autovalores y autovectores

1

Algebra. 2004-2005. Ingenieros Industriales.

Departamento de Matematica Aplicada II. Universidad de Sevilla.

Tema 11.- Autovalores y Autovectores.

Definicion, propiedades e interpretacion geometrica. La ecuacion caracterıstica.Matrices diagonalizables.Autovalores y autovectores complejos.

A lo largo de todo el tema trataremos esencialmente con matrices cuadradas reales (aunque muchos de los resul-tados que veamos tambien seran validos para el caso de matrices cuadradas complejas). De todos modos, aunque setrabaje con matrices reales, sera imprescindible hacer referencia a los numeros complejos puesto que un polinomio concoeficientes reales puede tener raıces complejas no reales.

Autovalores y Autovectores: Definicion y propiedades.Definicion. Sea A una matriz cuadrada de orden m. Diremos que un escalar λ ∈ K (= R o C) es un autovalor de Asi existe un vector v ∈ Km, v 6= 0 tal que Av = λv, en cuyo caso se dice que v es un autovector de A asociado alautovalor λ.Proposicion. Sea λ un autovalor de A y v un autovector asociado, entonces:

1. αλ es un autovalor de αA con autovector v.

2. (λ− µ) es un autovalor de A− µI con autovector v.

3. λk es un autovalor de Ak con autovector v.

4. Si q(·) es un polinomio, entonces q(λ) es un autovalor de q(A) con autovector v. (Ejemplo: 3λ3 + 5λ2 − 7λ + 2es un autovalor de la matriz 3A3 + 5A2 − 7A + 2I).

5. Si A tiene inversa, entonces λ 6= 0 y λ−1 es un autovalor de A−1 con autovector v.

Definicion. Sea A una matriz m×m y sea λ0 un autovalor de A. Se llama:

(a) Multiplicidad algebraica de λ0, y se denota por ma(λ0), a la multiplicidad de λ0 como raız del polinomiocaracterıstico p(λ) = det(A− λI) de A. Es decir, p(λ) puede factorizarse como

p(λ) = (λ− λ0)ma(λ0)q(λ),

siendo q(λ) un polinomio (de grado m−ma(λ0)) que no se anula para λ0, q(λ0) 6= 0.

(b) Multiplicidad geometrica de λ0, y se denota por mg(λ0), a la dimension del espacio nulo de A− λ0I,

dim [Nul (A− λ0I)] = m− rango [(A− λ0I)] .

Es decir, la multiplicidad geometrica coincide con el numero (maximo) de autovectores linealmente independientesasociados al autovalor.

Lo unico que se puede afirmar en general sobre la relacion entre las multiplicidades algebraica y geometrica de unautovalor de una matriz viene dado por el siguiente resultado.Lema. Sea λ0 un autovalor de una matriz A, entonces 1 ≤ mg(λ0) ≤ ma(λ0).Proposicion. Sea A una matriz m×m y sean λ1, λ2, . . . , λm sus m autovalores (cada uno aparece tantas veces comoindique su multiplicidad algebraica) entonces:

su polinomio caracterıstico es p(λ) = (−1)m(λ− λ1)(λ− λ2) · · · (λ− λm).

el determinante de A coincide con el producto de los autovalores: det(A) = λ1λ2 · · ·λm.

la traza de A coincide con la suma de los autovalores:

tr(A) := a11 + . . . + amm = λ1 + λ2 + · · ·+ λm.

Proposicion. Sea A una matriz m×m, entonces:

2

1. At tiene los mismos autovalores que A (en general los autovectores asociados seran distintos).

2. Si A es real y v es un autovector de A asociado a λ, entonces v tambien es autovector de A asociado al autovalorλ. Ademas, las multiplicidades algebraicas y geometricas respectivas de λ y λ coinciden.

Matrices diagonalizables.Definicion. Se dice que una matriz A m×m es diagonalizable si existe alguna matriz P no singular tal que P−1APes una matriz diagonal.

Notemos que si

P−1AP = D =

d1 0 0 . . . 00 d2 0 . . . 00 0 d3 . . . 0...

......

. . ....

0 0 0 . . . dm

entonces cada columna de P es un autovector de P asociado al correspondiente elemento diagonal de D que sera unautovalor de A. Ademas, puesto que existe la matriz inversa de P , las m columnas de P son linealmente independientes.Teorema. Sea A una matriz m×m. Se verifica:

(1) A es diagonalizable si y solo si tiene m autovectores linealmente independientes.

(2) A autovalores distintos de A le corresponden autovectores linealmente independientes, es decir, si v1, · · · , vk sonautovectores de A asociados respectivamente a los autovalores λ1, · · · , λk y estos son distintos dos a dos, entoncesv1, · · · , vk son linealmente independientes.

(3) Si A tiene todos sus autovalores simples, entonces es diagonalizable.

(4) A es diagonalizable si y solo si para cada autovalor λ se verifica que

ma(λ) = mg(λ).

Matrices semejantes y aplicaciones lineales. Consideremos una aplicacion lineal T : Rm → Rm. Fijada la basecanonica Bc = {e1, . . . , em} de Rm, esta aplicacion lineal tiene asociada una matriz A, cuyas columnas son los vectoresT (e1), T (e2), . . . T (em).

Si fijamos otra base B = {v1, . . . , vm} de Rm, la aplicacion lineal T tiene asociada una matriz B respecto a dichabase, la matriz cuyas columnas son las coordenadas de los vectores T (v1), T (v2), . . . T (vm) respecto a la base B, esdecir,

[T (v1)]B , . . . , [T (vm)]B .

Las matrices A y B verifican que B = P−1AP siendo

P =

v1 . . . vm

.

En general, dicha relacion se formaliza mediante la siguiente definicion.Definicion. Se dice que dos matrices m×m A y B son semejantes si existe alguna matriz no singular P tal que

B = P−1AP.

La matriz P se suele denominar matriz de paso.A la vista de la definicion es obvio que una matriz es diagonalizable si es semejante a una matriz diagonal.

Proposicion. Si A y B son semejantes, entonces:

A y B tienen el mismo polinomio caracterıstico y, por tanto, los mismos autovalores con las mismas multiplici-dades algebraicas. Si v es un autovector de A asociado a un autovalor λ, entonces P−1v es un autovector de Basociado al mismo autovalor λ (siendo P la matriz no singular tal que B = P−1AP ).

det(A) = det(B) y tr(A)=tr(B).

Cada autovalor (de A y B) tiene la misma multiplicidad geometrica para ambas matrices, es decir,

dim [Nul (A− λI)] = dim [Nul (B − λI)] .

3

Para cada exponente k = 1, 2, . . . se verifica que

dim[Nul

((A− λI)k

)]= dim

[Nul

((B − λI)k

)].

Notemos por otra parte que el que dos matrices tengan los mismos autovalores no conlleva, en general, el que seansemejantes; por ejemplo, las matrices

A =[

0 10 0

]y B =

[0 00 0

]

tienen como unico autovector a λ = 0 pero no son semejantes. Si V es un espacio vectorial, B = {v1, . . . , vm} una basedel mismo, y f : V → V una aplicacion lineal, notese entonces que la matriz de f en B es semejante a la matriz de fen cualquier otra base B′ = {v′1, . . . , v′m} de V . Por lo tanto, a la vista de los resultados anteriores, se pueden definir,los autovalores, la traza y el determinante de f como los autovalores, traza y determinante de f en cualquier base. Lomismo ocurre con el polinomio caracterıstico.

Autovalores y autovectores complejos.Ampliamos en estas lıneas lo tratado en la seccion 5.5 del libro (Lay). En dicha seccion se muestra como una matriz

real 2× 2 diagonalizable en C (es decir, con un par de autovalores complejos conjugados, a± bi) se puede escribir enuna forma no diagonal, pero con una estructura muy sencilla (ver teorema 9 de la pagina 334)

[a b−b a

].

En el caso de tener una matriz real diagonalizable de mayor dimension con autovalores complejos podemos procederde un modo similar para obtener una matriz real no diagonal, pero sı diagonal por bloques, con una estructura similara la anterior. Ası, una matriz diagonalizable pero con algun autovalor complejo no real (con lo cual la matriz de pasotendra algunos elementos no reales) sera semejante, a traves de una matriz de paso real, a una matriz diagonal porbloques

C =

C1 0 0 . . . 00 C2 0 . . . 00 0 C3 . . . 0...

......

. . ....

0 0 0 . . . Ck

donde cada Cj es o bien un autovalor real o bien una submatriz 2 × 2 de la forma[

a b−b a

], donde a y b son

respectivamente la parte real e imaginaria de un autovalor complejo (no real) de A.Si λ = a + bi, a, b ∈ R es un autovalor de A (matriz cuadrada real) y v = u1 + iu2 (u1, u2 ∈ Rm) es un autovector

de A asociado a λ, entonces v = u1− iu2 es autovector de A asociado a λ = a− bi y, por tanto, tenemos las igualdades

Av = λv = (a + bi) (u1 + iu2) ⇒ Au1 + iAu2 = (au1 − bu2) + i (bu1 + au2)Av = λv = (a− bi) (u1 − iu2) ⇒ Au1 − iAu2 = (au1 − bu2)− i (bu1 + au2)

y por tanto, identificando las partes real e imaginaria en cualquiera de las dos igualdades anteriores tenemos,

Au1 = au1 − bu2

Au2 = bu1 + au2

}.

Expresando estas igualdades de forma matricial tenemos

A

u1 u2

=

u1 u2

[a b−b a

].

Ası, si multiplicamos A por una matriz en la que los autovectores complejos v y v sean dos vectores columna tenemos

A

· · · v v · · ·

=

· · · v v · · ·

. . .λ 00 λ

. . .

4

mientras que si sustituimos dichas columnas por la parte real y la parte imaginaria de v tendremos

A

· · · u1 u2 · · ·

=

· · · u1 u2 · · ·

. . . 0 . . .

. . .a b−b a

. . .

. . . 0. . .

con lo cual, si multiplicamos A por una matriz real P cuyas columnas forman una base de Rn y en la que u1 y u2

sean dos vectores columna y los restantes vectores columna sean autovectores reales o vectores obtenidos a partir dela parte real y de la parte imaginaria (por parejas) de un autovector complejo, tendremos

AP =

· · · u1 u2 · · ·

=

· · · u1 u2 · · ·

. . . 0 0

0a b−b a

0

0 0. . .

= PC

y por tanto P−1AP = C, donde la diagonal de la submatriz[

a b−b a

]esta sobre la de la matriz C que sera una

matriz real casi-diagonal (diagonal por cajas). Veamoslo con ejemplos.Ejemplo. Obtener una matriz casi-diagonal real (y la correspondiente matriz de paso) semejante a la matriz

A =

−2 −1 1 3−4 −1 0 4−3 −1 2 3−5 −3 1 6

.

Su ecuacion caracterıstica esλ4 − 5λ3 + 13λ2 − 19λ + 10 = 0.

Sus autovalores y sus autovectores asociados son

λ1 = 1, v1 =

1001

; λ2 = 2, v2 =

1011

; λ3 = 1− 2i, v3 =

1 + i2

1 + i2

; λ4 = 1 + 2i, v4 =

1− i2

1− i2

.

Al ser la matriz diagonalizable, si construimos Q = [v1, v2, v3, v4], obtenemos:

Q−1AQ = D =

1 0 0 00 2 0 00 0 1− 2i 00 0 0 1 + 2i

,

donde los autovalores aparecen en la matriz diagonal D en el orden en que se coloquen los autovectores correspondientesen la matriz Q. El inconveniente de esa expresion es que tanto D como Q son matrices complejas aunque A es real.Para evitar trabajar con matrices complejas se procede como sigue (aunque, en este caso, ya no se va a obtener unamatriz diagonal sino diagonal por bloques).

Por tanto, construyendo la matriz P = [v1, v2, Re (v3), Im (v3)], obtenemos:

C = P−1AP =

1 0 0 00 2 0 00 0 1 −20 0 2 1

.

Ejemplo. Obtener una matriz casi-diagonal real (y la correspondiente matriz de paso) semejante a la matriz

A =

2 2 1 1−3 −1 −1 00 2 1 31 −1 −1 −2

.

5

Su ecuacion caracterıstica esλ4 + 5λ2 + 4 = 0.


λ1 = −i, v1 =

1− i−2

−1 + i2

; λ2 = i, v2 =

1 + i−2

−1− i2

;

λ3 = −2i, v3 =

−i−1 + i−11

; λ4 = 2i, v4 =

i−1− i−11

.

Al ser la matriz diagonalizable, si construimos Q = [v1, v2, v3, v4], obtenemos:

Q−1AQ = D =

−i 0 0 00 i 0 00 0 −2i 00 0 0 2i

,


Por tanto, construyendo la matriz P = [Re (v1), Im (v1), Re (v3), Im (v3)], obtenemos:

C = P−1AP =

0 −1 0 01 0 0 00 0 0 −20 0 2 0

.

Ejemplo. Obtener una matriz casi-diagonal real (y la correspondiente matriz de paso) semejante a la matriz

A =

0 −2 52 −7 85 −8 6

.

Su ecuacion caracterıstica esλ3 + λ2 + λ− 39 = 0.


λ1 = −2− 3i, v1 =

i1 + i

1

, λ2 = −2 + 3i, v2 =

−i1− i

1

; λ3 = 3, v3 =

111

.

Al ser la matriz diagonalizable, si construimos Q = [v1, v2, v3], obtenemos:

Q−1AQ = D =

−2− 3i 0 0

0 −2 + 3i 00 0 3

,


Por tanto, construyendo la matriz P = [Re (v1), Im (v1), v3], obtenemos:

C = P−1AP =

−2 −3 03 −2 00 0 3

.

6

Aplicacion a recurrencias vectoriales.Definicion. Sea A una matriz cuadrada de orden m y sea u1, u2, . . . , un, . . . una sucesion de vectores en Rm definidosde manera recurrente por

un = Aun−1, n = 1, 2, . . .

a partir de un vector inicial u0 ∈ Rm. Una relacion de recurrencia vectorial de esta forma se llama sistema de ecuacionesen diferencias lineal homogeneo de primer orden con coeficientes constantes.

Si un = Aun−1 es un sistema de ecuaciones en diferencias, se tiene, razonando por induccion, que un = Anu0.Con esta expresion podemos hallar un para cualquier valor de n. Si A diagonaliza, podemos dar una expresion massimple para un que nos permitira ahorrar tiempo de calculo y tambien estudiar el comportamiento a largo plazo de lasucesion un.Proposicion. Sea A una matriz cuadrada de orden m diagonalizable y u0 ∈ Rm. Entonces la solucion del sistema deecuaciones en diferencias un = Aun−1 con vector inicial u0 es

un = Anu0 = PDnP−1u0, n = 1, 2, . . .

siendo P la matriz cuyas columnas forman una base de autovectores de A y D la matriz diagonal cuyos elementosdiagonales son los autovalores correspondientes.Observaciones.

Notese que si A no es diagonalizable no es posible, en general, aplicar la tecnica anterior para calcular la soluciondel sistema de ecuaciones en diferencias asociado. Sin embargo, hay un caso especialmente facil de resolver; siu0 es combinacion lineal de autovectores de A, podemos calcular un = Anu0 aunque no sepamos calcular An:Siu0 = α1v1 + · · ·+ αkvk y Avj = λjvj para cada j = 1, . . . , k, entonces

Anu0 = α1λn1 v1 + · · ·αkλn

kvk.

Ejercicios propuestos

Se sugieren los siguientes ejercicios del capıtulo 5 del texto (Lay):

- Seccion 5.1: todos los impares hasta el 27, 16, 18, 20, 22, 24.

- Seccion 5.2: todos los impares hasta el 27, 20, 22, 24.

- Seccion 5.3: todos los impares hasta el 27, 22, 24, 26.

- Seccion 5.4: todos los ejercicios hasta el 24.

- Seccion 5.5: todos los impares hasta el 21.

- Seccion 5.6: 1, 2, 17.

- Ejercicios suplementarios (pag. 364): del 1 al 13.

Ejercicio 1 Dada la matriz

A =

3 0 a3 −1 b−2 0 c

.

1. Calcular A de forma que (2, 0,−1)t sea un autovector cuyo autovalor correspondiente es λ = −1.

2. Hallar los demas autovalores y autovectores.

Ejercicio 2 Sabiendo que la matriz:

0 c a1 0 b1 1 0

es diagonalizable y tiene un autovalor doble, calcular a, b y c.

7

Ejercicio 3 ¿Para que valores de a ∈ R tiene la siguiente matriz A tres autovectores linealmente independientes? (esdecir, estudiar cuando A es diagonalizable)

A =

1 0 0a 1 01 1 2

.

Ejercicio 4 Dada la matriz

A =

1 0 1a −2 23 0 −1

, a ∈ R.

1. Calcular los valores de a para los que A es diagonalizable.

2. Para dichos valores de a, calcular los autovalores y los autovectores de A−1.

3. Para dichos valores de a, calcular An.

Ejercicio 5 Estudiar la diagonalizabilidad de las siguientes matrices en funcion de los parametros que aparecen.

A =

a + 3 b 10 a 0

a2 − 1 c a + 1

, B =

5 0 00 −1 b3 0 a

, C =

−1 0 0 0a −1 0 0b d 1 0c e f 1

.

Ejercicio 6 Sea f : R4 → R4 la aplicacion lineal dada por f(x) = Ax, donde

A =

a 1 −1 −10 b 0 −3−1 2 c 10 1 0 d

.

1. Hallar A sabiendo que f(S1) = S2, donde

S1 ≡{

x1 − x2 = 0x3 + x4 = 0 y S2 = Gen{(1,−2, 1, 1)t, (0, 3,−1,−2)t}.

2. Probar que A no es diagonalizable.

Ejercicio 7 Consideremos la matriz

A =

a1 b1 c1

1 b2 c2

0 b3 c3

.

(a) Determinar los elementos de A sabiendo que sus autovalores son λ1 = 2 y λ2 = 3 (doble), que v1 = (1, 2, 1)t esun autovector asociado a λ2 = 3 y v2 = (2, 1, 0)t satisface que Av2 = 3v2 + v1.

(b) Estudiar si A es diagonalizable.

(c) Calcular las soluciones del sistema de ecuaciones en diferencias

un = Aun−1

para los vectores iniciales u0 = (1, 2, 1)t y u0 = (1, 3, 2)t.

Ejercicio 8 Dado el sistema de ecuaciones en diferencias un = Aun−1, siendo

A =

0 α 0 0α 0 0 00 0 0 α0 0 α 0

,

1. Obtener la expresion general de un, segun los valores de α ∈ R.

2. Calcular u10, dado el vector inicial u0 = (0, 2, 0, 2)t.

autovalores y autovectores

Documents