 – Influência da altura útil na resistência ao cisalhamento (Fusco, 2008) ........... 60 Figura 2-14 – Influência da relação 𝑎/𝑑 na resistência ao cisalhamento (adaptado de Leonhardt, F., 1979) ............................................................................................................. 62 Figura 2-15 – Influência da relação 𝑎/𝑑 na resistência ao cisalhamento (adaptado de MacGregor, J. G.; Wight, J. K., 2012) ................................................................................... 64 Figura 2-16 –Resistência ao cisalhamento em função dos parâmetros (adaptado de fib bulletin 2, 1999) .................................................................................................................... 66 Figura 3-1 –Distribuição da resistência do concreto (Cerqueira, 2000) ................................. 76 Figura 3-2 –Distribuição do número de ensaios considerando o parâmetro 𝑎/𝑑 .................. 90 Figura 3-3 –Distribuição do número de ensaios considerando o parâmetro 𝑑 ...................... 91 Figura 3-4 –Distribuição do número de ensaios considerando o parâmetro 𝑓𝑐𝑘 ................... 92 Figura 3-5 –Distribuição do número de ensaios considerando o parâmetro 𝜌 ...................... 93 Figura 3-6 – Nomenclatura adotada para as combinações ................................................... 95 Figura 3-7 –Representação do conjunto de ensaios da combinação 𝑋𝑏𝑏𝑐 ........................... 97

LISTA DE GRÁFICOS

Gráfico 2-1 – Influência da taxa de armadura longitudinal conforme normas ........................ 69 Gráfico 2-2 – Influência da altura útil conforme normas ........................................................ 70 Gráfico 2-3 – Influência da relação 𝑎/𝑑 conforme normas .................................................... 71 Gráfico 2-4 – Influência da resistência à compressão do concreto conforme normas ........... 72 Gráfico 4-1 – NBR,I – influência de 𝑎/𝑑 para combinação Xbbc ........................................ 103 Gráfico 4-2 – NBR,I - influência de 𝑎/𝑑 para combinação Xbbd ......................................... 104 Gráfico 4-3 – NBR,I - influência de 𝑎/𝑑 para combinação Xbbe ......................................... 106 Gráfico 4-4 – NBR,I - influência de 𝑑 para combinação bXbb ............................................. 107 Gráfico 4-5 – NBR,I - influência de 𝑓𝑐𝑘 para combinação bbXc ......................................... 109 Gráfico 4-6 – NBR,I - influência de 𝑓𝑐𝑘 para combinação bcXc .......................................... 111 Gráfico 4-7 – NBR,I - influência de 𝑓𝑐𝑘 para combinação cbXc .......................................... 112 Gráfico 4-8 – NBR,I - influência de 𝜌 para combinação bbbX ............................................. 114 Gráfico 4-9 – NBR,I - influência de 𝜌 para combinação bbcX ............................................. 116 Gráfico 4-10 – NBR,I - influência de 𝜌 para combinação cbbX ........................................... 117 Gráfico 5-1 – NBR,II – influência de 𝑎/𝑑 para combinação Xbbc ....................................... 120 Gráfico 5-2 – NBR,II - influência de 𝑎/𝑑 para combinação Xbbd ........................................ 121 Gráfico 5-3 – NBR,II - influência de 𝑎/𝑑 para combinação Xbbe ........................................ 123 Gráfico 5-4 – NBR,II - influência de 𝑑 para combinação bXbb ............................................ 124 Gráfico 5-5 – NBR,II - influência de 𝑓𝑐𝑘 para combinação bbXc ........................................ 126 Gráfico 5-6 – NBR,II - influência de 𝑓𝑐𝑘 para combinação bcXc ......................................... 128 Gráfico 5-7 – NBR,II - influência de 𝑓𝑐𝑘 para combinação cbXc ......................................... 130 Gráfico 5-8 – NBR,II - influência de 𝜌 para combinação bbbX ............................................ 131 Gráfico 5-9 – NBR,II - influência de 𝜌 para combinação bbcX ............................................ 133 Gráfico 5-10 – NBR,II - influência de 𝜌 para combinação cbbX .......................................... 134 Gráfico 6-1 – ACI – influência de 𝑎/𝑑 para combinação Xbbc ............................................ 137 Gráfico 6-2 – ACI - influência de 𝑎/𝑑 para combinação Xbbd ............................................ 138 Gráfico 6-3 – ACI - influência de 𝑎/𝑑 para combinação Xbbe ............................................ 140 Gráfico 6-4 – ACI - influência de 𝑑 para combinação bXbb ................................................ 141 Gráfico 6-5 – ACI - influência de 𝑓𝑐𝑘 para combinação bbXc ............................................. 143 Gráfico 6-6 – ACI - influência de 𝑓𝑐𝑘 para combinação bcXc ............................................. 145 Gráfico 6-7 – ACI - influência de 𝑓𝑐𝑘 para combinação cbXc ............................................. 147 Gráfico 6-8 – ACI - influência de 𝜌 para combinação bbbX ................................................ 148 Gráfico 6-9 – ACI - influência de 𝜌 para combinação bbcX ................................................. 150 Gráfico 6-10 – ACI - influência de 𝜌 para combinação cbbX ............................................... 151 Gráfico 7-1 – CSA – influência de 𝑎/𝑑 para combinação Xbbc........................................... 154 Gráfico 7-2 – CSA - influência de 𝑎/𝑑 para combinação Xbbd ........................................... 155 Gráfico 7-3 – CSA - influência de 𝑎/𝑑 para combinação Xbbe ........................................... 157 Gráfico 7-4 – CSA - influência de 𝑑 para combinação bXbb ............................................... 158 Gráfico 7-5 – CSA - influência de 𝑓𝑐𝑘 para combinação bbXc ............................................ 160 Gráfico 7-6 – CSA - influência de 𝑓𝑐𝑘 para combinação bcXc ............................................ 162 Gráfico 7-7 – CSA - influência de 𝑓𝑐𝑘 para combinação cbXc ............................................ 164 Gráfico 7-8 – CSA - influência de 𝜌 para combinação bbbX ............................................... 165 Gráfico 7-9 – CSA - influência de 𝜌 para combinação bbcX ............................................... 167 Gráfico 7-10 – CSA - influência de 𝜌 para combinação cbbX ............................................. 169 Gráfico 8-1 – CEBFIP – influência de 𝑎/𝑑 para combinação Xbbc ..................................... 171 Gráfico 8-2 – CEBFIP - influência de 𝑎/𝑑 para combinação Xbbd ...................................... 172 Gráfico 8-3 – CEBFIP - influência de 𝑎/𝑑 para combinação Xbbe ...................................... 174 Gráfico 8-4 – CEBFIP - influência de 𝑑 para combinação bXbb ......................................... 175 Gráfico 8-5 – CEBFIP - influência de 𝑓𝑐𝑘 para combinação bbXc ...................................... 177 Gráfico 8-6 – CEBFIP - influência de 𝑓𝑐𝑘 para combinação bcXc ...................................... 179

Gráfico 8-7 – CEBFIP - influência de 𝑓𝑐𝑘 para combinação cbXc ...................................... 181 Gráfico 8-8 – CEBFIP - influência de 𝜌 para combinação bbbX.......................................... 182 Gráfico 8-9 – CEBFIP - influência de 𝜌 para combinação bbcX .......................................... 184 Gráfico 8-10 – CEBFIP - influência de 𝜌 para combinação cbbX ........................................ 186 Gráfico 9-1 – EC2 – influência de 𝑎/𝑑 para combinação Xbbc ........................................... 188 Gráfico 9-2 – EC2 - influência de 𝑎/𝑑 para combinação Xbbd ........................................... 189 Gráfico 9-3 – EC2 - influência de 𝑎/𝑑 para combinação Xbbe ........................................... 191 Gráfico 9-4 – EC2 - influência de 𝑑 para combinação bXbb ............................................... 192 Gráfico 9-5 – EC2 - influência de 𝑓𝑐𝑘 para combinação bbXc ............................................ 194 Gráfico 9-6 – EC2 - influência de 𝑓𝑐𝑘 para combinação bcXc ............................................ 196 Gráfico 9-7 – EC2 - influência de 𝑓𝑐𝑘 para combinação cbXc ............................................ 197 Gráfico 9-8 – EC2 - influência de 𝜌 para combinação bbbX ............................................... 199 Gráfico 9-9 – EC2 - influência de 𝜌 para combinação bbcX ................................................ 201 Gráfico 9-10 – EC2 - influência de 𝜌 para combinação cbbX .............................................. 202 Gráfico 10-1 – Influência de 𝑎𝑑 para a combinação Xbbc .................................................. 205 Gráfico 10-2 – Influência de 𝑎𝑑 para a combinação Xbbd .................................................. 207 Gráfico 10-3 – Influência de 𝑎𝑑 para a combinação Xbbe .................................................. 209 Gráfico 10-4 – Influência de 𝑑 para a combinação bXbb .................................................... 211 Gráfico 10-5 – Influência de 𝑓𝑐𝑘 para a combinação bbXc ................................................. 213 Gráfico 10-6 – Influência de 𝑓𝑐𝑘 para a combinação bcXc ................................................. 214 Gráfico 10-7 – Influência de 𝑓𝑐𝑘 para a combinação cbXc ................................................. 216 Gráfico 10-8 – Influência de 𝜌 para a combinação bbbX .................................................... 218 Gráfico 10-9 – Influência de 𝜌 para a combinação bbcX .................................................... 220 Gráfico 10-10 – Influência de 𝜌 para a combinação cbbX................................................... 222 Gráfico 10-11 – DP Collins com a variação do parâmetro 𝑎/𝑑 ........................................... 224 Gráfico 10-12 – DP Collins com a variação do parâmetro 𝑑 ............................................... 225 Gráfico 10-13 – DP Collins com a variação do parâmetro 𝑓𝑐𝑘 ............................................ 227 Gráfico 10-14 – DP Collins com a variação do parâmetro 𝜌 ............................................... 228

LISTA DE TABELAS

Tabela 2-1 – Resumo das equações para cisalhamento das normas ................................... 53 Tabela 2-2 – Valores adotados para cada intervalo de parâmetro ........................................ 67 Tabela 3-1 – Limites dos parâmetros atribuídos pelas normas ............................................. 81 Tabela 3-2 – Classificação por pontos de demérito segundo Collins (2011) ......................... 86 Tabela 3-3 – Resumo dos intervalos dos critérios ................................................................ 94 Tabela 3-4 – Distribuição de ensaios considerando o critério crit01 (𝑎/𝑑) livre .................... 96 Tabela 3-5 – Distribuição de ensaios considerando o critério crit02 (𝑑) livre ........................ 98 Tabela 3-6 – Distribuição de ensaios considerando o critério crit03 (𝑓𝑐𝑘) livre .................... 99 Tabela 3-7 – Distribuição de ensaios considerando o critério crit04 (𝜌) livre ...................... 100 Tabela 3-8 – Resumo de combinações válidas .................................................................. 101 Tabela 4-1 – NBR,I - DP Collins para 𝑎/𝑑 e combinação Xbbc .......................................... 103 Tabela 4-2 – NBR,I - DP Collins para 𝑎/𝑑 e combinação Xbbd .......................................... 105 Tabela 4-3 – NBR,I - DP Collins para 𝑎/𝑑 e combinação Xbbe .......................................... 106 Tabela 4-4 – NBR,I - DP Collins para 𝑑 e combinação bXbb .............................................. 108 Tabela 4-5 – NBR,I - DP Collins para 𝑓𝑐𝑘 e combinação bbXc .......................................... 110 Tabela 4-6 – NBR,I - DP Collins para 𝑓𝑐𝑘 e combinação bcXc ........................................... 111 Tabela 4-7 – NBR,I - DP Collins para 𝑓𝑐𝑘 e combinação cbXc ........................................... 113 Tabela 4-8 – NBR,I - DP Collins para 𝜌 e combinação bbbX .............................................. 115 Tabela 4-9 – NBR,I - DP Collins para 𝜌 e combinação bbcX .............................................. 116 Tabela 4-10 – NBR,I - DP Collins para 𝜌 e combinação cbbX ............................................ 118 Tabela 5-1 – NBR,II - DP Collins para 𝑎/𝑑 e combinação Xbbc ......................................... 120 Tabela 5-2 – NBR,II - DP Collins para 𝑎/𝑑 e combinação Xbbd ......................................... 122 Tabela 5-3 – NBR,II - DP Collins para 𝑎/𝑑 e combinação Xbbe ......................................... 123 Tabela 5-4 – NBR,II - DP Collins para 𝑑 e combinação bXbb ............................................. 125 Tabela 5-5 – NBR,II - DP Collins para 𝑓𝑐𝑘 e combinação bbXc ......................................... 127 Tabela 5-6 – NBR,II - DP Collins para 𝑓𝑐𝑘 e combinação bcXc .......................................... 128 Tabela 5-7 – NBR,II - DP Collins para 𝑓𝑐𝑘 e combinação cbXc .......................................... 130 Tabela 5-8 – NBR,II - DP Collins para 𝜌 e combinação bbbX ............................................. 132 Tabela 5-9 – NBR,II - DP Collins para 𝜌 e combinação bbcX ............................................. 133 Tabela 5-10 – NBR,II - DP Collins para 𝜌 e combinação cbbX ........................................... 135 Tabela 6-1 – ACI - DP Collins para 𝑎/𝑑 e combinação Xbbc .............................................. 137 Tabela 6-2 – ACI - DP Collins para 𝑎/𝑑 e combinação Xbbd ............................................. 139 Tabela 6-3 – ACI - DP Collins para 𝑎/𝑑 e combinação Xbbe ............................................. 140 Tabela 6-4 – ACI - DP Collins para 𝑑 e combinação bXbb ................................................. 142 Tabela 6-5 – ACI - DP Collins para 𝑓𝑐𝑘 e combinação bbXc .............................................. 144 Tabela 6-6 – ACI - DP Collins para 𝑓𝑐𝑘 e combinação bcXc .............................................. 145 Tabela 6-7 – ACI - DP Collins para 𝑓𝑐𝑘 e combinação cbXc .............................................. 147 Tabela 6-8 – ACI - DP Collins para 𝜌 e combinação bbbX ................................................. 149 Tabela 6-9 – ACI - DP Collins para 𝜌 e combinação bbcX.................................................. 150 Tabela 6-10 – ACI - DP Collins para 𝜌 e combinação cbbX ................................................ 152 Tabela 7-1 – CSA - DP Collins para 𝑎/𝑑 e combinação Xbbc ............................................ 154 Tabela 7-2 – CSA - DP Collins para 𝑎/𝑑 e combinação Xbbd ............................................ 156 Tabela 7-3 – CSA - DP Collins para 𝑎/𝑑 e combinação Xbbe ............................................ 157 Tabela 7-4 – CSA - DP Collins para 𝑑 e combinação bXbb ................................................ 159 Tabela 7-5 – CSA - DP Collins para 𝑓𝑐𝑘 e combinação bbXc ............................................. 161 Tabela 7-6 – CSA - DP Collins para 𝑓𝑐𝑘 e combinação bcXc ............................................. 162 Tabela 7-7 – CSA - DP Collins para 𝑓𝑐𝑘 e combinação cbXc ............................................. 164 Tabela 7-8 – CSA - DP Collins para 𝜌 e combinação bbbX ................................................ 166 Tabela 7-9 – CSA - DP Collins para 𝜌 e combinação bbcX ................................................ 167 Tabela 7-10 – CSA - DP Collins para 𝜌 e combinação cbbX .............................................. 169

Tabela 8-1 – CEBFIP - DP Collins para 𝑎/𝑑 e combinação Xbbc ....................................... 171 Tabela 8-2 – CEBFIP - DP Collins para 𝑎/𝑑 e combinação Xbbd ....................................... 173 Tabela 8-3 – CEBFIP - DP Collins para 𝑎/𝑑 e combinação Xbbe ....................................... 174 Tabela 8-4 – CEBFIP - DP Collins para 𝑑 e combinação bXbb .......................................... 176 Tabela 8-5 – CEBFIP - DP Collins para 𝑓𝑐𝑘 e combinação bbXc ....................................... 178 Tabela 8-6 – CEBFIP - DP Collins para 𝑓𝑐𝑘 e combinação bcXc ....................................... 179 Tabela 8-7 – CEBFIP - DP Collins para 𝑓𝑐𝑘 e combinação cbXc ....................................... 181 Tabela 8-8 – CEBFIP - DP Collins para 𝜌 e combinação bbbX .......................................... 183 Tabela 8-9 – CEBFIP - DP Collins para 𝜌 e combinação bbcX ........................................... 184 Tabela 8-10 – CEBFIP - DP Collins para 𝜌 e combinação cbbX ......................................... 186 Tabela 9-1 – EC2 - DP Collins para 𝑎/𝑑 e combinação Xbbc ............................................. 188 Tabela 9-2 – EC2 - DP Collins para 𝑎/𝑑 e combinação Xbbd ............................................ 190 Tabela 9-3 – EC2 - DP Collins para 𝑎/𝑑 e combinação Xbbe ............................................ 191 Tabela 9-4 – EC2 - DP Collins para 𝑑 e combinação bXbb ................................................ 193 Tabela 9-5 – EC2 - DP Collins para 𝑓𝑐𝑘 e combinação bbXc ............................................. 195 Tabela 9-6 – EC2 - DP Collins para 𝑓𝑐𝑘 e combinação bcXc ............................................. 196 Tabela 9-7 – EC2 - DP Collins para 𝑓𝑐𝑘 e combinação cbXc ............................................. 198 Tabela 9-8 – EC2 - DP Collins para 𝜌 e combinação bbbX ................................................ 200 Tabela 9-9 – EC2 - DP Collins para 𝜌 e combinação bbcX ................................................. 201 Tabela 9-10 – EC2 - DP Collins para 𝜌 e combinação cbbX ............................................... 203 Tabela 10-1 – Comparativo DP Collins para 𝑎/𝑑 e combinação Xbbc ................................ 206 Tabela 10-2 – Comparativo DP Collins para 𝑎/𝑑 e combinação Xbbd ................................ 207 Tabela 10-3 – Comparativo DP Collins para 𝑎/𝑑 e combinação Xbbe ................................ 209 Tabela 10-4 – Comparativo DP Collins para 𝑑 e combinação bXbb ................................... 211 Tabela 10-5 – Comparativo DP Collins para 𝑓𝑐𝑘 e combinação bbXc ................................ 213 Tabela 10-6 – Comparativo DP Collins para 𝑓𝑐𝑘 e combinação bcXc ................................ 215 Tabela 10-7 – Comparativo DP Collins para 𝑓𝑐𝑘 e combinação cbXc ................................ 216 Tabela 10-8 – Comparativo DP Collins para 𝜌 e combinação bbbX ................................... 218 Tabela 10-9 – Comparativo DP Collins para 𝜌 e combinação bbcX .................................... 220 Tabela 10-10 – Comparativo DP Collins para 𝜌 e combinação cbbX .................................. 222

Tabela I- 1 – Banco de dados obtido na literatura .............................................................. 240

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

ABNT – Associação Brasileira de Normas Técnicas

ACI – American Concrete Institute

CSA – Canadian Standards Association

CXX – Concreto cuja resistência característica à compressão é XX MPa

CEB – Comité Euro-International du Béton

EC2 – Eurocode 2

FEC – Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo

FIP – Fédération Internationale de la Précontrainte

NBR – Norma Brasileira

UNICAMP – Universidade Estadual de Campinas

LISTA DE SÍMBOLOS

α → ângulo; coeficiente

𝐴𝑐 → área da seção transversal da viga

𝐴𝑠 → área de armadura longitudinal

𝑏𝑓 → largura (mesa) da seção transversal da viga

𝑏𝑤 → largura (alma) da seção transversal da viga

𝑑 → altura útil da viga

𝐸𝑠 → módulo de elasticidade do aço

𝑓𝑐 → resistência característica à compressão

𝑓𝑐′ → resistência característica à compressão do concreto (norma ACI)

𝑓𝑐𝑘 → resistência característica à compressão do concreto (norma NBR)

𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓 → resistência característica inferior do concreto à tração

𝑓𝑐𝑡𝑚 → resistência à tração direta do concreto

𝑓𝑦 → resistência ao escoamento do aço

𝑓𝑦𝑘 → resistência característica ao escoamento do aço

𝛾𝑐 → coeficiente de ponderação da resistência do concreto

𝛾𝑠 → coeficiente de ponderação da resistência do aço

ℎ → altura da seção transversal da viga

ℎ 𝑓 → altura (mesa) da seção transversal da viga

ℎ 𝑤 → altura (alma) da seção transversal da viga

𝑧 → distância entre o banzo comprimido e o banzo tracionado no modelo da treliça

∅ → diâmetro das barras que compõe a armadura; fator

ρ𝑙 → taxa de armadura longitudinal

𝑉𝑐 → força cortante resistente devida ao concreto na diagonal tracionada

𝜏𝑅 → tensão de cisalhamento resistente

𝜏𝑠 → tensão de cisalhamento solicitante

𝜏𝑤 → tensão de cisalhamento

𝑉𝑅𝑑1 → força cortante resistente relativa a elementos sem armadura para força

cortante

𝑉𝑅𝑑2 → força cortante resistente relativa à ruína das diagonais comprimidas de

concreto

𝑉𝑅𝑑3 → força cortante resistente relativa à ruína por tração diagonal

𝑉𝑠𝑤 → resistência ao cisalhamento devida à armadura transversal

𝑣𝑢 → força cortante última

𝑀𝑢 → momento fletor último

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO .............................................................................................................. 22

1.1. Justificativa ............................................................................................................ 22

1.2. Objetivos ................................................................................................................ 23

Objetivo geral .................................................................................................. 23

Objetivos específicos ...................................................................................... 24

1.3. Organização da dissertação ................................................................................... 24

2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ......................................................................................... 25

2.1. Esforços e tensões no modelo da treliça clássica .................................................. 25

2.2. Esforços e tensões no modelo da treliça generalizada ........................................... 27

2.3. Mecanismos básicos de resistência ao cisalhamento na diagonal tracionada ........ 29

2.4. Esforços e tensões no modelo do campo de compressão modificado .................... 32

2.5. Recomendações de normas ................................................................................... 36

NBR 6118/2014 ............................................................................................... 36

2.5.1.1. NBR - Procedimento I (NBR,I) – cálculo como lajes ................................. 37

2.5.1.2. NBR - Procedimento II (NBR,II) – cálculo como vigas .............................. 38

ACI 318/2014 (ACI) ......................................................................................... 42

CSA A23.03-04/2004 (CSA) ............................................................................ 44

CEB-FIP ModelCode/2010 (CEBFIP) .............................................................. 48

EN 1992-1-1/2004 (EC2) ................................................................................. 51

Resumo das equações das normas ................................................................ 53

2.6. Influência dos parâmetros na resistência ao cisalhamento ..................................... 54

Taxa de armadura longitudinal ........................................................................ 54

Altura últil ........................................................................................................ 58

Relação entre a distância da carga pontual e a altura útil ............................... 62

Resistência à compressão do concreto ........................................................... 65

Gráficos da influência dos parâmetros nas equações de normas .................... 67

2.6.5.1. Taxa de armadura longitudinal ................................................................. 68

2.6.5.2. Altura útil .................................................................................................. 69

2.6.5.3. Relação entre a distância da carga pontual e a altura útil ........................ 71

2.6.5.4. Resistência à compressão do concreto .................................................... 72

3. METODOLOGIA ........................................................................................................... 74

3.1. Critérios e considerações para a aplicação equações de normas .......................... 74

Fatores de majoração e minoração ................................................................. 74

Ancoragem da armadura longitudinal .............................................................. 74

Diâmetro dos agregados ................................................................................. 75

Momento fletor na seção em análise ............................................................... 75

Resistência à compressão do concreto ........................................................... 75

3.2. Critérios adotados para a composição do banco de dados das vigas .................... 81

Limites dos parâmetros atribuídos pelas normas ............................................ 81

Características para consideração do ensaio .................................................. 82

3.3. Cálculo da tensão de cisalhamento solicitante ....................................................... 84

3.4. Razão entre tensão solicitante e resistente dos modelos ....................................... 84

3.5. Critério de avaliação das Normas: pontos de demérito segundo Collins ................ 85

3.6. Parâmetros para classificação das vigas do banco de dados ................................. 86

3.7. Definição do intervalo de cada critério para o estudo parametrizado ...................... 87

3.8. Resultados experimentais e de normas.................................................................. 88

3.9. CARACTERÍSTICAS DO BANCO DE DADOS ...................................................... 89

Distribuição do número de ensaios dentro dos parâmetros ............................. 89

3.10. Distribuição dos ensaios considerando os subgrupos dos critérios ..................... 95

4. AVALIAÇÃO DE RESULTADOS: NORMA NBR 618:2014 – lajes (NBR,I) ............... 102

4.1. Relação entre o ponto de aplicação da carga e a altura útil – 𝒂/𝒅 ....................... 102

Distribuição de ensaios 01 ............................................................................ 102



4.2. Altura útil – 𝒅 ........................................................................................................ 107


4.3. Resistência à compressão do concreto – 𝒇𝒄𝒌 ...................................................... 109




4.4. Taxa de armadura longitudinal – 𝝆 ....................................................................... 114




5. AVALIAÇÃO DE RESULTADOS: NORMA NBR6118:2014 – vigas (NBR,II) ............ 119





5.2. Altura útil – 𝒅 ........................................................................................................ 124










6. AVALIAÇÃO DE RESULTADOS: NORMA ACI 318/2014 (ACI) ................................ 136





6.2. Altura útil – 𝒅 ........................................................................................................ 141










7. AVALIAÇÃO DE RESULTADOS: NORMA CSA A23.03-04/2004 (CSA) ................... 153





7.2. Altura útil – 𝒅 ........................................................................................................ 158










8. AVALIAÇÃO DE RESULTADOS: NORMA CEB-FIP ModelCode/2010 (CEBFIP) .... 170





8.2. Altura útil – 𝒅 ........................................................................................................ 175










9. AVALIAÇÃO DE RESULTADOS: NORMA EN 1992-1-1/2004 (EC2) ........................ 187





9.2. Altura útil – 𝒅 ........................................................................................................ 192










10. COMPARATIVO ENTRE NORMAS ........................................................................ 204

10.1. Parâmetro 𝒂/𝒅 (crit01) ...................................................................................... 204

Distribuição de ensaios 01 ......................................................................... 204



10.2. Parâmetro 𝒅 (crit02).......................................................................................... 210


10.3. Parâmetro 𝒇𝒄𝒌 (crit03) ...................................................................................... 212




10.4. Parâmetro 𝝆 (crit04) .......................................................................................... 217




10.5. Gráficos comparativos de DP Collins ................................................................ 223

Parâmetro 𝒂𝒅 ............................................................................................ 223

Parâmetro 𝒅 .............................................................................................. 224

Parâmetro 𝒇𝒄𝒌 ........................................................................................... 225

Parâmetro 𝝆 .............................................................................................. 227

11. CONCLUSÃO E SUGESTÕES DE TRABALHOS .................................................. 229

11.1. Considerações finais ........................................................................................ 229

11.2. Sugestões para trabalhos futuros ..................................................................... 231

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................................. 232

APÊNDICE I – BANCO DE DADOS .................................................................................. 239

22

1. INTRODUÇÃO

O problema da estimativa da capacidade resistente ao cisalhamento de peças de

concreto armado tem sido objeto de estudo de pesquisadores e engenheiros estruturais há

mais de um século. Apesar da questão de peças sem armadura transversal ter sido

abordada ao longo das últimas décadas, ainda não há um consenso sobre um modelo

teórico a ser utilizado para a predição da capacidade resistente ao cisalhamento das

mesmas (TRAUTWEIN, 2014). Em parte devido à complexidade do comportamento global

das estruturas de concreto e à dificuldade de se estimar com precisão a parcela de

contribuição de cada um dos diferentes mecanismos resistentes à força cortante, a ausência

de um consenso sobre um modelo teórico para o colapso por cisalhamento de peças de

concreto armado evidencia que o estudo deste tema ainda apresenta uma ampla

possibilidade de avanço.

Os modelos atuais apresentam, em sua maioria, equações com bases semi-

empíricas para a formulação da capacidade resistente ao cisalhamento, partindo de

conceitos baseados na analogia da treliça generalizada de Mörsch ou na teoria do campo de

compressão modificado de Vecchio e Collins. O dimensionamento de uma seção de viga de

concreto armado a partir destes diferentes modelos pode apresentar resultados que

divergem significativamente.

1.1. Justificativa

A forma como uma seção de concreto armado responde quando solicitada por um

esforço cortante é abordada por teorias distintas quando comparam-se normas vigentes em

países diversos. Esta forma de abordagem divergente gera diferenças dos critérios

apresentados pelas normas e, comparando-se os valores resistentes calculados com

23

valores obtidos em ensaios encontrados em literaturas diversas, são encontrados para cada

norma índices de segurança diferentes. Além disso, este índice de segurança não se

mantém quando parâmetros tais como geometria da seção da viga, taxa de armadura

longitudinal, resistência do concreto ou relação entre a altura útil da viga e a distância do

carregamento utilizado são alterados.

Entre as questões que justificam estas diferenças, podem ser ressaltadas a forma

como as incertezas são aferidas e o avanço tecnológico e respectivo controle realizado

sobre os materiais empregados, além dos custos inerentes para a manutenção do grau de

segurança almejado, fatores estes que são intrínsecos a cada sociedade, sendo refletidos

nas normas adotadas pelas mesmas.

Este trabalho visa comparar quantitativamente as normas em estudo quanto à

resistência ao cisalhamento, via composição de banco de dados e análise estatística das

resistências apresentadas por cada norma e comparando-as com resultados de ensaios

obtidos na literatura.

1.2. Objetivos

Objetivo geral

Este trabalho tem como objetivo geral analisar os procedimentos de cálculo para a

resistência ao cisalhamento de vigas de concreto armado sem armadura de cisalhamento

segundo os critérios vigentes e normas NBR 6118/2014, ACI 318/2014, CEB-FIP

ModelCode/2010, CSA A.23.3/2004 e EN 1992-1-1/2004.

24

Objetivos específicos

1. Avaliar os critérios de cálculo apresentados pelas normas NBR 6118/2014,

ACI 318/2014, CEB-FIP ModelCode/2010, CSA A.23.3/2004 e EN 1992-1-1/2004 para a

parcela da resistência ao cisalhamento que corresponde à força cortante resistida pela

seção de concreto;

2. Avaliar a influência dos parâmetros da viga de concreto armado (taxa de

armadura longitudinal, altura útil da seção, resistência do concreto e relação entre a altura

útil da viga e a distância do carregamento utilizado) na resistência ao cisalhamento

apresentado pelo elemento estrutural.

1.3. Organização da dissertação

Esta dissertação está divida em 11 capítulos. O primeiro capítulo é a introdução ao

trabalho realizado. No segundo capítulo, são ilustrados os mecanismos básicos de

resistência ao cisalhamento e as formulações adotadas pelas normas NBR 6118/2014, ACI

318/2014, CEB-FIP ModelCode/2010, CSA A.23.3/2004 e EN 1992-1-1/2004. O terceiro

capítulo apresenta a metodologia adotada para execução do trabalho e a caracterização do

banco de dados de vigas compilado. Os capítulos 4 a 9 apresentam a avaliação de cada

uma das normas. A recomendações normatizadas têm então seus valores teóricos

calculados comparados com os resultados experimentais de vigas ensaiadas apresentadas

na literatura, com os resultados apresentados no capítulo 10. Esta comparação é feita

considerando-se cada parâmetro estudado de forma isolada. As conclusões e sugestões de

trabalhos futuros são apresentadas no capítulo 11.

O Apêndice I apresenta o banco de dados obtidos de vigas ensaiadas em

literaturas diversas, adotado para o comparativo com as normas em estudo.

25

2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Neste capítulo são apresentadas as equações para o cálculo da resistência ao

cisalhamento, atualmente adotadas pelas normas em estudo. Os modelos teóricos que dão

origem às equações adotadas são descritos previamente à sua apresentação. Neste

capítulo são ainda citados os trabalhos que discorrem sobre as variáveis que influênciam na

resistência ao cisalhamento dos elementos estruturais e que serão levadas em

consideração neste estudo.

2.1. Esforços e tensões no modelo da treliça clássica

Conhecido atualmente como o modelo da treliça clássica, este modelo foi

originalmente criado por W. Ritter em 1899 (RITTER, 1899) e modificado por E. Mörsch em

1902 (MÖRSCH, 1902). Este modelo considera o elemento estrutural fissurado, sendo

caracterizado pelas seguintes considerações:

• Banzo superior comprimido (cordão de concreto);

• Banzo inferior tracionado (armadura longitudinal de tração), paralelo ao banzo

superior;

• Diagonais comprimidas (bielas) de concreto com uma inclinação 𝜃 = 45° em

relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural;

• Diagonais tracionadas (armadura transversal de cisalhamento) com uma

inclinação 𝛼 entre 45° e 90° em relação ao eixo longitudinal do elemento

estrutural.

26

A Figura 2-1 apresenta o esquema proposto no trabalho de W. Ritter. A

Figura 2-2 apresenta as considerações feitas por E. Mörsch para a treliça clássica.

Figura 2-1 – Analogia da treliça clássica como apresentada por Ritter (adaptado de

Ritter, 1899)

Figura 2-2 – Considerações de Mörsch para a treliça clássica (adaptado de Mörsch,

1902)

27

A Figura 2-3 apresenta um esquema com as considerações do modelo da treliça

clássica.

Figura 2-3 – Modelo da treliça clássica

2.2. Esforços e tensões no modelo da treliça generalizada

Tratando-se das armaduras transversais, o modelo criado por W. Ritter e E. Mörsch

apresenta resultados conservadores quando confrontados com resultados experimentais.

Em 1987 J. Schlaich e K. Schafer apresentaram uma adaptação da treliça clássica

(SCHLAICH, 1987). Este novo modelo ficou conhecido como modelo da treliça generalizada.

As adaptações feitas incluem a consideração de um ângulo de diagonais comprimidas 𝜃

variável e banzos não mais paralelos: o banzo comprimido inclina-se em direção ao apoio

na medida em que se aproxima do mesmo. As bielas seriam engastadas no banzo

comprimido, tornando o modelo altamente hiperestático. A Figura 2-4 apresenta a

adaptação proposta da treliça clássica.

𝛼 𝜃 = 45°

diagonal comprimida

diagonal tracionada 𝑣𝑛

banzo superior comprimido

banzo inferior tracionado

28

Figura 2-4 – Treliça generalizada proposta por J. Schlaich (adaptado de Schlaich,

1987)

Para efeito de cálculo das tensões solicitantes, este modelo é habitualmente

apresentado como isostático, sendo a única diferença em relação ao modelo da treliça

clássica, o ângulo das bielas 𝜃 que deixa de ser fixo.

A Figura 2-5 apresenta as considerações do modelo da treliça generalizada, onde 𝑧

é a distância entre os centros dos banzos.

Figura 2-5 – Modelo da treliça generalizada

diagonal comprimida

banzo inferior tracionado

banzo superior comprimido

diagonal tracionada

𝑣𝑛 = 𝑃 2⁄

𝑃

𝜃 𝛼

29

2.3. Mecanismos básicos de resistência ao cisalhamento na diagonal

tracionada

Considerando a diagonal tracionada do elemento estrutural, as forças atuantes na

fissura estão representadas na Figura 2-6:

Figura 2-6 – Forças atuantes em viga fissurada

A capacidade resistente nominal 𝑣𝑛 é em geral considerada igual à soma das

contribuições das diversas parcelas resistentes individuais apresentadas na Figura 2-6, as

quais incluem: a parcela 𝑣𝑠 resistida pela armadura de cisalhamento, a parcela 𝑣𝑑 devida ao

efeito de pino da armadura longitudinal, a parcela 𝑣𝑐𝑧 resistida pelo concreto não fissurado

acima da fissura diagonal, e a componente vertical 𝑣𝑎𝑦 de 𝑣𝑎, devida ao intertravamento dos

agregados entre as faces da fissura (FUSCO, 2008). A Eq. 2-1 apresenta as componentes

que formam a capacidade resistente normal 𝑣𝑛.

𝑣𝑛 = 𝑣𝑠 + 𝑣𝑐𝑧 + 𝑣𝑎𝑦 + 𝑣𝑑 Eq. 2-1

𝑣𝑛 𝑣𝑑

𝑣𝑠

𝑣𝑎

𝑣𝑐𝑧 𝐶

armadura longitudinal

armadura de cisalhamento fissuras diagonais

𝑇

30

Para fins de projeto, os termos 𝑣𝑐𝑠, 𝑣𝑎𝑦 e 𝑣𝑑 são habitualmente agrupados em um

único termo denominado 𝑣𝑐, atribuído à resistência ao cisalhamento devida ao concreto na

diagonal tracionada. No caso de vigas altas (vigas-parede), além dos mecanismos

resistentes incluídos na equação acima, a transferência de força cortante por compressão

inclinada na biela resulta no efeito de arco, o qual eleva substancialmente a carga última de

cisalhamento. É importante salientar que o efeito de arco está condicionado a uma

adequada ancoragem da armadura longitudinal de flexão nos apoios.

Com relação aos mecanismos resistentes previamente citados, as seguintes

observações podem ser feitas, levando-se em consideração o concreto armado

convencional (sem o uso de fibras ou outros materiais que podem vir a alterar a forma como

o mecanismo resistente é caracterizado):

• O mecanismo resistente efetivo na zona comprimida após a fissuração

diagonal está intimamente relacionado à resistência do concreto. O

confinamento gerado pela armadura de cisalhamento contribui para

aumentar a resistência do concreto, aumentando portanto a parcela 𝑣𝑐𝑧;

• O mecanismo resistente devido ao intertravamento dos agregados entre as

faces da fissura é ativado somente após a ocorrência da fissuração diagonal

e se torna significativo à medida que ocorre deslizamento entre as faces da

fissura. Esse mecanismo está relacionado à microestrutura do concreto (e

consequentemente à sua resistência mecânica) e à energia de fraturamento

do concreto (responsável pelo grau de dutilidade do material). À medida que

a resistência do concreto aumenta, a superfície de fraturamento se torna

menos áspera (comportamento mais frágil), reduzindo a dutilidade do

material e consequentemente a parcela 𝑣𝑎𝑦 em termos relativos. A presença

de armadura de cisalhamento limita a abertura da fissura, aumentando a

dissipação de energia devida ao intertravamento dos agregados, o que

eleva a parcela resistente 𝑣𝑎𝑦;

31

• O mecanismo resistente devido ao efeito de pino da armadura longitudinal

depende da aderência concreto-armadura e da rigidez à flexão das barras da

armadura. Esse mecanismo é mais significativo em lajes do que em vigas. A

presença de armadura de cisalhamento tem uma influência positiva no efeito de

pino da armadura longitudinal, pois impede o deslocamento das barras

longitudinais;

• De todos os mecanismos expressos na equação, a contribuição direta da

armadura de cisalhamento 𝑣𝑠 é a menos complicada de se determinar. A sua

contribuição indireta citada em cada um dos três itens anteriores, a qual afeta

de forma benéfica a parcela resistente, é no entanto difícil de ser estimada com

precisão. Por conseguinte, essa contribuição indireta é ignorada na maioria das

normas de projeto, as quais consideram que a parcela 𝑣𝑐 é a mesma para vigas

com ou sem armadura de cisalhamento.

32

2.4. Esforços e tensões no modelo do campo de compressão

modificado

A teoria do campo de compressão modificado foi apresentada em 1986 por F. J.

Vecchio e M. P. Collins (VECCHIO, 1986). Trata-se de um modelo analítico para previsão da

relação carga-deformação de elementos de concreto armados sujeitos a esforços normais e

de cisalhamento atuantes no plano do elemento. O concreto fissurado é tratado como um

novo material com características de tensão-deformação próprias. As condições de

equilíbrio, compatibilidade e relação entre tensão e deformação são formuladas em termos

de valores médios das tensões e das deformações. Este modelo apresenta considerações

específicas para as tensões nas regiões fissuradas.

As relações entre tensão e deformação para o concreto fissurado foram

determinadas com base em 30 ensaios de painéis de concreto armado sujeitos a

carregamentos biaxiais uniformes pré-determinados, abrangendo também a atuação de

cisalhamento isolado. Estes ensaios evidenciaram que o concreto fissurado, quando

submetido a altas tensões de tração na direção normal à compressão, apresenta resistência

inferior quando comparado com os resultados de ensaios realizados com o corpo de prova

cilíndrico. Adicionalmente, tensões de tração significantes foram encontradas entre as

fissuras, mesmo quando submetido a altos valores de deformação média.

33

A Figura 2-7 apresenta a consideração da representatividade do modelo de paineis

ensaiados por Vecchio e Collins.

Figura 2-7 – Representatividade dos paineis ensaiados (adaptado de Bentz, 2006)

34

A Figura 2-8 apresenta de forma sintetizada as equações da teria do campo de

compressão modificado.

Figura 2-8 – Equações da Teoria do Campo de Compressão Modificado (adaptado

de Bentz, 2006)

No modelo do campo de compressão modificado mesmo os elementos que

apresentam apenas armaduras longitudinais obtém resistência ao cisalhamento

considerável após a fissuração, devido à contribuição destas armaduras na prevenção de

aberturas excessivas de fissuras. Em 1989 S. B. Bhide e M. P. Collins publicaram os

resultados de 24 ensaios de painéis de concreto armado com o objetivo de verificar esta

previsão do modelo, complementando os estudos já realizados neste campo (BHIDE, 1989).

Em 2006 E. C. Bentz, F. J. Vecchio, e M. P. Collins apresentaram uma formulação

simplificada do modelo do campo de compressão modificado (BENTZ, 2006). Esta

formulação simplificada foi elaborada a partir de considerações e relações encontradas com

35

os resultados obtidos pelo ensaio de 102 painéis de concreto armado submetidos ao

cisalhamento de forma isolada. As equações Eq. 2-2, Eq. 2-3 e Eq. 2-4 correspondem às

equações simplificadas da teoria do campo de compressão modificado.

𝑣 = 𝑣𝑐 + 𝑣𝑠 = β√𝑓𝑐′ + ρ𝑓𝑦𝑐𝑜𝑡𝜃 Eq. 2-2

β =

0,40

1 + 1500𝜀𝑥×

1300

1000 + 𝑆𝑧𝑒

Eq. 2-3

𝜃 = (29° + 7000𝜀𝑥)× (0,88 +

𝑆𝑧𝑒2500

) ≤ 75° Eq. 2-4

Onde:

β → parâmetro de espaçamento de abertura equivalente

θ → ângulo das fissuras

ρ → taxa de armadura de cisalhamento

𝜀𝑥 → deformação longitudinal no meio da seção transversal em análise

𝑆𝑧𝑒 → parâmetro de espaçamento de abertura equivalente

𝑆𝑧𝑒 =

0,35𝑠𝑥𝑎𝑔 + 16

Eq. 2-5

Onde:

𝑎𝑔 → diâmetro máximo do agregado

𝑠𝑥 → espaçamento de abertura de fissuras na direção x

36

2.5. Recomendações de normas

Nesta seção são apresentadas as equações para o cálculo da resistência ao

cisalhamento de elementos de concreto armado dispostas nas normas vigentes em estudo,

baseadas nas teorias da treliça clássica / generalizada ou do campo de compressão

modificado.

NBR 6118/2014

O dimensionamento ao esforço cortante em vigas de concreto armado na NBR

6118/2014 é realizado com base na analogia da treliça generalizada de Mörsch. A soma da

resistência ao cisalhamento do concreto, do efeito de pino da armadura longitudinal e do

engrenamento entre os agregados são representados nesta norma pela parcela 𝑣𝐶. Neste

procedimento deve-se respeitar um valor de armadura transversal mínimo.

Para lajes e elementos lineares, a NBR 6118/2014 apresenta outro procedimento

de cálculo com a possibilidade de ausência de armadura transversal, porém deve ser

respeitado o valor limite da altura altura últil da peça igual ou inferior a 1/5 de sua largura.

Embora o banco de dados compilado de vigas ensaiadas não atenda ao primeiro

procedimento e esteja quase que integralmente fora do limite apresentado pelo segundo,

ambos serão apresentados e farão parte do estudo comparativo como Procedimento I

(cálculo de 𝑣𝑐 para lajes) e Procedimento II (cálculo de 𝑣𝑐 para vigas), uma vez que a NBR

6118/2014 não dispõe de outra metodologia para estimativa da capacidade resistente ao

cisalhamento de vigas sem armadura transversal.

37

2.5.1.1. NBR - Procedimento I (NBR,I) – cálculo como lajes

A resistência ao cisalhamento de lajes e elementos lineares de concreto armado é

tratada na norma NBR 6118/2014, assim como para vigas, com formulações em termos de

limites máximos para o esforço cortante solicitante 𝑉𝑆𝑑. Para elementos sem armadura

transversal, deve-se respeitar o limite dado para o esforço de cisalhamento apresentado na

Eq. 2-6.

𝑉𝑆𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑1 Eq. 2-6

A variável 𝑣𝑅𝑑1 corresponde à força cortante resistente, sendo calculada pela Eq.

2-7.

𝑉𝑅𝑑1 = [𝜏𝑅𝑑𝑘(1,2 + 40𝜌1) + 0,15𝜎𝑐𝑝]𝑏𝑤𝑑 Eq. 2-7

Onde:

𝜏𝑅𝑑 = 0,25𝑓𝑐𝑡𝑑

𝑓𝑐𝑡𝑑 = 𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓 𝛾𝑐⁄

𝜌1 → taxa de armadura longitudinal

𝜎𝑐𝑝 → tensão longitudinal na seção devida à protensão ou carregamento

Para elementos onde 50% da armadura longitudinal inferior não chega até o apoio,

adota-se 𝑘 = 1. Para os demais casos, adota-se 𝑘 = |1,6 − 𝑑|, com 𝑑 em metros,

respeitando-se o valor limite mínimo de 𝑘 = 1.

Para o cálculo da taxa de armadura longitudinal 𝜌1 consideram-se apenas a área

das armaduras de tração que encontram-se devidamente ancoradas 𝐴𝑠1, respeitando pré-

38

requisitos de ancoragem definidos pela norma NBR 6118/2014 que não são objeto de

estudo deste trabalho.

𝜌1 =

𝐴𝑠1𝑏𝑤𝑑

≤ 0,02 Eq. 2-8

O cálculo da tensão longitudinal na seção devida à protensão ou carregamento 𝜎𝑐𝑝

é realizado conforma a Eq. 2-9.

𝜎𝑐𝑝 =

𝑁𝑆𝑑𝐴𝑐

Eq. 2-9

Onde:

𝑁𝑆𝑑 → Força longitudinal na seção devida à protensão ou carregamento

𝐴𝑐 → Área da seção transversal de concreto

Os elementos apresentados neste trabalho não apresentam força longitudinal na

seção devida à protensão ou carregamento, portando a parcela 𝜎𝑐𝑝 é nula.

2.5.1.2. NBR - Procedimento II (NBR,II) – cálculo como vigas

A resistência ao cisalhamento de vigas de concreto armado é tratada na norma

NBR 6118/2014 com formulações em termos de limites máximos para o esforço cortante

solicitante 𝑉𝑆𝑑. Este esforço está sujeito a valores limites conforme apresentado nas

equações Eq. 2-10 e Eq. 2-11.

39



A variável 𝑉𝑅𝑑2 corresponde à resistência da diagonal comprimida (biela). A tensão

atuante nas diagonais compridas pode ser expressa conforme apresentado na equação Eq.

2-12, adotando-se as considerações representadas na Figura 2-5.

𝜎𝑐𝑏 =

𝑉𝑆𝑑𝑏𝑤𝑧(𝑐𝑜𝑡𝑔𝜃 + 𝑐𝑜𝑡𝑔𝛼)𝑠𝑒𝑛

2𝜃

Eq. 2-12

O valor da compressão limite é definido na norma NBR 6118/2014 como sendo

𝑓𝑐𝑑2, valor atribuído para quando a biela é atravessada por mais de um tirante, resultando

em fissuras transversais às tensões de compressão e reduzindo a resistência à compressão

da biela. O valor de 𝑓𝑐𝑑2 é definido conforme apresentado na Eq. 2-13.

𝑓𝑐𝑑2 = 0,60𝛼𝑣2𝑓𝑐𝑑 Eq. 2-13

Onde:

𝛼𝑣2 = (1 − 𝑓𝑐𝑘 250⁄ ), com 𝑓𝑐𝑘 em MPa

𝑓𝑐𝑑 = 𝑓𝑐𝑘 𝛾𝑐⁄

No limite de resistência da biela temos portanto 𝜎𝑐𝑏 = 𝑓𝑐𝑑2. Neste caso o termo 𝑣𝑆𝑑

é substituído por 𝑣𝑅𝑑2, valor correspondente ao limite de resistência da biela. Adotando-se

ainda como distância entre os banzos do modelo da treliça 𝑧 = 0,9𝑑, a equação Eq. 2-12

pode ser descrita conforme apresentado pela Eq. 2-14.

40

𝑉𝑅𝑑2 = 𝑓𝑐𝑑2𝑏𝑤×0,9𝑑(𝑐𝑜𝑡𝑔𝜃 + 𝑐𝑜𝑡𝑔𝛼)𝑠𝑒𝑛2𝜃

𝑉𝑅𝑑2 = 0,54𝛼𝑣2𝑓𝑐𝑑𝑏𝑤𝑑𝑠𝑒𝑛2𝜃(𝑐𝑜𝑡𝑔𝜃 + 𝑐𝑜𝑡𝑔𝛼)

Eq. 2-14

A equação Eq. 2-14 é apresentada na NBR 6118/2014 como modelo de cálculo II

do procedimento de cálculo da resistência ao cisalhamento. Neste modelo, o ângulo da

diagonal de compressão 𝜃 pode ser admitido com valores entre entre 30° e 45°.

A NBR 6118/2014 possibilita ainda um cálculo simplificado onde o ângulo da

diagonal comprimida 𝜃 é fixado em 45° - este modelo é apresentado como modelo de

cálculo I na NBR 6118/2014. A equação simplificada deste modelo está representada pela

Eq. 2-15.

𝑉𝑅𝑑2 = 0,27𝛼𝑣2𝑓𝑐𝑑𝑏𝑤𝑑 Eq. 2-15

A variável 𝑣𝑅𝑑3 corresponde à resistência da diagonal tracionada, constituída pela

presença da armadura transversal somada com a contribuição do concreto pelos

mecanismos apresentados em 2.3.

𝑉𝑅𝑑3 = 𝑉𝑐+𝑉𝑠𝑤 Eq. 2-16

O termo 𝑉𝑠𝑤 corresponde à resistência da armadura transversal. Para vigas onde

não há armadura trasnversal ao elemento estrutural, este termo torna-se nulo. O termo 𝑉𝑐

corresponde à contribuição do concreto na resistência ao cisalhamento na diagonal

tracionada. De acordo com o modelo apresentado na norma brasileira NBR 6118/2014 em

elementos estruturais com ausência de força normal, a resistência ao cisalhamento 𝑣𝑐 em

vigas de concreto armado é dada pela Eq. 2-17.

𝑉𝑐 = 0,6𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓𝑏𝑤𝑑 Eq. 2-17

41

Onde:

𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓 → resistência característica inferior do concreto à tração

O valor de 𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓 é dado em função da resistência à tração direta do concreto,

conforme apresentado na Eq. 2-18.

𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓 = 0,7×𝑓𝑐𝑡,𝑚 Eq. 2-18

Na falta de ensaios para obtenção de valores da resistência à tração direta do

concreto 𝑓𝑐𝑡,𝑚, a norma NBR 6118/2014 possibilita a utilização de seu valor médio calculado

por meio das equações Eq. 2-19 e Eq. 2-20.

Para concretos com resistência à compressão do concreto 𝑓𝑐𝑘 ≤ 50 𝑀𝑃𝑎:

𝑓𝑐𝑡,𝑚 = 0,3𝑓𝑐𝑘2/3

Eq. 2-19

Para concretos com resistência à compressão do concreto 55 𝑀𝑃𝑎 ≤ 𝑓𝑐𝑘 ≤ 90 𝑀𝑃𝑎:

𝑓𝑐𝑡𝑚 = 2,12×𝑙𝑛(1 + 0,11𝑓𝑐𝑘) Eq. 2-20

Em se tratando de vigas de concreto convencional e sem armadura transversal,

como a resistência à compressão do concreto é muito superior do que sua resistência à

tração, é notório que a ruína das diagonais tracionadas ocorre antes das bielas atingirem

sua capacidade resistente máxima. Neste procedimento, a variável determinante da

resistência ao cisalhamento é portanto 𝑉𝑅𝑑3.

42

ACI 318/2014 (ACI)

Analogamente à norma brasileira, o dimensionamento ao esforço cortante em vigas

de concreto armado conforme critérios da norma ACI 318/2014 é realizado com base na

analogia da treliça generalizada de Mörsch. A resistência ao cisalhamento 𝑣𝑛 na diagonal

tracionada é calculada conforme apresentado na Eq. 2-21.

𝑣𝑛 = 𝑣𝑐 + 𝑣𝑠 Eq. 2-21

O termo 𝑣𝑠 corresponde à resistência da armadura transversal, nulo para elementos

estruturais sem sua presença. Para estes elementos, o ACI 318/2014 define valores limites

para 𝑣𝑛 de acordo com sua altura. Caso a altura ℎ seja igual ou inferior a 25,4𝑐𝑚 adota-se a

equação Eq. 2-24.

𝑣𝑛 = 𝑣𝑐 Eq. 2-22

Caso a altura ℎ seja superior a 25,4𝑐𝑚 adota-se a equação Eq. 2-25.

𝑣𝑛 = 0,5×𝑣𝑐 Eq. 2-23

O termo 𝑣𝑐 é definido pela norma ACI 318/2014 conforme apresentado pela Eq.

2-24:

𝑣𝑐 = (0,16𝜆√𝑓𝑐′ + 17𝜌𝑙

𝑉𝑢𝑑

𝑀𝑢) ×𝑏𝑤𝑑

Eq. 2-24

Onde:

43

𝜆 → fator de modificação para concreto leve. Para concretos convencionais, 𝜆 = 1

A parcela da resistência do concreto 𝑣𝑐 está sujeita a valores limites conforme

apresentado nas equações Eq. 2-25 e Eq. 2-26.

𝑣𝑐 ≤ (0,16𝜆√𝑓𝑐′ + 17𝜌𝑙) ×𝑏𝑤𝑑 Eq. 2-25

𝑣𝑐 ≤ 0,29𝜆√𝑓𝑐′𝑏𝑤𝑑 Eq. 2-26

O ACI 318/2014 impõe um limite máximo para a consideração da resistência do

concreto 𝑓𝑐′ na formulação apresentada acima, no valor de 68,95𝑀𝑃𝑎. Este limite é atribuído

quando o elemento estrutural não respeita o valor mínimo de armadura transversal

apresentado nesta norma.

A verificação ao cisalhamento é realizada comparando-se a capacidade resistente

fatorada com a carga última:

𝜙𝑣𝑛 ≥ 𝑣𝑢 Eq. 2-27

Onde:

𝜈𝑢 → força de cisalhamento solicitante fatorada

𝜙 → fator de redução da resistência

44

CSA A23.03-04/2004 (CSA)

O código canadense CSA A23.03-04/2004 apresenta formulações baseadas na

teoria do campo de compressão modificado. A verificação ao cisalhamento é realizada

comparando-se a capacidade resistente fatorada com a carga última conforme apresentado

na Eq. 2-28:

𝑣𝑟 ≥ 𝑣𝑓 Eq. 2-28

Onde:

𝜈𝑓 → força de cisalhamento última solicitante fatorada

𝜈𝑟 → força de cisalhamento resistente fatorada

A força de cisalhamento resistente é calculada pela Eq. 2-29.

𝑣𝑟 = 𝑣𝑐 + 𝑣𝑠 + 𝑣𝑝 Eq. 2-29

Onde:

𝜈𝑝 → componente na direção da força de cisalhamento aplicada devida à protensão

𝜈𝑠 → resistência ao cisalhamento devida à armadura transversal

Para os elementos estruturais sem armadura transversal e que não apresentam

esforços longitudinais ao elemento, 𝑣𝑠 = 0 e 𝑣𝑝 = 0, portanto a força de cisalhamento

resistente pode ser expressa como 𝑣𝑟 = 𝑣𝑐.

O termo 𝑣𝑐 correspondente à parcela de resistência ao cisalhamento do concreto é

calculado conforme apresentado na Eq. 2-30.

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𝑣𝑐 = ∅𝑐𝜆𝛽√𝑓𝑐′𝑏𝑤𝑑𝑣 Eq. 2-30

Onde:

𝜙𝑐 → fator de redução da resistência

𝜆 → fator de modificação para concreto leve. Para concretos convencionais, 𝜆 = 1

𝛽 → fator que considera os efeitos da deformação do elemento estrutural e o

espaçamento de fissuras

𝑑𝑣 → altura efetiva ao cisalhamento, tomada como o maior valor entre 0,9𝑑 e 0,72ℎ

O CSA A23.03-04/2004 apresenta dois cálculos diferentes para o parâmetro 𝛽, um

descrito como modelo simplificado e outro descrito como modelo geral. As equações

apresentadas neste trabalho correspondem ao modelo geral.

O valor do coeficiente 𝛽 é calculado em função da deformação longitudinal 𝜀𝑥 do

elemento e do espaçamento de fissuras, representado pelo parâmetro 𝑆𝑧𝑒, conforme

expresso pela Eq. 2-31.

𝛽 =

0,40

1 + 1500𝜀𝑥×

1300

1000 + 𝑆𝑧𝑒

Eq. 2-31

Onde:

𝜀𝑥 → deformação longitudinal no meio da seção transversal em análise

𝑆𝑧𝑒 → parâmetro de espaçamento de abertura equivalente

Na falta de cálculos mais precisos, o termo 𝜀𝑥 pode ser tomado como disposto na

Eq. 2-32, já simplificada para casos onde não há protensão ou carregamentos longitudinais

ao elemento estrutural.

46

𝜀𝑥 =

𝑀𝑢 𝑑𝑣⁄ + 𝑣𝑢2(𝐸𝑠𝐴𝑠)

Eq. 2-32

Onde:

𝐸𝑠 → módulo de elasticidade do aço

𝑣𝑢 → força de cisalhamento solicitante fatorada

𝑀𝑢 → momento fletor solicitante fatorado

𝐴𝑠 → área de armadura longitudinal


Na Eq. 2-32 os valores de 𝑀𝑢 e 𝑣𝑢 são sempre positivos e 𝑀𝑢 tem como valor

mínimo 𝑣𝑢𝑧. O valor da deformação 𝜀𝑥 não deve ser inferior a zero, caso contrário deve ser

tomado como zero ou o denominador na Eq. 2-41 deve considerar ainda a parcela de

contribuição do concreto 𝐸𝑐𝐴𝑐𝑡. Neste caso, o valor mínimo passa para 𝜀𝑥 é −0,0002. Para

ambos os casos, o valor máximo para 𝜀𝑥 é 0,003.

O termo 𝑆𝑧𝑒 presente na Eq. 2-31 é obtido pelo cálculo apresentado na Eq. 2-33.

𝑆𝑧𝑒 =

35𝑑𝑣15 + 𝑎𝑔

≥ 0,85𝑑𝑣 Eq. 2-33

Onde:

𝑎𝑔 → diâmetro máximo do agregado


Para efeito de cálculo de 𝑆𝑧𝑒, o diâmetro do agredado é considerado nulo quando

𝑓𝑐′ ≥ 70𝑀𝑃𝑎. Esta consideração é adotada para representar o efeito do rompimento do

47

agregado em conjunto com o concreto quando de resistência elevada. Neste caso, o

agregado não contribui com a rugosidade da fissura e consequente acréscimo da resistência

ao cisalhamento, reduzindo o efeito de imbricamento. Para evitar descontinuidade desta

parcela, o CSA A23.03-04/2004 propõe que o valor de 𝑎𝑔 seja interpolado na faixa

60𝑀𝑃𝑎 ≤ 𝑓𝑐′ ≤ 70𝑀𝑃𝑎, reduzindo a zero para 𝑓𝑐′ = 70𝑀𝑃𝑎.

A resistência ao cisalhamento 𝑣𝑟 deve respeitar o limite definido na Eq. 2-34

𝑣𝑟 ≤ 0,25∅𝑐𝑓𝑐′𝑏𝑤𝑑𝑣 + 𝑣𝑝 Eq. 2-34

Critérios de armadura mínima podem ser negligenciados quando o elemento

estrutural respeitar as seguintes equações:

𝑣𝑓 ≤ 𝑣𝑐 + 𝑣𝑝 Eq. 2-35

𝑏𝑤 ≤ 750mm Eq. 2-36

Há também uma limitação quando ao momento torçor máximo, como critério para

adoção de armadura mínima. O estudo de torção não é objeto de estudo deste trabalho.

48

CEB-FIP ModelCode/2010 (CEBFIP)

O modelo apresentado pelo CEB-FIP ModelCode/2010 apresenta formulações

baseadas na teoria do campo de compressão modificado. A resistência ao cisalhamento

total é calculada pela Eq. 2-37.

𝑣𝑟𝑑 = 𝑣𝑟𝑑,𝑐 + 𝑣𝑟𝑑,𝑠 Eq. 2-37

Onde:

𝜈𝑟𝑑 → força de cisalhamento resistente

𝜈𝑟𝑑,𝑐 → força de cisalhamento resistente devida ao concreto

𝜈𝑟𝑑,𝑠 → força de cisalhamento resistente devida à armadura transversal

O termo 𝑣𝑟𝑑,𝑐 é calculado conforme apresentado na Eq. 2-38.

𝑣𝑟𝑑,𝑐 = 𝐾𝑣

√𝑓𝑐𝑘𝛾𝑐

𝑏𝑤𝑧 Eq. 2-38

Onde:

𝐾𝑣 → fator que considera os efeitos da deformação do elemento estrutural e o

espaçamento de fissuras

𝛾𝑐 → coeficiente de minoração da resistência do concreto

O valor de 𝑓𝑐𝑘 na Eq. 2-38 é limitado a 64𝑀𝑃𝑎. O modelo apresentado pelo CEB-

FIP ModelCode/2010 justifica a utilização de um limite para a resistência do concreto por

49

conta da grande variabilidade da parcela resistente ao cisalhamento quando utilizados

concretos de alta resistência, principalmente para elementos sem armadura transversal.

O CEB-FIP ModelCode/2010 apresenta para o cálculo da resistência ao

cisalhamento de vigas de concreto armado três procedimentos distintos, declarados como

níveis de aproximação I, II e III. O nível de aproximação I é sugerido para o

dimensionamento de novas estruturas, servindo para elementos com ou sem armadura

transversal. Neste nível, o ângulo da biela é fixo: 𝜃 = 36°. O nível de aproximação II é

indicado tanto para o dimensionamento de novas estruturas quanto para a verificação de

estruturas existentes. Neste nível, a contribuição da resistência do concreto no cisalhamento

é negligenciada. O nível de aproximação III é indicado para casos com carregamentos

complexos ou onde é necessária uma avaliação mais rigorosa da estrutura. Este nível

apresenta o maior grau de complexidade e melhor aproximação dos resultados obtidos entre

os apresentados neste procedimento.

As disposições apresentadas neste trabalho fazem parte do nível de aproximação

III. As equações deste procedimento no nível III são semelhantes aos apresentados pela

norma CSA A23.03-04/2004, em seu modelo geral.

Quando não há armadura transversal, o valor do fator 𝐾𝑣 é calculado pela Eq. 2-39.

𝑘𝑣 =

0,40

1 + 1500𝜀𝑥×

1300

1000 + 0,7𝑘𝑑𝑔𝑧

Eq. 2-39

Onde:

𝑘𝑑𝑔 → parâmetro de espaçamento de abertura equivalente

O parâmetro 𝜀𝑥 é calculado pela Eq. 2-41, já simplificada para casos onde não há

protensão ou carregamentos longitudinais ao elemento estrutural.

50

𝜀𝑥 =

𝑀𝑢 z⁄ + 𝑣𝑢2(𝐸𝑠𝐴𝑠)

Eq. 2-40

Assim como na norma canadense CSA A23.03-04/2004, na Eq. 2-41 os valores de

𝑀𝑢 e 𝑣𝑢 são sempre positivos e 𝑀𝑢 tem como valor mínimo 𝑣𝑢𝑧. O valor da deformação 𝜀𝑥

não deve ser inferior a zero, caso contrário deve ser tomado como zero ou o denominador

na Eq. 2-41 deve considerar ainda a parcela de contribuição do concreto 𝐸𝑐𝐴𝑐𝑡. Neste caso,

o valor mínimo passa para 𝜀𝑥 é −0,0002. Para ambos os casos, o valor máximo para 𝜀𝑥 é

0,003.

O parâmetro 𝑘𝑑𝑔 é calculado pela Eq. 2-41.

𝑘𝑑𝑔 =

0,48

16 + 𝑎𝑔≥ 1,15

Eq.

avaliaÇÃo de ensaios experimentais de cisalhamento em vigas...

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